Relations, fonctions, applications

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1 Reltions, fontions, pplitions Tony Bourier (2012) Tle es mtières 1 Reltions Définitions Représenttion Reltion réiproque Imge et imge réiproque une prtie Restrition, prolongement, églité Opértions ensemlistes Composition Propriétés Reltions équivlene Reltions orre ontions, pplitions Définitions Injetion, surjetion, ijetion Applitions remrqules xeries Reltions 1.1 Définitions Définition 1.1 : On ppelle reltion inire e l ensemle ns l ensemle tout sous ensemle e : R est l ensemle e éprt ou omine e l reltion R et l ensemle rrivée. Remrque 1.2 : De l éfinition éoule qu une reltion est ssimilée à un ensemle. Remrque 1.3 : Puisqu une reltion e ns est un éléments e P( ), si et sont eux ensemles finis e rinux respetifs n et m, le nomre e reltions possiles est 2 n m. Définition 1.4 : Soit R (i.e. une reltion e ns ). On it que x est en reltion pr R ve y si (x,y) R

2 1 Reltions 2 On note églement x R y ou enore R(x, y). Remrque 1.5 : On it que y est une imge e x pr R ou enore que x est un ntééent e y pr R. xemple 1.6 : Soient les ensemles suivnts M = {Mths Disrètes, Sttistiques, Info, SSG, Clquettes} et = {Bourier, Deltour, Jussien, Leoux, Om}. On peut éfinir l reltion M ensemle e éprt et ensemle rrivée M suivnte : = {(Bourier, Mths Disrètes), (Jussien, Mths Disrètes), (Jussien, Info), (Leoux, Info), (Deltour, SSG), (Bourier, Sttistiques)}. On remrque que «Om» n ps imge pr et que «Clquettes» ne possèe ps ntééent pr. Définition 1.7 : On ppelle omine une reltion R et l on note Dom(R) l ensemle es éléments e qui ont une imge ns pr R. Remrque 1.8 : Si R, on néessirement Dom(R). Définition 1.9 : On ppelle imge (ou oomine) une reltion R et l on note Im(R) l ensemle es éléments e possént u moins un ntééent ns pr R. Remrque 1.10 : Si R, on néessirement Im(R). 1.2 Représenttion Si et sont eux ensemles finis, lors toute reltion R est néessirement fini. Dns e s, on peut onner à R une représenttion ite sgittle : les ensemles et sont représensés pr es «pttoïes» et un élément x e est relié pr une flèhe orienté vers un élément y e si (x, y) R xemple 1.11 : Soient = {,,,} et = {,,,} eux ensemles et l reltion R = {(, ),(, ),(, ),(, )}. Une représenttion sggitle e l reltion R est onnée pr le grphe suivnt : On visulise imméitement Dom(R) = {,, } et Im(R) = {,, }. Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier

3 1 Reltions Reltion réiproque Définition 1.12 : reltion éfinie pr : On ppelle reltion réiproque une reltion R l R 1 = {(y,x) (x,y) R} i.e. (y,x) R 1 (x,y) R (ou enore yr 1 x xry). Remrque 1.13 : Pour otenir l représenttion sgittle e R 1, il fut et il suffit e moifier le sens es flèhes e l représenttion sgittle e R. xemple 1.14 : Si l on repren exemple prééent, une représenttion sggitle e R 1 est onnée pr : Remrque 1.15 : Les résultts suivnts éoulent imméitement e l éfinition (et se vérifient visuellement sur le grphe) : Dom(R) = Im(R 1 ) Dom(R 1 ) = Im(R) (R 1 ) 1 = R 1.4 Imge et imge réiproque une prtie Définition 1.16 : Soient R (i.e. une reltion e ns ) et A. On ppelle imge e A pr R et l on note R(A) = {y x A, (x,y) R} l ensemle es imges es éléments e A pr R. Remrque 1.17 : Si R, R() = Im(R). Remrque 1.18 : Soient R et A. Si A Dom(R) =, lors R(A) =. Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier

4 1 Reltions 4 Définition 1.19 : Soient R (i.e. une reltion e ns ) et B. On ppelle imge réiproque e B pr R et l on note R 1 (B) = {x y B, (x,y) R} = { x y B, (y,x) R 1} l ensemle es ntééents es éléments e B pr R. Remrque 1.20 : Si R, R 1 () = Dom(R). Remrque 1.21 : Soient R et B. Si B Im(R) =, lors R 1 (B) =. 1.5 Restrition, prolongement, églité Définition 1.22 : Soient R une reltion e ns et A. On ppelle restrition e R à A et l on note générlement R A = R (A ) Définition 1.23 : Soient R 1 une reltion e ns et R 2 A où A. Si R 2 est l restrition e R 1 à A, lors R 1 est un prolongement e R 2 à. Remrque 1.24 : R 2 est l restrition e R 1 à A mis R 1 est un prolongement e R 2 à. xemple 1.25 : On onsière e nouveu l reltion R éfinie ns les prééents exemple insi que s restrition à A = {,}, R A e représenttion sgittle : A Définition 1.26 : Deux reltions R 1 et R 2 sont égles si et seulement si : elles ont le même ensemle e éprt elles ont le même ensemle rrivée elles ontiennent les mêmes ouples Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier

5 1 Reltions 5 Remrque 1.27 : Il fut ien fire ttention à ne ps oulier les eux premiers points! n prtiulier, l restrition e R à Dom(R) ne hnge ps le ontenu e R mis hnge l ensemle e éprt. Ces eux reltions ne sont lors ps égles, e qui se vérifie sur l représenttion sgittle. xemple 1.28 : et Dom(R) ne sont ps égles. On voit ien que, même si les éléments e R (représentés pr les flèhes) sont les mêmes, elles ne sont ps éfinies sur les mêmes ensemles. 1.6 Opértions ensemlistes Une reltion étnt vnt tout un ensemle, on s utorise sur les reltions les mêmes opértions que sur les ensemles, ns l mesure où les ensemles e éprt et rrivées restent inhngés. Nous nous ontenterons illustrer le omplémentire, l union et l intersetion pr es représenttions sggitles. xemple 1.29 : Soient les reltions R 1 et R 2 suivntes : Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier

6 1 Reltions 6 R 1 R 2 L union et l intersetion sont onnées pr : R 1 R 2 R 1 R 2 t le omplémentire pr : R 1 Définition 1.30 : Soient R 1 et R 2 eux reltions e ns. On it que R 1 est une sur-reltion e R 2 ou enore que R 2 est une sous-reltion e R 1 si les éléments (i.e. les flèhes ns l représenttion sgittle) e R 2 sont tous ns R 1. Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier

7 1 Reltions 7 Remrque 1.31 : n prtiulier, R 1 R 2 est une sous-reltion e R 1 et e R 2. R 1 R 2 est, qunt à elle, une sur-reltion e R 1 et e R Composition Définition 1.32 : Soient R et R (i.e. eux reltions e 1, resp. 2, ns 1, resp. 2 ). Si et seulement si 1 = 2, on ppelle omposée e R 1 pr R 2 et on note : R 2 R = {(x,z) 1 2 y 1, (x,y) R 1 et (y,z) R 2 } l reltion ensemle e éprt 1 et ensemle rrivée 2 omposée e l ensemle es ouples (x,z) pour lesquels on peut trouver u moins un y 1 = 2 tel que xr 1 y et yr 2 z. xemple 1.33 : G A B C R 1 R 2 G B A C R 2 R 1 Remrque 1.34 : Soit n > 2. On peut étenre l éfinition es reltions inires ux reltions n-ires en onsttnt qu une reltion n-ire est une reltion inire ont l ensemle e éprt est un prouit rtésien. 1.8 Propriétés Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier

8 1 Reltions 8 Définition 1.35 : Soit R une reltion. R est ite réflexive si x, (x,x) R R est ite irréflexive si x, (x,x) / R Définition 1.36 : Soit R une reltion. R est ite symétrique si (x,y) 2, ( (x,y) R (y,x) R ) R est ite ntisymétrique si (x,y) 2, x y, ( (x,y) R (y,x) / R ) Remrque 1.37 : Cette éfinition peut églement s érire : (x,y) 2, ( (xry) et (yrx) ) x = y Définition 1.38 : Soit R une reltion. R est ite trnsitive si (x,y,z) 3, (x,y) R et (y,z) R (x,z) R 1.9 Reltions équivlene Définition 1.39 : Soit un ensemle non vie et R une reltion e ns. On it que R est une reltion équivlene si R est réflexive symétrique trnsitive Remrque 1.40 : L églité est une reltion équivlene. xemple 1.41 : Soit R N N éfinie pr : (x,y) N 2, xry ( (p,q) N 2, x 3 p = y 3 q) utrement it, xry si et seulement si x et y ont le même reste ns l ivision euliienne pr 3. Pr exemple 3R0 ou enore 4R13. On vérifie simplement que R est une reltion équivlene : R est réflexive. n effet, x, xrx. R est symétrique. n effet, si x le même reste que y ns l ivision euliienne pr 3, lors y le même reste que x... R est trnsitive. n effet, si x le même reste que y ns l ivision euliienne pr 3 et si y le même reste que z ns l ivision euliienne pr 3, lors si x le même reste que z ns l ivision euliienne pr 3. Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier

9 1 Reltions 9 Définition 1.42 : Soient R une reltion équivlene sur un ensemle et x un élément e. On ppelle lsse équivlene e x l ensemle : x R = {y (x,y) R} L lsse équivlene un élément est simplement l ensemle es éléments e qui lui sont équivlents. xemple 1.43 : Si l on repren l exemple prééent, on : 0 R = {0,3,6,9,12,15,...} 1 R = {1,4,7,10,13,16,...} 2 R = {2,5,8,11,14,17,...} Remrque 1.44 : Soit R est une reltion équivlene sur. (x,y) Reltions orre xry ssi x R = y R Définition 1.45 : Soit un ensemle non vie et R une reltion e ns. On it que R est une reltion orre si R est réflexive ntisymétrique trnsitive Remrque 1.46 : L reltion «est inférieur ou égl à», usuellement notée est une reltion orre sur N. A noter que pour éviter toute miguïté, nous evrions érire N. Remrque 1.47 : Soit R une reltion orre sur. On it que eux éléments x et y sont omprles ssi xry ou yrx Définition 1.48 : Une reltion orre sur est totle si tous les éléments e sont omprles. Sinon, l reltion est ite prtielle. xemple 1.49 : Soient = {0,1} 2 et soit l reltion éfinie pr : (x 1,x 2,y 1,y 2 ) 2 (, (x1,x 2 ) (y 1,y 2 ) ) ( ) x 1 y 1 et x 2 y 2 On s perçoit que est une reltion orre prtielle. n effet, on ne peut ps omprer (0, 1) et (1, 0). Définition 1.50 : Soit un ensemle non vie et R une reltion e ns. On it que R est une reltion orre strit si R est irréflexive ntisymétrique trnsitive Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier

10 2 ontions, pplitions 10 Remrque 1.51 : On peut se ispenser e l onition ntisymétrie ns l éfinition puisque l irréflexité et l trnsitivité impliquent l ntisymétrie. Remrque 1.52 : L reltion sur N «est stritement inférieur à», usuellement notée «<» est une reltion orre strit. 2 ontions, pplitions 2.1 Définitions Définition 2.1 : Soit f une reltion e ns. f est une fontion e ns si et seulement si tout élément e possèe u plus une (soit zéro, soit une) imge ns pr f : x, r ( f ( {x} )) 1 utrement it, quelque soit x e, f ( {x} ) (l ensemle es imges e x pr f) est soit l ensemle vie, soit un singleton. Remrque 2.2 : Soit f une fontion e ns et x un élément e. S il existe y tel que (x,y) f, lors y est unique et est notée f(x). Définition 2.3 : Lorsque l on éfinit une fontion f e ns, on note : f : x f(x) et on lit «f est une fontion e ns qui à x ssoie f(x)». On note (,) ou l ensemle es fontions e ns. xemple 2.4 : L fontion «osinus» os : R [ 1,1] x os(x) pprtient à (R,[ 1, 1]). On peut églement éfinir l fontion «rré» rre : R R + x x x Remrque 2.5 : Lorsque l on n ps esoin e spéifier le nom e l fontion que l on mnipule et qu il n y ps miguïté sur les ensemles e éprt et rrivée, on peut ésigner une fontion iretement pr son expression : x f(x) xemple 2.6 : Dns (R,R), on peut { érire iretement x x x pour ésigner 1 l fontion «rré», ou enore x x si x 0 0 si x = 0. Remrque 2.7 : Lorsque l ensemle e éprt une fontion f est un prouit rtésien e n ensemles 1,..., n, on it que f est une fontion rité n ou enore une fontion Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier

11 2 ontions, pplitions 11 à n vriles et l on note : x i est ppelée i ième vrile e f. xemple 2.8 : pr f : 1... n (x 1,...,x n ) f(x 1,...,x n ) L fontion «puissne» qui pprtient à (R N,R) est éfinie puiss : R N R 1 si n = 0 (x,n) x n = n x si n > 0 lle est rité 2, x est s première vrile et n s seone vrile. i=1 Définition 2.9 : Soit f : une fontion e ns. On it que f est une pplition (ou une fontion totle) si = Dom(f) utrement it si tous les éléments e l ensemle e éprt possèent une imge pr f ns l ensemle rrivée : x, r ( f ( {x} )) = 1 Remrque 2.10 : Si f est une fontion, s restrition à son omine est une pplition. xemple 2.11 : sgittle : Soient eux reltions f 1 et f 2 e ns e représenttion f 1 f 2 f 1 est une fontion et f 2 est non seulement une fontion, mis églement une pplition : f 2 : si x = ou x = x si x = si x = Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier

12 2 ontions, pplitions 12 Remrque 2.12 : L omposition e eux fontions est une fontion et l omposition e eux pplitions est une pplition. Remrque 2.13 : n lieu et ple e l expression suivnte : «Soit { f : 1... n (x 1,...,x n ) y» on peut ire : «Soit f l fontion telle que (x 1,...,x n ) 1... n, f(x 1,...,x n ) = y» 2.2 Injetion, surjetion, ijetion Définition 2.14 : Une pplition f : est ite injetive ou est une injetion ssi y, il existe u plus un élément x tel que f(x) = y (tout élément y e met u plus un ntééent x pr f). Remrque 2.15 : L pplition f : est injetive ssi on ne peut ps trouver e y possént plusieurs ntééents pr f ns : e qui s érit églement : (y,x,x ), y = f(x) = f(x ) et x x (x,x ) 2, (f(x) = f(x ) x = x ) Remrque 2.16 : f est injetive ssi il n existe ps eux éléments ifférents e qui ont l même imge ns. Autrement it, eux éléments istints ne peuvent ps voir l même imge : (x,x ) 2, (x x f(x) f(x )) Définition 2.17 : Une pplition f : est ite surjetive ou est une surjetion ssi pour touty ns l ensemle rrivée, il existe u moins un élément x e l ensemle e éprt tel que f(x) = y : y, x, y = f(x) Tout élément y e met u moins un ntééent x pr f. Remrque 2.18 : L pplition f : est surjetive ssi on ne peut ps trouver e y ne possént ps ntééent pr f ns. Remrque 2.19 : L pplition f : est surjetive ssi f() = Im(f) =. xemple 2.20 : Soient 1, 2, 1 et 2 qutre ensemles finis et f 1 : 1 1 et f 2 : 2 2 eux pplitions : Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier

13 2 ontions, pplitions e f 1 f 2 f 1 est une injetion et f 2 est une surjetion. Remrque 2.21 : L exemple prééent illustre un phénomène onnu sous le nom e lemme es tiroirs et qui ffirme que si plus éléments que, il est impossile e onstruire une injetion e ns. Remrque 2.22 : De l même fçon, si ontient plus éléments que, lors il est impossile e onstruire une surjetion e ns. Proposition 2.23 : Soient f : et g : G eux pplitions. On les propriétés suivntes : f et g injetives g f injetive g f injetive f injetive f et g surjetives g f surjetive g f surjetive g surjetive Définition 2.24 : Une pplition f : est ite ijetive ou est une ijetion si pour tout y ns l ensemle rrivée il existe un et un seul x ns l ensemle e éprt tel que f(x) = y : y,!x, y = f(x) Tout élément y e met un unique ntééent x pr f. Remrque 2.25 : Soit f : une pplition. On l équivlene suivnte : f ijetive (f injetive et f surjetive) xemple 2.26 : L pplition f : Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier

14 2 ontions, pplitions 14 f est ijetive. Remrque 2.27 : Si l pplition f : est ijetive, lors s reltion réiproquef 1 est une pplition, ijetive et : x, f 1 (f(x)) = x et y, f(f 1 (y)) = y. Remrque 2.28 : Attention à l ériture usive e f 1 (y). Cette ériture n e sens que lorsque f 1 est une pplition, e qui est le s si f est ijetive et lors f 1 (y) est l unique ntééent e y. On ne peut ps érire f 1 (y) en générl : si l on herhe les ntééents e y pr une pplition f quelonque, lors il fut érire f 1 ({y}) qui ser lors {x f(x) = y}. 2.3 Applitions remrqules Nous llons resser ii l liste e quelques pplitions très souvent utilisées. Définition 2.29 : On ppelle projetion nonique e n sur i l pplition n i (x 1,x 2,...,x n ) x i qui à tout n-uplet retourne le i ème élément. Remrque 2.30 : Si tous les k sont égux, ( n = n ), lors on prle simplement e l i ème projetion. Définition 2.31 : On ppelle pplition ientité e l pplition éfinie pr : i : x x On l note prfois i s il n y ps miguïté sur. Remrque 2.32 : f (,) ijetive, f f 1 = i et f 1 f = i. Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier

15 2 ontions, pplitions 15 Définition 2.33 : Soit un ensemle et A. On ppelle pplition rtéristique ou initrie e A l pplition éfinie pr : 1 A : { {0,1} 1 si x A x 0 si x / A Définition 2.34 : Une pplition f : est ite onstnte si x, y, f(x) = f(y) Remrque 2.35 : Si est non vie, l éfinition est équivlente à «f est onstnte ssi r ( Im(f) ) = 1.» xemple 2.36 : L pplition f : suivnte : f est une pplition onstnte. x, f(x) =. Définition 2.37 : Soit un ensemle fini. On ppelle permuttion e toute pplition ijetive e ns. L ensemle es permuttion e est noté S() xemple 2.38 : Soit = {,,, } un ensemle. σ : x si x = si x = si x = si x = est une permuttion e. Remrque 2.39 : Si r() = n <, lors il existe n! = n (n 1) (n ftoriel) permuttions e. Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier

16 2 ontions, pplitions 16 Définition 2.40 : Une pplition f : n rité n est ite symétrique si elle est invrinte pr permuttion : σ S([1,n]), (x 1,...,,x n ) n, f(x 1,...,x n ) = f(x σ(1),...,x σ(n) ) utrement it, une pplition qui ne tient ps ompte le l orre es «éléments entrée». Définition 2.41 : Une trnsposition est une permuttion qui «éhnge» eux éléments et qui lisse invrint les utres éléments. xemple 2.42 : Soit = {,,, } un ensemle. σ : x si x = si x = si x = si x = est une trnsposition e. 2.4 xeries xerie 2.43 : Pour hque reltion suivnte, préisez si l reltion est réflexive, irréflexive, symétrique, ntisymétrique et trnsitive : 1. l reltion églité sur les entiers 2. l reltion e perpeniulrité sur l ensemle es roites 3. l reltion e prllélisme sur l ensemle es roites 4. l reltion «est le rré e» sur les entiers n éuire lesquelles sont es reltions orre et lesquelles sont es reltions équivlene. xerie 2.44 : Soit R N {,,} N éfinie pr 1. R est-elle une fontion? R = {(0,,1),(2,,0),(1,,3),(3,,2),(3,,9),(0,,4)} 2. R est-elle une pplition? 3. ormlisez l ensemle es ntééents e Déterminez un ensemle R tel quel R R soit une pplition. xerie 2.45 : Soit R N {,,} N éfinie pr 1. R est-elle une fontion? R = {(0,,0),(0,,1),(1,,3),(1,,2),(3,,9),(3,,4)} Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier

17 2 ontions, pplitions R est-elle une pplition? 3. Déterminez une fontion f à prtir e lquelle on peut retrouver R. 4. Déterminez une pplition g à prtir e lquelle on peut retrouver R. xerie 2.46 : Que peut-on ire une reltion à l fois symétrique et ntisymétrique? xerie 2.47 : Prmi les ssertions suivntes, ohez elles qui sont vries. 1. L reltion inlusion u sens lrge entre prties un même ensemle est une reltion orre. 2. Deux lsses équivlene qui ont un élément ommuns ont onfonues. 3. Si f est une pplition un ensemle fini ns lui-même, les propriétés suivntes sont équivlentes : f injetive f surjetive f ijetive xerie 2.48 : Soit = {0,1,2}. Prmi les grphes suivnts, lesquels éfinissent une reltion équivlene sur? 1. Γ = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)} 2. Γ = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,2)} 3. Γ = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,2)} 4. Γ = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} 5. Γ = {(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)} xerie 2.49 : Soit = {1,2,3,4}. On note f l pplition e ns ont le grphe Γ est le suivnt : Γ = {(1,2),(2,3),(3,3),(4,1)} Prmi les ssertions suivntes, ohez elles qui sont vries. 1. L pplition f est surjetive. 2. f({2, 3}) est un singleton. 3. f 1 ({2,3}) est un singleton. 4. L imge réiproque pr f e tout singleton est non vie n ps ntééent pour f. Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier