Corrigé Maths I, TSI 2011 Elhor Abdelali, CPGE Mohammedia. Premier problème

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1 Corrigé Mahs I, TSI Elhor Abdelali, CPGE Mohammedia Premier problème Première parie Eisence du poin fie.. La bonne définiion des ermes de la suie (u n ) n es assurée par la vérié de la propriéé " n N, u n I " qu on monre par récurrence, iniialisaion : on a par hypohèse u I. hérédié : si on suppose u n I pour un cerain n N alors, avec l hypohèse f(i) I, on a u n+ = f(u n ) I... Cas où I = [a, b]... Par récurrence sur n, iniialisaion : la propriéé es clairemen vraie pour n =. hérédié : si on suppose u n+ u n k n u u pour un cerain n N alors avec l hypohèse (, y) I, f() f(y) k y on a u n+ u n+ = f(u n+ ) f(u n ) k u n+ u n k n+ u u ce qui achève la récurrence. E comme u, u I = [a, b] on a u u b a d où pour ou enier naurel n ona u n+ u n k n (b a) ce qui s écri aussi, n N, u n k n (b a) u n+ u n + k n (b a).... On a pour ou enier naurel n, v n+ v n = (u n+ u n ) α( k)k n (b a) e w n+ w n = (u n+ u n ) + α( k)k n (b a). condiion nécessaire : si les deu suies (v n ) n e (w n ) n son adjacenes alors on a n N, (v n+ v n )(w n+ w n ) condiion qui peu s écrire aussi, n N, u n+ u n α ( k)k n u n+ u n (b a) e donc α sup n N ( k)k n (b a). u n+ u n condiion suffisane : si α sup n N ( k)k n alors pour ou enier naurel (b a) n on a, α ( k)k n (b a) u n+ u n α ( k)k n (b a) e on voi clairemen que si α on a (v n ) n décroissane e (w n ) n croissane e si α on a (v n ) n croissane e (w n ) n décroissane. E comme en plus on a

2 n N, v n w n = αk n (b a) e k ], [ on voi que lim v n w n = e donc n + que les deu suies (v n ) n e (w n ) n son bien adjacenes. On conclu que les deu suies (v n ) n e (w n ) n son adjacenes si e seulemen u n+ u n si α sup n N ( k)k n (b a). remarque : D après la quesion... ce sup es fini e es inférieur ou égal à k e donc le choi α k es suffisan pour que les deu suies (v n) n e (w n ) n soien adjacenes...3. Le réel α éan choisi el que les suies (v n ) n e (w n ) n soien adjacenes soi l leur limie (finie) commune. Comme lim n + αkn (b a) = on voi que lim u n = l. E comme n N, u n [a, b] on voi que l [a, b]. n Pour n N on a u n f(l) = f(u n ) f(l) k u n l. E en faisan endre n vers + on voi que lim u n = f(l). E par unicié de la limie on a n + f(l) = l c es à dire que l es un poin fie de f..3. Cas où I = [a, + [ y = f(a) + k( a).3.. Le sysème y = se résoud à l équaion linéaire du pre- f(a) ka mier degré = f(a) + k( a) qui adme une soluion unique = ce k qui prouve que les deu droies D e d équaions respecives y = f(a)+k( a) f(a) ka e y = son concouranes au poin (c, c) où c =. E on voi que k c a = f(a) a puisque f(i) I e k <. k.3.. D une par on a c a donc si c a c es que a < c. E d une aure pour [a, c] on a f() f(a) k( a) k(c a) e donc f() f(a) + k(c a) = c e comme on a par hypohèse f() a on conclu que f([a, c]) [a, c] Si c = a c es que f(a) = a e donc f adme a I pour poin fie. Sinon on sai d après.3.. que f([a, c]) [a, c] e en uilisan le résula de la quesion.. on a l eisence de l [a, c] el que f(l) = l. On conclu alors que f adme un poin fie dans I..4. Cas où I =], a] Pour J on a g() = f( ) e comme I e f(i) I on voi que g() I c es à dire g() J. On a donc g(j) J. Pour ou (, y) J on a g() g(y) = f( y) f( ) k y. La foncion g vérifie donc sur J = [ a, + [ les hypohèses de la quesion.3.

