Mécanique du Solide. Année Mohammed Loulidi. Laboratoire de Magnétisme et Physique des Hautes Energies

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1 Flèe cences athématques et Infomatque Flèe cences de la atèe hysque écanque du olde Année 8 ohammed Lould Laboatoe de agnétsme et hysque des Hautes Eneges Dépatement de hysque Faculté des cences Unvesté ohammed V-Agdal

2 Table des matèes Chap I : Compléments mathématques I- Espace vectoel et champ de vecteus 5 - Espace vectoel 5 - Espace affne 5 3- péatons su les vecteus 6 4- Champ de vecteus 7 II- Toseus - Défnton - opétés des toseus 3- Glsseu et couple 3 4- Décomposton d un toseu 4 5- Classfcaton des toseus 5 6- Toseus à stuctue 6 7- Equpojectvté 6 Chap II : Cnématque des soldes I- opétés cnématque du solde 8 - Défntons 8 - Champ de vtesse d un solde 3- Champ des accéléatons II- ouvements d un solde - Défntons - otaton autou d un axe fxe 3- otaton d un solde autou d un pont : Angles d Eule III- Changement de éféentel 4 - Dévaton composée 4 - Composton des vtesses 5 3- Composton des accéléatons 6 IV- Cnématque des soldes en contact 6 - Défnton 6 - Vtesse de glssement 7 3- oulement et pvotement 8 V- ouvement plan d un solde 9 - Défnton 9 - Cente nstantané de otaton 9 VI- aamétage d un solde : Lasons 3 - aamètes pmtfs 3 - Lasons 3 Chap III : Cnétque des oldes I- Eléments d nete 33 - asse 33 - Cente d nete oments d nete 36

3 II- Théoèmes assocés au calcul de la matce d nete I 4 - Théoème I de Koeng 4 - Théoème de Hygens 4 3- Détemnaton patque de la matce d nete 4 III- Toseu cnétque 44 - Défnton 44 - opétés 44 IV- Toseu dynamque 45 - Défnton 45 - opétés 46 V- Enege cnétque 47 - Défnton 47 - opétés Conséquences 47 Chap IV: ncpe fondamental de la dynamque Théoèmes généaux I- ncpe fondamental de la dynamque 49 - Foces applquées à un système : Toseu foce 49 - Enoncé du pncpe fondamental 5 3- Théoèmes généaux 5 II- Los de Coulomb su les fottements 54 - Actons de contact 54 - Los su le fottement solde : Los de Coulomb 54 III- Applcatons 56 - Dsque vetcal en mouvement su un axe hoontal 56 - oue motce 57 Chap V : Taval pussance : Théoème de l énege cnétque I- Taval et pussance des foces s exeçant su un système matéel 6 - Défnton de la pussance et du taval 6 - Taval des foces ntéeues 6 3- Taval des foces éeues : Eneges potentelles assocées 6 4- Taval total des actons de contact ente soldes 63 II- Théoèmes de l énege 65 - Théoème de l énege cnétque 65 - Théoème de l énege mécanque 67 III- Los de consevaton et ntégales pemèes 67 - Consevaton de l énege 67 - Intégale pemèe du moment cnétque 68 3

4 écanque du solde ChapI Compléments athématques 4

5 Compléments athématques I- Espace vectoel et champ de vecteus - Espace vectoel - Défnton n appelle espace vectoel E su un cops K un ensemble d éléments appelés vecteus qu satsfat aux popétés suvantes : - E est mun d une stuctue de goupe commutatf pou une lo de composton ntene l adon vectoelle notée - λ et µ K on a U et V E : λuv λuλv λµuλµu λµuλuµu UU - Espace vectoel Euclden Un espace vectoel E est euclden s l est mun d un podut scalae f qu à deux vecteus U et V de E fat coesponde le nombe éel fuv : fuv fvu fuλv λ fuv fuvw fuv fuw fuu > s U et fuu s U fuu est le caé de la nome de U noté U -3 base d un espace vectoel n appelle base d un espace vectoel un ensemble de n vecteus {e }de E ndépendants qu pemettent de décompose lnéaement tout vecteu de E : U x e n Les coeffcents x sont les composantes de U dans la base consdéée La base est e othonomée s j e e j δ j - Espace affne - Défnton n appelle espace affne E un ensemble d éléments appelés ponts tel qu à tout couple odonné AB de deux ponts A et B on pusse assoce un vecteu AB d un espace vectoel E A B et C désgnent tos ponts de E on dot avo : AB BA AC AB BC A est un pont de E et V E un pont unque de E défn pa A V 5

6 écanque du solde - Espace métque Un espace métque est un espace affne E auquel on a assocé un espace vectoel euclden E La dstance ente deux ponts A et A' de E n est aute que la nome du vecteu AA ' : n AA' A' A x x n AA' x' x ' e Dans l espace affne physque à 3 ensons s les ponts sont nfnment vosns la nome est donnée pa : AA ' ds dx dy d 3- péatons su les vecteus 3- odut scalae n Le podut scalae ente deux vecteus U u e et V n v e n U V u v U V cos U V est défn pa : 3- odut vectoel Le podut vectoel ente deux vecteus U et V est un vecteu W pependculae au plan fomé pa U et V noté : W U V et de nome W U V sn U V Ces composantes dans la base { e } sont données pa : w ε u v avec jk j k ε s au mons deux ndces sont égaux et ε ε ε dans une pemutaton jk j k jk kj jk cculae decte Dans le cas d un espace vectoel à 3 ensons ls s écvent : w w w 3 u u u 3 v v v 3 u u 3 u v v v 3 3 W est un vecteu axal qu dépend de l oentaton de la base 3-3 odut mxte U V W W U V V W U 3-4 Double podut vectoel U V W U W V U V W C est un vecteu contenu dans le plan fomé pa V et W 6

7 Compléments athématques 3-5 Dvson vectoel oent deux vecteus U et V non nuls n se popose de détemne l ensemble des vecteus X soluton de l équaton : U X V X est le ésultat de la dvson vectoelle La soluton de la dvson vectoelle n est possble que s U est pependculae à V pusque U V U U X X U U En conséquence les vecteus U et X sont contenus dans le plan le plan π pependculae à V V ot X une soluton patculèe : U X X U X V U U X U V U X λu U X U U X U V π X V U U n a U X V U X V U X X X X λu λ La soluton généale s éct alos : X V U λu λ U 4- Champ de vecteus 4- Vecteu lé et système de vecteus lés : Glsseus ot N un bpont de l espace affne E La elaton d équpollence elaton d équvalence qu défn un vecteu V de l espace vectoel E assocé à E Consdéons la elaton d équvalence N défne su l ensemble des bponts pa : D N N N ' N ' et N N sont algnés N ' N ' est une N 4-- Défnton n appelle vecteu lé glsseu toute classe d équvalence selon la elaton Le glsseu dont N est un epésentant est donc défn pa : - un vecteu V de E - un pont quelconque de son suppot D Le glsseu est noté V 4-- oment en un pont d un vecteu lé Le moment en un pont A d un vecteu lé V est un vecteu défn pa : A V A V 7

