Traitement du Signal 2007 / 2008 TRAITEMENT DU SIGNAL

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1 Tree du Sgl 7 / 8 TAITEET DU SIGA EISTI Gu Alouz

2 Tree du Sgl. Prébule TAITEET DU SIGA Oéros - Algorhes Pl du cours. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques SIGAU DETEIISTES Covoluo - eose Iulsoelle. Foco de Trsfer. Décovoluo. Corrélo : Foco d ercorrélo - Foco d uocorrélo SIGAU AEATOIES léore e héore du sgl Vrbles Aléores VA dscrèes e coues. oe d ordre. o de robblé cojoe de VA. Idéedce de VA. Desé de robblé. Foco de réro. oee d ue VA. Vrce d ue VA. Covrce de VA. Auocovrce vrce d ue VA. Corrélo de VA. Auocorrélo d ue VA. Eso de l desé de robblé os de robblé de VA usuelles o de Beroull. o bole. o de Posso. o ufore. o orle. os de legh, de lce, de Cuch Théorèe cerl le Processus léores - Processus léores à Tes Cou e à Tes Dscre Trjecore d u Processus Aléore. oee d u Processus Aléore. Foco d Auocovrce d u Processus Aléore. Foco de Covrce de Processus Aléores Soré du d ordre u ses lrge des rocessus léores à TC e à TD Foco d Auocovrce d u Processus Aléore SS. Foco de Covrce de Processus Aléores SS. Desé Secrle de Pussce DSP d u Processus Aléore. Bru blc. Ergodcé. Soré e ergodcé. Forule du flrge odèles de rocessus léores e rocessus de Weer. e rocessus A. e rocessus A. e rocessus AA. e rocessus AA. e rocessus de Bo e Jes BJ. e rocessus rove e odèle d E AEE SYSTEES STOCHASTIQUES Trssso d u sgl léore ds u ssèe lére ulso des rsforées Vleur oee de l sore. Iercorrélo. Auocorrélo e DSP Desé Secrle de Pussce Processus gééreur d u sgl léore : flres foreurs du er ordre Processus gééreur à Tes Dscre TD du er ordre. Processus gééreur à Tes Cou TC du er ordre Processus gééreurs : A, A, AA Sgl A. Sgl A. Equos de Yule-Wler. Sgl AA Cocluso ESTIATIO DE A COVAIACE éhode r ergodcé. éhode des corrélos. éhode des covrces ESOUTIO DU SYSTEE D EQUATIOS DE YUE-WAE PA IVESIO ATICIEE AGOITHE DE EVISO ETHODE DE BUG ésoluo du ssèe de Yule-Wler ésoluo du ssèe de Yule-Wler. Gu Alouz

3 Tree du Sgl. Prébule. Shèse du sgl. Idefco Shèse du sgl SIGAU DETEIISTES Eresso lque. odèle. Tble de loo-u. Trsforo héque verse SIGAU AEATOIES Foco odulo. Gééro d u bru blc de lo ufore, de legh, de lo orle. Foco OU eclusf Idefco ODEES A, A AA Processus A d ordre elos ere coeffces du odèle e covrces Processus A d ordre elos ere coeffces du odèle e covrces cs elos ere coeffces du odèle e covrces cs quelcoque Equos de Yule-Wler Processus AA d ordre erques Alco : Eso du secre d u rocessus A Alse secrle - Eso elos ere coeffces du odèle e covrces esées cs elos ere coeffces du odèle e covrces esées cs quelcoque Eso du secre d u rocessus A éhode hue résoluo 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Crcérso TASFOATIOS FEQUETIEES Trsforo de Fourer Dscrèe TFD Secrogre - Trsforo de Fourer à Cour Tere TFCT Trsforo de Wger-Vlle odelees Trsforo de Hlber AAYSE CEPSTAE Cesre de l réose d u flre lére Alco : Tree de l role Coeffces cesru AAYSE PC Codge Prédco ére éhode d uocorrélo éhode de covrce.

4 Tree du Sgl. Prébule Eso AAYSE SPECTAE EEETS DE A THEOIE CASSIQUE DE ESTIATIO Bs e vrce d u eseur Cs oovrble Cossce d u eseur THEOIE CASSIQUE DE ESTIATIO SPECTAE Eseurs de corrélo Eso de l uocorrélo Eso de l ercorrélo Eseur de DSP : éhode du érodogre Pérodogre Pérodogre oeé Eseur de DSP : éhode du corrélogre Eso de l DSP à rr du odèle A du sgl Théore odere de l eso secrle bsée sur les rocessus gééreurs de sgl Equos de Yule-Wler 4. Codoee - Flrge. Déeco CODITIOEET - FITAGE Prérees se e fore, lfco, feêrge, flrge... Précceuo e déscceuo DETECTIO Flrge dé Poso du roblèe. erques. orlso. Soluo. Cs rculer or. erque Tree de l role 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df ITODUCTIO Objecf. oes. odélso héque. Doées CODAGE - DECODAGE ODUATIO - DEODUATIO res. Cosello. Dgre e oel... odulos logques odulo r ullco. odulo d'alude A. odulo Bde érle Uque BU. odulo de Fréquece F. odulo de Phse P odulos uérques es odulos d'ulsos lude, durée, oso, desé. odulo d'ulsos codées IC. odulo. Trssso du sgl uérque : Bde de bse, odulo AS, FS, PS, DPS Codes déeceurs e correceurs d'erreurs b de ré, codes à rés erelcées, codes de Hg, codes cclques, codes cous.

5 Tree du Sgl. Prébule Flrge ol u ses des odres crrés EGAISATIO Eglso Equos de Weer-Hof ETACTIO DE SIGA IEGE DAS DU BUIT Prce d orhogolé Equos de Weer-Hof FITAGE ADAPTATIF Flre df de Wdrow 6. Prédco Prédco ssge - Flrge - Prédco PEDICTIO IEAIE Vrce le Equos de Yule-Wler erque 7. Flrge ol OIDES CAES odres crrés drec Algorhe S es Squres Eele odres crrés récursf Algorhe S ecursve es Squres Problèe : Idefco d u cl de couco odres crrés oes Algorhe S es e Squres 7. AEE FITAGE DE WIEE Algorhe du grde odres crrés oes Algorhe S es e Squres FITAGE DE AA Eele Flre de l récursf. 3

6 Tree du Sgl. Prébule AEE 8 Aee. Décso Clssfco, ecossce des Fores CAS BI-CASSE Cs où les desés de robblé du veceur d observo codoellee à chque clsse so coues Foco de coû Tes du ror de vrseblce Cs où les desés de robblé du veceur d observo codoellee à chque clsse e so s coues ègle du Courbe CO CAS BI-CASSE AVEC O-DECISIO Cs où les desés de robblé du veceur d observo codoellee à chque clsse so coues ègle de décso Tes du ror de vrseblce Cs où les desés de robblé du veceur d observo codoellee à chque clsse e so s coues. 4

7 Tree du Sgl. Prébule Bblogrhe [] F. Auger «Iroduco à l héore du sgl e de l foro» Tech [] G. Blche /. Chrb «Tree uérque du sgl : sulo sous lb» Herès [3]. Bouve «Tree des sgu our les ssèes sor» sso [4] J.. Brosser «Sgl e couco uérque» Herès [5]. Chrb «Elées de héore du sgl : secs léores» Ellses [6] P. Duvu «Tree uérque du sgl» Herès [7]. Gevers /. Vdedore «Processus sochssques : eso e rédco» UC [8]. u «Tree uérque des Sgu / Aeler de TS» Duod / PP [9] Y. Thos «Sgu & ssèes léres : cours / eercces» sso [] F. Truchee «Tree lére du sgl uérque» Herès UC : Uversé Cholque de ouv PP : Presses Polechques odes. 5

