Algèbre linéaire (révisions de sup).

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1 Algèbre linéaire (révisions de sup) Chap 4 : noes de cours Espaces vecoriels réels ou complexes Définiions e héorèmes généraux liés aux espaces vecoriels : K-espace vecoriel e corps de base, lois de composiion inernes e exernes Exemples de référence de - ou -espaces vecoriels Combinaison linéaire de deux, plusieurs veceurs (ou d une famille quelconque de veceurs) Sous-espace vecoriel d un espace vecoriel : définiion e caracérisaion Famille libre ou liée de veceurs : définiion e caracérisaion diverses des familles liées, cas où l un des veceurs es nul Sous-espace vecoriel engendré par une famille de veceurs : définiion e noaion «Vec» Rang d une famille de veceurs : définiion, calcul avec la méhode du pivo Espaces vecoriels de dimension finie : Base d un espace vecoriel : définiion Définiion d un espace vecoriel de dimension finie à l aide d une famille générarice finie, exisence d une base dans un el espace Dimension d un espace de dimension finie Exemples classiques e bases dies «canoniques» des espaces de référence Uilisaion de la dimension finie pour la déerminaion de bases, l égalié de sous-espaces vecoriels Théorème de la base incomplèe Applicaions linéaires Définiions e propriéés générales des applicaions linéaires : Définiion d une applicaion linéaire enre deux K-espaces vecoriels Vocabulaire : endomorphisme, isomorphisme, auomorphisme, espaces vecoriels L(E,F), L(E) Image e noyau d une applicaion linéaire, caracérisaion de l inecivié e de la surecivié (noaions «ker(u)», «Im(u)») Conservaion du rang d une famille de veceurs par une applicaion linéaire inecive, par isomorphisme Applicaions linéaires en dimension finie : Famille générarice de l image d une applicaion linéaire à l aide d une famille générarice de l espace de dépar Rang d une applicaion linéaire e héorème du rang Caracérisaions des isomorphismes à l aide de la dimension enre espaces vecoriels de dimension finie Unique applicaion linéaire enre deux espaces vecoriels E e F ransforman une base de E en une famille donnée de veceurs de F («une applicaion linéaire es enièremen déerminée par la connaissance des images des veceurs d une base de l espace de dépar, lorsqu il es de dimension finie») Dimension de L(E,F) e L(E) lorsque E e F son des espaces vecoriels de dimension finie Marices Marices comme élémens de M n (K) : Les ensembles M n,p (K) e M n (K) e les règles d addiion, de combinaison linéaire e de muliplicaion Dimension de ces espaces vecoriels Marice ransposée d une marice, marices carrées symériques e anisymériques Supplémenarié dans M n (K) des sous-espaces vecoriels S n (K) e A n (K), e dimension de ces sous-espaces vecoriels Marices carrées riangulaires supérieures, inférieures, sous-espaces vecoriels de M n (K) formés par ces marices e dimension de ces sous-espaces vecoriels Chapire 4 : Algèbre linéaire (révisions de sup) Noes de cours - -

2 Marices e espaces vecoriels : uniquemen avec des espaces vecoriels de dimension finie Dans un espace vecoriel E, marice (carrée) de passage enre deux bases de E, marice (colonne) des coordonnées d un veceur de E dans une base de E Formule de changemen de base lian les coordonnées d un même veceur dans deux bases de E Marice d une applicaion linéaire enre deux espaces vecoriels E e F, dans des bases de ces espaces, relaion via cee marice enre les coordonnées dans une base de E d un veceur de E e celle de son image dans une base de F («Y M X») Relaion enre les marices d une applicaion linéaire dans différenes bases des espaces de dépar e d arrivée («M ' Q M P») Relaion enre les marices d un endomorphisme d un espace vecoriel E dans différenes bases de E («M ' P M P») Applicaion linéaire (endomorphisme) canoniquemen associée à une marice