Fonctions à une variable réelle : étude et applications

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1 1 Générlités 1.1 Exemples Fonctions à une vrible réelle : étude et pplictions J.-C. Poggile - Septembre 2008 Les fonctions sont courment utilisées dns l ctivité scientifique, dont l un des objectifs est de mettre en évidence des reltions entre différentes grndeurs. Nous donnons une liste très brève d exemples tirés de l physique (électricité, mécnique) et de l biologie (biologie des orgnismes, biologie des popultions, physiologie). L quntité d exemples est considérble, nous n en donnons que quelques - uns, choisis pour introduire quelques notions tritées dns le cours fin de les illustrer dns des cs prticuliers prtiques Electricité L une des premières reltions données en électricité est l loi d Ohm qui relie l tension entre deux bornes d un cirucuit électrique à l intensité du cournt trversnt ce circuit : U (I) = RI où R désigne l résistnce du circuit entre les bornes. Cette reltion est simple et indique l proportionnlité entre tension et intensité : on dit qu elle est linéire. Plus l intensité est élevée, plus l tension ugmente et un doublement de l intensité produit un doublement de l tension. Le grphe de U en fonction de I est une droite, pssnt pr l origine et de pente R Mécnique Une reltion ssez simple issue de l cinémtique concerne l vitesse d un corps en chute libre en fonction de l huteur de chute : v (h) = 2gh Comme dns l exemple précédent, il s git d une fonction croissnte (l vitesse v ugmente vec h) mis celle-ci est mintennt non linéire : un doublement de h n boutit ps à un doublement de v. Plus h est grnd, plus v est grnd mis v ugmente de moins en moins vite vec h Biologie des orgnismes Une reltion bien connue et qui s pplique à de très nombeuses espèces vivntes est l loi de Von Bertlnffy, qui exprime l tille d un orgnisme en fonction de son âge : L () = L e + (L (0) L e ) exp ( r) où L (0) est l tille à l nissnce, L e est l tille dulte et r crctérise l vitesse de croissnce de l tille de l orgnisme. Il s git encore d une fonction croissnte, mis celle-ci est mintennt bornée : plus l âge ugmente, plus l tille ugmente, mis de moins en moins vite, jusqu à une tille mximle Biologie des popultions L une des premières équtions rencontrées en dynmique de popultion dns le cs où, à forte densité, les individus entrent en compétition pour une ressource, est l éqution logistique. Celle-ci permet d étblir une reltion entre l densité d une popultion à un instnt t et l vrible t. Elle est donnée pr l expression suivnte : N (t) = KN (0) N (0) + (K N (0)) exp ( rt) Il s git à nouveu d une fonction croissnte et bornée. Pr contre, celle-ci dmet un point d inflexion. Cel signifie que l croissnce est d bord de plus en plus forte à petite densité, puis à prtir d une densité critique, l compétition se fit sentir, puis l croissnce est de moins en moins forte et tend vers 0. 1

2 1.1.5 Physiologie Le dernier exemple que nous donnerons ici vnt de commencer le cours concerne l quntité de ressource qu un individu ingère pr unité de temps en fonction de l disponibilité en ressource. I (R) = Il s git églement d une fonction croissnte et bornée. 