Langages et Automates : LA3 Partie 6 : Minimisation. Langages et Automates : LA3 Partie 6 : Minimisation 1 / 40

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1 Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 1 / 40

2 Minimistion Dns ce chpitre, on v montrer l existence d un unique utomte ynt un nomre minimum d étt pour un lngge rtionnel fixé. On v montrer comment définir cet utomte, soit à prtir d une descrption énumértive ou d une expression rtionnelle, soit en prtnt d un utomte et en le minimisnt pour otenir l utomte miniml. Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 2 / 40

3 Résiduels Définition Pour un mot u et un lngge L, on définit le résiduel de u pr rpport à L u 1 L = {v Σ, uv L} On prend tous les mots de L qui commencent pr u et on tronque u. On prend tous les mots v qu on peut contténer à u pour tomer dns L. Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 3 / 40

4 Résiduels - Exemples L = mots qui commencent pr. Si u commence pr un ou si u commence pr un : u 1 L = Si u commence pr un : u 1 L = tous les mots Si u = : u 1 L = mots commençnt pr un. Si u = ε : u 1 L = mots commençnt pr un = L. L = {u {, } u = 0 mod 3}. Si u = 0 mod 3, lors u 1 L = {u {, } u = 0 mod 3} = L Si u = 1 mod 3, lors u 1 L = {u {, } u = 2 mod 3} = L 2 Si u = 2 mod 3, lors u 1 L = {u {, } u = 1 mod 3} = L 1 L = {u tels que u contient le fcteur } Si u L, u 1 L = Σ Si u L et u finit pr un, u 1 L = L Σ Si u L et u ne finit ps pr un, u 1 L = L Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 4 / 40

5 Résiduels - Propriétés Quelques propriétés importntes Pour tout lngge L, ε 1 L = L u L si et seulement si u 1 L contient le mot vide. Si u L et u 1.L = v 1 L, lors v L. (u.) 1 L = 1 (u 1 L). Si u 1.L = v 1 L, lors (u.) 1 L = (v.) 1 L (pour toute lettre ). Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 5 / 40

6 Résiduels - Propriétés 2 On peut se servir des identités suivntes pour clculer différents résiduels (u est un mot, est une lettre) (uv) 1 L = v 1 (u 1 L) u 1 (L 1 L 2 ) = (u 1 L 1 ) (u 1 L 2 ) { 1 ( 1 L 1 ) L 2 si ε / L 1 (L 1 L 2 ) = ( 1 L 1 ) L 2 ( 1 L 2 ) si ε L 1 u 1 (L ) = (u 1 L) L Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 6 / 40

7 Un dessin Mots : Σ Residuels ε u Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 7 / 40

8 Un dessin Mots : Σ Residuels ε u Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 8 / 40

9 Un dessin Mots : Σ Residuels ε u ε 1 L = L u 1 L Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 9 / 40

10 Un dessin Mots : Σ Residuels ε u ε 1 L = L u 1 L Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 10 / 40

11 Un dessin Mots : Σ Residuels ε u v u. v. ε 1 L = L u 1 L = v 1 L (u) 1 L = (v) 1 L Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 11 / 40

12 Résiduels et Equivlence de Myhill Nérode Définition Soit Σ un lphet et L un lngge sur Σ. On définit une reltion d équivlence L sur Σ pr : u L v si et seulement si u 1 L = v 1 L. Pour un mot u, on note [u] L l clsse d équivlence de u pour cette reltion, c est à dire l ensemle des mots v tels que u L v. Deux mots u et v sont dit séprés pr z si exctement un seul des mots u.z et v.z pprtient à L. Pour condenser les nottions et définitions introduites, on peut écrire donc [u] L = [v] L u L v u 1 L = v 1 L u et v ne sont séprés pr ucun mot Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 12 / 40

13 Les Clsses d équivlence Mots : Σ Residuels [u] L [u] L ε u v u. v. ε 1 L = L u 1 L = v 1 L (u) 1 L = (v) 1 L Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 13 / 40

