Chapitre 5 PRIMITIVES ET INTÉGRALES

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1 Chpitre 5 PRIMITIVES ET INTÉGRALES 5.1 Dé nitions et exemples Soient deux fonctions F (x) et f(x) de l vrible x: On dit que F est une primitive de f si f = df dx : Pr exemple d sin x = cos x. On dir que sin x est une primitive de cos x dx F = primitive de f, F 0 (x) := df (x) dx = f(x) Les primitives, F 1 (x) et F 2 (x) d une même fonction f(x) di èrent d une constnte F 2 (x) F 1 (x) = C où C est une constnte rbitrire. En outre on véri e isément les reltions U(x) = primitive de u(x) V (x) = primitive de v(x) = constnte 9 = =) U + V = primitive de (u + v) ; Les tbleux ci-dessous donnent une primitives des fonctions usuelles Primitive de f = x x n+1 n + 1 Fonction f = x n (n 6= 1) x 1=2 = p x x 1 = 1 x 2 3 x p x ln jxj Fonction f = e x u 0 ln jxj u 1 Primitive de f = ex ln juj x ln jxj x Fonction f = sin (x) cos(x) tn(x) = sin(x) cos(x) 1 1 Primitive de f = cos(x) sin(x) 1 ln jcos(x)j

2 64 Primitives et Intégrles 5.2 Intégrle dé nie Considérons l fonction f(x) et les deux vleurs x = et x = b: L intervlle [; b] est divisé en n intervlle élémentires dont les extrémités sont : x 0 = ; x 1 = + x;..., x k = + k x;..., x n = + nx = b vec x = (b )=n: g. 5.1 Nous considérons I n = f(x 1 )x + f(x 2 )x + ::: = P f(x k )x: L somme I n représente l ire grise des rectngles de l première gure 5.1. Lorsque n 1 (c est à dire x 0) l ire grise se confond vec l ire hchurée de l gure 5.1, comprise entre le grphe de f(x) et l xe des x: Cette limite est l intégrle dé nie I = R b f(x)dx: Remrquons que le nom de l vrible d intégrtion est indi érent : I = R b f(x) dx = R b f(t) = R b f(u) du = ::: Supposons que f soit une combinison linéire des fonctions g(x) et h(x); c est à dire f(x) = g(x) + h(x) où est une constnte. Il vient I n = P f(x k )x = P g(x k )x + P h(x k )x: A l limite n 1 on trouve Z b (g + h) (t) = Z b Z b g(t) + h(t) Sur l gure 5.1 nous vons considéré le cs b > : Lorsque b < l quntité x chnge de signe lors que les vleurs de f(x k ) restent inchngées, ce qui implique Z b f(t) = Z b f(t) et donc Z f(t) = 0 En outre, si on introduit un troisième point d bscisse c; on véri e grphiquement l reltion Z b f(t) + Z c f(t) = Z c b f(t) vlble quelle que soit l position reltive des points d bscisse, b et c:

3 Intégrle dé nie 65 Lorsque l fonction f(x) ne conserve ps un signe constnt, certins termes de l somme I n sont positifs, d utres sont négtifs. L ire I pprît donc comme une ire lgébrique. g. 5.2 L intégrle R d f(x) dx où f(x) est représentée sur l gure 5.2, se décompose en une somme de trois intégrles : R d = R b + R c b + R d c. Considérnt l série I n qui pproxime chcune des intégrles on obtient les reltions R b f(x) dx > 0; R c b f(x) dx < 0 et R d f(x) dx > 0: c Sur l gure 5.3 nous représentons divers cs possibles pour le signe de R b f(x) dx. g. 5.3 Dns le premier cs, f(x) < 0 et b > (l xe des x est décrit dns le sens positif indiqué pr l èche sur l xe). L intégrle est négtive. Ce résultt pprît clirement en considérnt le signe des termes des séries I n : Cette intégrle représente l ire lgébrique de l surfce grise. Le contour qui borde cette surfce est orienté pr continuité à prtir de l èche sur l xe des x: L orienttion est rétrogrde (sens des iguilles d une montre ). Cette orienttion xe le signe de l intégrle. On véri e isément dns les deux utres cs que l orienttion du bord est celle du sens direct ; les intégrles correspondntes sont positives. On peut considérer que b; borne supérieure de l intégrle est une vrible, x ( g.5.1). Dns ce cs l intégrle est une fonction de x : (x) := R x f(t) : Il serit Un montre à iguille normle.

4 66 Primitives et Intégrles mldroit ici de noter l vrible d intégrtion du même nom que l borne supérieure ; nous employons donc t pour l désigner. N.B. L borne supérieure, x; peut être plus grnde ou plus petite que l borne inférieure : L fonction (x) peut être positive ou négtive. L dérivée de (x) en x = b est l limite de ((x + x) (x)) =x lorsque x 0: L di érence entre les deux ires hchurées de l second gure 5.1 est précisément l quntité (x+x) (x): C est prtiquement l ire f(b) x du rectngle gris (à l limite x 0): Pr conséquent 0 (b) = f(b) : d dx Z x f(t) = f(x) (x) := R x f(t) est donc une primitive de f(x): C est l primitive telle que () = 0: Considérons une primitive quelconque F (x) de f(x) : F (x) = (x) + C où C est une constnte. Formons F (b) F () = ((b) + C) (() + C) = (b) (): De l reltion () = 0 on déduit F (b) F () = (b) = R b f(t) : F (x) = une primitive de f(x) ) Z b f(t) = F (b) F () F (b) F () est donc l intégrle dé nie de f sur l intervlle (; b) : On utilise générlement l nottion [F (x)] b := F (b) F (): Premier exemple. Clculons l ire comprise entre un rc de sinusoïde et l xe des x: Plus précisément clculons A = R sin x dx: Une primitive de sin x est cos x: On écrit 0 A = [ cos x] 0 := ( cos ) ( cos 0) = = 2: Second exemple. Nous voulons clculer le moment d inertie d une brre homogène, pr rpport à son extrémité. L brre est homogène, s msse est M et s longueur L: Nous décomposons l brre en éléments de longueur d`. g. 5.4 Pour clculer le moment d inertie, I; il fut (pr dé nition) sommer toutes les quntités `2 dm où dm est l msse de l élément de longueur d`: L brre étnt homogène il vient dm = M d`=l: I = Z L 0 `2 M L d` = M L `3 3 L 0 = 1 3 ML2

