Traitement du Signal 2007 / 2008 TRAITEMENT DU SIGNAL

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1 Tree du Sgl 7 / 8 TAITEET DU SIGA EISTI Gu Alouz

2 Tree du Sgl. Prébule TAITEET DU SIGA Oéros - Algorhes Pl du cours. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques SIGAU DETEIISTES Covoluo - eose Iulsoelle. Foco de Trsfer. Décovoluo. Corrélo : Foco d ercorrélo - Foco d uocorrélo SIGAU AEATOIES léore e héore du sgl Vrbles Aléores VA dscrèes e coues. oe d ordre. o de robblé cojoe de VA. Idéedce de VA. Desé de robblé. Foco de réro. oee d ue VA. Vrce d ue VA. Covrce de VA. Auocovrce vrce d ue VA. Corrélo de VA. Auocorrélo d ue VA. Eso de l desé de robblé os de robblé de VA usuelles o de Beroull. o bole. o de Posso. o ufore. o orle. os de legh, de lce, de Cuch Théorèe cerl le Processus léores - Processus léores à Tes Cou e à Tes Dscre Trjecore d u Processus Aléore. oee d u Processus Aléore. Foco d Auocovrce d u Processus Aléore. Foco de Covrce de Processus Aléores Soré du d ordre u ses lrge des rocessus léores à TC e à TD Foco d Auocovrce d u Processus Aléore SS. Foco de Covrce de Processus Aléores SS. Desé Secrle de Pussce DSP d u Processus Aléore. Bru blc. Ergodcé. Soré e ergodcé. Forule du flrge odèles de rocessus léores e rocessus de Weer. e rocessus A. e rocessus A. e rocessus AA. e rocessus AA. e rocessus de Bo e Jes BJ. e rocessus rove e odèle d E AEE SYSTEES STOCHASTIQUES Trssso d u sgl léore ds u ssèe lére ulso des rsforées Vleur oee de l sore. Iercorrélo. Auocorrélo e DSP Desé Secrle de Pussce Processus gééreur d u sgl léore : flres foreurs du er ordre Processus gééreur à Tes Dscre TD du er ordre. Processus gééreur à Tes Cou TC du er ordre Processus gééreurs : A, A, AA Sgl A. Sgl A. Equos de Yule-Wler. Sgl AA Cocluso ESTIATIO DE A COVAIACE éhode r ergodcé. éhode des corrélos. éhode des covrces ESOUTIO DU SYSTEE D EQUATIOS DE YUE-WAE PA IVESIO ATICIEE AGOITHE DE EVISO ETHODE DE BUG ésoluo du ssèe de Yule-Wler ésoluo du ssèe de Yule-Wler. Gu Alouz

3 Tree du Sgl. Prébule. Shèse du sgl. Idefco Shèse du sgl SIGAU DETEIISTES Eresso lque. odèle. Tble de loo-u. Trsforo héque verse SIGAU AEATOIES Foco odulo. Gééro d u bru blc de lo ufore, de legh, de lo orle. Foco OU eclusf Idefco ODEES A, A AA Processus A d ordre elos ere coeffces du odèle e covrces Processus A d ordre elos ere coeffces du odèle e covrces cs elos ere coeffces du odèle e covrces cs quelcoque Equos de Yule-Wler Processus AA d ordre erques Alco : Eso du secre d u rocessus A Alse secrle - Eso elos ere coeffces du odèle e covrces esées cs elos ere coeffces du odèle e covrces esées cs quelcoque Eso du secre d u rocessus A éhode hue résoluo 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Crcérso TASFOATIOS FEQUETIEES Trsforo de Fourer Dscrèe TFD Secrogre - Trsforo de Fourer à Cour Tere TFCT Trsforo de Wger-Vlle odelees Trsforo de Hlber AAYSE CEPSTAE Cesre de l réose d u flre lére Alco : Tree de l role Coeffces cesru AAYSE PC Codge Prédco ére éhode d uocorrélo éhode de covrce.

4 Tree du Sgl. Prébule Eso AAYSE SPECTAE EEETS DE A THEOIE CASSIQUE DE ESTIATIO Bs e vrce d u eseur Cs oovrble Cossce d u eseur THEOIE CASSIQUE DE ESTIATIO SPECTAE Eseurs de corrélo Eso de l uocorrélo Eso de l ercorrélo Eseur de DSP : éhode du érodogre Pérodogre Pérodogre oeé Eseur de DSP : éhode du corrélogre Eso de l DSP à rr du odèle A du sgl Théore odere de l eso secrle bsée sur les rocessus gééreurs de sgl Equos de Yule-Wler 4. Codoee - Flrge. Déeco CODITIOEET - FITAGE Prérees se e fore, lfco, feêrge, flrge... Précceuo e déscceuo DETECTIO Flrge dé Poso du roblèe. erques. orlso. Soluo. Cs rculer or. erque Tree de l role 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df ITODUCTIO Objecf. oes. odélso héque. Doées CODAGE - DECODAGE ODUATIO - DEODUATIO res. Cosello. Dgre e oel... odulos logques odulo r ullco. odulo d'alude A. odulo Bde érle Uque BU. odulo de Fréquece F. odulo de Phse P odulos uérques es odulos d'ulsos lude, durée, oso, desé. odulo d'ulsos codées IC. odulo. Trssso du sgl uérque : Bde de bse, odulo AS, FS, PS, DPS Codes déeceurs e correceurs d'erreurs b de ré, codes à rés erelcées, codes de Hg, codes cclques, codes cous.

