Médiation équitable dans un environnement ouvert d agents compétitifs Fair mediation among competitive agents in an open environment

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1 Médition équitble dns un envionnement ouvet d gents compétitifs Fi medition mong competitive gents in n open envionment P. Lme Philippe.Lme@iin.univ-nntes.f S. Czlens Sylvie.Czlens@iin.univ-nntes.f Institut de Recheche en Infomtique de Nntes (IRIN) 2, ue de l Houssinièe BP92208 F44322 Nntes cédex 3 FRANCE Résumé : Nous pésentons un modèle de médition ente plusieus gents founisseus cpbles de éponde à l equête d un utilisteu. Les mécnismes clssiques de «mtchmking» n utilisent que les décltions de cpcités des founisseus. L objectif est de pende ussi en compte l qulité des gents founisseus, insi que leus péféences pou cetines equêtes. Ces denièes sont epésentées p des offes monéties, qui peuvent ête négtives si l gent ne désie ps tite l equête. Le modèle de mico-économie pésenté pemet de sélectionne n founisseus en espectnt un ppot ente qulité et péféence. Le coût d une équisition est suppoté p l ensemble des founisseus. Mots-clés : Systèmes multi-gents, gents intemédiies, médition, enchèes, équisitions, équité Abstct: In this ppe, model of fi medition is pesented. Clssicl mtchmking mechnisms only tke into ccount cpbilities desciptions mde by povides. Thei esult is set of povides which e ble to nswe the equeste s quey. Ou gol is to lso tke into ccount povides qulity nd thei pefeences fo pticul queies. The pefeences e modelled s bids mde by povides. Bids my be negtive if the povide does not wnt to eceive quey. In this mico-economic model, selection of n povides is obtined though blnce between qulity nd bids. The cost eltive to the equisition of some povide is shed by ll the povides. Keywods: Multigent systems, middle gents, medition, uctions, imposition, finess 1 Intoduction Dns les systèmes multi-gents, l echeche efficce d gents qui sont cpbles de ésoude un poblème donné se pose à des degés dives d impotnce. Dépendnt du type de société et d pplictions, difféentes solutions ont été poposées. L une d ente elles consiste à utilise un gent intemédiie (middle gent) [2] ente des gents utilisteus et des gents founisseus. Etnt donnée l equête d un utilisteu, l gent intemédiie est chgé de touve des gents founisseus compétents pou tite cette equête. Cette ppoche est souvent utilisée dns des pplictions où les gents évoluent en envionnement ouvet 1 et qu il leu fut tou- 1 Dns un envionnement ouvet, des gents peuvent ppîte, dispîte ou évolue indépendmment les uns des utes. Aucun ogne de égultion n est pésent dns le système. ve des founisseus qui ont les infomtions ou poposent les sevices dptés à leu poblème. A note connissnce, l plupt des gents intemédiies ctuels sont uniquement bsés su des mécnismes d ppiement (mtchmking) ente equêtes d utilisteus et décltions de cpcités effectuées p les founisseus. Étnt donnée une equête, ces mécnismes pemettent de sélectionne, efficcement, un cetin nombe d gents «cndidts» qui ont les cpcités equises pou l tite. Cependnt, l sélection finle d un ou plusieus gents pmi les cndidts est fite létoiement, ou su des citèes de chge 2, ou lissée u choix de l gent utilisteu. Cependnt, il existe souvent d utes éléments pou déptge les cndidts. Dns le cs d gents founisseus d infomtions ou plus génélement de sevices, les stuctues (entepises, univesités, gouvenements, individus... ) mettnt à disposition des essouces ont des objectifs spécifiques, p exemple, que celles-ci soient utilisées souvent ou dns cetins cs pécis. Cet intéêt peut ête finncie (entepise) ou eflétnt un dési de notoiété, etc. Le concept de sevice n est ps suffisnt pou pende en compte les objectifs des ognistions los que celui d gent, en tnt que epésentnt des sevices et des ognistions, est tout à fit dpté. Un gent peut, en effet, mette en œuve une politique pticulièe. Ainsi, deux sevices similies peuvent ête poposés p des ognistions difféentes, vec des objectifs difféents. C est à l gent founisseu de fie en sote que le sevice qu il epésente soit utilisé dns des conditions coespondnt u mieux ux isons qui ont conduit à l poposition de ce sevice. Pou cel, il met en œuve des sttégies tennt compte de son envionnement et des utes gents vec lesquels il est susceptible d ente en concuence de fçon à tteinde ses objectifs. En conclusion, les objectifs des gents induisent un pemie élément de discimintion ente les gents cndidts u titement d une 2 losqu il y un seul intemédiie et qu il connissnce de l chge des gents founisseus.

