Génie Electrique et Informatique Industrielle

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1 Géni Elcriqu Informaiqu Indusrill Modul Comlémnair smsr 3 ou 4 AS : Modélisaion command ds sysèms linéairs numériqus Jan Dulaix

2 Auomaiqu : Modélisaion command ds sysèms linéairs numériqus èm Anné GEII Toulon Numérisaion ds régulaurs analogiqus Inroducion La srucur inrn d un régulaur u êr élcroniqu, cla imos au nivau du PID l uilisaion d circuis à bas d amlificaurs oéraionnls avc ds monags n couran our êr comaibl avc l échll indusrill généralmn rnu sandard 4- ma Avc ls inrfacs convrissur couran-nsion, convrissur analogiqu-numériqu, microrocssur, convrissur numériqu-analogiqu convrissur nsion-couran, nous ouvons uilisr l dévlomn numériqu d un PID sous la form d un algorihm d calcul siml avc un as d calcul rès i dvan la dynamiqu du sysèm Nous réalisons alors la numérisaion du régulaur analogiqu Ls réglags ds acions n innn as com d la chnologi numériqu n ariculir du as d calcul L foncionnmn s aroximaivmn coninu Numérisaion d un régulaur PID Form du PID mix non filré avc un alon d réglag u m : u () = u + K ε() + ε( τ) dτ + T Numérisaion ds acions avc un as d calcul m r d Ti : dε ( ) d x x ( ) Noaion : x( ) = x Dérivaion : Inégraion : dx x x d Différnc avan I = x( τ) dτ I = I + x Différnc arrièr ( τ) τ I = x d I = I + x x + x = = + Traè I x( τ) dτ I I Fich MC-AS ag /9 JD 68

3 Auomaiqu : Modélisaion command ds sysèms linéairs numériqus èm Anné GEII Toulon Aroximaion d Eulr (inégraion ar différnc avan) : d = m + r ε + i T ε + i i ε ε = u u K Dérminaion d un form incrémnal ou récurrn : T T d = m + r + ε u u K Td T d u = u + Kr + ε Kr ε + Ti Td T d Td u = u + Kr + ε Kr ε Kr ε + + Ti T T T u = u + K + ε + K ε + K ε d d d r r r Ti Conclusion : La rogrammaion d c équaion récurrn s rès siml, la dérminaion ds réglags du PID u êr fai à arir ds soluions xosés dans l modul AU3 La sul chos fondamnal s d avoir un idnié arfai nr l as d calcul maéril (imr qui cadnc l rogramm) la valur numériqu du as d calcul inrvnan dans la définiion ds cofficins d l algorihm Fich MC-AS ag 3/9 JD 68

4 Auomaiqu : Modélisaion command ds sysèms linéairs numériqus èm Anné GEII Toulon Analys ds sysèms linéairs numériqus Inroducion Un sysèm linéair numériqu, conrairmn à la numérisaion du régulaur qui corrsond à un changmn d chnologi local (chair récédn), n auoris lus d aroximaion car l as d calcul s un aramèr d réglag du sysèm C as d calcul s all alors la ériod d échanillonnag Nous ouvons arlr d sysèms échanillonnés Srucur d un sysèm échanillonné roblèms à résoudr La figur ci-dssous résn un xml d srucur d boucl échanillonné Nous rmarquons l inroducion ds inrfacs CAN CNA qui imosn l choix d un ériod d échanillonnag T c () Comaraur ε () u ( ) Traimn u( ) C N A Acionnur Enré Prurbaion Sysèm Sori m C A N ( ) m Caur Problèms à résoudr Echanillonnag d un signal coninu C oéraion corrsond à un ris d échanillons à la cadnc d la ériod d échanillonnag Cla condui à fair la rmarqu qu suls ls informaions obnus aux insans d échanillonnag son «vus» ar l calculaur Un signal coninu s( ) dvin un signal échanillonné s () Convrsion analogiqu-numériqu Ls convrissurs uilisés rmn l assag d un grandur analogiqu (l lus souvn nsion) n un valur numériqu La valur numériqu qu nous uilisons sra la valur numériqu imag dirc d la grandur analogiqu A l insan = T, l échanillon s noé s = s ( T ) = s( T ) Convrsion numériqu-analogiqu L oéraion s l invrs d la récédn Nous dvons alors rconsiur un coninuié d signal ndan un ériod d échanillonnag à arir d l échanillon numériqu fourni mais aussi dans crain cas consrui n s auyan sur d aurs échanillons l récédan Synhès d l algorihm d command Fich MC-AS ag 4/9 JD 68