5 Tree du Sgl. Prébule Flrge ol u ses des odres crrés EGAISATIO Eglso Equos de Weer-Hof ETACTIO DE SIGA IEGE DAS DU BUIT Prce d orhogolé Equos de Weer-Hof FITAGE ADAPTATIF Flre df de Wdrow 6. Prédco Prédco ssge - Flrge - Prédco PEDICTIO IEAIE Vrce le Equos de Yule-Wler erque 7. Flrge ol OIDES CAES odres crrés drec Algorhe S es Squres Eele odres crrés récursf Algorhe S ecursve es Squres Problèe : Idefco d u cl de couco odres crrés oes Algorhe S es e Squres 7. AEE FITAGE DE WIEE Algorhe du grde odres crrés oes Algorhe S es e Squres FITAGE DE AA Eele Flre de l récursf. 3

6 Tree du Sgl. Prébule AEE 8 Aee. Décso Clssfco, ecossce des Fores CAS BI-CASSE Cs où les desés de robblé du veceur d observo codoellee à chque clsse so coues Foco de coû Tes du ror de vrseblce Cs où les desés de robblé du veceur d observo codoellee à chque clsse e so s coues ègle du Courbe CO CAS BI-CASSE AVEC O-DECISIO Cs où les desés de robblé du veceur d observo codoellee à chque clsse so coues ègle de décso Tes du ror de vrseblce Cs où les desés de robblé du veceur d observo codoellee à chque clsse e so s coues. 4

7 Tree du Sgl. Prébule Bblogrhe [] F. Auger «Iroduco à l héore du sgl e de l foro» Tech [] G. Blche /. Chrb «Tree uérque du sgl : sulo sous lb» Herès [3]. Bouve «Tree des sgu our les ssèes sor» sso [4] J.. Brosser «Sgl e couco uérque» Herès [5]. Chrb «Elées de héore du sgl : secs léores» Ellses [6] P. Duvu «Tree uérque du sgl» Herès [7]. Gevers /. Vdedore «Processus sochssques : eso e rédco» UC [8]. u «Tree uérque des Sgu / Aeler de TS» Duod / PP [9] Y. Thos «Sgu & ssèes léres : cours / eercces» sso [] F. Truchee «Tree lére du sgl uérque» Herès UC : Uversé Cholque de ouv PP : Presses Polechques odes. 5

8 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques I. SIGAU DETEIISTES COVOUTIO - EPOSE IPUSIOEE I U ssèe lére sore SS es crcérsé r s I: TC: h TD: h h h réose d u SS d erée s écr : TC: h * vec l relo de covoluo * : TC: SS SS TD: h * h τ τ dτ TD: h FOCTIO DE TASFET FT G colee FT d u ssèe crcérse, de fço dule à l I, u SS: TC: H ν TD: H z ν H ν Y ν SS z H z Yz SS réose Y d u SS d erée s écr : TC: Y ν H ν ν TD: Y z H z z vec l relo où u désge dfféree u sgl, ou h : ν TC: U ν TF[ u ] u e π d TD: [ ] z TZ u U u z DECOVOUTIO : Déero de l éose Iulsoelle u h h*u h u : décovoluo : h h. u u vec : u e h cusles e u. COEATIO Foco d ercorrélo TC ou TD de sgu, TC ou, TD : TC τ τ dτ TD TC TC couvé TD TD Foco d uocorrélo TC TC ou TD d u sgl τ τ. TC ou TD : dτ TD le our TD le our TC TC TC re TD TD re

9 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques EEGIE - PUISSACE - APPOT SIGA SU BUIT - Eerge d'u sgl cs colee: TC E d TD E [ué: le Joule] cs sclre: TC E d TD E E Pour u sgl à éerge fe sgl érodque r eele o réfèrer ulser l ussce oee our crcérser le sgl : - Pussce oee d'u sgl : TC T P l d TD P l T T T [ué: le W] cs sclre: TC T P l d TD T T P l T P [ué: le décbel db] P db log P log P E.: Γ l éerge dverge E s l ussce oee du sgl rese fe : P l l l - or Sgl/Bru S :. s sgl ule e b bru, so sgu TC cusu, sclres, de durée T. s sgl ule e b bru, so sgu TD cusu, sclres, de échllos T [ué: le décbel db] TC d P TD SdB log P T log P db b db b d P P S db log log P P db b db b P b b Ds le cs de bru léore o ergodque, l fu redre s oee ssque esérce luô que s oee eorelle seule rélso du bru e suff s : or des ussces sées à l s T TC ou TD : Cs léore TC T SdB TD log db b db E[ b T ] log S db log db b E b log b [ ] b db erque :. u S de db rdu u ecelle or Sgl/Bru le bru es rejeé. u S de db rdu u or Sgl/Bru l dssble le bru es couver, l es «églgeble». u S de db rdu ue êe ussce ere Sgl e Bru. II. SIGAU AEATOIES Ds de obreu ssèes réels, les sgu à rer e euve êre odélsés de fço déerse. C es le cs r eele des sgu de élécoucos qu, r ure, e so s cous de fço cere, so ls e véhculere ucue foro quse. C es uss le cs de obreu sgu qu rovee de esures ou d observos bruées, qu fo que le sgl réellee observé es ue fore corroue du sgl voulu. De ce f, de obreuses oéros de ree du sgl esées our des sgu déerses dove êre reesées e osées e foco de l foro do o dsose à roos du sgl léore à rer.. léore e héore du sgl Ds beucou d eéreces rques, les héoèes observés ds des codos ree deques seble réseer des vros révsbles. O d que ces héoèes so léores. Pr eele, le bru de fod d u réceeur rdohoque, ou ecore le sgl soore rodu r u coeur de rcules so des eeles de sgu léores. Ds le cs rculer d u ssèe de couco, o seulee le bru de fod, s uss le essge és r l source, résee u crcère léore our le desre. Il e es de êe our u sgl de role qu e eu êre décr de fço ece r ue eresso lque, êe e l bsece de bru..

10 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques Pour éuder l évoluo des héoèes léores, o recours à des odèles robblses. Ceu-c ee de reréseer le sgl observé r ue flle de Vrbles Aléores VA deées r le es. Chcue de ces VA décr l sec cer du héoèe à u s doé. Ue elle flle ore le o de rocessus léore. U rocessus léore eu êre à TD Tes Dscre ou à TC Tes Cou.. Vrbles Aléores Ue VA es ue lco qu ssoce à chque éreuve, rélso ossble d ue eérece, ue vleur rculère : ω ω : éreuve Ue ge flère ous es doée r l ro des vleurs à 6 ds ue eérece de lcé d u dé à 6 fces. VA dscrèes e coues Ue VA es dscrèe ou coue suv que l eseble des vleurs ossbles de l eérece léore es resecvee dscre ou cou. VA dscrèe : u eele du cs dscre es doé r l observo du obre de ersoes résees ds ue fle d ee : les seules vleurs ossbles so les eers osfs ou ul. VA coue : Pr core, le relevé de l vesse des véhcules sur ue uoroue four u eele de VA coue les vleurs ossbles e les obres réels cors ere e 3 /h. VA dscrèe lo de robblé d ue VA es colèee crcérsée r l eseble déobrble {,,,, } des vleurs ossbles e r l sue des vleurs : Z P qu rerésee l robblé our que so égl à l élée e. Ces vleurs vérfe : oe d ordre de l VA : c es le obre o léore déf r : [ ] E cs : : o l esérce héque ou oee ssque de l VA : [ ] cs : E : o le oe d ordre de l VA : [ ] E es oes d ordre e suffse géérlee à crcérser ue VA. Ceed, o eu rfos vor recours u oes d ordre suéreur : e. 4 : oe d ordre 4 : uross. o de robblé cojoe de VA e Y : b des vleurs Y qu vérfe : Y, e, Elle es crcérsée r les esebles déobrbles {,,,, } e {, b,, b, } ossbles de e Y e r l sue des robblés :, P, Y b Idéedce de VA e Y : Y VA e Y so déedes s e seulee s : P, Y b P P Y b. 3