2 equête. Du point de vue des utilisteus, pmi les gents founisseus cndidts, il est péféble de choisi le plus pefomnt pou tite l equête. P exemple, pmi deux gents ynt l cpcité de founi des infomtions et conseils juidiques, l un peut le fie mieux que l ute en ce qui concene une question pticulièe eltive p exemple à l fçon de tite un difféent vec un commeçnt. Nous dions que les deux gents ne sont ps de même qulité vis à vis de l equête. Dns le domine des gents, l notion de qulité peut vêti difféentes cceptions. Elle ussi des liens fots vec celles de éputtion et de confince. Elle peut ête cquise de difféentes fçons, mis dns cet ticle nous supposons que cette infomtion est donnée. On pou se éfée à [5] pou un étt de l t su les difféentes notions de éputtion. L qulité constitue un ute élément de discimintion los du pocessus de choix des gents founisseus. Les tvux pésentés dns cet ticle visent à pende en compte les deux éléments décits pécédemment pou déptge des gents founisseus ynt les cpcités de éponde à une equête. Nous epésentons l qulité d un gent p une mesue. Pou que les objectifs des gents founisseus soient pis en compte, nous vons choisi de leu fie expime des péféences su les equêtes qui pviennent à l gent intemédiie. Autement dit, les founisseus tduisent leus objectifs en temes de péféences su les equêtes. Les founisseus étnt dns une sitution de compétition, ces péféences pennent l fome «d offes monéties». Il est los possible d utilise un modèle de mico-économie semblble à celui des ventes ux enchèes que les échnges soient des tnsctions monéties éelles ou non. L offe que fit un gent founisseu pou ête ssocié à une equête peut ête fonction de son espénce de gin p ppot u titement de cette equête. Son gin peut ête finncie, si l gent utilisteu finnce le titement de l equête, qulittif, si l qulité est obtenue p éputtion et qu il considèe pouvoi éponde coectement, ou enfin sttégique, si le founisseu cheche p exemple à ente en eltion vec l gent utilisteu. Cependnt, utoise les gents à expime leus péféences ne doit ps fie oublie l objectif initil qui est de éponde à une equête. Un poblème peut en effet suveni si ucun gent ne désie ête ffecté à une equête pticulièe. Dns ce cs, plutôt que de pocéde à un tige létoie des gents uxquels cette equête se imposée, nous péféons mette en plce un pocessus de équisition équitble. L équité vient du fit que l gent uquel l equête est ffectée n est ps le seul à suppote le coût du titement, mis qu une contibution est demndée à chcun. Dns cet ticle nous poposons un modèle pennt en compte à l fois l qulité et les péféences des gents, tout en ssunt une équisition équitble en cs de pénuie. Ceci pemet de mette en œuve un véitble pocessus de médition 3 ente les spitions des founisseus, vi leus péféences, et les besoins des utilisteus, vi l qulité. Étnt donnée une equête, le tvil de l gent intemédiie compend donc deux temps distincts. Dns le pemie, su l bse des décltions de cpcités, il sélectionne un cetin nombe d gents founisseus cndidts. Dns le deuxième, su l bse de l qulité et des péféences, il met en œuve une médition équitble. Le modèle poposé dns cet ticle concene l seconde phse. L section 2 définit pécisément le poblème, pou lequel nous pésentons une solution dns l section 3. L section 3.1 définit un ode su les gents founisseus cpbles de tite une equête, en tennt compte de l qulité et des péféences. Les n meilleus sont los sélectionnés. L section 3.2 définit ce que les gents doivent pye ou ecevoi. Nous situons note tvil p ppot à d utes tvux liés dns l section 4 vnt de conclue. 2 Nottions, définition du poblème Dns note modèle, les gents founisseus sont ppelés ouvies c leu ôle u finl est de élise un tvil pticulie demndé p l equête. L ensemble des ouvies est noté W. Nous notons U l ensemble des gents utilisteus. Pésentée infomellement, l médition peut ête vue comme le poblème suivnt : étnt donnée une equête et un cetin nombe d ouvies ynt les cpcités de tite l equête, il fut sélectionne cetins de ces gents, su l bse des péféences expimées p chque ouvie et de l qulité estimée de chcun. Cette sélection se los envoyée à l gent utilisteu. Soulignons que nous ne nous limitons ps à l sélection d un seul ouvie, c, dns le cs d une echeche d infomtions p exemple, l utilisteu peut vouloi consulte plusieus souces. 3 Le teme est à considée dns son sens de tous les jous, comme entemise destinée à pveni à un ccod (définition du petit Lousse), et non ps dns celui spécifique u domine des bses de données.

