TRAVAUX DIRIGES Méca I :Mécanique des Structures CORRIGES TD 1 à 3

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1 Ecoe entae Pais - ous de Mécanique I Mécanique des Stuctues - TD TRVUX DIRIGES Méca I :Mécanique des Stuctues ORRIGES TD 1 à

2 Ecoe entae Pais - ous de Mécanique I Mécanique des Stuctues - TD TD1 : Eecice : Poute onsoe (ééments de éduction) On considèe une poute de ongueu, de section ectanguaie de hauteu h et de ageu b constituée d un matéiau de compotement éastique inéaie isotope. ette poute est encastée à une etémité et soumise à aute etémité à une foce F Fi. es foces de voume et d inetie sont supposées négigeabes. On se pace dans e cade des petites petubations. a soution obtenue en MM sous cetaines hypothèses (en paticuie oin des conditions au imites) est a suivante : s σi1 i1 τ(i1 i i i1 ) avec σ a ( 1) et a τ ( h ) où a est une constante. 1-a. Véifie es conditions es conditions au imites ocaes su es faces pependicuaies à i et i. Justifie aos a fome du tenseu des containtes (temes nus). 1-b. acue es ésutantes dans une section epéée pa 1. En déduie a constante a en fonction de F. 1-c. Ecie équiibe de a poute. acue es éactions à encastement. 1-d. Détemine es ééments de éduction en toute section, pa a méthode des coupues. - On considèe a même poute, mais soumise à une foce inéique f -f i. a théoie des poutes pemet de détemine e tenseu des containtes suivant (vaabe oin des conditions au imites) : s f s i1 i1 t (i1 i i i 1 f ( 1) ) avec σ ( 1) et τ ( h ) 4bh 4bh -a. Repende a question 1.a. Discute des ésutats en fonction de /h. -b. acue es éactions à encastement. Détemine es ééments de éduction en toute section définie pa 1, en considéant équiibe d un tonçon de poute de ongueu d 1. Eecice : ppaeiage de adiogaphie mobie (poute coube, ééments de éduction) On étudie un appaeiage de adiogaphie mobie pemettant d amene es outis de diagnostic jusqu au patient. a patie spécifique à a méthode d anayse adiogaphique peut ête modéisée comme une poute de igne moyenne coube de ayon constant R, de ongueu πr/, de section ectanguaie de hauteu h et de ageu b. On négige e poids pope de a poute. Ee est encastée à une etémité et soumise à aute etémité, à un toseu T, F supposé connu : d effots { } et F F. 0 y F e R O e 1 h b

3 Ecoe entae Pais - ous de Mécanique I Mécanique des Stuctues - TD Détemine es actions de iaison. - acue es ééments de éduction en tout point de a poute.

4 Ecoe entae Pais - ous de Mécanique I Mécanique des Stuctues - TD Eecice :Ressot Héicoïda On considèe un essot héicoïda constitué d un fi de diamète d enoué su un ayon R avec un ange i. e essot est soumis à un effot de taction de ésutante F. 1- En utiisant une méthode gobae, détemine es ééments de éduction du toseu des effots intéieus en toute section. - Retouve ces ésutats en intégant es équations d équiibe oca de a théoie des poutes