8 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques I. SIGAU DETEIISTES COVOUTIO - EPOSE IPUSIOEE I U ssèe lére sore SS es crcérsé r s I: TC: h TD: h h h réose d u SS d erée s écr : TC: h * vec l relo de covoluo * : TC: SS SS TD: h * h τ τ dτ TD: h FOCTIO DE TASFET FT G colee FT d u ssèe crcérse, de fço dule à l I, u SS: TC: H ν TD: H z ν H ν Y ν SS z H z Yz SS réose Y d u SS d erée s écr : TC: Y ν H ν ν TD: Y z H z z vec l relo où u désge dfféree u sgl, ou h : ν TC: U ν TF[ u ] u e π d TD: [ ] z TZ u U u z DECOVOUTIO : Déero de l éose Iulsoelle u h h*u h u : décovoluo : h h. u u vec : u e h cusles e u. COEATIO Foco d ercorrélo TC ou TD de sgu, TC ou, TD : TC τ τ dτ TD TC TC couvé TD TD Foco d uocorrélo TC TC ou TD d u sgl τ τ. TC ou TD : dτ TD le our TD le our TC TC TC re TD TD re

9 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques EEGIE - PUISSACE - APPOT SIGA SU BUIT - Eerge d'u sgl cs colee: TC E d TD E [ué: le Joule] cs sclre: TC E d TD E E Pour u sgl à éerge fe sgl érodque r eele o réfèrer ulser l ussce oee our crcérser le sgl : - Pussce oee d'u sgl : TC T P l d TD P l T T T [ué: le W] cs sclre: TC T P l d TD T T P l T P [ué: le décbel db] P db log P log P E.: Γ l éerge dverge E s l ussce oee du sgl rese fe : P l l l - or Sgl/Bru S :. s sgl ule e b bru, so sgu TC cusu, sclres, de durée T. s sgl ule e b bru, so sgu TD cusu, sclres, de échllos T [ué: le décbel db] TC d P TD SdB log P T log P db b db b d P P S db log log P P db b db b P b b Ds le cs de bru léore o ergodque, l fu redre s oee ssque esérce luô que s oee eorelle seule rélso du bru e suff s : or des ussces sées à l s T TC ou TD : Cs léore TC T SdB TD log db b db E[ b T ] log S db log db b E b log b [ ] b db erque :. u S de db rdu u ecelle or Sgl/Bru le bru es rejeé. u S de db rdu u or Sgl/Bru l dssble le bru es couver, l es «églgeble». u S de db rdu ue êe ussce ere Sgl e Bru. II. SIGAU AEATOIES Ds de obreu ssèes réels, les sgu à rer e euve êre odélsés de fço déerse. C es le cs r eele des sgu de élécoucos qu, r ure, e so s cous de fço cere, so ls e véhculere ucue foro quse. C es uss le cs de obreu sgu qu rovee de esures ou d observos bruées, qu fo que le sgl réellee observé es ue fore corroue du sgl voulu. De ce f, de obreuses oéros de ree du sgl esées our des sgu déerses dove êre reesées e osées e foco de l foro do o dsose à roos du sgl léore à rer.. léore e héore du sgl Ds beucou d eéreces rques, les héoèes observés ds des codos ree deques seble réseer des vros révsbles. O d que ces héoèes so léores. Pr eele, le bru de fod d u réceeur rdohoque, ou ecore le sgl soore rodu r u coeur de rcules so des eeles de sgu léores. Ds le cs rculer d u ssèe de couco, o seulee le bru de fod, s uss le essge és r l source, résee u crcère léore our le desre. Il e es de êe our u sgl de role qu e eu êre décr de fço ece r ue eresso lque, êe e l bsece de bru..

10 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques Pour éuder l évoluo des héoèes léores, o recours à des odèles robblses. Ceu-c ee de reréseer le sgl observé r ue flle de Vrbles Aléores VA deées r le es. Chcue de ces VA décr l sec cer du héoèe à u s doé. Ue elle flle ore le o de rocessus léore. U rocessus léore eu êre à TD Tes Dscre ou à TC Tes Cou.. Vrbles Aléores Ue VA es ue lco qu ssoce à chque éreuve, rélso ossble d ue eérece, ue vleur rculère : ω ω : éreuve Ue ge flère ous es doée r l ro des vleurs à 6 ds ue eérece de lcé d u dé à 6 fces. VA dscrèes e coues Ue VA es dscrèe ou coue suv que l eseble des vleurs ossbles de l eérece léore es resecvee dscre ou cou. VA dscrèe : u eele du cs dscre es doé r l observo du obre de ersoes résees ds ue fle d ee : les seules vleurs ossbles so les eers osfs ou ul. VA coue : Pr core, le relevé de l vesse des véhcules sur ue uoroue four u eele de VA coue les vleurs ossbles e les obres réels cors ere e 3 /h. VA dscrèe lo de robblé d ue VA es colèee crcérsée r l eseble déobrble {,,,, } des vleurs ossbles e r l sue des vleurs : Z P qu rerésee l robblé our que so égl à l élée e. Ces vleurs vérfe : oe d ordre de l VA : c es le obre o léore déf r : [ ] E cs : : o l esérce héque ou oee ssque de l VA : [ ] cs : E : o le oe d ordre de l VA : [ ] E es oes d ordre e suffse géérlee à crcérser ue VA. Ceed, o eu rfos vor recours u oes d ordre suéreur : e. 4 : oe d ordre 4 : uross. o de robblé cojoe de VA e Y : b des vleurs Y qu vérfe : Y, e, Elle es crcérsée r les esebles déobrbles {,,,, } e {, b,, b, } ossbles de e Y e r l sue des robblés :, P, Y b Idéedce de VA e Y : Y VA e Y so déedes s e seulee s : P, Y b P P Y b. 3

11 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques VA coue Desé de robblé VA red ses vleurs ds le cors de réels, e s lo es crcérsée r ue foco elée desé de robblé que l o oe vec réel, e qu ere le clcul de l robblé our d rer à u ervlle, b r l relo :, b P d b foco es s écessree e vérfe l relo de orlso : d Foco de réro foco de réro F d ue VA es défe r : O l relo ere desé de robblé e foco de réro F : F u du oe d ordre de l VA : c es le obre o léore déf r : E [ ] cs : d : o l esérce héque ou oee ssque de l VA : [ ] cs : F E d : o le oe d ordre de l VA : [ ] E d es oes d ordre e suffse géérlee à crcérser ue VA. Ceed, o eu rfos vor recours u oes d ordre suéreur : e. : 3 : oe d ordre 3 : sewess;. 4 : oe d ordre 4 : uross. o de robblé cojoe de VA e Y De fço logue, elle es crcérsée r s desé de robblé,, qu, r l forule suve, uorse le clcul de l robblé our que le coule de VA, Y ree à u doe du l : P, Y Y, dd foco Y, es s écessree Y e vérfe l orlso :, dd Idéedce de VA e Y VA e Y so déedes s e seulee s :, VA dscrèes e coues Y Y Y. oee d ue VA Cee grdeur es déerse E oee ssque, esérce héque ou ecore oe d ordre de [ ] oee d ue VA rdu le cere le cere de grvé des éreuves.. 4

12 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques σ d ue VA. Vrce Cee grdeur es déerse σ vr E E E E E effe : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] E E E E E E E E E E vrce es ue qué oujours. Elle eu s erréer coe l esure des flucuos de l VA uour de s oee : lus elle es grde, lus les vleurs de so dsersées uour de E [ ]. E héore du sgl, l vrce ue sgfco suléere : elle s errèe coe l ussce des flucuos qudrques de uour de s oee. vrce d ue VA rdu s ussce, s dserso. Elle es lée à l lude des vros de l VA. oee e vrce suffse à décrre de obreu héoèes léores de fço suffse. E[ b] E[ ] b O les roréés : où : e b so des colees o léores. vr[ b] vr[ ]. Ecr-e σ d ue VA Cee grdeur es déerse σ vr écr oe [ ] de VA e Y Cee grdeur es déerse So [ ] e Y Y E[ Y]. Covrce E cov, Y E E Y E Y E Y E Y E E Y [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. Auocovrce d ue VA vrce Cee grdeur es déerse [ ] E[ ] E [ ] σ [, ] E E[ ] cov. Corrélo ρ de VA e Y Cee grdeur es déerse cov[, Y ] [ ] vr[ Y ] σ σ ρ vr O l roréé, ssue de l églé de Schwrz : ρ Décorrélo de VA e Y : s cov [, Y ] : o d lors que les VA e Y so décorrélées ρ O ore que s VA e Y so déedes lors elles so décorrélées. s e géérl, l récroque es fusse., Y déedes, Y décorrélées s, Y décorrélées, Y déedes. Auocorrélo ρ d ue VA Cee grdeur es déerse cov[, ] vr ρ σ [ ]. Eso de l desé de robblé o des grds obres P eu êre roché de fço effcce r le ror : P. 5

