MODELISATION DU COMPORTEMENT DES PLAQUES REPOSANT SUR SOL ELASTIQUE PAR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS

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1 m Conférnc Intrnational sur l Calcul Numériqu n Géotchniqu (NUCGE 0) Algr ls 0 t novmbr 0 MODELIAION DU COMPOREMEN DE PLAQUE REPOAN UR OL ELAIQUE PAR LA MEHODE DE ELEMEN FINI GUELLIL Mohamd Elhbib, AHAR ABBE Miloud, HARRICHANE hlifa mghbib@yahoo.fr Faculté ds scincs t scincs d l ingéniur, départmnt d Géni Civil(UHBC), Chlf, Algéri Faculté ds scincs t scincs d l ingéniur, départmnt d Mécaniqu(UHBC), Chlf,Algéri Résumé : L application d un analys par la méthod ds élémnts finis d un plaqu rposant sur un sol élastiqu st présnté dans c travail. La plaqu st modélisé par un élémnt fini quadrilatéral à huit nœuds t utilisé pour la modélisation d la flxion ds plaqus élastiqus tandis qu l sol st modélisé slon ls modèls d Winklr t Vlasov modifié. L cod d calcul d la flxion ds plaqus prnd égalmnt n charg l modèl plaqu sol dans sa globalité. Il détrmin ls déflctions ainsi qu ls momnts d flxion d l nsmbl plaqusol. Ls résultats obtnus sont validés par rapport aux différnts auturs t sont conforms aux prévisions d comportmnt ds modèls d Winklr t Vlasov. D plus, ds ssais d traitmnt ds sols sont ffctués pour détrminr l fft d la stabilisation ds sols médiocrs sur l comportmnt ds plaqus. Un comparaison st présnté ntr notr programm t l logicil commrcial Gotudio pour voir l fft d l épaissur d la couch amélioré sur la déflction d la plaqu. Ls résultats obtnus sont ncouragants. Enfin, dans la concption pratiqu ds fondations n utilisnt l équation d rzaghi pour détrminr l modul d réaction. A ct fft un comparaison st ffctué ntr l modul d réaction d rzaghi t qui détrminé suivant l équation d Winklr, ls résultats obtnu sont aussi ncouragants. MotsClfs : Plaqu, ol, intraction solstructur, modèl d Winklr, modèl d Vlasov.. Introduction outs ls chargs d la structur doivnt êtr transférés au sol, t l nsmbl structur t sol doivnt agir nsmbl pour supportr ls chargs. L dévloppmnt ds modèls plus réalists d fondation t ds méthods simplifiés pour résoudr c problèm complx d intraction solstructur st très important pour arrivr à ds concptions surs t économiqus. Plusiurs méthods numériqus sont miss n pratiqu pour la résolution ds modèls intraction solstructur. La méthod la plus utilisé st la méthod ds élémnts finis. Ell smbl approprié puisqu ll prmtt d définir précisémnt l comportmnt d tous ls élémnts composant l problèm (sol, fondation). Pour traitr l I, nous allons dans c travail dévloppr un outil qui prmt, tout n ayant un concption simplifié, d rproduir d manièr phénoménologiqu l comportmnt d un fondation suprficill rposant sur un surfac d sol massif smiinfini (modèl d Vlassov).. héori ds plaqus La figur montr un plaqu rctangulair orthogonal avc a t b comm côtés t épaissur h. Nous sélctionnons un systèm d coordonnés cartésinns x, y, z. Ls axs x t y sont placés dans l plan moyn d plaqu t orintés l long ds bords d la plaqu, l ax z st choisi prpndiculair au plan moyn d la plaqu c stàdir normal au plan (x,y). La plaqu st sous un chargmnt latéral dans l plan (normal t cisaillmnt). Fig. Contraints élémntairs dans un élémnt différntil d plaqu. L équation d équilibr ds momnts st: M xy xy M y y M x. x, y () x pz

