1.1 Exercice 1: c) q 1 = q 2 = C et le sens du transfert est de q 2 q 1. b) q 1 = q 2 = C et le sens du transfert est de q 1 q 2.

Transcription

1 Niveu : MI, S : 435-3/4 Module : PHYS : Electricité & Mgnétisme TD : Série Electrosttique Solutions 8 Eercice 7: 5 9 Eercice 8: 7 Série Tble des mtières Série Eercice : Eercice : 3 Eercice 3: 4 Eercice 4: 3 5 Eercice 5: 4 6 Eercice 6: 5 7 Eercice 7: 6 8 Eercice 8: 7 9 Eercice 9: 7 Eercice 9bis: 8 Eercice : 9 Eercice : 3 Eercice : 4 Eercice 3: 5 Eercice 4: 6 Eercice 5: 4 7 Eercice 6: 4 Remrques : rppeler que le constnt de Coulomb K = def /4πɛ = 9 9 Nm /C où ɛ = 885 C /Nm Eercice : Si les sphères conductrices ont des chrges q et q vnt fit en contct, puis prés fite en contct leurs chrges deviennent en tennt compte du fit que les deu sphères sont identiques q = q = q + q, les électrons volez de l sphère vec moindre positivité à l sphère de positivité supérieur Donc : q = q = 8 C et le sens du trnsfert est de q q b q = q = 55 8 C et le sens du trnsfert est de q q c q = q = 5 8 C et le sens du trnsfert est de q q Utiliser eme loi de Newton pour les forces en présence qui sont à l équilbre : F E + P + T = de 8

2 Puis fire une projection sur lés es O et Oy : O : F E = T sin θ, Oy : P = T cos θ Rppeler que F E = Kq q /r, où r = et q = q = q, et que P = mg Ainsi F E = P tn θ Kq = mg tn θ 4 L ngle θ est suffismment petit implique que tn θ θ sin θ = /l De là Kq 4 mg l AN : pour les trois cs précédents : r = 7 6 m b r = m r = Kq 3/ l 4mg Diviser l une pr l utre, Résoudre l éqution on trouve F v = 8 F p 36 = 3 = 4 q q q + q q = q 3 ± ı Prce que l chrge est physiquement réel, lors q = q 3 Remplcer dns l epression de F v on trouve fcilement les vleurs des deu chrges, q = Fv d 3K = 8 7 C, q = C c r = m Eercice : Soient q et q les chrges électriques des deu sphères vnt fites en contct, qui sont oppossées Leurs chrges électriques prés fites en contct sont voir Eercice : q = q = q + q / Ainsi, les forces d ttrction vnt le contct et de répulsion prés le contct sont donnés pr leur mgnitudes : F v = K q q d, F p = K q q d = K q + q 4d 3 Eercice 3: Le chmp électrique u point C est l somme des deu chmp E A et E B u point C principe de superposition : E C = E A r C + E B r C, = K Q K Q/9 d, = KQ 9d, où Q A = Q C = Q, Q B = Q/9 et les distnces AC =, AB = d BC = d de 8

3 E B E A Q Q Q9 A C B d q q P E E E C est dns le +ve direction si l quntité dns le crochet est positif Ce d dernier est positif si d > 4 3 ou d < 3 E E q q P Mis l chrge C est strictement entre A et B, donc l solution cceptble est d > 4/3 < 3 4 d Et pr conséquent, E C est dns l -ve direction si En outre, le chmp E C est nul qund d > 3 4 d = 3 4 d L force électrosttique qui s eerce sur l chrge Q C est donnée pr : F C = Q C EC = Q E C = KQ 9d L chrge Q C est en équilbre si FC = Donc l position du point C en function de d est correspond à l position où E C est nul = 3 4 d 4 Eercice 4: Le chmp électrique u point P est donnée pr principe de superposition : E = E + E, > d : E q = K + q d, < < d : Eb q = K q d Puisque les deu chrges sont positifs, le chmp E est toujours dns l +ve direction Le chmp E b, d utre prt, n est dns l +ve direction que si q > q d Résoudre línéglité, en rppelnt que d > >, on trouve < q q + q d = Ainsi, le chmp E b est dns l -ve direction si > d + 3 d de 8