8 écanque du solde opétés - Le moment au pont A d un vecteu lé V est ndépendant du pont chos su son suppot D En effet : sot Q un pont appatenant au suppot D on a : A V A V AQ Q V AQ V vue que Q V Il en ésulte que le nouveau système de vecteus lés est obtenu en fasant glsse le vecteu V su son suppot d où la noton de glsseu - elaton ente les moments de deux ponts dfféents oent A et B deux ponts de l espace affne E A V A V AB V B V d où la elaton 4--3 oment d un vecteu lé pa appot à un axe Le moment d un vecteu lé V pa appot à un axe passant pa A de vecteu untae e est le podut scalae V e A V est ndépendant du pont chos su oent A et B deux ponts de le moment pa appot à est : e V e V e AB V e V A B B 4- ystème de vecteus lés : ensemble de glsseus 4-- Ensemble fn de vecteus lés ot un ensemble fn de glsseus V n n appelle - ésultante de l ensemble fn de glsseus la quantté : n V n - moment ésultant au pont A de l ensemble des glsseus : V A V A opété : n V A A V n AB V n A B V B AB 4-- Ensemble nfn de glsseus ot F un vecteu défn en tout pont d un domane E champ de vecteus elatvement à la mesue dµ n assoce à l ensemble nfn de glsseus F 8

9 Compléments athématques - la ésultante F dµ E - le moment au pont A ; A A F dµ E En patque peut désgne une densté de foce lnéque sufacque ou volumque Elle peut auss epésente un champ de vecteus de vtesse ou d accéléaton dµ est une mesue sot de longueu de suface ou de volume ou ben une mesue de masse opété A F dµ AB F dµ B F dµ AB F dµ B F dµ A E 4-3 Champ de vecteus antsymétque E A E B AB 4-3- Champ de vecteus n appelle champ de vecteus ou champ vectoel toute applcaton qu fat coesponde à tout pont A de l espace affne E un vecteu V d un espace vectoel E de même enson que E Exemple : Champ de vtesse champ d accéléaton champ de foce champ électque champ magnétque etc 4-3- Champ antsymétque Défntons : Un champ vectoel A est antsymétque s l exste un vecteu tel que : A et B de l espace affne E on at : V V A V B AB n appèle le vecteu du champ antsymétque Un champ vectoel V A est antsymétque s l exste une applcaton lnéae antsymétque défne de E su E : V A - V B BA n appèle qu une applcaton lnéae est antsymétque s u v -v u es éléments sont donnés pa uv u v L opéateu peut ête epésenté pa Equpojectvté F Un champ vectoel V est équpojectf s et seulement s A et B de l espace affne E on a : AB V A AB V B E E dµ 9

10 écanque du solde Ce qu sgnfe AC BD oposton Tout champ antsymétque est équpojectf et écpoquement tout champ équpojectf est antsymétque Consdéons un champ antsymétque V : V A V B AB n a AB V A AB V B AB AB V B écpoquement s V est un champ équpojectf : AB V A AB V B n a : AB V A V B B A V A B A V B B A V A V B A V B V V étant équpojectf alos A V A V et B V B V ce qu donne B W A A W B avec W A V A V En dédut que A W A AW A A WA et on peut éce W A A ù est vecteu fxé Il en ésulte que : V A V A II- Toseus Le toseu est un outl mathématque pvlégé de la mécanque Il lu pemet une epésentaton condensée et smplfée Il set à epésente le mouvement d un solde à caactése une acton mécanquefoce à fomule le pncpe fondamental de la dynamquedf et à éce la pussance d une foce éeue applquée à un solde - Défnton n appelle un toseu τ l ensemble d un champ antsymétque et de son vecteu n τ le note [ ] et sont les éléments de éducton du toseu τ le peme est son moment alos que le deuxème est sa ésultanteson vecteu Il s éct en un pont de l espace affne E : τ [ ] V V B A A En généal la connassance de et de en un pont patcule A de l espace affne E détemne complètement le toseu en tout pont de l espace E : A A emaque Cette défnton dépasse le cade ntal fxé pa les théoèmes généaux pusque même en l absence de système de vecteus lés on peut assoce un toseu τ à un champ C B D

11 Compléments athématques antsymétque a exemple le toseu cnématque τ v n'est pas constut à pat d'un ensemble de vecteus lés mas à pat d'un champ antsymétque de vtesse : V A V B AB ω pou lequel le vecteu otatonω n est pas un vecteu lé Exemples de toseus Toseu cnématque : c est le toseu vtesse d un solde en mouvement dans E τ va [ ω A V A] Toseu cnétque de dans E: τ ca [ A σ A] σ est appelé moment cnétque du système Toseu foce : toseu des actons agssantes su dans E τ F A [ F A A] est le moment de la foce F - opétés des toseus - Egalté de deux toseus Deux toseus sont égaux s et seulement s leus éléments de éducton sont égaux en tout pont de l espace affne E τ τ A; - omme de deux toseus La somme de deux toseus τ et τ est un toseu t : τ τ τ [ ] [ ] [ ] -3 ultplcaton pa un scalae τ est un toseu τ λτ [ λ ] Q A: Q Q λ est auss un toseu -4 Toseu nul Un toseu nul est un toseu dont les éléments de éducton sont nuls : τ et en tout pont de l espace E En concluson l ensemble des toseus est un espace vectoel de enson 63 composantes de et 3 composante de -5 Dévée d un toseu ot une famlle de toseus τ t dépendants du temps t les éléments de éducton de τ t au pont s écvent : τ [ t t ] La dévée de τ t est défne pa : t

12 écanque du solde dτ d t [ d t t ] -6 Invaants d un toseu D apès la défnton d un toseu on peut lu assoce deux nvaants scalaes et un nvaant vectoel : Invaants scalaes : et Q de l espace E on a : Q µ cst Q Q Q cst Invaant vectoel Il est défn pa : I µ cst -7 Axe d un toseu -7- Défnton L axe centale d un toseu τ [ ] est l ensemble des ponts tel que est colnéae à : { } -7- Equaton de l axe Consdéons un toseu t défn en un pont A : τ [ A] avec n décompose A suvant : A tel que A A est un pont qu appatent à on a : A H n a alos A A A n obtent l équaton A qu pa dvson vectoelle donne la soluton : A λ A A λ on pose AH A A AH λ H étant un pont qu appatent à l axe tel que : AH au plan fomé pa et A Donc l axe cental est une dote de même decton que et qu passe pa le pont H

13 Compléments athématques emaques : µ I c est l nvaant vectoel du toseu Le moment du toseu est le même en tout pont de l axe du toseu : H o H et sont colnéaes donc H La nome du moment d un toseu en tout pont de l axe est mnmale En effet soent et A A A cosθ A cosθ A -8 Comoment de deux toseus oent τ et τ deux toseus dont les éléments de éducton au pont de E : τ [ ] τ ] [ Le comoment de τ et τ noté τ τ est défn pa le scalae: ϕ Ce podut est ndépendant du pont c est un nvaant scalae En effet : soent et Q deux ponts de l espace affne E ϕ Q Q Q Q o Q Q d où ϕ ϕ Q Exemples - Enege cnétque T E : T A τ v τ c v p σ ω - ussance des foces E : A v F ω 3- Glsseus et couples 3- Glsseu τ τ v F 3-- Défnton Un glsseu est un toseu assocé à un vecteu lé A de champ antsymétque A A Le champ ans défn est le moment du toseu de vecteu n note le glsseu pa : τ Α [ A ] g A Exemple : Le moment cnétque d un pont matéel en mouvement de otaton dans un epèe est un glsseu dont le toseu assocé au vecteu mpulson p est τ Ο [ p mv σ mv] 3-- opétés uppot de g A 3

