Théorème de l Energie Cinétique

Transcription

1 Cous 4 - Théoème de l Enegie Cinétique Théoème de l Enegie Cinétique Réel Modèle Moteu y Moteu x Capteu optique Exemple d état de suface mesué uface à mesue La ugosimétie est la mesue de l état de suface des pièces mécaniques. L ode de gandeu des défauts mesués est le micon. Cette mesue des états de sufaces est aussi épandue et indispensable que la mesue des caactéistiques dimensionnelles et géométiques des pièces mécaniques. La mesue de ugosimétie epose taditionnellement su deux éléments distincts : le capteu, qui peut ête mécanique (palpeu) ou optique, et le taitement du signal (algoithmes infomatiques), qui pemet de taduie les mesues physiques de base, poduites pa le capteu, en données numéiques exploitables, epésentatives des caactéistiques physiques de la suface analysée. Exemple de système RUOIMETRE () ou un système de solides () ou d un système de solides () ou le système de solides Le Théoème de l Enegie Cinétique (TEC) appliqué à un solide () pemet d obteni une elation scalaie ente les paamètes cinématiques du mouvement, les caactéistiques d inetie du solide () et les actions mécaniques appliquées su le solide (). Le TEC peut ête utilisé seul où avec le FD. Dans cetain cas, le Théoème de l Enegie Cinétique seul peut pemette de détemine beaucoup plus apidement les elations d entée-sotie ente les effots (ou les lois de mouvement) d un système que le FD. Dans d autes cas, le FD estea plus efficace. - THEOREME DE L ENERIE CINETIQUE - ENONCE.. Théoème de l énegie cinétique pou un solide Il existe un epèe galiléen R g tel que pou un solide () : uissance galiléenne des actions mécaniques extéieues appliquées su le solide d ext /R = E g c(/rg) dt Rg aiation pa appot au temps de l énegie cinétique du solide pa appot au epèe galiléen.. Théoème de l énegie cinétique pou un ensemble de solides Σ d Il existe un epèe galiléen R g tel que pou un système (Σ): Σ/R + g int = E dt ext c( Σ/Rg) Rg uissance galiléenne des actions mécaniques extéieues appliquées su le système de solides Σ uissance des effots intéieus au système de solide Σ aiation pa appot au temps de l énegie cinétique du système de solide Σ pa appot au epèe galiléen Floestan MATHURIN age su 7

2 Cous 4 - Théoème de l Enegie Cinétique.. Remaques patiques concenant la mise en œuve du TEC Losque l on souhaite obteni une seule équation couplant les effots extéieus et les paamètes cinétiques ou une seule équation de mouvement (uniquement pou les poblèmes à une seule mobilité utile), le TEC est plus apide que le FD avec lequel il faut souvent isole plusieus solides et combine les équations etenues pou n'en obteni qu'une au final. L équation scalaie obtenue pa le TEC est une elation unique combinaison des équations founies pa le FD. Ce n est pas une elation scalaie supplémentaie pa appot au FD. Dans le cas où il y a plusieus mobilités utiles, il est possible de combine le TEC le FD. On utilise donc l équation issue du TEC et une ou plusieus équations issues du FD. ou utilise le TEC, on constate donc qu il est nécessaie : de détemine l'énegie cinétique d'un solide et/ou d'un ensemble de solides, de détemine les puissances développées pa les actions mécaniques appliquées su le solide ou le système. - ENERIE CINETIQUE.. Enegie cinétique d un point matéiel a définition, l'énegie cinétique d un point pa appot à un éféentiel galiléen R g s expime EC /Rg=.,/Rg.dm Dans le cas d un point matéiel de masse m on a : E C /Rg=.m.,/Rg.. Enegie cinétique d un solide a définition, l'énegie cinétique d'un système solide en mouvement pa appot à un éféentiel galiléen R g s expime : EC /Rg=.,/Rg. dm (4) L énegie cinétique est indépendante du point choisi su les toseus On démonte que l énegie cinétique est le commoment du toseu cinétique et du toseu cinématique (4) : EC /Rg=.{ C/Rg}{. C/Rg} Cas paticulies tès féquemment utilisés : i O est un point fixe dans le mouvement de /R : /Rg = Ω/R.IO(). Ω/R i cente de gavité de : /Rg =.m.,/rg +. Ω/R.I(). Ω/R.. Enegie cinétique d un système de solides L énegie cinétique d un système de solides Σ pa appot à un éféentiel galiléen R g est la somme des énegies cinétiques pa appot à un éféentiel galiléen R g des i solides : Σ/ Rg = i/rg i Floestan MATHURIN age su 7