3 précédene. D où l eisence de l J el que g(l) = l ce qui s écri aussi l I e f( l) = l ce qui veu dire que f adme un poin fie dans I..5. Cas où I = R.5.. D une par c (resp. d) éan l abscisse du poin d inersecion de la droie d équaion y = f() k (resp. y = f() + k) avec la première bissecrice on a c = f() kc f() f() e donc c = e d =. E d une aure pour [c, d] d = f() + kd + k k (remarquer que > ) on a f() f() k kd e donc f() f() + kd = d. Mais on n a pas (en général) f() c pour ou [c, d] comme le monre l eemple f : + cos où on a f() = 3, k =, c = e d = 3 mais on n a pas f() pour ou [, 3] erreur d énoncé! Par conre on a f([ d, d]) [ d, d] vu que pour ou [ d, d] on a, f() f() k kd e donc f() f() kd kd d. La quesion.. perme donc de conclure à l eisence d un poin fie l de f, l [ d, d] e comme on a k l l f() k l on voi que f() l + k l e ainsi si l éai négaif on aurai f() ( k)l ce qui conredi f() >, l es donc posiif e par suie kl l f() kl ce qui donne f() + k l f() k c es à dire l [c, d]..5.. Si f() = c es que es un poin fie pour f. Si f() < la foncion g : f( ) vérifie les hypohèses de la quesion.5.. e donc adme un poin fie l dans I = R e il s en sui que f adme un poin fie l dans I = R. Deuière parie Unicié du poin fie.. Soien l e l dans I els que f(l ) = l e f(l ) = l. On doi donc avoir, l l = f(l ) f(l ) k l l soi ( k) l l e comme on a k > on voi que l l c es à dire l l = soi l = l... Approimaion du poin fie.. En uilisan un résula de la quesion.. on peu écrire, p p (n, p) N N, u n+p u n = u n+i+ u n+i u n+i+ u n+i i= 3 i=

4 ( p p ) soi (n, p) N N, u n+p u n k n+i u u = k n k i u u i= soi (n, p) N N, u n+p u n k n kp k u u e cee dernière inégalié resan valable pour p = on a le résula demandé.... En faisan endre p vers + dans l inégalié ci-dessus on voi que, n N, u n l kn k u u vu que lim u n+p = l e lim p + p + kp =..3. Un eemple.3.. On a (, y) R, f() f(y) = sin siny e le héorème des accroissemens finis appliqué à la foncion sinus donne l eisence d un réel z el que sin siny = cos(z)( y) e on voi que pour ou (, y) R on a, f() f(y) y ce qui signifie que la foncion f saisfai au hypohèses de la quesion.5. (avec k = ], [). f adme donc un poin fie l R qui es unique d après On a d après... n N, u n l f() = e ainsi pour n que u n soi une valeur approchée de l à 3 près il suffi de choisir n el que n 3 c es à dire el que n e comme = 4 e 9 = 5 on choisira donc l enier naurel n el que n... Pour u ], [ on sai que n Deuième problème Première parie Éude d une foncion i= + u = u n d où en posan u = on + voi que pour ou ], [ on a + = ( ) n n ce qui prouve que la dérivée de la foncion arcangene adme au voisinage de un développemen en série enière de rayon de convergence e on conclu alors d après le cours que la foncion arcangene adme au voisinage de un développemen en série enière de même rayon de convergence que celui de sa dérivée e qui s obien par inègraion erme à erme : arcan = ( ) n n + n+... La foncion g es clairemen coninue sur R comme produi de deu foncions coninues sur R. 4

5 arcan arcan arcan On a lim g() = lim = lim = arcan = + = donc la foncion g adme un prolongemen par coninuié en avec, si on noe encore g ce prolongemen, g() =..3. Pour R on pose f() =.3.. Si on noe pour ou réel, G() = g()d. g()d ( remarquer que G n es aure que la primiive sur R qui s annule en de la foncion g ) on a f() = G() pour ou réel non nul d où f es coninue sur R comme produi de deu foncions coninues sur R. G() G() E comme en plus on a lim f() = lim = G () = g() = on voi que la foncion f se prolonge en une foncion coninue sur R avec, si on noe encore f ce prolongemen, f() =. ( )n+ z n+.3.. Pour z C (n+3) on a lim n + ( )n z n donne que la série numérique n (n+) = z e la règle de D Alember ( ) n (n + ) zn es divegene si z > e absolumen convergene si z < ce qui prouve que la série enière n es de rayon de convergence D une par la série enière n donc la série n ( ) n (n + ) zn ( ) n (n + ) zn es de rayon de convergence ( ) n (n + ) n es convergene pour ou réel ], [. E d une aure, en uilisan.., on a ], [, g() = inégraion erme à erme on a ], [, on voi que ], [, f() = ( ) n (n + ) n. g()d = ( ) n n + n e par ( ) n (n + ) n+ e.3.4. D une par f es clairemn de classe C sur R comme produi de deu foncions de classe C sur R. E d une aure, d après.3.3., elle es développable en série enière au voisinage de e donc de classe C dans un voisinage de. On conclu alors que f es de classe C sur R..4. Epression de f() comme somme d une série..4.. Comme la suie n es décroissane e de limie en + on (n + ) 5