14 écanque du solde ot un glsseu g A de vecteu et de moment A A on appelle suppot de g A l ensemble des ponts E de moment nul : upp g A { : A A } C est la dote passant pa le pont A et engendée pa Conon nécessae et suffsantecn pou qu un toseu sot un glsseu - s E : le moment du toseu est nul ; e ce toseu est un glsseu - un toseu de vecteu a un moment nul en A ce toseu est le glsseu assocé au vecteu lé A - Etant donné un pont E et deux vecteus pependculaes l exste un glsseu et un seul ayant pou vecteu et pou moment au pont : g [ ] emaques L nvaant scalae d un glsseu µ Le sous ensemble de glsseus non nuls dont le suppot passe pa un pont A donné et du glsseu nul est un sous espace vectoel à 3-ensons de l espace vectoel des toseus eule la donnée de pemet de détemne le toseu glsseu x y 3- Couples Un toseu est un couple s et seulement s l possède l une ou l aute des popétés équvalentes suvantes : - - cst emaque L ensemble des couples est un sous espace vectoel de enson 3 de l espace vectoel des toseus eule la donnée de pemet de détemne le toseu glsseu 4- Décomposton d un toseu x y 4- Décomposton d un toseu en un couple et un glsseu Tout toseu d éléments de éducton A et défns en un pont de l espace affne E peut s éce sous la fome : τ [ ] [ ] [ ] g A C 4

15 Compléments athématques où g A est un glsseu dont le suppot passe pa A et l est paallèle à et C un couple ayant pou moment A Cette décomposton qu est unque monte que l espace vectoel des toseus est la somme decte du sous espace vectoel des couples et des glsseus non nuls de suppot A augmenté du glsseu nul g A C alos l ensemble des ponts n est aute que l axe cental du toseu τ 4- Décomposton d un toseu en deux glsseus Tout toseu τ [ A] peut ête décomposé en deux glsseus défns en deux ponts dfféents En effet : upposons qu l exste un vecteu V : A A V A Le moment au pont peut s éce: A A V V V τ [ A] [ ] [ A A] V [ -V ] A [ V A] A τ [ -V ] A [ V ] [ -V ] A est assocé au glsseu A V tands que le toseu [ V ] est assocé au glsseu V 5- Classfcaton des toseus La classfcaton des toseus se fat en foncton de l nvaant scalae µ 5- µ ou ce cas où l nvaant scalae est nul 4 cas se pésentent : τ toseu nul et τ C toseu couple Vue que tout toseu peut ête décomposé en deux glsseus le couple C peut ête décomposé en deux glsseus paallèles de même nome et de sens opposés : C [ A] [ V ] [-V ] A avec A A V ; A τ g A ; e toseu glsseu avec A axe du glsseu v ; A Vue que µ alos τ est un glsseu 5

16 écanque du solde B alos B et pa conséquent A B AB AB A 5- µ Le toseu τ n est n un couple n un glsseu Cependant l peut ête décomposé en une somme d un couple et d un glsseu tous deux dfféents du toseu nul : τ g A C A E 6- Toseus à stuctue Un toseu à stuctue est un toseu défn en tout pont d un domane D elatvement à une mesue dµ es éléments de éducton sont défns pa : τ F F dµ ; A F dµ D D opété ot τ un toseu quelconque défn au pont A : τ [ A] toseu à stuctue est : τ F τ A F dµ A F dµ D A F dµ D F dµ D D A F dµ D 7- Equpojectvté Le champ des moments d un toseu est équpojectf En effet on a : A B AB AB A AB B son comoment avec le 6

17 7

18 écanque du solde ChapII Cnématque du solde 8

19 Cnématque du solde La cnématque est l étude des mouvements des cops ndépendamment des causes qu les podusent Elle s appue unquement su les notons d espace et du temps I- opétés cnématques du solde - Défntons Un solde ndéfomable est un ensemble de ponts matéels dont les dstances mutuelles ne vaent pas au cous du temps athématquement on peut le défn comme un domane de l espace affne euclden E tel que : Q Q cst L ensemble d un epèe d espace mun d un epèe de temps consttuent un éféentel Dans le cade de la cnématque classque on suppose que les éféentels sont muns de la même hologe synchonsaton donc un temps unvesel absolu Dans l étude de la cnématque d un solde en mouvement dans E on utlse en généal 3 types de epèes : - epèe absolu C est le epèe du laboatoe qu sea noté s : j k - epèe lé au solde : C est un epèe noté s : s ; s js ks dont la base othonomée decte de l espace vectoel E s js ks engende les oentatons de los de son mouvement dans - epèes ntemédaes Il sont des epèes tès utles dans l étude des mouvements complexes composés des soldes dans Ils seont noté pa : ; j k - Champ de vtesse d un solde ot un solde en mouvement dans l espace E et sot t un pont quelconque de t s s t k j s - Défnton n appelle V t le champ des vtesses de à l nstant t le champ qu pou tout pont t on assoce le vecteu vtesse de ce pont matéel : s k s j s : V V t - opétés du champ de vtesse d -- Champ de vtesse antsymétque oent t et Qt deux ponts de en mouvement tqt cste Q t [ VQ V ] 9

20 écanque du solde vue que V et VQ on obtent Q t VQ Q t V Le champ de vtesse d un solde est un champ équpojectf donc antsymétque V t -- Toseu cnématquetoseu de vtesse étant un champ antsymétque alos V t Q à tout nstant t un vecteu ω : t VQ V Q ω t n note alos le toseu cnématque pa : τ v [ ω V ] dont les éléments de éducton sont : ω : la ésultante de τ v C est la vtesse nstantanée de otaton du solde V : le moment de τ v La lo de tansfomaton des moments d un tenseu pemet d obten la vtesse en tout pont en foncton des éléments de éducton du toseu τ v en un pont patcule : V VQ Q ω -3 Axe du toseu cnématque τ v le vecteu ω l axe du toseu τ v est l ensemble des ponts axe centale du toseu appelé auss axe de vaton ou axe nstantané de otaton et de glssement dans le mouvement de s tel que ω V on a ω α V V Q V α V Q n constate que à tout nstant t le mouvement du solde peut ête décomposé en un mouvement de tanslaton le long de l axe nstantané de otaton de vtesse V et d une otaton nstantanée autou de l axe nstantané de otaton de vtesse angulae ω L axe du toseu τ v n est aute que l axe de otaton nstantanée de Alos la vtesse des ponts est mnmale ω V s L axe cental est défn pa : s λω ω V V s ω s ω V s Vs ω ω ω V ω ω µ s V ω ω s