5 Ecoe entae Pais - ous de Mécanique I Mécanique des Stuctues - TD Eéments de soution Eecice : 1-a. es conditions au imites en h s(i ) 0 s (-i )0 en -h en /-b s (/-i )0 «vec es mains» : es temes nus : si 0 conditions de containtes panes ; facettes pependicuaies a i non chagées (cf conditions au imites), épaisseu faibe > peu de vaiation ente des vaeus nues donc tout est (supposé et véifié) nu. σ : idem σ 1 : es conditions au imites su es faces pependicuaies à i e pévoit nu, mais a face du bout est chagée en cisaiement : équiibe nécessite qu i ne soit donc pas nu (σ 1 et σ 1, ou écie équiibe oca su i 1 ) Quant à σ 11 on ne peut ien die en ce qui concene ses vaeus ocaes. 1-b. pou ce qui est du goba : F σ11ds 0 σ1ds abh F a σ11ds F( 1) et es autes nus S S bh S 1-c. es effots sont dans e pan, donc éactions : V 1 0 V -F0 -F0 tout est déteminabe pa es équations d équiibe donc e système est isostatique. 1-d. coupue en 1 : 1 1 Réactions actions ééments _ de _ éduction 0 > ééments _ de _ éduction Réactions actions soicitation dans e pan : ééments de éduction : N0 T-F et M-F(- 1 ): à compae avec es ésutantes (toseu des effots intéieus) on poua ajoute es évoutions gaphiques de M et T, comme cees des composantes de s. -a. e pobème se pose pou σ : conditions au imites en h σ -f/b on compae cette vaeu au ma de maσ 11 f /4bh en (/h) et ma σ 1 f/4bh, en /h : pou es poutes >>h, donc on négige σ. -b. équiibe d un petit tonçon : équiibe en foce : dt/d 1 f équiibe en moment : dm Td 1 dt d 1 -f/(d 1 )0 on négige e second ode > dm/d 1 -T Tf 1 b T()-F > T( 1 ) -f(- 1 ) M( 1 )-1/f(- 1 ) c et M()0 donc M( 1 )-f/(- 1 ) On poua note qu en paticuie s 11 s epime tès faciement à pati de M (comme on e vea à a séance pochaine): σ 11 M( 1 ) /I Et que M se cacue faciement, donc on obtient des infos su es containtes à bien moinde fais qu en MM (au pi de queques appoimations)! Eecice : 1 - On appee H 1, V et es éactions de encastement (ie es effots eecés pa encastement su a poute). e pobème est isostatique ( inconnues, équations).

6 Ecoe entae Pais - ous de Mécanique I Mécanique des Stuctues - TD H1 0 0 H1 0 Equiibe des foces : V F 0 V F F R 0 F R - Soient N, T et M effot noma, effot tanchant et e moment de feion d ae. On peut pa eempe considée que N est a pojection su t des effots à doite de G ( z 1 ) et que T est a G ζ : sin θ e1 cos θ e V cos θ cos θ e sin θ e V sin θ pojection su n des effots à doite de ( ) N T M VR 1 ( Ve ) t ( V e )( ( ) ( ) ) ( ) ( V e ) n ( V e )( ( ) ( ) ) ( ) ( θ) N F cos T F sin( θ) M FRcos ( cos( θ ) ( θ) 1 F ζ Z1 Z G R e θ V O e1 1 1 on peut faie de même avec es équations d équiibe. Eecice : 1-Equiibe du tonçon de essot dans a base gobae R,y R,z R : F y R { } G 0 RzR F y R G En pojection su a base ocae (epèe tangent à héice),y,z : { } F sin i F cos i y G RF cos i RF sin i y G pioi, tavai en taction, cisaiement tosion et feion. Typiquement i6,aos { } F y G RF G -Equations ocaes : si on négige e cisaiement, tosion : { } G 0 RF G

7 Ecoe entae Pais - ous de Mécanique I Mécanique des Stuctues - TD dr 0 ds R F zr,d où : dm dm y R 0 F cosi ds ds R o 0 d y 1 ds k R Fz M ( θ ) F( k cos i R) ( θ 0) kf cosi

