Master Eseec Statistique pour l expertise - partie2

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1 Master Eseec Statistique pour l expertise - partie2 Christia Laverge Uiversité Paul Valéry - Motpellier (UPV) Eseec 1 / 57

2 Lois limites de la Statistique et Estimatio : 1 Loi des grads ombres et estimatio poctuelle 2 Théorème cetral limite et estimatio par itervalle (UPV) Eseec 2 / 57

3 La loi de beroulli et le sodage Soit X ue expériece aléatoire à 2 états (codés 1/0) : X Ber(p) P(X = 1) = p ; P(X = 0) = 1 p so espérace mathématique E(X ) = p sa variace V (X ) = E(X E(X )) 2 = p(1 p) so écart-type p(1 p) La même expériece (de Berouilli) répétée fois de faço idépedate (X 1, X 2,..., X ) alors l espérace mathématique de X i est p ; sa variace est p(1 p) L espérace de la somme est la somme des espéraces ; la variace de la somme est la somme des variaces i (UPV) Eseec 3 / 57

4 La moyee de loi de Beroulli : l espérace mathématique de la moyee X = 1 répétitios est : sa variace so écart-type E(X ) = E( 1 V (X ) = σ(x ) = X i ) = p. i p(1 p) p(1 p) X i de ces La dispersio de la moyee (ici la proportio de 1) se réduit quad gradit : c est la loi des grads ombres i=1 (UPV) Eseec 4 / 57

5 La loi des grads ombres pour la loi de Beroulli Soiet X 1, X 2,..., X répétitios idépedates d ue même expériece aléatoire de Beroulli (P(X = 1) = p)) alors : La proportio de 1 est aussi proche que possible de p à coditio que soit grad X = 1 X i grad p i=1 (UPV) Eseec 5 / 57

6 Loi des grads ombres et estimatio poctuelle Soiet X 1, X 2,..., X répétitios idépedates d ue même expériece aléatoire X telle que E(X ) = µ alors : La moyee des observatios est aussi proche que possible de la vraie valeur µ à coditio que soit grad X = 1 i=1 X i grad µ (UPV) Eseec 6 / 57

7 Exemple 1 : U jeu de la Fraçaise des jeux. Exemple 2 : 2 persoes A et B jouet au dé (à 6 faces) et o propose les gais suivats : Si "le résultat est la face 6", B paie 600 euros à A sio A paie 100 euros à B. À chaque coup, quelle est l espérace de gai de A? P(A gage 600) = 1 6 et P(A perd 100) = 5 6 doc A a pour espérace de gai : = = euros À chaque coup, A gage 600 ou perd 100, et so espérace de gai est de Doc si A joue u très grad ombre de fois, A est sûr de gager. (UPV) Eseec 7 / 57

8 La loi des grads ombres : jeu du dé (UPV) Eseec 8 / 57

9 La loi des grads ombres : jeu du dé (UPV) Eseec 9 / 57

10 Propriété de la moyee X = 1 de répétitios idépedates X 1, X 2,..., X d ue même expériece aléatoire X telle que E(X ) = µ et V (X ) = σ 2 : so espérace mathématique i=1 X i E(X ) = µ sa variace so écart-type V (X ) = σ2 σ(x ) = σ La dispersio de la moyee se réduit quad gradit : c est la loi des grads ombres (UPV) Eseec 10 / 57

11 Estimatio poctuelle La moyee X = 1 X 1 i est doc u bo prétedat pour approcher le paramètre icou µ. i=1 La variable aléatoire X sera appelée l Estimateur du paramètre µ. otatio : ˆµ = X Au vu d observatios, la valeur prise par X et otée x sera appelée ue estimatio du paramètre µ (otée aussi ˆµ). E pratique il y a UN (voir deux ou trois) Estimateur aturel du paramètre icou ; mais il y a toujours ue ifiité d estimatios possible de ce paramètre. 1. X 1, X 2,..., X sot répétitios idépedates d ue même expériece aléatoire X telle que E(X ) = µ et V (X ) = σ 2 (UPV) Eseec 11 / 57

