ENDOMORPHISMES SYMETRIQUES

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1 ENDOMORPHISMES SYMETRIQUES A. Rappels sur les marces symérques S A a 1 K M alors la rasposée de la marce A es la marce O sa que j 1j j 1j A a M K 1 A, B M K, A B A B, e, A M K A A S A K 1 AB B A M es versble alors A es versble e 1 1 A A 1 1 E effe O sa auss que rg A rg A A A A A I I B. Edomorphsmes symérques So E u espace euclde mu du produ scalare oé, 1) Défo U edomorphsme f de E es symérque s, pour ou couple, y E, f y f, y, Eemple : Les homohées d u espace euclde E so des edomorphsmes symérques E effe, pour ue homohée h de rappor, o a, y E, h, y, y, y, y, h y ) Théorème 1 U edomorphsme d u espace euclde es symérque s e seuleme s sa marce das ue base orhoormée de E es symérque Démosrao : So B e1,..., e base orhoormée de E espace euclde de dmeso So f u edomorphsme de E Noos A MaB f a, j, o a, j 1,, a, j e, f ej, j 1, j 1, j Premère éape : o suppose f symérque A a', avec, j 1,, a' a e, f e f e, e a La marce A Ma f B es symérque, j j, j j, j

2 Deuème éape : o suppose A symérque E,! 1,...,, el que y E,! y1,..., y, el que 1 Y MaB y y1 y e. O oe X MaB 1 y y je j. O oe j1, y E, f, y AX Y X AY X AY, f y L edomorphsme f es doc symérque 3) Théorème S f es u edomorphsme symérque d u espace euclde E e s es u sous espace vecorel de E sable par f, alors es sable par f Démosrao :, f, e doc, y, f y, y, f 0 O a be y, f y 4) Théorème 3 : Les sous espaces propres d u edomorphsme symérque so orhogoau deu à deu Démosrao : So E u espace euclde mu du produ scalare oé, So f u edomorphsme symérque de E qu adme e pour valeurs propres dsces L ue au mos de ces valeurs propres es o ulle, supposos , y E E, y f, y, f y, y, y, O a doc, y 1 0, y 0, pusque 1 Coséquece * So p Toue famlle u1,..., up de p veceurs propres d u edomorphsme symérque assocés à des valeurs propres dsces deu à deu es ue famlle orhogoale

3 C. Projeco orhogoale So E u espace euclde mu du produ scalare oé, 1) Projeco orhogoale So u sous espace vecorel de E, o appelle projeco orhogoale sur la projeco sur parallèleme à Cee projeco es oée p qu es doc u projeceur ) Théorème 1 So E, pour ou y E, y p Démosrao : Premère éape : supposos que y y y p O alors yim p, de plus p p p y y Deuème éape : supposos que y O a alors y y y p, doc 3) Théorème * So S u1,..., u es ue base orhoormée de sous espace vecorel de E, alors E p, u u 1 Démosrao : E, p : o ulse alors les coordoées d u veceur das ue base orhoormée Remarque : S B es ue base orhoormée de E e s U1,..., U so les veceurs coloes assocés au veceurs u u das la base B, alors,..., 3 B 1 Ma p U U Démosrao : M Ma p e X la marce coloe assocé à u veceur quelcoque de E Noos B MX, u U U u, U U X M U U ) Théorème 3 S p es u projeceur, alors p es u projeceur orhogoal s e seuleme s Im p e Ker p so orhogoau Rappel : ou projeceur p es ue projeco sur Im p parallèleme à Ker p