5 Auomaiqu : Modélisaion command ds sysèms linéairs numériqus èm Anné GEII Toulon Nous dvons mr n lac un héori qui rm d définir la loi d command au sns numériqu du rm our s subsiur ou fair miux qu l corrcur ou l régulaur analogiqu définis dans ls arochs sysèms coninus 3 Bass héoriqus du raimn ds sysèms linéairs numériqus Dscriion d un signal échanillonné A arir d un signal coninu causal f ( ) ( f ( ) = our < ), son signal échanillonné f ( ) f f f f u êr rrésné avc nos convnions comm un sui d échanillons {,,,,, } C sui n indiqu as l calag morl d cs échanillons, c qui condui à inroduir un foncion d disribuion d Dirac rrésné ar l nsmbl ds flèchs ci-dssous : d où f () f δ ( T ) = = f ( ) f ( ) Signaux causaux coninu échanillonné Nous ouvons héoriqumn arlan considérr qu l échanillonnag la convrsion son insananés : soi un duré d échanillonnag ar blocag d la nsion + un ms d convrsion rès i dvan la ériod d échanillonnag Modélisaion du CAN Signal analogiqu T Bloquur d'ordr Quanificaion n bis Codag Signal numériqu Schémaisaion d un convrissur analogiqu-numériqu (CAN) Fich MC-AS ag 5/9 JD 68

6 Auomaiqu : Modélisaion command ds sysèms linéairs numériqus èm Anné GEII Toulon La raidié d l nsmbl échanillonnag-numérisaion nous condui à simlifir c schéma our l inégrr à nos schémas foncionnls sous la form d un siml échanillonnur T f () f () Modélisaion du CNA Signal numériqu Codag Quanificaion n bis T Timr Bloquur Signal analogiqu Schémaisaion d un convrissur numériqu-analogiqu (CNA) La symbolisaion d c inrfac u s simlifir ar l choix d un siml bloquur f () B f () Ouil mahémaiqu : ransformé n Définiion noaions : Signal échanillonné f () f δ ( T ) = Transformé d Lalac échanillonné F ( ) f T = = Transformé n F ( ) = f avc T = Proriéés résulas rinciaux : Translaion morll n ( ) = T f ( n T F avc n nir = Théorèm d la valur final = ( f nt ) = ( ) F( ) lim lim n Foncion d ransfr n Comm our ls sysèms coninus, nous «échaons» à la convoluion discrè () h ( ) s () = h () () Z Z E H( ) S( ) = H E Fich MC-AS ag 6/9 JD 68

7 Auomaiqu : Modélisaion command ds sysèms linéairs numériqus èm Anné GEII Toulon Transformaion invrs Dans l domain coninu, la foncion d ransfr associé aux ransformés d Lalac ds signaux d nré d sori rm d écrir un équaion différnill linéair à cofficins consans Dans l domain discr, nous écrivons l équaion récurrn rlian ls échanillons d nré d sori à arir du ransfr n S( ) a + a + a Suosons avoir la form d ransfr canoniqu causal suivan : = E( ) b b En écrivan ls ransformés n ds signaux d nré sori E ( ) S = = = s, n faisan l rodui n croix n idnifian dans ls dux mmbrs ls = cofficins mulilicaurs d la mêm uissanc d (mêm insan d échanillonnag), nous rouvons l équaion récurrn d c sysèm numériqu à l insan s = bs + bs + a + a + a avc dux équaions our l iniialisaion : T : s = a s = bs + a + a Rmarqus : L iniialisaion u rmr l inroducion d condiions iniials Nous ouvons nor aussi qu la ransformaion invrs conrairmn au domain coninu s indéndan d la naur du signal d nré Pour rouvr ls échanillons d sori, il suffi d connaîr ls échanillons d nré qui uvn corrsondr à un signal échanillonné qulconqu Bloquur Définiion : L rôl d un bloquur s d définir un signal coninu nr dux échanillons succssifs ndan la duré d un ériod d échanillonnag L y d bloquur s foncion soi du nombr d échanillons (ls lus courans ordr ou ordr ) ou d la form du signal coninu rconsiué (xonnill ar xml) Nous uilisons our la sui qu ds bloquurs d ordr Transfr d un bloquur d ordr : L nré s un rain d imulsions, sa réons imulsionnll u donc êr racé : = δ s( ) T S s () = υ() υ( T ) = B ( ) = E T Fich MC-AS ag 7/9 JD 68