12 Forme géérale et propriétés Soiet X 1, X 2,..., X répétitios d ue expériece aléatoire et T ue combiaiso (ou foctio) de ces répétitios. T sera u bo prétedat pour approcher u paramètre icou θ ; doc u Estimateur raisoable de θ ; (T sera u ˆθ) si : L espérace mathématique de l estimateur est aussi proche que possible du paramètre icou θ, idéalemet o souhaite que E(T ) = θ et o dira que T est u estimateur sas biais de θ ; mais o peut se coteter de E(T ) grad La variace de l estimateur dimiue avec le ombre de répétitios : θ V (T ) grad 0 (UPV) Eseec 12 / 57

13 Exemple : das la cas de répétitios idépedates X 1, X 2,..., X d ue même expériece aléatoire X telle que E(X ) = µ et V (X ) = σ 2. Si µ est icou ; la moyee X = 1 X i est u estimateur sas biais de µ ; ˆµ. i=1 Si µ est cou et σ 2 icou ; la moyee des dispersios 1 (X i µ) 2 est u estimateur sas biais de σ 2 ; oté ˆσ 2 µ. i=1 Si µ est icou et σ 2 icou ; la variace empirique 1 (X i X ) 2 est u estimateur biaisé de σ 2 ; oté ˆσ 2. i=1 Si µ est icou et σ 2 icou ; 1 (X i X ) 2 est u estimateur sas biais de σ 2 ; oté ˆσ SB 2 1. i=1 (UPV) Eseec 13 / 57

14 Exercice 1 : O suppose avoir observé variables aléatoires Y 1, Y 2,...Y et o propose 3 estimateurs d u paramètre θ : T 1, T 2, T 3 ayat les propriétés suivats ( λ est u autre paramètre icou) : E(T 1 ) = θ + λ et V (T 1 ) = (θ λ)/ E(T 2 ) = θ + λ/ et V (T 2 ) = (θ λ)/ Doer les propriétés : E(T 3 ) = θ et V (T 3 ) = λ de biais ( "estimateur sas biais" ; "so biais dimiue quad, le ombre d observatios gradit") et de variace ("sa variace dimiue quad, le ombre d observatios gradit") Lequel des 3 est il raisoable de garder? (UPV) Eseec 14 / 57

15 Estimatio poctuelle Soiet X 1, X 2,..., X répétitios idépedates d ue même expériece aléatoire de Beroulli (P(X = 1) = p), p paramètre icou) alors : X, la proportio ou la fréquece de 1 est u Estimateur du paramètre p. Après avoir effectué le sodage, la valeur prise par X et otée x sera doc ue estimatio du paramètre p. E pratique o a toujours le même Estimateur du paramètre icou p ; mais chaque sodage pratiqué amèe ue estimatio différete de ce paramètre. (UPV) Eseec 15 / 57

16 Théorème cetral limite et estimatio par itervalle Variable cetrée, réduite : défiitio variable cetrée : X E(X ) variable cetrée, réduite : X E(X ) σ(x ) Ue variable cetrée réduite a pour espérace 0 et écart-type 1 Pour la moyee de répétitios idépedates d ue même expériece aléatoire d espérace µ et de variace σ 2 alors X µ σ 2 est ue variable cetrée réduite Pour la moyee de répétitios de même loi de Beroulli idépedates : X p est ue variable cetrée réduite p(1 p) (UPV) Eseec 16 / 57

17 Théorème cetral limite Soiet X 1, X 2,..., X répétitios idépedates d ue même expériece aléatoire alors : La moyee se comporte comme ue loi ormale à coditio que soit grad doc cetrée et réduite se comporte comme ue N (0,1) X µ σ 2 grad N (0, 1) (UPV) Eseec 17 / 57