4 Et finlement le chmp E b est nul si 5 Eercice 5: q 3 O q q d = + = 37 m Le chmp électrique crées pr les trois chrges sur l e o est : E = E + E + E 3 Avnt que l on clcule les chmps, on trouve d bord les distnces géométriques des trois chrges du point d origine O et du point P d bscisse sur l e O On P E Α Α E oq = oq = oq 3 = + =, P q = r = +, P q = r = +, P q 3 = r 3 = + E 3 y Puis E = K q r r = E = K q r r = E 3 = K q 3 r3 r 3 = K q + cos α sin αŷ, K q + cos α + sin αŷ, K q 3 +, où α est l ngle entre r, r et l e O et elle est égle à cos α = / + Sommer les trois chmps on obtient on remrque que q = q = q et q 3 = q E = K q 3/ b- Pour une chrge q 4 = 3q plcée u point O ie, =, l force qui s eerce sur q 4 pr les trois chrges q, q, q 3 est simplement - Méthode I : F 4 = q 4 E = = 3K q 4 K q = Le potentiel électrique crée pr les qutre chrges en tout point de l e O est donnée pr l intégrle V = E dl, 4 de 8

5 où dl = d et E = E + E + E 3 + E 4 = E + E 4 Il ne reste qu à clculer E 4 vnt de clculer l intégrle, Donc E = K q et puis le potentiel devient V = K q E 4 = 3K q 3/ + + 3/ + + Intégrer chque prtie sur s propre, + 3, + 3/ d = = + / + d = + / = + 3 d = 3 = 3 3 d / +, / +, Méthode II : On utilise le principe de superposition, 4 V = V i, où i= V = V = V 3 = V i = K q r, +K q / +, +K q / +, +K q / +, V 4 = 3K q On joute les potentiels : V = K q / + + / Eercice 6: Cet eercice trite de dipôle électrique système de deu chrge oppossée s sseynt à une distnce d = de l utre Le chmp à un point M de l une des méditrices bscisse z est donnée comme d hbitude pr Donc l forme finle de potentiel est V = K q / + + / + 3 Remrquez que E et de même V puisque l chrge q 4 est stué à l origine o = où E = E + + E, E + = K q z cos βẑ + sin β, + E = K q z cos βẑ + sin β, + 5 de 8

6 M z Β E E Rppeler que E dl = E d + E y dy + E z dz = E d où on remrque que pour E M les composntes E z = E y = Puis V = = E d, K p = + z 3/ d, z =, où V = q O q Méthode II : Encore une fois on utilise le principe de superposition, V = +K q + z K q + z = où l ngle β est donnée pr sin β = Le chmp totle u point M est donc E M = où le moment électrique p = q d et d = Méthode I : + z K q + z 3/ = K p + z 3/ Le potentiel u point M =, z peut donc être trouvé vi l intégrle M V = E dl 7 Eercice 7: Le chmp électrique u point O, centre du cré, est E O = E + E + E 3 + E 4, où les différents chmps pour les chrges q = +q, q = q, q 3 = +q, q 4 = q, sont E = K q cos θ sin θŷ, E = 4 K q cos θ + sin θŷ, E 3 = 4 K q cos θ + sin θŷ, E 4 = K q cos θ sin θŷ, 6 de 8

7 où θ = 45 Ainsi, E O = 4 K q sin θŷ = K q ŷ = 3 ŷ N/C Le potentiel u point O est utiliser l électrosttique forme de potentiel K Q/r où r = / V O = 8 Eercice 8: 4 K q V io = + + = i= Si on prend le potentiel à l infini pour être V = et le point P à l origine P P =, y P = puis V P = 4 K q P + y P = Principe de superposition des potentiels électrosttique des chrges ponctuelles, V = V + V + V 3, K q = + + = Similire à Eercice 7, on : E P = E + E + E 3 où q = q = +q, q 3 = q et on choisir es O et y Oy ient leur origine u point P et α = 45 Ainsi, E = K q cos α sin αŷ, E = K q cos α + sin αŷ, E 3 = 4 K q cos α sin αŷ E P = 4 K q + ŷ On peut clculer le potentiel électrique u point P P, y P en utilisnt deu méthodes : Intégrtion de chmp E P, V P = P = 4 K q E dl = P d + P yp yp E d dy E y dy, 9 Eercice 9: Rppeler que l énergie interne d un système de N prticules est donnée pr U = N q i V r i = q i i= Donc pour le système q A, q B on i j i U AB = K q Aq B r AB = 4 J Energie interne du système q A, q B, q C est qa q B U AB = K r AB + q Aq C r AC K q j r ij + q Bq C = 54 J r BC 3 Le chmp u point M Soit l distnce r AB et y l distnce r BM puis E M = E A + E B + E C, 7 de 8