13 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques vec :. P : robblé d rece de l VA à u ervlle. : obre de os, de résuls d eérece observés ds l ervlle. : obre ol de os, de rélsos ossbles.. : fréquece relve O eu lors eser l desé de robblé de u o, so r : l vec :. : desé de robblé de u o. : obre de os, de résuls d eérece observés ds l ervlle. : obre ol de os, de rélsos ossbles.. logueur de l ervlle P d e s o suose que es u ervlle rès e uour du o E effe, o : d es rovee égl à : l d où : l rocédure our eser l desé de robblé u o eu lors suvre l lgorhe :, le ere :. O effecue ue eérece de logueur. O roe l ervlle des vleurs obeues e P sous-ervlles I, I,, I P de logueur resecve l, l,, l P uour des os,,, P. E géérl, o chos des sous-ervlles de êe logueur e es rs u leu du sous-ervlle I. E rque P e désse s /. 3. Ef, o ese l desé de robblé u o r 3. os de robblé de VA usuelles o de Beroull lo à vleurs VA eu redre vleurs e b vec les robblés resecves I l e I vec. b b b desé de robblé es doée r δ δ b : o de Beroull oee : E[ ] bb oe d ordre : E [ ] b b Vrce σ : σ E[ ] E [ ] b b b b b Eele de VA de lo de Beroull : ésul le ou fce du lcer d ue èce. b b o bole So u évèee e ssocé à ue eérece. Ce évèee ue robblé de surver. O rerodu fos l eérece e o s éresse à l VA qu doe le obre de succès de l évèee e u cours des esss. desé de robblé es doée r oee : E[ ] Vrce δ vec C e σ : σ E[ ] E [ ] C!!!. 6

14 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques Eele de VA de lo bole : O effecue rges vec rese d ue boule ds ue ure coe blches e boules ores. évèee es le rge d ue boule blche. o de Posso desé de robblé es du e : δ vec oee : E[ ] λ Vrce σ : σ E[ ] E [ ] λ λ λ Eele de VA de lo bole : O effecue rges vec rese d ue boule ds ue ure coe blches e boules ores. évèee es le rge d ue boule blche. o ufore sur [, b] eseble des vleurs ossbles de l VA se rédu à l ervlle [ b] d c ervlle [ c, d ] [, b] es égle à. b O e dédu que s desé de robblé es cose e vu b b b b e! B boules B boules, e l robblé de d rer à u sur [ b] oee : E[ ] d oe d ordre : E[ ] Vrce b σ : σ E[ ] E [ ] Eele de VA de lo ufore : Gééro d ue VA Y ufore sur [ b] b, e lleurs: o ufore b b d b Erreur d rrod ds les clculs bru de qufco ufore., Y b b b 3, à rr d ue VA ufore sur [ ] : o orle gussee uérquee, lus de 99% des vleurs de l desé de robblé de l VA obe ds l ervlle 3 σ, 3σ σ, σ doe 95% des vleurs de 4 σ, 4σ [ ], d ervlle de cofce [ ] desé de robblé es défe r oee : E [ ] σ : [ ] [ ] σ, [ ] 3σ σ e : o orle σ π σ π our 99.9%. Vrce E E Eele de VA de lo orle : Bru de fod ds les réceeurs. Gééro d ue VA Y orle, σ à rr d ue VA orle, σ : Y σ dsrbuo orle es lére, e elle es l seule lo our lquelle l équvlece ere déedce e o corrélo.. 7

15 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques os de legh, de lce, de Cuch e e o de legh o de lce o de Cuch Tbleu réculf o de dsrbuo de l VA Probblé Desé de robblé δ VA dscrèes Foco de réro F Γ oee σ Vrce Beroull, b bole, Posso λ C b, δ δ b Γ bγ b C δ C λ e! λ λ e! λ b δ Γ b b b b b b b λ e λ λ λ Γ! o de dsrbuo de l VA ufore sur [, b] Probblé Desé de robblé df d s Π b b b b lleurs orle,σ σ e σ π VA coues Foco de réro F u du vec s b s < > b s b erfc σ erfc π e d oee d b σ Vrce d b σ 4. Théorèe cerl le Chque fos qu u héoèe eu êre cosdéré coe l résule d u grd obre de cuses léores déedes, o eu résuer que ce héoèe su ue lo de dsrbuo orle: c es le héorèe cerl le. 5. Processus léores E héore du sgl, o éude le lus souve des grdeurs déed du es e do l évoluo seble révsble. écoue du so és r des véhcules qu sse sur ue roue ous doe ue ge cocrèe e flère d ue elle grdeur lors que le lcer d u dé es ue VA sque, déede du es. Pour les odélser, o ulse l oo de rocessus léore qu ssoce à chque éreuve ue rélso qu es lus ue vleur coe ds le cs des Vrbles Aléores, s ue foco du es. O déf u Processus Aléore PA coe ue lco qu, à chque éreuve ω, f corresodre ue foco du es. O ulse l oo, ω, ou lus usuellee,, ds lquelle o oe l déedce ssque vs-à-vs de l éreuve ω, à l eele de ce que l o f our les Vrbles Aléores que l o oe slee. Trjecore d u Processus Aléore U rocessus léore eu lors êre vu :. 8

16 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. so, our ue éreuve fée ω, coe ue foco du es que l o elle rjecore.. so, our u s fé, coe ue Vrble Aléore. élsos d u rocessus léore eele : rélsos d u sgl role dérche qu cosse à odélser ue eérece r luseurs focos, ce qu suose que le es usse se dérouler ue fé de fos à l deque, eu choquer, usqu e rque, o observe souve qu ue rélso, e ecore uquee sur u ervlle de es f! Cee fço de fre se rouve jusfée r l erece des résuls qu elle ere d ober. Processus léores à Tes Cou e à Tes Dscre Cers rocessus léores o des rjecores qu, ou e é révsbles, seble osséder des crcérsques coues. Processus Aléore à TD e à TC U Processus Aléore es à TC s le es réel. U Processus Aléore es à TD s le es Z eer. oee d u Processus Aléore Cee grdeur es déerse e déed de E oee ssque, esérce éque ou ecore oe d ordre de [ ] Foco d Auocovrce, d u Processus Aléore Cee grdeur es déerse elée uss Foco d Auocorrélo lorsque le rocessus es sore [ ] E[ ] E[ ], E * * *, E[ ] E[ ] où : E[ ] désge le rocessus ceré ds le cs de PA colees * : cojugué de s ceré Foco de Covrce, Y de Processus Aléores e Y Cee grdeur es déerse elée uss Foco de Corrélo lorsque les rocessus es so sores Y [ Y ] E[ Y ], E Y E[ Y ] * * *, [ ] [ ] ds le cs de PA colees Y E Y E Y Y * : cojugué de où : E[ ] désge le rocessus ceré s ou O se le u rocessus sores u d ordre u ses lrge SS cs le lus cour Y ceré. 9

17 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques Soré du d ordre u ses lrge des rocessus léores à TC e à TD oos : s Processus à TC :, τ,, s Processus à TD :, τ,, U Processus Aléore sore u d ordre u ses lrge SS es el que s oee e s vrce so déedes de l orge des es U Processus Aléore es SS s l vérfe les roréés e :. l oee du Processus Aléore SS es déede de : Z E[ ] Foco d Auocovrce Auocorrélo ds le cs SS τ d u Processus Aléore SS. l foco d uocovrce d u PA SS e déed que de [ τ ] E[ ] τ E τ s * [ τ ] E[ * ] τ :, τ E τ ds le cs de PA colees * : cojugué de o uss : [ τ ] E[ ] τ E τ s [ τ ] τ τ E τ es re τ ceré: τ E[ τ ] ceré: τ E[ τ ] o ef : * s ceré: τ τ * τ τ τ τ Sére heree : l foco d uocovrce ossède l roréé de sére herque τ τ ré de l uocovrce τ * τ ds le cs de PA colees * : cojugué de Posvé : l foco d uocovrce ossède l roréé de osvé our ou, our oue sue de vleurs réelles,,, * que l o eu écrre rcellee : A Η our ou, our oue sue de vleurs colees,,, A A A ds le cs colee rce es elée rce de covrce. O l roréé Eele our 3 les eoss, Η dque res. l rsoso e l rsoso-cojuguso Η ds le cs colee du f de l sére heree. : A A [ ] ds le cs de PA colee : Η A A * * * [ ] E rso de l soré du PA, l rce es elle que les rllèles à l dgole rcle so cosuées de eres égu. Cee fore de rce ore le o de rce de Toelz..