18 Le sodage Soiet X 1, X 2,..., X répétitios idépedates d ue même expériece aléatoire de Beroulli (P(X = 1) = p)) alors : La proportio de 1 se comporte comme ue loi ormale à coditio que soit grad doc cetrée et réduite se comporte comme ue N (0,1) X p p(1 p) grad N (0, 1) (UPV) Eseec 18 / 57

19 Notio élémetaire d itervalle de dispersio Termiologie de base : o cherchera à costruire u itervalle de la réalisatio d ue expériece qui soit d ue grade probabilité. État doé ue faible probabilité α, appelé "iveau" (e pratique α vaut 1%, 5% parfois 10%, 0.1%. Itervalle de dispersio à 1-α Exemple 1 : si o jette 500 fois ue même pièce, o cherche l itervalle de dispersio à 95% du ombre de faces. P(Nfaces [B 1, B 2 ]) = 95% Est ce [220, 280]? ou alors [240, 260]? Exemple 2 : Courbes das les carets de saté! (UPV) Eseec 19 / 57

20 Exemple 3 : Ue chaîe de supermarché décide de supprimer das ses prix toutes référeces aux cetimes d euros par l arrodi suivat : {0, 1, 2} doe 0 ; {3, 4} doe 5. À quoi peut-elle s attedre après la vete de produits? (UPV) Eseec 20 / 57

21 Itervalle de dispersio de la loi ormale Soit Z ue variable aléatoire de loi ormale N(0,1) alors : P( 1.96 < Z < 1.96) =.95 C est u itervalle de dispersio (ID) à 95% (UPV) Eseec 21 / 57

22 P( < Z < ) =.99 C est u itervalle de dispersio (ID) à 99% (UPV) Eseec 22 / 57

23 De faço géérale o otera : [ l α 2 ; l α 2 ] u itervalle de dispersio (ID) à 1 α d ue loi ormale N (0,1) P( l α 2 < Z < l α 2 ) = 1 α (UPV) Eseec 23 / 57

24 Itervalle de dispersio d ue somme de Beroulli Soiet X 1, X 2,..., X réalisatios idépedates d ue même expériece aléatoire de Beroulli (P(X = 1) = p 0 ), p 0 cou) alors o sait que : X i p 0 i=1 p0 (1 p 0 ) grad N (0, 1) Et o sait si Z est ue variable aléatoire N(0,1) P( l α 2 < Z < l α 2 ) = 1 α Doc P( l α 2 < X i p 0 i=1 p0 (1 p 0 ) < l α ) 1 α 2 (UPV) Eseec 24 / 57

25 Et, P ( p 0 l α 2 p0 (1 p 0 ) < i=1 X i < p 0 + l α p0 (1 p 2 0 ) ) 1 α [ p 0 l α p0 (1 p 2 0 ), p 0 + l α p0 (1 p 2 0 ) est doc u I.D. de X i approximativemet à (1 α)% i=1 Exemple : Sur 500 aissaces, le ombre de garços sera compris à 95% etre : [ (1 12 ), ] ] = [ , ] [228, 272] L itervalle serait de [221, 279] à 99% (UPV) Eseec 25 / 57

26 Notio élémetaire d itervalle de cofiace Termiologie de base : o cherche à costruire u itervalle d ue gradeur particulière icoue (e gééral le paramètre d itérêt d ue loi de probabilité) qui soit d ue grade probabilité. État doé ue faible probabilité α, appelée "risque" (e pratique α vaut 1%, 5% parfois 10%, 0.1%. L itervalle de cofiace à 1-α que l o otera : IC 1 α (paramètre) représetera u itervalle (dot les bores serot aléatoires) qui aura ue probabilité 1 α de coteir le paramètre icou recherché. (UPV) Eseec 26 / 57

27 Exemple 1 : à la veille d ue électio, o réalise u sodage pour coaître le plus précisémet possible le paramètre associé au score d u cadidat. P(score [B 1, B 2 ]) = 95% les bores B 1, B 2 de l itervalle serot calculées à l aide d observatios. Exemple 2 : o mesure les performaces de idividus ( = 200) afi de proposer u itervalle pour l esemble de la populatio. P(performace [B 1, B 2 ]) = 99% (UPV) Eseec 27 / 57