3 Nous utilisons une hypothèse simplifictice : une equête epésente une «unité» de tvil ppelée tâche. Le fit que l demnde initile d un utilisteu puisse epésente plusieus tâches n est ps considéé ici. L ensemble des tâches est noté T. Dns ce contexte, il est possible de défini l equête d un gent utilisteu de l mnièe suivnte : Définition 1 Une equête expimée p un gent utilisteu est un n-uplet, t, n tel que : U est l gent émettnt l equête, t T est l desciption de ce que l gent utilisteu souhite voi élisé. n est un entie positif : c est le nombe d gents ouvies de l pt desquels l gent utilisteu souhite voi une poposition pou l élistion de t. L ensemble des equêtes est noté R = {, t, n : U, t T, n 0}. Étnt donnée une equête, décivnt une tâche t 4, on note W t (et p extension W ) l ensemble des gents ouvies ynt l cpcité de tite l tâche t. Comme indiqué pécédemment, le poblème de l obtention de l qulité des gents n est ps un sujet bodé dns cet ticle. Nous supposons donc que cette infomtion est donnée p une fonction : q : W T R +. P exemple, l tble 1 indique, pou chcun des dix ouvies cpbles de tite l equête, s qulité estimée (p l gent intemédiie) visà-vis de l tâche t d une equête. o 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 o 7 o 8 o 9 o 10 q(o,.t) TAB. 1 Exemple de qulités pou une equête donnée et 10 ouvies Enfin, pou pende en compte les péféences des ouvies, nous leu donnons l possibilité de fie des offes su les equêtes. Cette offe dépend bien sû de l tâche à élise et de ce que l ouvie souhite fie. Une offe monétie positive indique que l gent désie tite l equête, et ce d utnt plus que l offe est élevée. Invesement, une offe monétie négtive 4 Cette tâche se notée.t, de même que le nombe d gents dont on ttend une éponse se désigné p.n. Le péfixe se omis losqu il n y ps d mbiguïté. indique que l ouvie ne désie ps tite l equête ; l vleu bsolue du montnt poposé epésente los une évlution du coût de l équisition de l ouvie pou effectue le titement de l equête. Nous epésentons donc les offes d un ouvie o quelconque p une fonction qui ssocie à chque equête une vleu dns R : off o : R R L tble 2 epésente les offes fites p les 10 ouvies pécédents su l equête. On note en pticulie que o 6, o 7, o 8 ne veulent ps tite l equête. o 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 o 7 o 8 o 9 o 10 off o() TAB. 2 Exemple d offes p des ouvies pou ête ssociés à une equête. Nous supposons que les vleus des qulités (espectivement des offes) sont compbles ente elles, mis ps nécessiement bonées. Avec ces nottions, étnt donnée une equête, le poblème de l médition consiste à touve.n gents pptennt à W en fonction d un citèe qui penne en compte à l fois q(o, t), o W et off o (), o W. Le pocessus pésenté popose une solution à ce poblème. 3 Pocessus de médition équitble Dns une vente ux enchèes clssique, le commissie piseu doit détemine d une pt qui est le ggnnt et d ute pt quel est le montnt à fctue u ggnnt. Ces deux étpes se etouvent cliement dns l vente ux enchèes Vickey où le ggnnt est celui qui fit l offe l plus élevée, et où il est «seulement» fctué de l 2e offe l plus élevée. Nous etouvons des étpes similies dns le pocessus poposé. Étnt donnée une equête, l pemièe consiste à détemine quels sont les.n «meilleus» ouvies sélectionnés (et non plus un seul). L deuxième consiste à détemine le montnt des difféentes fctues. Il ne s git cependnt ps d un pocessus de vente ux enchèes popement dit. En effet, l détemintion des.n meilleus gents pend non seulement en compte les offes des ouvies, mis églement leu qulité. De plus, il fut pende en compte les offes négtives et mette en plce un pocessus de équisition. De même, le mode de fctution est plus complexe s il y équisition.

