CALCULS DE FORCES DE PRESSION SUR DES PAROIS PLANES On désire construire une piscine couverte de L = 25 m de longueur, de l = 10 m de largeur et de h

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Bruno Martin
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1 CALCUL DE FORCE DE PREION UR DE PAROI PLANE On désire construire une piscine couverte de L = 5 m de longueur, de l = 10 m de lrgeur et de h = 4,5 m de profondeur utile (huteur d'eu). Le bâtiment qui l'brite doit permettre d'voir 5 m de plge sur tous les côtés de l piscine. Données numériques : Msse volumique de l eu : ρ eu = kg.m 3 Intensité de l pesnteur : g = 10 m.s Pression tmosphérique p 0 = 10 5 P. 1) Quelle est l résultnte F des forces pressntes exercées sur le fond de l piscine et dues à l'ction de l'eu lorsque l piscine est remplie? ) Clculer.1) L résultnte des forces pressntes F 1 exercées sur chque petite proi verticle de cette piscine et dues à l'ction de l'eu..) L résultnte des forces pressntes F exercées sur chque grnde proi verticle de cette piscine et dues à l'ction de l'eu..3) L position du point d'ppliction de chcune de ces résultntes pr rpport u fond de l piscine et ux prois ltérles. D près BT Bâtiment 003

s Pression tmosphérique p 0 = 10 5 P. 1) Quelle est l résultnte F des forces pressntes exercées sur le fond de l piscine et dues à l'ction de l'eu lorsque l piscine est remplie? ) Clculer.

2 4 Mécnique des fluides 1) L eu, supposée incompressible, contenue dns l piscine est u repos dns le seul chmp de pesnteur et s tempérture est uniforme. On dmet donc que l msse volumique ρ de l eu est constnte. M eu M 1 1 L reltion de l sttique des fluides, sous forme intégrle, s écrit dns ces conditions (en ppelnt p 1 l pression u point M 1 et p l pression u point M ) : p 1 p = ρ g ( 1 ) Au fond de l piscine, l pression p est telle que : p p 0 = ρ g h. Cette pression p est uniforme, p ne dépendnt que de l position du point dns l eu. Dns ce cs, l résultnte F des forces de pression due à l eu seule qui s exerce sur l surfce du fond de l piscine est orientée verticlement vers le bs et s norme est : F = (p p 0 ) oit : F = ρ g h Remrque : Cette force F correspond u poids P de l eu qu il y u-dessus de l surfce. Effectivement, P = m eu g or m eu = ρ V eu. Puisque le volume d eu V eu contenue dns l piscine lorsqu elle est remplie est : V eu = L l h, le poids de l eu est P = ρ g L l h. L surfce du fond de l piscine étnt = L l, on retrouve bien P = ρ g h = F. Appliction numérique : F = , F = 1, N ) Le clcul des forces de pression exercées sur chque proi verticle ser similire d une proi à l utre. oit une proi verticle de dimensions et b soumise à l ction exercée pr de l eu ; l élément de surfce d, centré sur le point M de l proi est soumis à l force (perpendiculire à d) exercée pr l eu tel que : = (p p 0 ) d i où p est l pression de l eu à l côte du point M et d = dy d. Puisque p p 0 = ρ g, on peut écrire : = ρ g d i.

M eu M 1 1 L reltion de l sttique des fluides, sous forme intégrle, s écrit dns ces conditions (en ppelnt p 1 l pression u point M 1 et p l pression u point M ) : p 1 p = ρ g ( 1 ) Au fond de l

3 ttique des fluides 5 eu ir L projection sur l xe X X donne : = ρ g (dy d) et l force F exercée pr l eu sur l proi entière est obtenue pr intégrtion de : qui se réécrit : h Y 0 M d d dy O F = 0 F = ρ g 0 ρ g dy d dy 0 0 Or : dy = et d = 0 = 0 surfce de l proi est = h, on obtient : 0 d h donc : F = 1 ρ g h. Puisque l F = 1 ρ g h Le point d ppliction ou centre de poussée C de cette force F est tel que : OC = h. L sitution est donc l suivnte : 3 ir + X Y 0 = h ir M eu X i O 0 = h X eu C X i O F X.1) ur chque petite proi verticle de dimension 1 = l h, l résultnte F 1 des forces de pression exercée pr l eu est :

Puisque l F = 1 ρ g h Le point d ppliction ou centre de poussée C de cette force F est tel que : OC = h.