11 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques VA coue Desé de robblé VA red ses vleurs ds le cors de réels, e s lo es crcérsée r ue foco elée desé de robblé que l o oe vec réel, e qu ere le clcul de l robblé our d rer à u ervlle, b r l relo :, b P d b foco es s écessree e vérfe l relo de orlso : d Foco de réro foco de réro F d ue VA es défe r : O l relo ere desé de robblé e foco de réro F : F u du oe d ordre de l VA : c es le obre o léore déf r : E [ ] cs : d : o l esérce héque ou oee ssque de l VA : [ ] cs : F E d : o le oe d ordre de l VA : [ ] E d es oes d ordre e suffse géérlee à crcérser ue VA. Ceed, o eu rfos vor recours u oes d ordre suéreur : e. : 3 : oe d ordre 3 : sewess;. 4 : oe d ordre 4 : uross. o de robblé cojoe de VA e Y De fço logue, elle es crcérsée r s desé de robblé,, qu, r l forule suve, uorse le clcul de l robblé our que le coule de VA, Y ree à u doe du l : P, Y Y, dd foco Y, es s écessree Y e vérfe l orlso :, dd Idéedce de VA e Y VA e Y so déedes s e seulee s :, VA dscrèes e coues Y Y Y. oee d ue VA Cee grdeur es déerse E oee ssque, esérce héque ou ecore oe d ordre de [ ] oee d ue VA rdu le cere le cere de grvé des éreuves.. 4

12 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques σ d ue VA. Vrce Cee grdeur es déerse σ vr E E E E E effe : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] E E E E E E E E E E vrce es ue qué oujours. Elle eu s erréer coe l esure des flucuos de l VA uour de s oee : lus elle es grde, lus les vleurs de so dsersées uour de E [ ]. E héore du sgl, l vrce ue sgfco suléere : elle s errèe coe l ussce des flucuos qudrques de uour de s oee. vrce d ue VA rdu s ussce, s dserso. Elle es lée à l lude des vros de l VA. oee e vrce suffse à décrre de obreu héoèes léores de fço suffse. E[ b] E[ ] b O les roréés : où : e b so des colees o léores. vr[ b] vr[ ]. Ecr-e σ d ue VA Cee grdeur es déerse σ vr écr oe [ ] de VA e Y Cee grdeur es déerse So [ ] e Y Y E[ Y]. Covrce E cov, Y E E Y E Y E Y E Y E E Y [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. Auocovrce d ue VA vrce Cee grdeur es déerse [ ] E[ ] E [ ] σ [, ] E E[ ] cov. Corrélo ρ de VA e Y Cee grdeur es déerse cov[, Y ] [ ] vr[ Y ] σ σ ρ vr O l roréé, ssue de l églé de Schwrz : ρ Décorrélo de VA e Y : s cov [, Y ] : o d lors que les VA e Y so décorrélées ρ O ore que s VA e Y so déedes lors elles so décorrélées. s e géérl, l récroque es fusse., Y déedes, Y décorrélées s, Y décorrélées, Y déedes. Auocorrélo ρ d ue VA Cee grdeur es déerse cov[, ] vr ρ σ [ ]. Eso de l desé de robblé o des grds obres P eu êre roché de fço effcce r le ror : P. 5

13 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques vec :. P : robblé d rece de l VA à u ervlle. : obre de os, de résuls d eérece observés ds l ervlle. : obre ol de os, de rélsos ossbles.. : fréquece relve O eu lors eser l desé de robblé de u o, so r : l vec :. : desé de robblé de u o. : obre de os, de résuls d eérece observés ds l ervlle. : obre ol de os, de rélsos ossbles.. logueur de l ervlle P d e s o suose que es u ervlle rès e uour du o E effe, o : d es rovee égl à : l d où : l rocédure our eser l desé de robblé u o eu lors suvre l lgorhe :, le ere :. O effecue ue eérece de logueur. O roe l ervlle des vleurs obeues e P sous-ervlles I, I,, I P de logueur resecve l, l,, l P uour des os,,, P. E géérl, o chos des sous-ervlles de êe logueur e es rs u leu du sous-ervlle I. E rque P e désse s /. 3. Ef, o ese l desé de robblé u o r 3. os de robblé de VA usuelles o de Beroull lo à vleurs VA eu redre vleurs e b vec les robblés resecves I l e I vec. b b b desé de robblé es doée r δ δ b : o de Beroull oee : E[ ] bb oe d ordre : E [ ] b b Vrce σ : σ E[ ] E [ ] b b b b b Eele de VA de lo de Beroull : ésul le ou fce du lcer d ue èce. b b o bole So u évèee e ssocé à ue eérece. Ce évèee ue robblé de surver. O rerodu fos l eérece e o s éresse à l VA qu doe le obre de succès de l évèee e u cours des esss. desé de robblé es doée r oee : E[ ] Vrce δ vec C e σ : σ E[ ] E [ ] C!!!. 6

