LES CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES COLLÈGE

Transcription

1 LES NSTRUTINS GÉMÉTRIQUES U LLÈGE pr Stéphne Roubiscoul, professeur de mthémtiques u collè)e Philippe de ommynes, omines.

2 Tble des mtières I À l rè)le et, l'équerre L prllèle, une droite pssnt pr un point... p. 01 L perpendiculire, une droite pssnt pr un point... p. 03 Prt)er un se)ment... p. 05 II À l rè)le et u comps L prllèle, une droite pssnt pr un point... p. 07 L perpendiculire, une droite pssnt pr un point... p. 09 L méditrice d'un se)ment... p. 11 L bissectrice d'un n)le... p. 13 L tn)ente, un cercle en un point... p. 15 Le qutrième sommet d'un prllélo)rmme... p. 17 Le symétrique d'un point pr rpport, un point... p. 18 Le cercle circonscrit, un trin)le... p. 19 Le cercle inscrit dns un trin)le... p. 21 Reporter un n)le... p. 23 Déterminer le centre d'un cercle... p. 25 Déterminer le milieu d'un se)ment... p. 27 Un hex)one ré)ulier... p. 29 III u comps seul Le symétrique d'un point pr rpport, une droite... p. 31 Le symétrique d'un point pr rpport, un point... p. 33 Déterminer le centre d'un cercle... p. 35 Déterminer le milieu d'un se)ment... p. 38

3 Déj, ppris L prllèle, une droite pssnt pr r un point utils :, l rè)le et, l'équerre n considère une droite (d) et un point n'pprtennt ps, l droite (d). n veut construire l droite (d') prllèle, l droite (d) pssnt pr. Étpe 1 : Plcer l'équerre sur l droite (d). (d) Étpe 2 : Plcer l rè)le le lon) de l'équerre suivnt l'n)le droit. (d) P)e 1

4 Étpe 3 : Déplcer l'équerre le lon) de l rè)le jusqu'u point. (d) Étpe 4 : Retirer l rè)le et trcer l prllèle. (d) Étpe 5 : Retirer l'équerre et prolon)er cette droite prllèle si besoin. (d) (d') P)e 2

5 Déj, ppris L per rpendiculire, une droite pssnt pr un point utils :, l rè)le et, l'équerre n considère une droite (d) et un point. n veut construire l droite perpendiculire, l droite (d) pssnt pr. Étpe 1 : Plcer l rè)le sur l droite (d). (d) Étpe 2 : Plcer l'équerre contre l rè)le. (d) P)e 3

6 Étpe 3 : Fire )lisser l' 'équerre le lon) de l rè)le jusqu'u point. (d) Étpe 4 : Retirer l rè)le et trcer l perpendiculire. (d) Étpe 5 : Retirer l'équerre et prolon)er cette droite perpendiculire. Ne ps oublier d'écrire le symbole de l'n)le droit. (d) P)e 4

7 Déj, ppris Prt)er un se)ment utils :, l rè)le et, l'équerre n considère un se)ment [] quelconque. n veut prt)er ce se)ment en 5 prts identiques. Étpe 1 : À prtir du point, trcer un se)ment d'une lon)ueur multiple de 5cm (ou lors 5cm mis un multiple permet de construire une fi)ure moins petite et donc plus précise). 10 cm Étpe 2 : Je nomme le se)ment trcé []. e se)ment étnt un multiple de 5cm, on peut fcilement le prt)er en 5. P)e 5

8 Étpe 3 : n trce les prllèles, () pssnt pr chque point précédemment plcés. Étpe 4 : Les qutre prllèles insi trcées coupent le se)ment [] en 5 prties é)les. Étpe 5 : Si on n' ps trop ppuyé sur son cryon, on peut fire dispritre les trits de constructions. P)e 6