4 3.1 Sélection des n ouvies L idée est de pende les n «meilleus», en tennt compte à l fois de l qulité des ouvies et de leus offes. Pou cel, nous définissons dns un pemie temps le niveu d un ouvie o p ppot à une equête, noté niv(o, ). Ce denie pemet los de défini un ode totl ente les ouvies, et insi de sélectionne les n meilleus ouvies selon leu ng, défini p cet ode. Le niveu tteint p l ouvie pou éponde à l equête est une fonction définie p l gent intemédiie, fonction à l fois de s qulité et de son offe : Définition 2 o W, niv(o, ) = (off o() + ε) ω (q(o,.t) + ε) 1 ω si off o() 0 ( off o() + ε) ω 1 ω 1 q(o,.t)+ε vec ε R, ε > 0 ω [0..1]. sinon. Les fomules poposées combinent offe et qulité de l ouvie en ssunt un cetin équilibe ente les deux, équilibe qui est défini p le éel ω [0..1]. En quelque sote, ω tduit l impotnce qu ccode l gent intemédiie à l qulité des ouvies ou à leus péféences. En pticulie, si ω = 0 l gent intemédiie fit totlement pévloi l qulité de l ouvie. A contio, si ω = 1 l gent intemédiie ne tient compte que du montnt de l offe de l ouvie. Le pmète ε est pésent pou des isons techniques, pou évite que les offes nulles ne mène le ng à zéo quel que soit l qulité. Dns l ptique, ce nombe est génélement égl à 1. Notons que de cette définition, il est possible de déduie l fomule plus condensée suivnte pou cctéise le niveu d un ouvie : Poposition 1 niv(o, ) = p (p off o () + ε) ω (q(o,.t) + ε) p(1 ω) vec p = 1 si off o () 0 et p = 1 sinon. Dns l exemple de l tble 3, le clcul du niveu des ouvies été élisé vec ɛ = 1 et ω = 0.6. Cette denièe vleu indique que l offe de l ouvie pévut légèement su s qulité mis cette denièe est tout de même pise en compte. En effet, les montnts de l offe des ouvies o 1 et o 3 sont identiques. Le niveu de o 1 est cependnt plus élevé, c l estimtion de s qulité est plus gnde. L influence de l qulité se voit ussi en compnt o 3 et o 10. Ceux-ci font des offes poches (espectivement 2 et 1), mis le niveu de o 10 est plus élevé c s qulité est plus gnde. Invesement, pou une même estimtion de l qulité (p exemple o 4 et o 5 ), celui qui fit une meilleue offe un niveu plus élevé. q(o,.t) off o () niv(o, ) o o o o o o o o o o TAB. 3 Niveux clculés pou les 10 ouvies vec ɛ = 1 et ω = 0.6. Le niveu de chque gent pemet de défini une eltion d ode ente les ouvies : Définition 3 L eltion de clssement, notée <, est définie p : (o 1, o 2 ) W W, o 1 < o 2 ssi niv(o 1, ) < niv(o 2, ), ou niv(o 1, ) = niv(o 2, ) et si ω < 1 ω (i.e. l qulité plus d impotnce que l offe) q(o 1,.t) < q(o 2,.t), ou q(o 1,.t) = q(o 2,.t) et off o1 () < off o2 (), ou off o1 () = off o2 () et o 1 est vnt o 2 dns l ode lexicogphique si ω > 1 ω (i.e. l offe plus d impotnce que l qulité) off o1 () < off o2 (), ou off o1 () = off o2 () et q(o 1,.t) < q(o 2,.t), ou q(o 1,.t) = q(o 2,.t) et o 1 est vnt o 2 dns l ode lexicogphique si ω = 1 ω o 1 est vnt o 2 dns l ode lexicogphique On peut démonte les deux théoèmes suivnts. Théoème 1 L eltion, obtenue à pti de < et où l églité coespond à l églité syntxique du nom, est un ode totl su W. Schém de peuve L eltion est :

5 1. Réflexive. Tivil puisqu il y églité en cs d églité syntxique du nom. 2. Tnsitive. Supposons o 1 o 2 et o 2 o 3. Si o 1 = o 2, les noms étnt des identifints uniques, cel signifie que o 1 et o 2 désignent en fit le même gent. Donc, tivilement o 1 o 3. De même si o 2 = o 3 Si o 1 < o 2 et o 2 < o 3. si niv(o 1, ) < niv(o 2, ) Puisque o 2 < o 3, p définition, niv(o 2, ) niv(o 3, ). Donc, niv(o 1, ) < niv(o 3, ). D où, o 1 o 3. si niv(o 2, ) < niv(o 3, ) idem si niv(o 1, ) = niv(o 2, ) et niv(o 2, ) = niv(o 3, ) Les difféents cs à considée sont : ω < 1 ω, ω > 1 ω et ω = 1 ω. Chcun se divise en sous cs et le isonnement est toujous identique. 