14 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques Eele de VA de lo bole : O effecue rges vec rese d ue boule ds ue ure coe blches e boules ores. évèee es le rge d ue boule blche. o de Posso desé de robblé es du e : δ vec oee : E[ ] λ Vrce σ : σ E[ ] E [ ] λ λ λ Eele de VA de lo bole : O effecue rges vec rese d ue boule ds ue ure coe blches e boules ores. évèee es le rge d ue boule blche. o ufore sur [, b] eseble des vleurs ossbles de l VA se rédu à l ervlle [ b] d c ervlle [ c, d ] [, b] es égle à. b O e dédu que s desé de robblé es cose e vu b b b b e! B boules B boules, e l robblé de d rer à u sur [ b] oee : E[ ] d oe d ordre : E[ ] Vrce b σ : σ E[ ] E [ ] Eele de VA de lo ufore : Gééro d ue VA Y ufore sur [ b] b, e lleurs: o ufore b b d b Erreur d rrod ds les clculs bru de qufco ufore., Y b b b 3, à rr d ue VA ufore sur [ ] : o orle gussee uérquee, lus de 99% des vleurs de l desé de robblé de l VA obe ds l ervlle 3 σ, 3σ σ, σ doe 95% des vleurs de 4 σ, 4σ [ ], d ervlle de cofce [ ] desé de robblé es défe r oee : E [ ] σ : [ ] [ ] σ, [ ] 3σ σ e : o orle σ π σ π our 99.9%. Vrce E E Eele de VA de lo orle : Bru de fod ds les réceeurs. Gééro d ue VA Y orle, σ à rr d ue VA orle, σ : Y σ dsrbuo orle es lére, e elle es l seule lo our lquelle l équvlece ere déedce e o corrélo.. 7

15 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques os de legh, de lce, de Cuch e e o de legh o de lce o de Cuch Tbleu réculf o de dsrbuo de l VA Probblé Desé de robblé δ VA dscrèes Foco de réro F Γ oee σ Vrce Beroull, b bole, Posso λ C b, δ δ b Γ bγ b C δ C λ e! λ λ e! λ b δ Γ b b b b b b b λ e λ λ λ Γ! o de dsrbuo de l VA ufore sur [, b] Probblé Desé de robblé df d s Π b b b b lleurs orle,σ σ e σ π VA coues Foco de réro F u du vec s b s < > b s b erfc σ erfc π e d oee d b σ Vrce d b σ 4. Théorèe cerl le Chque fos qu u héoèe eu êre cosdéré coe l résule d u grd obre de cuses léores déedes, o eu résuer que ce héoèe su ue lo de dsrbuo orle: c es le héorèe cerl le. 5. Processus léores E héore du sgl, o éude le lus souve des grdeurs déed du es e do l évoluo seble révsble. écoue du so és r des véhcules qu sse sur ue roue ous doe ue ge cocrèe e flère d ue elle grdeur lors que le lcer d u dé es ue VA sque, déede du es. Pour les odélser, o ulse l oo de rocessus léore qu ssoce à chque éreuve ue rélso qu es lus ue vleur coe ds le cs des Vrbles Aléores, s ue foco du es. O déf u Processus Aléore PA coe ue lco qu, à chque éreuve ω, f corresodre ue foco du es. O ulse l oo, ω, ou lus usuellee,, ds lquelle o oe l déedce ssque vs-à-vs de l éreuve ω, à l eele de ce que l o f our les Vrbles Aléores que l o oe slee. Trjecore d u Processus Aléore U rocessus léore eu lors êre vu :. 8

16 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. so, our ue éreuve fée ω, coe ue foco du es que l o elle rjecore.. so, our u s fé, coe ue Vrble Aléore. élsos d u rocessus léore eele : rélsos d u sgl role dérche qu cosse à odélser ue eérece r luseurs focos, ce qu suose que le es usse se dérouler ue fé de fos à l deque, eu choquer, usqu e rque, o observe souve qu ue rélso, e ecore uquee sur u ervlle de es f! Cee fço de fre se rouve jusfée r l erece des résuls qu elle ere d ober. Processus léores à Tes Cou e à Tes Dscre Cers rocessus léores o des rjecores qu, ou e é révsbles, seble osséder des crcérsques coues. Processus Aléore à TD e à TC U Processus Aléore es à TC s le es réel. U Processus Aléore es à TD s le es Z eer. oee d u Processus Aléore Cee grdeur es déerse e déed de E oee ssque, esérce éque ou ecore oe d ordre de [ ] Foco d Auocovrce, d u Processus Aléore Cee grdeur es déerse elée uss Foco d Auocorrélo lorsque le rocessus es sore [ ] E[ ] E[ ], E * * *, E[ ] E[ ] où : E[ ] désge le rocessus ceré ds le cs de PA colees * : cojugué de s ceré Foco de Covrce, Y de Processus Aléores e Y Cee grdeur es déerse elée uss Foco de Corrélo lorsque les rocessus es so sores Y [ Y ] E[ Y ], E Y E[ Y ] * * *, [ ] [ ] ds le cs de PA colees Y E Y E Y Y * : cojugué de où : E[ ] désge le rocessus ceré s ou O se le u rocessus sores u d ordre u ses lrge SS cs le lus cour Y ceré. 9

17 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques Soré du d ordre u ses lrge des rocessus léores à TC e à TD oos : s Processus à TC :, τ,, s Processus à TD :, τ,, U Processus Aléore sore u d ordre u ses lrge SS es el que s oee e s vrce so déedes de l orge des es U Processus Aléore es SS s l vérfe les roréés e :. l oee du Processus Aléore SS es déede de : Z E[ ] Foco d Auocovrce Auocorrélo ds le cs SS τ d u Processus Aléore SS. l foco d uocovrce d u PA SS e déed que de [ τ ] E[ ] τ E τ s * [ τ ] E[ * ] τ :, τ E τ ds le cs de PA colees * : cojugué de o uss : [ τ ] E[ ] τ E τ s [ τ ] τ τ E τ es re τ ceré: τ E[ τ ] ceré: τ E[ τ ] o ef : * s ceré: τ τ * τ τ τ τ Sére heree : l foco d uocovrce ossède l roréé de sére herque τ τ ré de l uocovrce τ * τ ds le cs de PA colees * : cojugué de Posvé : l foco d uocovrce ossède l roréé de osvé our ou, our oue sue de vleurs réelles,,, * que l o eu écrre rcellee : A Η our ou, our oue sue de vleurs colees,,, A A A ds le cs colee rce es elée rce de covrce. O l roréé Eele our 3 les eoss, Η dque res. l rsoso e l rsoso-cojuguso Η ds le cs colee du f de l sére heree. : A A [ ] ds le cs de PA colee : Η A A * * * [ ] E rso de l soré du PA, l rce es elle que les rllèles à l dgole rcle so cosuées de eres égu. Cee fore de rce ore le o de rce de Toelz..