8 Auomaiqu : Modélisaion command ds sysèms linéairs numériqus èm Anné GEII Toulon 4 Srucur analys d un boucl échanillonné Exml d boucl Nous rnons comm modèl d boucl clui résné au aragrah qui corrsond au conx d bas d la régulaion indusrill P( ) C + ( ) ε U( ) U( ) R B M ( ) T + + G ( ) G ( ) M ( ) Tous ls ransformés n son n réalié ds ransformés d Lalac échanillonnés où l changmn d variabl T = a éé fai La synhès d c y d boucl n s as siml vu l mélang ds variabls T Mis n équaion : avan l échanillonnur : M = G P + RB G G CM arès l échanillonnur : ( ) ( ) M = G P + RB G G CM d où l bilan suivan : M ( ) ( ) G P R( ) B( ) G( ) G( ) C = + + R B G G + R B G G Nous consaons : qu sul la connaissanc d la ransformé n d la msur n nous rmra as d savoir c qui s ass nr ls insans d échanillonnag (un arad u êr la simulaion ou la visualisaion du signal d command drrièr l bloquur) la foncion d ransfr n d la boucl frmé u s écrir sulmn vis à vis d la consign qui s échanillonné (consign numériqu d la boucl) nous ouvons voir l influnc d la rurbaion qui s analogiqu sur ls échanillons d msur, il fau alors choisir la naur analogiqu d c rurbaion il xis comm dans l cas coninu un équaion caracérisiqu n qui ourra srvir noammn dans l éud d la sabilié dux roblèms héoriqus rsn à résoudr : évalur ( G P ) ( B G G ) Fich MC-AS ag 8/9 JD 68

9 Auomaiqu : Modélisaion command ds sysèms linéairs numériqus èm Anné GEII Toulon Passag d un ransfr n à sa form échanillonné : G( ) : décomosr G( ) n élémns simls, n uilisan l ablau disribué rmlacr ls élémns simls n ar lurs homologus n Passag d un nsmbl bloquur d ordr ransfr n à sa form échanillonné : B G : n rmlaçan l bloquur ar sa foncion d ransfr n, nous obnons l xrssion ( ) ( ) T G( ) T G G( ) = ; uis n uilisan la linéarié, l changmn d variabl n l héorèm du rard, nous nous ramnons au cas récédn avc l résula fondamnal suivan : ( ) G( ) B ( ) G( ) = ( ) C ransfr u êr inrréé comm éan l imag du rocssus vu ar la ari numériqu d la boucl au ravrs d ss inrfacs CNA CAN 5 Sabilié Inroducion : La définiion d la sabilié s la mêm qu cll uilisé our ls sysèms coninus : un sysèm s sabl si écaré d sa osiion d équilibr, il rvin à c osiion n régim rmann Un conclusion dans l domain coninu, nous a condui à dir qu un sysèm s sabl si ous ss ôls son à ari réll sricmn négaiv d où la région sabl qui corrsond au dmilan comlx d gauch sricmn Soi un ôl = σ ± jω dans l domain coninu, l changmn d variabl our ls sysèms ( ) échanillonnés s T = d où σ T ± j ω T = La condiion à rscr n or qu sur l modul : σ < < Conclusion : un sysèm échanillonné s sabl si ous ss ôls son sricmn à l inériur du crcl unié du lan comlx ( R( ôls ), Im( ôls ) ), c s l domain d sabilié absolu our un sysèm échanillonné Pour définir un domain d sabilié rlaiv, nous imosons un crain qualié d amorissmn : ôls réls coninus: form canoniqu + τ = a= σ τ τ σ d où la ransformaion d la droi = σ ± jω du lan comlx n n un crcl d rayon R T = σ σ du lan comlx n ( T ± j ω T = ) Fich MC-AS ag 9/9 JD 68