5 Méthodes d intégrtion Méthodes d intégrtion Une primitive quelconque de l fonction f est notée R f(x)dx; c est une intégrle indé nie. Pr exemple R e x dx = e x + C (C désigne une constnte ppelée constnte d intégrtion). Il n est ps toujours possible d exprimer Z une intégrle indé nie sous l forme d une 1 combinison de fonctions connues. Ainsi I = x 2 +1dx dé nit une nouvelle fonction qui ne s exprime ps u moyen des fonctions usuelles (polynômes, exponentielles, fonctions trigonométriques, etc.). C est une fonction notée Arctn x = y telle que y 2 ( ; +) et stisfit l reltion tn y = x: L fonction Arctn est donc l fonction inverse de l fonction tn : Plusieurs méthodes permettent l intégrtion des fonctions simples nous les résumons rpidement Les tbles et les ordinteurs. Il existe des livres qui donnent les primitives connues des fonctions simples ; ce sont des tbles d intégrles. Ces mêmes tbles fournissent églement l vleur numérique des intégrles dé nies remrqubles comme R 1 e x2 dx = 1 0 2p : Aujourd hui nous disposons de logiciels puissnts, d utilistion commode, qui permettent de trouver (u moyen d un ordinteur) l réponse à l pluprt des problèmes d intégrtion connus. L essentiel de l e ort doit donc porter sur l formultion des problèmes, sur l nture des réponses cherchées plus que sur les techniques de résolution elles même. Les méthodes élémentires doivent nénmoins être connues L simpli ction du problème. On utilise directement l reltion Z df dx := dx Z df = f(x) + C (5.1) près voir simpli é l expression sous le signe R : Premier exemple. Soit à clculer I = R tn 2 x dx: On sit que d Z d dx tn x = 1 + tn2 x; on en déduit I = dx tn x 1 dx soit I = R d (tn x x) ; d où l solution I = tn x x + C: Z x 2 Second exemple. I = x 2 1 dx: x 2 On écrit x 2 1 = x2 1 x x 2 1 = (x 1) (x + 1) : On peut démontrer que toute frction rtionnelle de l forme 1 Q = (x 1 ) (x 2 ) ::: (x n ) s écrit encore Q = A 1 (x 1 ) + A 2 (x 2 ) +::+ A n (x n ) où 1 A k est une constnte. Dns le cs présent, il vient (x 1) (x + 1) = (x 1) 2 (x + 1) : Pr conséquent Z 1 I = 1 + s 2 (x 1) jx 1j I = x + ln jx + 1j + C: 1 dx = x (x + 1) 2 ln jx 1j 1 2 ln jx + 1j + C soit encore

6 68 Primitives et Intégrles L intégrtion pr prtie. Démontrons l reltion Z X u dv = [uv] X Z X v du (5.2) où u et v sont des fonctions de l vrible x: Pr conséquent du = du dv dx et dv = dx dx dx: Nous utilisons l reltion d du (u v) = v dx dx + u dv, il vient dx [uv] X = R X d dx (u v) dx = R X conduit à l expression 5.2. L reltion 5.2 est générlement écrite sous l forme Z v du dx dx + R X u dv dx dx = R X v du + R X u dv ce qui u dv = u v Z v du (5.3) Premier exemple. Clculons R t e t : Nous posons u = t et dv = e t : Il vient donc du = et v = e t. L reltion 5.3 s écrit lors R t (e t ) = t e t R e t = t e t e t + C: Second exemple. Clculons R t 2 e t : Nous posons u = t 2 et e t = dv soit du = 2t et v = e t : Il vient donc R t 2 e t = t 2 e t R 2te t = t 2 e t 2 (t e t e t ) + C Le chngement de vrible. Le chngement de vribles est l méthode que l on rencontre le plus souvent ; c est donc l méthode l plus importnte. Démontrons l reltion suivnte Z Z F (x) := f(x) dx ) F (g [u]) = f(g [u]) dg du du (5.4) u L dé nition de F implique df df = f(x) ou encore = f(g); vec le chngement dx dg de nottion x g: df df dg Si g est une fonction de u il vient = d où du u dg g(u) du u df dg = f(g [u]) ce qui signi e que F; considérée comme une fonction de u du u du u dg (c est à dire F (g [u])) est une primitive de f(g [u]) : C est précisément le sens de du u l seconde églité dns 5.4. Premier exemple. Soit à clculer I = R ln x dx := R f(x)dx: Posons x := g(u) := e u : Il vient f(x) := ln x = ln(e u ) = u = f(g [u]) et dg dx = du = e u du. du On obtient I = R dg f(g [u]) du = R ue u du: Cette intégrle été clculée du u u prgrphe précédent : I = u e u e u + C. L reltion x = e u, u = ln x conduit à l solution I = ln x x x + C:

7 Méthodes d intégrtion 69 Plutôt que l formule 5.4 il est importnt de retenir l méthode mise en oeuvre. Pour intégrer F (x) := R f(x) dx 1. nous vons posé x = g(u) (où de fçon équivlente u = h(x) où h et g sont les fonctions inverses l une de l utre), 2. nous vons trité dx comme une di érentielle et nous vons exprimé f(x) dx en fonction de u et du; nous vons donc posé f(x) dx = f(g [u]) dg du 3. nous vons intégré R '(u) du = (u); 4. nous vons exprimé u en fonction de x : F (x) = [h(x)] : du := '(u) du; Second exemple. Soit à clculer F (x) := R x e x2 dx: 1. Posons x 2 = u: 2. Dns ces conditions du = 2x dx et x e x2 dx = 1 2 e u du (= '(u) du). 3. Il vient F = R 1 2 e u du = 1 2 e u + C: 4. Nous exprimons u en fonction de x. Nous obtenons F = 1 2 e x2 + C: Pour conclure, soulignons que les clculs d intégrtion sont prfois fstidieux tndis que les outils informtiques donnent imméditement l solution dns l pluprt des cs usuels. Cependnt, si l informtique peut résoudre les problèmes liés ux techniques de clcul, les questions conceptuelles restent essentielles. L informtique permet d ller très vite et d éviter les erreurs de clcul mis ignorer ce qu est une dérivée prtielle, une intégrle, une symptote ne permet même ps de comprendre l nture des questions qui se posent ni, fortiori, d imginer ce que peuvent en être les réponses. Avec ou sns outils informtiques, le problème à triter doit être bien formulé et l objectif du clcul clirement dé ni. En outre, il ne fut ps perdre de vue que le trvil d un ordinteur doit être contrôlé. L connissnce des méthodes courntes, l cpcité à résoudre des problèmes simples font prtie d une culture scienti que indispensble.

