le dipôle magnétique ; circuit électrique dans un champ magnétique ; travail des forces

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1 le dipôle magnétique ; cicuit électique dans un champ magnétique ; tavail des foces = moment magnétique d une spie On cheche ici à calcule le champ céé pa une petite spie ciculaie plate, pacouue pa un couant I, placée à l oigine des coodonnées ; un point de cette spie est noté. Comme dans le cas du dipôle électique, on se place loin de l oigine, à une distance, avec ' <<. On calcule d abod le potentiel vecteu apès avoi utilisé la fomule de Taylo suivante : ' = ' +... A ( ) = I ( C ) ε 0 c 2 ( ' +... ) d dans cette intégale le pemie teme est nul su un cicuit femé ( la spie ); le deuxième teme de l intégale s expime plus facilement en utilisant l égalité vectoielle suivante : a ( b c ) = ( a. c ) b - ( a. b ) c où l'on identifie : a = ( ) b = d' c = ' moyennant quoi : [ d ( ' ( a. ' )) + a d' ' ] d' ( '. a ) = 2 De plus la géométie établit sans peine que : (C) ' d' = 2 n S où S est la suface de la spie, n la pependiculaie à la spie ; de tous ces intemédiaies on déduit la fomule essentielle : A ( ) = µ 0 n S on pose : I S n = m où m est le moment magnétique ou "dipôle de la spie" ; soit encoe : A ( ) = µ 0 m 3

2 Cette fomule est tès analogue à celle du dipôle électique, sinon qu'un poduit vectoiel emplace un poduit scalaie dans l expession des potentiels espectifs ; pou ce qui est de la dépendance du potentiel vecteu à l'infini de la spie, elle est identique à celle du potentiel électique engendé pa un doublet de chages électiques : la décoissance est en 2. De plus le ésultat n est pas dépendant de la fome exacte de la spie pouvu qu elle soit plate. Les composantes de B sont analogues à celles du dipôle électique soit en coodonnées catésiennes : B z = m ε 0 c z 5 B y = m 3 zy ε 0 c 2 5 B x = m 3 zx ε 0 c 2 5 : application numéique intelligente : calcule le moment magnétique d'un atome d'hydogène où l'électon gavite autou du noyau su une obite stable d'un ayon de 0.5 angstöm ; puis à la suite du pochain paagaphe, calcule son énegie dans un champ éieu de 0.3 T. : monte encoe que pou un atome, si Q est la chage et M la masse de l électon qui gavite autou du noyau su une obite stable, on elie m à l le moment cinétique obital pa la elation : m = Q 2M L Pou continue la liaison avec le cous d intoduction à la mécanique quantique, on vea que ce modèle n expime pas le moment magnétique intene de l électon, ou «spin» ; il s en faut d un facteu légèement supéieu à 2 si l on emplace L pa S, moment cinétique obital de spin de spin ; ce facteu se nomme facteu gyomagnétique g ; g=2,oo232 ; c est le ésultat d effets elativistes et quantiques - on a expimé le dipôle d une spie de couant dans un fil ; on peut généalise sans difficulté une fomule analogue losque l on enconte une distibution de densité de couant existant dans un espace limité pa une suface (S) et que l on cheche ce potentiel vecteu à un distance >>. En effet si on développe : ' = +.' A() = µ 0 [ J(')dv(' ) + ( 3. ' On utilse une astuce du type :.(fgj) = g.(fj) + gf.j + gj. f ) J(') dv(' ) +...] 28

3 o l intégale du pemie membe est nulle pou une suface étendue à l infini ; comme pa ailleus :.J=0 puisque l on est en statique, on peut utilise deux fois la fomule : si on choisit f= et g= x' i cela pemet de déclae nul la pemièe contibution à A() si on choisit f=x' i et g= x' j on en déduit : A() = µ x [ ' x J(') ] dv(' ) ce qui pemet de généalise la notion de moment magnétique à une distibution de couant : m = 2 [ ' x J(') ] dv(' ) ---> A() = µ 0 m x 3 = foces execées su une spie de couant placée dans un champ éieu ( pemièe expéience magnétique ). - on place d abod une spie quelconque de poutou ( C ) pacouue pa un couant I dans un champ magnétique éieu poduit pa des souces qui assuent que ce champ est constant quels que soient les déplacements de la spie. Pou un déplacement infiniment lent quelconque dm ( ) de chaque élément dl ( ) de la spie de point couant, il y a un tavail des foces "execées" de Loentz f ( ) qu il faut équilibe pa des foces "appliquées" éieues [- f ( ) ] ; le tavail mécanique des foces appliquées éieues est alos : (dwmec )= [ - f ( ) ]. dm( ) = - [ I dl( ) x B( ) ].dm( ) = - dw Les déplacements dm( ) étant effectués, le contou de la spie est devenu ( C ). Il n est pas difficile de voi que (dwmec ) peut se mette sous une fome plus «physique» : (dw mec ) = - I [ dm( ) x dl( ) ]. B( ) 29