1.2 Définitions R b + R Si l vrible y est une fonction de l vrible x, on l noter y = f (x) où f désigne l fonction (écrire f pour les exemples précédents). On dit que x pour imge y = f (x) et on le note : x y = f (x). Le cours vise à déterminer les propriétés de l fonction f fin de comprendre comment vrie y lorsque x ugmente. Une fonction est définie sur un domine. Cel signifie que nous devons commencer pr nous poser l question de svoir si nous pouvons déterminer l imge de n importe quel nombre x ou bien si le nombre x doit être restreint à un sous - ensemble des nombres réels. L ensemble des nombres réels pour lequel l fonction f peut être définie s ppelle l ensemble de définition. Afin de simplifier, on supposer dns l suite que l fonction f est définie sur un intervlle I = [; b] où et b sont deux nombre réels. Eventuellement, on pourr voir à triter des exemples où I est de l forme [; + [, ] ; b] ou ] ; + [ = R. Considérons un point prticulier x 0 dns l intervlle de définition de l fonction f. Définition : une fonction f est continue u point x 0 si son grphe ne présente ps de cssure u point x 0. Cette notion peut s écrire évidemment de mnière plus formelle pour être mnipulée plus rigoureusement. Cette formlistion exprime le fit que si x se rpproche de x 0 lors f (x) se rpproche de f (x 0 ). Comme l expression se rpproche n est ps une notion très précise, on l exprime insi : fixons un petit voisinge utour de f (x 0 ) (se rpprocher de f (x 0 ) se trduir pr entrer dns ce voisinge). Alors, si x est dns un voisinge ssez petit de x 0 (cel signifie que x se rpproche de x 0 ), lors f (x) est dns le voisinge de f (x 0 ) que l on s est fixé initilement (f (x) est proche de f (x 0 )). L écriture formelle est l suivnte : A > 0, B > 0; x x 0 < B f (x) f (x 0 ) < A et elle se lit : fixons une distnce mximle A > 0 (utour de f (x 0 )), il existe une distnce B > 0 utour de x 0 telle que si l distnce entre x et x 0 (notée pr x x 0 ) est ssez petite (inférieure à B) lors l distnce entre f (x) et f (x 0 ) est petite (inférieure à A). Noter que générlement, B dépend de A. Exercice : Trcer un grphe continu en un point x 0. Définissez un A rbitrire et construisez un B qui respecte l définition de l continuité. Dns les explictions précédentes, nous vons utilisé l expression x se rpproche de x 0. Il existe une notion mthémtique qui permet de formliser proprement cette idée, c est l notion de limite. L continuité en x 0 correspond u fit que l limite de f (x) qund x tend vers x 0 est f (x 0 ) : lim f (x) = f (x 0 ) x x 0 Autrement dit, qund x tend vers x 0, f (x) f (x 0 ) tend vers 0. Exercice : 1) Déterminer l limite de l fonction f définie pr f (x) = 2x qund x tend vers 1. 2) Même exercice pour f (x) = x 2 qund x tend vers x 0. 3) Même exercice pour l fonction f définie pr f (x) = x2 x 2 0 x x 0 qund x tend vers x 0. Definition : une fonction f est dite croissnte u point x 0 si u voisinge de ce point le grphe de f monte. Cel se trduit pr le fit que si x est ssez proche de x 0 et si x > x 0 lors f (x) > f (x 0 ). Pr contre, si x est ssez proche de x 0 et si x < x 0 lors f (x) < f (x 0 ). De l même mnière, on peut définir une fonction décroissnte en x 0 (son grphe descend). Etnt donnée une fonction f continue en x 0. Afin de déterminer son sens de vrition (croissnte ou décroissnte) u point x 0, on peut utiliser l outil suivnt, ppelé tux d ccroissement de f entre x et x 0 : T f (x, x 0 ) = f (x) f (x 0) x x 0 2

3 Remrque : l limite de T f (x, x 0 ) qund x tend vers x 0 est une forme indéterminée (le vérifier). Le tux de vrition de f entre x et x 0 représente l pente de l droite pssnt pr les points de coordonnées (x 0 ; f (x 0 )) et (x; f (x)). Si x est ssez proche de x 0, le sens de vrition de f en x 0 est donné pr celui de l droite définie précédemment. Donc f est croissnte en x 0 dès que le tux de croissnce de f entre x et x 0, pour x ssez proche de x 0, est positif. S il est négtif, l fonction est décroissnte en x 0. Définition : Si l limite qund x tend