18 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques Foco de Covrce Corrélo ds le cs SS τ de Processus Aléores SS e Y. l foco de Covrce de PA SS e déed que de Y [ τ Y ] τ E s e * [ τ Y ] τ E ds le cs de PA colees * : cojugué de o uss : [ Y ] [ τ ] τ Y τ E τ s e τ E Y s e Y o ef : Y Y τ :, Y Y τ Y cerés : τ E[ τ Y ] Y Y cerés : τ E[ Y τ ] Y Y cerés : τ E[ Y τ ] τ Y Y Y τ τ * Y τ s e Y cerés : τ τ * Y τ Desé Secrle de Pussce DSP d u Processus Aléore Qud u Processus Aléore es sore u d ordre, o déf s ussce e s DSP de l fço suve : P E. Pussce P [ ] Y oee ssque de l ussce sée [ ] P E ds le cs de PA colees P ds le cs de PA cerés. Vleur effcce eff eff P. DSP S S f TF [ τ ] Théorèe de Weer che f es l fréquece DSP de es l TF de l foco d uocovrce de e o l TF de oe : S f es ecore oé f S. τ es ecore oé τ π fτ TC : S f τ e dτ S TD : f! τ es réel τ τ τ π fτ e τ es dscre Z τ Coe ds le cs déerse, le secre rerésee l réro, l loclso de l ussce le log de l e des fréqueces. Pr coséque, l ussce es doée r : TC : TD : S f df P S f df P ds le cs de PA colees / S f df / P / S f df / P ds le cs de PA colees.

19 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques Bru blc U bru blc B es u Processus Aléore sore SS à TC ou à TD, géérlee ceré, do l DSP S B f es Cose sur ou l e des fréqueces le o «blc» f doc référece à l luère blche do l ussce es rére uforée sur l eseble des fréqueces oques. Du f de l défo de l DSP, u bru blc es doc crcérsé uss r ue foco d uocovrce BB τ Bru blc de vrce S B σ : τ σ ulsoelle : δ τ Auocovrce : TC BB TD σ δ BB, S f TF BB τ σ Vrce TD DSP TC Vrce TD : DSP TC B [ ] f TF [ ] σ Aure défo : BB ses fble U bru blc es ue sue de VA o corrélées rélsos o corrélées ses for U bru blc es ue sue de VA déedes rélsos déedes. e ere «blcheur» ve de l loge vec l luère blche e rdu le f que oues les fréqueces so résees ds u bru blc vec l êe ussce. U bru blc à TD es rélsble e rque lors qu u bru blc à TC e l es s cr s ussce qu es égle à s foco d uocovrce e es fe Drc! o de dsrbuo : u rocessus blc eu vo ue lo de dsrbuo quelcoque : orle, ufore,... Ergodcé ergodse relvee à l oee e à l foco de covrce d u Processus Aléore U Processus Aléore eu êre vu coe ue ulude de rjecores corresod à u de rélsos de l eérece à l deque. Ceed, ds u grd obre de cs rques, ue seule rélso du rocessus es ccessble à l esure. U rocessus sore es ergodque s s oee e s foco d uocovrce euve êre obeues e effecu ue oee eorelle sur ue seule rjecore ue seule rélso de durée fe. As, les forules de oee e de foco d uocovrce euve s écrre à l de d ue oee eorelle : l T l T T T T T T T τ. l T l T T T T T T T τ * ds le cs de PA colees U rocessus ergodque es doc el que s oee ssque do ue eso es : T es égle à s oee eorelle do ue eso es : ˆ. T Dès lors :. l oee d u Processus Aléore PA ergodque es vue coe u offse déclge vercl u cours du es. l vrce, l ussce d u PA es lée à l lude du PA l lude de ses rélsos. Soré e ergodcé d u Processus Aléore ˆ qus olé des Processus Aléores recorés e rque ssf u codos de soré e d ergodcé. Cee hohèse codu u forules suves d eso de l oee e de l foco d uocovrce : où : ˆ T T T τ T τ ˆ τ T ˆ ds le cs de PA colees T T τ * τ T τ

20 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques Foco de covrce e foco de corrélo d u Processus Aléore Foco de covrce d u Processus Aléore deve foco de corrélo lorsque le rocessus es sore : Foco de Covrce, Y de Processus Aléores Y [ Y ], E e Foco de Corrélo Y de Processus Aléores [ Y ], E Y Y Y SS e Y SS Forule du flrge So u Processus Aléore SS, de foco d uocovrce τ e de DSP S f, erée d u flre lére de I h e de g colee H f : s es à TC, e s es à TD, Z, uss oé h Y h Y TC : TD : O ore que le rocessus Y e sore du flre lére es lu-êe u Processus Aléore SS. TC :. oee de Y Y H. Flrge de l DSP S f H f S f. Iersecre S f H f S f De êe à TD :. oee de Y Y Y es doc ceré s l es., Z Auocorrélo de Y τ h τ * h τ * τ Iercorrélo τ h τ * τ Y Y H. Flrge de l DSP S f H f S f. Iersecre S f H f S f odèles de rocessus léores PAs Y Y es doc ceré s Auocorrélo de Y YY Y l es. h * YY * h h * Y Iercorrélo Y e rocessus de Weer rocessus léore o sore Il odélse le ouvee Browe, ouvee rréguler de rcules croscoques souses à l go herque ds u flude. So ue des coordoées de l rcule, e chosssos l orge elle que. e ouvee de l rcule sur u ervlle de es suffse log es le résul d ue sére d ulsos rove d u obre or de collsos. Il es doc rsoble de eser que :. le héorèe cerl le s lque : le ouvee Browe es gusse : le délcee obé à ue lo orle. les roréés ssques du délcee sur u ervlle de es, τ so déedes de celles sur u ervlle de êe logueur, our u que ces ervlles e se chevuche s. De ère oque, le rocessus de Weer es doc déf r les codos suves :.. es gusse de oee ulle. es u rocessus à ccrossees déeds : so < < <, les VA,,,, so uuellee déedes déedes les ues des ures s ces VA so seulee o corrélées ere elles, le rocessus es d à ccrossees orhogou.. 3

21 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. 4 Ces roréés eree de se doer u odèle our le rocessus de Weer : W vec : W : bru blc, gusse, ceré oee ulle, e de vrce W σ Il résule ce odèle que :. [ ] E l oee d u rocessus de Weer es ulle:. W. [ ],, l l E l C W σ qu lque que l vrce de croî léree vec :, W C σ σ l vrce d u rocess de Weer croî léree: W σ σ cel sgfe que, lus o s éloge de l orge des es, lus l lude du délcee eu êre ore. Foco de Trsfer du flre de Weer es : W Hz Bru blc Flre de Weer z z W z z H [ ] W z W z z TZ z H u ôle juse sble e z. Il e s g doc s d u flre sore e s DSP es s défe. Srcee rl, le rocessus de Weer éé déf coe u rocessus cou : du u W où W es u bru blc gusse cou ceré. verso dscrèe du rocessus de Weer es ellée «rdo wl». e rocessus uo-régressf A ou ecore II Auoegressve rocessus léore sore W Y H z Bru blc ceré Flre A z z W z Y z H cf. Ssèes sochsques O édee : TZ Y W Y z W z z Y e rocessus à oee oble A ou ecore IF ovg Averge rocessus léore sore W Y H z Bru blc ceré Flre A b z z H cf. Ssèes sochsques O édee : TZ W b Y z W b z z W z H z Y e rocessus uo-régressf à oee oble AA Auoegressve wh ovg Averge PA sore W Y H z Bru blc ceré Flre AA z z b z H cf. Ssèes sochsques TZ Y bw Y b z z W z z Y z b z z W z Y z H