9 Déj, ppris L prllèle, une droite pssnt pr r un point utils :, l rè)le et u comps n considère une droite (d) et un point n'pprtennt ps, l droite (d). n veut construire l droite (d') prllèle, l droite (d) pssnt pr. Étpe 1 : hoisir deux points quelconques sur l droite (d), je les nomme et pour cette expliction (mis ps besoin de les nommer en prtique). (d) Étpe 2 : Prendre un écrt de comps de lon)ueur. Reporter cette lon)ueur en. (d) P)e 7

10 Étpe 3 : Prendre un nouvel écrt de comps de lon)ueur. Reporter cette lon)ueur en. (d) Étpe 4 : Trcer l droite pssnt pr le point et pr le point d'intersection des deux rcs de cercles précédents. (d) Étpe 5 : Ne ps )ommer les trits de constructions. Prolon)err cette droite prllèle si besoin. (d) (d') P)e 8

11 Déj, ppris L per rpendiculire, une droite pssnt pr un point utils :, l rè)le et u comps n considère une droite (d) et un point. n veut construire l droite perpendiculire, l droite (d) pssnt pr. Étpe 1 : hoisir un écrt de comps quelconque. Pointer en et trcer deux trits de construction sur l droite (d). (d) Étpe 2 : Toujours vec le même écrt de comps, pointer le comps sur un de ces points de construction et trcer un rc de cercle de "l'utre côté" de l droite (d). (d) P)e 9

12 Étpe 3 : Effectuer l même opértion, prtir du deuxième point de construction trouvé. (d) Étpe 4 : Trcer l droite pssnt pr le point et pr le point d'intersection des deux rcs de cercles. (d) Étpe 5 : Ne ps oublier d'indiquer le symbole de l'n)le droit. (d) P)e 10 10

13 Déj, ppris L méditrice d'un se)ment utils :, l rè)le et u comps n considère un se)ment [] quelconque. n veut construire l méditrice du se)ment []. Étpe 1 : hoisir un écrt de comps quelconque. Pointer le comps u point et trcer un rc de cercle de chque côté du se)ment []. Étpe 2 : En )rdnt le même écrt de comps, procéder de même en pointnt en. P)e 11 11

14 Étpe 3 : Trcer l droite pssnt pr les deux points de construction trouvés. Étpe 4 : Ne ps oublier de noter le symbole de l'n)le droit et les symboles indiqunt le milieu. P)e 12 12

15 Déj, ppris L bissectrice d'un n)le utils :, l rè)le et u comps n considère un n)le. n veut construire l bissectrice de cet n)le. Étpe 1 : hoisir un écrt de comps quelconque. Pointer u sommet de l'n)le et trcer un rc de cercle sur les côtés [x) et [y) de l'n)le. x y Étpe 2 : En )rdnt le même écrt de comps, pointer sur le point construit su le côté [x) et trcer un rc de cercle, l'intérieurr de l'n)le. x y P)e 13 13

16 Étpe 3 : En )rdnt le même écrt de comps, procéder de même, prtir du point construit sur [y). x y Étpe 4 : Trcer l droite pssnt pr le sommet et pr le point construit, l'intérieur de l'n)le. x y Étpe 5 : Ne ps oublier de noter les symboles (déclés) d'n) )les é)ux. x y P)e 14 14

17 Déj, ppris L tn)ente, un cercle en un point utils :, l rè)le et u comps n considère le cercle () de centre et un point pprtennt u cercle. n veut construire l tn)ente u cercle () pssnt pr le point. Étpe 1 : onstruire le point ' symétrique du point pr r pport u point. ' Étpe 2 : hoisir un écrt quelconque de comps. Pointer en et trcer un rc de cercle. ' P)e 15 15

18 Étpe 3 : En )rdnt le même écrt de comps, pointer en ' et trcer un rc de cercle. ' Étpe 4 : Trcer l droite pssnt pr et pr l'intersection des deux trits de construction. ' Étpe 5 : GrJce, l propriété de l tn)ente, on peut même indiquer l'n)le droit vec le ryon si besoin est. P)e 16 16

