Devoir de Mathématiques 3 : corrigé

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1 PCSI 4-5 Mahémaiques Lycée Berran de Born Devoir de Mahémaiques 3 : corrigé Exercice. Éude d une foncion en noaion puissance On considère la foncion f définie par f(x) = x x = e x ln(x) La foncion foncion es définie sur R +. Elle es dérivable sur R + comme composée de x x ln(x) (produi de foncions usuelles) dérivable sur R + e exp dérivable sur R. Nous avons alors : Éudions le signe de f (x). Nous obenons le ableau de variaions : Les limies aux bornes se jusifien ainsi : x >, f (x) = (ln(x) + )e x ln(x) f (x) > ln(x) + > x > e x e + f (x) + f(x) f(e ) + lim x ln(x) = par croissance comparée usuelle, donc par composiion lim x + Nous obenons l allure du graphe : lim x + ex ln(x) = + sans difficulé. x ex ln(x) = +

2 PCSI 4-5 Mahémaiques Lycée Berran de Born Exercice. Un problème de Cauchy La quesion 3 peu-êre abordée même sans avoir raié les précédenes.. On vérifie par un simple calcul que pour ou x R \ {, }, x = ( + x + x ) Donc : α = = β On peu en déduire une primiive de la foncion x (par exemple sur l inervalle I =], [) : x ( ) x + x (ln( + x) ln( x)) = ln x. Pour ou ] π, π [ on pose : F () = cos(θ) dθ On considère le changemen de variable x = sin(θ). Nous avons donc : Nous obenons : F () = dx = cos(θ)dθ θ = = x = e θ = = x = sin() cos (θ) cos(θ)dθ = Avec la quesion précédene on rouve donc : F () = [ ln sin() sin (θ) cos(θ)dθ = ( )] sin() ( ) + x + sin() = ln x sin() 3. On résou sur ] π, π [ le problème suivan : { y = y an() + y() = Il s agi de résoudre une équaion différenielle linéaire d ordre, résolue en y. x dx Équaion homogène. La foncion an() es coninue sur ] π, π [ e adme pour primiive ln(cos). D après un héorème du cours l ensemble des soluions sur ] π, π [ de l équaion y = y an() es : { } λ e ln(cos()), λ R, ou encore : { λ cos(), λ R} Soluion pariculière. En cherchan une soluion sous la forme y() = ϕ()cos() avec ϕ dérivable sur ] π, π [ on obien la CNS : ϕ () = cos()

3 PCSI 4-5 Mahémaiques Lycée Berran de Born La quesion précédene nous donne une expression pour ϕ ainsi qu une soluion pariculière : ( ) + sin() y() = ln cos() sin() Conclusion. L ensemble des soluions sur ] π, π [ de l équaion différenielle es : { ( ( )) } + sin() λ + ln cos(), λ R sin() Avec la condiion iniiale il vien λ = ainsi que l unique soluion sur ] π, π [ : ( ) + sin() ln cos() sin() Exercice 3. Équaions différenielles du second ordre Dans ce exercice on éudie deux équaions différenielles du second ordre.. On considère le problème suivan : y + 3y = e + y() = y () = (a) Résoluion de l équaion homogène associée (E ) y + 3y =. L équaion (E ) adme pour équaion caracérisique : X + 3 = Les racines son r = i 3 e r = i 3. Nous avons l ensemble des soluions de R vers R : (E) S = { λ cos( 3) + µ sin( 3), (λ, µ) R } (b) Déerminaion d une soluion pariculière. On déermine une soluion pariculière pour les équaions : (E ) y + 3y = e e (E ) y + 3y = Pour (E ), on cherche une soluion pariculière de la forme y () = ae. Nous avons alors pour ou R, y () = y () = ae ; ainsi (a + 3a)e = e donc a = 4 Pour (E ), on cherche une soluion pariculière de la forme y () = b. Nous avons alors pour ou R, y () = y () = ; ainsi 3b = donc b = 3 Par principe de superposiion y = y + y es une soluion de (E). (c) Ensemble de oues les soluions de (E). Nous avons l ensemble des soluions de R vers R : S = { λ cos( 3) + µ sin( 3) + e 4 + }, (λ, µ) R. 3 3

4 PCSI 4-5 Mahémaiques Lycée Berran de Born Condiions iniiales. Soi y S elle que y() = e y () =. Pour ou R : y() = λ cos( 3) + µ sin( 3) + e y () = λ 3 sin( 3) + µ 3 cos( 3) + e 4 Comme y() =, nous avons λ =. Comme y () =, nous avons µ = Il vien donc l unique soluion : R R 7 cos( 3) 3 sin( 3) + e Déerminons l ensemble des soluions y : R R de l équaion différenielle : y + y + y = e Nous procédons de la même manière que dans la quesion précédene. (a) Résoluion de l équaion homogène associée (E ) y + y + y =. L équaion (E ) adme pour équaion caracérisique : X + X + = Il y a une racine double r =. Nous avons l ensemble des soluions de R vers R : S = { (λ + µ)e, (λ, µ) R } (b) Déerminaion d une soluion pariculière. Vu le second membre on cherche une soluion pariculière de la forme y() = a e. Nous avons alors pour ou R, y () = a ( )e e y () = a ( 4 + )e ; ainsi en idenifian on obien : a = e la soluion pariculière e (c) Ensemble de oues les soluions de (E). Nous avons l ensemble des soluions de R vers R : S = { ( + λ + µ)e, (λ, µ) R } Problème. Variaions auour d une foncion. Quesions de cours. Vu en cours. On considère la foncion f définie par Parie A. Éude de la foncion f() = arccos ( ) +. Le plus simple es d éudier la foncion g :. La foncion es définie e dérivable sur R \ { } e + g () =. Son ableau de variaions es : ( + ) 4