3. ntisymétique Supposons que o 1 o 2 et o 2 o 1. Puisque o 1 o 2, les cs suivnt sont à considée. o 1 < o 2 Ce qui p définition peut se tduie p : niv(o 1, ) < niv(o 2, ) Si tel étit le cs, nous uions niv(o 1, ) niv(o 2, ), et donc o 2 o 1. De plus, puisque les noms sont des identifints uniques, o 1 o 2. Donc, o 2 o 1 Contdiction. niv(o 1, ) = niv(o 2, ) Ce cs se divise lui même en sous-cs où le isonnement est similie à celui du point pécédent insi que l conclusion : contdiction vec o 2 o 1. o 1 = o 2 C est le seul cs ne fisnt ps ppîte de contdiction. Il coespond u cs où les deux vibles désignent en fit le même gent. Donc, si o 1 o 2 et o 2 o 1 los o 1 = o 2 ce qui pouve l ntisymétie. Théoème 2 o 1, o 2 W, si off o1 () 0 et off o2 () < 0 los o 1 > o 2. Schém de peuve D pès l définition de niv, si off o1 () 0 los niv(o 1, ) > 0. De même, puisque off o2 () < 0, niv(o 2, ) < 0, d où le ésultt. D pès ce théoème, cette sttégie plce toujous en pemie les ouvies souhitnt tville su l equête p ppot à ceux qui ne le souhitent ps, et ce indépendmment de l qulité des uns et des utes. Du point de vue de l utilisteu, cel peut ête peçu comme une sttégie fvoisnt les intéêts des ouvies. Cependnt, cel semble ête un compotement dmissible de l pt d un gent intemédiie voulnt conseve les ouvies tvillnt vec lui. L notion de ng, qui découle de l eltion de clssement, pemet de défini fomellement quels seont les gents sélectionnés. Définition 4 Le ng d un ouvie o p ppot à une equête est défini p : ng (o) = {o : o W et o o }. On note, o n l ouvie o W tel que ng (o) = n. L éféence à, se omise chque fois que cel n entine ps d mbiguïté. L sélection des ouvies qulifiés peut los se défini simplement. Étnt donnée une equête, spécifint un nombe.n d ouvies, il convient de pende tous les ouvies dont le ng est inféieu ou égl à.n. S il n y en ps n, tous les ouvies de W sont sélectionnés. Définition 5 L ensemble des ouvies sélectionnés est défini p : W n = {o : o W et ng (o) min(n, W )} L tble 4 donne le ng qui est ffecté, ssez ntuellement, ux 10 ouvies de l tble 3. Si l equête pécise un nombe.n d ouvies égl à 4, les gents o 2, o 1, o 10, o 4 sont sélectionnés. P conte, si.n = 8, tous les ouvies ynt fit une offe positive sont sélectionnés,insi que o 6 même si son offe négtive indiquit qu il ne désiit ps tite l equête. On dit los que o 6 est équisitionné. niv(o, ) ng (o) o o o o o o o o o o TAB. 4 Rngs des 10 ouvies, vec ɛ = 1 et ω = 0.6.

6 Dns les tbles 3 et 4, les ouvies o 2 et o 4 obtiennent des niveux et donc des ngs difféents. Il est légitime de se demnde ce qu uit dû fie o 4 pou obteni le même niveu que o 2. De mnièe généle, une infomtion qui peut ête intéessnte, tnt pou l gent intemédiie que pou un ouvie, est de svoi quelle uit dûe ête l offe d un ouvie pou ive à un niveu donné. L même question pouit ête posée en fonction de l qulité. Cependnt, l ouvie ne peut fie évolue l estimtion de s qulité p l gent intemédiie qu à moyen ou long teme, los qu il peut joue plus diectement su son offe. C est pouquoi nous intoduisons l notion d offe théoique. Théoème 3 Soit une equête et o W. Si l gent intemédiie utilise une sttégie de sélection telle que ω 0 los, l offe théoique que devit fie o pou ive u niveu l p ppot à l equête est obtenue p l fomule : (, l) = p mx(((p l) 1 ω (q(o,.t)+ε) p(ω 1) ω ε), 0) vec p = 1 si l 0, et p = 1 sinon. Schém de peuve Ce ésultt est obtenu à pti de l poposition 1 p ésolution d éqution vec niv(o, ) = l et off o () = (, l). Le mx ssue un ésultt positif. L exemple de l tble 5 epend les données eltives ux ouvies o 2 et o 4 de l exemple pécédent. Pou obteni le même niveu que celui de o 4, o 2 peut se contente d une offe de Invesement, pou pveni u même niveu que o 2, o 4 doit monte son offe jusqu à L mise à niveu est utilisée dns l deuxième étpe de ésolution du poblème qui concene l fctution des gents. On emque que cette fonction est coissnte en fonction de l (tous les utes pmètes étnt fixés). ε = 1 nd ω = 0.6 o 2 o 4 q (o,.t) 2 1 off o () 10 5 niv(o, ) (, l) vec l= vec l= TAB. 5 Mise à niveu de deux gents. 