18 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques Foco de Covrce Corrélo ds le cs SS τ de Processus Aléores SS e Y. l foco de Covrce de PA SS e déed que de Y [ τ Y ] τ E s e * [ τ Y ] τ E ds le cs de PA colees * : cojugué de o uss : [ Y ] [ τ ] τ Y τ E τ s e τ E Y s e Y o ef : Y Y τ :, Y Y τ Y cerés : τ E[ τ Y ] Y Y cerés : τ E[ Y τ ] Y Y cerés : τ E[ Y τ ] τ Y Y Y τ τ * Y τ s e Y cerés : τ τ * Y τ Desé Secrle de Pussce DSP d u Processus Aléore Qud u Processus Aléore es sore u d ordre, o déf s ussce e s DSP de l fço suve : P E. Pussce P [ ] Y oee ssque de l ussce sée [ ] P E ds le cs de PA colees P ds le cs de PA cerés. Vleur effcce eff eff P. DSP S S f TF [ τ ] Théorèe de Weer che f es l fréquece DSP de es l TF de l foco d uocovrce de e o l TF de oe : S f es ecore oé f S. τ es ecore oé τ π fτ TC : S f τ e dτ S TD : f! τ es réel τ τ τ π fτ e τ es dscre Z τ Coe ds le cs déerse, le secre rerésee l réro, l loclso de l ussce le log de l e des fréqueces. Pr coséque, l ussce es doée r : TC : TD : S f df P S f df P ds le cs de PA colees / S f df / P / S f df / P ds le cs de PA colees.

19 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques Bru blc U bru blc B es u Processus Aléore sore SS à TC ou à TD, géérlee ceré, do l DSP S B f es Cose sur ou l e des fréqueces le o «blc» f doc référece à l luère blche do l ussce es rére uforée sur l eseble des fréqueces oques. Du f de l défo de l DSP, u bru blc es doc crcérsé uss r ue foco d uocovrce BB τ Bru blc de vrce S B σ : τ σ ulsoelle : δ τ Auocovrce : TC BB TD σ δ BB, S f TF BB τ σ Vrce TD DSP TC Vrce TD : DSP TC B [ ] f TF [ ] σ Aure défo : BB ses fble U bru blc es ue sue de VA o corrélées rélsos o corrélées ses for U bru blc es ue sue de VA déedes rélsos déedes. e ere «blcheur» ve de l loge vec l luère blche e rdu le f que oues les fréqueces so résees ds u bru blc vec l êe ussce. U bru blc à TD es rélsble e rque lors qu u bru blc à TC e l es s cr s ussce qu es égle à s foco d uocovrce e es fe Drc! o de dsrbuo : u rocessus blc eu vo ue lo de dsrbuo quelcoque : orle, ufore,... Ergodcé ergodse relvee à l oee e à l foco de covrce d u Processus Aléore U Processus Aléore eu êre vu coe ue ulude de rjecores corresod à u de rélsos de l eérece à l deque. Ceed, ds u grd obre de cs rques, ue seule rélso du rocessus es ccessble à l esure. U rocessus sore es ergodque s s oee e s foco d uocovrce euve êre obeues e effecu ue oee eorelle sur ue seule rjecore ue seule rélso de durée fe. As, les forules de oee e de foco d uocovrce euve s écrre à l de d ue oee eorelle : l T l T T T T T T T τ. l T l T T T T T T T τ * ds le cs de PA colees U rocessus ergodque es doc el que s oee ssque do ue eso es : T es égle à s oee eorelle do ue eso es : ˆ. T Dès lors :. l oee d u Processus Aléore PA ergodque es vue coe u offse déclge vercl u cours du es. l vrce, l ussce d u PA es lée à l lude du PA l lude de ses rélsos. Soré e ergodcé d u Processus Aléore ˆ qus olé des Processus Aléores recorés e rque ssf u codos de soré e d ergodcé. Cee hohèse codu u forules suves d eso de l oee e de l foco d uocovrce : où : ˆ T T T τ T τ ˆ τ T ˆ ds le cs de PA colees T T τ * τ T τ

20 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques Foco de covrce e foco de corrélo d u Processus Aléore Foco de covrce d u Processus Aléore deve foco de corrélo lorsque le rocessus es sore : Foco de Covrce, Y de Processus Aléores Y [ Y ], E e Foco de Corrélo Y de Processus Aléores [ Y ], E Y Y Y SS e Y SS Forule du flrge So u Processus Aléore SS, de foco d uocovrce τ e de DSP S f, erée d u flre lére de I h e de g colee H f : s es à TC, e s es à TD, Z, uss oé h Y h Y TC : TD : O ore que le rocessus Y e sore du flre lére es lu-êe u Processus Aléore SS. TC :. oee de Y Y H. Flrge de l DSP S f H f S f. Iersecre S f H f S f De êe à TD :. oee de Y Y Y es doc ceré s l es., Z Auocorrélo de Y τ h τ * h τ * τ Iercorrélo τ h τ * τ Y Y H. Flrge de l DSP S f H f S f. Iersecre S f H f S f odèles de rocessus léores PAs Y Y es doc ceré s Auocorrélo de Y YY Y l es. h * YY * h h * Y Iercorrélo Y e rocessus de Weer rocessus léore o sore Il odélse le ouvee Browe, ouvee rréguler de rcules croscoques souses à l go herque ds u flude. So ue des coordoées de l rcule, e chosssos l orge elle que. e ouvee de l rcule sur u ervlle de es suffse log es le résul d ue sére d ulsos rove d u obre or de collsos. Il es doc rsoble de eser que :. le héorèe cerl le s lque : le ouvee Browe es gusse : le délcee obé à ue lo orle. les roréés ssques du délcee sur u ervlle de es, τ so déedes de celles sur u ervlle de êe logueur, our u que ces ervlles e se chevuche s. De ère oque, le rocessus de Weer es doc déf r les codos suves :.. es gusse de oee ulle. es u rocessus à ccrossees déeds : so < < <, les VA,,,, so uuellee déedes déedes les ues des ures s ces VA so seulee o corrélées ere elles, le rocessus es d à ccrossees orhogou.. 3