5 PCSI 4-5 Mahémaiques Lycée Berran de Born x + g + Comme f() = on voi d après le ableau de variaions que + [, ] si e seulemen si R + La foncion arccos es définie sur [, ]. Donc d après la quesion précédene f es définie sur R Éude de la dérivabilié e réécriure de f. (a) La foncion arccos es dérivable sur ], [. Lorsque R + nous avons = ± si e seulemen si + =. En conclusion f es dérivable sur R +. Pour ou R + on a : f () = ( + ) ( ) + = ( + ) ( + ) f () = ( + ) (b) La foncion h : arcan( ) es dérivable sur R + (comme composée de la foncion racine carrée dérivable sur R + e de la foncion arcan dérivable sur R) ; sa dérivée es ( + ) = ( + ) (c) La dérivée de la foncion précédene coïncide donc avec f. Sur l inervalle ], + [ les deux foncions coïnciden à une consane près. En remarquan que f() = π 4 = h() nous obenons bien l égalié de ces deux foncions sur ], + [. En vérifian qu elles son égales en : nous obenons l égalié sur R Nous avons f() = arccos() =. Ensuie lim = e arccos( ) = π donc + + lim f() = π + 5. La dérivée de f éan sricemen posiive sur R + nous avons le ableau de variaions : + f() π 5

6 PCSI 4-5 Mahémaiques Lycée Berran de Born E le graphe : 6. En remarquan que 7. Pour >, on considère l expression : Parie B. Calcul d une primiive + = on obien une primiive sur R de + +. arcan() G() = À l aide du changemen de variable r = s on obien : G() = 8. On écri la primiive F de f qui s annule en : s + s ds r + r dr = [r arcan(r)] = ( arcan( )) + π F () = arcan( s)ds Par inégraion par paries (avec u (s) = e v(s) = arcan( s)) : On a une primiive F de f sur R + donnée par : F () = [ s arcan( s) ] s ( + s) ds F () = arcan( ) ( arcan( ( )) = arcan( )( + ) ) 6

7 PCSI 4-5 Mahémaiques Lycée Berran de Born Parie C. Une équaion différenielle 9. L équaion différenielle à résoudre es linéaire homogène du premier ordre résolue en y. Une primiive sur R + de es ln. L ensemble des soluions sur R + de l équaion homogène es donc : { λ, λ R}. L équaion à résoudre es linéaire du premier ordre résolue en y. Nous avons déjà l ensemble des soluions de l équaion homogène associée. Cherchons une soluion pariculière de l équaion complèe de la forme λ() où λ es une foncion dérivable sur R +. Il vien : λ () = = f () ( + ) Ainsi, d après la quesion précédene, f() es une soluion pariculière de l équaion. Nous avons donc l ensemble des soluions sur R + : { (f() + λ), λ R}. ( ) Éan donné une soluion y λ() = (f() + λ) il s agi d éudier la limie lim y λ(). + Il es clair que = + e lim + lim (f() + λ) = π + λ. Pour avoir un produi de ces deux quaniés + admean une limie finie il es nécessaire que λ = π (nous avons alors un F.I.). Vérifions que c es une condiion suffisane. Si λ = π il s agi de calculer : lim + ( arcan( ) π) ( ) Rappelons que pour ou X > nous avons arcan(x) + arcan = π X donc : ( ) ( arcan( ) π) ( ) arcan = arcan = arcan(x) Or lim = (aux d accroissemen) donc par composiion des limies : x x lim + ( ) arcan = Il exise donc une unique soluion de l équaion différenielle admean une limie finie en + : y() = (f() π) e lim y() = +. La foncion dsolve de la librairie Pyhon sympy perme de résoudre formellemen ceraines équaions différenielles. Nous l avons uilisée pour la résoluion de l équaion (E ) ; cela s obien avec la séquence d insrucions : from sympy impor * x=symbols( x ) y=symbols( y,cls=funcion) eqd=eq(y(x).diff(x) - y(x)/(*x) - /(+x),) prin(eqd) prin(dsolve(eqd,y(x))) Nous arrivons à en exraire la soluion suivane : 7

8 PCSI 4-5 Mahémaiques Lycée Berran de Born y(x) == sqr(x)*(c -*asin(/sqr(x + ))) Les soluions données par Pyhon son-elles correces? Comparer-les aux soluions obenues à l issue de la quesion. Nous voyons apparaîre une soluion pariculière g : ψ() ( ) avec ψ() = arcsin qui diffère + de la nore. On vérifie sans difficulé que ψ es dérivable sur ], + [ e ψ = f. Comme les foncions ψ e f son égales en = elles conïciden sur ], + [. Nous obenons bien le même ensemble de soluions. 8

9 PCSI 4-5 Mahémaiques Lycée Berran de Born Barème. Toal /8 Présenaion - Rédacion. /3 Exercice. /8 8 ps : forme exponenielle + dérivée e son signe + ableau + limies + graphes. Exercice. /4. 4 ps ;. 4 ps ; 3. 4 ps. Exercice 3. /5. (a) 3 ps, (b) 3 ps, (c) 3 ps ;. 6 ps. Problème. /4 Parie A.. (a) 3 ps, (b) ps, (c) 3 ps ;. p ; 3. (a) ps, (b) ps, (c) ps ; 4. ps ; 5. ps. Parie B. 6. ps ; 7. 3 ps ; 8. 3 ps. Parie C. 9. ps ;. ps ;. 4 ps ;. 3 ps. Résulas Moyenne Max Min Exercice 4,33 8 Exercice 7,4 4 Exercice 3 7,63 5 Problème,5 4 P - R,65 3 TOTAL 3,5 57 9