8 70 Primitives et Intégrles

9 Chpitre 6 LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Les équtions di érentielles sont des équtions relint une ou plusieurs fonctions vec leurs dérivées. Elles pprissent dns l pluprt des problèmes étudint les vritions d une quntité, pr exemple pr rpport u temps (évolution de popultions, mouvement d un ressort ou d un solide, décroissnce rdioctive d un élément) ou pr rpport à une longueur (bsorption des ryonnements pr l mtière). Nous llons nous intéresser à quelques équtions di érentielles prticulières. On ppelle ordre d une éqution di érentielle le degré de dérivtion de l fonction dns l éqution : une éqution du premier ordre concerne une fonction et s dérivée ; une éqution du deuxième ordre concerne l fonction, s dérivée et s dérivée seconde. On quli e ces équtions de linéires lorsqu elles sont des combinisons linéires de l fonction et de ses dérivées. Nous llons insi voir les techniques usuelles pour résoudre deux types d équtions di érentielles. NB : Nous llons considérer des équtions di érentielles à coe cients réels. Dns certins cs, les méthodes employées sont ussi vlbles si les coe cients sont complexes. 6.1 Equtions di érentielles du premier ordre, linéires, à coe cients constnts Les équtions di érentielles du premier ordre, linéires, à coe cients constnts peuvent s écrire sous l forme : df + f(x) = g(x) dx Avec constnte réelle connue et g une fonction connue de x. Nous cherchons à déterminer l fonction f(x). L méthode de résolution de cette éqution suit, en générl, deux étpes Résolution de l éqution sns second membre Ce que l on ppelle l éqution sns second membre correspond u cs où g(x) = 0. df 0 dx + f 0(x) = 0 Les solutions de ce type d éqution s obtiennent de l fçon suivnte : df 0 dx = ( ) f 0(x) =) f 0 (x) = Ce x C est une constnte réelle, elle peut prendre priori n importe quelle vleur. L solution f 0 (x) n est donc ps unique. Si l on donne une indiction supplémentire, pr exemple l vleur de f 0 (x) pour une vleur donnée de x, lors il est possible de xer l vleur de l constnte C.

10 72 Les équtions di érentielles Résolution de l éqution vec second membre Pour résoudre l éqution complète : df + f(x) = g(x) dx nous llons nous inspirer du résultt précédent. Plus précisément, on montre qu il est possible de rechercher les solutions en les écrivnt de l forme : f(x) = C(x) e x Ici, C(x) n est plus une constnte, mis une fonction de l vrible x. Cette méthode est ppelée méthode de l vrition de l constnte et est vlide dns ce cs prticulier. Il s git en fit d un chngement de fonction dns le but de nous simpli er les clculs : nous recherchons donc l expression de C(x) dont découler l expression de f(x): Nous vons donc df dx = dc dx e x C(x) e x En remplçnt l expression de f et de df dns l éqution di érentielle, nous dx obtenons df dc + f(x) = dx dx e x Soit encore C(x) e x + C(x) e x = g(x) dc dx e x = g(x) =) dc = g(x) ex Z dx C(x) = g(x) e x dx + K Z f(x) = C(x) e x = g(x) e x dx + K A condition, bien sûr, que l primitive Z e x g(x) e x dx existe, K est lors une constnte réelle. K peut prendre n importe quelle vleur à priori. Comme pour l éqution sns second membre, si l on donne une indiction supplémentire, il est lors possible de déterminer l vleur de K. Exemple : df 2 f(x) = 5 e x dx Dns un premier temps, il fut donc résoudre l éqution sns second membre, puis suivre l méthode de l vrition de l constnte. Eqution sns second membre : df 0 dx 2 f 0 (x) = 0 =) f 0 (x) = Ce 2x f 0 nous indique quelle forme doivent prendre les solutions de l éqution di érentielle vec second membre On lors f(x) = C(x) e 2x

11 Equtions di érentielles du deuxième ordre, linéires, à coe cients constnts 73 Soit df dx df dx = dc dx e2x + 2 C(x) e 2x 2 f(x) = dc dx e2x + 2 C(x) e 2x Z dc dx = 5 e x =) C(x) = 2C(x) e 2x = dc dx e2x = 5 e x 5 e x dx + K = 5 e x + K Nous vons insi les solutions de l éqution di érentielle f(x) = C(x) e 2x = ( 5 e x + K) e 2x = 5 e x + K e 2x 6.2 Equtions di érentielles du deuxième ordre, linéires, à coe cients constnts Une éqution di érentielle du deuxième ordre, linéire, à coe cients constnts peut toujours s écrire d2 f dx 2 + b df + c f(x) = g(x) dx vec réel non-nul, b et c réels xés et g(x) fonction connue de l vrible x Résolution de l éqution sns second membre Ce que l on ppelle l éqution sns second membre correspond u cs où g(x) = 0. d2 f 0 dx 2 + b df 0 dx + c f 0(x) = 0 On montre que les solutions peuvent s écrire de l forme f 0 (x) = C e rx où C est une constnte réelle. Recherchons les vleurs de r. Cel nous donne df 0 dx = r C erx d 2 f 0 dx 2 = r2 C e rx d2 f 0 dx 2 + b df 0 dx + c f 0(x) = r 2 + b r + c C e rx = 0 =) r 2 + b r + c = 0 Cette dernière éqution du deuxième degré est ppelée "éqution crctéristique" de l éqution di érentielle. Nous vons vu comment résoudre une telle éqution. Trois cs peuvent se présenter : suivnt le signe du discriminnt : := b 2 4c l éqution crctéristique peut voir deux rcines réelles, une rcine double réelle ou deux rcines complexes. Exminons chque cs. Le discriminnt est positif : l éqution crctéristique deux rcines réelles que nous ppelons r 1 et r 2. On peut montrer lors que l solution générle de l éqution di érentielle sns second membre est l combinison linéire des solutions correspondnt à chcune des rcines obtenues