21 Cnématque du solde avec s V µ ω s µ on a axe de otaton µ on a axe de vaton 3- Champ des accéléatons a dévaton de la elaton d antsyméte du champ de vtesse V V A ω A on obtent le champ d accéléaton dans un solde : dω γ γ A A ω ω A Le champ d accéléaton γ n est pas un champ antsymétque t II- ouvements d un solde - Défnton n dstngue en généal dfféents types de mouvements d un solde : - ouvement de tanslaton - ouvement de otaton autou d un axe ou d un pont - Une composée d un mouvement de tanslaton et d un mouvement de otaton ot un solde en mouvement dans l espace affne E epéé pa et consdéons deux ponts A et B Ces deux ponts effectuent deux tajectoes dfféentes u est le vecteu untae qu engende les oentatons de la dote AB au cous du temps d AB AB d V B V A AB u ω dfféentes stuatons sont possbles : - s u t cst alos V A V B on que effectue un mouvement de tanslaton Dans ce cas ω et τ v est un couple de moment - V µ k j s u t cst et µ a- s ω alos V ω vue que µ τv est donc un toseu glsseu dont les ponts stués su l axe centale du toseu ont une vtesse nulle V n a un mouvement de otaton de autou de Deux cas se pésentent : B A t t B A

22 écanque du solde - α ω e e est un vecteu untae poté pa l axe s : V s alos V V s ω s Donc V b s V ω alos est anmé d un mouvement "plan su plan" b- s : t V s alos effectue un mouvement de otaton autou du pont s : V ω s u t cst et aucun pont de fxe dans alos le mouvement de est la composée d une tanslaton et d une otaton s - otaton autou d un axe fxe - Défnton Le mouvement d un solde dans l espace affne E est un mouvement de otaton autou d un axe fxe s et seulement s deux ponts matéels dstncts de qu soent fxes dans E A et B sont deux ponts de fxes dans E e l en ésulte que tous les ponts su la dote AB estent fxes C est l axe de otaton de noté s on pend e H e ϕ V et V ω ca V e ρ m V ϕ e ϕ e H eρ ϕ y V ϕ H e ϕ x Les ponts matéels effectuent un mouvement de otaton cculae autou de l axe et de ayon H ρ - opétés - Le toseu τ v est un glsseu d axe : τ v g [ ϕ e ] γ ρ ϕ eϕ ρ ϕ eρ γ γ t n - s ϕ cste le mouvement de otaton est unfome -3 ouvement hélcoïdal smple -3- Défnton Un mouvement hélcoïdal smple est une combnason d un mouvement de tanslaton ectlgne et d un mouvement de otaton autou d un axe paallèle à la decton de tanslaton Consdéons une tanslaton paallèle à l axe o axe de otaton de ot A un pont su o s on pose A h t k V h t k ω A x x x s ϕ ϕ A y s y y

23 Cnématque du solde V h t k k A ϕ -3- opétés - L nvaant scalae et vectoel de τ v µ ω V ϕ t h t ϕ h I ϕ k h k V A s ϕ - L nvaant vectoel n est aute que la vtesse de tanslaton du solde le long de l axe o n l appelle vtesse de glssement Classfcaton des mouvements a- s µ ot ϕ on a un mouvement de tanslaton ectlgne paallèle à o τ v est un couple ot h on a un mouvement de otaton autou de o τ v est un glsseu d axe o b- µ Le mouvement est une combnason d un mouvement de tanslaton paallèle à o et d un mouvement de otaton autou de o τ v peut ête décomposé en un couple C [I ] et un glsseu g [ ϕ k ] paallèles à l axe du toseu k o qu est auss l axe de otaton n note fnalement que s 3- otaton d un solde autou d un pont : angles d Eule ϕ cste le mouvement hélcoïdal est unfome Un solde est en otaton autou d un pont fxe de s l exste un pont s de s epèe lé au solde qu coïncde à tout nstant avec le pont Angles d Eule Les angles d Eule qu sont en nombe de 3 ψ θ ϕ consttuent un paamétage de la otaton d un solde autou d un pont Leus vaatons au cous du temps engendent la otaton du solde autou de Consdéons un solde en otaton autou d un pont fxe ogne du epèe fxe upposant qu à t s oent x y le epèe fxe et s xs ys s le epèe lé au solde upposant que et s ne soent pas colnéaes s non ce seat une otaton autou d un axe fxe Alos les plans x y et x s y s se coupent suvant une dote su laquelle on chosa l axe u Cet axe est appelé lgne des nœuds oent les epèes othonomés dects ntemédaes u v et u w s Le passage de x y à s xs ys s se fat pa l ntemédae de et en effectuant 3 otatons : 3

24 écanque du solde 4 - une otaton d angle ψ autou de l axe : pécesson v u y x k ω ψ y x u sn cos ψ ψ y x v cos sn - ψ ψ qu on peut éce matcellement y x v u cos -sn sn cos ψ ψ ψ ψ ψt est appelé angle de pécesson - une otaton d'angle θ autou de l'axe u : nutaton s u w u v u ω θ v w sn cos θ θ v s cos sn - θ θ qu on peut éce matcellement v w s cos -sn sn cos θ θ θ θ θt est appelé angle de nutaton 3- une otaton d angle ϕ autou de l axe s : otaton pope s s s s s y x w u s s ω ϕ ψ ψ v y x x s y s s w u v y x ψ ϕ θ u θ v θ s w

25 Cnématque du solde 5 w u x s sn cos ϕ ϕ w u y s cos sn - ϕ ϕ qu on peut éce matcellement w u y x s s cos -sn sn cos ϕ ϕ ϕ ϕ ϕt est appelé angle pope Le mouvement de otaton de s est composé de 3 mouvements successfs et chacun des mouvements est une otaton autou d un axe fxe D apès la lo de composton des vtesses de otaton on a : s s ω ω ω ω Ce ésultat peut ête dédut d une aute manèe : V ω V ω V s s ω V s s ω Ce qu condut à s s ω ω ω ω d ou le ésultat s s u ϕ θ ψ ω III Changement de éféentel La cnématque des mouvements complexes s composés nécesste l ntoducton de epèes ntemédaes Le passage d un éféentel à un aute se fat pa l ntemédae des elatons généales - Dévaton composée ot un vecteu U de l espace vectoel E à 3 d vaable dans le temps pa appot aux deux epèes k j et ' ' ' ' ' k j ' ' ' ' ' ' k t j t y t x k t j t y t x U k j y x U d ' ' ' ' ' ' ' k j y x U d o ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' k d dj y d x k j y x U d ϕ u ϕ y s w x s

26 écanque du solde d où d d ' x ' ' yj' ' k' ' U U ω ω ω d d U U U ω ' ' emaque n peut utlse la elaton des vtesses du solde pou détemne la lo des accéléaton à pat de la dévée composée V A V B AB ω dv A dv B d AB dω ω AB dω γ A γ B AB ω AB ω - Composton des vtesses - Lo de composton ot un solde en mouvement pa appot à et à ' et sot d V ; V ' d ' ' ' V d d' d ' V ' V ' ω ' ' V ' V ' ω ' ' V ' V ' Ve V ' La vtesse de est décomposée en deux temes : - V e V ' ω ' ' c est la vtesse d entaînement ou la vtesse du pont coïncdant * à l nstant t supposé fxe dans mas a les mêmes coodonnées que à cet nstant - V ' c est la vtesse elatve de ' D apès le théoème du pont coïncdant la vtesse du pont peut s éce : V ' V * ' V ' - Toseu vtesse dans un mouvement composé oent un epèe lé au solde en mouvement un epèe ntemédae en mouvement et fxe dans Les éléments de éducton du toseu vtesse du pont de sont : τ [ ω V ] v De même les coodonnées des toseus vtesse du pont et celu du pont coïncdent sont espectvement : [ ω V ] τ v 6