14 Résiduels et Equivlence de Myhill Nérode Exemples : 1 L = {u {, } u = 0 mod 3}. Dej vu, 3 clsses : [ε], [], []. 2 L = {u {, } u contient le fcteur }. L dmet trois clsses d équivlence : [] = L (résiduel Σ ) [] = { mots ps dns L finissnt pr un } (résiduel = Σ L) [ε] = { mots ps dns L ne finissnt ps pr un } (résiduel L) 3 { n n, n N} Pour p q, p et q sont séprés pr p. Ainsi tous les mots n, n N sont dns des clsses différentes Il y donc ici une infinité de clsses distinctes. Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 14 / 40

15 Théorème de Myhill Nérode Théoreme (Myhill - Nérode) Soit L un lngge. L est rtionnel si et seulement si l reltion L un nomre fini de clsses. Si c est le cs, soit p ce nomre clsses. Alors tout AFD complet reconnissnt L u moins p étts et il existe un unique (u nom des sommets près) AFD complet reconnissnt L ynt exctement p étts, on l ppelle l utomte miniml du lngge L. Avnt de psser à s preuve, remrquons que ce théorème offre donc une nouvelle crctéristion des lngges rtionnels (nomre fini de clsses). Exercice Utiliser ce théorème pour montrer que { n n, n N} n est ps rtionnel. De même pour { 2n, n N}. Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 15 / 40

16 Clsses d équivlence Mots : Σ Residuels [u] L [u] L ε u v u. v. ε 1 L = L u 1 L = v 1 L (u) 1 L = (v) 1 L Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 16 / 40

17 Clsses d équivlence Mots : Σ Residuels ε ε 1 L = L [u] L [u] L u u 1 L (u) 1 L Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 17 / 40

18 Construction d un utomte cnonique Supposons que L un nomre fini résiduels différents (ou encore : un n fini de clsses d équivlence) On v construire un utomte pr : Etts : les résiduels (en nomre fini) Ett initil : ε 1 L Trnsitions : δ(u 1 L, ) = (u) 1 L (ien définies cr u 1.L = v 1 L (u.) 1 L = (v.) 1 L) Etts Finux : l ensemle des résiduels des mots de L (ou encore : l ensemle des résiduels qui contiennent ε) L fonction de trnsition vérifie donc : δ (e 1 L, u) = u 1 L L ensemle des mots reconnus pr A est lors ien le lngge L cr u 1 L est un pr définition étt finl si u est dns L. Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 18 / 40

19 Résiduels et Automtes Dns le cs où le lngge L est décrit pr un utomte A = (Σ, Q, q 0, F, δ) et si q = δ (q 0, u), lors u 1 L = {w Σ, δ (q, w) F }. q 0 u q En conséquence si u et v sont deux mots tels que δ (q 0, u) = δ (q 0, v), lors ils sont équivlents. Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 19 / 40

20 Clsses d équivlence Etts Mots : Σ Residuels q 0 δ (q 0, u) ε u ε 1 L = L u 1 L Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 20 / 40

21 Clsses d équivlence Etts Mots : Σ Residuels q 0 δ (q 0, u) ε u ε 1 L = L u 1 L Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 21 / 40

22 Clsses d équivlence Etts Mots : Σ Residuels q 0 δ (q 0, u) ε u ε 1 L = L u 1 L Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 22 / 40

23 Preuve du Théorème de Myhill Nérode Supposons mintennt L rtionnel et donc reconnissle, et soit A = (Σ, Q, q 0, F, δ) un utomte déterministe et complet tel que L(A) = L. Importnt : si δ (q 0, u) = δ (q 0, v), lors u L v. Cel signifie que si on définit une reltion d équivlence sur les mots pr u A v si δ (q 0, u) = δ (q 0, v), lors les clsses d équivlence pour cette reltion sont toutes incluses dns une clsse de l reltion L (voir dessin précédent) Le nomre de clsses de L est donc inférieur ou égl ux nomre de clsses de A qui est lui meme inférieur ou égl u nomre d étts de l utomte (égl si tous les étts sont ccessiles) Si le nomre d étt est précisemment égl u nomre de résiduels, il est lors fcile de voir que l utomte est lors identique à l utomte cnonique construit précédemment, ce qui prouve ien l unicité de l utomte miniml. Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 23 / 40

