Signaux électriques périodiques

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1 igaux électriques périodiques «U sigal, c est de l éergie. Pour peu, o pourrait dire que cela pèse.» M. Devos, u cours d électroique e 986 Résumé Ue fois que l o dispose de la descriptio d u réseau électrique et la maière de l étudier, o lui applique des gradeurs électriques déommés de maière géérale sigaux. Ue classe particulière souvet recotrée cocere les sigaux périodiques. O défiit alors la période, la valeur moyee, la valeur efficace et le facteur de forme. Les sigaux périodiques sot la superpositio d u sigal permaet, la valeur moyee, et d ue composate fluctuate de valeur moyee ulle, la composate alterative. Parmi ces derières, o défiit les sigaux siusoïdaux dot les propriétés sot très utilisées e électrociétique. Efi, u sigal périodique peut être défii comme la superpositio d odes siusoïdales de fréqueces multiples de celle du sigal de base. Ces descriptios sot résumées sous l appellatio «décompositio de Fourier d u sigal périodique». ommaire I. Caractérisatio des sigaux électriques... I.. igal périodique... I.. Valeur moyee... I.3. Valeur efficace... I.4. Facteur de forme... II. igaux d usage courat... 3 II.. igal alteratif...3 II.. igal siusoïdal...3 III. Itroductio à la décompositio e série de Fourier... 3 III.. Défiitios...3 III.. Illustratio de la décompositio e série de Fourier...4 III.3. Exemple...5 décembre 99 V..54 / 5 igaux électriques périodiques

2 I. Caractérisatio des sigaux électriques Les sigaux électriques dépedet du temps. Ils sot représetés par ue foctio de la variable réelle du temps (ex : u = f(). La valeur du sigal à l istat t est appelée valeur istataée ; elle est otée e lettres miuscules. i la valeur istataée est costate, le sigal est dit cotiu ; il est oté e lettres majuscules. O emploi aussi les lettres majuscules das le cas des gradeurs établies. I.. igal périodique U sigal est dit -périodique si o peut trouver la plus petite valeur appelée période telle que : = t + ) avec La période s exprime e secodes (s). O défiit la fréquece par f = exprimée e Hertz (Hz). I.. Valeur moyee La valeur moyee d u sigal est otée idifféremmet par t ), moy, ou. La valeur moyee d u sigal -périodique sur ue période est : t + = t Attetio : il e faut pas abuser de l itégrale das le cas de sigaux simples. Remarque : la valeur moyee est algébrique. Elle est comprise etre ses extrema. Cosidératios pratiques : ue valeur moyee est mesurée avec u appareil magétoélectrique (symbole ) ou umérique e positio cotiue (symbole =). I.3. Valeur efficace La valeur efficace d u sigal est souvet otée par eff ou e lettre majuscule. La valeur efficace d u sigal -périodique sur ue période est : t t + eff = s ( ) = s t ( Remarques : la valeur efficace est toujours positive. i elle est ulle, la foctio est idetiquemet ulle (propriété des foctios positives) ; la valeur efficace est exprimée par u carré, i.e. liée à la puissace p( (ex : résistace, p R ( = R.i ( doc w( = R.I eff ). Cosidératios pratiques : ue valeur efficace est mesurée avec u appareil ferromagétique (symbole ), magétoélectrique à redresseur (symbole ), à thermocouple (symbole ) ou umérique e positio RM (Root mea square, s ( t ) ). I.4. Facteur de forme Il est parfois écessaire de quatifier la valeur efficace par rapport à la valeur moyee. O défiit pour cela le facteur de forme d u sigal par : Remarque : F est sas uité. F = eff Hertz (Heirich), physicie allemad ( ). décembre 99 V..54 / 5 igaux électriques périodiques

3 II. igaux d usage courat II.. igal alteratif U sigal alteratif est u sigal périodique de valeur moyee ulle. Remarque : u sigal périodique () peut être décomposé e la somme d u sigal alteratif (s () et d u sigal costat appelé composate cotiue égale à sa valeur moyee ( ) : II.. igal siusoïdal s ( s ( + = Les oscilloscopes exploitet cette particularité est exploitée sur grâce au commutateur AC-DC. Expressio temporelle U sigal siusoïdal s exprime de la maière suivate : est l' amplitude du sigal. st () = co ωt + ϕ) ω - ω π π est la pulsatio (rad.s ), = f =. ωt + ϕ est la phase istataée. ϕ est la phase iitiale (à t = ). Valeur efficace La valeur efficace du sigal est telle que : π = ˆ ω + ϕ = ˆ eff si ( t ) si ( θ ) dθ c est-à-dire eff = π Remarque : pour u tel sigal, le rapport de la valeur maximale sur la valeur efficace est costat. O utilise toujours ce résultat pour décrire u sigal siusoïdal. III. Itroductio à la décompositio e série de Fourier III.. Défiitios U résultat mathématique ous idique qu u sigal -périodique (cotiu et dérivable sauf e u ombre fii de poits) peut être écrit sous la forme d ue somme ifiie de foctios siusoïdales du temps. Ceci s exprime sous la forme : = + est la valeur moyee de. co ωt + ϕ ) où est le coefficiet de Fourier de rag, = ϕ est la phase du sigal de rag. O appelle harmoique de rag (ou -harmoique), le sigal siusoïdal de rag. Les coefficiets de Fourier représetet l amplitude des harmoiques successifs. L harmoique de rag (premier harmoique) est appelé le fodametal.. Le sigal peut être écrit comme combiaiso liéaire de foctios ius et Cosius : = + a co ω + b si( ω = = b O a alors : = a + b et ϕ = arcta( ) a Cette forme permet de justifier plus aisémet les propriété suivates : si la foctio est paire, les coefficiets b sot tous uls (aucu terme impair apparaî. si la foctio est impaire, les coefficiets a sot tous uls (aucu terme pair apparaî. Fourier (Baro Joseph), mathématicie fraçais (77-83). décembre 99 V / 5 igaux électriques périodiques

4 Les coefficiets a et b s exprimet par : a b = = t+ t t + t co ω si( ω Le graphe représetat les coefficiets de Fourier e foctio de leur rag est appelé spectre e fréquece du sigal. O défiit deux graphes : u pour les a, u autre pour les b. O peut aussi faire figurer et ϕ das u graphique tel qu à la Figure. a b (-)f f ϕ f Figure Remarque pratique : l appareil permettat d observer le spectre d u sigal périodique est appelé aalyseur de spectre. III.. Illustratio de la décompositio e série de Fourier Pour redre cette otio abstraite u peu plus visuelle, o pourra cosulter la représetatio tridimesioelle d u sigal électrique (Figure ). Figure : représetatio tridimesioelle d'u sigal périodique. décembre 99 V / 5 igaux électriques périodiques

5 III.3. Exemple U exemple de décompositio e série de Fourier jusqu à l ordre 9 du sigal carré de la Figure 3 est doé à la Figure 4. (π) (4π) t - Figure 3 : sigal carré à décomposer. Figure 4 : représetatio du sigal carré (Amplitude, période π soit s) recomposé au rag 9 (foctio impaire, doc les a sot uls). décembre 99 V / 5 igaux électriques périodiques