4 5) Théorème 4 S p es u projeceur, alors p es u projeceur orhogoal s e seuleme s p es u edomorphsme symérque Démosrao : Premère éape : Supposos que p es u projeceur orhogoal sur sous espace vecorel de E, ye, p, y p, y py p, py p, py, e effe p e y p y E versa les rôles de e y, o a, ye,, p y p, p y Doc, ye,, p y p, y : p es symérque Deuème éape : supposos que p es u edomorphsme symérque de E Comme p es u projeceur, Im p Ker p E Posos Im p e G Ker p, y G, ' E el que p' y p y p y, e alors, ', ', ',0 0, ous avos doc G De plus dmg dme dm dm, doc G Le projeceur symérque p es doc le projeceur orhogoal sur Im p 6) Caracérsao par mmsao de la orme So u sous espace vecorel de E So E, pour ou y, o a : y p y m z Le veceur p es l uque veceur de qu mmse la dsace de à u veceur quelcoque de d, la orme p O appelle dsace de à, e o oe, Démosrao : So E Pour ou y De plus p y, comme p,, o a doc p Le héorème de Pyhagore doe : 4 z p p y p p y y p p y Alors o peu écrre y p e doc m Supposos y p y p p y p Cocluso : m y p y z z y p y

5 Applcao au problème des modres carrés Soe deu caracères sasques X ey défes sur le même esemble f quelcoque Eemple : O éude le pods e la alle des éudas d ue classe O cherche à esmer s les deu caracères so lés par ue relao affe (de la forme y a b ) Comme es f, les esembles X e sasques X ey so fs O oe X,..., 1 e Y y,... 1 y Y des valeurs prses par les caracères O peu représeer cee sére sasque double par u uage de pos, y ;...;, y O cherche ue droe d équao y a b qu passe «au plus près» de ous les pos du uage O suppose que ces pos e so pas ous sués sur la même vercale O cherche doc deu réels a e b qu mmse 1 y a b 1 1 O cherche à mmser la somme S y a b 1 Théorème : Soe e p des eers aurels o uls So AMp, ue marce de rag p e BM,1 Il ese u e u seul veceur coloe Z M p,1 qu mmse la orme AZ B La formule doa la valeur de Z réalsa le mmum es pas egble 5

6 1 1 y1 1 y Noos A, B a e Z b 1 y a1b y1 a b y O a AZ B, l ve doc que AZ B a b y S 1 a b y a O cherche doc la marce u coloe Z elle AZ b B so mmale es de rag (les coloes e so pas proporoelles, so Comme la marce A M, les pos serae sués sur ue même vercale : ce qu es eclus) e BM,1, les codos du héorème précéde so vérfées Z M qu mmse AZ B Il ese doc ue seule marce 0,1 RESOLUTION M So l applcao léare f : M M,1,1 ZM,1 Z,1 YIm f Z AZ f AZ B f f Z B f Y B AZ B f AZ B f Z p B 0 0 Im f ZM,1 Z0 ese pusque Im f rg f dm M p B Im f e es uque car f es jecve, pusque,1 0 Im f 0 Im e 0 Im f Z B f f Z p B f Z f f Z B f 0 Im 0 Y Im f, AZ B, Y 0 M Z, AZ B, AZ 0,1 0 Z M,1 AZ AZ0 B Z M Z A AZ B, 0, 0,1 0 Z M,1, A AZ0 B M,1 Comme A AZ0 BM,1 f Z p B A AZ B 0 Im f 0 0 AAZ 0 AB 6

7 AA es pas ul 1 1 dé AA = E effe ulsos l égalé de Cauchy-Schwarz das avec les veceurs u,..., 1 e v 1,...,1 1 1 mu du produ scalare caoque u, v u v L égalé es mpossble pusque les deu veceurs e peuve êre coléares doc dé AA 0 La marce AA es versble e doc 1 Z 0 AA AB AA y1 y 1 1 Comme AB 1 1 y y 1 Z0 AA AB e 1 y y y y y y ( ) O obe a ( ) cov XY, O a doc a e après calcul...b y a (La droe de régresso passe par le V X po moye du uage) cov XY, E posa y y e V X 1 1 7