24 Résiduels - Clcul Le théorème précédent implique que si on sit clculer tous les résiduels possiles, lors on pourr construire l utomte miniml. Peut on le fire à prtir d une expression rtionnelle? Si E expression rtionnelle et u un mot, est-ce que l expression u 1 E un sens? Dns le cs des lngges reconnissles pr un AFD, on l l propriété importnte suivnte : pour un mot u, si q = δ (q 0, u), lors u 1 L = {w Σ, δ (q, w) F } Cel prouve en prticulier que tout résiduel d un lngge reconnissle est ussi reconnissle (il suffit de chnger l étt initil en q). En conséquence, si E est une expression rtionnelle décrivnt un lngge L, on définit lors u 1 E l expression rtionnelle correspondnt u lngge u 1 L. Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 24 / 40

25 Résiduels - Clcul Toutes les identitiés vues sur les lngges sont se réécrivent donc pour les E.R. (uv) 1 E = v 1 (u 1 E) u 1 (E 1 + E 2 ) = (u 1 E 1 ) + (u 1 E 2 ) u 1 (E 1 E 2 ) = { (u 1 E 1 ) E 2 si ε n pprtient ps u lngge décrit pr E 1 (u 1 E 1 ) E 2 + u 1 E 2 si ε pprtient u lngge décrit pr E 1 u 1 (E ) = (u 1 L) E Un cs prticulier de l première indentité est celui ou v est un lettre : on peut clculer les résiduels des mots de longueur k à prtir de ceux des mots de longueur k 1. On peut clculer tous les résiduels en commençnt pr les mots de longueur 0, puis 1, puis 2, etc... Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 25 / 40

26 Résiduels - Exemple de clcul E = ( + ) ( + ) 1 E = 1 (( + ) ).( + ) + 1 (( + ) ) = 1 (( + )).( + ) ( + ) + ( + ) = ( + ) ( + ) + ( + ) = E + ( + ) = ( + ) () 1 E = 1 ( 1 L) = 1 (( + ) ) = 1 (( + ) ) + 1 = ( + ) Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 26 / 40

27 Automte Miniml pr l méthode des résidus Exemple : ε 1 E = E = ( + ) ( + ) 1 E = ( + ) 1 E = ( + ) ( + ) = E () 1 E = 1 ( 1 E) = ( + ) ( + ) + ( + ) + ε () 1 E = 1 ( 1 E) = ( + ) ( + ) + ( + ) = 1 E () 1 E = 1 (() 1 E) = ( + ) ( + ) + ( + ) + ε = () 1 E () 1 E = 1 (() 1 E) = ( + ) ( + ) + ( + ) = 1 E E 1 E () 1 E Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 27 / 40

28 Automte Miniml pr Prtitionnement Soit A = (Σ, Q, q 0, F, δ) un AFD. Pour tout étt q Q, on définit L q = {w Σ tels que δ (q, w) F }. Si q est un étt ccessile pr le mot u, lors il s git ien du résidu ssocié à u : q 0 u q Si δ(q 0, u) = q lors L q = u 1 L C est pourquoi on supposer pr l suite que tous les étts de l utomtes sont ccessiles, c est à dire que pour tout q Q, il existe u Σ tel que δ(q 0, u) = q (Il est évident qu un étt qui n est ps ccessile ne sert à rien dns l utomte : on peut le supprimer sns chnger le lngge reconnu). Si tous les étts sont ccessile on donc ien qu à chque étt correspond un résidu du lngge qu il reconnit. Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 28 / 40

29 Automte Miniml pr Prtitionnement Soit A = (Σ, Q, q 0, F, δ) un AFD. Pour tout étt q Q, on définit L q = {w Σ tels que δ (q, w) F }. Définition On définit une reltion d équivlence entre étts de l utomte pr : q q si seulement si L q = L q (L clsse d équivlence d un étt q est notée [q] A ) (Attention, ceci est une reltion d équivlence sur les ETATS, l différence de L qui étit précédemment une reltion d équivlence sur les mots dns Σ ). Proposition Si L est le lngge reconnu pr l utomte A = (Σ, Q, q 0, F, δ) : (u L v) ( u 1 L = v 1 L ) (δ (q 0, u) δ (q 0, v)). Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 29 / 40