28 Itervalle de cofiace du paramètre p d ue loi de Beroulli Soiet X 1, X 2,..., X répétitios idépedates d ue même expériece aléatoire X de Beroulli (X Ber(p) ) alors o sait que : X p p(1 p) grad N (0, 1) Et o sait que si Z est ue variable aléatoire N(0,1) P( l α 2 < Z < l α 2 ) = 1 α Doc P( l α 2 < X p p(1 p) < l α 2 ) 1 α (UPV) Eseec 28 / 57

29 Et, P P ( X l α 2 X l α 2 p(1 p) < p < X + l α 2 X (1 X ) < p < X + l α 2 ) p(1 p) X (1 X ) 1 α D où IC 1 α (p) = X l α 2 X (1 X ) X (1 X ), X + l α 2 est doc u itervalle de cofiace de p approximativemet à (1 α)% (UPV) Eseec 29 / 57

30 Exemple : = 1000 x(1 x) x IC à 95% IC à 99% [0.1752, 0,2248] [0.1674, ] [0.4690, ] [0.4593, ] [0.8814, ] [0.8756, ] = 400 x(1 x) x IC à 95% IC à 99% (UPV) Eseec 30 / 57

31 Itervalle de cofiace du paramètre µ d ue loi gaussiee N (µ, σ 2 ) Avec X 1, X 2,..., X répétitios idépedates d ue même expériece aléatoire de loi gaussiee N (µ, σ 2 ), o sait que : X µ σ 2 N (0, 1) Et o sait que si Z est ue variable aléatoire N(0,1) P( l α 2 < Z < l α 2 ) = 1 α Doc P( l α 2 < X µ σ 2 < l α 2 ) = 1 α (UPV) Eseec 31 / 57

32 Et Doc P ( X l α 2 σ 2 < µ < X + l α 2 σ 2 ) = 1 α IC 1 α (µ) = [ X l α 2 σ 2, X + l α 2 σ 2 ] est doc u itervalle de cofiace de µ à (1 α)% lorsque σ 2 est cou. Das le cas où σ est icou, o remplacera σ 2 par u estimateur : la variace empirique des observatios 1 (x i x) 2. i=1 Ce qui écessite u grad ombre d observatios. (UPV) Eseec 32 / 57

33 1 Itroductio et Vocabulaire 2 U test das le cas cotiu 3 U test das le cas du sodage Le test statistique : (UPV) Eseec 33 / 57

34 Notio élémetaire du test statistique Termiologie de base : o cherche à costruire u test d ue hypothèse H 0 (appelée hypothèse ulle) cotre ue hypothèse H 1 (appelée hypothèse alterative) das le but de rejeter l hypothèse H 0. Costruire le test de H 0 cotre H 1 C est adopter ue règle de décisio qui amèe : à rejeter H 0 ou e pas rejeter H 0. Exemple 1 : avat so etrée e campage, la popularité d u cadidat était stabilisée à 40%. U récet sodage lui doe ue popularité de 43%. Est-ce que la popularité du cadidat a effectivemet augmeté ou est-ce dû à ue fluctuatio du sodage? O costruira le test de l hypothèse H 0 "status quo" cotre l hypothèse alterative H 1 "augmetatio de la popularité". (UPV) Eseec 34 / 57

35 Exemple 2 : u fabriquat de composat assure la qualité de so produit par la phrase suivate "la fiabilité de ma productio est supérieure ou égale à 99%. Lors d u cotrôle, o relève 1,09% de pièces défectueuses sur u échatillo de 1000 pièces. Doit-o supprimer l accréditatio au fabriquat? O costruira le test de : l hypothèse H 0 "le taux de pièces défectueuses est de 1%" cotre l hypothèse alterative H 1 "le taux de pièces défectueuses est > 1%". Exemple 3 : o coaît les résultats d u test (éducatif, psychologique,...) sur l esemble de la populatio. O fait alors pratiquer ce test sur u groupe particulier et o observe sur ce groupe ue augmetatio des résultats. Est-ce que ce groupe a effectivemet de meilleurs résultats ou est-ce dû à ue fluctuatio d échatilloage? O costruira le test de : l hypothèse H 0 "le résultat au test est idetique à celui de la populatio géérale" l hypothèse alterative H 1 "le résultat au test est supérieur". (UPV) Eseec 35 / 57