27 Cnématque du solde τ v [ ω V ] D apès la lo de composton ω ω ω V V V l en ésulte la popété d adon des toseus : τ τ τ Cette elaton peut ête généalsée à pluseus epèes ntemédaes : Conséquences j j - τ τ τ j τ - τ p- p τ 7 j j τ C est le toseu vtesse nvese de τ - La lo de décomposton des vtesses d un solde dans un epèe est valable auss au nveau des toseus 3- Composton des accéléatons a dévaton de l équaton V ' V ' ω ' ' V ' on obtent dω ' dv ' γ γ ' ' ω ' d' o d ' d ' ω ' ' ' dv ' dv ' ω ' V ' ' Il vent γ γ ' γ e γ c avec dv ' γ ' ' dω ' γ e γ ' ' ω ' ω ' ' γ ω ' V ' c IV- Cnématque des soldes en contact - Défnton Deux soldes et en mouvement dans sont s en contact s à tout nstant t l exste au mons un pont I et I qu soent en contact oent : π I : le plan tangent à au pont I π I : le plan tangent à au pont I x I I y n I π

28 écanque du solde πi : le plan tangent à et au pont I Le plan π est nomal à n n dstngue au contact de et 3 ponts : - Le pont géométque de contact I C est un pont fctf qu vae avec les mouvements de et n a V I π V I et V I - Le pont I ; l coïncde avec I à l nstant consdéée V I π I et V I - Le pont I ; l coïncde avec I au même nstant V I π I et V I - Vtesse de glssement - Défnton n appelle vtesse de glssement de su notée V g I la vtesse de I pa appot à et elle est donnée pa : I V I V g D apès la lo de composton des mouvements de I ente les éféentels et on a : V I V I V I ; vue que V I V e D où V g I V I V I V I - opétés - La vtesse de glssement ne dépend que des soldes en contact Elle ne dépend pas du éféentel pa appot auquel et sont en mouvement - V I V I - V g π En effet d apès la lo de composton des vtesses pou et on a : V I V I V I V I V I d où I V I V I V I V g usque V I et V I π alos V π v- A est un pont fxe alos pa la popété d antsyméte on a : I V A ω AI V g -3 Exemples A- Dsque vetcal en contact avec un plan est le dsque de ayon est le plan hoontal fxe La vtesse de glssement est : g V g V I V I V I V C ω CI j x θ j k y C I θ x 8

29 Cnématque du solde V I x θ V g La conon du oulement sans glssement se tadut pa : V x θ x θ g Cette elaton tadut l égalté des longueus pacouues pa le pont géométque I su le dsque et su la dote x Le sgne - tadut la nuton de θ quand x augmente B- Dsque en contact ponctuel avec un gude cculae en mouvement est le dsque de ayon est le ceceau de ayon effectue un mouvement de otaton autou de l axe Les angles θ et ϕ fxent la poston d un pont du dsque tands que l angle α fxe celle du gude V I V I V g V I V C ω CI o o o θ j' ϕ θ k ' o o θ ϕ j' o V I α j' o o o θ ϕ - α j' V g Le oulement sans glssement est : θ ϕ - α le gude est fxe ; α 3- oulement et pvotement o o o o θ ϕ 3- Défnton oent et deux soldes en contact ponctuel Au pont I Les plans tangents Π et Π en I et I e confondent et ont pou nomale n Le vecteu otaton ω ω ω peut ête décomposé suvant la nomale n et la tangente au plan ΠI : ω ω n ωt ω n est appelé vtesse angulae de pvotement ω est appelé vtesse angulae de oulement t o o x Π θ α I ω n n I C y y ϕ x ω ωt 9

30 écanque du solde V- ouvement plan d un solde - Défnton n appelle mouvement plan d un solde un mouvement tel qu l exste un plan Π s qu se déplace dans un plan paallèle à un plan Π fxe dans La secton du solde lée pa le plan Π est donc une fgue qu évolue dans sans se défome Exemple : Cylnde en mouvement dans le plan xy qu coïncde avec un plan de secton dote C étant le cente de la secton dote y y Π xy est le plan fxe dans Π x ' ' y' est le plan qu coïncde s ave le plan Π à tout nstant mas V Π s Π La poston de Π s Π est en généal donnée pa 3 paamètes Dans le cas de cet exemple elle est détemnée à pat du vecteu C et de l angle x x θ ' - Cente nstantané de otatonci Consdéons un mouvement plan de et sot Π s le plan qu se déplace paallèlement à un plan Π fxe dans Π s est constamment lé à la secton de pa Π ω l axe nstantané de otaton et de glssement exste et l est pependculae au plan Π et Π s Il coupe ces plans en un pont I dont la vtesse est colnéae à µ ω V I ω et en même temps contenue dans Π ω s Donc C y x x x V I -- Défnton Le cente nstantané de otaton CI du plan Π s à la date t est le pont I dont la vtesse pa appot à est nulle V IΠ s V IΠ s Π V sπ s Π ω Πs s I vue que ω Πs V s Π ω s I on obtent s I ω Π s s Π Donc le pont I CI exste et l est unque Ans la connassance du mouvement de Π s Π fount analytquement le CI et en conséquence on a pou tout pont Πs V Πs ω I La vtesse de tous les ponts lés au plan Π s est la mêmes que dans une otaton ω autou du pont I I plan ω V Vue que I V le CI est stué à un nstant donné su les nomales aux tajectoes dans le plan fxe des ponts lés au plan moble -- Exemples -- ouvement plan d un cylnde qu oule sans glsse su le sol 3

31 Cnématque du solde Le mouvement se amène à celu d un dsque en contact ponctuel avec la dote x d un epèe fxe xy la vtesse de glssement est : Vg V IΠ s V Ix V I x ce qu condut dans le y Π y Π s cas de oulement sans glssement à V I Π s Donc le pont I est le CI n peut détemne la poston du CI analytquement : ω Πs V ' ' I ω I x x o o o k x x θ j o o θ θ o o V V IΠ V ' ω ' I x θ g s La conon de oulement sans glssement mplque : ' I j o y o x θ d où on obtent -- Bae conte un mu Consdéons une bae AB de longueu l et de cente C B I en contact pa ces émtés A et B avec deux plans pependculaes x et y C Les ponts A et B décvent espectvement les axes x et y : V A ω AB IA V B A ω AB IB usque V A et V B sont potées espectvement pa les axes x et y l en ésulte que le CI I se touve su la nomale en A à x et la nomale en B à y Il est l ntesecton des dem-dotes Ay et Bx x VI- aamétage d un solde- Lasons - aamètes pmtfs d un solde La poston d un solde en mouvement dans l espace se défn généalement au moyen de 6 paamètes : 3 paamètes de tanslaton qu sont les coodonnées xy d un pont quelconque du solde qu est généalement son cente d nete et 3 paamètes de otaton qu sont les angles d Eule ψθϕ Ce sont les paamètes pmtfs du solde Cependant cetans de ces paamètes peuvent ête lés ou plus qu dévent de cetanes conons patculèes tel que le oulement sans glssement et les lasons n appèle degé de lbeté le nombe de paamètes pmtfs ndépendants - Lasons - Défntons 3