8 où z E A = K q A sin α cos αŷ, + y de de ' Θ E B = K q B y ŷ, z E C = K q C sin α cos αŷ + y Donc observer que q A = q C q et q B = q A = q, ussi cos α = dq' O R y/ + y E M = K q y y + y 3/ ŷ Pour y = r BM = 4 m et = 3 m on obtenu E M = 98 N/C Le potentiel peut être réduite en intégrnt le chmp Donc Eercice 9bis: rm y V M y = E dl = E y dy, = K q y + y V M y M = 4 = 8 Nm/C Un élément de chmp due à une élément de chrge dq positive est donnée pr d E = K dq R + z û On, pour une densité de chrge linéire λ, dq = λdl = λ Rdθ, q = dq = λ πr et le vecteur unitire û = sin α + cos αẑ, où cos α = z/ R + z et sin α = R/ R + z Alors le chmp totl est E = λ R Kdθ R + z R + zẑ 3/ Pour l élément de chrge dq on trouve symmetré de l boucle d E = λ R Kdθ R + z R + zẑ 3/ 8 de 8

9 Donc le chmp totle est L epréssion du potentiel : - Clcul direct z E = λ R K R + z 3/ z = πλ R K R + z K q z = R + z ẑ 3/ V = K = π 3/ ẑ, dq R + z = K K q R + z dθ ẑ, λ R dθ R + z, Eercice : Le chmp u point P est E P = K = K λ L/ = K λ = L/ L/ λdy cos θ sin θŷ, + y dy L/ + y + 3/ L/ y + y K λ L + L /4 = y L/ L/ + L/ K Q + L /4 ydy + y 3/ ŷ, L/ + y L/ ŷ, b- Intégrtion du chmp M de M r V = = K q E dl = inf = K q infty z E d R d R + z 3/ +, R + z z E z dz, z dz R + z 3/, L dq O y Θ P de P = K q R + z, L où = et V = et on remplcé z pr z dns l dernière epression 9 de 8

10 Dns le cs où L on + L /4 lors ie, le chmp d une chrge ponctuelle E L P = K Q, 3 Le potentiel u point M est noter que y L/ dq L/ V M = K r = K λdy L/ y y, = K λ ln y L/ y + L/, = K λ ln y + L/ y L/ On déduire les composntes de chmp Alors E = V M =, E y = V M y E = E + E y ŷ = = Kλ y + L/ y L/ K λ L y L /4ŷ = K Q y L /4ŷ 4 Le chmp u point P lorsque L est trés grnde +L /4 L /4, lors E P L = K Q L On peut églement fire l intégrle E P L = Kλ = Kλ + Kλ = dy + y, 3/ Eercice : Prendre, générlement, l distnce OD = y, le chmp u point d bscisse y sur l e y Oy est E = Kq y /4 + y 3/ + y + 3/ ŷ AN : Pour le point D, y = 3/ est le module de chmp E D est E D = Kq 3 + = 5397 N/C 3 Le potentiel V u point D d bscisse y D est yd V = E y dy = Kq + yd + /4 y D + 3/ Pour y D = 3/ on V D = V y D = 3/ = Kq = 49 Nm/C +, 3 Au point O, centre du losnge, on E A = E B Donc pour que le chmp totl u point O être nul, il fut que E B = E D, ie, Q = q 3 Le trvil W est W = rd Pour Q = q on F dl rd = Q E dl K qq = QV r D = W = 4K q = 84 J + 3 de 8