8 Ecoe entae Pais - ous de Mécanique I Mécanique des Stuctues - TD TD : Eecice : Pont ouant (feion points) On souhaite dimensionne a poute poteuse d un pont ouant pemettant de dépace des masses aant jusqu à 10 tonnes. a ongueu de a poute est de 10m. acie choisi pou a constuction de cette poute a une imite d éasticité en taction uniaiae de 00MPa, un modue de Young de 00GPa. Pou e dimensionnement, on s intéesse au cas de chage e pus défavoabe, c est-à-die osque a chage se situe au miieu de a tavée. On négige e poids de a poute. E,I F 1 1- acue es chages que devont suppote es appuis et. Détemine et tace es ééments de éduction su a ongueu de a tavée. - On suppose que seu e moment de feion engende a défomée. Monte que a fèche vaie en aison invese du cube de a hauteu dans e cas d une section ectanguaie de hauteu h et de ageu b. Pou des aisons de pécision de manœuve, a fèche maimae doit este inféieue à 1cm. acue a hauteu que doit avoi a section de a poute osque h/b. - Monte que a vaeu maimae de a containte nomae de feion, σ 11 est invesement popotionnee au caé de a hauteu dans e cas de a section ectanguaie. acue sa vaeu maimae pou a géométie déteminée à a question pécédente. 4- On pouait monte pa queques études simpes d équiibe que a containte moyenne de cisaiement dans une section ectanguaie s epime de a façon suivante : T h σ où I 1 est e moment d inetie d une section pa appot à ae, T effot tanchant. I 4 acue e appot des vaeus maimaes de a containte de cisaiement et de a containte. Justifie e fait que on considèe souvent ce type de pobème comme uniaia en temes d état de containtes. Véifie aos que e dimensionnement effectué à a question pécédente ne isque pas de poduie une défomation iévesibe de a poute. 5- acue a masse de a poute(ρ(acie)7800kg/m ). Sachant que a fèche d une poute soumise à un effot inéique f est : 4 5f u, que pensez-vous de vote dimensionnement pécédent? 84EI 6- On souhaite éduie cette masse tout en consevant a même igidité de feion. Popose des soutions. acue a hauteu h d une poute en I de section constante, de ageu b h / et d épaisseu eh /0 pésentant a igidité de feion cacuée pécédemment. Recacue a vaeu maimae de a containte nomae de feion, et a masse. Eecice : Essieu de TGV (Feion 4 points) Un essieu de Tain à Gande Vitesse peut en pemièe appoimation se epésente pa une poute de section cicuaie posée su deu appuis (es oues) distants de 1 et suppotant deu chages concentées s appiquant à chaque bout de a poute de ongueu, e tout conduisant à un pobème symétique (c est a géométie de a feion 4 points, essai mécanique agement utiisé pou caactéise es matéiau fagies : béton, vee, céamique), au même tite que essai de feion points taité dans eecice pécédent). 1- Détemine es inconnues de iaison et es ééments de éduction. Tace évoution du moment féchissant et de effot tanchant.

9 Ecoe entae Pais - ous de Mécanique I Mécanique des Stuctues - TD En éféchissant à a définition de a containte de cisaiement, détemine a pincipae difféence ente es feions et 4 points. Détemine es endoits es pus soicités. - ctueement seu Euosta possède des essieu ceu. Pouquoi jusqu à pésent cette soution n avait pas été adoptée? On poua, pou éponde à cette question, se appee des mécanismes conduisant à a uptue pa fatigue. On note pa aieus que e contôe non destuctif pa uta-sons est maintenant bien maîtisé.

