Loi de Bernoulli et loi binomiale, cours, première S

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Arthur Marcil
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1 Loi de Beroulli et loi biomiale, cours, classe de première S Loi de Beroulli et loi biomiale, cours, première S 1 Loi de Beroulli Déitio : Soit p u ombre réel tel que p [0; 1]. Soit X ue variable aléatoire. O dit que X suit ue loi de Beroulli de paramètre p si : X pred pour seules valeurs 1 ( succès et 0 ( échec ; P (X = 1 = p et P (X = 0 = 1 p. Propriété : Soit X ue variable aléatoire qui suit la loi de Beroulli de paramètre p. E(X = p ; V (X = p(1 p. Preuve : D'ue part, E(X = 0 P (X = P (X = 1 = 0 (1 p + 1 p = p. E outre, V (X = P (X = 0 (0 E(X 2 + P (X = 1 (1 E(X 2 = (1 pp 2 + p(1 p 2 = p(1 p(p + 1 p = p(1 p Algorithmique : Algorithme de simulatio d'ue épreuve de Beroulli de paramètre p. Doées : p : ombre décimal etre 0 et 1 ; Début traitemet t pred ue valeur aléatoire décimale etre 0 iclus et 1 exclu ; si t < p alors Acher "Succès" ; sio Acher "Échec" ; Fi http: // mathsfg. et. free. fr 1

Propriété : Soit X ue variable aléatoire qui suit la loi de Beroulli de paramètre p. E(X = p ; V (X = p(1 p. Preuve : D'ue part, E(X = 0 P (X = 0 + 1 P (X = 1 = 0 (1 p + 1 p = p.

2 Loi de Beroulli et loi biomiale, cours, classe de première S TI : Prompt P NbreAleatoire( T If T < P The Disp "SUCCES" Else Disp "ECHEC" Casio : P? P Rad# T If T < P The "SUCCES" Else "ECHEC" XCas : saisir("etrer p : ",p; t:=alea(0,1; si (t<p alors afficher("succès"; sio afficher("echec"; fsi; Pytho : from radom import* p=float(raw_iput("etrer p : " t=radom( if (t<p: prit("succès" else: prit("echec" 2 Schéma de Beroulli Déitio : Deux expérieces sot dites idépedates si le résultat de l'ue 'iuece pas le résultat de l'autre. il y a idépedace lorsqu'o lace deux fois de suite ue pièce de moaie. Déitio : La répétitio d'ue expériece aléatoire suivat ue loi de Beroulli de paramètre p, ceci fois de maière idépedate, costitue u schéma de Beroulli de paramètres et p. Propriété : Das u schéma de Beroulli, la probabilité d'ue liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat Exemple de savoir faire : [Costruire u arbre représetat u schéma de Beroulli de paramètres doés] O cotrôle la qualité d'u produit sur ue chaîe de productio. O prélève 3 produits au hasard. O suppose que les prélèvemets sot idépedats. Statistiquemet, chaque produit a ue http: // mathsfg. et. free. fr 2

: " t=radom( if (t<p: prit("succès" else: prit("echec" 2 Schéma de Beroulli Déitio : Deux expérieces sot dites idépedates si le résultat de l'ue 'iuece pas le résultat de l'autre.

3 Loi de Beroulli et loi biomiale, cours, classe de première S probabilité p = 0, 05 d'être défectueux. O a doc u schéma de Beroulli de paramètres p = 0, 05 et = 3. [Calculer la probabilité d'u évéemet représeté par u chemi sur u arbre podéré] Sur l'arbre ci-dessus représetat u schéma de Beroulli de paramètres = 3 et p = 0, 05, la probabilité d'avoir les deux premières expérieces qui doet u succès et la derière qui doe u échec est P (SS S = 0, , 95 0, 002 soit 0,2 % de chaces d'avoir deux produits défectueux sur les trois prélevés. 3 Loi biomiale Déitio et propriété : Soiet et k deux etiers aturels avec k. O ote ( k (o dit k sous le ombre de maières d'obteir k succès et k échecs pour répétitios idépedates de la même expériece de Beroulli. Remarque hors programme mais culturelle : O a (! = k k!( k! avec! = ( 1 ( Preuve : Admise http: // mathsfg. et. free. fr 3

premières expérieces qui doet u succès et la derière qui doe u échec est P (SS S = 0, 05 2 0, 95 0, 002 soit 0,2 % de chaces d'avoir deux produits défectueux sur les trois prélevés.