10 Auomaiqu : Modélisaion command ds sysèms linéairs numériqus èm Anné GEII Toulon ôls comlxs : form canoniqu + α ω + ω = αω ± ω α ls ôls s siun alors sur ds drois assan ar l origin faisan un angl imaginairs avc sin ( β ) = α α α β β = arcsin ( α ) d où la ransformaion ds dux dmi-drois ( j ) ± β avc l ax ds = ρ cosβ ± sin β avc ρ > n dux dmi-sirals (cardioïd) du lan comlx définis à arir d = ) ρ Tcos β ± j ρ Tsinβ ( Limi d sabilié Im( ) héoriqu Im( ) Insabl 5 R R( ) 5 Sabl Limi d sabilié raiqu 5 5 Domains d sabilié : assag ds lans comlxs n Nous ouvons arès c arallélism dévlor ou adar ls méhods résnés our l coninu à ds équivalns dans l domain échanillonné : liux ds racins ou d Evans (s modul ds racins infériur à l unié), crièr algébriqu adaaion du crièr d Rouh n imosan ls condiions qui conduisn à ds racins d l équaion caracérisiqu n à un modul infériur à l unié (crièr d Jury) Cs crièrs xisn conduisn à ds calculs un u lus délicas vu l s sur l modul Nous résnons l changmn d variabl qui rm d s ramnr aux crièrs algébriqu (Rouh) géomériqu (Nyquis simlifié ou du rvrs) du domain coninu L inérê d c changmn d variabl n s as limié à l analys mais aussi à la synhès ds sysèms échanillonnés afin d aliqur ls méhods uilisés our ls sysèms coninus Transformaion bilinéair L changmn d variabl rm d ravaillr avc la ransformé n : nous osons + = Nous allons récisr c qu rrésn = soi + T = T + Fich MC-AS ag /9 JD 68

11 Auomaiqu : Modélisaion command ds sysèms linéairs numériqus èm Anné GEII Toulon Pour fair un analys harmoniqu, nous rmlaçons ar jω, d où jt ω = jt ω + C xrssion dvin n divisan ls numéraur dénominaur ar jt ω : jt ω jt ω T ω = = jan jt ω jt ω + T En définissan la ulsaion ficiv v an ω =, dans un ransformé n, il s inérssan d rarochr = j v our ls sysèms échanillonnés d l oéraur = j ω ds sysèms π coninus : la ulsaion ficiv vari d à quand la ulsaion réll vari d à T Qusion : l oéraur rm-il d aliqur l crièr d Rouh? A arir d un nombr comlx, nous allons consruir géomériqumn l nombr comlx vérifir dans qul cas son modul s sricmn infériur à l unié Im Im = + < + R + = > + R Ls figurs ci-dssus rouvn qu our avoir un modul d infériur à l unié, nous dvons avoir un nombr comlx à ari réll sricmn négaiv Conclusion : L crièr d Rouh s alicabl à l équaion caracérisiqu n d un boucl frmé d un sysèm échanillonné Qusion : l oéraur rm-il d aliqur l crièr du rvrs? Pour réondr à c qusion, nous dvons vérifir qu l racé du ransfr n boucl ouvr n quand s égal à jv décri la oalié du racé harmoniqu quand la ulsaion réll vari d à π T Dans un ransformé F ( ), l éud harmoniqu imos d rmlacr ar jt ω d ériodicié défini à arir d un variaion ω d π L rlimn du scr a liu au cnr T d c domain soi our π ω = L xonnill T jt ω our comris nr π T s Fich MC-AS ag /9 JD 68