3.2 Clcul du montnt des fctues Du mode de fctution choisi dépend à l fois le gin de l gent intemédiie et les sttégies que peuvent utilise les ouvies et leus epésentnts pou tteinde leus objectifs. Ce mode de fctution, tout comme le mode de sélection, peut vie d un gent intemédiie à l ute. Ici nous vons choisi de pivilégie des modes de fctution qui fvoisent les gents utilisnt des sttégies ne fisnt ps inteveni le mensonge, en pticulie su les coûts ssociés à des equêtes qu ils ne veulent ps tite. Deux cs sont à considée selon que, pou tite l equête : 1. seuls ont été sélectionnés des ouvies désint l tite (ils ont fit une offe positive), ou que 2. cetins ouvies ont été équisitionnés pou l tite equête (ils ont été sélectionnés los qu ils vient fit une offe négtive). Dns ce denie cs, le coût de l équisition est épti su tous les gents cpbles de tite l equête (y compis ceux qui n ont ps été sélectionnés). Autement dit, l équisition d un ouvie peut coûte à tous les utes. Si plusieus gents sont équisitionnés, le montnt totl de l fctue povient du coût de chque équisition. Pou efléte ce fit, nous intoduisons l nottion F ctp t(o f, o, ) qui coespond u montnt ptiel de l fctue de l ouvie o f eltive à l sélection de l ouvie o pou tite l equête. L même nottion est utilisée que ce soit pou l équisition ou l compétition pou conseve une pésenttion homogène bien qu elle soit tès peu utile dns le cs d une compétition. Fctution en cs de compétition. Losque l ouvie sélectionné pou tite l equête demndit à élise l tâche coespondnte, on considèe qu il étit dns un pocessus de compétition. Est los pplicble un pincipe de vente ux enchèes. Nous vons choisi de mette en plce un pocessus génélisnt les ventes ux enchèes de type Vickey. C est p ppot u meilleu gent ynt été exclu de l sélection que le clcul de l fctution s effectue. Cependnt, contiement à des enchèes Vickey, le montnt de l fctue n est ps diectement clculé à pti de l offe de cet gent. Le montnt demndé à l gent sélectionné est égl à l offe théoique qu il uit dû fie pou se etouve u niveu du pemie gent non sélectionné. C est une fçon indiecte de pende en compte l qulité. Définition 6 Soit une equête, soit W, l ensemble des ouvies cpbles de éponde à l equête. L fctution ptielle d un ouvie o f W

7 pou l sélection de l ouvie o W.n pou tite l equête, dns le cs où off(o, t) > 0, est définie p : F ctp t(o f, o, ) = f (, niv(o n+1, )) si.n < W t et o f = o et off o n+1() 0 0 sinon En cs de compétition, seuls les gents qui ont été sélectionnés sont fctués. De plus pou qu il y it eu compétition, il fut qu il y it eu u moins un gent souhitnt voi l equête qui soit exclu de l sélection. Losque l qulité n est plus pise en compte (ω = 1), et que l on ne sélectionne qu un seul gent (.n = 1) on se mène à une vente ux enchèes de type Vickey [7] en pennt ε = 0. Théoème 4 Si.n = 1, ω = 1, ε = 0 et o W, off o () 0, los nous sommes dns le cs d une enchèe type Vickey. Fctution en cs de équisition. Il y équisition losqu u moins un ouvie vec une offe négtive est sélectionné. L idée est los de épti le coût de l équisition su tous les gents cpbles de éponde à l equête (et ps seulement su ceux sélectionnés). Définition 7 Soit une equête, soit W, l ensemble des ouvies cpbles de éponde à l equête. L fctution d un ouvie o f pou l sélection de l ouvie o dns le cs où off(o, t) < 0) est définie p : F ctp t(o f, o, ) = offo th(.t,niv(omin( W,n+2),.t)) W (.t, niv(o min( W,n+1) ),.t) offth o (.t,niv(omin( W,n+2),.t)) W si o f o sinon Dns le pemie cs, on demnde à l ouvie qui n ps à effectue l tâche de suppote celui qui doit l élise los que dns le deuxième cs c est l somme llouée à l ouvie à qui l tâche est imposé que l on clcule. Une pticiption est tout de même demndée à ce denie. Notons que le fit d impose à o de tville su l equête los qu il n vit ps souhité le fie est suppoté p tous les gents. Théoème 5 Si.n = 1 et ω = 1, et toutes les offes sont négtives, c est un pocessus «d imposition équitble» tel que défini dns [8]. «L imposition équitble» fit qu en cs de équisition, l seule sttégie ggnnte pou les founisseus, est d expime leus coûts éels [8] pou l élistion d une tâche. Fctution généle. Il s git là de clcule pou chque ouvie de W le montnt totl de s fctue. Celui-ci est obtenu en sommnt les fctutions ptielles eltives à chque ouvie sélectionné. Définition 8 Soit une equête et W l ensemble des ouvies pouvnt y éponde. L fctution de chque ouvie o de W est obtenue p : F ct(o, ) = F ctp t(o, o, ) o W.n L sélection de tois ouvies, pmi les dix que nous vons déjà considéés, pou le titement de l equête vec les offes et qulités pésentées ci-dessus est illustée p l tble 6. Dns cet exemple, en supposnt.n = 3, seuls