1 Symétries du champ magnétique

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1 Lycée Naval, Spé 2. Électomagnétisme. 01. Syméties du champ magnétique. 04. hamp magnétique en égime stationnaie. hamp magnétique. égime stationnaie. Dans ce chapite nous nous intéessons aux popiétés topogaphiques du champ magnétique en égime stationnaie avec, pou objectif, de détemine l expession du champ dans des situations de haute symétie. n égime stationnaie, le champ magnétique étant céé pa la pésence de couants électiques, nous commençons pa une étude des syméties des distibutions de couants. nvaiance pa tanslation Une distibution de couants est invaiante pa tanslation selon un axe si elle este inchangée pa toute tanslation le long de cet axe. nvaiance pa otation Une distibution de couants est invaiante pa otation autou d un axe si elle este globalement inchangée pa une otation quelconque autou de cet axe. xemple : une spie d axe O pacouue pa un couant d intensité. 1 Syméties du champ magnétique 1.1 Syméties et invaiances des couants Symétie plane Une distibution de couant admet un plan de symétie Π, si la distibution de couant, obtenue pa symétie pa appot à Π, lui est identique. xemple : O 1.2 Topogaphie du champ magnétique Lignes de champ magnétique Les lignes de champ sont les lignes tangentes au champ magnétique en tout point et oientées pa ce champ. (Π) (Π) Points singulies : si deux lignes de champ se coupent en un point, le champ est nécessaiement nul en ce point. Antisymétie plane Une distibution de couant admet un plan d antisymétie Π, si la distibution de couant, obtenue pa symétie pa appot à Π, lui est en tout point opposée (sens de ciculation du couant). xemple : Tubes de champ L ensemble des lignes de champ s appuyant su un contou engende une suface appelée tube de champ. ontou (Π*) (Π*) 1

2 xemple d une cate de champ div B = 0 et ( otb = µ 0 j + ε ) 0 t n égime stationnaie, elles pennent la fome simplifiée : emaques : div B = 0 et ot B = µ 0 j n égime stationnaie, seuls les couants sont les souces du champ magnétique et les équations ne font pas appaaîte le champ électique ; le couplage ente champ magnétique et champ électique dispaaît. Pa compaaison à l équation de Maxwell-Gauss, l équation de Maxwell- Thomson indique l absence de monopoles magnétiques. 2.2 Taduction intégale des équations locales Les lignes de champ magnétique se efement su elles-mêmes en entouant les souces. Des lignes de champ magnétique voisines ont tendance à s écate loin des souces. Des obsevations de la cate de champ, on etient les popiétés suivantes : Un plan de symétie des couants est un plan d antisymétie pou le champ. n un point d un plan de symétie des couants, le champ magnétique est pependiculaie à ce plan. Un plan d antisymétie des couants est un plan de symétie pou le champ. n un point d un plan d antisymétie des couants, le champ magnétique est contenu dans ce plan. Le champ magnétique est qualifié de vecteu axial. 2 Équations de Maxwell-Thomson et Maxwell-Ampèe 2.1 xpession en égime stationnaie Tès généalement, les équations de Maxwell-Thomson et Maxwell-Ampèe s écivent : onsevation du flux magnétique n intégant l équation de Maxwell-Thomson à l aide du théoème d Ostogadski, on obtient : divb = 0 B.dS = 0 Le champ magnétique est à flux consevatif. onséquence : Un tube de couant tanspote un flux donné : Φ 1 = B.d S1 = B.d S2 = Φ 2 S 1 S 2 S n S 1 2 n ds 1 ds 2 n Le champ magnétique diminuant quand on s éloigne des souces, les lignes de champ s évasent loin des souces (f. cate de champ). 2