32 écanque du solde Les soldes ne sont généalement pas lbes dans l espace Leus mouvements sont nécessaement lmtés pa les popétés de la matèe : mpénétablté obstacles éeus état des sufaces de contact etc Les lasons sont les elatons exstantes ente les paamètes pmtfs leus dévées et le temps pou tadue ces lmtatons Ce sont des équatons du gene f { q }{ q } t où les q sont les paamètes pmtfs du solde ou classe les lasons on dstngue : - Lasons blatéales et lasons unlatéales Une lason blatéale se tadut pa des équatons alos qu une lason unlatéale ntodut au mons une néquaton - Lasons holonomes et lasons non holonomes Une lason holonome est une lason qu se tadut pa des elatons ente les paamètes et éventuellement le temps mas à l excluson de leus dévées : f { q } t Une lason e nonholonome dans le cas contae Une lason est sem holonome s les dévées des paamètes ntevennent lnéaement - Lason dépendante du temps et lason ndépendante du temps Une lason est e ndépendante du temps losque celu c n ntevent pas explctement et dépendante du temps dans le cas contae - Exemple - endule smple Le système possède 3 paamètes xy qu sont lés pa l La lason est holonome Elle est blatéale s le suppot est nensble et ndépendante du temps s le pont est fxe - olde en otaton autou d un axe Les mouvements du soldes sont lmtés à la seule otaton autou de l axe En fxant deux ponts de l axe on obtent 5 équatons ente les paamètes pmtfs Il este un paamète lbe Le système possède donc un degé de lbeté l angle ψ pa exemple - olde en otaton autou d un pont Dans ce cas seul un pont est fxé 3 elatons Il este 3 degés de lbetés ψ θ ϕ angles d Eule o θ 3

33 33

34 écanque du solde ChapIII Cnétque du solde 34

35 Cnétque du solde La cnétque du solde est l étude de la dynamque des masses pesantes Afn d expme les concepts cnétques qu appaassent dans les los de la dynamque et qu elent d une pat les éléments cnétques quantté de mouvement moment cnétque et moment dynamque et d aute pat les foces et les moments qu s execent su les systèmes la cnétque ntodut cetanes gandeus d nete : asse d nete cente d nete et moment d nete I- Eléments d nete - asse Dans l étude dynamque d un système matéel on lu assoce un nombe postf eél qu on appèle sa masse nete possédant les popétés suvantes : - La masse est une gandeu ensve adve ; m - En mécanque classque la masse est ndépendante du temps La masse d un système fn de ponts matéel est la somme des masses m de chaque pont : m ou un système contnue s est la masse assocé à un élément du système matéel de alos la masse est défne pa m ρ de E E est un volume dstbuton volumque : ρ est la densté volumque du système et de dv est l élément de volume E est une suface dstbuton sufacque : ρ σ est la densté sufacque du système de d est l élément de suface E est une coube dstbuton lnéae : ρ λ est la densté lnéae du système et de d l est l élément de longueu - Cente d nete - Défnton n appèle cente de masse d un système matéel le baycente des dfféents ponts de affectés de leus masses espectves Ans pou un système de N ponts matéel le cente de masse est le pont G défn pa : G N ou m m N G où le pont est une ogne quelconque et est la masse totale du système la dstbuton de masse est contnue on a : G Il y a 3 types de dstbuton de masse : - Dstbuton volumque : ρ dv - Dstbuton sufacque : σ d - Dstbuton lnéque : λ dl ou G m - opétés 35

36 écanque du solde --- Assocatvté ot une patton d un système en n ensembles dsjonts k de masse m k et de cente d nete G k G est le cente d nete de on a : G d où m k k GG k k G et m GG G m k k GG k k k k GG k k k k k G Donc G est le cente d nete des ponts G k affectés des masses espectves m k : G n m k G k k k ; n un système matéel est une somme de systèmes matéels smples cette popété pemet de concente la masse de ces pates en leus pope centes de masse pus de détemne le cente de masse de l ensemble --- ymétes matéelles - Défnton n qu un système possède un élément de syméte matéelle pont dote plan s la dstbuton de masse en tout pont est gale à celle en pont symétque de pa appot à cet élément de syméte : ρ ρ Exemples : - La boule B aet comme pont de syméte matéel - La ½ boule d axe et le cône d axe aettent tous deux l axe comme axe de syméte matéelle C est un axe de syméte de évoluton k k m k k - opétés - Un système aet un pont A comme pont de syméte matéelle alos le cente d nete G coïncde avec A Exemple la boule B une tge homogène etc - un système aet un axe de syméte matéelle alos le cente d nete G Exemple ½ boule côneetc ' 4 ' 3 ' ' 4 ' 3 ' ' ' ' ' 3 3 ' 3 36

37 Cnétque du solde - un système aet un plan de syméte matéelle Π alos le cente d nete G Π Exemple ½ boule U cône En ésumé s un système possède un élément de syméte matéelle ce dene content le cente d nete --3- Détemnaton patque du cente de masse - ègles à suve - echeche les éléments de syméte ca ls contennent le cente de masse - Décompose le système s c est possble en pates dsjonts smples et d en - cheche la masse et le cente d nete patel Utlse les fomules généales tout en employant les axes de pojecton les plus commodes v- Utlse s c est possble les méthodes auxlaes théoème de Guldn coodonnées polaes pojectons - Exemple de calcul d un cente de masse Consdéons un système consttué d un cône plen CC de hauteu h de ayon à la base et d une ½ sphèe plene BC de cente C et de ayon Le système possède l axe comme axe de syméte de évoluton Alos le cente d nete se touve su l axe : G G C n décompose le système en deux pates smples avec BC et CC Calcule de cente de masse de L équaton de la ½ boule BC est : x y h h x h α y m G ρ dv m m ρ et dv π snθ d dθ 3 3 V π G 3 π 3 3 h dv π d snθ cosθ dθ h 3 3 h G 8 3 Calcul du cente de masse du cône CC L équaton du cône est 3 37

38 écanque du solde x y avec h m G ρ avec dv dv d π tan g α h h n obtent V π d π h h 3 π G V h h 3 d h G 4 3 Le cente de masse du système total est obtenu à pat de l équaton m m G m mg G m 3 3 m h G m h m 8 4 m vue que ρ V on obtent V V m V m V 34 h h G h m V 8 3 V G h V 3 4 h 3- oments d nete 3- oment d nete pa appot à un axe n appèle moment d nete d un système pa appot à un axe la quantté postve : ystème dscet ystème contnu I m H A I HA ou H A est le caé de la dstance du pont A de masse m à l axe n I n I e d A m H y Exemple : oment d nete d une tge homogène de masse m et de longueu L pa appot à un axe pependculae passant pa son cente 38