vers x 0 du tux d ccroissement existe, on ppelle nombre dérivé l limite obtenue et on le note f (x 0 ) : f (x) f (x 0 ) lim = f (x 0 ) x x 0 x x 0 En posnt h = x x 0, l expression précédente devient : f (x 0 + h) f (x 0 ) lim = f (x 0 ) x x 0 h f (x 0 ) est l pente de l tngente u grphe de f en x 0. Définition : Si f (x 0 ) existe, on dit que l fonction f est dérivble en x 0. Définition : si une fonction f est dérivble en tout x d un intervlle I, on dit qu elle est dérivble sur I et l fonction qui à x ssocie le nombre dérivé f (x) est ppelée dérivée de f. Exercice : 1) Déterminer l dérivée de l fonction f définie pr f (x) = x 2. 2) Déterminer l dérivée de l fonction f définie pr f (x) = x 3 (indiction : clculer (x x 0 ) ( x 2 + xx 0 + x 2 0) ). Comme nous l vons expliqué pour le tux d ccroissement, le sens de vrition de l fonction f est donné pr le signe de l dérivée de f en x Dérivées usuelles Nous rppelons ici les formules des dérivées que nous rencontrons fréquemment : f (x) x n exp (x) cos (x) sin (x) f (x) nx n 1 exp (x) sin (x) cos (x) De plus, si f et g sont deux fonctions dérivbles, nous vons les formules suivntes, là où elles sont définies : 1 - (f + g) (x) = f (x) + g (x) 2 - (fg) = f (x) g (x) + f (x) g (x) 3 - (f g) (x) = f (g (x)) g (x) 4 - ( f g ) (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g 2 (x) Exercice : clculer les dérivées des expressions suivntes : 1 - f (x) 2 - f n (x) 3 - exp (f (x)) Exercice : clculer les dérivées des fonctions définies pr les expressions suivntes : 1 - f (x) = 2x+3 x f (x) = exp(3x) 2x x 2 4x Théorème des ccroissements finis Le théorème des ccroisssements finis est un théorème essentiel cr il est à l bse de nombreuses explictions dns les pplictions. Il permet de donner une évlution de l différence entre deux vleurs de f. Plus précisément, considérons deux vleurs de x, notées x 1 et x 2. Le théorème des ccroissements finis permet de contrôler l différence entre f (x 1 ) et f (x 2 ) à prtir de l différence entre x 1 et x 2. Il s énonce comme suit. 3

4 Théorème : Considérons une fonction f définie, dérivble et de dérivée continue (on dir de clsse C 1 ) sur un intervlle I = [; b]. Soient deux nombres réels distincts x 1 et x 2 dns l intervlle I. Alors il existe c ]x 1 ; x 2 [ tel que : f (x 2 ) f (x 1 ) = f (c) x 2 x 1 Ce théorème, utrement dit, exprime le fit que pour toute droite D coupnt le grphe de f ux points p 1 = (x 1 ; f (x 1 )) et p 2 = (x 2 ; f (x 2 )), il existe un point p = (c; f (c)) entre p 1 et p 2 tel que l tngente u grphe de f en p est prllèle à D. L églité obtenue peut églement s écrire : En posnt x 0 = x 1 et x 2 = x 0 + h, on peut écrire : f (x 2 ) f (x 1 ) = f (c) (x 2 x 1 ) f (x 0 + h) = f (x 0 ) + f (c) h L idée de ce théorème est fondé sur deux résultts préliminires. Le premier est le théorème des vleurs intermédiires, qui dit que si une fonction est continue entre deux points x 1 et x 2 lors pour toute vleur y entre f (x 1 ) et f (x 2 ), il existe un réel c entre x 1 et x 2 tel que f (c) = y. Le second théorème s ppuie sur le théorème des vleurs intermédiires et s énonce comme suit. Théorème : On considère une fonction f définie, de clsse C 1 sur un intervlle I = [; b]. Soient x 1 et x 2 dns I tels que f (x 1 ) = f (x 2 ). Alors il existe c ]x 1 ; x 2 [ tel que f (c) = 0. L démonstrtion est une ppliction du théorème des vleurs intermédiires. Nous ne donnons ps de démonstrtion rigoureuse, qui s ppuierit sur des notions non vues en cours, mis nous donnons l idées principle. Celle-ci est fondée sur le fit que si l fonction n est ps toujours égle à 0 entre x 1 et x 2 (uquel cs le résultt du théorème serit obtenu), cel signifie qu elle vrie, en montnt pr exemple, sur un sous - intervlle de ]x 1 ; x 2 [. Mis comme f (x 1 ) = f (x 2 ), si le grphe de f monte sur un sous - intervlle de ]x 1 ; x 2 [, il doit redescendre ussi. Sur l prtie où le grphe de f monte, f est positive et sur l prtie où le grphe descend, f est négtive. Entre les deux, comme f est continue, f s nnule (vleurs intermédiires). L démonstrtion du théorème des ccroissements finis est une ppliction directe de ce résultt. 