4 Loi de Beroulli et loi biomiale, cours, classe de première S ( 3 3 = 1 : il y a ue seule maière d'obteir 3 succès lors de la répétitio de 3 épreuves idetiques idépedates. ( 3 2 = 3 : il y a trois maières d'obteir 2 succès et u échec lors de la répétitio de 3 épreuves idetiques idépedates (SSE ; SES ; ESS. Déitio : O cosidère ue épreuve de Beroulli de paramètre p [0; 1]. O répète fois ( 1 cette expériece idépedammet et o ote X la variable aléatoire qui compte le ombre de succés. O dit alors que la variable aléatoire X suit ue loi biomiale de paramètres et p et o ote X B(; p. Propriété : Si X est ue variable aléatoire qui suit ue loi biomiale de paramètres et p, alors la probabilité d'obteir k succès avec k {0; 1; 2;...; } est P (X = k = ( k p k (1 p k. Preuve ( : Il y a k maières d'obteir k succès das répétitios d'expérieces idetiques et idépedates. La probabilité de chacue de ces évéemets qui sot évidemmet icompatibles est p k (1 p k d'où le résultat. Exemple de savoir faire : [Calculer la probabilité de P (X = k où X suit ue loi biomiale à partir d'u arbre podéré] O cosidère le problème précédet de test des produits d'ue chaîe de productio. Les prélèvemets état supposés idépedats les us des autres, l'expériece costitue u schéma de Beroulli de paramètres = 3 et p = 0, 05. La variable aléatoire X qui compte le ombre de succès suit la loi biomiale de paramètres = 3 et p = 0, 05. http: // mathsfg. et. free. fr 4

Déitio : O cosidère ue épreuve de Beroulli de paramètre p [0; 1]. O répète fois ( 1 cette expériece idépedammet et o ote X la variable aléatoire qui compte le ombre de succés.

5 Loi de Beroulli et loi biomiale, cours, classe de première S O a P (X = 2 = P (SS S S SS SSS car trois chemis permettet d'obteir deux succès c'est à dire deux objets défectueux. D'où P (X = 2 = P (SS S + P (S SS + P ( SSS doc P (X = 2 = 0, , , 95 0, 05 0, , 95 0, 05 2 = 3 0, , 95 = 0, 007 soit ue probabilité très faible de 0,007 d'avoir deux produits défectueux. Calcul pratique de P (X = k et P (X k : Soit X ue variable aléatoire de paramètres et p. Pour k allat de 0 à, pour calculer P (X = k ou P (X k, o utilise ue calculatrice : Sur Texas istrumet : aller das le meu 2d distrib, choisir biomfdp et taper, p, k pour calculer P (X = k et choisir biomfrép et taper, p, k pour calculer P (X k. Sur Casio : aller das le meu STAT puis DIST puis BINM. Sélectioer alors Bpd puis Var pour variable, puis etrer alors k das la lige x, das la lige umtrial et p das la lige p puis aller sur execute pour valider et calculer aisi P (X = k. Pour le calcul de P (X k, o utilisera Bcd au lieu de Bpd. Exemple de savoir faire : [Calculer P (X = k ou P (X k où X suit ue loi biomiale à l'aide d'ue calculatrice] O cosidère ue variable aléatoire X suivat la loi biomiale de paramètres = 4 et p = 0, 4. Sur TI, la probabilité P (X 3 est doée par biomfrép(4,0.4,3. Remarques : O a P (X < 3 = P (X 2 pour calculer P (X > k, o calcule 1 P (X k. Propriété : Soit X ue variable aléatoire qui suit ue loi biomiale de paramètres et p. Alors : E(X = p ; V (X = p(1 p Preuve : Admise Algorithmique : Algorithme de simulatio d'ue loi biomiale de paramètres et p. http: // mathsfg. et. free. fr 5

défectueux. Calcul pratique de P (X = k et P (X k : Soit X ue variable aléatoire de paramètres et p.

6 Loi de Beroulli et loi biomiale, cours, classe de première S Doées : p : ombre décimal etre 0 et 1 ; : etier aturel ; Début traitemet c pred la valeur 0 ; pour k de 1 jusque faire t pred ue valeur aléatoire décimale etre 0 iclus et 1 exclu ; si t < p alors c pred la valeur de c + 1 ; Fi Sorties : c TI : Prompt N Prompt P 0 C For(K,1,N N brealeatoire( T If T < P The C + 1 C Ed Ed Disp C Casio : P? P N? N 0 C For 1 K To N Step 1 Rad# T If T < P The C + 1 C IfEd Next "C=" :C XCas : saisir("etrer p : ",p; saisir("etrer : ",; c:=0; pour k de 1 jusque faire t:=alea(0,1; si t<p alors c:=c+1; fsi; fpour afficher("nombre de succès : "+c; Pytho : from radom import* p=float(raw_iput("etrer p : " =it(raw_iput("etrer : " c=0 for k i rage(1,+1: t=radom( if t<p: c=c+1 prit("nombre de succès",c http: // mathsfg. et. free. fr 6