4 6 Mécnique des fluides F 1 = 1 ρ g 1 h Appliction numérique : F 1 = (10 4,5) 4,5 F 1 = 1, N.) ur chque grnde proi verticle de dimension = L h, l résultnte F des forces de pression exercée pr l eu est : Appliction numérique : F = 1 ρ g h F = (5 4,5) 4,5 F =, N.3) Les points d ppliction C 1 et C de chcune des résultntes des forces de pression F 1 et F sont tels que OC 1 = h 3 et OC = h en prennt l origine 3 O des côtes sur le fond de l piscine.... PREION TATIQUE ; FORCE DE PREION ; POUEE D ARCHIMEDE Dns un port, une grue vide l crgison d un bteu de pêche et lisse tomber à l eu un conteneur frigorifique de forme prllélépipédique. Celuici se retrouve à un instnt donné, immergé dns l eu comme le montre l coupe du port sur l figure 1. Les crctéristiques du conteneur sont les suivntes : Huteur : H = 3,00 m ; Aire des fces supérieure et inférieure : = 10,0 m chcune ; Msse : M = kg ; L surfce supérieure se trouve, à cet instnt, à une profondeur h sous l surfce de l eu et h = 5,00 m. Crctéristiques générles : Msse volumique de l eu du port : ρ = kg.m 3 ; Accélértion de l pesnteur g = 9,81 m.s ; Pression tmosphérique : P 0 = 1, P ; 1) Pressions sttiques 1.1) Exprimer l pression p 1 s exerçnt sur l surfce supérieure du conteneur en fonction de l pression tmosphérique P 0, de l ccélértion de l pesnteur g, de l msse volumique ρ de l eu du port et de l huteur h. Clculer P 1.

3) Les points d ppliction C 1 et C de chcune des résultntes des forces de pression F 1 et F sont tels que OC 1 = h 3 et OC = h en prennt l origine 3 O des côtes sur le fond de l piscine.

5 ttique des fluides 7 1.) En déduire l norme de l force F 1 s exerçnt sur cette surfce. 1.3) Exprimer l pression P s exerçnt sur l surfce inférieure du conteneur en fonction de l pression tmosphérique P 0, de l ccélértion de l pesnteur g, de l msse volumique ρ de l eu du port et des huteurs h et H. Clculer P. 1.4) En déduire l norme de l force F s exerçnt sur cette surfce. 1.5) Les forces s exerçnt sur les prois ltérles se compensent : justifier cette ffirmtion. Clculer lors l résultnte F des forces de pression s exerçnt sur le conteneur. Figure 1 Grue ir bteu Eu du port h Qui Conteneur H ) Poussée d Archimède.1) Clculer le volume du conteneur..) Clculer les normes des forces suivntes : - Poids P du conteneur. - Poussée d Archimède F A s exerçnt sur le conteneur..3) Représenter ces vecteurs-force u point G sur le document-réponse (échelle : 1 cm 10 5 N)..4) Construire l résultnte F R des forces qui s ppliquent sur le conteneur..5) Où, finlement, v se retrouver le conteneur : u fond de l eu ou en surfce? Justifier.

6 8 Mécnique des fluides DOCUMENT A RENDRE AVEC LA COPIE Eu du port Conteneur G D près BT ROC 005 1) Pressions sttiques 1.1) L eu de mer est ssimilée à un fluide homogène, incompressible et s tempérture est supposée être uniforme dns l one où se trouve le conteneur. De ce fit, l msse volumique ρ de l eu de mer est constnte. eul le chmp de pesnteur terrestre, supposé uniforme, s exerce et l ccélértion g de l pesnteur est supposée constnte et l eu est u repos. M 1 ir k 0 Eu du port g h M 0 1 Conteneur H L reltion de l sttique des fluides, sous forme différentielle, s écrit : dp d = ρ g L pression à l côte 1 sous le niveu de l mer est P 1 et l pression à l côte 0 est égle pr continuité à l pression tmosphérique P 0. Pr intégrtion, on obtient :

De ce fit, l msse volumique ρ de l eu de mer est constnte.