39 Cnétque du solde I L CA λ T L l 3 L ml dl λ 3-- péateu d nete et matce d nete -L C L Le moment d nete d un système pa appot à un axe de vecteu untae e passant pa le pont ogne du epèe x y est : I e HA A H e A e A e A e A e e A e A que l on peut éce sous la fome : I e I e où I A est l opéateu tenseu d nete en du solde qu agt su le vecteu e 3-- Défnton ot C un pont de l espace affne E et u un vecteu de l espace vectoel assocé à E L opéateu d nete en C du solde est l opéateu I C défn pa : 3--- opétés n I C u C u C - n alos I C I C - L applcaton u I C u est une applcaton lnéae I C α u β v α I C u β I C v - I C est un opéateu symétque v I C u v C u C v C u C u C v C ui C v 39

40 écanque du solde 3-3 atce d nete Etant symétque et lnéae l opéateu d nete I peut ête epésenté pa une matce d ode 3 symétque I dans une base othonomée { e } Dans la base catésenne e e e assocée au epèe x y les éléments de la matce I sont donnés pa : x y que nous pouvons explcte sous la fome : I e e I j j j j e e - e e j I e I e j Les éléments dagonaux sont appelés moments d nete pa appot aux axes x y et ls sont donnée espectvement pa : Ixx - ex ex y A I x B I x y C yy Les poduts d nete sont les éléments non dagonaux : I xy ex ey ex ey - xy F I x x E I y y D Le moment d nete pa appot à un axe de vecteu untae u matce d nete I pa : I u I u Elle s éct explctement A F E α I α β γ F B D β E D C γ I Aα Bβ Cγ - βγ D - αγ E - βα F j est obtenu à pat de la emaques : - Les moments d netes A B et C sont postfs ou nuls et les poduts d netes D E et F peuvent ête postfs négatfs ou nuls - n défn les moments d nete planaes càd pa appot à un plan pa : I y et pa sute on peut éce x I x y I yx I xx I I I x xy yy I I I y xy I I x y - Le moment d nete pa appot à un pont est défn pa : I x y I xx Iyy I 4

41 Cnétque du solde n emaque que I Ixx Iyy I T I est un nvaant de la matce d nete 3-4 Axes pncpaux d nete La matce d nete I étant éelle et symétque ; donc elle est dagonalsable ot la base othonomée où { u } l opéateu d nete I J I λ J λ λ 3 pend une fome dagonale où les λ sont les valeus popes assocées aux vecteus popes u et la matce de passage de la base { e } à la nouvelle base { u } e auss base pncpale d nete J est appelée matce pncpale d nete Les axes u sont le axes pncpaux alos que les valeus popes λ sont les moments d nete coespondants emaques : λ - deux des valeus popes sont égaux λ λ l opéateu J λ est de λ 3 évoluton ou cylndque Tout axe u avec u u α αu est auss un axe pncpal d nete de moment d nete λ - les tos moments d netes sont égaux λ λ λ 3 alos l opéateu d nete J est sphéque et tout axe u avec u α u αu α3u3 est auss axe pncpal d nete de moment d nete λ 3-5- Détemnaton des axes pncpaux d nete La détemnaton dect de la matce d nete I nécesste le calcul de 6 éléments Cependant le chox d une base pncpale d nete pemet de amene le calcul à 3 éléments seulement ymétes matéelles et axes pncpaux Consdéons un solde auquel est lé un epèe othonomé dect A u v w - la dote A w est un axe de syméte matéelle de alos est un vecteu pope de IC C l axe A w En effet : I C w D E o E C x et D y Donc I C w C w I w et la matce d nete devent : 4

42 écanque du solde A F B F I C C C l axe A w u v w de plus l axe A w est de syméte de évoluton alos A B Exemple le cône de évoluton pa appot à l axe Ans tout axe de syméte matéelle est axe pncpal d nete - le plan Π A u v est un plan de syméte matéelle pou alos tout vecteu pependculae à Π w u v est un vecteu pope de IC C Π Alos D E Ans tout axe pependculae à un plan de syméte matéelle est axe pncpal d nete 3-5- Conséquences - Tout tède t-ectangle dont deux de ses axes sont axes de syméte matéelle pou un système est un tède pncpal d nete de ce système En effet : oent A u et A v axes de syméte matéelles alos u et v sont des vecteus popes de IA En conséquences E F et D F Alos IA est dagonale et donc w est vecteu pope de IA - Tout tède t-ectangle dont deux de ses plans sont de syméte matéelle pou un système est un tède pncpal d nete de ce système En effet : oent A u v et A u w deux plans de syméte matéelles pou w A u v et v A u v sont des vecteus popes de IA alos E D et F D En conséquence u est auss un vecteu pope de IA II- Théoèmes assocés au calcul de la matce d nete I - Théoème I de Koeng La matce d nete d un solde en un pont est égal à la somme de la matce d nete en G du solde et la matce d nete en du cente de masse G affecté de la masse totale du solde I IGIG{m} ot G le cente de masse d un système de masse m L opéateu d nete I est tel que : I u u En décomposant G G on obtent I u G u G G u G G u G u G I u m G u G I G u I u I G{ m} u I G u D où la démonstaton du théoème G 4

43 Cnétque du solde - Théoème de Hygens Le moment d nete d un solde pa appot à une dote est égale au moment d nete du solde pa appot à la dote G passant pa G et paallèle à augmenté du moment d nete qu auat toute la masse de s elle état concentée en G I I G m d G H d GH avec H la pojecton pependculae de G su ot u est le vecteu untae assocé à I ui u m u[ G u G] ui G u [ u m G G ] G I G G G u G H d D où la démonstaton du théoème u G d u G 3- Détemnaton patque de la matce d nete -3- ègles généales ette en évdence les symétes Décompose le système en des éléments smples et étude sépaément chaque pate Chos un pont commode et des axes susceptbles de smplfe les calculs axes pncpaux Calcule les composantes de la matce d nete Le calcul du moment d nete pa appot à un axe passant pa s effectue selon I u I u Le calcul du moment d nete pa appot à un axe ' s effectue à pat du théoème d Hygens : I I G m d ' G -3- Exemples --3- Tge ectlgne homogène ot T une tge homogène de longueu l et de masse m Les axes x et sont des axes de syméte matéelle Donc x y est un tède pncpal A I T C A I xx y λ y dy T l λ l T 3 l l y dy λ m l de même on obtent C I m x l I T m y 43

44 écanque du solde --3 Dsque plen homogène ot un dsque D dans le plan xy x et y sont des axes de syméte matéelle Donc x y est pncpal étant un axe de syméte de évoluton alos A I xx B I yy CI A I D A avec I xx σ y ds I yy σ x ds C D D I σ x y ds I xx I yy I xx I yy D 4 I 3 m dd d π m σ θ σ dθ π m ; I D π 4 D 4 emaque : La matce d nete d un ceceau s obtent de la même façon sauf que dans ce cas m x y d où I x y m I C C 3--3 Cylnde plen homogène ot un cylnde C plen homogène de de masse m de ayon et de hauteu h x y est pncpaldeux plans de syméte matéelle De plus l axe est un axe de syméte de évoluton I C A A C avec A I xx B I yy CI I xx ρ y dv I yy ρ x dv I I C ρ x y dv C C π 4 h 4 3 m ρ ddθd ρ ddθ d h πh C h n emaque que I ρ dv ρ dv C π C A n obtent fnalement π 3 m d d h θ π h h mh d m mh A ; 4 m m h 3 I C x x m h 3 m y y 4--3 phèe pleneboule ot une sphèe plene homogène de masse m et de ayon x y est pncpal En plus on a une syméte sphéque ce qu condut à A B C 44