36 Erreurs du test statistique O peut se tromper e déclarat H 1 vraie alors que H 0 est vraie : c est l erreur de 1 re espèce. O peut se tromper e déclarat H 0 vraie alors que H 1 est vraie : c est l erreur de 2 e espèce. Choix de H 0 Choix de H 1 H 0 vraie Décisio juste Erreur de 1 re espèce H 1 vraie Erreur de Décisio juste 2 e espèce E pratique, l erreur de 1 re espèce ou iveau, otée α est fixée par l utilisateur et o costruit doc u test de H 0 cotre H 1 de iveau α (UPV) Eseec 36 / 57

37 Das les exemples précédets l erreur de 1 re espèce correspod à : Exemple 1 : P(de croire à ue "augmetatio de la popularité" alors qu il e est rie) Exemple 2 : P(supprimer l accréditatio au fabriquat alors que le taux de pièces défectueuses est coforme) Exemple 3 : est rie) P(peser à ue amélioratio dû au groupe alors qu il e (UPV) Eseec 37 / 57

38 Test du paramètre d espérace d ue loi gaussiee N (µ, σ 2 ) de l hypothèse H 0 µ = µ 0 " cotre H 1 µ > µ 0 " Exemple 3 : o coaît les résultats d u test (éducatif, psychologique,...) sur l esemble de la populatio. O fait alors pratiquer ce test sur u groupe particulier et o observe sur ce groupe ue augmetatio des résultats. Est-ce que ce groupe a effectivemet de meilleurs résultats ou est ce dû à ue fluctuatio du sodage? O costruira le test de : l hypothèse H 0 "le résultat au test est idetique à celui de la populatio géérale" l hypothèse alterative H 1 "le résultat au test est supérieur". (UPV) Eseec 38 / 57

39 Exemple 3 : Les résultats d u test (éducatif, psychologique,...) sur l esemble de la populatio sot supposés N (µ 0 = 100, σ 2 ). O fait alors pratiquer ce test sur u groupe particulier de 80 idividus et o observe sur ce groupe ue augmetatio moyee des résultats : sur ces 80 idividus, la moyee au test est de 110. Les résultats du groupe sot toujours supposés gaussies N (µ groupe, σ 2 ) ; avec la même variace σ 2. Y-a-t-il ue augmetatio sigificative etre les résultats du groupe et la populatio totale? O costruira le test de : l hypothèse H 0 : µ groupe = 100 l hypothèse alterative H 1 : µ groupe > 100. (UPV) Eseec 39 / 57

40 Test de l hypothèse H 0 µ = µ 0 " cotre H 1 µ > µ 0 " Si les observatios sot gaussiees N (µ, σ 2 ) alors : leur moyee X est gaussiee N (µ, σ2 ) et o rejettera l hypothèse H 0 si X est grad par rapport à µ 0. O se place alors sous H 0 vraie ( µ = µ 0 ") alors : X µ 0 σ 2 N (0, 1) Doc, ( σ 2 P X < µ 0 + l α ) = 1 α (UPV) Eseec 40 / 57

41 Doc le test de H 0 µ = µ 0 " cotre H 1 µ > µ 0 ", d erreur de première espèce (ou iveau) α : Rejet de H 0 si x > µ 0 + l α σ C est u test uilatéral. Mais le fait de coaître la moyee x e permet aucue coclusio, la coaissace de la valeur de σ est fodametale. Exemple 3 : µ 0 = 100 ; = 80 ; pour α = 5% ; l α = 1.65 Rejet de H 0 si X > σ. Doc si σ = 40, o rejettera si x > et si σ = 80, o rejettera si x > Das l éocé, il est doé que x groupe = 110, o peut doc pas ecore coclure puisque le paramètre σ est pas doé! (UPV) Eseec 41 / 57