10 Ecoe entae Pais - ous de Mécanique I Mécanique des Stuctues - TD Eéments de soution Eecice : 1- équiibe des foces : pojection su : H H 0, a géométie monte H H 0 pojection su y : V V - F0 ( dépendant du choi d oientation de vos éactions) équiibe des moments su z / : F/ - V 0 V V F/ - cacu des ééments de éduction : Effot noma N0 Effot tanchant T si </ T() -F/ si / T () F/ Moment féchissant : si </ M() -F (/ -) F/ (-)F/ si / M() F/ (-) (Véifie T- dm/d donné pa es équations d équiibe.) T F/ M F/4 / / -F/ - acu de a fèche : d u y /ds M/EI et u(0)0u() u - (/)u (/) et u - (/)u (/) (0 pa symétie) > </ EI u - () F /1 - F /16 et / EI u () F(-) /1 F /16 - F /16 Vaeu absoue de a fèche maimae en / u F /48EI z F /4Ebh cacu de h te que u1cm : I bh /1h 4 /4 h9.76cm cacu de a containte nomae ma : σ 11 -M /I ma de σ 11 F/4I h/ / F/bh 47.7MPa 4- ompaaison containte nomae et de cisaiement : Queque soit a section, Ma (vaeu absoue) de σ 1 F/I h /4 e appot σ 1 ma/σ 11 mah/, > pou des poutes où pa définition h/<<1, on négige souvent e cisaiement, et on considèe e pobème uniaia pou e dimensionnement de matéiau homogènes (c est endoit où σ est ma qui est en généa dimensionnant). ttention, négige es containtes de cisaiement dans e dimensionnement en containte n impiquent pas qu on peut es négige pou tout : es containtes de cisaiement eistent et jouent eu ôe (pb de déaminage dans es composites et tout pb de coage. On peut éféchi à a igidité à a feion d un tas de poutes supeposées et à cee d une seue poute de a hauteu du tas : ee diminue en nombe de poutes au caé). On ne es négige pas dans e cacu des fèches de poutes sandwichs pou esquees a igidité de âme est tès faibe devant cee des paques etêmes. Ees peuvent aussi ête tès éevées dans e cas des sections minces où a suface de epise d effot est faibe (cf a suite de eo).

11 Ecoe entae Pais - ous de Mécanique I Mécanique des Stuctues - TD σ 11 < à a imite d éasticité en taction > pas de pasticité containte , -0, -0,1 0 0,1 0, 0, cisaiement nomae hauteu 5- cacu de a masse : M 6166 kg fèche due au poids pope : u p 5ρgS 4 /(84 EI ) m éduie a masse à igidité constante : éoigne a matièe de ae de gavité pou augmente I : caisson, I, H section en I, en négigeant e devant h : I eh /1 (h /) eh / h 4 /60 h 4 /60 h 4 /4 > h 50cm nouvee masse 1950kg ( moins a ajoute su e dimensionnement des suppots et es pobèmes de fèche sous poids pope ) et ma de σ 11 F/4I h/ 60MPa (containte maimae de cisaiement dans âme : 9MPa est-ce utie d en pae?) Eecice : 1- V V -F0 -F/4( - 1 )-F( 1 )/4V 0 > V V F/ 0 1 (1 ) / T-F/ MF 1 / ( 1) / 1 (1 ) / T0 MF( - 1 )/4 ( 1 ) / 1 TF/ MF( - 1 )/ - ente es deu points d appication des effots on est en feion pue T0 : sans cisaiement : véitabe soicitation uniaiae (oin des points d appication des effots). - acu des containtes mai : ente es deu points d appication des effots : en /-R/.e cœu de ae ne tavaie patiquement pas > ae ceu mais. 4- es fissues de fatigue appaaissent en suface ( mécanisme d intusion etusion de matièe due à des gissements ocaisés) : es sufaces des essieu sont éguièement contôées.

