SÉMINAIRE DE PROBABILITÉS (STRASBOURG)

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1 SÉMINAIRE DE PROBABILITÉS (STRASBOURG) JEANDOMINIQUE DEUSCHEL Représenaion du champ de flucuaion de diffusions indépendanes par le drap brownien Séminaire de probabiliés (Srasbourg), ome 21 (1987), p <hp:// _0> SpringerVerlag, Berlin Heidelberg New York, 1987, ous drois réservés. L accès aux archives du séminaire de probabiliés (Srasbourg) (hp://porail. mahdoc.fr/semproba/) implique l accord avec les condiions générales d uilisaion (hp:// Toue uilisaion commerciale ou impression sysémaique es consiuive d une infracion pénale. Toue copie ou impression de ce fichier doi conenir la présene menion de copyrigh. Aricle numérisé dans le cadre du programme Numérisaion de documens anciens mahémaiques hp://

2 . Représenaion du champ de flucuaion de diffusions indépendanes par le drap brownien J.D. Deuschel Mahemaik Deparmen E.T.H. Zenrum CH8092 Zürich (Suisse) 1. Inroducion Le champ de flucuaion de diffusions indépendanes es décri par K. Iô /3/ (voir aussi /4/ e /5/) à l aide d une équaion sochasique différenielle (ESD) par rappor à un processus de Wiener à valeur disribuionnelle. Le bu de cee noe es de donner une représenaion de ce processus par le drap brownien, ce qui perme de dériver l ESD parielle saisfaie par le champ de flucuaion dans les coordonnées empsespace. 2. Théorème limie cenrale pour des diffusions indépendanes Rappelons ou d abord un résula de K. Iô /3/. Soi { une famille dénombrable de diffusions indépendanes dans R, soluions des ESD où (2.1) es un sysème de browniens indépendans. Supposons que b e s soien suffisammen réguliers afin que pour >0 la densié de la probabilié de ransiion p (x,y) exise, qu elle soi lisse en x e y e sricemen posiive. Prenons comme mesure iniiale la mesure produi n p où p es L2bornée e noons par k~n la densié de la loi de Xk. Pour nen, considérons le processus {Y(n),0} à valeur dans

3 _ 429 (2.2) Y (n) (f) := n _ ~2 ~ n {f } fe ~. k=1 Soien L e D les opéraeurs sur donnés par Lf (x) := b (x) f (x)+112s2 (x) f" (x) Df (x) := s (x) f (x). Avec la formule d Iô on a (2.3) (f)= Y (n) (f)+ Y(n)s (Lf) ds+ JdM(n) (Df) où { M (n~ M(n) (Df ) := es la maringale n Df(Xks)dWks. Par le héorème limie cenrale mulidimensionnel on obien le résula suivan (c.f. Iô /3/). Proposiion (2.4) Le processus {Y(n), 0} un processus gaussien cenré covariance es donnée par cov (Y (f),y (g) )= cov ( f (Xk),g (Xk) ) converge en loi vers à valeur dans ~ don la Ce processus es soluion de l ESD à valeur dans (2.5) Y (f)=y 0 (f)+ 0 JY s (Lf)ds+ 0 J db s (Df) fe3 où es un processus de Wiener â valeur dans ~ don la variaion quadraique es elle que (2.6) B(f)> = 0 IE(f2(Xk))ds= s 0 f Rf2(y)ps(y)dyds f~. 3. La représenaion par rappor au drap brownien Nous adopons ici la noaion de Cairoli e Walsh j 1/. En uilisan la compléion de B (f) en L2(P), nous définissons un processus à deux paramères M={MZ,=(,x)eR+xR} par (3.1) M,x x ) x 0 ) x 0 Soi F {F,eR+xR} la filraion générée par {M }

4 _ 430 Lemme (3.2) Le processus M es une maringale fore à deux indices, coninue don la variaion quadraique M>={M> es donnée par M>~= Démonsraion Par (2.6) nous voyons que M(j,j], les accroissemens de M sur des recangles disjoins (j,j],j=1,...,n M(j,j]: = Mj Mjj Mjxj +M j son cenrés e indépendans, ce qui implique la première parie de l énoncé. Comme M es un processus gaussien p d où nous déduisons la coninuié de M par le crière de Kolmogorov. D aure par, pour on a (r~) r (rx) J+M2( (~ix) r (rx) ] (F ) > Z P (,~) ])+E(M2 ( (~rx) r (rx) ]) =Rps(y)dyds Rps(y)dyds. Proposiion (3.3) Il exise deux draps browniens indépendans W + ={W +,ER + xr + } M = e W ={W par Rpl/2s(y)dW+sy Rpl/2s ( y ) dw sy rappor à {F } els que ~R+xR+ Démonsraion Il suffi de voir que pour ER xr, w+:= es un drap brownien(c.f. /6/Prop.5.5). ~ Soi W={W le processus de Wiener à deux indices donné par ~R+xR W ~R+xR+ w. W ~R+xR alors par L2(P)compléion on peu monrer que (3.4) B (f)= II [O,)xR s sy