de M n,p (K) (de M n (K)) Déerminans Déerminan des marices carrées : Déerminan d une marice carrée comme unique applicaion sur M n (K), linéaire par rappor aux colonnes d une marice, anisymérique e valan pour la marice I n Traducion de cee définiion du déerminan en ermes d opéraions sur les colonnes d une marice : facorisaion par un scalaire dans une colonne ou dans oue la marice, échange de deux colonnes, cas d égalié de deux colonnes, aou à une colonne d une combinaison linéaire des aures colonnes Déerminan d un produi de marices, d une marice riangulaire ou diagonale Déerminan d une ransposée («de( A) de( A)»), e en conséquence, oues les propriéés énoncées pour les colonnes d une marice son vraies aussi pour les lignes Développemen d un déerminan suivan une ligne ou une colonne Caracérisaion des marices inversibles à l aide du déerminan e déerminan de l inverse Exemples de déerminans de marices : les déerminans ridiagonaux e principe de leur calcul à l aide de suies récurrenes linéaires doubles Déerminans d endomorphismes e de familles de veceurs en dimension finie : Déerminan d un endomorphisme d un espace vecoriel de dimension finie, d une famille de n veceurs d un espace vecoriel de dimension n dans une base de ce espace Traducion pour les endomorphismes e les familles de veceurs des propriéés des déerminans pour les marices Chapire 4 : Algèbre linéaire (révisions de sup) Noes de cours - -

3 Algèbre linéaire (révisions de sup) Chap 4 : noes de cours Espaces vecoriels réels ou complexes Définiion e : K-espace vecoriel e corps de base Remarque : Pour un espace vecoriel, il fau deux lois de composiion, l une inerne e l aure exerne, la plupar du emps noées + e On revien raremen à la définiion d un espace vecoriel e on uilise plus courammen la srucure de sous-espace vecoriel d un espace vecoriel plus gros (hors programme) Pour une algèbre, il fau rois lois, deux inernes e une exerne, noées souven +,,, mais la roisième es parfois la loi o Exemples (héorème ) : espaces de n-uples n, n, espaces de foncions F(I,), F(I,), C (I,), C n (I,), C (I,), (ou à valeurs dans ), F(I,E), où E es un K-espace vecoriel, espaces de polynômes n [X], n [X], [X], [X], espaces de suies,, espaces de marices M n,p (), M n,p (), M n (), M n (), espaces d applicaions linéaires ou d endomorphismes L(E,F), L(E), où E e F son des K-espaces vecoriels Dans ous ces exemples, F(I,), F(I,), C (I,), C n (I,), C (I,), n [X], n [X], [X], [X], M n (), M n (), e L(E), peuven êre naurellemen munis d une srucure d algèbre Exemples : Dans ( n,+,), les lois qui en fon classiquemen un -espace vecoriel son définies par : u (u,, u n ) n, v (v,, v n ) n, λ, u + v w, avec : i n, w i u i + v i, soi : (u,, u n ) + (v,, v n ) (u + v,, u n + v n ), λu w, avec : i n, w i λu i, soi : λ(u,, u n ) (λu,, λu n ) Dans F(I,), les lois qui en fon classiquemen un -espace vecoriel son définies par : (f,g) (F(I,)), λ, f + g h, avec : x, h(x) f(x) + g(x), soi : (f + g)(x) f(x) + g(x), λf k, avec : x, k(x) λf(x), soi : (λf)(x) λf(x) Définiion : combinaison linéaire C es une expression mêlan les deux lois de l espace, du ype (λx + µy) où x e y son des veceurs (de l espace E dans lequel on ravaille) e λ e µ des scalaires (dans le corps de base de l espace E) Aenion : lorsque la famille es finie, on généralise cee définiion sans problème, mais lorsque la famille es infinie, une combinaison linéaire de veceurs ne compore ouours qu un nombre fini de coefficiens non nuls Exemple : Dans (,+,) on a : (,,-) + (,-,) (4,-,4) Définiion 4 e héorème : sous-espace vecoriel On di que F es un sous-espace vecoriel du K-espace vecoriel(e,+,) si F es inclus dans E e si F es un espace vecoriel pour les lois + e de E Un ensemble F es un sous-espace vecoriel d un espace vecoriel E si e seulemen si il es inclus dans E, non vide e sable par combinaison linéaire Exemple d un sous-espace vecoriel : Si on noe : F [X], F es un sous-espace vecoriel de [X] En effe : F [X], F, puisque F conien le polynôme nul qui es bien à coefficiens réels e de degré inférieur ou égal à, (P,Q) F, (λ,µ), [λp + µq] es un polynôme à coefficiens réels de degré inférieur ou égal à Chapire 4 : Algèbre linéaire (révisions de sup) Noes de cours - -