11 4 Pour le dipôle L énegie potentielle est U = p E D = p E D cosπ/ = 4 Eercice 3: L énergie potentielle du dipôle est donnée pr U d = qv r + qv r + = p E b L position d équilibre de diôple correspond à θ =, ngle entre p et E D, où l énergie potentielle est minimum équilibre stble ; U min = p E D = p Kq 3 Eercice : = 8 6 Nm 3 Rppeler que le vleur bsolu moment du couple est donnée pr Γ = p E = p E sin θ, où p et le moment dipolire donnée pr Donc p = q d diôple est prllèlle u chmp θ =, lors Γ = diôple est perpendiculire u chmp θ = π/, 3π/, lors Γ = ± p E = ±q E d = ±6 3 N/m diôple est nti-prllèlle sens opposé u chmp θ = π, lors Γ = Clculer le potentiel u points +q et q ; où V = i= kq i r r i, r = r A = d A + d A 3 ŷ, r = r B = d B, r = + yŷ Où d A = m et d B = 5 m Alors V, y = kq A + d A / + y d A 3/ + kq B / d B + y / On à pour les deu chrges du dipôle : r = /,, r + = /, Donc U d = qv /, + qv /,, kq A = q + d A + 3d + kq B A / / d B + q kq A + d A + 3d A / = 36 8 Nm kq B / + d B +, de 8

12 b Le moment de couple du dipôle est et finlement On à Alors τ = r + F + + r F, = q r + Er + q r Er, = q r + V r + + q r + V r + E = V, y = V V y ŷ, + d A / + y 3d A /ŷ = kq A + + d A / + y d A 3/ 3/ db + yŷ kq B d B + y 3/ E/, = ŷ, τ = 8 8 ẑ Nm Les vleurs limites que peut prendre l énergie potentielle : prce que le dipôle ser pivote utour du point milieu, on écrit simplement les deu limites d énergie potentielle comme U min = p E, = k q, = k q = Nm U m = U min qb d B q A d A /, q A d A / d A / 3 q B d B d 3 B, q A 3dA / d A / 3, En outre et E /, = ŷ r + Er + = /, 64, 6 = 6 / 64 ẑ, = 56 6 ẑ = 6 ẑ r Er = /,, 96 6 = 48 6 ẑ = 96 6 ẑ 3 Le trvil nécessire pour rmener le dipôle à s position d équilibre stble est 5 Eercice 4: W = U = U i U f = U d U min = Nm Pour trouver le potentiel électrique u point O,, nous clculons d bord le potentiel u point générle O, y, uquel O, est un cs prticulier V O = 3 V i = i= 3 i= K q i r i r O = 3 i= K q i i + y y i, de 8

13 où r O =, y est le vecteur de position de point O et r i est le vecteur de position de chrge q i, Alors on q = q 3 = +q = q r = ĵ, r = î + ĵ, r 3 = î V O, y = K q + y + y + + y Pour le point O, on trouve V O, = K q + = K q AN : V O, = 636 Nm/C Les composntes dedu chmp électrique u point O : On à Alors E, y = V, y = V î V y ĵ, E = V, = K q + y 3/ + y 3/ + + y 3/ et E y = V y, y = K q + y 3/ + y 3/ + y + y 3/ 3 Au point O, on à E, = E, î + E y, ĵ, = K q î + ĵ AN : E, = 588 î + ĵ N/C 4 Dipôle électrique : Les vecteurs de positions des deu chrges de l dipôle sont r = d î ĵ, r + = d î + ĵ Alors d = r + r = d î + ĵ, p = q d, qd = - Le moment du couple ppliqué u dipôle τ = q r + E, q r E,, τ = q d, E, q d, E,, = 66 k Nm b- Position d équilibre correspondent à l énergie potentielle étnt minimle Celui-ci est vrie si l ngle entre le dipôle et le chmp électrique u centre, E,, est égl à zéro c- L vrition d énergie potentielle U = U f U i = p E, p E,, = î + ĵ î ĵ = 6 3 de 8

14 6 Eercice 5: - Chmp électrique i Chmp à l intérieur du cylindre r < R : L théorème du Guss Mis qund Q inc Φ E = S E d S = Q inc ɛ = à l intérieur du cylindre prce que toute l chrge se trouve sur l surfce, le chmp E est null pour r < R ii Chmp à l intérieur du cylindre r > R : Puisque le cylindre est infinie et pour des risons de symétrie, ;e chmp est rdile ; E = Er Choiser une surfce de Guss cylindrique de ryon r est simplifier l intégrle d Equ Φ E = = S S = Er r Er ds = Er rdθdz, π 9 = Er r πh dθ h S dz, ErdS, Eglnt les deu équtions ci-dessus on à b- Le potentiel dns tout l espce : i Pour r < R : ii Pour r > R : 7 Eercice 6: V = V = = R Er = r E d l, σ ɛ r r Er dr = V r E i rdr = V σ R r ln ɛ R R E II rdr, Comme précédemment longueur et symétrie le chmp électrique est rdil ; E = Er Aussi Φ E = Q inc = ɛ ɛ = σ R π dθ ɛ = σ R πh ɛ h σ ds = ɛ dz, σrdθdz,, I Région I : r < R : Cr il n y ps de chrge à l intérieur du cylindre C densité surfcique de chrge lors E I r =, V I r = r E d l = E I r dr = V 4 de 8

