E2 : MATHÉMATIQUES I ÉPREUVE OBLIGATOIRE

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Ségolène Lachance
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1 SESSION 200 E2 : MATHÉMATIQUES I Durée : 3 heures Coefficient : 2 ÉPREUVE OBLIGATOIRE Le (l) cndidt (e) doit triter tous les exercices. L qulité de l rédction, l clrté et l précision des risonnements entreront pour une prt importnte dns l pprécition des copies. L usge des clcultrices est utorisé. Le formulire officiel de mthémtiques est joint u sujet. EXERCICE N (4 points) Un règlement dministrtif concerne les trois ctégories d individus suivntes : les hommes de moins de 50 ns ; les non-slriés ynt 50 ou plus de 50 ns ; les femmes qui sont - soit slriées ; - soit non slriées et qui ont moins de 50 ns. On définit qutre vribles booléennes h,, s, r insi : x désignnt un individu quelconque, h = si x est un homme (h = 0 sinon) ; = si x est âgé (e) de 50 ou plus de 50 ns ( = 0 sinon) ; s = si x est slrié (e) (s = 0 sinon) ; r = si x est concerné (e) pr le règlement (r = 0 sinon). ) Quels sont les individus x pour lesquels on h. =? 2) On dmet que r = h. + s. + h.( s + s. ). ) Représenter r pr une tble de Krnugh (ou une tble de vérité). b) En déduire une expression simplifiée de r. c) Quelle est l ctégorie d individus non concernés pr le règlement? 3) En utilisnt uniquement le clcul booléen, montrer que h. + s. + h.( s + s. ) = + s + h. (On pourr utiliser les propriétés suivntes, vérifiées pr deux vribles booléennes y et z : y + y. z = y et y + y. z = y + z ). Pge /4

2 EXERCICE N 2 (7 points) L société TOPGAMES lncé fin décembre 999 un nouveu jeu sur console. Le nombre de jeux vendus u cours des 2 mois de l n 2000 fit l objet d une sttistique dont voici un extrit ( le mois est jnvier 2000) : mois nombre de jeux vendus (milliers) L société sit pr expérience que, pour ce genre de jeu, les ventes croissent pendnt une certine période pour tteindre un mximum, puis chutent plus ou moins rpidement, les consommteurs ttendnt lors l nouvelle version du jeu ou un utre jeu. Les précédents lncements ont montré que le nombre de jeux (en milliers) vendus chque mois, peut être modélisé pr une fonction V du type : V ( x) = x( A B x ). où A et B sont deux constntes réelles et où x désigne l dte exprimée en mois ( x = représentnt jnvier 2000). Prtie A Détermintion du modèle. Clculer les deux constntes A et B à 0-3 près si on impose à l fonction V de coïncider vec l sttistique ux deux mois extrêmes, c est à dire : Prtie B Étude du modèle. (On donner les vleurs rrondies à V () = 0 et V (2) = près des deux constntes cherchées). On choisit le modèle, où l fonction V est définie, pour tout nombre réel x, pr ) Résoudre l éqution V ( x ) = 0. 2) Clculer '( ) ( ) = ( ) V x 2x 6 x. V x et montrer que : V ( x) = ( x ) En déduire le tbleu de vrition de V. ' 3 4. E2 MATHÉMATIQUES I Pge 2/4

3 3) Recopier et compléter le tbleu de vleurs (rrondies à l entier le plus proche) : x V ( x ) 0 Trcer l courbe représenttive de l fonction V, dns le pln rpporté à un repère orthogonl, pour les bscisses pprtennt à l intervlle [ ; 36], en prennt pour unités : cm pour 2 mois sur l xe des bscisses, cm pour 0 milliers de jeux sur l xe des ordonnées. On utiliser pour ce trcé le formt pysge. Prtie C Utilistion du modèle. On dmet que le modèle de l prtie B est utilisble depuis le début de l nnée 2000 jusqu à fin ) A quel mois de quelle nnée le nombre de jeux vendus ser t-il mximl? Combien de jeux seront-ils vendus ce mois-là? 2) L société décide d rrêter l fbriction du jeu le mois pour lequel le nombre de jeux vendus descendr en dessous de Déterminer grphiquement à quelle dte (donner le mois et l nnée) le nombre de jeux vendus deviendr inférieur à (Fire pprître les trcés permettnt cette détermintion). EXERCICE N 3 (9 points) Une compgnie un contrt d entretien pour 300 scenseurs. On dmet que, chque semine, l probbilité de pnne d un scenseur est de 75. On suppose l indépendnce entre les pnnes d un même scenseur insi que de deux scenseurs différents. Soit X l vrible létoire qui, à toute semine, ssocie le nombre de pnnes du prc complet des scenseurs. Prtie A. Étude de X. ) Indiquer pourquoi X suit l loi binomile de prmètres n = 300 et p = ) Clculer, à 0 près, l probbilité pour que lors d une semine il y it (strictement) moins de 2 pnnes? E2 MATHÉMATIQUES I Pge 3/4