4 Définiions e, héorèmes e : caracérisaion de familles libres ou liées Une famille de veceurs dans un espace vecoriel es libre si e seulemen si oue combinaison linéaire nulle des veceurs de cee famille enraîne la nullié des coefficiens de cee combinaison linéaire Une famille qui n es pas libre es liée Une famille es liée si e seulemen si il exise une combinaison linéaire nulle des veceurs de la famille avec des coefficiens non ous nuls Une famille es liée si e seulemen si l un des veceurs de la famille peu s exprimer comme combinaison linéaire des aures veceurs de la famille Si une famille conien le veceur nul, ou si deux des veceurs de la famille son égaux, elle es liée Exemple : la famille (sin, cos) es libre dans F(,) C es bien une famille d élémens de F(,) Puis pour : (λ,µ), si on a : λsin + µcos (foncion nulle), alors : x, λsin(x) + µcos(x) (réel), e en pariculier : pour : x, on en dédui : λ + µ, donc : µ, e : pour : x π, on a de même : λ + µ, soi : λ La famille (sin, cos) es bien libre dans F(,) Exemple : condiion suffisane pour qu une famille de polynômes soi libre Dans K[X], une famille (P,, P n ) es libre lorsque les polynômes son ous de degrés différens, en pariculier s ils son «échelonnés en degrés» Par exemple : (X, X,, X X) es libre dans [X] Définiion 4 : sous-espace vecoriel engendré par une famille, famille générarice d un espace : L ensemble des combinaisons linéaires des veceurs d une famille donnée (dans un espace vecoriel E de référence) consiue un sous-espace vecoriel de E appelé sous-espace vecoriel de E engendré par la famille Lorsque le sous-espace engendré es égal à E lui-même, on di que la famille es générarice de l espace E Définiion e héorème 6 : rang d une famille Pour une famille donnée (en général finie) de veceurs d un espace E, le rang de cee famille es le plus grand nombre de veceurs que l on peu exraire de cee famille e consiuan une famille libre C es aussi dans ce cas la dimension du sous-espace vecoriel de E engendré par la famille Exemple : calcul du rang de deux familles à l aide de la méhode du pivo (dans, [X]) Soien : x (,,,4,5,6), y (-,-,,,,), z (,,-,,,5), dans 6 En paran de : λx + µy + νz, on obien les sysèmes suivans : λ µ + ν λ µ + ν λ + µ ν 4 λ + µ + ν 5 λ + µ + ν 6 λ + µ + 5 ν λ µ + ν µ 4 ν µ 5 ν 5 µ ν 8 µ 8 ν 8 µ 7 ν Chapire 4 : Algèbre linéaire (révisions de sup) Noes de cours λ µ + ν µ 4 ν 7 ν 9 ν 4 ν 5 ν λ µ + ν µ 4 ν 7 ν e en remonan le dernier sysème, on conclu que : λ µ ν : la famille es libre Le nombre de lignes non nulles dans le dernier sysème (échelonné) donne aussi le rang de la famille, qui es ici On aurai égalemen pu appliquer la méhode du pivo à la marice représenan les rois veceurs dans la base canonique de 6, ce qui aurai donné : rg rg rg rg ,,

5 c es-à-dire à nouveau le nombre de lignes non nulles dans la dernière marice En fai, c es exacemen le même principe Dans [X], on cherche le rang de la famille (X +, X X +, X, X + X) Pour cela, on par de : λ P + λ P + λ P + λ 4 P 4, ce qui donne les sysèmes suivans, en expriman les coordonnées de la combinaison linéaire dans la base canonique de [X] : λ + λ + λ + λ4 λ λ + λ + λ4 λ + λ + λ + λ4 λ + λ + λ + λ4 λ + λ + λ + λ4 λ λ + λ + λ4 λ + λ + λ + λ4 λ + λ + λ λ4 λ + λ + λ + λ4 λ λ + λ + λ4 λ λ + λ + λ4 λ + λ + λ + λ4 Chapire 4 : Algèbre linéaire (révisions de sup) Noes de cours - 5 -, en inerverissan les deux dernières lignes Auremen di le rang