Mathématiques : rappels

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1 Mthémtiques : rppels Frctions Somme de deux frctions : Produit de deux frctions : Rpport de deux frctions : + c d + c = d d c d c d = c d 2 Identités remrqules = d c = d c ( + ) 2 = = ( + )( ) Coefficient du développement de ( + ) n : ordre coefficients développement Pour développer ( ) n il suffit de remplcer pr ce qui revient à lterner les signes + et, pr exemple : ( ) 4 = Puissnces n m = n+m ( n ) m = n m n = n

2 n m = n m 4 Logrithmes Reltion générle y = log x x = y Nottion IUPAC recommndée log 0 = lg et log e = ln lg( ) = lg + lg ( ) lg = lg lg lg = x = 0 x ln = y = exp(y) = e y lg = ln ln 0 lg x n = n lg x 5 Vleurs de logrithmes décimux Connitre Clculer Comment lg 2 = 0, 30 lg 3 = 0, 477 lg 7 = 0, 745 lg 4 = 0, 60 lg 4 = lg 2 2 = 2 lg 2 = 0, 602 lg 5 = 0, 70 lg 5 = lg(0/2) = lg 2 = 0, 699 lg 6 = 0, 777 lg 6 = lg(3 2) = lg 3 + lg 2 = 0, 778 lg 8 = 0, 90 lg 8 = lg 2 3 = 3 lg 2 = 0, 903 lg 9 = 0, 954 lg 9 = lg 3 2 = 2 lg 3 = 0, Éqution du second degré x 2 + x + c = 0 si le discriminnt = 2 4 c > 0 lors deux rcines x = c 2 et x 2 = 2 4 c 2 2

3 L somme des rcines vut x + x 2 = 2 Le produit des rcines vut x x 2 = c 7 Primitives du = lnu + cst u exp( x) exp( x)dx = + cst x n dx = xn+ n + n 8 Dérivées du n du = n un d lnu du = u d expu = exp u du d(u v) = u dv + v du d[u(x)] n n du = n [u(x)] dx dx d lnu(x) = du dx u(x) dx d expu(x) = exp u du(x) dx dx v du u dv d(u/v) = v 2 Fonction composées : u, v et w étnt des fonctions définies, continues et dérivles des vriles x, y, z et F une fonction f définie, continue et dérivle des vriles u, v et w : où pr exemple : df = F x F F dx + dy + y z dz = f x dx + f y dy + f z dz f x = F x = f u u x + f v v x + f w w x 9 Développement en série de fonctions usuelles vlles pour toute vleur de x : e x = + x! + x2 xn ! n! +... cosx = x2 2! + x4 x2n... + ( )n 4! (2n)! +... sin x = x x3 3! + x5 x2n ( )n 5! (2n + )!

4 vlles pour x < : x = + x + x2 + x x n +... = + x 2 x x x ln( + x) = x x2 2 + x3 3 x Développement en série de Tylor L fonction f étnt continue et dérivle sur [, ] ou [, + h] f() f() = f( + h) f() = h f () + h2 2! f () hn n! fn () +... Cercle trigonométrique Définition des grndeurs trigonométriques à prtir du cercle trigonométrique de ryon unité : tg sin r = cos Définitions : tn = sin cos coth = cos sin sin 2 () + cos 2 () = 2 Reltions trigonométriques Angles opposés (Fig. ) : sin( ) = sin cos( ) = cos tn( ) = tn Angles dont l somme ou l différence est égle à π (Fig. ) : sin(π + ) = sin cos(π + ) = cos tn(π + ) = tn sin(π ) = sin cos(π ) = cos tn(π ) = tn Angles dont l différence ou l somme est égle à π/2 (Fig. 2) : sin( + π/2) = cos cos( + π/2) = sin tn( + π/2) = / tn sin( π/2) = cos cos( π/2) = sin tn( π/2) = / tn 4

5 tg sin tg α sin φ tg sin φ cos φ cos α cos α cos sin ( ) tg ( ) tg φ sin α φ = π et α = π+ Fig. Angles : opposés (), dont l somme ou l différence est égle à π (). 3 Reltions trigonométriques complémentires Pour se souvenir des reltions : utiliser l mnémotechnique suivnte cos(p + q) = cospcosq sin p sinq sin(p + q) = sinp cosq + cospsinq cos(p + q) ps de pnchge, signe contrire coscos sinsin sin(p + q) pnchge, signe identique sincos+cossin Ces reltions permettent de retrouver fcilement les reltions cos(p q), sin(p q), et ien sur cos(2x), sin(2x) si l on se souvient que cos( x) = cosx et sin( x) = sinx. Pr exemple : Reltion de Moivre cos(p q) = cospcos( q) sin p sin( q) cos(p q) = cospcosq + sin p sin q (cos + i sin ) n = cos(n ) + i sin(n ) = 4 Les nomres complexes Forme crtésienne z = + j Forme polire z = z (cos + j sin) = z e j où z = et = rctn(/) z = j est l forme conjuguée du complexe z = + j (mêmes modules, phse opposées) 5

6 tg φ cos φ tg sin sin φ φ cos sin φ tg sin φ cos φ cos tg φ φ = π/2 + φ = π/2 Fig. 2 Angles dont l différence () ou l somme () est égle à π/2. = Z sin Z = Z cos Fig. 3 Représenttion géométrique d un nomre complexe. Produit de deux nomres complexes : z = z (cos + j sin ) = z e j z 2 = z 2 (cos 2 + j sin 2 ) = z 2 e j 2 produits des modules somme des phses : z z 2 = z z 2 (cos( + 2 ) + j sin( + 2 )) = z z 2 e j (+2) Rpport : rpport des modules différences des phses : z = z z 2 z 2 [cos( 2 ) + j sin( 2 )] = z (2 ) ej z 2 Rcine d un nomre complexe : z = z (cos + j sin ) = z (cos/2 + j sin /2) z /n = z /n (cos n + j sin n ) Reltion d Euler : cosx = ei x + e i x 2 sin x = ei x e i x 2 i 6

7 5 Trnsformées de Lplce L trnsformée de Lplce d une fonction temporelle f(t) s exprime selon : F(p) = TL[f(t)] = 0 exp( p t)dt () où l opérteur de Lplce p (noté s dns l littérture nglise) est un nomre complexe : p = σ + jω, vec j =. L trnsformée de Lplce d une fonction est notée en générl en mjuscule : E(p) = TL[ e(t)] et S(p) = TL[ s(t)]. Trnsformées de Lplce de quelques fonctions temporelles usuelles cusles pour lesquelles f(0 ) = 0 : f(t) F(p) f(t) F(p) f(t) F(p) df(t) dt p F(p) p t p 3/2 exp( t ) + p sin(ωt) ω p 2 + ω 2 cos(ωt) p p 2 + ω 2 7