3 Cous 4 - Théoème de l Enegie Cinétique.4. Démache de calcul pou détemine une énegie cinétique Oui agit-il d un solide où toute la masse est concentée en un point? Non On en evient à la définition : E C /Rg=.,/Rg.dm =.m.,/rg On décompose le système de solides Σ en solides élémentaies i Σ/ Rg i/rg = i imple Quelle est la natue du mouvement considéé? Complexe Mouvement de otation autou d un axe fixe (O,x ) Mouvement de tanslation En quels points sont données les ineties? En O /Rg =.IOx. & /Rg =.m.,/rg +.Ix. En & /Rg =.m.,/rg Où est donnée la matice d inetie? En O un point fixe de /R g (s il en existe un) /Rg = Ω/R.IO(). Ω /R Au point cente de gavité de En un point A quelconque (cas tès ae) /Rg =.m.,/rg +. Ω/R.I(). Ω /R /Rg =.A,/Rg.RC,/Rg +. Ω/R. σ A, / Application au ugosimète Objectif : Calcule l énegie cinétique de l ensemble Σ =+ + Floestan MATHURIN age su 7

4 Cous 4 - Théoème de l Enegie Cinétique Roto du moteu A y x B x x Hypothèses et données : Le oto (), de cente de gavité tel que O = a. x, a pou moment d inetie selon l axe (A, x ) J. On note φ le paamète angulaie de la liaison pivot de () pa appot à () tel que ϕ = ( y ; y ). Le moteu génèe le mouvement de otation de () pa appot à (). Le couple moteu appliqué su () est noté Cmoteu = C. x. Le coulisseau (), de cente de gavité, a pou masse m. La liaison glissièe ente les solides () et () a pou paamète de position x tel que AB = x.x. La liaison hélicoïdale ente les solides () et () possède un pas à doite noté pas tel que pas=,5 mm/tou. L ensemble (), de cente de gavité tel que B =. x, a pou masse m. On donne la A F E matice d inetie de cet ensemble : I () = F B D. E D C x x. Le moteu génèe le mouvement de otation de () pa appot à (). Le couple moteu appliqué su () est noté Cmoteu = C. z. On note le paamète angulaie de la liaison pivot de () pa appot à () tel que = ( ; ) Un système d équilibage (essot de tosion) pemet à la tête optique d ête hoizontale ( = ) en position de epos, c est-à-die losque le moteu n est pas alimenté. Ce système exece su l ensemble () un couple de appel noté C = C. z. On considèe que toutes les liaisons sont pafaites. L action mécanique de la pesanteu est telle que g = g.y. Calcul de l énegie cinétique de l ensemble Σ = ++ : Σ / = / + / + / (b ) Natue du mouvement de /?: Rotation autou de l axe (, z ), le moment d inetie suivant l axe de otation (A, x ) est connu / =.J. ϕ& Natue du mouvement de /?: Mouvement de tanslation suivant (A, x ) =.m. /,/ Natue du mouvement de /? : Mouvement quelconque. La matice d inetie est donnée en / =.m. +. Ω,/ /.I (). Ω / Floestan MATHURIN age 4 su 7

5 Cous 4 - Théoème de l Enegie Cinétique / =.J. ϕ& / =.m.,/ avec,/ x. x = & & / =.m. x I = Ω / avec : x.x. & = & +. y = x& +.&.x.. & &. sin /.m.,/ +. Ω/.I ().,/,/ A F E (). Ω / = F B D.&.z = C. &. z E D C (b ) Ω /.I (). Ω/ = C. & & & & & + / =.m.(x +..x...sin).c. D où : & & & & & & & + Σ / = / + / + / =.J. ϕ +.m.x +.m.(x +..x...sin).c. & (5) en généal oto moteu, accouplement, pignon menant (6) avec k < pou un éducteu de vitesse Remaque : i on expimait l énegie cinétique en fonction de ω, on touveait «l inetie équivalente amenée à l abe écepteu»:.j + J k.5. Inetie équivalente - masse équivalente Losqu on détemine littéalement l énegie cinétique d un ensemble de solides qui appatiennent à une même chaîne cinématique, on peut pafois expime cette énegie cinétique en fonction d un seul paamète cinématique élevé au caé. On peut alos faie appaaîte un teme en facteu de ½ multiplié pa ce paamète cinématique élevé au caé. Ce teme en facteu coespond soit à une inetie équivalente soit à une masse équivalente. Cas de l inetie équivalente : Exemple de tansmission avec éducteu de vitesse. oit la classe d équivalence coespondant à Moteu l ensemble des pièces liées en otation avec l abe moteu (5) O. On note ω la vitesse de otation de l ensemble et J son moment d inetie pa appot à son axe de otation. oit la classe d équivalence coespondant à l ensemble des pièces liées en otation avec l abe écepteu (en généal élément écepteu, Récepteu pignon mené ); on note ω la vitesse de otation de l ensemble et J son moment d inetie pa appot à son axe de otation. A ω oit k = le appot de tansmission (6). ω On a : ω est appelé «Inetie équivalente amenée à l abe moteu», de cette Σ / = / + / =.J. ω +.J. ω =.(J + J.k ). k Le teme J + J. chaîne cinématique. Cas de la masse équivalente : Exemple d un système pignon-cémaillèe i le paamète cinématique en fonction duquel l énegie cinétique est expimée, est la vitesse d un solide qui est en tanslation, alos on pale de «masse équivalente». Floestan MATHURIN age 5 su 7