es ici 4 (4 lignes échelonnées non nulles) e la famille es libre Mariciellemen cela donne : rg rg rg rg λ + λ + λ + λ4 λ λ + λ + λ4 λ + λ + λ λ4 λ + λ + λ + λ4 Noez que pour suivre ce qu on fai pour passer d un sysème au suivan, il serai bien de connaîre les opéraions effecuées, e donc pour rendre une copie plus lisible on peu indiquer ces opéraions (même rapidemen)! Espaces vecoriels de dimension finie Définiions 5, e, héorème : base d un espace vecoriel, espace vecoriel de dimension finie On appelle base d un espace vecoriel E une famille de veceurs de E forman une famille à la fois libre e générarice de E Lorsqu un espace E adme une famille générarice finie, on di qu il es de dimension finie e dans un el cas, E adme alors une base formée d un nombre fini de veceurs Toues les bases de E on alors le même nombre d élémens appelé dimension de E e noé dim(e) On di parfois plus rapidemen qu un espace es de dimension finie lorsqu il adme une base comporan un nombre fini de veceurs Exemples : espaces vecoriels classiques de dimension finie, avec usificaion Les espaces K n son des K-espaces vecoriels de dimension finie égale à n En effe, on peu en proposer une base (ε i ) i n définie par : ε i (,,,,,,), où le es siué en i ème posiion Les ensembles K n [X] avec : n, son des K-espaces vecoriels de dimension finie égale à n+ En effe, on peu en proposer une base qui es (, X,, X n ) e qui compore bien n+ veceurs L ensemble M n,p (K) des marices à coefficiens dans K avec n lignes e p colonnes forme un K-espace vecoriel de dimension np On peu à nouveau en proposer une base avec la famille (E a,b ) a n, b p, où E a,b es la marice formée de avec un seul coefficien non nul valan, siué à l inersecion de la a ème ligne e de la b ème colonne Le coefficien générique de E a,b es : δ a,i δ b,, où δ u,v désigne le symbole de Kronnecker Ces bases son dies «canoniques» car elles son immédiaemen déduies de la forme générique des élémens de ces espaces Un espace vecoriel quelconque n a pas de base «canonique» (exemple : un plan vecoriel dans ) Théorème : propriéés des familles libres, générarices, des bases en dimension finie Dans un espace E de dimension finie n, oue famille libre de veceurs de E adme au plus n veceurs, oue famille générarice de E adme au moins n veceurs, e oue base adme exacemen n veceurs Une famille de veceurs de E es alors une base de E si e seulemen si elle compore n veceurs e es soi libre, soi générarice de E 4

6 Théorème 5 : dimension d un sous-espace vecoriel, égalié de sous-espaces vecoriels en dimension finie Si E es un espace vecoriel de dimension finie n, e si F es un sous-espace vecoriel de E, alors F es de dimension finie, inférieure ou égale à n Si F e G son des sous-espaces vecoriels d un espace vecoriel E de dimension finie, ils son égaux si e seulemen si l un es inclus dans l aure e s ils son de même dimension Exemple : usifier que [X] e Vec(X + X +, X, ) son égaux Il es immédia que : F Vec(X + X +, X, ) [X], puisque : les rois polynômes généraeurs son dans [X], [X] es sable par combinaison linéaire donc oue combinaison linéaire de ces rois veceurs (donc ou élémen de F) es encore dans [X] De plus la famille es échelonnée en degrés donc elle es libre, e éan libre e générarice de F, elle en consiue une base On en dédui que : dim(f) Mais comme de plus : dim( [X]), on conclu à l égalié des deux espaces vecoriels Théorème 4 : de la base incomplèe Dans un espace vecoriel E de dimension finie, oue famille libre de veceurs de E peu êre compléée en une famille forman une base de E, les veceurs manquans pouvan au besoin êre exrais d une base de E donnée par ailleurs Applicaions linéaires Définiions 4, 4, 4 e héorème 4 : applicaions linéaires, morphismes, groupe linéaire Ean donnés deux espaces vecoriels E e F, une applicaion linéaire de E