30 Automte Miniml pr Prtitionnement Etts Mots : Σ Residuels q 0 ε ε 1 L = L δ (q 0, u) δ (q 0, u) u v u. v. u 1 L = v 1 L (u) 1 L = (v) 1 L On construit un utomte en "fusionnnt" les étts équivlents. Pour cel, il fut s ssurer que les trnsitions ne vont ps poser de prolème. Ceci est grnti pr le fit que : q q implique Σ, δ(q, ) δ(q, ) Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 30 / 40

31 Automte Miniml pr Prtitionnement Supposons que A est un AFD ccessile et complet. Formellement, ces fusions d étts équivlents définissent A = (Σ, Q, q 0, F, δ ). étts : Q = l ensemle des clsses d équivlence [q] A de. étt initil : q 0 = [q 0] A étts finux : F = {[q] A, q F } trnsitions : δ ([q] A, ) = [δ(q, )] A pour tout étt q et lettre. Il n y plus d étts équivlents, tous les étts sont séprés, et il y donc utnt d étts que de résidus du lngge. Autrement dit, cet utomte est exctement l utomte miniml construit précédemment. Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 31 / 40

32 Algorithme de Moore pour le clcul des clsses d équivlence Pour pouvoir trouver l utomte miniml prtir d un utomte quelconque, il fut donc etre cple d identifier les étts équivlents. On rppelle qu on défini L q = {w Σ tels que δ (q, w) F } et ou de fçon équivlente : q q si seulement si L q = L q q q si seulement si ucun mot ne sépre q et q Au lieu de clculer les clsses directement, on v fire progressivement : on commence pr voir si deux étts sont séprés pr des mots de longueur 1. Si ce n est ps le cs, on cherche si ils le sont pour des mots de longueur 2, et insi de suite. On v voir qu il suffit de fire ç un nomre fini de fois pour être sur que deux étts ne sont ps séprés pr ucun mot. Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 32 / 40

33 Algorithme de Moore pour le clcul des clsses d équivlence Notons Σ k l ensemle des mots de longueurs inférieure ou égle à k. On définit l reltion d équivlence k pr : q k q si seulement si L q Σ k = L q Σ k ou de fçon équivlente : q k q si seulement si ucun mot de longueur k ne sépre q et q Bien sur q k q implique q k 1 q donc les clsses d équivlences k sont de plus en plus fines et on : q q si seulement si k N q k q Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 33 / 40

34 Algorithme de Moore pour le clcul des clsses d équivlence On commence pr clculer 0. Pr définition q 0 q signifie que q et q sont tous les deux cceptnts ou tous les deux non cceptnts. Autrement dit, σ 0 deux clsses : F et Q \ F. On peut clculer les clsses de k à prtir des clsses de k 1 grâce à l propriété suivnte Proposition q k q si seulement si { q k 1 q Σ, δ(q, ) k 1 δ(q, ) De plus, cel implique que si les clsses d équivlences sont toutes identiques pour k 1 et k, lors elles restent identiques pour tout k k et sont donc exctement les clsses de. Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 34 / 40

35 Algorithme de Moore pour le clcul des clsses d équivlence Proposition q k q si seulement si { q k 1 q x Σ, δ(q, x) k 1 δ(q, x) Preuve : Pr définition, q k q si seulement si u Σ k, δ(q, u) 0 δ(q, u) Or, u Σ k \ {ε} δ(q, u) 0 δ(q, u) si seulement si x Σ v Σ k 1 δ(q, xv) 0 δ(q, xv) si seulement si x Σ v Σ k 1 δ(δ(q, x), v) 0 δ(δ(q, x), v) si seulement si x Σ δ(q, x) k 1 δ(q, x) Ce qui prouve ien l Proposition. Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 35 / 40