21 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. 4 Ces roréés eree de se doer u odèle our le rocessus de Weer : W vec : W : bru blc, gusse, ceré oee ulle, e de vrce W σ Il résule ce odèle que :. [ ] E l oee d u rocessus de Weer es ulle:. W. [ ],, l l E l C W σ qu lque que l vrce de croî léree vec :, W C σ σ l vrce d u rocess de Weer croî léree: W σ σ cel sgfe que, lus o s éloge de l orge des es, lus l lude du délcee eu êre ore. Foco de Trsfer du flre de Weer es : W Hz Bru blc Flre de Weer z z W z z H [ ] W z W z z TZ z H u ôle juse sble e z. Il e s g doc s d u flre sore e s DSP es s défe. Srcee rl, le rocessus de Weer éé déf coe u rocessus cou : du u W où W es u bru blc gusse cou ceré. verso dscrèe du rocessus de Weer es ellée «rdo wl». e rocessus uo-régressf A ou ecore II Auoegressve rocessus léore sore W Y H z Bru blc ceré Flre A z z W z Y z H cf. Ssèes sochsques O édee : TZ Y W Y z W z z Y e rocessus à oee oble A ou ecore IF ovg Averge rocessus léore sore W Y H z Bru blc ceré Flre A b z z H cf. Ssèes sochsques O édee : TZ W b Y z W b z z W z H z Y e rocessus uo-régressf à oee oble AA Auoegressve wh ovg Averge PA sore W Y H z Bru blc ceré Flre AA z z b z H cf. Ssèes sochsques TZ Y bw Y b z z W z z Y z b z z W z Y z H

22 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques e rocessus AA Auo egressve ovg Averge wh eogeeous us rocessus léore sore Code coue Bru blc ceré U B z W Flre AA C z A z Y A z Y z B z U z C z W z vec A z z B z b z P C z c z olôe sble olôe sble Corree u récédes, ce odèle es s uree sochsque réose à u bru blc s l sore cobe ue coose uree léore réose à u bru blc e ue réose à u sgl déerse e cou ds des lcos de corôle, ce sgl es l erée de code. es olôes A z, C z so sbles e oques de coeff. de lus hu degré égl à e le olôe B z quelcoque. e rocessus de Bo e Jes BJ rocessus léore sore U Code coue A z B z Flre BJ Bru blc ceré D z C z Y A z z W B z b z B z C z Y z U z W z vec P A z D z C z c z D z dz Géérlso du rocessus AA vec les olôes A z, C z, D z sbles e oques de coeff. de lus hu degré égl à e le olôe B z quelcoque. olôe oque sble olôe oque sble olôe oque sble e rocessus rove e odèle d E cs des rocessus de rov léres sores à TD Processus rove W Bru blc ceré Processus rove U rocessus sochsque es rove s our ou s < < < <, l desé de robblé,,, codoelle l roréé suve : [ ] [ ] Doc, êe s luseurs vleurs éreures de l rélso du rocessus so coues, seule l lus récee ore de l foro sur l desé de robblé de. e rocessus de Weer décr lus hu es u cs rculer de rocessus de rov. S de lus, es ue séquece léore qu e eu redre qu u obre f de vleurs ossbles, l séquece es ue chîe de rov. U rocessus de rov lére sore es décr r le odèle d E : A W où :. es u rocessus sochsque vecorel :. A es ue rce crrée cose du f de l soré : A. W es u bru blc vrce Q vecorel ceré déed de : W. oee de : A j. Covrce C j, de j : C j, A C, j. Covrce C, j de j : C, j C, A vec : C, E [ ]. 5

23 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques Processus à reréseo rovee W Bru blc ceré Cobso lére Processus rove Y Processus rove e rocessus uquel o s éresse es rfos ue cobso lére sore bruée d u rocessus lére rove. A W U el rocessus es décr r le odèle d E : où : Y C V. es u rocessus sochsque vecorel :. Y es u rocessus sochsque vecorel : Y. A es ue rce crrée cose du f de l soré : A. C es ue rce cose du f de l soré : C. W es u bru blc vrce Q vecorel ceré déed de e o corrélé à V : W. V es u bru blc vrce vecorel ceré déed de e o corrélé à W : V. oee Y de Y : Y C j. Covrce C YY j, de Y j : CYY j, C A C, C δ j, j. Covrce C YY, j de Y C, j CC, A C δ YY j j :,. 6

24 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques AEE. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. III. SYSTEES STOCHASTIQUES. ESTIATIO DE A COVAIACE. ESOUTIO DU SYSTEE D EQUATIOS DE YUE-WAE PA IVESIO ATICIEE. AGOITHE DE EVISO ésoluo érve du ssèe de Yule-Wler. ETHODE DE BUG ésoluo érve du ssèe de Yule-Wler vec core de sblé. 7

25 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques III. SYSTEES STOCHASTIQUES U ssèe sochsque s elé busvee es u ssèe déerse ecé r u sgl léore.. Trssso d u sgl léore ds u ssèe lére ulso des rsforées So u ssèe lére à Tes Cou H s ou à Tes Dscre H z e de éose Iulsoelle h res. h ecé r u sgl léore, sore e ergodque, de vleur oee e de foco d uocorrélo : τ E[ τ ] où : res. à Tes Dscre : E [ ]. TC : H s Y TD : H z Y.. Vleur oee de l sore TC : O : * h TD : Y d où : E [ Y ] E[ * h ] E[ ]* h Y * h e : Y * h De êe : [ ] le ssèe es déerse Y Y Y * h * h * h * h cr : [ ] E Y * h De fço à lléger les écrures, o suoser ds l sue que res. e Y res. Y so des sgu léores cerés... Iercorrélo TC : [ τ Y ] E[ τ { * h }] E h u u du τ E τ [ τ u ] du h u τ u du τ * h τ h u E τ τ h τ * τ T Φ s H s Φ s Y TD : De êe : * TZ Φ z H z Φ z h Y. 8

26 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques.3. Auocorrélo e DSP Desé Secrle de Pussce TC : τ E[ Y Y τ ] E h u τ u du h v v dv h u h v E[ τ u v ] dudv τ h u h v τ u v dudv T so, e os : τ v λ s ΦYY s h u h v τ u v e su sv s λ λ YY s h u e du h v e dv e dλ u : Φ d où : Φ s H s H s Φ s e: YY τ dudvdτ τ τ τ τ T * * h h E re : s jω rége hroque, o obe l relo ere les Desés Secrles de Pussce DSP : Φ YY ω H ω Φ ω ecore oé : S f H f S f Y f : fréquece TD : De êe : huhv u v u v TZ ΦYY z H z H z Φ z e : Φ z H z H z Φ z YY TZ h * * h E re : jω z e rége hroque, o obe l relo ere les Desés Secrles de Pussce DSP : Φ YY ω H ω Φ ω ecore oé : S f H f S f Y f : fréquece. Processus gééreur d u sgl léore : flres foreurs du er ordre U sgl léore eu êre shésé odélsé coe l réose d u flre lére ecé r u bru blc : Eele : TD H z Y Bru blc Flre foreur Sgl léore e flre lére e queso es elé flre foreur du sgl ou ecore rocessus gééreur. descro du sgl eu lors cosser e les rères du odèle lére du flre lére e e l vrce du bru blc s DSP ds le cs cou... Processus gééreur à Tes Dscre TD du er ordre So l équo récurree sochsque du er ordre corresod à u flre lére cusl de FT : H z : z Y Y vec < flre sble où : { } es ue séquece déede bru blc { } bru blc ceré de vrce V : E E E [ ] [ ] V [ ] E [ ] [ ] Vδ, E. 9