12 Auomaiqu : Modélisaion command ds sysèms linéairs numériqus èm Anné GEII Toulon rmlacé ar sa conjugué nr d la ransformaion bilinéair T T π π La mêm chos s réalisé our Conclusion : L racé du ransfr n d boucl ouvr our F du fai T ω = jan π quand la ulsaion réll vari d à, rm d aliqur l crièr du rvrs T our ls sysèms échanillonnés dans ls mêms condiions qu un sysèm coninu, Ls noions d margs d has d gain rsn uilisabls 6 Précision Comm our ls sysèms coninus la récision dénd d la naur du signal d consign ici connu ar ss échanillons Nous limions la résnaion à l éud d la récision vis à vis d la consign C + ( ) ε U( ) U( ) R B M ( ) T G ( ) M ( ) G( ) En osan G( ) ( ) ( ) =, la ransformé n d l rrur vau : ( ) G( ) ε = C + R Nous ouvons à arir d un naur d consign fixé aliqur l héorèm d la valur final ε ( nt ) ( ) C( ) = lim n + R G En man la foncion d ransfr sous la form qui fai aaraîr ls ôls ls éros : ( ) ( ) ( m ) TBO ( ) = R( ) G( ) = γ avc i l nombr d ôls = (ffs i ni K d inégraion numériqus m n our assurr la causalié Nous osons TBO ( ) i ( ) avc K gain d boucl Consign échlon unié ou rrur d osiion : ε os i ( ) i C = ( ) ε os = si aucun ôl = = lim + K K + ε os = si au moins un ôl = Fich MC-AS ag /9 JD 68

13 Auomaiqu : Modélisaion command ds sysèms linéairs numériqus èm Anné GEII Toulon Consign ram d viss unié ou rrur d viss : C = T ( ) ε vi ε vi = si aucun ôl = i T ( ) T = lim εvi = si au moins un ôl = i ( ) K K + εvi = si au moins dux ôls = 3 T + Consign ram n accéléraion ou rrur d accéléraion : C = ε i T ( ) ( ) acc lim acc = i T εacc ε ε acc = si aucun ôl = = si au moins un ôl = + K = si au moins dux ôls = K εacc = si au moins rois ôls = Ls résulas smbln déndr d la ériod d échanillonnag, cla u araîr curiux mais anion l gain du sysèm dénd ds cofficins n qui son aussi foncion d la ériod d échanillonnag Ls conclusions son ls mêms qu clls d un sysèm coninu concrnan l comromis sabiliérécision Un i nouvaué ou d mêm s qu la ériod d échanillonnag s un aramèr d réglag comlémnair qui u rmr d sérr obnir lus d dgrés d libré n analys synhès d boucl Fich MC-AS ag 3/9 JD 68

14 Auomaiqu : Modélisaion command ds sysèms linéairs numériqus èm Anné GEII Toulon 3 Synhès ds sysèms linéairs numériqus 3 Corrsondanc analogiqu-numériqu Equivalnc du bloquur d ordr éro La foncion d ransfr du bloquur T T B = u êr assimilé à un rard P ur d un dmi-ériod d échanillonnag T (c aroximaion s d auan lus jusifié qu la fréqunc d échanillonnag s grand dvan la band assan du sysèm) C corrsondanc rm d jusifir qu mêm un rmir ordr u êr désabilisé s il s commandé numériqumn Exrssion d un ransfr ar aroximaion numériqu Méhod d Eulr (rcangl arrièr): L oéraion dérivé d d s équivaln à, l oéraur d Lalac u donc êr T inrréé comm T Exml : ransfr PID coninu non filré K r + + Td T i algorihm PID corrsondan T Kr + + T d Ti T T T T T soi u d d d = u + Kr + + ε Kr + ε + Kr ε Ti T T T Aroximaion d Tusin (ou méhod ds raès) L changmn d variabl T = u s écrir T T + = T T d où T + C aroximaion s rès uilisé car ls réonss harmoniqus d la soluion analogiqu π d son équivaln numériqu son quasimn surosés sur l domain ω, T our un choix judiciux d la ériod d échanillonnag (voir ablau ci-dssous) Invarianc indicill Pour ffcur c corrsondanc, nous arons d la foncion d ransfr analogiqu G( ) à réalisr n vrsion numériqu G( ) Fich MC-AS ag 4/9 JD 68