tois ouvies sont sélectionnés, ce qui conduit à une sitution de compétition entes les gents o 1, o 2, o 3, o 4, o 5, o 9, o 10. Dns ce cs, seuls ceux sélectionnés sont fctués. Au contie, dns l exemple illusté p l tble 7, tous les ouvies ynt effectué une offe positive pou cette equête sont sélectionnés. En effet,.n est supposé ête égl à 8, ce qui impose en plus l équisition de l ouvie o 6 qui fit une offe négtive. Dns ce cs, tous les ouvies pticipent à l effot finncie. Si, toujous dns les mêmes conditions,.n vit été égl à 7, tous les gents souhitnt voi l equête l uient eu et ucun gent n uit été équisitionné, cel n uit donné lieu à ucune fctution c il n y uit eu ni compétition, ni équisition. Une popiété intéessnte est que, dns un cs de compétition, un gent ne pye jmis plus que ce qu il lui même poposé. Théoème 6 Soit une equête, soit W, l ensemble des ouvies cpbles de éponde à l equête. Si W >.n et off of () 0 et off o n+1() 0, los o f, o, F ct(o f, ) off of ()

8 niv(o, ) ng (o) sél F ct(o, ) o * o * o o o o o o o o * TAB. 6 Sélection de tois ouvies vec ɛ = 1 et ω = 0.6. niv(o, ) ng (o) sél F ct(o, ) o * o * o * o * o * o * o o o * o * TAB. 7 Sélection de 8 ouvies vec ɛ = 1 et ω = 0.6. Schém de peuve Etnt donné que le pemie gent à n voi ps été sélectionné fit une offe positive (off o n+1() 0), nous sommes bien dns l hypothèse d une compétition. D pès les définitions 6 et 8 si l gent o f n ps obtenu l equête il ne pye ien F ct(o f, ) = 0. Donc dns ce cs, le ésultt est tivilement véifié. Toujous d pès les mêmes définition, si l gent o f obtenu l equête F ct(o f, ) = f (, niv(o n+1, )). O, niv(o n+1 niv(o f ), et l fonction off th étnt coissnte, f (, niv(o n+1, )) f (, niv(o f )) = off of (). Donc, F ct(o f, ) off of () Théoème 7 Quels que soient l equête et l ensemble W, o W F ct(o, ) 0 Schém de peuve Dns le cs d une compétition, toutes les fctues étnt positives, l somme est tivilement positive. Dns le cs de l équisition, d pès l définition 7, l somme des tnsctions effectuées pou l équisition d un gent est égle à : (.t, niv(o min( W,n+1),.t)) (.t, niv(o min( W,n+2),.t)) O, niv(o min( W,n+2),.t) niv(o min( W,n+1),.t) et l fonction off th est coissnte, donc, (.t, niv(o min( W,n+2),.t)) (.t, niv(o min( W,n+1),.t)). Donc, 0 (.t, niv(o min( W,n+1),.t)) (.t, niv(o min( W,n+2),.t)) L somme des tnsctions pou l équisition d un gent est donc positive. Si plusieus gents sont sélectionné, l somme totle des tnsctions est donc elle ussi positive. Ce théoème indique simplement que l gent intemédiie ne ped ps «d gent» que ce soit los de l médition d une compétition ente gents ou los d une équisition. Dns ce denie cs, c est l société d gents qui suppote dns son ensemble les coûts de l équisition. Rppelons que l objectif d un gent intemédiie n est ps de mximise ses gins, mis bien de épti u mieux les equêtes ente les gents en tennt compte de leus péféences espectives et des intéêts divegents des ouvies et des utilisteus. En suivnt le pocessus décit ici, dns bien des cs, cet gent v poutnt ggne de l gent. Cet gent doit ête edistibué d une mnièe ou d une ute. Deux cs sont los à considée : () cette notion monétie est généle à tout le système. Il se peut los que les gents intemédiies ient ussi des coûts à suppote et l médition est leu mnièe d obteni un finncement ; ou (b) seul le pocessus de médition utilise en locl cette notion monétie. Dns ce denie cs, l gent ggné p l gent intemédiie peut ête edistibué diectement ux ouvies en tennt compte de citèes comme, p exemple, nombe de equêtes titées et qulité des éponses ppotées. Cette edistibution n est cependnt ps l objet du pésent ticle. 4 Compison vec d utes ppoches Dns les tvux qui utilisent des gents intemédiies [2, 10], le pocessus d ppiement