12 Ecoe entae Pais - ous de Mécanique I Mécanique des Stuctues - TD TD: Eecice : Modèe simpifié de pont Incidence d une déniveation d appui accidentee (Poute continue éastique sous appuis) y α p O On se popose d étudie incidence d une déniveation d appui accidentee su un pont. a stuctue est modéisée pa a poute doite de a figue ci-dessus. Patie 1 a poute doite étudiée a pou ongueu. Ee est pacée seon ae O d un epèe catésien othonomé : es abscisses et ont espectivement pou abscisse :,. appui intemédiaie a pou abscisse α avec 0 α 1. a section de cette poute est constante et admet e pan Oy comme pan de symétie. e chagement actif est epésenté pa une densité inéique de foce f ( ) pe y, p > 0. es appuis, et sont simpes, uniatéau, n eeçant donc en ces points que des éactions que on notea R R ey, R Re y, R Ye y avec R 0, R 0, Y Détemine es vaeus des éactions d appui en fonction de p et de a éaction Y d appui en. Pécise e domaine de vaiation de inconnue hypestatique Y pa es conditions de iaison du pobème. 1.. Donne en fonction de p et Y epession de toutes es distibutions de toseus d effots intéieus. Patie On suppose appui intemédiaie situé en O (α0). On désigne pa I e moment d inetie de a section constante de cette poute pa appot à son ae pincipa d inetiee z. e matéiau constitutif est homogène, isotope, inéaiement éastique, de modue d Young E..1. On suppose es appuis situés au même niveau à a cote y0. Détemine a vaeu de éactions d appuis et a distibution de toseus d effots intéieus... On suppose appui en égèement déniveé ves e bas : sa cote est v<0 ( v << ). et appui n est donc pas au contact de a poute dans son état initia non chagé. Détemine, en fonction de v, a vaeu des éactions d appuis et a distibution du toseu d effots intéieus... vec des vaeus significatives pou un tabie de pont : E MPa, I6 m 4, 0 m, p.10 5 N/m, détemine a vaeu du tassement v te que appui ne soit pus au contact de a poute dans son état chagé.

13 Ecoe entae Pais - ous de Mécanique I Mécanique des Stuctues - TD Eecice : Matices de feibiité et de igidité pou une poute encastée. ppication à un assembage de poutes y F y v F ω Patie 1 1.Une poute doite de ongueu (modue d Young E, Inetie I) encastée en, est soumise en son etémité à une foce F et un coupe. acue a fèche v et a otation ω en, en fonction de F et, en négigeant infuence de effot tanchant su a fèche.. En déduie a matice de feibiité de a poute encastée en, qui ie v et ω à F et, puis a matice de igidité K qui ie F et à v et ω. Patie y F 1 1 On considèe maintenant assembage de deu poutes (,E,I) et (,E,I ), encastées en et au même massif et en et à une bae igide. ette bae est soumise à une foce veticae F 1 et à un coupe 1. En supposant que es poutes ne tavaient qu en feion (igidités de et à a taction compession gandes devant eu igidité à a feion), cacue e dépacement vetica v 1 et a otation ω 1 de a bae. (On poua cacue a matice de igidité K 1 de ensembe, ).

14 Ecoe entae Pais - ous de Mécanique I Mécanique des Stuctues - TD ORRETION EXERIE R y Y R α p Equiibe : R R R Y p 0 R Y p 0 R ( 1 α ) p Y ( 1 α) ( ) p Y 1 α Domaine de vaiation de Y: avec R 0, R 0 et Y 0 ( 1α) p coespond au cas isostatique avec iaison en ompue). on obtient Y p ( 1α) 0 (a vaeu 1.. Equations de a statique : dn 0 d dv - p 0 d dm V 0 d N (-) 0 - R avec V (- ) (- ) M 0 N ( ) 0 et V ( ) ( ) M R 0 α N V M On véifie que on a bien ( ) 0 ( ) p Y( 1 α) ( α) p ( ) ( ) 1 Y( ) V M ( α) ) V ( α) ( α) M α α ( ) ( ) ( ) ) Y 0 α N V M ( ) 0 ( ) p Y( 1 α) ( α) p ( ) ( ) 1 Y( ) α.1. On a maintenant : R R p Y - 0 M ( ) ( ) N 0 V p Y ( ) ( - ) p - Y 0 M ( ) ( ) N 0 V p - Y ( ) ( - ) ( - ) p - Y Résoution pa équation difféentiee :