36 Algorithme de Moore : Exemple , clsses de 0 : {0, 1, 2, 3, 4} {5} Pour trouver les clsses de 1, on pplique l Proposition : { q 1 q q 0 q si seulement si Σ, δ(q, ) 0 δ(q, ) Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 36 / 40

37 Algorithme de Moore : Exemple , clsses de 0 : {0, 1, 2, 3, 4} {5} clsses de 1 : {0, 1, 3} {2, 4} {5} Pour trouver les clsses de 2, on pplique l Proposition : { q 2 q q 1 q si seulement si Σ, δ(q, ) 1 δ(q, ) Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 36 / 40

38 Algorithme de Moore : Exemple , clsses de 0 : {0, 1, 2, 3, 4} {5} clsses de 1 : {0, 1, 3} {2, 4} {5} clsses de 2 : {0} {1, 3} {2, 4} {5} Pour trouver les clsses de 3, on pplique l Proposition : { q 2 q q 1 q si seulement si Σ, δ(q, ) 1 δ(q, ) Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 36 / 40

39 Algorithme de Moore : Exemple , clsses de 0 : {0, 1, 2, 3, 4} {5} clsses de 1 : {0, 1, 3} {2, 4} {5} clsses de 2 : {0} {1, 3} {2, 4} {5} clsses de 3 : {0} {1, 3} {2, 4} {5} On peut donc conclure que les clsses de sont ien : {0} {1, 3} {2, 4} {5}., 0 1, 3 2, 4 5, Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 36 / 40

40 Le Théorème de Brzozowski pour l minimistion Pour L lngge, on note mir(l) le lngge constitué du miroir des mots de L. Si L est reconnu pr l utomte A = (Σ, Q, q 0, F, δ), lors mir(l) est reconnu pr l utomte (en générl non déterministe) mir(a) = (Σ, Q, F, {q 0 }, δ mir ) où δ mir (q, ) = {q Q tels que δ(q, ) = q } (on inverse le sens des trnsitions et on permute le role des étts initiux et finux). Brozowski montré le résultt surprennt suivnt qui fournit un utre moyen de clculer l utomte miniml. Théoreme Si L est un lngge rtionnel reconnu pr l utomte A, lors l utomte miniml A L de L est donné pr l formule suivnte A L = det(mir(det(mir(a)))) Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 37 / 40

41 Le Théorème de Brzozowski pour l minimistion Proposition Soit L un lngge et B un utomte co-deterministe co-ccessile (ie son miroir est deterministe et ccessile) qui reconnit L. Alors le determinisé B det de B est l utomte miniml de L. Preuve : Etudions d ord les résidus de l utomte B. Pour tout étt q de B : il existe un mot u q tel que u q L q (cr B coccessile) pour tous q et q distincts, L q L q = (cr B codeterministe) Un étt de B det correspond à un ensemle d étts P Q. L déterministion grntit que le résidu ssocié à l étt P vérifie L P = q P L q. D près ce qui précède, dns B det, on L P = L P implique P = P. L utomte B det est donc ien miniml. Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 38 / 40

42 Le Théorème de Brzozowski pour l minimistion Proposition Soit L un lngge et B un utomte co-déterministe co-ccessile (ie son miroir est deterministe et ccessile) qui reconnit L. Alors le determinisé B det de B est l utomte miniml de L. Si A est un utomte quelconque, lors B = mir(det(mira))) est ien un utomte co-déterministe et co-ccessile. En ppliqunt l proposition précédente, on otient ien le théorème nnoncé. Théoreme Si L est un lngge rtionnel reconnu pr l utomte A, lors l utomte miniml A L de L est donné pr l formule suivnte A L = det(mir(det(mir(a)))) Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 39 / 40

43 Automtes - Recp des Algos Reconnissnce Completion Deteministion Automte Produit (union - intersection) Miroir Prefixes, Suffixes ETC Automte Moore (Prtitionnement) det mir det mir (LONG!!) Equtions (Arden) Brozozwksi Thompson Glushkov Automte Miniml Clcul des Residus Expression Rtionnelle Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 40 / 40