3 iculation du champ magnétique et théoème d Ampèe Théoème d Ampèe : la ciculation du champ magnétique B le long d un contou femé et oienté est égale à la somme algébique des intensités des couants enlacés pa multipliée pa µ 0 : B.d l = µ 0 emaques : k k,enlacé Le couant est compté positif s il tavese la suface limitée pa confomément à l oientation de (ègle du «tie-bouchon»). Dans des situations de haute symétie, le théoème d Ampèe pemet de détemine facilement le champ magnétique (f. théoème de Gauss pou le champ électostatique). xemple : B.d l = µ 0 ( 1 2 ) Applications du théoème d Ampèe 3.1 Méthode Étude des syméties et invaiances : détemine la diection du champ et la dépendance du champ vis à vis des coodonnées. hoix du contou d Ampèe : choisi un contou pemettant un calcul élémentaie de la ciculation du champ magnétique. Applique le théoème d Ampèe et obteni ainsi B. 3.2 hamp magnétique céé pa un fil infini On considèe un fil infini ectiligne pacouu pa un couant d intensité ; cette situation peut modélise le calcul d un champ magnétique en un point poche du fil vis à vis de la longueu de la potion ectiligne de fil. u θ u u θ u θ M M O Déteminons le champ magnétique en appliquant le théoème d Ampèe. Étude des syméties et invaiances : tout plan méidien (M, u, u ) est un plan de symétie de la distibution des couants. B(M) = B(, θ, ) = B θ (, θ, ) u θ La distibution de couants est invaiante pa toute tanslation selon (O) et otation autou de (O) : B(M) = Bθ (, θ, ) u θ = B θ () u θ Justification : à l aide du théoème de Stokes, B.d l = otb.d S = µ 0 Σ Σ j.d S avec Σ toute suface s appuyant su et oientée confomément à. hoix du contou : on considèe comme contou un cecle de ayon centé su l axe (O) et oienté pa u θ (ca B//d l et B() = cste su ce contou). Application du théoème d Ampèe : alculons tout d abod la ciculation du champ magnétique su le contou : B.d l = B() u θ.dl u θ = B θ () dl = B θ () 2π 3

4 L application du théoème d Ampèe conduit à : B θ ()2π = µ 0 donc B(M) = µ 0 2π u θ emaques Les lignes de champ sont des cecles centés su le fil. La divegence du champ quand 0 s explique pa la modélisation linéique. lignes de champ magnétique 3.3 hamp magnétique céé pa un fil infini épais On considèe un fil infini ectiligne épais de ayon pacouu pa un couant d intensité. On supposea un vecteu couant volumique unifome au sein du fil : j = π 2 u O u θ u M Application du théoème d Ampèe : alculons tout d abod la ciculation du champ magnétique su ce contou : B.d l = B() 2π l este à détemine le couant enlacé, pou cela on distingue deux cas : >, tout le fil est enlacé : B ext ()2π = µ 0 donc Bext (M) = µ 0 2π u θ <, l intensité enlacée vaut j π 2 = 2 / 2 : B int ()2π = µ donc Bint (M) = µ 0 2π 2 u θ Le champ magnétique est continu en =, la divegence à l oigine a dispau. Pou le champ extéieu, tout se passe comme si le couant était concenté au cente du fil. B B max hamp magnétique céé pa un solénoïde infini On considèe un solénoïde de longueu infinie compotant n spies pa unité de longueu, chacune pacouue pa un couant d intensité. On cheche à détemine le champ magnétique céé pa le solénoïde. H G l F Déteminons le champ magnétique en appliquant le théoème d Ampèe. Étude des syméties et invaiances : identique au cas pécédent. B(M) = B θ () u θ hoix du contou : on considèe comme contou un cecle de ayon centé su l axe (O) et oienté pa u θ. On admet que le champ magnétique est nul à l extéieu du solénoïde. Étude des syméties et invaiances : le solénoïde étant infini, tout plan Π pependiculaie à l axe (O) est un plan de symétie pou la distibution des couants ; 4