4 où le vecteu ente cochets est un élément de suface poté pa un vecteu nomal à dm et dl en ; c'est la nomale oientée à une suface élémentaie délimitée pa les deux contous (C ) et ( C ) ; ainsi (dwmec ) est popotionnel à [ dm( ) x dl( ) ]. B( ), quantité que l'on appelle le "flux coupé" los du déplacement de la spie dans le champ magnétique éieu! : (dwmec = - I ( dφ coupe )= -dw : écipoquement, les foces mécaniques, comme les couples, qui s execent su un fil peuvent se déduie de la vaiation de la fonction ( dφ coupé ) ; : aute emaque : les foces f ( ) ayant toujous tendance à effectue spontanément un tavail positif, si ien ne s oppose au mouvement de la spie, il y aua déplacement et défomation spontannés de manièe à augmente le flux qui la tavese ; : denièe emaque : pou toute évolution macoscopique à couant constant : ( wmec = - I ( Φ)coupe ; en paticulie, si la position initiale de la spie est infiniment éloignée de la souce de champ éieu w mec = - I Φ puisque le flux dans la position initiale ( C ) de la spie est nul. = etou su le " flux coupé" - Soit un champ éieu. Considéons une spie ( C ) de suface (S) oientée pa le sens du couant qui la pacout ; voisin de celle ci, soit une deuxiéme spie ( C ) de suface (S ), pacouue pa le même couant, qui se déduit de ( C ) pa continuité : tout point M () de ( C ) engende un point M ( ) de ( C ) de sote que : M ( ) = M() + dm() Dans ce déplacement, les points du contou ( C ) ont engendé une suface ( L ) ( la lette L est utilisée ici pou symbolise le mot «Latéale» ) dont l élément d aie est : ds () = dl() x dm() ds est oientée pa le sens du couant dl() et pa les déplacelments élémentaies dm() ; ( voi le dessin ci dessus ). On appelle «flux coupé» le flux du champ éieu B à taves la suface (L) ainsi oientée ; on a démonté plus haut que dw mec = I dφ coupe. 30

5 " - Supposons que le cicuit (C) se touve au dépat à l'infini, dans une zone où le champ magnétique est nul ; le flux à taves (S) est nul ; puis on déplace le cicuit jusqu en (C ) : (S) -> (S') ; il a engendé dans ce déplacement une gande suface latéale (L). En aison de la loi div( B )=0 le flux à taves la suface femée et oientée (S)-(S )+(L) est nul ( on a pis soin de compte négativement la suface (S ) pace que le sens de sa nomale est déteminé pa celui de ( S) ). Comme pa hypothèse le flux à taves (S) est nul, le flux coupé à taves (L) est égal au flux qui tavese (S ). = tavail des foces électiques Mais dans une évolution éelle à couant constant les foces mécaniques ne sont pas les seules à tavaille : la pile, elle aussi, doit «tavaille» ; en effet si le fil se déplace de dm ( ) en entainant avec lui les poteus de chage, dans le champ éieu, ces chages sont soumises à une foce de Loentz paallèle au fil qui devait modifie leu mouvement et donc le couant I ; afin d assue sa stabilité, la pile doit tavaille «électiquement». On va monte avec un modèle simple que dans cette tansfomation le tavail électique de la pile dw elec qui assue un couant constant est tel que : dw elec = dwmec Soit donc un bin de cicuit que l on déplace d un quantité dm dans le sens des x coissants ; le champ B est supposé pependiculaie au plan du cicuit ; l est la longueu du bin déplacé, S la suface de la section doite du bin, et n la densité de chages q pa unité de volume. dwmec = I dφ coupe = I B l dm Pa ailleus le déplacement du bin se fait dans le temps dt et dm = dm dt dt du fait de cette vitesse de déplacement paallèlement à x, une foce de Loentz f el execee s exece su chaque poteu de chage dans une diection antipaallèle au couant I. f el execee = q B dm dt! 3

6 O au epos, c est à die sans déplacement du bin, les poteus q se déplacent dans le fil avec la vitesse constante v ent. de sote que : v ent. qns = I n est le nombe de poteus pa unité de volume et S la suface doite du fil. Demande que I soit constant, cela veut die qu il faut applique à chaque poteu une foce opposée à f el execee ; elle va tavaille puisque q se déplace : c est l oigine de dw elec dw elec =(f el execee su une chage)(déplacement dans dt) (nombe de chages concenées ) = (q B dm dt ) (v ent. dt ) (nsl) = -dw mec (dw electique ) = [ - (dwmec )] Ainsi le tavail total ( électique +mécanique ) fait pa les «foces éieues» qui s execent su ce seul cicuit est nul. Attention : ceci est un bilan qui ne concene que la spie ; au cous de ce déplacement les souces de couant qui imposent le champ magnétique éieu constant ont peut ête «tavaillé» ; mais comme souvent en themodynamique, on découpé ici dans «l unives» une petite patie : le "pemie pincipe" a été appliqué à la spie seule. Bef, pou la spie : du = ( dw )totaleieu = (dw mec )+ ( dw electique ) = 0 magnétique ) = énegie du dipôle magnétique dans un champ éieu ( deuxième expéience On fait ici la même analyse que dans le cas du dipole électique. Dans le cas paticulie d un dipôle magnétique indéfomable on sait calcule le flux Φdu champ éieu qui le tavese : Φ = B. ds de sote que : ( S ) (dwmec ) = - I dφ = d ( - B.m ) = du : le dipôle ( m = constante ca I=constante ) tend donc à s aligne le long du champ éieu ; : il est soumis à un couple C = m x B ; : si le champ B n est pas unifome il est soumis à une foce ( m.b ) 32

7 : dans le champ éieu si aucune foce mécanique éieue ne s oppose au mouvement de la spie on a seulement : d U = - d ( B.m ) c est à die : U = - B.m ainsi la situation d énegie minimum coespond au dipôle aligné le long du champ magnétique ( comme en électostatique ) ; : plus généalement, pou un cicuit quelconque, le champ éieu tend à le faie toune de manièe à ce que le flux qui le tavese soit maximum. Note essentielle elative à tout ce paagaphe : l énegie U que l on vient de calcule est celle du dipôle dans le champ éieu, à couant constant : m et B constants. 33