12 74 Les équtions di érentielles f 0 (x) = C 1 e r1x + C 2 e r2x C 1 et C 2 sont des constntes réelles rbitrires, c est-à-dire, pouvnt priori prendre n importe quelle vleur suf si l on xe deux vleurs prticulières de l fonction f 0 (x):suivnt le signe de r 1 et r 2, l solution de l éqution di érentielle est donc une fonction exponentielle croissnte ou décroissnte ou encore une combinison des deux. Le discriminnt est nul : l éqution crctéristique une rcine double réelle que nous ppelons r 0. On peut montrer lors que l solution générle de l éqution di érentielle sns second membre est f 0 (x) = (C 0 x + C 0 0) e r0x C 0 et C 0 0 sont des constntes réelles rbitrires, c est-à-dire, pouvnt priori prendre n importe quelle vleur suf si l on xe deux vleurs prticulières de l fonction f 0 (x): Le discriminnt est négtif : l éqution crctéristique deux rcines complexes que nous ppelons z 1 = + i et z 2 = + i ( et sont des réels). Comme dns le cs des rcines réelles, on peut montrer lors que l solution générle de l éqution di érentielle sns second membre est l combinison linéire des solutions correspondnt à chque des rcines obtenues f 0 (x) = C 1 e z1x + C 2 e z2x = C 1 e (+i)x + C 2 e ( i)x = e x C 1 e ix + C 2 e ix En utilisnt l formule de Moivre, on obtient f 0 (x) = e x (K 1 cos x + K 2 sin x) Ce qui peut ussi se mettre sous l forme f 0 (x) = e x cos (x + ') où = p K K2 2 et tn ' = K 2 K 1 Il fut choisir l forme de l solution que l on préfère ; on dé nit lors, suivnt le cs, un couple (C 1, C 2 ) ou (K 1, K 2 ) ou (, ') de constntes réelles rbitrires, c est-àdire, pouvnt priori prendre n importe quelle vleur que l on peut xer vec deux vleurs prticulières de l fonction f 0 (x): Résolution de l éqution vec second membre Nous cherchons à résoudre l éqution complète d2 f dx 2 + b df dx + c f = g(x) On peut montrer que cette éqution dmet une solution générle f(x) qui est l somme de l solution générle de l éqution sns second membre f 0 (x) et d une solution prticulière de l éqution vec second membre f p (x): f(x) = f 0 (x) + f p (x) Dns l pluprt des cs, cette solution prticulière est de même type que le second membre de l éqution lui-même. Au nl, tous les solutions d une éqution di érentielle du deuxième ordre comprennent deux constntes rbitrires, de même qu il y une constnte rbitrire dns toute solution d une éqution di érentielle du premier ordre. Exemple : Nous cherchons les solutions de l éqution di érentielle

13 Equtions di érentielles du deuxième ordre, linéires, à coe cients constnts 75 d 2 f 2 5 df + 6 f = 50 cos 4t Nous pouvons remrquer que le second membre de l éqution est un cosinus. Ce genre d éqution est souvent rencontré dns les problèmes liés ux oscillteurs et ondes. Dns ce genre de problème, le coe cient devnt f est une fréquence u crré, c est l fréquence propre de l oscillteur et le coe cient devnt l dérivée de f est proportionnel à l mortissement ou u frottement que subit le système. Recherchons les solutions de l éqution sns second membre L éqution crctéristique est d 2 f df f 0 = 0 r 2 5r + 6 = 0 Le discriminnt est égl à 1 ( = = 1) Il y donc deux rcines réelles : r 1 = 2 et r 2 = 3 Nous obtenons donc f 0 (x) = C 1 e 2t + C 2 e 3t Ce sont toutes les solutions de l éqution sns second membre. Nous n vons ps d utre élément pour xer les vleurs des constntes C 1 et C 2 qui restent donc rbitrires. Remrque : Dns un problème de physique, les solutions exponentielles croissntes (comme celles que nous obtenons) ne sont générlement ps rélistes. Cet rgument su t souvent à en déduire que les constntes sont nulles. D une utre côté, si nous vions obtenu des exponentielles décroissntes, nous urions pu dire qu u bout d un certin temps, ces solutions deviennent négligebles pr rpport à l solution prticulière. Au nl, des solutions d une éqution di érentielle sns second membre dont les rcines de l éqution crctéristique sont réelles sont rrement intéressntes du point de vue physique... Cependnt nous les grdons pour résoudre notre exemple. Cherchons mintennt une solution prticulière de l éqution di érentielle d 2 f 2 5 df + 6 f = 50 cos 4t Nous cherchons une solution du même type que le second membre f p (t) = A cos 4t + B sin 4t df p = 4A sin 4t + 4B cos 4t d 2 f p = 2 16 (A cos 4t + B sin 4t) Remplçons ces expressions dns l éqution di érentielle 16(A cos 4t + B sin 4t) 5 ( 4A sin 4t + 4B cos 4t) + 6 (A cos 4t + B sin 4t) = 50 cos 4t cos 4t ( 16A 20B + 6A 50) = sin 4t ( 16B + 20A + 6B) Cette reltion doit être vrie pour toute vleur de t. Les deux prenthèses sont donc nulles.

14 76 Les équtions di érentielles 16A 20B + 6A 50 = 10A 20B 50 = 0 16B + 20A + 6B = 10B + 20A = 0 L deuxième éqution indique que B = 2A En remplçnt dns l première éqution, on obtient L solution prticulière s écrit donc 10A 40A 50 = 0 A = 1 et B = 2 f p (t) = cos 4t 2 sin 4t Au nl, les solutions de l éqution di érentielle que nous cherchons s écrivent f(t) = f 0 (t) + f p (t) = C 1 e 2t + C 2 e 3t cos 4t 2 sin 4t vec C 1 et C 2 constntes réelles.

15 Chpitre 7 FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES L espce trois dimensions et nécessite donc trois vribles (x; y; z) pour le décrire, prfois le temps peut intervenir. Dns de nombreux problèmes en physique, chimie ou biologie, il ne su t ps de svoir utiliser une fonction à une vrible pour pouvoir répondre. L thermodynmique utilise ussi un nombre de vribles élevés (pression, tempérture, volume,...). Nous llons insi nous pencher dns ce chpitre sur les fonctions de plusieurs vribles. Le cs est beucoup plus complexe que dns le cs des fonctions d une vrible. En fit, il n est ps possible de fire une étude complète d une fonction de plusieurs vribles de fçon directe. Il fut border les propriétés de l fonction suivnt di érentes pproches, pr exemple en xnt l vleur de certines vribles ou en fisnt des digrmmes 2D ou 3D. Nous llons donc voir quelques outils pour pouvoir utiliser et décrire ces fonctions. 7.1 Dérivée Dérivée prtielles du premier ordre. Soit une fonction de deux vribles f(x; y). Dns un système d xes orthonormés fox; Oy; Ozg ; nous considérons le point de coordonnées fx; y; 0g du pln xoy: En ce point, prllèlement à Oz; nous portons le point M de cote z = f(x; y): Lorsque x et y vrient, le point M décrit l surfce S: Les "lignes de niveu" sont les courbes dns le pln xoy telles que f(x; y) = z 0, z 0 étnt une constnte dé nissnt l ligne de niveu. L usge le plus cournt des lignes de niveu est l représenttion de l ltitude du relief sur une crte géogrphique. Une ligne de niveu est ussi l intersection de l surfce S vec le pln z = z 0. g. 7.1