2 m Conférnc Intrnational sur l Calcul Numériqu n Géotchniqu (NUCGE 0) Algr ls 0 t novmbr 0 L intégration ds équations ds momnts fléchissant donn l'équation d la plaqu soumis aux chargs distribués P z (x,y) []: 4 w 4 w 4 w pz( x, y). () x x y y D Dans l cas d un plaqu épaiss, on utilis la théori d Mindlin. Ell st basé sur un théori d déformation utilisant ls déformations cinématiqus suivants pour ls déplacmnts dans l plan ; Où x ( x, y) t y ( x, y) rprésntnt ls déformations du planmoyn. u z. x( x, y), v z. y( x, y). (3) 3. Comportmnt du sol L dévloppmnt ds équations d comportmnt d un fondation élastiqu st ffctué comm suit. L modèl d Winklr, on suppos qu l sol d bas s compos linéairmnt ds rssorts élastiqus qui sont étroitmnt alignés t indépndants l'un d l'autr avc un rigidité k. L déplacmnt d la plaqu st indépndant du déplacmnt du sol n dhors d la région chargé. L modèl d Winklr impliqu dux problèms majurs. L prmir problèm st qu l déplacmnt d la plaqu st un constant quand il st soumis à un charg uniformémnt distribué q. Il n'y a aucun momnt d flxion ou forc d cisaillmnt dans la plaqu pndant ctt condition d charg, qui st complètmnt pu réalist t non consrvativ. L duxièm problèm st qu la valur d k n'st pas uniqu t dépnd ds divrss propriétés d la plaqu t du sol ainsi qu l chargmnt. Dans l modèl d Winklr, l rapport ntr la prssion xtrn p t la déflction w d la surfac d bas st xprimé par: p kw (4) Où w l déplacmnt vrtical du sol, st proportionnl à la prssion d contact p. La constant d proportionnalité k s'appll l modul d la réaction d sol. Cpndant Vlasov t Lont'v (966) ont mployé un nouvll approch mathématiqu pour résoudr l problèm décrit cidssus. Ils ont dévloppé un modèl d duxparamètr pour ds plaqus sur ds fondations élastiqus n utilisant un méthod d variation d la constant. Ctt méthod prnd n considération la contraint d cisaillmnt dans l sol. La rlation ntr l déplacmnt w t la charg q st comm suit: Avc t: paramètr d cisaillmnt D 4 w t w kw q, (5) Vlasov t Lont'v ont présnté un autr paramètr pour caractérisr l profil vrtical d déformation dans l sol continu. L'avantag d l'approch d Vlasov t Lont'v st l'élimination d la nécssité d détrminr ls valurs d la réaction d sol k t du paramètr d cisaillmnt t arbitrairmnt. L énrgi total ds fforts du systm solstructur st: p s V (6) Avc p : s : énrgi énrgi dans dans la l plaqu sol, t V : énrgi potntill ds chargs éxtriurs L énrgi d déformation d la plaqu t du sol s écrit comm suit: w w w w w w p,,. D.,, dxdy, x y xy x y xy (7) H s 0 x x y y zz xy xy yz yz xz xz dxdydz, (8) t cll ds forcs : V q. w. dxdy (9) Et, γ rprésnt l paramètr déformationsol qui caractéris la distribution vrtical d la déformation du sol. Dans l modèl d Vlasov l paramètr γ st détrminé comm fonction ds caractéristiqus d la structur t d la fondation (procédur itérativ).[3] w dxdy s (0) H s w dxdy

3 m Conférnc Intrnational sur l Calcul Numériqu n Géotchniqu (NUCGE 0) Algr ls 0 t novmbr 0 4. Formulation d la plaqu t sol par la méthod ds élémnts finis Un élémnt rctangulair simpl à huit nœuds st choisi. L énrgi potntill total d la structur put êtr obtnu par sommation ds énrgis potntills totals élémntairs si ls élémnts ont la compatibilité rquis. On trouv: Où V t sont l volum t la surfac d l élémnt chargé rspctivmnt. N B DB. dv. q. d () V La minimisation d l énrgi potntill pour l'élémnt par rapport au déplacmnt nodal δ pour l'élémnt sra: Où B B DB dv N q d F... () V D. B. dv Matric d rigidité d l élémnt (3) V F N q. d Forcs nodals équivalnts pour l'élémnt (4) Modélisation du sol d Fondation : Pour l modèl d Winklr l xprssion d l énrgi d déformation dans la fondation st: k N dxdy (5) N : matric d rigidité du sol d fondation corrspondant à l élémnt d plaqu k : modul d fondation La matric d rigidité dans l élémnt d référnc pour l modl Vlasov st: N N N N t t. a. b... dd (6) a b Formulation final du systèm plaqu sur fondation élastiqu : Pour analysr l phénomèn d l intraction sol structur, l énrgi d déformation dans la fondation sra ajouté à cll d la plaqu, l énrgi potntill total du systèm plaqusol s écrit : F t (7) En appliquant l princip d minimisation d l énrgi potntill : oit : F t 0 g t (9) (8) Ls valurs du modul d la réaction du sol k t du modul d cisaillmnt t sront calculés comm suit: E sinh 4 E E cosh k 8. H. sinh (0) E sinh 4 E E cosh H t 6 sinh ()