15 Ecoe entae Pais - ous de Mécanique I Mécanique des Stuctues - TD d u1 EI p ds u1 (-) 0 du1 du (0) ds ds u(0) 0 ( - ) d u ( - ) ( - ) - Y 0 (0) EI p ds u ( ) 0 du1 du (0) (0) ds ds u (0) 0 - Y en tout : 4 constantes d intégation Y5 conditions au imites ::feches nues en 0 et et accod des pentes en 0-0 du1 EI p - ds Ł 6 EIu 1 p Ł 4 u (-) 0 1 u (0) 0; donne ł Y Ł - - Y 4 ł Ł 4 4 ł 1 ł 5 p u1 (-) 0 : 4 4 -Y I - 0 dué EI ds EIu p - Ł p Ł 4 - Y - 6 ł Ł Y 4 ł Ł 4 ł ' - ' ' 1 ł u (0) 0; donne' p u ( ) 0 : - Y ' du1 du (0) (0) : ' ds ds

16 Ecoe entae Pais - ous de Mécanique I Mécanique des Stuctues - TD Finaement : 4 5 p - 4EI Y 6EI 0 et 0 Note a tangente hoizontae en (symétie stuctue ET chagement) D où Y 5 p 4 et R R p 8 et e toseu des effots intéieus d apès es epessions cidessus... Si a iaison est étabie en ente a poute et appui intemédiaie déniveé, a vaeu Y de a éaction d appui est tee que, en considéant a poute appuyée en et seuement soumise au chagement constitué de a densité inéique unifome pe y et d une foce Y ey appiquée en O, e dépacement u 1 (0)u (0) du point O est éga à a cote v de appui ;On peut epende es soutions pécédentes avec v :Pa eempe : 4 5 p 1 - ) 0 : -Y EIv 0 Y 5 p 4 6 u ( EIv 4 6 intepéte :vaeu de Y qui amène a fèche due au poids pope à 0 vaeu de a éaction de deu consoes de ongueu aboutissant en dont on a dépacé etémité de v. e ésutat n est vaabe que si e contact est effectivement étabi en : 0 Y p d où a condition : 4 v - 5p 4EI. On obtient es éactions d appui et e toseu des effots intéieus d apès es epessions ci-dessus. Pou 4 v - 5p 4EI <, a iaison ne s étabit pas et es éactions d appui et e toseu des effots intéieus sont déteminés dans a poute isostatique (même epessions avec Y0) : R R p et N( ) 0, V( ) p, M( ) ( ) p ( ).. On touve qu i suffit d un tassement de 14 cm pou annue a éaction au doit de appui.

17 Ecoe entae Pais - ous de Mécanique I Mécanique des Stuctues - TD EXERIE Patie1 y F V Equations d équiibe : FV 0 F 0 Eéments de éduction : TF, MF( -) Equation difféentiee de a fèche : EI EI F v v 0 0 v 6 F EIv EI EI F v 0 ) v'(0 F EIv F EIv ) ( ) ( ; ) ( ) ( ' ; ) ( ) ( ; ; w D où a matice de feibiité : œ œ œ œ ß ø Œ Œ Œ Œ º Ø œ ß ø Œ º Ø œ ß ø Œ º Ø EI 1 F v,avec w Et pa invesion a matice de igidité : 4 EI 6 EI 6 EI 1EI K 1

18 Ecoe entae Pais - ous de Mécanique I Mécanique des Stuctues - TD Patie y F,F F 1 1 Soient F (esp. F ), (esp. )es foces et coupes eecés pa a bae su (esp. ). équiibe de a bae s écit : F 1 FF 1 a bae igide impose es conditions cinématiques : v v v 1 ω ω ω 1 D où : Ø 1( EI E I ) 6 ( EI E I ) ø ØF ø Øv ø Œ - œ 1 1 Œ œk' Œ œ, où : K Œ 1 K K' œ º ß º ß Œ 6( EI E I ) 4( EI E I ) 1 w1 - œ º ß ommentez si vous avez e temps : eo méca géné, biame,poute composite On peut cacue a fèche sous effet de a masse de a bae en négigeant e poids pope des poutes : VMg /(EIE I )

19 Ecoe entae Pais - ous de Mécanique I Mécanique des Stuctues - TD