16 78 Fonctions de plusieurs vribles Considérons le point M 0 de coordonnées x 0 ; y 0 ; z 0 := f(x 0 ; y 0 ): Coupons l surfce S pr le pln prllèle u pln xoz qui psse pr M 0 : L intersection est l courbe C 1 : Les points de C 1 ont tous l même ordonnée y 0 : Leur cote, z; dépend de leur bscisse x : z = f(x; y 0 ): On peut dériver cette fonction de x; on obtient l "dérivée prtielle" de f pr rpport à x: Cette dérivée prtielle est notée ; c est une fonction de x (x;y 0) seulement cr y 0 est xé. On peut cependnt, près voir clculé l dérivée prtielle, considérer que y 0 peut prendre une vleur rbitrire y: On obtient lors une fonction des deux vribles x et y : que l on note plus simplement : (x;y) De même, on peut dé nir l fonction : Exemple 1 : L ire d un rectngle de côtés x et y s écrit z = xy; c est une fonction des deux vribles x et y: Considérons y comme une donnée. L fonction z est lors une fonction de x dont on peut clculer l dérivée. L dérivée prtielle de z pr rpport à x = y: Et l dérivée prtielle de z pr rpport à y = x: Exemple 2 : Soit f(x; t) := x cos (t=2) : Pour clculer =; nous considérons t comme un prmètre constnt et nous dérivons l fonction de x : x 7 (x) := f(x; t) t=cte : Il vient t = cos : 2 Pour clculer =@t; nous considérons x comme un prmètre constnt et nous dérivons l fonction de t : t 7 (t) := f(x; t) x=cte : On = t 2 x sin : 2 Donnons nous les vleurs x 0 = et t 0 = : On obtient p 2 = (x 0;t 0) 2 ; Dérivées prtielles d ordre supérieurs à 1. 2 = p (x 0;t 0) 2 2 = p 2 4 Etnt donnée une fonction de deux vribles, f(x; y); les dérivées prtielles du premier ordre et sont des fonctions des deux vribles x et y. On peut les dériver à leur tour. On obtient les dérivées prtielles du second ordre. Il y en qutre. Nous en donnons l liste : f 2 f : f f Exemple : Soit f(x; y) := x 2 sin y: = 2x sin y ; = x2 cos 2 f 2 = 2 sin y 2 f 2 = x2 sin 2 f = 2x cos y 2 f = 2x cos y ;

17 Dérivée 2 f On remrque que f : Cette propriété, connue comme le lemme de Schwrtz, est très générlement véri ée pour l pluprt des fonctions que l on rencontre en physique. Selon ce lemme, l ordre dns lequel on e ectue les dérivtions est sns importnce. On peut continuer à dériver et clculer les dérivées du troisième ordre 3 f 3 = 0 3 f 2 = 2 cos y 3 f 2 = 2x sin y 3 f 3 = x2 cos y; 3 f On remrquer les églités 2 f f 2 ; ce qui est une conséquence du lemme de Schwrtz ppliqué à f et à ses dérivées. Dns le clcul d une dérivée prtielle d ordre quelconque d une fonction su smment régulière, le résultt ne dépend ps de l ordre des dérivtions Générlistion et dimensions physiques. Les résultts précédents se générlisent ux fonctions de plusieurs vribles en nombre quelconque. Si ces fonctions sont su smment régulières, leurs dérivées prtielles peuvent être clculées à un ordre rbitrire et ces dérivtions peuvent être e ectuées dns un ordre quelconque. L dérivée prtielle f est l limite du rpport x utres vribles restnt constntes. Les dimensions physiques de mêmes. lorsque x tend vers zéro, les et f x sont donc les Premier exemple. L grndeur f est l pression tmosphérique dont l vleur dépend de l position du point considéré dns l tmosphère : f = f(x; y; z): L pression s exprime en P (soit en kg m 1 s 2 ): Les vribles x; y; z s expriment en m: Les dérivées premières de f s expriment donc en P m 1 (soit en kg m 2 s 2 ): Les dérivées secondes sont les dérivées des dérivées premières. Elles s expriment donc en P m 1 m 1 = P m 2 : De fçon générle les dérivées d ordre n s expriment en P m n : Dns l n f n1 n2 ::: := D il fut considérer l f comme l vrition d une vrition d une vrition d une etc... d une vrition de f, c est à dire comme une grndeur de mêmes dimensions que f tndis que l nottion n1 n2 ::: doit être considérée comme un produit de vritions (x) n1 (y) n2 ::::: On remrquer que l somme n 1 + n 2 + ::: est égle à l ordre de vrition n: L f dimension physique de D est donc l même que celle de x n1 y n2 ::: : Second exemple. L tempérture T d une msse donnée de gz s exprime en fonction de s pression P et de son volume V : T = T (P; V ): Quelle est l dimension physique 3 T 2? Ce sont les mêmes dimensions que celles V 2. Les unités en sont P K m 6 P 1 = K kg 1 m 5 s 2 : Fonctions dérivbles deux fois à dérivées continues.