6 voi que la série alernée ( ) n vérifie le crière de Leibniz e es donc (n + ) n convergene d après le cours qui donne en plus la majoraion du module du rese n S ( ) k (k + ) = ( ) k (k + ) ( ) n+ ((n + ) + ) = (n + 3). k=n+.4.. Pour k N e ], [ monrons d abord que k k( ), en effe le héorème des accroissemens finis appliqué à la foncion k sur le segmen [, ] donne l eisence d un réel ξ ], [ el que k = kξ k ( ). remarque : k Ce résula peu s obenir aussi en uilisan l idenié k = ( ) i. Ainsi pour ou n N e ], [ on peu écrire, ( ) k (k + ) ( n k ) k (k + ) ( k ) e vu que le (k + ) k= k= ( ) k erme (k + ) ( k ) es nul pour k = on a le résula demandé Pour ou n N e ], [ on a en uilisan.3.3., n f() ( ) k (k + ) = ( ) k ( ) k (k + ) k (k + ) ( k ) e donc k=n+ n f() ( ) k (k + ) ( ) k (k + ) k + ( ) k (k + ) ( k ) soi en k=n+ n uilisan.4.. f() ( ) k (k + ) k=n+ k= ( ) k (k + ) k +( ) i= k= k (k + ) k d une par on a clairemen (k + ) pour ou enier naurel k e donc k ( k ) (k + ) ( ) k pour ou n N e ], [ e d une k= aure la série k k= ( ) k (k + ) k es clairemen alernée pour ], [ e saisfai au crière de Leibniz vu que la suie k décroi vers (comme produi (k + ) de deu suies décroissanes vers ), e on a donc la majoraion en valeur absolue ( ) k du rese (k + ) k ( ) n+ (n+) ((n + ) + ) d où le résula (n + 3) k=n+ n demandé f() ( ) k (k + ) ( ) k + (n + 3) Du fai de la décroissance de la foncion sur ], + [ on a pour ou enier k, k k d = ln(k) ln(k ) d où pour ou enier n, k 6 k k=

7 k n ln(k) ln(k ) = ln(n) e donc + ln(n) e cee dernière k k= k= k= inégalié resan valable pour n = on a le résula souhaié D une par on a pour ou enier n, n = d où lim n n = n + e d une aure, vu que n ], [ pour n, on a d après.4.3. e.4.4. f( ( ) k n) (k + ) ( n) k + (n + 3) + ln(n) + n (n + ) k= e finalemen, f éan coninue en d après.3.., on voi en faisan n + ( ) k que f() = lim n + (k + ) = S On a en uilisan.4.. pour ou enier naurel n, n f() ( ) k (k + ) (n + 3) donc pour que la somme parielle S n = soi une valeur approchée de f() à 3 près il suffi qu on ai (n + 3) 3 soi n 5, S 5 es donc une valeur approchée de f() à 3 près. En dérivan la relaion f() = g()d on a f() + f () = g() ce qui donne f () = g() f() = π 4 f() e donc π 4 S 5 es une valeur approchée à 3 près de f (). remarque : une valeur approchée à près de f() es S 4 approchée à près de f () es π 4 S Éude de f au voisinage de +..9 e une valeur.5.. Pour ], + [ posons ϕ() = arcan + arcan. En dérivan la foncion ϕ ainsi définie on a, >, ϕ () = + + = la foncion ϕ es donc consane sur l inervalle ], + [ e comme ϕ() = π.5.. Pour > on a, f() = g()d = g()d + par le biais du changemen de variable on a, g()d = e d après.5.. ona pour ou réel >, g( ) = arcan( ) = (π arcan ) = g() π d où pour ou réel > on a, g()d = g()d π d = g()d + π ln() e donc pour ou réel >, f() = g()d + on a le résula demandé. g()d g()d + πln() g( )d ( ) k (k + ) 7