7 ttique des fluides 9 P0 P1 dp = ρ g oit : P 0 P 1 = ρ g ( 0 1 ) On en déduit l pression P 1 dns l eu de mer à l côte 1 sous le niveu de l mer. En notnt : h = ( 0 1 ), l reltion précédente peut s écrire : P 1 P 0 = ρ g h oit : P 1 = P 0 + ρ g h Appliction numérique : P 1 = 1, ( ,81 5,0) P 1 = 1, P. 0 1 d 1.) L pression P 1 étnt uniforme à cette côte 1, l fce supérieure du conteneur, située églement à l côte 1, est soumise à une force F 1 dont l norme est : F 1 = P 1 Appliction numérique : F 1 = 1, F 1 = 1, N. 1.3) Pr un risonnement nlogue à celui de l question 1.1), on écrit : P0 dp 0 = ρ g d P oit : P 0 P = ρ g ( 0 ) On en déduit l pression P dns l eu de mer à l côte sous le niveu de l mer. Puisque h + H = ( 0 ), l reltion précédente peut s écrire : P P 0 = ρ g (h + H) oit : P = P 0 + ρ g (h + H) Appliction numérique : P = 1, ( ,81 8,0) P = 1, P. 1.4) L pression P est uniforme à l côte 1 or, l fce inférieure du conteneur, située églement à l côte, est soumise à une force F dont l norme est : F = P Appliction numérique : F = 1, F = 1, N. 1.5) L résultnte des forces de pression qui s'exercent sur les deux fces verticles en vis-à-vis sont de même norme et de sens opposés donc elles se compensent. d M k

) L pression P 1 étnt uniforme à cette côte 1, l fce supérieure du conteneur, située églement à l côte 1, est soumise à une force F 1 dont l norme est : F 1 = P 1 Appliction numérique : F 1 = 1,5.

8 10 Mécnique des fluides oit d un élément de surfce de l surfce supérieure du conteneur et M le point centrl de d. L force qui s exerce u point M est liée à l pression P de l eu de mer u repos u point M pr : = P d k Puisque P = P 1 uniforme lorsque = 1, l résultnte des forces de pression F 1 exercée pr l eu de mer sur l surfce supérieure du conteneur est : F 1 = P 1 k Pr un risonnement nlogue, l résultnte des forces de pression F exercée pr l eu de mer sur l surfce inférieure du conteneur est : d F = P k M Puisque les forces de pression s exerçnt sur les prois ltérles du conteneur se compensent, l résultnte F des forces de pression exercées pr l eu sur le conteneur est : F = F 1 + F chnt que l vleur de F est supérieure à celle de F 1, F est orientée suivnt le vecteur unitire k. L projection de cette églité vectorielle sur l xe verticl choisi donne : F = F F 1 Appliction numérique : F = 1, , F = 3, N. Remrque : F = (P P 1 ) k D près les expressions de P 1 et P, l résultnte F des forces de pression s écrit : F = [(P 0 + ρ g (h + H)) (P 0 + ρ g h)] k F = ρ g H k Le volume V du conteneur est égl à (H) donc : F = ρ V g k. Cette force n est rien d utre que l poussée d Archimède comme v le montrer l question suivnte. ) Poussée d Archimède.1) Le volume du conteneur est celui d un prllélépipède rectngle dont le volume V est V = H. Appliction numérique : V = 10,0 3,00 V = 30,0 m 3 k

mer sur l surfce supérieure du conteneur est : F 1 = P 1 k Pr un risonnement nlogue, l résultnte des forces de pression F exercée pr l eu de mer sur l surfce inférieure du conteneur est : d F = P k M

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