1.5 Développement limité en x 0 : formule de Tylor Un développement limité en x 0 d une fonction f permet d obtenir une pproximtion de l fonction f u voisinge du point x 0 pr un polynôme de degré n choisi. L formule de Tylor est l suivnte : f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + 2! + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + (x x 0 ) n E (x) n! où l fonction E est telle que E (x) tend vers 0 qund x tend vers x 0. 2 Etude d une fonction réelle Nous llons montrer dns cette section le pln d étude d une fonction à prtir d un exemple. Considérons l fonction f définie pr l expression : x + 3 f (x) = x Domine d étude L première chose à fire consiste à déterminer l ensemble de définition de f, c est - à - dire l ensemble des vleurs de l vrible réelle x pour lesquelles l expression ci-dessus un sens. Il s git d un quotient, le numérteur est toujours défini mis le dénominteur ne doit ps s nnuler. Nous llons donc déterminer les vleurs de x qui nnulent le dénominteur et les exclure. Le dénominteur contient une expression vec une rcine crrée. Or une 4

5 rcine crrée n de sens que si le réel sur lequel elle s pplique est positif (ou nul). Donc déjà on voit que x 1. Ensuite, on étudie pour quelles vleurs de x ce dénominteur s nnule : x + 1 = 1 Cette expression est équivlente à : x + 1 = 1 utrement dit x = 0. En conclusion le dénominteur s nnule pour x = 0, ce réel n est donc ps dns l ensemble de définition. Celui-ci est : D f = {x R/x 1; x 0} = [ 1; 0[ ]0; + [ Une fois cet ensemble déterminé, on peut se fixer un domine d étude, c est - à - dire un sous-ensemble de D f où on souhite étudier f. Dns cet exemple, nous choisissons un domine d étude D E égl u domine de définition : D E = D f. 2.1 Sens de vritions L étpe suivnte consiste à étudier le sens de vrition de l fonction f sur le domine d étude. Si l fonction est dérivble, nous utilisons s dérivée. Notre fonction est une composition de fonction dérivble, elle est donc dérivble sur D E. L dérivée de f est : f (x) = x x+3 2 x+1 ( x ) 2 = 2 ( x + 1 x + 1 ) x 3 2 x + 1 ( x ) 2 = x 1 2 x x + 1 ( x ) 2 Le signe du dénominteur de cette expression est positif, donc le signe de l dérivée est le signe du numérteur. Nous llons donc déterminer pour quelle(s) vleur(s) de x le numérteur s nnule, puis en déduire son signe selon les vleurs de x. x 1 2 x + 1 = 0 x 1 = 2 x + 1 (x 1) 2 = 4(x + 1) x 2 6x 3 = 0 L expression s nnule pour x = et x = sur D E. Si x [ 1; 0[ ] 0; [, ou si x > , le numérteur est positif et si x ]3 2 3; [, le numérteur est négtif. Donc l fonction est décroissnte sur x ]3 2 3; [, et croissnte sur le reste de son ensemble de définition. Nous consttons donc que pour x = 3 2 3, l fonction tteint un mximum locl et pour x = , elle tteint un minimum locl Extrêm (minim, mxim) - Points d inflexion Dns de nombreuses pplictions, il est intéressnt de déterminer les extrêm ou les points d inflexion d une fonction. Ceux-ci sont obtenus pr l nlyse des sens de vritions de l fonction. En effet, un extrêm ou un point d inflexion vérifie f (x) = 0. Si l fonction f est dérivble, on peut discriminer entre les mxim, les minim et les points d inflexion u moyen de l dérivée seconde. Supposons que x 0 soit solution de f (x) = 0. Si f (x 0 ) > 0, lors x 0 est un minimum. Si f (x 0 ) < 0, lors x 0 est un mximum. Si f (x 0 ) = 0, lors x 0 est un point d inflexion. 3 Intégrtion L objectif principl de cette section est de déterminer l surfce comprise entre le grphe d une fonction f et l xe des x. 5