8 c es à dire, f() = g()d + πln() = f( ) + πln().5.3. On a d une par par coninuié de f en, lim f( ) = f() = e donc + f( ) au voisinage de + e d une aure on a, = o(πln() ) au voisinage de +. Donc on a, f() πln() au voisinage de + e par suie lim f() = lim πln() + + =..6. On a, d après.5.., >, f() = πln() on a f() = πln(). + f( ) e comme pour > ], [ on voi, en uilisan.3.3., que pour ou réel > on a, On a f(5) = πln(5) + + ( ) n πln() (n + ) = + n + ( ) n (n + ) e la série 5n+ ( ) n (n + ) n+. n= ( ) n (n + ) éan 5n+ clairemen alernée e de Leibniz on a pour ou enier naurel n, πln(5) ( ) k f(5) (k + ) 5 k+ une valeur approchée (n + 3) 5(n+) de f(5) à 3 près s obien dès que n = soi f(5) πln(5) La parié de la foncion g éan claire en effecuan dans l epression g()d le changemen de variable on a pour ou réel, f() = g( )d = g()d = f( ), la foncion f es donc paire. Pour ou > on a, d après le héorème des accroissemens finis, l eisence arcan arcan de ξ ], [ el que g() = = arcan ξ = + ξ > + d où par inégraion pour ou >, f() = g()d > arcan = g() e comme pour ou > on a, f g() f() () = on voi que la foncion f es sricemen décroissane sur R +. y = arcan() d

9 Deuième parie Résoluion d une équaion différenielle.. α es soluion de (H) sur I I, α(α ) α + 3α α + α =.. Si on noe ϕ : on a, I, (α + α + ) α = α + α + = α =. ϕλ soluion de (H) (ϕ λ + ϕ λ + ϕλ ) + 3(ϕ λ + ϕλ ) + λϕ = ( ϕ + 3ϕ + ϕ)λ + ( ϕ + 3ϕ)λ + ϕλ = }{{} = λ + λ = (λ ) = d où comme I es un inervalle on a, ϕλ soluion de (H) sur I K R / I, λ () = K e on voi par eemple (pour K = ) que la foncion λ : ln convien..3. L équaion différenielle (H) éan de la forme ay + by + cy = où les foncions a, b e c son coninues sur l inervalle I avec en plus a qui ne s annule pas sur I, on sai d aprés le cours que l ensemble des soluions de (H) sur I es un R-espace vecoriel de dimension. Les soluions ln e éan clairemen non proporionnelles elles formen un sysème fondamenal de soluions de (H) sur I : oue soluion es de la forme K + K ln, K, K R..4. Si (K, K ) (, ) la foncion K + K ln n a pas de limie finie en e par conséquen (H) n adme pas de soluion sur R aure que la soluion nulle..5. λ() es soluion de L sur I I, λ () + λ () = + K R / I, λ () = K + arcan arcan e on voi par eemple (pour K = ) que λ : d convien..6. On sai d après le cours que l ensemble des soluions de (L) sur I es un espace affine de direcion l espace vecoriel des soluions de (H) auremen di si y es une soluion pariculière de (L) sur I alors oue soluion de (L) sur I es de la forme y : y () + K + K ln, K, K R. E comme, d après.5., la foncion f : arcan d es une soluion pariculière de (L) sur I, on voi que oue soluion de (L) sur I es de la forme y : arcan d + K + K ln, K, K R. 9

10 .7. Soi y une soluion de (L) elle qu on ai dans un voisinage ouver ] r, r[ de, y() = a n n alors on doi avoir pour ou ] r, r[, n(n )a n n + 3 soi pour ou ] r, r[, na n n + a n n = + (n + ) a n n = + + e comme ], [, + = ( ) n n on doi avoir par unicié du a n = ( )n développemen en série enière n N, (n + ). a n+ = E comme on sai, d après.3.. de la première parie de ce problème, que la série enière ( ) n (n + ) n es de rayon de convergence on a nécessairemen n r e ] r, r[, y() = ] r, r[, y() = f() =.8. ( ) n (n + ) n c es à dire d après.3.3., arcan d. Une soluion y de (L) sur R l éan déjà sur I, es nécessairemen de la forme y : arcan d + K + K ln, K, K R e comme elle se prolonge }{{} f() en on a nécessairemen K = K =. On conclu que l unique soluion de (L) sur R es la foncion f éudiée dans la première parie de ce problème. FIN DU CORRIGÉ