45 Cnétque du solde I A A A A ρ y dv ρ x dv ρ x y A ρ x y dv m 43π 3 3 π π A m 4π m I 5 m 4 3 dsnθ dθ dϕ 5 dv snθ ddθdϕ x y emaque : Dans le cas d une sphèe ceuse on a : x y d où 3A m I m Cône homogène plen n consdèe un cône homogène plen de masse m de hauteu h et de ayon à la base Les plan xy et y sont des plans de syméte matéelle x y est donc pncpal L axe est un axe de syméte de évoluton alos AB I C A A C x y L équaton du cône est h h y dv I yy ρ y A I ρ dv C x y dv xx C A C ρ dv C h h π V dv d d d θ π h 3 C h h ρ ddθd πρ d 3d π ρh4 C C C 3 m C h h 3 πρ d d π ρ h mh ρ dv C x α y 45

46 écanque du solde A 3 m4h I C 3m 4h 3m4h 3m III- Toseu cnétque - Défnton ot un système de ponts matéels en mouvement dans l espace affne E pa appot à un epèe fxe x y τ Le toseu cnétque de noté est le toseu ayant pou ésultante l mpulson c totale de et pou moment le moment cnétque total de Ils sont défns pa : N m V Cas d un système dscet N σ C m C V V Cas d un système contnu σ C C V emaques - σ C dépend du pont où on le calcul alos que ne dépend que du epèe - ouvent on pend C ogne du epèe ou C G ogne du epèe G - opétés - U N alos τ N c τ c - dg dg V mv G mv G La quantté de mouvement du système est égale à la quantté de mouvement du cente d nete affecté de la masse totale du système Dans le epèe lé au cente de masse G G σ 3- est un champ antsymétque σ 46

47 Cnétque du solde σ V A V A V σ A σ A 4- Cas d un solde σ C C V C V A C ω A m CG V A CA ω A A ω A C m CG V A m CA ω AG I A ω σ Cas patcules - C A σ A m AG V A I A ω - C A un pont fxe dans exemple l ogne de σ A I A ω - C G σ G m AG AG ω I A ω v- C G A σ G I G ω n note que I A G{ m} ω m AG ω AG Ce n est aute que l mage de ω pa l opéateu d nete I A G{m} et pa conséquent σ G m AG AG ω I A ω I A - I A G{ m} ω D apès le théoème I de Koeng on obtent σ G I G ω Alos les cas et v sont équvalents v- Théoème II de Koeng La popété d antsyméte de σ pemet de dédue le éme théoème de Koeng : σ σ G m G V G n note que σ G σ G G I G G ω IV- Toseu dynamque - Défnton ot un système de ponts matéels en mouvement dans l espace affne E pa appot à un epèe fxe x y 47

48 écanque du solde 48 Le toseu dynamque de noté D τ est le toseu assocé au champ des accéléatons pa appot à des ponts de Les éléments de éducton en un pont C quelconque sont la ésultante dynamque et le moment dynamque δ Ils sont défns pa : N N C m C m γ γ δ Cas d un système dscet C C γ γ δ Cas d un système contnu - opété - U N alos N D D τ τ - G dv m V d dv G m γ La ésultante dynamque d un système est la ésultante de son cente de masse affecté de la masse totale de Elle est auss la dévée dans de la ésultante cnétque 3- elaton ente c τ et D τ V C C σ C G V C mv C d γ σ G V C mv C d C σ δ 4- δ est un champ antsymétque A CA C C γ γ γ δ G m CA A C γ δ δ 5- Théoème III de Koeng on pose C G on obtent G d G σ δ

49 Cnétque du solde 49 n sat que G V m CG G C σ σ G V C mv G m CG G d C d γ σ σ d où le théoème III de Koeng pou le moment dynamque qu s énonce comme sut : G m CG G C γ δ δ C E Vue que G G G σ σ le théoème s éct : G m CG G C G γ δ δ 6- C est un pont fxe dans exemple l ogne de d σ δ Dans ce cas V et pa conséquent d c D τ τ V- Enege cnétque - Défnton L énege cnétque à l nstant t d un système de ponts matéels quelconque dans son mouvement pa appot à est le scalae N V m T V T ystème dscet système contnu - opétés - U N N T T - T est le comoment du toseu cnématque v τ et du toseu cnétque c τ V T A V A V V ω V A A V G V m ω A A V G mv T σ ω Ce qu pemet d éce T c v τ τ 3- Conséquences - Vue que l énege cnétque est le comoment du toseu v τ et du toseu c τ alos elle est ndépendante du pont où on la calcule

50 écanque du solde - A fxe dans alos : T ω σ A σ A I A ω d où : T ω I A ω 3- Théoème VI de Koeng on substtue A pa G le cente de masse du système dans l expesson de T on obtent : T mv G ω I G ω Enoncé du théoème : L énege cnétque d un système de ponts matéel dans son mouvement pa appot à et égal à la somme de son énege cnétque dans son mouvement autou de son cente de gavté et de l énege cnétque de son cente de masse affecté de la masse totale dans son mouvement pa appot à 5

51 5

52 écanque du solde ChapIV ncpe fondamental de la dynamque Théoèmes généaux 5

53 ncpe fondamental de la dynamque Théoèmes généaux La dynamque des systèmes matéels s appue su le pncpe fondamental de la dynamque qu est une généalsaton de la lo fondamentale de la mécanque du pont matéel et des théoèmes elatfs aux mouvements des systèmes de N ponts aux systèmes quelconques Il expme donc la elaton ente d une pat les éléments cnétques quantté de mouvement et moment cnétque et d aute pat les foces et les moments qu s execent su eux Ans à pat de ce pncpe fondamental on peut pévo les mouvements de tous les systèmes matéels sous l acton des foces qu ls subssent I- ncpe fondamental de la dynamque - Foces applquées à un système : Toseu foce - Noton de foce n appelle foce toute effot execé su un pont matéel Elle est epésentée pa un 3- vecteu F ot un système de ponts matéel en mouvement pa appot à un éféentel L un des ponts A est soums à la foce execée pa l ensemble des autes ponts de et pa des cops éeus à Le système de foces applquées à est donc epésenté pa l ensemble des vecteus lés { A F } est un système dscet l effot total F execée su dans est la somme des foces élémentaes F : F F Cependant pou un système contnu on ntodut le vecteu lé généque f epésentant la densté massque de foce qu s exece su le pont couant on assoce l élément de masse au pont l effot total est la ésultante F : F f - Classfcaton des foces a- Foces éeues Ce sont les foces execées su le système pa tout cops étange à du mleu éeu b- Foces ntéeues Ce sont les foces d nteacton ente les éléments du même système L acton de tous les ponts matéels j d un système su un pont j est la somme F j c- Foces de contact Ce sont des foces qu ésultent du contact ente deux soldes Ces foces ne sont pas fondamentales smples dont on connaît l expesson Elles dépendent de la natue exacte de l nteacton ente des ensembles de patcules de la poston de ces patcules au vosnage des sufaces en contact et pa conséquent de la stuctue mcoscopque des sufaces Ces foces augmentent le nombe d nconnues du poblème j 53

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