7 Loi de Beroulli et loi biomiale, cours, classe de première S Algorithmique : Algorithme de simulatio d'obtetio de N échatillos de lois biomiales de paramètres et p. Doées :, N : ombres etiers ;p : ombre décimal etre 0 et 1 ; Début traitemet s est ue liste vide ; pour k de 0 jusque faire s[k] pred la valeur 0 ; pour m de 1 jusque N faire c pred la valeur 0 ; pour k de 1 jusque faire t pred ue valeur aléatoire décimale etre 0 iclus et 1 exclu ; si t < p alors c pred la valeur de c + 1 ; s[c] pred la valeur de s[c] + 1 ; Acher s ; Fi XCas : saisir("etrer p : ",p; saisir("etrer : ",; saisir("etrer N : ",N; s:=[]; pour k de 0 jusque faire s[k]:=0; pour m de 1 jusque N faire c:=0; pour k de 1 jusque faire t:=alea(0,1; si t<p alors c:=c+1; fsi; s[c]:=s[c]+1; pour k de 0 jusque faire afficher("avec "+k+" succès : "+s[k]; Pytho : from radom import* p=float(raw_iput("etrer p : " =it(raw_iput("etrer : " N=it(raw_iput("Etrer N : " s=[] for k i rage(0,+1: s.apped(0 for m i rage(1,n+1: c=0 for k i rage(1,+1: t=radom( if t<p: c=c+1 s[c]=s[c]+1 for k i rage(0,+1: prit "Nombre avec "+k+" succès : "+s[k] http: // mathsfg. et. free. fr 7

k de 1 jusque faire t pred ue valeur aléatoire décimale etre 0 iclus et 1 exclu ; si t < p alors c pred la valeur de c + 1 ; s[c] pred la valeur de s[c] + 1 ; Acher s ; Fi XCas : saisir("etrer p :

8 Loi de Beroulli et loi biomiale, cours, classe de première S 4 Coeciets biomiaux Propriétés : ( ( k = k ; ( ( k + ( k+1 = +1 k+1 Triagle de Pascal : Le triagle de Pascal, du om de Blaise Pascal, mathématicie fraçais du XVII e siècle qui le redécouvra e Occidet (car il était cou avat e Oriet et au Moye-Oriet est ue dispositio permettat de visualiser et de calculer les coeciets biomiaux et qui s'appuie sur la formule précédete. ( 0 ( 0 = 1 1 ( 0 = 1 1 ( 1 = 1 2 ( 0 = 1 2 ( 1 = ( 0 = = Explicatio de la costructio : le ombre de la lige et de la coloe k est le coeciet biomial ( 1 k 1. Il est obteu e ajoutat le ombre situé au dessus (lige 1 et coloe k au ombre de la coloe et de la lige précédete (lige 1 et coloe k 1. Par exemple, ( 3 1 = 3 est la somme de ( 2 1 = 2 et de ( 2 0 = http: // mathsfg. et. free. fr 8

9 Loi de Beroulli et loi biomiale, cours, classe de première S Algorithmique : Algorithme de costructio du triagle de Pascal. Doées : : etier aturel ; Début traitemet a est u tableau vide ; pour k de 0 jusque faire b est u tableau vide ; pour p de 0 jusque k faire b[p] pred la valeur 1 ; a[k] pred la valeur de b ; pour k de 1 jusque faire pour p de 1 jusque k 1 faire a[k][p] pred la valeur de a[k-1][l]+a[k-1][l-1] ; Acher a[k] ; Fi XCas : saisir("etrer :",; a:=[]; pour k de 0 jusque faire b:=[]; pour p de 0 jusque k faire b[p]:=1; a[k]:=b; pour k de 1 jusque faire pour p de 1 jusque k-1 faire a[k,p]:=a[k-1,p]+a[k-1,p-1]; afficher(a[k]; Pytho : =it(raw_iput("etrer : " a=[] for k i rage(1,+2: b=[] for p i rage(0,k: b.apped(1 a.apped(b for k i rage(1,+1: for p i rage(1,k: a[k][p]=a[k-1][1]+a[k-1][p-1] prit a[k] http: // mathsfg. et. free. fr 9

1 jusque faire pour p de 1 jusque k 1 faire a[k][p] pred la valeur de a[k-1][l]+a[k-1][l-1] ; Acher a[k] ; Fi XCas : saisir("etrer :",; a:=[]; pour k de 0 jusque faire b:=[]; pour p de 0 jusque k

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