Concours Commun Mines Ponts option MP

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1 Concours Commun Mines Ponts option MP Plnche 1 I bordble en Sup I) Un système est constitué d une plnète (msse M, centre O, ryon R) et d un stellite (nturel) (msse M, ryon R, centre O ), vec OO = l. On suppose que M <M, R <l. L trjectoire du stellite étnt circulire, clculer s vitesse ngulire. L rottion propre du stellite est supposée synchronisée vec celle utour de l plnète : un point A à l surfce du stellite tel que O, O,Asoient lignés et dns cet ordre rester dns cet lignement. Si on pose un point mtériel de msse m en A, montrer qu il reste posé si lmin > lr, vec lr à exprimer en fonction de l msse volumique du stellite et de M. Même question vec un point mtériel posé en B tel que O, B, O soient lignés dns cet ordre. Conclusion? II) On donne un biprisme, de petit ngle A, écliré pr une onde plne monochromtique sur s plus grnde fce (l section du biprisme forme donc un tringle isocèle plti de sommet tourné vers l écrn). Trouver l figure d interférences. Plnche 2 bordble en Sup I) Pour le circuit ci-contre, on donne C = 10 nf et R = 10 k Ω. Le cournt d entrée est de l forme représentée ci-contre, vec I = 100 ma. Donner ir(t) pour T = 10 2 s puis pour T = 10 6 s. i(t) i(t) I -I i R (t) i C (t) R C II) Un ressort, de rideur k et de longueur à vide l0 est suspendu dns une enceinte dibtique de volume V0 contennt n moles T t de gz prfit, à tempérture T0, pression P0. On ccroche à son extrémité une msse m de cpcité thermique C1. À tout instnt t, msse et ir ont même tempérture. Donner l position d équilibre de m, notée ze. On écrte l msse de s position d équilibre ; à t = 0, z = ze + z0 vec ż = 0. L ir génère des frottements visqueux F = λ v. Qund t tend vers l infini, l msse s immobilise. Donner T (t) et T1. Plnche 3 I) Cours : réseu pln. II) On donne l conductivité γ, e, NA, M(Ag), l msse volumique et I. L T 1 Clculer l densité volumique de chrge mobile (une chrge pr tome) Clculer j, E, l vitesse v m de chrges mobiles et l puissnce volumique dissipée. Plnche 4 I) Cours : effet d un chmp mgnétique extérieur sur un imnt. II) Trouver, pour une incidence fible, l ngle de dévition à trvers un prisme d ngle fible A. On utilise le dispositif ci-dessous vec une source monochromtique de longueur d onde λ : T T 0 j t L Officiel de l Tupe numéro /2007 Pge 1 c MMVI Éditions Officiel de l Tupe Gyroscope

2 Y. M A Ṣ O X h d Trcer les ryons lumineux rrivnt en M. Où se trouvent les sources fictives? Trouver l distnce qui les sépre. Trouver l différence de mrche, l interfrnge, etc. Déterminer le nombre d interfrnges visibles. Que se psse-t-il si on plce une plque de verre sur l moitié inférieure du prisme? L Officiel de l Tupe numéro /2007 Pge 2 c MMVI Éditions Officiel de l Tupe Gyroscope z

3 Concours Commun Mines-Ponts option MP Plnche 1 I) Un cylindre de msse m1, de moment d inertie J utour de son xe, est posé sur un bloc de msse m2. Il y frottement de coefficient f entre le cyclindre et le bloc et il n y ps de frottement entre le bloc et le sol. Chque élément est initilement immobile et, à t = 0, on exerce une force F constnte sur le bloc, perpendiculirement à l xe du cylindre. Crctériser les mouvements respectifs du bloc et du cylindre. II) On nlyse un filtre d ordre 2 ; on dispose des ) deux relevés ci-contre où l voie 1 représente l entrée et l voie 2 l sortie. Pour le premier relevé l bse temps est 10 µs/cv, pour le second 0, 1 ms/cv (on donne ussi les V/div des deux voies). Crctériser le filtre donné. On rppelle l décomposition de Fourier d un créneu : A = A0 pour 0 t T 2, et A = 0 si T 2 t T. voie 1 voie 2 b) voie 1 voie 2 Alors : S(t) = A A 0 π sin ( (2n + 1) t ) 2π 2n +1 n=0 Plnche 2 I) Cours : système de deux points mtériels isolés, réduction du problème à deux corps à un seul corps. II) Donner les expressions des équtions de Mxwell dns le vide. En donner une interpréttion sous forme intégrle. Qu est-ce qu un conducteur prfit? Donner les conditions de pssge des chmps mgnétique et électrosttique. Qu obtient-on si on considère l trnsition vide/conducteur prfit? Soit le guide d onde ci-contre. Le chmp donné pr Ex = Ez = 0, Ey = E0 sin πx sin(ωt kz) vérifiet-il les conditions de pssge? Montrer qu il vérifie l éqution de Mxwell- Guss. Déterminer les composntes sptiles du chmp mgnétique B. Déterminer l reltion lint k, ω, c, pour que ( E, B) soit une onde électromgnétique, c représentnt l vitesse de l lumière dns le vide. Définir et clculer Vφ,Vg, vitesses de phse et de groupe. Clculer le vecteur de Poynting moyen et en déduire le biln énergétique du système. Plnche 3 I) Une bobine de N spires, de surfce S, mobile pr rpport à l xe uz est trversée pr un chmp mgnétique B de norme constnte mis de direction vrible. On α(t) =Ωt, β(t) =Ω t. 1. Justifier qulittivement l existence d un couple Γ. 2. Si Ω = Ω, que vut < Γ >? 3. On suppose Ω Ω. Exprimer φl en fonction de φ0 =BNS et de ω =Ω Ω. 4. Justifier physiquement que i(t) est sinusoïdle de pulstion ω. x B b β(t) z n y α(t) ux L Officiel de l Tupe numéro /2006 Pge 1 c MMV Éditions Officiel de l Tupe Gyroscope