18 80 Fonctions de plusieurs vribles 7.2 Di érentielle Considérons f(x; y; z; t); fonction de qutre vribles. Soit M 0 l ensemble des 4 vleurs données (x 0 ; y 0 ; z 0 ; t 0 ): On dé nit l di érentielle de f; en M 0 ; de l fçon suivnte df := dx + dy L di érentielle df est une fonction linéire des 4 vribles rbitrires dx; dy; dz et tndis que les dérivées prtielles sont des constntes clculées en M 0 : L dé nition se générlise à un nombre quelconque de vribles. Dns le cs des fonctions d une seule vrible on retrouve l dé nition de l section précédente. On remrquer que mêmes dimensions que f=x tndis que dx mêmes dimensions que x: Pr conséquent dx mêmes dimensions physiques que f: On en déduit que l di érentielle de f mêmes dimensions physiques que f: Exemple. Soit à clculer l di érentielle de f(x; y) = x 2 y en x 0 = 1; y 0 = 2: = 2xy ; = 4 ; 0 df = 4dx + dy en M 0 (1; 2) = x2 ; = 1 ) 0 L vleur numérique de df s obtient lors en remplçnt dx et dy pr leur vleur numérique. Si on ne spéci e ps l vleur numérique de x 0 et y 0 on écrit (en bndonnnt l indice 0 ) df = 2xy dx + x 2 dy et de fçon plus générle f = f(x; y; z; :::) ) df := dx + dy dz + ::: En physique on est souvent conduit à étudier de petites quntités notées prfois G ou dg: Ce ne sont ps nécessirement les di érentielles d une fonction. Mis lorsque dg est l di érentielle d une fonction, pour insister sur ce point qui s vère souvent importnt, on spéci e que c est une di érentielle totle. Etnt donnée une forme di érentielle G = A(x; y) dx + B(x; y) dy le lemme de Schwrtz fournit une condition nécessire pour que ce soit une di érentielle totle. En e et si G est l di érentielle d une fonction f; lors A(x; y) = et B(x; y) ; ce qui implique f f : Il en découle A(x; y) = B(x; y) On peut démontrer que cette condition nécessire est églement su snte.

19 Expressions remrqubles 81 Dns le cs de fonctions de plusieurs vribles, les petites vritions sont prtiquement égles ux di érentielles. Plus précisément soit f(x; y; z) une fonction de trois vribles. Les vribles subissent les vritions x = +x; y = b b+y; z = c c+z: L fonction f subit lors l ccroissement f; correspondnt : f(; b; c) f( + x; b + y; c + z) := f(; b; c) + f: Lorsque x = dx; y = dy, z = dz;... sont ssez petits, il vient f ' df := dx + dy dz + ::: Premier exemple. Nous voulons clculer K = 1; 1 p 4; 2: Nous posons f(x; y) = x p y: Ce qui donne K = f(x; y) pour x = 1; 1 et y = 4; 2: Il est isé de clculer f(; b) pour = 1 et b = 4: Nous posons donc = 1; b = 4; dx = 0; 1 et dy = 0; 2: K = ( + dx) p b + dy = p b + f vec f ' df: Le clcul donne f(; b) = 2 et df = dx + dy vec = p y et = x 2 p y : Ici il vient df = p b dx + 2 p dy = 2dx + 0; 25 dy = 0; 2 + 0; 05 = 0; 25 d où K ' 2; 25 (le b résultt exct est 2,254...). Deuxième exemple. L ire, F; d un rectngle de côtés x et y est F = x y: g. 7.2 Le rectngle intérieur de l gure 7.2 pour ire F 0 = b: Le rectngle extérieur pour ire F 1 = ( + ) (b + b). L vleur excte de l ccroissement est F = F 1 F 0 = ( b + b ) + b: C est l ire de l bnde grise (gris clir et gris foncé) entre les deux rectngles. F est l somme de deux termes. Le terme ( b + b ) ne contient que des termes du premier degré reltivement ux ccroissements et b : c est le terme du premier ordre. Le terme b est du second degré pr rpport à et b : c est le terme du second ordre. L di érentielle de F en (x = ; x = b) est df = dy+b dx; s vleur pour dx = et dy = b est df = b+b : C est l ire des qutre rectngles gris clir. L di érentielle de F fournit le terme du premier ordre de F: En posnt F ' df on commet une erreur bsolue du second ordre, e = b. C est l ire des qutre rectngles gris foncé. Lorsque les vritions sont petites ( << et b << b) cette erreur est négligeble comprée u terme du premier ordre que constitue l di érentielle. 7.3 Expressions remrqubles Soient u et v deux fonctions d une ou plusieurs vribles et une constnte. En utilisnt les dé nitions et les propriétés précédentes on obtient

20 82 Fonctions de plusieurs vribles u = cte () du = 0 d(u v) = u dv + v du d(u + v) = du + dv u v du u dv d = v v 2 d (u n ) = n u n 1 du d ln juj = du u 1 Exemple. Le clcul de d peut se fire de diverses fçons. h L reltion d (u n ) = n u n 1 du vec n = 1 et u = h donne 1 d = d h 1 = h 2 dh = 1 h h 2 dh: u v du u dv L reltion d = v v 2 d vec v = h et u = 1 (et donc du = 0) donne 1 = dh h h 2 : Considérons l quntité F = u n v m :: Il vient ln jf j = n ln juj + m ln jvj + :: Nous clculons les di érentielles de chque membre (ce que l on ppelle l di érentielle logrithmique de F ). En utilisnt les reltions d ln jf j = df F insi que d ln juj = du dv et d ln jvj = u v ; nous obtenons F = u n v m :::: =) df F = n du u + m dv v + ::: (7.1) Exemple. F = y p x= (x + 1) : On écrit F = y x 1=2 (x + 1) 1 : L reltion 7.1 s écrit df=f = dy=y + 1 2dx=x d (x + 1) = (x + 1) : Avec d(x + 1) = dx; on obtient df F = dy y + 1 x 2x (1 + x) dx: 7.4 Clcul d incertitudes Rppels Le résultt d une mesure est en générl donné sous l forme F = f f Pr exemple pour un longueur : F = 5; 231 m m: L incertitude bsolue sur l mesure est f ; c est une grndeur positive tndis que f est l estimtion de l grndeur mesurée. Une telle expression même signi ction que les inéglités f f < F < f + f On dé nit ussi l incertitude reltive f = jf j : L vrie vleur de F n est ps connue, on estime donc l incertitude reltive u moyen de l grndeur f = jfj.