42 Cas 1 : σ cou. Il y a doc pas de difficulté, mais ce est pas u cas réaliste e pratique. Cas 2 : σ icou. O remplacera σ 2 par la variace empirique des observatios σ 2 = 1 (x i x) 2. i=1 E cotre-partie, il est écessaire que le ombre d observatios soit grad. E pratique, il est doc écessaire d avoir coservé les doées et il est coseillé de predre ue erreur de 1 re espèce plus faible que lorsque l o coaît σ. (UPV) Eseec 42 / 57

43 Cas 3 (fréquemmet recotré das la littérature) : σ icou. O remplace σ 2 par σ 2 = 1 (x i x) 2 1 qui est u estimatio (sas biais) du paramètre σ 2. Sous l hypothèse H 0 la statistique de test deviet ue loi de Studet à ( 1) degrés de liberté. i=1 X µ 0 σ 2 S 1 E pratique, il est pas écessaire que le ombre d observatios soit grad mais demade ue grade cofiace e l hypothèse de ormalité des observatios. (UPV) Eseec 43 / 57

44 Test du paramètre d espérace d ue loi gaussiee de l hypothèse H 0 µ = µ 0 " cotre H 1 µ µ 0 " Si H 0 est vraie alors : X µ 0 σ 2 N (0, 1) Doc, P ( µ 0 l α 2 σ 2 < X < µ 0 + l α 2 = 1 α σ 2 ) (UPV) Eseec 44 / 57

45 Doc le test de H 0 µ = µ 0 " cotre H 1 µ µ 0 ", d erreur de première espèce (ou iveau) α. Rejet de H 0 si x < µ 0 l α 2 σ 2 ou x > µ 0 + l α 2 σ 2 C est u test bilatéral, e remplaçat σ 2 par la variace empirique des observatios 1 (x i x) 2. i=1 (UPV) Eseec 45 / 57

46 Exemple : Das u magasi d habillemet, o a oté ces derières aées le prix moye d u article du rayo efat" qui est de 18 euros. La directio souhaite commuiquer sur sa politique de promotio das ce rayo par la baisse du prix moye d u article. Pour cela, elle relève le prix de 121 articles du rayo (pris au hasard). 1 Costruire le test statistique associé à cette démarche. Le prix d u article du rayo efat" est ue variable aléatoire cotiue ; Le test statistique associé à cette démarche est le test sur l espérace de cette variable. H 0 "µ = 18" cotre H 1 " µ < 18" La variable P suit ue loi ormale et o a sous H 0 et o rejettera H 0 si P < 18 l α σ/ avec l α = P 18 σ/ est N(0,1) (UPV) Eseec 46 / 57

47 2 Calculer la zoe de rejet de ce test, état doé l iformatio suivate : sur les 121 articles o a calculé que la dispersio 121 i=1 (p i p) 2 = 5929 où p i est le prix de l article i et p le prix moye observé de ces 121 articles. Comme o e coaît pas σ 2, o peut l estimer par "la dispersio / " soit 5929/121 = 49 doc σ est estimé par 7. La zoe de rejet est doc : 18 l α σ/ = /11 = (UPV) Eseec 47 / 57

48 3 Sur ces 121 articles le prix moye observé au mois de mai 2008 est de 16.8 euros. Quel est la décisio à predre cocerat ce test statistique? Que proposeriez-vous alors à la directio? Au mois de mai, le prix moye observé est de 16.8 euros ; o e rejette doc H 0 (le prix moye e baisse pas de faço sigificative) et o proposera alors à la directio d accetuer sa sa politique de promotio. 4 Sur ces 121 articles le prix moye observé au début du mois de jui 2008 est de 16.2 euros. Quel est la décisio à predre cocerat ce test statistique? Au mois de jui, le prix moye observé est de 16.2 euros ; o rejette doc H 0 (le prix moye baisse de faço sigificative) (UPV) Eseec 48 / 57