5 431 ainsi l ESD (2.5) se ransforme en une ESD par rappor à W : (3.5) Y (f)=y Remarque (3.6) M> es la variaion quadraique de la maringale M sur le recangle R : M> lim = E (M (~,(n) ) ) 2 Pp. s. ~7 ~0 i, j où 0394(n),n=1,2,..., son des pariions de R. Par (2.5) on peu définir une foncion posiive mesurable a elle que pour =(,x) dm> a(y) () ce qui nous donne une ESD indépendane de p(x) pour Y (c.f. /3/). 4. L.équaion sochasique différenielle parielle Soi {Y,~R+xR} compléion) par le processus à deux indices défini (en L2(P) Les accroissemens du processus Y : YxYy décriven la flucuaion des diffusions Xk,k=1,2,... au emps sur l inervalle (y,x]. Y es un processus gaussien, cenré don la variance es donnée par (4.1) ) 2) ] (Xk) ). Comme pour la maringale M, on peu vérifier la coninuié de Y. Soi le noyau défini par (4.2) Pour ou y fixé, p(x,y) es la soluion de l équaion différenielle parielle (4.3) lim (x,y) = 03B4xy où L es l opéraeur

6 Y (b(x)+s (x) s (x) ) a (x,y). Proposiion (4.4) Le processus Y={Y,,(,x)eR+xR} peu s écrire x de la forme où Yx f j, P s s s sy [o,)xr es le processus gaussien cenré el que Démonsraion Fixons e x, soi F(s,y) la foncion lisse en s e y ~=E (I (~, x J (Xk) I Yk=Y)=P s s (Y~x). Alors par la formule d Iô on a I ~,x] (Xk)=F(,Xk)=F(o,Xk)+ la F(s,Xk)s(Xk)dWk (x,xk) s (Xk) dwk. Par la proposiion (2.4) e (3.4) nous obenons Y x 0 (P ( p s (x,y) s (Y) pl/2s (Y) dwsy où les inégrales son bien définies puisque ~,x (Xk) ) =var (x,xk) s (Xk) ) Il suffi alors de monrer par inégraion parielle que = Y0(P(,x)). Comme les deux processus son gaussiens cenrés, il fau vérifier que les covariances son ideniques: cov(ry0,v(x,y)dy,ry0,(,)d)= R E(Y0yY0)(x,y)(,)dyd O,y ~y RxR y y 2) ds. RxR cov (Y~ (P (,x) ~Y~ (P ( ~x) ) ) ~ rj Corollaire (4.5) Le processus de l ESD parielle linéaire ay,x LY _,x s (x) p~ 2 (x)dwx es soluion

7 433 c.à.d. pour ou saisfai l équaion Y,f> = f >ds jj f (x) s (x) pu2 (x) dw sx. Démonsraion L équaion cidessus es vérifiée par une règle de Fubini pour l inégrale sochasique (c.f./5/). 0 En conclusion nous voyons que l ESD à valeur dans ~ (2.5) peu êre remplacée par une ESD parielle par rappor au drap brownien, ce qui nous donne une représenaion du champ de flucuaion avec les coordonnées empsespace (,x)er+xr. Dans des dimensions supérieures : R xr, ceci n es pas oujours possible comme le monre un exemple de Walsh /5/. Remarque (4.6) Une éude déaillée (exisence, unicié, propriéés) des ESD parielles es décrie dans le cours de Walsh (voir aussi /2/ e /4/ Chap. 3 ). Remerciemens. L aueur ien à remercier M. K. Iô pour les rès uiles discussions échangées lors de son séjour à Zürich. Il remercie égalemen M. A. Badikrian qui lui communiquer la référence /5/. a eu l amabilié de Liéraure /1/ Cairoli R. Walsh J.B.:Sochasic inegrals in he plane, Aca Mah. 134(1975) /2/ Funaki T.: Random moion of srings and relaed sochasic evoluion equaions, Nagoya Mah.J. 89(1983) /3/ Iô K. : Disribuionvalued processes arising from independen Brownian moions, Mah.Z. 182(1983) /4/ Iô K. : Foundaions of sochasic differenial equaions in infinie dimensional spaces, SIAM (1984). /5/ Walsh J.B. : An inroducion o sochasic parial differenial equaions, Preprin (1985). /6/ Zakai M. : Some classes of wo parameer maringals, The Annals of Prob. 9(1981)