15 II Région II : R < r < R : Pour : σ = σ, R = R : Alors Le potentiel est donc III Région III : r > R : π Φ E = Er r = σ R ɛ π dθ dθ h h E II r = σ R ɛ r R r V II = E I rdr = V σ R ɛ Φ E = Err πh, r ln R dz = Errπh, dz = σ R ɛ r πh R E II r dr, = Q + Q ɛ = ɛ σ R πh + σ R πh Er 5 et V I r = V, V II r = V σ R ɛ V II r = V σ R ɛ E I r =, E II r = σ R ɛ r, E III r = σ R ɛ r r ln ln r R R Vr 5 5 R, + σ R ln ɛ r R Alors r Le potentiel est E III r = σ R + σ R ɛ r R R V III r = E I r dr = V σ R ɛ ln R R R r r E II r dr σ R + σ R ln ɛ E III r dr R r R 8 Eercice 7: Pr rguments du symétrie le chmp crée pr une sphère uniformèment chrgée est rdile ; E = Er i A l intérieur du sphère : r < R : Qund l sphère est chrgée en surfce, l chrge à l intérieur est donc 5 de 8

16 L chrge Q portée pr sphère S : Q = σ ds = 4σ R = 4σ 4πR π π sin θdθ dφ, zéro Alors E i r = ii A l etérieur du sphère : r > R : Φ E = E ds, = Er r sin θdθdφ, π π = Err sin θdθ dφ, Aussi Alors = Err 4π Φ E = Q inc = ɛ ɛ = σr ɛ π = σr ɛ 4π Er = sin θdθ σr sin θdθdφ, π dφ, Q inc σr r = 4πɛ r ɛ r r L chrge Q portée pr sphère S : Déduire de chmp électrique Q = σ 4πR i Région A : r R : Q inc = donc E A r = ii Région B : R < r R : Q inc = Q donc E B r = Q 4πɛ r r = 4σ R ɛ r r iii Région C : r > R : Q inc = Q + Q donc E C r = Q + Q 4πɛ r r = σ 4R R ɛ r r 3 Le potentiel électrique dns les régions A, B et C : Générlement Alors i Région A : r R : B B V B V A = E d l = Erdr, A A V A r = V 6 de 8

17 ii Région B : R < r R : iii Région C : r > R : R r V B r = E A rdr = V 4σR ɛ R R V C r = E A rdr R = V 4σR ɛ R R R r E B r dr, R r E B r dr σ4r R ɛ E C r dr, R R r long de l e-z Φ E = E ds, S = Ez ds + S = S = EzdS, S EzdS + EzdS +, S S = Ez rdrdθ = Ez S = Ezπr Ez ds + Ez ds 3, S3 r π r dr dθ, 9 Eercice 8: Aussi Donc Φ E = Q inc = ɛ ɛ = σ πr ɛ E = σ ɛ ẑ σrdrdθ, Le chmp est lors constnt AN : E = N/C Puisque σ = σ les chmps E est E sont égu et opposite Alors le chmp crée pr P et P est Région A ci-dessus P : E = E + E = σ/ɛ ẑ ẑ = b Région B entre P et P : E = E + E = σ/ɛ ẑ + ẑ = σ/ɛ Chmp électrique crée pr surfce plne P : pr symétrie le chmp est le c Région C ci-dessous P : E = E + E = σ/ɛ ẑ ẑ = 7 de 8

18 3 L force qui s eerce sur les surfces P et P est donnée pr F = F + F = Q E + Q E = σ S σ ɛ ẑ + σ S σ ɛ ẑ, = σ S ɛ ẑ 4 Le moment mimle que le chmp eerce sur le dipôle est τ m = p E sinπ/ = p E = q E, = 8 7 Nm Le trvil qui rmenit le dipôle de cette position θ E, p = π/ à s position d équilibre stble θ E, p = est W = U = U i U f = + p E = q E, = τ m 8 de 8