4 5. On pose i(t) =I cos(ωt + φ) =Ri = R(Ie jωt ). Exprimer I en fonction de ω, L, φ0,r. 6. Exprimer le couple instntné Γ= Γ uz puis s vleur moyenne (on pourr remrquer que I sin φ est l prtie imginire de I). 7. Trcer Γ en fonction de ω. II) Pour le dispositif ci-dessous, clculer I(X, Y ) et représenter l imge observée à l écrn. S.... f f b Y O.. M(X,Y,0) X Déterminer l éqution différentielle en Ti(t) et l résoudre pour Ti(0) = Te. clculer l puissnce nécessire pour mintenir l tempérture de l mison à Ti =0 C (données numériques mnquntes). Plnche 5 I) On étudie le sut d un plongeur, modélisé pr un cylindre homogène de msse m et de huteur 2, dns une piscine. Le plongeur est debout sur le plongeoir et se lisse tomber. Déterminer à prtir de quel ngle il quitte le plongeoir. Il effectue un sut périlleux (θ vrie de 3π). Déterminer l vitesse v0 à lquelle il entre dns l eu. Déterminer l huteur minimle du plongeoir pour qu il puisse fire un sut périlleux. Le plongeur s enfonce dns l eu, où il subit des frottements dont le coefficient est donné. Déterminer quelle doit être l profondeur minimle de l piscine. II) Cours : fentes et trous d Young. Plnche 4 I) On impose une différence de potentiel U = V (R2) V (R1) > 0 entre deux électrodes coxiles de ryons R1 < R2, insi qu un chmp mgnétique uniforme B0, prllèle à leur xe. L électrode intérieure emet des électrons à une vitesse négligeble. Montrer que l on peut définir une énergie potentielle effective rdile E(r) et déterminer suivnt les cs le mouvement des électrons en indiqunt une vleur limite du module de B0 à U fixée. II) Les murs extérieurs d une mison de cpcité thermique totle C, de cpcité thermique négligeble devnt C, ont une résistnce thermique totle Rth. Le chuffge fournit une puissnce thermique P. On suppose l tempérture intérieure, Ti(t) uniforme, et l tempérture extérieure Te constnte. Plnche 6 I) 4 chrges sont plcées en (, 0), (, 0), (0,), (0, ). Le potentiel u voisinge de 0 est de l forme : V (x, y) =K0 + K1x + K2y + K3x 2 + K4y 2 + K5xy. Que peut-on dire des constntes K0,...,K5? Clculer K3. On plce une prticule m de chrge q en (x0, 0), vec x0 <, vec une vitesse v0 = v0 y. Donner x(t) et y(t). À quelle condition sur v 0 -t-on une trjectoire circulire? Cette condition étnt rélisée, on observe en fit que r(t)décroît cr tout dipôle chrgé et en rottion ryonne de l énergie. L puissnce émise est µ ( 0 q d v )2. Que peut-on en déduire pour r(t)? 6πc dt L Officiel de l Tupe numéro /2006 Pge 2 c MMV Éditions Officiel de l Tupe Gyroscope

5 II) Les deux cylindres en rottion ci-contre ont pour prmètres respectifs : m2,ω2, c, T2,J2 = m2 2 2 pour celui du hut, m1,ω1, c, T1,J1 = m1 2 2 pour celui du bs, où c est l chleur mssique. le système complet est isolé et clorifugé. ω 1 ω 2 À l issue d une mise en contct progressive des deux cylindres, on obtient le système ci contre, de prmètres m1 + m2,ωf, c, Tf. Que vut Tf? ω f L Officiel de l Tupe numéro /2006 Pge 3 c MMV Éditions Officiel de l Tupe Gyroscope