22 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques e rocessus AA Auo egressve ovg Averge wh eogeeous us rocessus léore sore Code coue Bru blc ceré U B z W Flre AA C z A z Y A z Y z B z U z C z W z vec A z z B z b z P C z c z olôe sble olôe sble Corree u récédes, ce odèle es s uree sochsque réose à u bru blc s l sore cobe ue coose uree léore réose à u bru blc e ue réose à u sgl déerse e cou ds des lcos de corôle, ce sgl es l erée de code. es olôes A z, C z so sbles e oques de coeff. de lus hu degré égl à e le olôe B z quelcoque. e rocessus de Bo e Jes BJ rocessus léore sore U Code coue A z B z Flre BJ Bru blc ceré D z C z Y A z z W B z b z B z C z Y z U z W z vec P A z D z C z c z D z dz Géérlso du rocessus AA vec les olôes A z, C z, D z sbles e oques de coeff. de lus hu degré égl à e le olôe B z quelcoque. olôe oque sble olôe oque sble olôe oque sble e rocessus rove e odèle d E cs des rocessus de rov léres sores à TD Processus rove W Bru blc ceré Processus rove U rocessus sochsque es rove s our ou s < < < <, l desé de robblé,,, codoelle l roréé suve : [ ] [ ] Doc, êe s luseurs vleurs éreures de l rélso du rocessus so coues, seule l lus récee ore de l foro sur l desé de robblé de. e rocessus de Weer décr lus hu es u cs rculer de rocessus de rov. S de lus, es ue séquece léore qu e eu redre qu u obre f de vleurs ossbles, l séquece es ue chîe de rov. U rocessus de rov lére sore es décr r le odèle d E : A W où :. es u rocessus sochsque vecorel :. A es ue rce crrée cose du f de l soré : A. W es u bru blc vrce Q vecorel ceré déed de : W. oee de : A j. Covrce C j, de j : C j, A C, j. Covrce C, j de j : C, j C, A vec : C, E [ ]. 5

23 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques Processus à reréseo rovee W Bru blc ceré Cobso lére Processus rove Y Processus rove e rocessus uquel o s éresse es rfos ue cobso lére sore bruée d u rocessus lére rove. A W U el rocessus es décr r le odèle d E : où : Y C V. es u rocessus sochsque vecorel :. Y es u rocessus sochsque vecorel : Y. A es ue rce crrée cose du f de l soré : A. C es ue rce cose du f de l soré : C. W es u bru blc vrce Q vecorel ceré déed de e o corrélé à V : W. V es u bru blc vrce vecorel ceré déed de e o corrélé à W : V. oee Y de Y : Y C j. Covrce C YY j, de Y j : CYY j, C A C, C δ j, j. Covrce C YY, j de Y C, j CC, A C δ YY j j :,. 6

24 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques AEE. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. III. SYSTEES STOCHASTIQUES. ESTIATIO DE A COVAIACE. ESOUTIO DU SYSTEE D EQUATIOS DE YUE-WAE PA IVESIO ATICIEE. AGOITHE DE EVISO ésoluo érve du ssèe de Yule-Wler. ETHODE DE BUG ésoluo érve du ssèe de Yule-Wler vec core de sblé. 7

25 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques III. SYSTEES STOCHASTIQUES U ssèe sochsque s elé busvee es u ssèe déerse ecé r u sgl léore.. Trssso d u sgl léore ds u ssèe lére ulso des rsforées So u ssèe lére à Tes Cou H s ou à Tes Dscre H z e de éose Iulsoelle h res. h ecé r u sgl léore, sore e ergodque, de vleur oee e de foco d uocorrélo : τ E[ τ ] où : res. à Tes Dscre : E [ ]. TC : H s Y TD : H z Y.. Vleur oee de l sore TC : O : * h TD : Y d où : E [ Y ] E[ * h ] E[ ]* h Y * h e : Y * h De êe : [ ] le ssèe es déerse Y Y Y * h * h * h * h cr : [ ] E Y * h De fço à lléger les écrures, o suoser ds l sue que res. e Y res. Y so des sgu léores cerés... Iercorrélo TC : [ τ Y ] E[ τ { * h }] E h u u du τ E τ [ τ u ] du h u τ u du τ * h τ h u E τ τ h τ * τ T Φ s H s Φ s Y TD : De êe : * TZ Φ z H z Φ z h Y. 8

26 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques.3. Auocorrélo e DSP Desé Secrle de Pussce TC : τ E[ Y Y τ ] E h u τ u du h v v dv h u h v E[ τ u v ] dudv τ h u h v τ u v dudv T so, e os : τ v λ s ΦYY s h u h v τ u v e su sv s λ λ YY s h u e du h v e dv e dλ u : Φ d où : Φ s H s H s Φ s e: YY τ dudvdτ τ τ τ τ T * * h h E re : s jω rége hroque, o obe l relo ere les Desés Secrles de Pussce DSP : Φ YY ω H ω Φ ω ecore oé : S f H f S f Y f : fréquece TD : De êe : huhv u v u v TZ ΦYY z H z H z Φ z e : Φ z H z H z Φ z YY TZ h * * h E re : jω z e rége hroque, o obe l relo ere les Desés Secrles de Pussce DSP : Φ YY ω H ω Φ ω ecore oé : S f H f S f Y f : fréquece. Processus gééreur d u sgl léore : flres foreurs du er ordre U sgl léore eu êre shésé odélsé coe l réose d u flre lére ecé r u bru blc : Eele : TD H z Y Bru blc Flre foreur Sgl léore e flre lére e queso es elé flre foreur du sgl ou ecore rocessus gééreur. descro du sgl eu lors cosser e les rères du odèle lére du flre lére e e l vrce du bru blc s DSP ds le cs cou... Processus gééreur à Tes Dscre TD du er ordre So l équo récurree sochsque du er ordre corresod à u flre lére cusl de FT : H z : z Y Y vec < flre sble où : { } es ue séquece déede bru blc { } bru blc ceré de vrce V : E E E [ ] [ ] V [ ] E [ ] [ ] Vδ, E. 9

27 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques D ure r, le flre é récursf l fu récser les CIs : [ ] E Y [ ] E[ Y ] P E Y où : Y Y z z TZ O oe h l I du flre. O : H z h Γ. E rculer h. z z Alse : Ee des crcérsques ssques de l séquece{ } Y e réose à u bru blc { }. oee : E [{ Y }]? el : E[ ] es u oéreur lére E [ Y ] E[ Y ] { } es cerée E[ Y ] Coe < : Y qud Ue fos le rége rsore eré, le flre foreur four doc u sgl sore du er ordre ceré. U sgl sore du er ordre es el que s oee es déede de l orge des es. U sgl sore du d ordre, d sore u ses lrge es el que s oee e s vrce so déedse de l orge des es.. Vrce : Vr [{ Y }] P? [ Y ] [ ] [ ] [ ] Y Y Y Y Y E[ Y ] E[ Y Y ] E[ Y ] E[ ] E[ Y ] [ Y ] E[ Y ] E[ ] E[ Y ] E[ ] E[ Y ] E[ ] E[ Y ] E Or: h * h * Vδ, V h * δ, V h e [ ] E [ Y ] E[ Y ] [ ] E so : P P V E Y V h cr h Cee équo de récurrece do l vrce de { Y } es lsée r P. S soluo es : à l de de ltz r e. V P P V d où : P cr <. V Ue fos le rége rsore eré, le flre foreur four doc u sgl sore ceré, de vrce rége sore ou ecore ere. E Y Y. Auocorrélo de { } Y :? [ ]? 3 Y Y Y 3 Y Y Y Y Doc, our > Y V : E[ YY ] E[ Y Y ] E[ Y ] P V uocorrélo é ue séquece re, o : Shèse : Déduco du flre foreur e foco des crcérsques ssques de l séquece{ Y } doée Iversee, s l o veu géérer u sgl léore { Y } sore ceré, d uocorrélo suff d ulser u flre du er ordre, d équo : Y Y cerée, e de vrce V P. P ecé r ue séquece blche { }, l.