6 Cous 4 - Théoème de l Enegie Cinétique Rayon pimitif du pignon : R Ligne de éféence ω (moteu) Cémaillèe ignon Cémaillèe oit la classe d équivalence coespondant à l ensemble des pièces liées en otation avec l abe moteu, on note ω la vitesse de otation de l ensemble et J son moment d inetie pa appot à son axe de otation. oit la classe d équivalence coespondant à l ensemble des pièces liées à la cémaillèe de masse totale M. Expession de la vitesse de la cémaillèe : = R.ω J D où : Σ/ = / + / =.J. ω +.M. Σ / =.( + M.) R J Le teme + M est appelé «masse équivalente» (amenée au écepteu) de cette chaîne R cinématique. - UIANCE.. uissance galiléenne d une action mécanique extéieue su un solide La puissance galiléenne d une action mécanique extéieue su un solide pa appot à un epèe galiléen R g est le commoment ente le toseu d action mécanique de cette action mécanique et le toseu cinématique : ext /Rg = { }{. C } Fext /Rg On etouve bien une puissance scalaie (t)=e(t).f(t) qui est le poduit des deux gandeus vaiables «flux»et «effot» (voi cous 9 MI) Cas paticulies tès féquemment utilisés : Cas d une foce extéieue appliquée en un point A : ext /Rg =Fext. A,/ Rg Cas d un couple extéieu appliquée en un point A : ext /Rg = CA,ext. Ω/ Rg La puissance extéieue est une puissance scalaie, elle dépend du epèe de éféence R g. Dans le cas où le bâti est fixe pa appot à R g et si les liaisons avec le bâti sont pafaites, la puissance développée pa les actions mécaniques de liaison du bâti su le système isolé est nulle. Apès application numéique, si l action mécanique est éceptice. Application au ugosimète ext / Rg >, l action mécanique est motice. i ext / Rg Objectif : Calcule les puissances extéieues de l ensemble Σ = + + <, i on isole l ensemble Σ =+ +, on etouve deux éléments extéieus développant une puissance non nulle : moteu / et g /. Floestan MATHURIN age 6 su 7

7 Cous 4 - Théoème de l Enegie Cinétique moteu / g / = g / et g / & ϕ.x =. = C.& ϕ C.x m.g.y &.z. = m.g.. &.y.y x.x &. & +.y sont puissances extéieues nulles ici. = m.g.. &.cos.. uissance des effots intéieus La puissance des effots intéieus ente un solide i et un solide j est le commoment ente le toseu d action mécanique de i su j et le toseu cinématique de j pa appot à i : int = = i j { }{. C } Fi j j/i Attention aux indices dans les toseus, ils sont pemutés : i j et j pa appot à i!! La puissance des effots intéieus ne dépend pas du epèe de éféence R g. Dans le cas d une liaison pafaite i j = pou tout mouvement compatible avec la liaison. La puissance des effots intéieus est une puissance dissipée. i j < Dans cetains poblèmes, la puissance pedue dans un mécanisme est donnée pa le endement η de ce mécanisme. On a int uissance en entée ystème = e et η = int = e ).( η. Application au ugosimète e uissance en sotie uissance dissipée Objectif : Calcule les puissances intéieues de l ensemble Σ = + + i on isole l ensemble Σ =+ +, on etouve deux éléments intéieus développant une puissance non nulle : ( moteu) et ( essot). &.z. C.& ( moteu) = = C.z B B &.z. C.& ( essot) = = C.z B B Bilan : L application du TEC su l ensemble ++ donneait : d ext Σ/R + g int = ( Σ/Rg) avec : C. ϕ m.g.. & ext Σ/R = &. cos C.& C.& g int = + dt R g & & & & & & + Σ / =.J. ϕ +.m.x +.m.(x +..x...sin).c. & Floestan MATHURIN age 7 su 7