6 3.1 Primitives Définition : étnt donnée une fonction f définie sur un intervlle I = [; b], on ppelle primitive de f toute fonction F définie sur I telle que l dérivée de F soit f. Théorème : Si F est une primitive de f, toutes les primitives de f sont de l forme F + C te. En effet, si F et G sont deux primitives de f lors posons H = F G. L dérivée de l fonction H est l fonction nulle. Si H dépend de x, s dérivée n est ps constmment nulle, donc H ne dépend ps de x, c est une constnte. Donc F = G + H = G + C te. Si F est une primitive de f et G est une primitive de g, lors F + G est une primitive de f + g. Comme nous l vons fit pour les dérivées uprvnt, nous présentons ici les primitives usuelles. 3.2 Intégrtion f F x pour tout x R x x 2 2 pour tout x R x r xr+1 r+1 pour tout r 1 1 x log (x) pour tout x > 0 exp (x) exp (x) pour tout x R cos (x) sin (x) pour tout x R sin (x) cos (x) pour tout x R Considérons une fonction f continue et positive sur un intervlle I = [; b]. Soit x I, on note A (x) l ire comprise entre le grphe de f, l xe des x et entre et x. Déterminons s dérivée. Pour cel, on reprend l définition de l dérivée et on exprime le tux de vrition de A entre x 0 et x 0 + h : A (x 0 + h) A (x) h L limite de ce tux de vrition qund h tend vers 0 est l dérivée de A en x 0. Si h est petit, l différence de surfce entre A (x 0 + h) et A (x) est très étroite (lrgeur h) et l huteur est pproximtivement f (x 0 ). Cette différence de surfce est donc pproximtivement celle d un rectngle de lrgeur h et de huteur f (x 0 ). On donc : A (x 0 + h) A (x) f (x 0 ) si h est petit h On constte donc que l dérivée de A est f, utrement dit, A est une primitive de f. Déterminer l surfce sous le grphe de f consiste donc à chercher une primitive de f. Toutes ces primitives sont égles à une constnte près. Or, l surfce A () est nulle, donc on cherche l primitive qui s nnule en. Le résultt précédent peut s étendre à des fonctions qui ne sont ps positives en ffectnt pr convention le signe ( ) ux ires correspondnt ux endroits où les courbes sont en dessous de l xe des x. L ire entre et x est ppelée intégrle entre et x et ser notée : A (x) = x Cette nottion exprime que l ire sous l courbe est une somme (le symbole est un s ) de surfces de rectngles de lrgeur dx et de huteur f (x). Etnt donnée une primitive F de f, on : On les résultts suivnts : c + = F (b) F () (f + g) (x) dx = c α = α = + g (x) dx 6

7 3.3 Théorème de l moyenne Le théorème de l moyenne exprime le fit que l ire sous le grphe d une fonction f est obtenue pr celle d un rectngle de huteur bien choisie. Théorème : soit f une fonction continue sur un intervlle I = [; b], il existe un réel c ], b[ tel que : = f (c) (b ) Démonstrtion (dns le cs où f (x) 0 sur I) : On pose m = min (f (x) ; x I) et M = mx (f (x) ; x I), on donc : Il en découle les inéglités suivntes : Autrement dit : 0 m (b ) 0 m f (x) M 0 m 1 b M (b ) M D près le théorème des vleurs intermédiires, quel que soit le nombre réel y compris entre m et M, il existe un 1 nombre réel c entre et b tel que f (c) = y. Puisque b est compris entre m et M, il existe c tel que : d où le résultt du théorème. f (c) = 1 b 7