15 Auomaiqu : Modélisaion command ds sysèms linéairs numériqus èm Anné GEII Toulon ( ) Ea ( ) G( ) Sa ( ) En ( ) B ( ) G( ) En Sn ( ) T Sn ( ) A sa sori, l signal échanillonné s obnu avc un échanillonnur, à son nré l signal numériqu s alors l nré d un bloquur d ordr éro L nom invarianc indicill corrsond au fai qu si l nré numériqu d c réalisaion s un succssion d imulsion unié, la sori échanillonné coïncid avc l échanillonnag d la réons indicill uniair du ransfr coninu Nous rrouvons un formul déjà résné : G( ) ( ) ( ) G = Choix d la ériod d échanillonnag Au dlà du héorèm d Shannon qui imos d choisir un ériod d échanillonnag T < où f max rrésn la lus grand fréqunc du signal coninu échanillonné, l f max ablau ci-dssous donn qulqus valurs raiqus d choix d la ériod d échanillonnag : soi n foncion du domain hysiqu d alicaion, soi n foncion du modèl du rocédé d arès La régulaion indusrill JM Flaus Hrmès Command ds sysèms I Landau Hrmès Lavoisir Ty d variabl hysiqu Périod d échanillonnag Caracérisiqus dynamiqus rocédé Périod d échanillonnag Organs élcriqus à s r ordr d consan d ms τ 5 τ à τ Débi à 3 s r ordr à rard r r à r Nivau 5 à s èm ordr à ulsaion ror ω Prssion à 5 s Consan d ms dominan τ max Tméraur à 8 s Tms d réons 5 ω à ω infériur à τ max 5 à /6 r5% r5% à 5% r5% 3 Synhèss d un boucl échanillonné Aroch avc un corrsondanc coninu-numériqu Exml : Régulaur PID ar la méhod d Taahashi Fich MC-AS ag 5/9 JD 68

16 Auomaiqu : Modélisaion command ds sysèms linéairs numériqus èm Anné GEII Toulon A arir d l idnificaion du rocédé n boucl frmé n régim auo-oscillan, rlvr l gain limi d sabilié K osc la ériod d l oscillaion limi T osc Puis uilisr l ablau cidssous roosé ar Taahashi où la dérminaion ds cofficins résul d un crièr d oimisaion qui minimis la somm d la valur absolu d l écar J = ε Ty d régulaur Réglag P u Krε = K = 5 K r osc PI PID T u = u + K + ε K ε r r Ti u = u T + K + T + T K + T + K ε ε ε d d d r r r Ti T T T K r T = 45 7 K Tosc Tosc Ti = 5T K r T = 6 K Tosc T = 5( T T ) T i osc d = 8 T osc ( T T ) osc osc osc Aroch harmoniqu avc la ransformé n Nous ouvons lacr un résau corrcur du y avanc ou rard d has comm dans l domain coninu, arès avoir xrimé l ransfr du rocédé vu ar la ari numériqu G( ) avoir choisi un gain K r d l algorihm numériqu (crièr d récision ar xml) Nous + xrimons G( ) avc = raçons dans l lan d Bod G( jv ) Nous ouvons ainsi lacr ds corrcurs n (form avanc /ou rard d has) comm n coninu L xrssion du ransfr n équivaln consis à rmlacr dans la form n l oéraur ar Un + oin à vérifir sysémaiqumn s qu quand la ulsaion ficiv v nd vrs l infini, la ulsaion π réll ndan vrs un valur fini ω = l diagramm n amliud s rmin oujours ar un T asymo horional Arochs sécifiqus au numériqu Nous ouvons nvisagr d uilisr l aroch numériqu our soi définir ds régulaurs non réalisabls avc un chnologi analogiqu, ou soi,n rmarquan qu la command du rocédé s ffcu n boucl ouvr, injcr la command adéqua our obligr l sysèm à réagir d manièr oimal Fich MC-AS ag 6/9 JD 68