9 (mtchmking) est le plus souvent bsé su un ppochement des equêtes et des décltions de cpcités fites p les gents founisseus, que l lgoithme soit bsé su une unifiction de temes [4], ou plus sophistiqué [6, 9], pennt en compte une notion de voisinge. Une utilistion de l qulité pou mélioe l sélection d un gent founisseu cpbles de tite une equête est détillée dns [11]. Pou chque gent founisseu, l gent intemédiie dispose de ses «ntécédents» (tck ecods). Ceux-ci sont obtenus à l ide de benchmks et des etous des utilisteus en temes de degés de stisfction («tès gnde stisfction», «stisfction», etc). L lgoithme combine los ces difféentes infomtions pou obteni une mtice qui donne pou chque gent un poids à chque degé de stisfction. Note modèle utilise une epésenttion de l qulité plus simple 5, mis donne l possibilité ux gents founisseus de pticipe ctivement u pocessus d ppiement en indiqunt leus péféences. A note connissnce, il n existe ps de mécnismes d ppiement offnt cette possibilité. De plus, note vision du pocessus d ppiement est légèement étendue dns l mesue où nous utoisons l sélection de plusieus founisseus. Comme nous envisgeons un envionnement compétitif, les péféences des gents sont expimées sous l fome d offes su les equêtes. De plus, une equête étnt ssimilée à une tâche, le pocessus poposé s ppente plus à un mécnisme de négocition pou l lloction de tâche ente gents ynt chcun leus buts popes 6, tel les ventes ux enchèes [7]. Cependnt, l sélection des gents est tès difféente c elle pend ussi en compte l qulité des gents, et peut mene à équisitionne des gents ne souhitnt ps tite l equête, deux pticulités que l on ne etouve ps dns une vente ux enchèes. Un mécnisme de équisition équitble est poposé dns [8] vec des offes négtives des gents et n utilise ps l qulité comme pmète. L détemintion de l fctution se distingue églement d utes tvux. En effet les montnts clculés ne pennent ps seulement en compte les offes, mis ussi l qulité. C est pouquoi p exemple, losque toutes les offes sont positives, on s inspie de l vente ux enchèes Vikey, mis en utilisnt les offes théoiques. Quoiqu un peu plus complexe, l démche est l même dns le cs d offes négtives. 5 Cette epésenttion peut ête obtenue de mnièe vi les mêmes techniques. 6 Nous ne etenons ps ici le Contct Net Potocol c il est plutôt pensé dns une optique de coopétion [3] 5 Conclusion Le modèle pésenté dns cet ticle l vntge de pende en compte, vi leu modélistion sous fome d offes, les péféences des gents founisseus (ouvies) los de l sélection d un cetin nombe d ente eux pou tite une equête d utilisteu. L sélection pend ussi en compte un estimtion de l qulité du founisseu p l gent intemédiie. L médition élisée se veut équitble. Cette notion d équitée est echechée ente le point de vue de l utilisteu et celui des gents ouvies los que ω = 0.5, mis ussi ente les gents ouvies. En effet, le coût d une équisition de founisseus est suppoté p tous les founisseus, y compis ce qui ne sont ps équisitionnés. D un point de vue complexité, le pocessus de sélection est en Θ(n log 2 (n)) où n est le nombe d gents ynt les cpcités de éponde à l equête. Celui du clcul des fctues des ouvies est en Θ(n 2 ) dns le pie des cs. Le plus coûteux isque donc d ête l obtention des données initiles (détemintion des gents cpbles de tite l equête, obtention des offes et des qulités). Nous pensons que ce modèle est pticulièement bien dpté dès que les founisseus d infomtions ou de sevices veulent voi l possibilité d influence l sélection des equêtes qu ils eçoivent, en fonction de leus objectifs. P exemple, une gence de voyge vituelle, ynt à écoule beucoup de voyges clés en min en Egypte, péfèe ecevoi en pioité des equêtes concennt les voyges ves cette destintion. Ainsi l souce d infomtion ou le sevice est moins «pssif» [1]. Un cetin nombe de points demndent des études supplémenties. Ainsi, le modèle peut ête génélisé pou considée le titement simultnné de plusieus equêtes, ou de equêtes impliqunt plusieus tâches. Un ute xe de echeche concene les difféentes politiques du méditeu qunt à l utilistion des bénéfices élisés los de l médition (usge pope ou edistibution ux gents pticipnts). Enfin, nous vons supposé que l mesue de l qulité estimée d un gent p ppot à une tâche étit founie. L obtention de cette donnée dépend du système dns lequel les gents integissent. Nous comptons donc étudie ce poblème su des systèmes spécifiques. Remeciements Ce tvil est en ptie finncé p l Fondtion VedioBis pou l Recheche et l Emploi sous l égide de l Fondtion de Fnce.

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