4 m Conférnc Intrnational sur l Calcul Numériqu n Géotchniqu (NUCGE 0) Algr ls 0 t novmbr 0 5. Applications t Discussions C problèm a été étudié n 990 par traughan [4] t résolu par la méthod ds différncs finis. Avc l tmps st rst comm modèl d validation pour ls différnts modifications d amélioration d modélisation qui st ffctué par ls différnts chrchurs (, Clik t aygun, Buczkowski t orbacki t Ozgan t Daloglo). L xmpl traité st un plaqu rctangulair sous un charg uniform t un charg concntré pour différnts profondurs d sol 3.048, 6.096, 9.44 t 5.40 m. L modul d élasticité d la plaqu t l cofficint d Poisson sont: Ep = N/m² t ν = 0.0. L modul d élasticité du sol t l cofficint d Poisson sont: Es = N/m² t ν = 0.5. La plaqu à un longuur d 9,44 m, un largur d,9 m t un épaissur d 0,54 m. L typ d chargmnt st rprésnté sur la Figur é. Ls résultats sont donnés dans l tablau. Fig. yp d Chargmnt : (a) Charg distribué uniformémnt, (b) Charg concntré. ablau. Déplacmnts maximaux dus à la charg uniform t momnts. H(m) Référncs k (kn/m 3 ) t (kn/m) w (cm) M x (kn.m/m) Clik t aygun Buczkowski t orbacki Ozgan t Daloglo Clik t aygun Buczkowski t orbacki Ozgan t Daloglo Clik t aygun Buczkowski t orbacki Ozgan t Daloglo Clik t aygun Buczkowski t orbacki Ozgan t Daloglo L tablau montr ls résultats d la déflction d la plaqu sous un charg rparti t qui sont n bon accord avc ls résultats donnés par différnts chrchurs [5, 6, 7]. Pour ls profondurs 3.048, 6.096, 9.44 t 5.4 m, ls rrurs ffctivs d la déflction par rapport aux auturs sont 0.34%,.5%, 5.96% t.9% pour la charg uniform, tandis qu pour la charg concntré ls rrurs sont 4.5%, 4.7%, 3.38 t 6.44% rspctivmnt. Cla montr qu notr programm présnt un bonn convrgnc pour un crtain profondur (cas d la charg réparti). Ainsi, l tablau montr ls résultats ds momnts fléchissant qui sont très prochs par rapport aux résultats ds auturs [5, 6, 8] dans l cas d la charg uniform, tandis qu pour l cas d la charg concntré ls valurs ds momnts fléchissant sont compris dans l intrvall ds valurs ds auturs. 6. Efft d l amélioration ds sols sur la déflxion d un plaqu L fft d l amélioration ds sols sur la déflxion d un plaqu st étudié t analysé comm suit. L prmir sol utilisé dans ctt étud a été obtnu à partir d un sit (projt d rmblai) situé approximativmnt à 8 km au NordEst d la vill d Chlf. L duxièm sol a été obtnu à partir d un sit (projt d l autorout EstOust) situé approximativmnt à 5 km à l Est d la vill d Chlf. Cs dux sols ont été xtraits à un profondur d nviron 4 à 5 m. Ds ssais triaxiaux d cisaillmnt ont été ffctués. Ls éprouvtts étudiés sont confctionnés à partir ds différnts formulations d combinaison solajouts minéraux, D plus l évaluation ds ffts ds ajouts minéraux tls qu la chaux (L), la pouzzolan naturll (P) ainsi qu lurs combinaisons (P0L0, P0L8, P0L0, P0L4, P0L8, x P0L0 : 0 % pouzzolan naturll t 0 % chaux) sur cs valurs a été xaminé. 6. Déflxion d'un plaqu rposant sur sol amélioré L fft d l amélioration ds sols sur la déflction d un plaqu rctangulair libr montrnt qu ls combinaisons P0L4 t P0L8 sont ls plus fficacs. En pratiqu, on n put rnforcr l sol qu pour un épaissur rlativmnt ptit sinon l procédé srait économiqumnt

5 m Conférnc Intrnational sur l Calcul Numériqu n Géotchniqu (NUCGE 0) Algr ls 0 t novmbr 0 inaccptabl. Dans notr étud on a choisit trois typs d épaissur d sol à améliorr à savoir 0.54, t m. Ls résultats sront comparés avc cux du logicil commrcial Gotudio 004. Ls Figurs 3 t 4 montrnt un comparaison ds déflctions d un plaqu sur sol rnforcé sous un charg uniform t pour différnts épaissurs ds couchs traités. On rmarqu qu la déflction diminu avc l augmntation d la couch amélioré, c drnir vari d.70 % pour la prmièr combinaison t augmnt jusqu'à 3.63 % pour la troisièm combinaison. D la mêm manièr, la modélisation avc l logicil Gotudio présnt ls mêms rmarqus (cas d un charg uniform) t