28 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques.. Processus gééreur à Tes Cou TC du er ordre dérche es deque qu à TD. So l équo dfféreelle sochsque du er ordre corresod à u flre lére cusl de FT : H s : s Y & αy vec α < flre sble où : es u bru blc bru blc ceré de DSP V : [ ] τ E[ τ ] [ Y θ ] θ <. E E Qδ τ dw O eu écrre que es l dérvée d u rocessus de Weer W : d e l équo Y & αy eu se ere sous l fore : dy α Y d dw S o dscrése cee derère relo u s d échlloge T, o obe : Y es ccrossees W W cerée e de vrce E[ B ] QT Y α YT W, é déeds, cosue ue séquece déede blche { B }. relo récédee : Y Y α YT W W s écr doc : αt Y αt Y B relo de l êe fore que celle du cs dscre vec : V QT Tous les résuls du cs dscre ré v s lque, e ls so esue reés à TC e fst : Alse : Ee des crcérsques ssques de l réose Y à u bru blc E Y qud T α. oee : [ ]? αt E rége ere, le flre foreur four doc u sgl ceré.. Vrce : Vr de Y? D rès les résuls du cs dscre : P T P QT Qud T e églge les eres e α T : P & αp Q E rége sore P & : équlbre e : P P :. Auocorrélo de Y :? τ E[ Y Y τ ]? QT e résul du cs dscre doe c : T α αt α T Qud T : α T e doc: Q α T e e: α W Coe α < : qud Q P α Q α τ τ e TD TC: T α Shèse : Déduco du flre foreur e foco des crcérsques ssques du sgl Y doé Iversee, s l o veu géérer u sgl léore Y sore ceré, d uocorrélo τ Pe l suff d ulser u flre du er ordre, d équo : Y & αy ecé r u bru blc ceré, e de DSP Q αp. τ α τ,

29 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques 3. Processus gééreurs : A, A, AA e coce de rocessus gééreur de sgl éé rculèree déveloé e lqué vec des flres uérques ue Foco de Trsfer e z de l fore : TD : H z b z z orsque le rocessus z d AA Auo egressve d ovg Averge. S S H. H z Bru blc Flre A, A, AA H es ecé r ue séquece { } déede blche, l sore { } z b z, le sgl { } Y es A. e flre H z es IF à éose Iulsoelle Fe Y Y es u sgl H z, le sgl { Y } es A. e flre H z es II à éose Iulsoelle Ife z Y c es- ous llos éuder chcu de ces 3 rocessus gééreurs. E doé les crcérsques ssques de { } à-dre b du flre H z qu géère { Y } à rr de { }, l s g de déerer les rères e fu uss coîre l vrce. 3.. Sgl A es hohèses so : e : E E [ ] [ ] H z Bru blc Flre A V E [ ] E[ ] { } bru blc ceré de vrce V H z b z E effe, coe H z es l TZ de l I h : O édee : Y z H z z h z H. oee de { Y } :? E[ Y ] Y [ ] Vδ, E z h z, o édee : h b [, ] h z z TZ Y h usque le bru blc d erée es ceré.. Auocorrélo de { Y } :? [ Y Y ] E[ YY ]? cr r hohèse [ ], E [ j ] V., do l E h h j j hhje h h j > j E Vδ d où E[ ] j. es équos V j es oujours ulle suf our h h so o léres e les rères { } lgorhe de Progro o ére our ober l séquece { } h du flre. Il fudr ulser u. h du flre à rr de l séquece { }

30 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. 3. Pussce P de { } Y :? h V P. DSP ω YY Φ de { } Y :? Φ j j YY e h V e H V ω ω ω ou ecore e re l TF Dscrèe de l séquece de corrélo : Φ j YY e ω ω e coe ω YY Φ es r qud le sgl Y es réel : Φ cos YY ω ω 3.. Sgl A Y H z Bru blc Flre A Hohèses : [ ] [ ] [ ] E V E E [ ] [ ], V E E δ e z z Y z z H { } bru blc ceré de vrce V O édee : TZ Y Y z z z Y Cee fos, l I { } h rî s drecee, s o s que : h * Ic, Vδ doc h V h V V h,, * * δ δ V h [ ] V Y Y Y E V Y E V h cr Y Y V h h V. oee de { } Y :? [ ] E Y cr bru blc d erée ceré s les CIs so ulles ou de oee ulle.. Auocorrélo de { } Y :? [ ]? Y E Y [ ] [ ] [ ] [ ] Y E Y Y E Y Y E Y E Y Y E Y E Y h V cr : [ ] V Y E V h [ ] V V Y E V h

31 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. : V h V h cr ue uocorrélo es re. lee Coe h e effe : Y o : V Y h δ h h flre u reos. > : cr h our > : le flre h es cusl : Y Y o uss : cr ue uocorrélo es re. Ces équos euve s écrre : V our : so, sous fore rcelle : ce so les équos de Yule-Wler : V ou ecore : V s s rce d uocorrélo de ere géérl r, j e déed que de j re es de rce de Toelz. Ds ue elle rce, les rllèles à l dgole rcle so cosuées de eres égu.o ore que. Eele de rce de Toelz : 3 4 As, à rr de l cossce de l séquece d uocorrélo de { Y } les coues : V e les rères du flre foreur v re, l relo rcelle ere de déerer Pour rélser ce clcul, ue verso rcelle es ossble cf ee s o ulse géérlee l lgorhe effcce érf de evso ou ecore l éhode de Burg cf ee qu éve ue verso rcelle e e à rof le f que le crcère Toelz Sgl AA H z Bru blc Flre AA Y es es clssques de DSP de sgu A e A é les suvs, our les ssfre, l ourr êre écessre de odélser cers sgu r u rocessus AA :. 4

32 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. 5 f.5 DSP f.5 DSP f.5 DSP DSP e d'u sgl A DSP e d'u sgl A DSP e d'u sgl AA es hohèses so : [ ] [ ] [ ] E V E E [ ] [ ], V E E δ { } bru blc ceré de vrce V e l FT d u rocessus AA : z z b z z Y z H Cee oo suose que s l ordre du uéreur es féreur à, u cer obre de coeffs b so uls. équo de récurrece s obe à rr de l FT du rocessus : TZ Y b Y z b z z z Y z z b z z Y z H. oee de { } Y :? [ ] E Y cr bru blc d erée ceré s les CIs so ulles ou de oee ulle.. Auocorrélo de { } Y :? [ ]? Y E Y [ ] [ ] [ ] Y b E Y E Y Y Y E Y b E Y b Y E Y E Y [ ] Y b E e d ere du ebre de droe é o lére e, b, l es s sle d erre les rères du odèle à rr d l rce d uocorrélo. O eu ceed le fre e ées e s u sur les résuls récédes A e A. O eu d bord rerquer que our > l équo : [ ] Y b E se rédu à : s > qu l êe fore que du cs A : S doc o écr : [ ] Y b E our,,, o ourr erre les coeffs e le ere V b b, so :

33 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. 6 V b b Pour l de ée defco des coeffs b, rodusos u sgl erédre { } U our réécrre l équo de récurrece du flre : Y b Y : So : Y Y U coe : Y b Y, o uss : b U e suos b Cee derère relo f rîre { } U coe u sgl A, doc d uocorrélo éble ds le cs A : uu b b V s e : uu s > A rr du sgl { } Y flré r le flre : Y Y U, o eu ober uu e, r Progro o ére sur l relo : uu b b V, o eu ober les coeffs b. A e le rocessus gééreur AA de { } Y : b z { } { } U { } Y z A A l DSP de ω Y s écr : Φ j j YY e e b ω ω ω ou, e e coe du cs déj évoqué où Y es réel, our lequel : Φ cos YY ω ω o ecore : cos Φ j uu uu YY e ω ω ω 4. Cocluso reréseo rérque d u sgl sous fore de rocessus gééreur cosue ue lerve u éhodes clssques de clcul de secre d u sgl. Ue lco ore des rocessus gééreurs es l defco odélso de sgl, e uss l coresso de sgl.