dans F es une applicaion de E dans F qui préserve les combinaisons linéaires, auremen di qui ransforme une combinaison linéaire de veceurs de E en la combinaison linéaire correspondane de leurs images dans F On défini ainsi des espaces vecoriels d applicaions linéaires L(E,F), L(E) Une applicaion linéaire es aussi appelée morphisme d espaces vecoriels avec les précisions suivanes : - un endomorphisme es une applicaion linéaire d un espace vecoriel E dans lui-même, - un isomorphisme es une applicaion linéaire biecive d un espace vecoriel E dans un aure espace F, - un auomorphisme es une applicaion linéaire biecive d un espace vecoriel E dans lui-même L ensemble des auomorphismes de E, noé Gl(E) forme un groupe pour la loi o de composiion des applicaions e es appelé groupe linéaire de E Définiion 44, héorèmes 4 e 4 : image e noyau d une applicaion linéaire Pour une applicaion linéaire u d un espace vecoriel E dans un aure espace F, on appelle : - noyau de u l ensemble des veceurs de E qui on pour image soi : ker(u) {x E, u(x) }, e : - image de u l ensemble des images de ous les veceurs de E par u ou encore l ensemble des veceurs de F qui on un anécéden par u dans E, soi : Im(u) {u(x), x E} {y F, x E, y u(x)} Ces deux ensembles son des sous-espaces vecoriels, respecivemen de E e de F Une applicaion linéaire u enre espaces vecoriels es inecive si e seulemen si : ker(u) {} Une applicaion linéaire u d un espace vecoriel E dans un espace vecoriel F es surecive si e seulemen si : Im(u) F Théorème 5 : famille générarice de l image d une applicaion linéaire en dimension finie, rang d une applicaion linéaire, Si u es une applicaion linéaire d un espace vecoriel E de dimension finie dans un espace vecoriel F, e si (e,,e p ) es une famille générarice de E, alors les veceurs (u(e ),, u(e p )) formen une famille générarice de Im(u), qui es donc de dimension finie, même si F ne l es pas On appelle alors rang de u, noé rg(u), la dimension de Im(u), soi : rg(u) dim(im(u)) Exemple : Soi l applicaion linéaire définie de dans 4 par : a (x,y,z), u(a) (x z, x + y + z, y + z, -x y + z) Alors Im(u) adme pour famille générarice (ε, ε, ε ), avec : ε u((,, )) (,,, -), ε u((,, )) (,,, -), Chapire 4 : Algèbre linéaire (révisions de sup) Noes de cours - 6 -

7 ε u((,, )) (-,,, ) En calculan le rang de cee famille, on obien la dimension de Im(u) dons le rang de u Remarque : c es aussi le rang de la marice représenaive de (ε, ε, ε ) dans la base canonique de 4, c es-àdire de : A, auremen di la marice représenaive de u dans les bases canoniques de e 4 Théorème 5 : «du rang» Si u es une applicaion linéaire d un espace vecoriel E de dimension finie dans un espace vecoriel F, alors : dim(e) dim(im(u)) + dim(ker(u)) rg(u) + dim(ker(u)) Théorème 54 : caracérisaion des isomorphismes enre espaces de dimension finie Si u es une applicaion linéaire enre deux espaces vecoriels E e F de dimension finie, il y a équivalence enre les proposiions suivanes : u es un isomorphisme de E sur F, u es inecive e : dim(e) dim(f), u es surecive e : dim(e) dim(f) En pariculier, pour : u L(E), ouours avec E de dimension finie, on a les équivalences : (u biecive) (u inecive) (u surecive) Exemple : L applicaion ϕ de n [X] dans lui-même, définie par : P a XP + P, défini un auomorphisme de [X] En effe elle es linéaire, par linéarié de la dérivaion des polynômes De plus si P es non nul de degré : k n, e de coefficien dominan a k (donc non nul), alors ϕ(p) es de degré au plus k, mais le coefficien de X k dans ϕ(p) es : (k+)a k Auremen di ϕ(p) es de degré k donc es non nul L applicaion ϕ es donc inecive, puisque par conraposée : (ϕ(p) ) (P ), e : ker(ϕ) {} Enfin, c es une endomorphisme d un espace vecoriel de dimension finie (ici n+) donc l inecivié de ϕ enraîne sa biecivié e ϕ es un auomorphisme de n [X] Théorème 55 : conservaion du rang d une famille par isomorphisme (ou applicaion inecive) Si u es un isomorphisme (ou une applicaion linéaire inecive) enre deux espaces vecoriels E e F, alors l image d une famille de rang p de veceurs de E es une famille de rang p de veceurs de F Théorème 56 : dimension de L(E,F), de L(E) Si E e F son des espaces vecoriels de dimension finie, alors l ensemble des applicaions linéaires de E dans F, noé L(E,F) a une srucure naurelle d espace vecoriel de dimension (dim(e)dim(f)) En pariculier, si E es un espace vecoriel de dimension finie, L(E) a pour dimension (dim(e)) Marices Définiions 6, 6, héorèmes 6 e 6 : les espaces vecoriels de marices, produi mariciel L ensemble M n,p (K) des marices à n lignes e p colonnes à coefficiens dans K peu êre muni d une srucure de K-espace vecoriel de dimension np Pour : A M n,p (K), B M p,q (K), on défini la marice produi : C M n,q (K), de A par B, par : i n, q, p ci, ai, k bk, k L ensemble M n (K) des marices carrées à n lignes e n colonnes à coefficiens dans K peu êre muni d une srucure de K-algèbre de dimension n, avec les lois +,, L ensemble des marices carrées inversibles de M n (K) es un groupe pour la muliplicaion des marices noé Gl n (K), e appelé groupe linéaire d ordre n Définiions 6, 64 e héorème 6 : marice ransposée, marice symérique, anisymérique, les espaces S n (K) e A n (K) On appelle ransposée d une marice A de M n,p (K) la marice noée : A A, apparenan à M p,n (K), Chapire 4 : Algèbre linéaire (révisions de sup) Noes de cours - 7 -

8 définie par : i p, n, e on a : A M n,p (K), a i, a, i ', ( A) A Une marice carrée es die symérique lorsque : A A, e anisymérique si : A A L ensemble des marices symériques n n à coefficiens dans K, noé S n (K) e celui des marices anisymériques, noé A n (K) formen des sous-espaces vecoriels supplémenaires de M n (K), de n( n +) n( n ) dimensions respecives : dim(s n (K)), dim(a n (K)) Exemple : démonrer expliciemen cee supplémenarié en décomposan oue marice de M n (K) On va raisonner par analyse-synhèse, e pour cela, soi : M M n (K) Analyse («que dire des soluions SI elles exisen?») : SI M peu se décomposer en : M S + A, avec S symérique e A anisymérique, alors : M S A, donc par combinaisons linéaires : S ( M + M ), e : A ( M M ) Auremen di, SI S e A exisen, elles ne peuven valoir que ce qui précède, d où unicié d une évenuelle soluion (on n a pas encore monré que S e A répondaien bien au problème) Synhèse («monrons qu il y a effecivemen des soluions») : Puisque S e A ne peuven valoir que ce qu on a rouvé, monrer qu il y a une soluion au problème revien ici à vérifier que S e A conviennen, ce qui dans le conexe revien à vérifier que : S es bien symérique : A es bien anisymérique : leur somme donne bien M : S ( M + ( M )) ( M + M ) S, A ( M ( M )) ( M M ) A S + A ( M + M ) + ( M M ) M Conclusion : oue marice dans M n (K) adme une unique décomposiion suivan S n (K) e A n (K), e ces espaces son bien supplémenaires dans M n (K) Définiion 7 : marice de changemen de base (marice de passage), cas de rois bases Dans un espace vecoriel E de dimension finie n, muni de deux bases : B (e i ), e : B (e i ), la marice de passage P de la base B à la base B la marice obenue en écrivan en colonnes les coordonnées des veceurs de B exprimés dans la base B Plus précisémen, si on noe : n, e ' n i p i, e i, la marice P es la marice : (p i, ) M n (K), noée parfois : P P B,B Cee marice de passage vérifie de plus : P B,B ma(id E,B,B) P es une marice inversible e P - es la marice de passage de B à B Enfin, si : B (e i ), B (e i ), e : B (e i ), son rois bases de E, alors : P B,B P B,B P B,B Définiion 7 e héorème 7 : marice des coordonnées d un veceur dans une base e formules de changemen de base Dans un espace vecoriel E de dimension finie n muni d une base : B (e,, e n ), un veceur x de E adme une unique décomposiion selon la base B de la forme : x n i x i e i x La marice des coordonnées de x dans B es la marice colonne : X M n, (K), définie par : X M, x n appelée marice représenaive de x dans la base B Si E es muni de deux bases : B (e i ), e : B (e i ), e si P désigne la marice de passage de B à B, alors un veceur x de E adme deux marices colonnes représenaives dans les bases B e B, Chapire 4 : Algèbre linéaire (révisions de sup) Noes de cours - 8 -