17 Auomaiqu : Modélisaion command ds sysèms linéairs numériqus èm Anné GEII Toulon Régulaur PIR Nous avons vu dans l modul AU3 qu un sysèm idnifié ar un modèl d Broïda, s difficil à gérr ar un régulaur PID si l facur d réglabilié raor nr l rard ur la r B consan d ms du rocédé dvin grand > 5 Un srucur ariculièr d τ B régulaur PI associé à un comnsaur d ms mor (CTM) souvn alé PIR rm d améliorr c y d boucl L «scr» s siml n numériqu un foncionnmn rard r ur d r sconds rvin à libérr ls échanillons n cous lus ard avc n= En T Tchniqu d comnsaion Nous ouvons imaginr d définir un srucur d régulaur avc un nombr d cofficins saisfaisans afin d avoir un dénominaur d foncion d ransfr d boucl frmé échanillonné résulan qui corrsond à un y d comormn ariculir ar xml un duxièm ordr avc un amorissmn un ms d réons imosé La synhès s rouv ssnillmn numériqu morll Un cas ariculir d c aroch s d visr un dénominaur d boucl frmé idniqu à l unié, cla vu dir qu la sori s ain n un nombr d cous fini Nous ouvons alors arlr d sysèms à ms d réons fini, dans c cas nous avons su injcr l échanillon ou la succssion d échanillons d command qu il fau our aindr l objcif voulu Pour forcr n command numériqu un abl à s osiionnr n un ms minimum, nous ouvons imaginr définir un command n rois ms : rmir ms accéléraion du mour jusqu à sa viss maximal, duxièm ms délacmn à viss maximal roisièm ms décéléraion our arrivr il à la disanc voulu Pour réalisr c gnr d oimisaion, il fau nir com ds chargs nraînés donc ds limis hysiqus du sysèm D lus, il fau dévlor ds clluls d command auo-configurabls à lusiurs lags d foncionnmn qui nécssin échanillonnag rogrammaion Bibliograhi : Cours xrcics corrigés Collcion Scincs Tchnologis (IUT BTS Licnc) Ediur Tchni Auomaiqu ds sysèms échanillonnés P Born al Cours, xrcics roblèms corrigés Collcion Tchnosu ( r cycl : bass) Ediion Elliss Sysèms assrvis linéairs M Villain 996 Signaux sysèms coninus échanillonnés M Villain 996 Fich MC-AS ag 7/9 JD 68

18 Auomaiqu : Modélisaion command ds sysèms linéairs numériqus èm Anné GEII Toulon Sommair Numérisaion ds régulaurs analogiqus Inroducion Numérisaion d un régulaur PID Analys ds sysèms linéairs numériqus 4 Inroducion 4 Srucur d un sysèm échanillonné roblèms à résoudr 4 3 Bass héoriqus du raimn ds sysèms linéairs numériqus 5 4 Srucur analys d un boucl échanillonné 8 5 Sabilié 9 6 Précision 3 Synhès ds sysèms linéairs numériqus 4 3 Corrsondanc analogiqu-numériqu 4 3 Synhèss d un boucl échanillonné 5 Fich MC-AS ag 8/9 JD 68

19 Auomaiqu : Modélisaion command ds sysèms linéairs numériqus èm Anné GEII Toulon Transformés d Lalac coninus échanillonnés () υ () F ( ) F( ) f δ() δ ( T ) x( T ) υ () υ! () υ 3 () T T ( + ) ( ) 3 a υ () + a at a υ () ( a) T + at at ( ω ) υ cos cos( ωt ) + ω cos( ωt ) + ( ω ) υ sin ω + ω sin cos ( ωt ) ( ωt ) + cos( ω ) υ a + a at cos( ωt ) at ( + a) + ω at cos( ωt ) + sin( ω ) υ a ω ( + a) + ω at at sin cos ( ωt ) at ( ωt ) + () υ () ( a) a f F + at F ( )! υ () + T d d Z( H () ) Théorèm d la valur final lim ( f ( ) ) = ( F( ) ) lim lim n ( f ( nt )) = ( ) F( ) lim Fich MC-AS ag 9/9 JD 68