21 Clcul d incertitudes 83 L incertitude bsolue s exprime vec les mêmes unités que f; pr contre l incertitude reltive est un nombre pur, sns unités. Il ne fut ps confondre incertitude et erreur. L erreur, e; est dé ni pr l reltion e := f F ; elle est inconnue. Si e étit connue, F = f e serit connu sns incertitude cr f est connu. Pour déterminer les incertitudes, on peut estimer un mjornt des erreurs. On peut ussi répéter plusieurs fois l même mesure et pprécier les petites vritions des résultts obtenus. Cette méthode conduit à l notion d incertitude stndrd Clcul d incertitudes Considérons une grndeur physique, F; fonction de deux vribles, x et y; que l on mesure. Le résultt des mesures fournit les estimtions ex et ey des vries grndeurs x et y: Nous posons x = ex + x et y = ey + y: Nous ne connissons ni x ni y: Nous svons seulement que ces quntités stisfont les reltions jxj < x et jyj < y: Les incertitudes x et y sont connues ou tout u moins estimées convenblement. De tels résultts s expriment sous l forme x = ex x et y = ey y: Nous cherchons à estimer F et son incertitude. L quntité F e := F (ex; ey) est une estimtion de F: Au premier ordre F := F F e ' df: Il vient donc F ' F e + df = + x + y: (ex;ey) (ex;ey) L seule indiction que nous yons est jxj < x; c est à dire x < x ce qui implique x x < (ex;ey) (ex;ey) De même y y < (ex;ey) (ex;ey) y: (ex;ey) En dditionnnt membres à membres les inéglités précédentes nous obtenons F < df < F F := (ex;ey) x (ex;ey) y Pr conséquent il vient F = e F + F vec jf j ' jdf j < F: On écrit ce résultt sous l forme F = e F = L quntité F est une estimtion de l incertitude sur F: Exemple. F = y p x= (x + 1) vec y = 1 0; 1 et x = 4 0; 2 soit F e = 2 5 ; 1 2 (1 + x) 2 p y; = x 100 ; = x= (x + 1) ; (ex;ey) On en déduit F = ; ; 1 = 0; 046 ' 0; 05: 5 F ' 2 0; 05 = 0; 4 0; 05 5 On peut ussi opérer de l fçon suivnte : (ex;ey) = 2 5 :

22 84 Fonctions de plusieurs vribles F=F ' y=y + 1 2x=x (x + 1)=(x + 1): Au voisinge de x = ex = 4 et y = ey = 1 il vient F=F ' y x 1 5 x = y 3 40 x: Avec F ' F e = 2 on obtient l petite vrition de F due ux vritions de x et 5 y : F = F e 3 y 40 x = 2 5 y x: Les reltions jxj < 0; 2 et jyj < 0; 1 permettent d obtenir le minimum de F (pour y = 0; 1 et x = 0; 2) et le mximum de F (pour y = 0; 1 et x = 0; 2): On obtient lors 0; 046 < F < 0; 046 ce qui est le résultt précédent. On remrquer que les incertitudes sur p x et sur 1= (x + 1) ne s dditionnent ps. Ce sont les petites vritions possibles qui s dditionnent. 7.5 Di érentielles et dérivées de vecteurs L un des domines d ppliction des vecteurs en physique est l étude des mouvements. A n d étudier le mouvement d un mobile, il fut décider ce qu est un référentiel xe : nous devons choisir une origine, O; et un trièdre orthonormé ( u x ; u y ; u z ) que nous déclrons être xes. Les mouvements étudiés seront lors les mouvements pr rpport à ce référentiel. Comment choisir concrètement le référentiel xe? Les critères sont soit de nture mthémtique, dns ce cs c est une question de dé nition et de vocbulire, soit de nture physique et lors l recherche d un référentiel xe s identi e à l recherche d un référentiel privilégié dns lequel les lois de l physique seront ussi simple que possible. Longtemps on considéré que le référentiel lié à l Terre étit le bon référentiel. C étit cceptble pour décrire l physique terrestre mis ps pour comprendre les mouvements des plnètes. Le repère héliocentrique s impos. De toutes fçons, vec l méliortion des performnces expérimentles, il urit fllu bndonner le repère terrestre, en l bsence même de toutes considértions stronomiques Dé nitions. Le référentiel xe étnt choisi, considérons un mobile ponctuel, M: Le vecteur OM vrie vec le temps (ses composntes (X; Y; Z) sont des fonctions du temps). On peut, sns considértion de temps, imginer églement des vecteurs dont les coordonnées sont fonction d un ou plusieurs prmètres. Pr exemple, le vecteur u ' introduit ci-dessus ( g. 4.3) est fonction de l vrible '; tndis que les vecteurs u r et u dépendent des deux vribles et ': Considérons le vecteur V = X u x + Y u y + Z u z dont les composntes sont des fonctions de l vrible t: L di érentielle de V est le vecteur d V d V := dx u x + dy u y + dz u z d V représente l vrition du vecteur V lorsque ses composntes vrient respectivement de dx; dy; dz: L dérivée de V pr rpport à t est, pr dé nition, d V := dx u x + dy u y + dz u z

23 Chmps de vecteurs Propriétés. Les propriétés des di érentielles et des dérivées sont résumées ci-dessous. d V d + f W = d V + df W + f d W =) V + f W = d V + df W + f d W (7.2) où f = f(t) est une fonction de l vrible t. d V d W = d V W + V d W =) V W = d V W + V d W (7.3) d V d ^ W = d V ^ W + V ^ d W =) V ^ W = d V ^ W + V ^ Exemple. Le vecteur u = cos ' u x + sin ' u y (cf. g. 4.3) est un vecteur de norme constnte dont l dérivée pr rpport à ' est le vecteur d W d u d' = sin ' u x + cos ' u y = u ' : On peut véri er que u ' est orthogonl à u : C est générlement le cs lorsqu on dérive un vecteur de norme constnte. En e et, soit u = u (t) tel que u u = C et n := d u : L reltion u u = C implique d ( u u ) = 0: En utilisnt l reltion 7.3 il vient 0 = d u u + d u u = 2 u n : Les vecteurs n et u sont donc orthogonux Chmps de vecteurs Certines grndeurs physiques sont représentées pr des vecteurs, c est le cs de l vitesse d un mobile ponctuelle, de son ccélértion ou de l force qui git sur un solide. Prfois, l connissnce du vecteur ssocié à une grndeur physique ne su t ps à s description. Dns le cs d une force, si nous connissons le vecteur ssocié F, c est à dire s direction, son sens et son intensité, nous ne pouvons ps prédire complètement son e et tnt que nous ne connissons ps son point d ppliction, A: On dé nit l ligne d ction de l force comme l droite, D; prllèle à F qui psse pr A: L expérience montre que l force F ppliquée en un utre point n B de s ligne d ction produit le même e et. Une F o force est donc dé nie pr l ensemble ; D on dit que c est un vecteur glissnt cr on peut fire glisser l force le long de s ligne d ction sns en modi er l e et. Considérons mintennt le cs d une réprtition donnée de chrges électriques. Nous disposons d une chrge ponctuelle q que nous déplçons à volonté. En chque point, l chrge q est soumise à une force F ; résultnte des ttrctions et des répulsions de l