9 noées X e X qui son alors liées par la relaion : X PX ' Théorème 5 e définiion 8 : caracérisaion d une applicaion linéaire par les images des veceurs d une base, marice d une applicaion linéaire dans des bases Si E e F son des espaces vecoriels, avec E de dimension finie n, e si : B (e,, e n ) ; es une base de E e (a,, a n ) une famille de veceurs de F, il exise une unique applicaion linéaire u de E dans F elle que : n, u ( e ) a Auremen di, une applicaion linéaire de E dans F es enièremen déerminée par la donnée des images des veceurs d une base de l espace de dépar Si F es égalemen de dimension finie p e : B (e,, e p ), es une base de F, la donnée des veceurs a i es équivalene à celle de leurs coordonnées dans la base B : n, a i p i a, e La marice A définie par ces coordonnées déermine donc enièremen u : c es la marice représenaive de u dans les bases B e B e elle es consruie en inscrivan, en colonnes, les coordonnées exprimées dans B des images par u des veceurs de B Exemples : On donne dans [X], les images des veceurs de la base canonique par l endomorphisme u : u() X +, u(x) X X, u(x ) X + X, u(x ) X Alors : P [X], P a + a X + a X + a X, u(p) a (X + ) + a (X X ) + a (X + X) + a (X) a X + a X + (a a + a + a )X + (a a ), e l image de ou polynôme es bien déerminée par la donnée des images des veceurs de la base La marice de u dans la base canonique es : ma(u,b c ) On donne, pour u linéaire de dans 4 : u((,, )) (,,, -), u((,, )) (,,, ), u((,, )) (,,, ) Alors u es enièremen déerminée par ces données puisque : a (x,y,z), u(a) x(,,, -) + y(,,, ) + z(,,, ) (y+z, x+y+z, x+z, -x+y+z), e la marice de u dans les bases canoniques de e 4 es : ma(u, B, B 4 ) Théorème 8 : raducion maricielle du lien enre un veceur e son image par un morphisme, Si E e F son des espaces vecoriels de dimension finie p e n, munis de bases B e C, e : u L(E,F), de marice représenaive A dans les bases B e C, alors pour un veceur x de E, e en noan X la marice colonne de ses coordonnées dans la base B, Y la marice colonne des coordonnées de son image : y u(x), dans la base C, on a : Y A X Théorème 85 : lien enre les marices d un même endomorphisme dans différenes bases Soien deux espaces vecoriels E e F de dimension finie p e n, B e B deux bases de E, C e C deux bases de F, P e Q les marices de passage respecives de B à B e de C à C Pour ou : u L(E,F), si on noe : A ma(u,b,c), e : A ma(b,c ), oues ces marices son liées par la relaion : A ' Q A P En pariculier, dans un espace vecoriel de dimension finie muni de deux bases B e B, avec P la marice de passage de B à B, ou endomorphisme u de E ayan A e A comme marices i i Chapire 4 : Algèbre linéaire (révisions de sup) Noes de cours - 9 -

10 représenaives dans B e B es el que : A ' P A P Définiion 8 : applicaion linéaire ou endomorphisme canoniquemen associé à une marice Si A es une marice à p n lignes e p colonnes, soi : A M n,p (K), il es possible d aacher à A de façon canonique une applicaion linéaire Cee applicaion linéaire u es définie de K p dans K n, es appelée applicaion linéaire canoniquemen associée à A, e es définie par : ma(u,b p,b n ) A, où B p e B n désignen les bases canoniques respecives de K p e K n Si A es une marice carrée apparenan à M n (K), on parle alors d endomorphisme canoniquemen associé à A qui es donc