49 5 Costruire alors u itervalle du prix moye d u article du rayo efat" (choisir u risque α = 3.6 %). Quel est le om de cet itervalle? O calcule alors u itervalle de CONFIANCE du prix moye d u article du rayo efat" : avec p = 16.2 et l α/2 = et o trouve [ p l α/2 σ/ ; p + l α/2 σ/ ] [ /11; /11] = [ , ] (UPV) Eseec 49 / 57

50 Test du paramètre d ue loi de Beroulli de l hypothèse H 0 p = p 0 " cotre H 1 p p 0 " Si H 0 est vraie alors : X p 0 p0 (1 p 0 ) grad N (0, 1) Doc, ( p0 (1 p 0 ) p0 (1 p 0 ) ) P p 0 l α 2 < X < p 0 + l α 2 1 α (UPV) Eseec 50 / 57

51 Doc le test de H 0 p = p 0 " cotre H 1 p p 0 ", d erreur de première espèce (ou iveau) α : Rejet de H 0 si x < p 0 l α 2 p0 (1 p 0 ) ou x > p 0 + l α 2 p0 (1 p 0 ) C est u test bilatéral. (UPV) Eseec 51 / 57

52 Test du paramètre d ue loi de Beroulli de H 0 p = p 0 " cotre H 1 p > p 0 " De faço géérale : P(Z < l α ) = 1 α P(Z < ) =.95 (UPV) Eseec 52 / 57

53 Si H 0 est vraie alors : ( ) P X p 0 < l α p0 (1 p 0 ) = P p0 (1 p 0 ) X < p 0 + l α 1 α Doc le test de H 0 p = p 0 " cotre H 1 p > p 0 ", d erreur de première espèce (ou iveau) α : Rejet de H 0 si x > p 0 + l α p0 (1 p 0 ) C est u test uilatéral. (UPV) Eseec 53 / 57

54 Exemple 1 : U fabricat de disques compacts affirme qu au mois 99% de ses disques ot aucu défaut. Pour vérifier cette affirmatio ue associatio de défese des cosommateurs teste 500 disques de ce fabriquat et e trouve 10 défectueux. Avec u seuil de 1%, l associatio peut-elle cotester l affirmatio du fabricat? Elle doit costruire le test de iveau 1% H 0 p = 0.99 cotre H 1 p < 0.99 et vérifier que l hypothèse H 0 est rejetée. (UPV) Eseec 54 / 57

55 Le test costruit est alors : Rejet de H 0 si p0 (1 p 0 ) x < p 0 l α x < (1.99) 500 = où X est la proportio de disques o défectueux". Das l exemple : la proportio de disques o défectueux" est =.98 (UPV) Eseec 55 / 57

56 Exemple 2 : Le même fabricat de disques compacts affirme toujours qu au mois 99% de ses disques ot aucu défaut. Il cherche à coquérir u ouveau marché à l aide de cette affirmatio et doit doc rassurer so ouveau cliet. Il lui propose de veir cotrôler sa chaîe de productio e relevat 1000 ou 2000 exemplaires. Quel sera la démarche de ce ouveau cliet? Il va costruire le test de iveau α plutôt petit (ex 1%) H 0 p = 0.99 cotre H 1 p > 0.99 et vérifier que l hypothèse H 0 est rejetée. (UPV) Eseec 56 / 57

57 Le test costruit est alors : Rejet de H 0 si p0 (1 p 0 ) X > p 0 + l α X > (1.99) 2000 = (= si = 1000) où x est la proportio de disques o défectueux". Sur les 2000 (resp. 1000) disques prélevés, le fabriquat fait doc "le pari" que le ombre de o défectueux" atteidra au mois : = 1991 (resp. 998) élémets. (UPV) Eseec 57 / 57