24 86 Fonctions de plusieurs vribles réprtition de chrges donnée. L force F dépend du point M où nous plçons l chrge q; c est une fonction des coordonnées, x; y; z de M: On dit que l on est en présence d un chmp de force. Le vecteur qui représente l force n ps de signi ction physique indépendmment du point n M où se situe l chrge q sur lquelle s exerce cette force. F o C est donc l ensemble ; M qui un sens physique. L force est représenté ici pr un vecteur lié. Un chmp de force est donc décrit pr un ensemble de vecteurs liés Circultion d un vecteur. Considérons une courbe C le long de lquelle est dé ni un vecteur F en chque point. Soit s l bscisse curviligne d un point cournt, M et u le vecteur tngent unitire à l courbe en ce point. Le vecteur F dépend du point M considéré : F est donc une fonction de s: Il en est de même de u : g. 7.3 On pose dw = F u ds: L circultion, W AB=C, du vecteur F le long de l courbe C de A à B est l intégrle de dw W AB=C = Z sb s A F u ds Lorsque F est une force dont le point d ppliction est M; l circultion est ppelée trvil de l force F : Exemple. Considérons le chmp de vecteurs F (x; y; z) = y u x où est une constnte positive. Nous considérons les deux courbes, (1) et (2); de l gure 7.4 qui relient l origine O u point Q de coordonnées (`; `) g. 7.4

25 Chmps de vecteurs 87 Sur l gure 7.4 nous vons représenté quelques uns des vecteurs du chmp considéré. L origine de chque vecteur représenté est le point de coordonnées (x; y; z) où F = F (x; y; z) été clculé. Le long de ON les vecteurs sont nuls (cr y = 0): Le long de NQ le vecteur F est orthogonl u vecteur u en tout point. Pr conséquent, dw = F u ds = 0 en tout point de l courbe ONQ et W ONQ = 0: Le long de OQ; le vecteur tngent unitire est u 1 = p 2 2 ( u x + u y ) en chque point. Nous choisissons l origine des bscisses curvilignes en O: Il vient y = s p 2 2 en chque point d ordonnée y de l courbe OQ: On en déduit ds = p 2dy: En ce même point F u 1 = y p 2 2 : On en déduit dw = F u 1 ds = y dy: Ce qui implique W OQ = R y Q y O y dy vec y O = 0 et y Q = `: En intégrnt on trouve W OQ = 1 y2` 2 = 1` = W ONQ On en déduit que l circultion d un chmp de vecteurs entre deux points dépend le plus souvent du chemin emprunté. Remrquons que pour clculer l circultion d un vecteur le long de OQ; il n est ps nécessire que ce vecteur pprtienne à un chmp de vecteurs mis seulement qu il soit dé ni en tout point de OQ: Nous llons mintennt étudier un cs importnt où l circultion d un chmp de vecteurs ne dépend que des points A et B et non du chemin entre A et B: Grdient d une fonction. Considérons une fonction des coordonnées V (x; y; z): Nous dé nissons le chmp de vecteurs grdient de V : grd [V ] u x u u z Exemple. V (x; y; z) = 1=r où r = p x 2 + y 2 + z 2 (c est l coordonnée rdile de l représenttion sphérique introduite en 4.1 B-). Le clcul = x r = y = z r : On en déduit grd [r] = x u x + y u y + z u z := u r r r r grd 1 r = u r 2 x u y u z = 1 r 2 r où u r est le vecteur rdil de l représenttion sphérique. Cherchons l di érentielle de V: On véri e directement l reltion dv dx dz = grd [V ] d OM (7.4) où d OM = dx u x + dy u y + dz u z :

26 88 Fonctions de plusieurs vribles L circultion, W; du vecteur grd [V ] le long d une courbe, entre les points A et B; s exprime sous l forme W := R s B grd [V ] u ds L fonction V et son grdient dépendent de l position, sur l courbe, du point M où ils sont clculés : ce sont des fonctions de l bscisse curviligne s du point M: Le vecteur u est le vecteur unitire tngent à l courbe : u = d OM. C est églement une s A fonction de s: Le vecteur u ds est l di érentielle de d OM = d OM OM: En e et ds OM = OM(s) ) ds ds := u ds: En utilisnt l reltion 7.4 il vient grd [V ] u ds = grd [V ] d OM = dv. L reltion 5.1 implique W = R s B s A dv = V (s B ) V (s A ): V (s) est l vleur de V u point d bscisse curviligne s pr conséquent V (s B ) V (s A ) = V (B) V (A) ne dépend que de A et B et non du chemin intermédiire : Z B A grd [V ] u ds = V (B) V (A) Exemple. Soit le chmp de vecteurs F = y u x + x u y := F x u x + F y u y : Si F est le grdient d une fonction V; le lemme de Schwrtz implique : F x et F y x = V V y=: Cette condition est nécessire ; il s vère qu elle est églement su snte. x = = y = =) le chmp de vecteur est le grdient d une fonction, V (x; y; z). On dit que F dérive du potentiel V: Pour clculer, pr exemple, l circultion entre les points O(0; 0) et Q(`; `) on peut choisir un chemin prticulier et clculer l circultion W le long de ce chemin cr le résultt ne dépend ps du chemin choisi. On peut ussi chercher le potentiel V: Dns ce but on considère que y est une constnte (rbitrire mis donnée). Le potentiel V est donc une fonction de x : V (x; y) y=cte = (x): Pr conséquent d dx = y. En intégrnt il vient V = = yx + C (cr, ici, y est une constnte). L constnte d intégrtion C est constnte dns les conditions considérées, c est à dire dns des conditions telles que seul x vrie. C est donc éventuellement une fonction de y (mis non de x): On en déduit V (x; y) = yx + C(y): On considère mintennt que y seul vrie et que x est mintenu constnt. L dc = x s écrit x + = x soit dc dy = 0: dy L quntité C; susceptible d être une fonction de y seulement, est en fit une constnte cr s dérivée (pr rpport à y est nulle). On trouve donc V = xy + cte. L circultion de F entre O et Q vut V (Q) V (O) = x Q y Q x O y O = `2: Remrque importnte. Si une fonction V est constnt, cel signi e que V n est ps une fonction de x; c est à = 0 et de = 0 d où grd [V ] = 0 () V = cte N.B. On trouve souvent l écriture rf pour grd [f] que nous vons utilisé ici.