5 en tout point M d un tel plan, le champ magnétique est pependiculaie à ce plan et donc paallèle à l axe (O) : B(M) = B (, θ, ) u La distibution de couants est invaiante pa toute otation autou de l axe (O) et pa toute tanslation selon (O) : B(M) = B () u hoix du contou : on considèe comme contou le ectangle «FGH». Application du théoème d Ampèe : alculons tout d abod la ciculation du champ magnétique su le contou : F G H B.d l = B.d l + B.d l + B.d l + B.d l F G H }{{}}{{}}{{} =0 =0 =0 F F F B.d l = B.d l = B () u.dl u = B () dl = B () l Le contou enlace n l spies chacune pacouue pa un couant d intensité, on en déduit : B () l = µ 0 n l B = µ 0 n u On constate que le champ magnétique à l intéieu du solénoïde est unifome. On note la discontinuité du champ magnétique à la tavesée de la nappe de couant. 3.5 hamp magnétique céé pa une bobine toique Une bobine toique est constituée d un fil électique égulièement bobiné autou d un toe de section unifome. Dans l exemple pésenté la section de la bobine est de fome «caé» et on compte un total de N spies bobinées. 1 Étude des syméties et invaiances : tout plan méidien Π = (M, u, u ) est un plan de symétie pou la distibution des couants ; en tout point M d un tel plan, le champ magnétique est pependiculaie à ce plan : B(M) = B θ (, θ, ) u θ La distibution de couants est invaiante pa toute otation autou de l axe (O) B(M) = B θ (, ) u θ hoix du contou : on considèe comme contou un cecle de ayon. Application du théoème d Ampèe : alculons tout d abod la ciculation du champ magnétique su le contou 1 ou 2 : B.d l = B θ (, ) 2π l este maintenant à distingue deux cas selon que le contou est contenu ou non dans la bobine toique. ontou 1 : le couant qui tavese chacune des N spies coupe une fois le disque qui s appuie su le contou et ceci de manièe confome, B int 2π = µ 0 N B int = µ 0N 2π u θ ontou 2 : le couant enlacé est nul ; en effet, cette fois-ci, le couant tavesant chaque spie coupe deux fois le disque qui s appuie su le contou et ceci en sens opposé, les couants s annulent deux à deux. B ext = 0 La bobine toique canalise les lignes de champ. n faisant tende +, tout en consevant constant le nombe de spies pa unité de longueu, on etouve le cas du solénoïde infini. 4 Foces de Laplace a +a +a ade de l étude () B dl v u ds v 5

6 On s intéesse à un élément de conducteu électique susceptible de se déplace à la vitesse v dans le éféentiel d étude. et élément de conducteu est constitué d atomes ionisés fixes pa appot au conducteu (chage +e, densité paticulaie n) et d électons libes (chage e, densité paticulaie n) dont la vitesse d ensemble est v au sein du conducteu. Le conducteu est placé dans un champ magnétique B. 4.2 Foce de Laplace su une distibution volumique La ésultante des foces magnétiques qui s execent su cet élément de volume dτ = dsdl se détemine en considéant la foce de Loent qui s exece su chaque paticule chagée : δ F L = ndsdl e v B }{{ } + ndsdl ( e) ( v + v) B }{{ } = ne v }{{} Bdτ ions fixes dans le conducteu électons mobiles dans le conducteu j La foce de Laplace execée su un élément de conducteu de volume dτ pacouu pa un vecteu couant j et plongé dans un champ magnétique B est : δ F L = j Bdτ apacités exigibles : xploite les syméties et invaiances d une distibution de couants pou en déduie les popiétés de B Énonce les équations de Maxwell-Ampèe et Maxwell-Thomson. Paticulaise l équation de Maxwell-Ampèe au égime stationnaie xploite la consevation du flux magnétique et ses conséquences su les lignes de champ magnétique. Énonce et applique le théoème d Ampèe. Établi l expession du champ magnétique céé pa : un fil infini ; un fil épais et infini ; un solénoïde infini en admettant que le champ extéieu est nul ; une bobine toique. xpime les foces de Laplace s exeçant su un conducteu filifome, su une distibution volumique de couant. 4.3 Foce de Laplace su un cicuit filifome Dans une modélisation linéique, la distibution volumique peut ête vue comme un cicuit filifome ; dans ce cas, les tois vecteus j, d l = dl u et d S = ds u sont paallèles et de même sens, ce qui pemet d écie : jdτ = j u dsdl = jdsdl u = jdsd l = j.d Sd l = d l La foce de Laplace execée su un élément de conducteu de longueu dl pacouu pa un couant d intensité et plongé dans un champ magnétique B est : δ F L = d l B avec d l oienté pa. 6