27 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques D ure r, le flre é récursf l fu récser les CIs : [ ] E Y [ ] E[ Y ] P E Y où : Y Y z z TZ O oe h l I du flre. O : H z h Γ. E rculer h. z z Alse : Ee des crcérsques ssques de l séquece{ } Y e réose à u bru blc { }. oee : E [{ Y }]? el : E[ ] es u oéreur lére E [ Y ] E[ Y ] { } es cerée E[ Y ] Coe < : Y qud Ue fos le rége rsore eré, le flre foreur four doc u sgl sore du er ordre ceré. U sgl sore du er ordre es el que s oee es déede de l orge des es. U sgl sore du d ordre, d sore u ses lrge es el que s oee e s vrce so déedse de l orge des es.. Vrce : Vr [{ Y }] P? [ Y ] [ ] [ ] [ ] Y Y Y Y Y E[ Y ] E[ Y Y ] E[ Y ] E[ ] E[ Y ] [ Y ] E[ Y ] E[ ] E[ Y ] E[ ] E[ Y ] E[ ] E[ Y ] E Or: h * h * Vδ, V h * δ, V h e [ ] E [ Y ] E[ Y ] [ ] E so : P P V E Y V h cr h Cee équo de récurrece do l vrce de { Y } es lsée r P. S soluo es : à l de de ltz r e. V P P V d où : P cr <. V Ue fos le rége rsore eré, le flre foreur four doc u sgl sore ceré, de vrce rége sore ou ecore ere. E Y Y. Auocorrélo de { } Y :? [ ]? 3 Y Y Y 3 Y Y Y Y Doc, our > Y V : E[ YY ] E[ Y Y ] E[ Y ] P V uocorrélo é ue séquece re, o : Shèse : Déduco du flre foreur e foco des crcérsques ssques de l séquece{ Y } doée Iversee, s l o veu géérer u sgl léore { Y } sore ceré, d uocorrélo suff d ulser u flre du er ordre, d équo : Y Y cerée, e de vrce V P. P ecé r ue séquece blche { }, l.

28 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques.. Processus gééreur à Tes Cou TC du er ordre dérche es deque qu à TD. So l équo dfféreelle sochsque du er ordre corresod à u flre lére cusl de FT : H s : s Y & αy vec α < flre sble où : es u bru blc bru blc ceré de DSP V : [ ] τ E[ τ ] [ Y θ ] θ <. E E Qδ τ dw O eu écrre que es l dérvée d u rocessus de Weer W : d e l équo Y & αy eu se ere sous l fore : dy α Y d dw S o dscrése cee derère relo u s d échlloge T, o obe : Y es ccrossees W W cerée e de vrce E[ B ] QT Y α YT W, é déeds, cosue ue séquece déede blche { B }. relo récédee : Y Y α YT W W s écr doc : αt Y αt Y B relo de l êe fore que celle du cs dscre vec : V QT Tous les résuls du cs dscre ré v s lque, e ls so esue reés à TC e fst : Alse : Ee des crcérsques ssques de l réose Y à u bru blc E Y qud T α. oee : [ ]? αt E rége ere, le flre foreur four doc u sgl ceré.. Vrce : Vr de Y? D rès les résuls du cs dscre : P T P QT Qud T e églge les eres e α T : P & αp Q E rége sore P & : équlbre e : P P :. Auocorrélo de Y :? τ E[ Y Y τ ]? QT e résul du cs dscre doe c : T α αt α T Qud T : α T e doc: Q α T e e: α W Coe α < : qud Q P α Q α τ τ e TD TC: T α Shèse : Déduco du flre foreur e foco des crcérsques ssques du sgl Y doé Iversee, s l o veu géérer u sgl léore Y sore ceré, d uocorrélo τ Pe l suff d ulser u flre du er ordre, d équo : Y & αy ecé r u bru blc ceré, e de DSP Q αp. τ α τ,

29 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques 3. Processus gééreurs : A, A, AA e coce de rocessus gééreur de sgl éé rculèree déveloé e lqué vec des flres uérques ue Foco de Trsfer e z de l fore : TD : H z b z z orsque le rocessus z d AA Auo egressve d ovg Averge. S S H. H z Bru blc Flre A, A, AA H es ecé r ue séquece { } déede blche, l sore { } z b z, le sgl { } Y es A. e flre H z es IF à éose Iulsoelle Fe Y Y es u sgl H z, le sgl { Y } es A. e flre H z es II à éose Iulsoelle Ife z Y c es- ous llos éuder chcu de ces 3 rocessus gééreurs. E doé les crcérsques ssques de { } à-dre b du flre H z qu géère { Y } à rr de { }, l s g de déerer les rères e fu uss coîre l vrce. 3.. Sgl A es hohèses so : e : E E [ ] [ ] H z Bru blc Flre A V E [ ] E[ ] { } bru blc ceré de vrce V H z b z E effe, coe H z es l TZ de l I h : O édee : Y z H z z h z H. oee de { Y } :? E[ Y ] Y [ ] Vδ, E z h z, o édee : h b [, ] h z z TZ Y h usque le bru blc d erée es ceré.. Auocorrélo de { Y } :? [ Y Y ] E[ YY ]? cr r hohèse [ ], E [ j ] V., do l E h h j j hhje h h j > j E Vδ d où E[ ] j. es équos V j es oujours ulle suf our h h so o léres e les rères { } lgorhe de Progro o ére our ober l séquece { } h du flre. Il fudr ulser u. h du flre à rr de l séquece { }