l rrur ffctiv vari d.97 % jusqu à 0.9 % ,00 0,00 0,05 0,05 0,00 0,05 Notr résultats Go résultats 0,00 0,05 Notr résultats Go résultats (a) (b) Fig 3. Evolution d la déflction d un plaqu rposant sur sol amélioré sous un charg uniform (a) h = 0.0 m, (b) h = 0.54 m 0,00 0,05 0,00 0, Notr résultats Go résultats 0,00 0,05 0,00 0, Notr résultats Go résultats (a) (b) Fig 4. Evolution d la déflction d un plaqu rposant sur sol amélioré sous un charg uniform (a) h = m, (b) h = m A c stad, l traitmnt ds sols st un solution rconnu pour son énorm potntil dans la construction x. routs, pour cla, il faut ds étuds préliminairs pour détrminr la combinaison du mélang t pour assurr un strict contrôl d qualité pndant son xécution. 7. Modul d réaction d sol Baucoup d chrchurs ont travaillés pour dévloppr un tchniqu pour évalur l modul d la réaction d sol, s. rzaghi (955) a mis qulqus rcommandations où il a proposé ds valurs d s pour la plaqu rigid d * ft placé sur un miliu d sol. Dans ctt étud d comparaison, on a calculé l modul d réaction suivant l équation d Winklr (4) d l xmpl d Vlasov (traughan), t après on a comparai avc ls valurs d réaction qui st obtnu suivant l équation () []. Cs valurs d s on a introduit dans l cod d calcul Winklr pour détrmin l déplacmnt t ls comparais avc ls résultats d Ozgan t Daloglo [5], ls résultats sont résumés dans l tablau. ablau. Comparaison ds résultats d Modul d réactions t lurs déplacmnts. Modul D Réaction s (N/m 3 ) H (m) ks (Calculé) ks V L Déplacmnts (cm) W (Calculé) Wv

6 m Conférnc Intrnational sur l Calcul Numériqu n Géotchniqu (NUCGE 0) Algr ls 0 t novmbr 0 ks () B. ' Es. Is. I f uit aux résultats montrés dans l tablau, la comparaison ffctué ntr l modul d réaction d rzaghi t qui détrminé suivant l équation d Winklr sont aussi très ncouragants. Cs qui montrs l fficacité d notr cod d calcul. 8. Conclusions A l issu d c travail ls conclusions suivants puvnt êtr tirés: L programm élaboré st capabl d'analysr l comportmnt ds plaqus rposant un fondation élastiqu avc un xactitud satisfaisant pour un évntull concption pratiqu. L sol sous la plaqu put avoir ds caractéristiqus géotchniqus médiocrs. L amélioration d cs caractéristiqus s avèr nécssair. D plus, la pris n compt ds propriétés du sol amélioré par l biais d un variation linéair dans l programm d calcul élaboré st désormais possibl t conduit à ds résultats satisfaisants. Il st possibl d résoudr c problèm par un modèl d Winklr si la valur d s st prévu corrctmnt. 9. Référncs [] R.zilard, horis and Applications of Plats AnalysisClassical,Numrical and Enginring Mthods, Hobokn, UA, 004. [] C.D.khar and R.Roy, A critical rviw on idalization and modling for intraction among soil foundation structur systm, Computrs and tructurs, pp , 00. [3] M. Mofid And M. Noroozi, A Plat on Winklr Foundation with Variabl Cofficint, harif Univrsity of chnology, hran, Iran. [4] W..RAUGHAN, B., and M., Analysis of plat on lastic foundation, PhD, Univrsitis d chnologis du xas, 990. [5].Ozgan and A..Daloglu, Efft of transvrs shar strains on plats rsting on lastic foundation using modifid Vlasov modl, hin Walld tructurs, pp.3650, 008. [6] M.Clik and A.aygub, A mthod for th analysis of plats on a twoparamtr foundation, Intrnational Journal of olids and tructurs, pp. 8995, 999. [7] R. Buczkowski and W. orbacki, Finit lmnt modling of thick plats on twoparamtr lastic foundation, Intrnational Journal for Numrical and Analytical mthods in Gomchanics, pp.40947, 00. [8] G.C.V. Vallabhan, Fllow, ACE and. Daloglu, Consistnt FEM Vlasov Modl for Plats on Layrd oil, Journal of tructural, pp.083, 999. [9] AM D850, Annual book of AM tandards, vol Amrican ocity for sting and Matrials, Philadlphia, 003. [0] Logicil Commrcial Gotudio 004. [] J.E. Bowls, R.E., and.e, Foundation Analysis and Dsign, Poria, Illinois, UA, 5 m Edition, 997.