défini comme un endomorphisme de K n Exemples : La marice : A u((,, )) (,, ), u((,, )) (,, ), u((,,)) (-,, ) La marice : B 4 par : u((,,, )) (,,), u((,,, )) (,, 4), u((,,, )) (-,, ), u((,,, )) (,, ), es canoniquemen associée à l endomorphisme u de défini égalemen par :, es canoniquemen associée à l applicaion linéaire de 4 dans définie Théorème 8 : dimension de M n,p (K) L espace M n,p (K) es de dimension np Déerminans Remarque générale : La consrucion du déerminan sur M n (K) ou sur E n, où (E,+,) es un K-espace vecoriel de dimension n es différene en MPSI e PCSI La présenaion faie dans la parie «cours comple» reprend la présenaion héorique qui a pu êre faie en MPSI, e elle nécessie des noions délicaes (noammen sur le groupe symérique) développées dans cee parie Cee présenaion es suivie de complémens (comarice par exemple) La présenaion qui sui en revanche es conforme au programme de PCSI Le programme de PSI quan à lui se borne à indiquer «exemples de déerminans» sans présenaion héorique Définiion : déerminan sur M n (K) Soi : n Il exise une unique applicaion noée de de M n (K) dans K elle que : de es linéaire par rappor à oues les colonnes de sa variable, de es anisymérique par rappor aux colonnes de sa variable, de(i n ) Théorème : conséquence de la définiion du déerminan Soien : n, A M n (K), e : λ K Si on échange deux colonnes de A, alors le déerminan de la marice obenue es : de(a) Si on remplace une colonne de A par elle-même addiionnée d une combinaison linéaire des aures colonnes, le déerminan de la marice obenue es inchangé Si on muliplie une colonne de A par un scalaire λ, le déerminan de la marice obenue es : λde(a) Chapire 4 : Algèbre linéaire (révisions de sup) Noes de cours - -

11 Auremen di, si on peu facoriser une consane λ dans une colonne de A, sorir ce λ de de(a) revien à muliplier le déerminan resan par λ de(λa) λ n de(a) (facorisaion de λ dans oues les colonnes de λa) Si A présene deux colonnes égales ou proporionnelles, alors : de(a) Théorème : déerminan d une marice riangulaire, diagonale Si A es une marice carrée riangulaire (supérieure ou inférieure) ou diagonale, son déerminan es égal au produi de ses élémens diagonaux Théorème : déerminan d un produi de marices Soi : n, e soi : (A,B) M n (K) Alors : dee ( A B) de( A)de( B) Théorème : caracérisaion des marices inversibles, déerminan de l inverse d une marice Soi : n, e soi : A M n (K) A es inversible si e seulemen si : de( A ) Dans ce cas, on a : de( A ) de( A) Théorème : déerminan d une ransposée Soi : n, e soi : A M n (K) Alors : de( A) de( A) Remarque : Toues les propriéés vues sur le déerminan des marices concernan les lignes de la marice es encore valable pour les colonnes Théorème : développemen d un déerminan suivan une ligne ou une colonne Soi : n, e soi : A M n (K) Pour : i, n, on noe A i, dans M n- (K) la marice déduie de A en suppriman sa i ème ligne e sa ème colonne Alors : i n, n, n i+ de( A) ( ) de( Ai, ), soi le développemen suivan la ligne i, n i+ de( A) ( ) de( Ai, ), soi le développemen suivan la colonne i Théorème e définiion : déerminan d un endomorphisme d un espace vecoriel de dimension finie Soi E un K-espace vecoriel de dimension finie n, e soi : u L(E) Soi A la marice représenaive de u dans une base B de E La valeur de(a) es indépendane de la base B choisie e on pose : de( u ) de( A) On appelle cee valeur le déerminan de u qui es donc égale au déerminan de la marice représenaive de u dans n impore quelle base de E Théorème : propriéés du déerminan pour les endomorphismes Soi E un K-espace vecoriel de dimension finie n Alors : n u L(E), λ K, de( λ u) λ de( u) (u,v) L(E), de( uov ) de( u)de( v) u L(E), (u Gl(E), soi u es inversible) ( de( u ) ), e dans ce cas : de( u ) de( u) Chapire 4 : Algèbre linéaire (révisions de sup) Noes de cours - -