19 Déj, ppris Le qutrième sommet d'un prllélo o)rmme utils :, l rè)le et u comps n considère 3 points non li)nés, et. n veut construire le point D tel que le qudriltère D soit un prllélo)rmme. Étpe 1 : u comps, reporter l lon)ueur u point. Étpe 2 : u comps, reporter l lon)ueur u point. Étpe 3 : L'intersectionn des deux rcs de cercles donne le point D tel que le qudriltère D soit un prllélo)rmme. D P)e 17 17

20 Déj, ppris Le symétrique d'un point pr rpport, un point utils :, l rè)le et u comps n considère deux point distincts et. n veut construire le point ' symétrique du point pr rpport u point. Étpe 1 : Prendre l'écrt de comps correspondnt, l lon)ueur. Pointer en et reporter cette lon)ueur de "l'utre côté". Étpe 2 : li)ner, l rè)le et. Trcer un trit de construction sur l'rc de cercle précédent. Étpe 3 : L'intersectionn trouvée est le point ' symétrique du point pr rpport u point. ' P)e 18 18

21 Déj, ppris Le cercle circonscrit, un trin utils :, l rè)le et u comps n considère un trin)le quelconque. n veut construire le cercle circons trin)le. Étpe 1 : onstruire l méditrice d'un des côtés du trin)le (i Étpe 2 : onstruire l méditrice d'un deuxième côté du trin

22 Étpe 3 : L'intersectionn de ces deux méditrices est le point, centre du cercle circonscrit. Étpe 4 : Il ne reste plus qu', trcer le cercle circonscrit de centre du trin)le. P)e 20 20

23 Déj, ppris Le cercle inscrit dns un trin) )le utils :, l rè)le et u comps n considère un trin)le quelconque. n veut construire le cercle inscrit de centre I dns le trin)le. Étpe 1 : onstruire l bissectrice d'un des n)les du trin)le. Étpe 2 : onstruire l bissectrice d'un deuxième n)le du trin)le. P)e 21 21

24 Étpe 3 : L'intersectionn des deux bissectrices est le point I, centre du cercle inscrit. I Étpe 4 : Trcer l perpendiculire, l'un des côtés du trin)le pssnt pr I, cette lon)ueur est un ryon du cercle inscrit. I Étpe 5 : Trcer le cercle inscrit de centre I dns le trin)le. I P)e 22 22

25 uriosité non exi)ible Reporter un n)le utils :, l rè)le et u comps n considère un n)le α quelconque qu'on veut reporter en sur le se)ment []. Étpe 1 : hoisir un écrt de comps quelconque. Pointer sur le sommet de l'n)le α et trcer deux trits de construction sur les côtés de l'n)le. α Étpe 2 : vec le même écrt de comps, pointer en et trcer un rc de cercle. α P)e 23 23

26 Étpe 3 : u comps, prendre l'écrt entre les deux points de construction de l'n)le α. α Étpe 4 : vec cet écrt de comps, pointer sur le point de construction du se)ment [] et trcer un rc de cercle qui coupe l'rc déj, trcé. α Étpe 5 : Il ne reste plus qu', trcer le deuxième côté de l'n) )le α insi reporter en. α α P)e 24 24

27 uriosité non exi)ible Déterminer le centre d'un cerc cle utils :, l rè)le et u comps n considère un cercle () dont on ne connit ps le centre. n v rechercher ce centre. Étpe 1 : Trcer deux cordes non prllèles quelconques du cercle (). Étpe 2 : onstruire l méditrice d'une des deux cordes. P)e 25 25

28 Étpe 3 : onstruire l méditrice de l'utre corde. Étpe 4 : L'intersectionn des deux méditrices est le centre du cercle (). P)e 26 26

29 Déj, ppris Déterminer le milieu d'un se)m ment utils :, l rè)le et u comps n considère un se)ment [] quelconque. n recherche son milieu M. Étpe 1 : hoisir un écrt de comps quelconque. Pointer le comps u point et trcer un rc de cercle de chque côté du se)ment []. Étpe 2 : En )rdnt le même écrt de comps, procéder de même en pointnt u point. P)e 27 27