4 Prtie B. Approximtion de X. On dmet que l loi de X peut être pprochée pr une loi de Poisson, de prmètre m. On désigne pr Y une vrible létoire qui suit cette loi de Poisson. ) Indiquer pourquoi m est égl à 4. 2) En utilisnt l vrible Y, clculer une vleur pprochée de l probbilité pour que l compgnie 3 it à intervenir plus de 6 fois durnt une semine. (On rrondir le résultt à 0 près). Prtie C. Sécurité. On considère l vrible létoire Z qui, à tout dulte, usger d scenseurs, choisi u hsrd, ssocie son poids en kg. On suppose que Z suit l loi normle d espérnce mthémtique 70 kg et d écrt type 5 kg. ) Clculer, à 0-2 près, l probbilité pour qu un dulte, usger d scenseurs, choisi u hsrd, pèse moins de 90 kg. Un scenseur peut supporter 500 kg vnt l surchrge. Les normes de sécurité spécifient que l probbilité de surchrge ne doit ps dépsser 0,000. On dmet que le poids totl de n usgers dultes d scenseurs, dont les poids sont indépendnts, est une vrible létoire S qui suit l loi normle d espérnce mthémtique 70 n et d écrt type 5 n. 2) Clculer les probbilités de surchrge 5 p lorsqu il y 5 dultes dns l scenseur et 6 p lorsqu il y 6 dultes dns l scenseur. En déduire le nombre mximl de personnes utorisées à emprunter l scenseur. E2 MATHÉMATIQUES I Pge 4/4

5 Exercice I Exercice II CORRIGÉ DE L ÉPREUVE OBLIGATOIRE SUJET NATIONAL SESSION 200 Question ) 2)) Correction On : h. = h = et = h = et = 0. Les individus correspondnts sont donc les hommes âgés de moins de cinqunte ns (strictement). Ce sont en fit les individus de l première ctégorie. h h s s s Brème proposé 2)b) On lit : r = + h + s. Les individus non concernés pr le règlement correspondent à 2)c) r = 0 ou r =, c'est-à-dire hs =. On donc r = 0 = et h = et s =. Les individus non concernés sont donc les hommes (h = ) slriés (s = ) âgés d u moins (u sens lrge) 50 ns. 3) A) B)) B)2) r = h. + s. + h. s + h. s. ( ) ( ) = h. + h.. s + h. s. + s. + h. s = h. +. s. h + h + s. + h. s 2 3 = h. + s. { + + h. s = s + 4 s. h2+ 43 h. s + h. = s + h + h h. h = s + h + A = B + 0 V ( ) = 0 A = B + 0 V B = ( ) ( ) ( ) 2 = 6 B = 3 Les vleurs rrondies à 0 près sont : A =,995 et B =, et à 0 près, on : A = 2 et B = 2. ( ) ( ) V x = 0 x 2 2 x = 0 x = 0 ou x = 36. L vleur 0 est exclue et finlement : V ( x) 0 x 36. ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) V ' x 2 2,5 x 3 4 x. V ' x est du signe de 4 x et :. 2,5 = = V '( x) 0 x 4 x 6 x 6 + V '( x ) V ( x ) 64 0 E2 MATHÉMATIQUES I CORRIGÉ - Pge / 3

6 Exercice III B)3) x V ( x ) Trcé de l courbe (voir ci-dessous) C)) L fonction V est mximle pour x = 6 (mois). Jnvier 2000 correspondnt à x =, x = 6 correspond à vril 200. Le nombre de jeux vendus ce mois-là correspond u mximum trouvé (en milliers) pour l fonction V, c est-à-dire jeux vendus. C)2) Il suffit de dessiner l droite d éqution y = 0 et de chercher son (deuxième) point d intersection vec l courbe représenttive de l fonction V. L bscisse de ce point fournit le moment où l société rrête l production. Grphiquement, on trouve x = 35, correspondnt u dixième mois de l nnée 2002, c està-dire novembre A)) On répète 300 fois, de mnière indépendnte, l même expérience, n ynt que deux issues possibles : «l scenseur est en pnne» vec une probbilité p = 75 «l scenseur n est ps en pnne» vec une probbilité q = p. On reconnît un schém de Bernoulli, l vrible X suit l loi binomile b 300, A)2) L probbilité demndée correspond u clcul : P X 2 = P X = 0 + P X = ( ) ( ) ( ) ,09 à 0 près = + = B)) On sit que lorsqu une vrible létoire suivnt l loi binomile ( n, p) pr une vrible létoire suivnt l loi de Poisson p ( λ), on : λ = n. p B)2) C)) C)2) Avec n = 300 et p =, on trouve 75 On clcule P( Y 6) P( Y k ) 300 λ = = k = 6 k = 6 k k! k = 0 k = 0 b est pprochée > = = = e = 0, à 0 près. Z 70 P( Z ) = P = Π ( ) = , 33, 33 0, 9, vleur rrondie à 0 près S ( ) ( ). p5 = P S > 500 = P > = Π 2 5 = 0, (vec une interpoltion). S De même, p6 P = > = Π = 0, Conclusion : les normes sont respectées vec 5 pssgers, mis ps vec 6 pssgers (puisque : p5 < 0,000 et p6 > 0,000. Le nombre mximum d usgers utorisés à emprunter simultnément l scenseur est donc égl à 5. E2 MATHÉMATIQUES I CORRIGÉ - Pge 2/ 3

7 TRACE DE LA COURBE QUESTION EXERCICE 2 : B)3) y N y=0000 O 6 x E2 MATHÉMATIQUES I CORRIGÉ - Pge 3/ 3

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