8 D. Réduco des edomorphsmes symérques e des marces symérques O adme que oue marce carrée adme au mos ue valeur propre complee 1) Coséquece Toue marce symérque réelle a oues ses valeurs propres réelles Doc ou edomorphsme symérque d u espace euclde a oues ses valeurs propres réelles Démosrao : So ue marce symérque AM M avec * La marce carrée A adme au mos ue valeur propre complee 1 X M,1, o ul el que AX X AX A X AX, pusque O a alors Comme X 0, AM e AX X X, e X A X AX X X X X X 1 1 X A X X X 1 0 ) Théorème 1 : réduco des edomorphsmes symérques So f u edomorphsme d u espace euclde E Les proposos suvaes so équvalees : a) L edomorphsme f es symérque b) Il ese ue base orhoormée de E das laquelle la marce de f es dagoale Doc pour ou edomorphsme symérque f d u espace euclde E, l ese ue base orhoormée de E composée de veceurs propres de f Démosrao : * So f u edomorphsme symérque de l espace euclde E de dmeso O a vu que les sous espaces propres d u edomorphsme symérque so orhogoau deu à deu Premère éape : o suppose f dagoalsable P : «l ese ue base orhoormée de E das laquelle la marce de f es dagoale» Ialsao : 1 La marce de f, das mpore quelle base orhoormée de E es dagoale doc P 1 vrae 8

9 Hérédé : o suppose la propréé vrae jusqu au rag (récurrece fore) f es u edomorphsme symérque de E de dmeso 1, f adme doc ue valeur propre réelle S E Ealors f IdE e la marce de f es dagoale das mpore quelle base de E So E es sable par f, la resrco de f à E,oée f 1, es doc u edomorphsme symérque de E E, y E y, f f y, 0, pusque f y E Le sous espace E es doc sable par f : la resrco de f à E, oée f, es doc u edomorphsme symérque de E So B1 ue base orhoormée de E de dmeso p avec 1 p, la marce de f das 1 cee base es égale à I doc es dagoale p dm E dm E dm E 1 p 1,, l ese doc ue base orhoormée B de E das laquelle la marce de f es dagoale Comme E E E, e cocaéa les bases B 1 e B, o obe ue base B orhoormée de l espace E das laquelle la marce de f es dagoale Deuème éape : O suppose que la marce de f das ue base orhoormée es dagoale Cee marce es symérque doc f es lu auss symérque Coséquece : Tou edomorphsme symérque d u espace euclde es dagoalsable e ses sous espaces propres so orhogoau deu à deu 3) Théorème : réduco des marces réelles symérques * So A ue marce carrée d ordre Les proposos suvaes so équvalees : a) La marce A es symérque à coeffces réels b) Il ese ue marce orhogoale PM e ue marce dagoale DM elles que 1 D P AP PAP Coséquece : Toue marce symérque réelle es orhogoau deu à deu -dagoalsable e ses sous espaces propres so Remarque : S 1,..., X X so les coloes de la marce P, alors veceurs propres de A assocés au valeurs propres 1,...,, e o a : X,..., 1 X es ue base orhoormée de A X X 1 9

10 Démosrao :,!,..., Y M, el que Y Noos,1 1 B X X M 1 1 Y M BY B X BX X X X,1, Y M,1, BY X X, X X AY, car AY A X AX X.Doc Y M,1, BY AY B A Iérê : E oa 1,, U X X M O a U X X X X X X X X X X U Pour ou couple, j 1, el que j, U U X X X X X ( X X ) X 0 * p p Alors p, A X X 1 Démosrao par récurrece sur p : Ialsao : Hérédé ; pour u p 1, P1 vrae (remarque c-dessus) A p 1 p X j j j j j p 1 p P p :" A U " U A A A ( U ) ( U ) ( U ) ( U ) U U A p1 p p p p l l l l 1 l1 1 l1 1 U : P p 1 vrae p1 p1 1 * p p Cocluso : p, A X X 1 10