30 Étpe 3 : Plcer l rè)le sur ces deux points de construction et indiquer le milieu du se)ment []. Étpe 4 : Ne ps oublier de noter les symboles du milieu. M P)e 28 28

31 uriosité non exi)ible Un hex)one ré)ulier utils :, l rè)le et u comps n considère un cercle dont on connit le ryon r. n veut y inscrire un hex)one ré)ulier. Étpe 1 : hoisir un point quelconque sur le cercle. r Étpe 2 : Grder l'écrt du comps correspondnt u cercle. Pointer en et plcer un point sur le cercle. P)e 29 29

32 Étpe 3 : Toujours vec le même écrt de comps, refire de même en, puis en etc F D E Étpe 4 : Il ne reste plus qu', construire l'hex)one ré)ulier DEF. F D E P)e 30 30

33 Déj, ppris Le sy ymétrique d'un point pr rpport, une droite util : u comps seul n considère une droite (d) et un point n'pprtennt, l droite (d). Étpe 1 : hoisir un écrt quelconque de comps, pointer en et trcer deux trits de construction sur l droite (d). (d) Étpe 2 : Toujours vec le même écrt de comps, pointer le comps sur un de ces points de construction et trcer un rc de cercle de "l'utre côté" de l droite (d). (d) P)e 31 31

34 Étpe 3 : Effectuer l même opértion, prtir du deuxième point de construction trouvé. (d) Étpe 4 : L'intersectionn des deux rcs de cercle donne le point ' symétrique du point pr rpport, l droite (d). (d) ' P)e 32 32

35 uriosité non exi)ible Le symétrique d'un point pr rpport, un point util : u comps seul n considère deux point distincts et. n veut construire le point ' symétrique du point pr rpport u point. Étpe 1 : Trcer un peu plus d'un demi-cercle de centre, prtir du point. Étpe 2 : Grder le même écrt de comps. Pointer u point et trcer un rc de cercle sur le demi-cercle trcé. P)e 33 33

36 Étpe 3 : À prtir du point obtenu et vec le même écrt de comps, reporter encore cette lon)ueur. Étpe 4 : Refire une dernière fois l construction précédente. Étpe 5 : Le dernier point obtenu est le point ' symétrique du point pr rpport u point. ' P)e 34 34

37 uriosité non exi)ible Déterminer le centre d'un cercle util : u comps seul n considère un cercle (celui qui est en rou)e) dont on ne connit ps le centre. n v rechercher ce centre. Étpe 1 : Plcer deux points distincts et sur ce cercle tel que le se)ment [] ne soit ps un dimètre. Étpe 2 : Le cercle de centre pssnt pr coupe le cercle rou)e en. P)e 35 35

38 Étpe 3 : Le cercle de centre pssnt pr et le cercle de centre pssnt pr sont sécnts en D. D Étpe 4 : Le cercle de centre D pssnt pr coupe le cercle de centre pssnt pr en E et en F. E F D P)e 36 36

39 Étpe 5 : Le cercle de centre E pssnt pr et le cercle de centre F pssnt pr sont sécnts en le centre du cercle rou)e. E F D P)e 37 37

40 uriosité non exi)ible Déterminer le milieu d'un se)ment util : u comps seul n considère un se)ment [] quelconque. n recherche son milieu M. Étpe 1 : onstruire u comps le symétrique ' du point pr rpport u point. ' Étpe 2 : onstruire le cercle de centre ' pssnt pr. ' P)e 38 38

41 Étpe 3 : Le cercle de centre pssnt pr le point coupe le cercle précédent ux points I et J. I ' J Étpe 4 : Trcer un rc de cercle de centre I pssnt pr et un rc de cercle de centre J pssnt pr. I ' J P)e 39 39

42 Étpe 5 : L'intersection des deux rcs de cercle précédents est le point M, milieu du se)ment []. I M ' J P)e 40 40