34 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. 7 ESTIATIO DE A COVAIACE objecf es de déerer l foco d uocovrce, oée uss souve, d u sgl léore ou s à rr de l séquece { } des échllos du sgl. Ergodcé à cour ere éhode d eso de l oee e de l covrce l lus coure So u rocessus léore à TD. hohèse d ergodcé oees ssques oees eorelles codu u forules suves d eso de l oee e de l foco d uocovrce : * ˆ ˆ so, ds le cs d u rocessus réel : > < ˆ ˆ es le obre de os d observo de e do êre le lus élevé ossble * rerésee l cojuguso colee es le rocessus ceré cs réel : ˆ Ergodcé à log ere orsque le obre de os du sgl es élevé, l eso r ergodcé de l uocovrce eu er coe de l oee our effecuer u recerge du sgl, e corrger l orlso du suor de clcul : * ˆ ˆ so, ds le cs d u rocessus réel : > < ˆ ˆ es le obre de os d observo de e do êre le lus élevé ossble * rerésee l cojuguso colee es le rocessus ceré cs réel : ˆ Clcul drec Cs réel Ds l éblssee des dfféres résuls, o suosé les covrces coues. E rque, ces derères so esées à rr des échllos do o dsose. De lus, o e dsose souve que d ue seule rélso du rocessus. As, our ober les reères vleurs { },, de l uocovrce, o eu ulser les éhodes suves : éhode des corrélos o do redre <<, s quee o eu ller jusqu à < D vec : D

35 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. 8 Cee fço de rocéder gr que l rce de covrce esée, défe r DD, es ue rce de Toelz défe osve. le crcère Toelz d ue rce es éress cr l uorse l léeo rde, es réel, de l verso rcelle Pour ou veceur, o eu écrre que D D DD. O e coclue, e o que le sclre D D es l soe des odules u crré des cooses de D, e es doc osf. Cee éhode reve à border l séquece observée, à droe e à guche, r zéros. So covée jeur es doc d rodure des doées fusses, e l occurece des, de r e d ure des doées observées. Qud l lle de l observo es fble, o lu réfère l éhode des covrces. éhode des covrces o do redre <<, s quee o eu redre / < D vec : D rce de covrce esée, défe r DD, rese be eedu osve s elle erd lors so crcère Toelz écessre à cers lgorhes rdes d verso rcelle. Il ese ures vres de cosruco de D, suv que l o borde à droe ou à guche r des zéros. éhode des covrces vre bordge à droe << Tquee / < Pr eele : D D vec : D Il es évde que oues ces éhodes doe sesblee les êes résuls s >>.

36 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. 9 ESOUTIO DU SYSTEE D EQUATIOS DE YUE-WAE PA IVESIO ATICIEE V v vec : : : V v : V V V V V V V vec : V V b α vec : V α α α α e b Coe : V V V α, o e dédu : α V Pus o obe les rères,,, : V α α α

37 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques AGOITHE DE EVISO I ésoluo érve du ssèe de Yule-Wler éhode de résoluo des équos de Yule-Wler r verso rcelle es coûeuse e es clcul e eu egedrer des erreurs uérques dues à l verso rcelle. lgorhe de evso rocure l êe soluo que l éhode drece r verso rcelle s vec u lgorhe érf es réel. V qu eu uss s écrre : ou ecore : our : V s s re e rce de l lgorhe de evso, qu ere de résoudre effccee les équos récédees, reose sur ue éro sur l ordre du odèle :, O écr doc les équos récédees e lç u dce [ ] sur rères e l o v érer sur our : es soluos à l ordre : our : [ ],, : [ ],..., V. 3 v e V, sgf que l o ulse le odèle à [ ] [ ] s [ ] s [ ], [ ] [ ] [ ] s s [ ] rocédure de evso es l suve : o ére de, re V so ulsées our résoudre l équo du odèle d ordre : V re : [ ].,, V[ ] Ilso [ ] [ ]. ρ [ ] V[ ] [ ] V ρ V 3. [ ] [ ] 4. our : ever à. que < [ ] [ ] [ ] ρ [ ] s ρ [ ] s e veceur résul e le sclre V cherchés so obeus e f d éros : [ ] [ ] [ ] so :,, e : V V[ ]. s

38 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques lgorhe de evso eu êre écr s : éro de,,, Pour : { } V Ilso ρ V V ρ V Pour : : ρ ρ s s s e veceur résul e le sclre V cherchés so obeus e f d éro.. 3

39 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. 3 AGOITHE DE EVISO II ésoluo érve du ssèe de Yule-Wler P qu eu uss s écrre : v rce de covrce es ue rce de Toelz. So ere géérl désge l uocovrce du sgl. e rce de l lgorhe de evso reose sur le clcul de l soluo u rg à rr de l soluo u rg. Pour cel, o doe l oo suve où l ordre, oé e dce [ ], do êre éré de à : [ ] P es l ussce du bru qu eu êre vu coe l erreur qudrque d eso u rg [ ] [ ] [ ] [ ] P vec [ ] E os : [ ] B r e [ ] F r B e F sgf Bcwrd e Forwrd o eu écrre le ssèe de Yule-Wler de fço lus cocse : [ ] F P so, u rg : [ ] F P E ss u rg, l rce de covrce s écr : F F B B r r r r O : [ ] F B F B B F P r r r vec : [ ] [ ] [ ] F O uss : [ ] B F B F F B P r r r vec : [ ] [ ] [ ] B Pr cobso lére : [ ] [ ] F B B F B F F P P r r

40 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. 33 E chosss le coeffce el que : [ ] F B P r, o obe l soluo u rg qu s écr e foco de l soluo u rg : [ ] [ ] [ ] B F F F F B P P P r [ ] P é osf l rerésee ue erreur qudrque, l derère équo ore que les coeffces so de odule féreur à. es coeffces ore le o de coeffces de réfleo. Algorhe de evso Vleurs les : P [ ] Pour,, : { [ ] [ ] [ ] P Pour,, : { [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] } [ ] [ ] P P } Vérfco à l ée [] [] [] [ ] P P

41 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. 34 ETHODE DE BUG ésoluo érve du ssèe de Yule-Wler vec core de sblé éhode de résoluo des équos de Yule-Wler r verso rcelle ou r l lgorhe de evso eu codure à ue soluo d u flre o sble. éhode érve de Burg our l résoluo des équos de Yule- Wler gr u flre sble coe soluo, êe s cee soluo es s ecee deque à l soluo drece ou de evso des équos de Yule-Wler soluo rochée - du f de l core de sblé jouée u ssèe de Yule-Wler - s oujours sble. P qu eu uss s écrre : v rce de covrce es ue rce de Toelz. So ere géérl désge l uocovrce du sgl. dée de Burg fu de clculer drecee à rr des doées ue esée des coeffces de réfleo e ce, ss sser r le clcul des covrces. O e dédu, s écessre, r l relo de evso : [ ] [ ] [ ] B F F F F B P P P r les coeffces du odèle. Pour cel, o rer de l eresso de l erreur de rédco u rg : es dscre [ ] [ ] F F ε errreur drece F Forwrd [ ] [ ] B B ε errreur rérogrde B Bcwrd E uls les coeffces de réfleo, o : B F B F F ε ε ε e : F B F B B ε ε ε Pour rouver u eseur de, Burg roose de ser r ror à, l soe des erreurs : E B F ε ε. E r des équos récédees, o bou à ue équo du d degré e qu, r ulo de s dérvée, codu à : [ ] E E B F F B ε ε ε ε Ds l lgorhe de clcul des coeffces, les esérces oees ssques so relcées r des oees eorelles ergodcé. Pour u rocessus A d ordre, o :

42 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. 35 éhode de Burg Vleurs les : P,,, B F ε ε Pour,, : { B F F B ε ε ε ε Pour,, : { [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] } [ ] [ ] P P,,, B F F ε ε ε,,, F B B ε ε ε } Ue roréé de l lgorhe de Burg es de grr que les esées de coeffces de réfleo so de odule féreur à.

43 Tree du Sgl TP. Sgu. Ssèes TP. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques II. SIGAU AEATOIES ESTIATIO DE A COVAIACE Fre vrer les rères e our vor leur fluece our chque éhode. : obre d'échllos du sgl observé c u bru blc : Feêre coulsse à l'éreur de l'ervlle ou bord à guche ou à droe: < OIGI : : 8 :.. : whe :.5 b :.5 oe : l foco hcd "whe" rodu u bru blc ceré de dsrbuo ufore : les rélsos so réres uforée ere -.5 e b.5. OYEE ET COVAIACE THEOIQUES héore d qu'ue lo ufore sur [,b] our oee e vrce : : σ : σ 'lude crêe c du sgl eu êre dédue de σ : c : c : b σ c.5 c : CFFT BUIT BAC. FFT [BUIT BAC] TP.

44 Tree du Sgl TP. Sgu. Ssèes. ESTIATIO DE A OYEE ET DE A COVAIACE PA EGODICITE. oee : :. Covrce : r : Λ : CFFT r : Λ.78 COVAIACE BB DSP BB FFT [COVAIACE BB] r Cocluso : 7 Vrce du bru blc : σ : 7 σ. BUIT BAC DE OYEE ET DE VAIACE σ A rr de l foco hcd "whe", fbrquer u bru bru blc de lo de dsbuo ufore de oee doée e de vrce σ doée. Vérfer à l'de du clcul de l oee e de l covrce r ergodcé.. Foco BruBlc,,sg : AZ : r : subr r,,,, BruBlc,, sg : :.. : sg : 6 : BruBlc,, sg Y : CFFT 6. BUIT BAC.78 FFT [BUIT BAC] Y 'lude crêe c du sgl eu êre dédue de σ : c : sg c 4.43 TP.

45 Tree du Sgl TP. Sgu. Ssèes VEIFICATIO. Eso de l covrce r ergodcé :. oee : :. Covrce : r : Λ : CFFT r : Λ lude : lude 5.89 COVAIACE BB.3 DSP BB FFT [COVAIACE BB] r Cocluso : Vrce du bru blc: σ : σ TP. 3

46 Tree du Sgl TP. Sgu. Ssèes TP AEE. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques I. SIGAU DETEIISTES U sgl à TC ser rogré coe ue foco s, réel U sgl à TD ser rogré coe ue foco s, eer, ou eu coe u veceur s. Covoluo dscrèe c de sgu cusu Covoluo d'ue rso Γ vec ue ore Π C : :.. C Γ : Φ Π : f C s : Γ d : Π f > C c : s d Γ d c Covoluo cusle Foco covcusl, h de covoluo cusle de sgu e h covcusl, h legh legh h for.. h f < oherwse TP. 4

47 Tree du Sgl TP. Sgu. Ssèes II. SIGAU AEATOIES ESTIATIO DE A COVAIACE. ESTIATIO DE A COVAIACE PA A ETHODE DES COEATIOS : F, j : :.. f j f j < j oherwse oherwse ul : : sc, ul D : r,, F AZ : r : subr r,,,,. Covrce : r : Λ : CFFT r : Λ. rce de Covrce : : rce s cosrue le crcère Toelz.78 COVAIACE BB DSP BB FFT [COVAIACE BB] r Cocluso : Vrce du bru blc: σ : σ TP. 5

48 Tree du Sgl TP. Sgu. Ssèes 3. ESTIATIO DE A COVAIACE PA A ETHODE DES COVAIACES : :.. : subr,,,, AZ : r : subr r,,,, 8 F, j : D :. Covrce : r : Λ : CFFT r : Λ. rce de Covrce : :.69 COVAIACE BB DSP BB FFT [COVAIACE BB] r Cocluso : Vrce du bru blc: σ : σ [3-VBD]. ESTIATIO DE A COVAIACE PA A ETHODE DES COVAIACES : Vre Bordge à droe : :.. : subr,,,, AZ : r : subr r,,,, 8 F, j : D : r,, F. Covrce : r : Λ : CFFT r : Λ. rce de Covrce : :.69 COVAIACE BB DSP BB FFT [COVAIACE BB] r Cocluso : Vrce du bru blc: σ : σ TP. 6

49 Tree du Sgl TP. Sgu. Ssèes III. SYSTEES STOCHASTIQUES POCESSUS GEEATEU DE SIGA AEATOIE : A So le flre A d'ordre ecé r u bru blc : : Hz : z z O désre que l foco d'uocorrélo φ de l sore so elle que : φ : 6 φ : 3 φ : Déerer les coeffces e du flre foreur A s que l vrce V du bru blc à l'erée du flre ere d'vor φ désré. O résoudr le ssèe de Yule-Wler r verso rcelle. O vérfer le f que ossède be l foco d'uocovrce escoée e l clcul r l éhode r ergodcé, rès vor déeré l sore sur os.. ESOUTIO DU SYSTEE DE YUE-WAE v PA IVESIO ATICIEE : :.. j :.. :.. AZ : : subr,,,,,,,, φ : subr φ r : subr r,,,, Sse du veceur uocorrélo φ : φ : 6 φ : 3 φ : φ 6 3 TP. 7

50 Tree du Sgl TP. Sgu. Ssèes Créo de l rce : : φ, j j Eele, our, éservo du veceur ce 'es s ue lso e Ilso du veceur b : φ φ φ φ φ φ φ φ φ : b : φ Clcul du veceur e de V : b : b 3 : φ b V : φ φ V 4 :.. : V ésul : du veceur, l e fu reer que les rères cherchés :,... e gorer : CACU du BUIT BAC de VAIACE V sur os BruBlc,, V : AZ : : subr,,,, : : : BruBlc,, V : TP. 8

51 Tree du Sgl TP. Sgu. Ssèes 3. CACU de l EPOSE du FITE A u BUIT BAC CETE de VAIACE V AZ : : subr,,,, :.. : : VEIFICATIO : CACU de l FOCTIO d'autocovaiace r EGODICITE. Sgl d'erée : AZ : r : subr r,,,,. oee : :. Covrce de : :.. r : r à rrocher de : V 4 r. Sgl de sore : AZ : r : subr r,,,,. oee : :. Covrce de : :.. r : r à corer vec : φ Cocluso : vec u ordre lus or our le flre A, les résuls sere ecore lus roches des résuls escoés. 6 3 TP. 9

52 Tree du Sgl. Shèse du sgl. Idefco. Shèse du sgl. Idefco Shèse du sgl I. SIGAU DETEIISTES gééro d u sgl déerse eu êre rélsée à rr :. de l eresso lque forule du sgl. d u odèle eele : odèle Auoégressf A. d ue ble de loo-u fcher éore. d ue Trsforo héque verse Fourer, lce... Eele : Gééro d u sgl susoïdl ss hse le. Eresso lque : Gééro d u sgl susoïdl de fréquece f e d lude A eresso à Tes Cou s écr : Asπf F e sgl à Tes Dscre es gééré e se do échllos r érode du sgl à géérer. f f F es l fréquece d échlloge. T Elle do vérfer l codo de Sho our créer le sgl vec ue boe résoluo : grde fréquece e c l seule! coeue ds le secre de. AsπfT Z es l dce, géérlee eorel, du sgl. F f cr f es l lus. odèle : Gééro d u sgl susoïdl de fréquece f e d lude U odèle A d ordre eu êre ulsé our géérer u sus e oue sue rgooérque : déosro r récurrece, le sgl é récursf obeo du odèle r defco r eele α β vec : coeffces : α AcosπfT β hse le lso : As π ft s o veu ue hse le o ulle hse le ou As π ft s o veu ue hse le ulle e où : rerésee le sgl susoïdl à l s T.. Tble de loo-u : Fcher éore. Trsforo héque verse lce : Gééro d u sgl susoïdl de fréquece f e d lude πf T s πf à l de de bles πf.