30 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. 3. Pussce P de { } Y :? h V P. DSP ω YY Φ de { } Y :? Φ j j YY e h V e H V ω ω ω ou ecore e re l TF Dscrèe de l séquece de corrélo : Φ j YY e ω ω e coe ω YY Φ es r qud le sgl Y es réel : Φ cos YY ω ω 3.. Sgl A Y H z Bru blc Flre A Hohèses : [ ] [ ] [ ] E V E E [ ] [ ], V E E δ e z z Y z z H { } bru blc ceré de vrce V O édee : TZ Y Y z z z Y Cee fos, l I { } h rî s drecee, s o s que : h * Ic, Vδ doc h V h V V h,, * * δ δ V h [ ] V Y Y Y E V Y E V h cr Y Y V h h V. oee de { } Y :? [ ] E Y cr bru blc d erée ceré s les CIs so ulles ou de oee ulle.. Auocorrélo de { } Y :? [ ]? Y E Y [ ] [ ] [ ] [ ] Y E Y Y E Y Y E Y E Y Y E Y E Y h V cr : [ ] V Y E V h [ ] V V Y E V h

31 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. : V h V h cr ue uocorrélo es re. lee Coe h e effe : Y o : V Y h δ h h flre u reos. > : cr h our > : le flre h es cusl : Y Y o uss : cr ue uocorrélo es re. Ces équos euve s écrre : V our : so, sous fore rcelle : ce so les équos de Yule-Wler : V ou ecore : V s s rce d uocorrélo de ere géérl r, j e déed que de j re es de rce de Toelz. Ds ue elle rce, les rllèles à l dgole rcle so cosuées de eres égu.o ore que. Eele de rce de Toelz : 3 4 As, à rr de l cossce de l séquece d uocorrélo de { Y } les coues : V e les rères du flre foreur v re, l relo rcelle ere de déerer Pour rélser ce clcul, ue verso rcelle es ossble cf ee s o ulse géérlee l lgorhe effcce érf de evso ou ecore l éhode de Burg cf ee qu éve ue verso rcelle e e à rof le f que le crcère Toelz Sgl AA H z Bru blc Flre AA Y es es clssques de DSP de sgu A e A é les suvs, our les ssfre, l ourr êre écessre de odélser cers sgu r u rocessus AA :. 4

32 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. 5 f.5 DSP f.5 DSP f.5 DSP DSP e d'u sgl A DSP e d'u sgl A DSP e d'u sgl AA es hohèses so : [ ] [ ] [ ] E V E E [ ] [ ], V E E δ { } bru blc ceré de vrce V e l FT d u rocessus AA : z z b z z Y z H Cee oo suose que s l ordre du uéreur es féreur à, u cer obre de coeffs b so uls. équo de récurrece s obe à rr de l FT du rocessus : TZ Y b Y z b z z z Y z z b z z Y z H. oee de { } Y :? [ ] E Y cr bru blc d erée ceré s les CIs so ulles ou de oee ulle.. Auocorrélo de { } Y :? [ ]? Y E Y [ ] [ ] [ ] Y b E Y E Y Y Y E Y b E Y b Y E Y E Y [ ] Y b E e d ere du ebre de droe é o lére e, b, l es s sle d erre les rères du odèle à rr d l rce d uocorrélo. O eu ceed le fre e ées e s u sur les résuls récédes A e A. O eu d bord rerquer que our > l équo : [ ] Y b E se rédu à : s > qu l êe fore que du cs A : S doc o écr : [ ] Y b E our,,, o ourr erre les coeffs e le ere V b b, so :

33 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. 6 V b b Pour l de ée defco des coeffs b, rodusos u sgl erédre { } U our réécrre l équo de récurrece du flre : Y b Y : So : Y Y U coe : Y b Y, o uss : b U e suos b Cee derère relo f rîre { } U coe u sgl A, doc d uocorrélo éble ds le cs A : uu b b V s e : uu s > A rr du sgl { } Y flré r le flre : Y Y U, o eu ober uu e, r Progro o ére sur l relo : uu b b V, o eu ober les coeffs b. A e le rocessus gééreur AA de { } Y : b z { } { } U { } Y z A A l DSP de ω Y s écr : Φ j j YY e e b ω ω ω ou, e e coe du cs déj évoqué où Y es réel, our lequel : Φ cos YY ω ω o ecore : cos Φ j uu uu YY e ω ω ω 4. Cocluso reréseo rérque d u sgl sous fore de rocessus gééreur cosue ue lerve u éhodes clssques de clcul de secre d u sgl. Ue lco ore des rocessus gééreurs es l defco odélso de sgl, e uss l coresso de sgl.

34 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. 7 ESTIATIO DE A COVAIACE objecf es de déerer l foco d uocovrce, oée uss souve, d u sgl léore ou s à rr de l séquece { } des échllos du sgl. Ergodcé à cour ere éhode d eso de l oee e de l covrce l lus coure So u rocessus léore à TD. hohèse d ergodcé oees ssques oees eorelles codu u forules suves d eso de l oee e de l foco d uocovrce : * ˆ ˆ so, ds le cs d u rocessus réel : > < ˆ ˆ es le obre de os d observo de e do êre le lus élevé ossble * rerésee l cojuguso colee es le rocessus ceré cs réel : ˆ Ergodcé à log ere orsque le obre de os du sgl es élevé, l eso r ergodcé de l uocovrce eu er coe de l oee our effecuer u recerge du sgl, e corrger l orlso du suor de clcul : * ˆ ˆ so, ds le cs d u rocessus réel : > < ˆ ˆ es le obre de os d observo de e do êre le lus élevé ossble * rerésee l cojuguso colee es le rocessus ceré cs réel : ˆ Clcul drec Cs réel Ds l éblssee des dfféres résuls, o suosé les covrces coues. E rque, ces derères so esées à rr des échllos do o dsose. De lus, o e dsose souve que d ue seule rélso du rocessus. As, our ober les reères vleurs { },, de l uocovrce, o eu ulser les éhodes suves : éhode des corrélos o do redre <<, s quee o eu ller jusqu à < D vec : D

35 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. 8 Cee fço de rocéder gr que l rce de covrce esée, défe r DD, es ue rce de Toelz défe osve. le crcère Toelz d ue rce es éress cr l uorse l léeo rde, es réel, de l verso rcelle Pour ou veceur, o eu écrre que D D DD. O e coclue, e o que le sclre D D es l soe des odules u crré des cooses de D, e es doc osf. Cee éhode reve à border l séquece observée, à droe e à guche, r zéros. So covée jeur es doc d rodure des doées fusses, e l occurece des, de r e d ure des doées observées. Qud l lle de l observo es fble, o lu réfère l éhode des covrces. éhode des covrces o do redre <<, s quee o eu redre / < D vec : D rce de covrce esée, défe r DD, rese be eedu osve s elle erd lors so crcère Toelz écessre à cers lgorhes rdes d verso rcelle. Il ese ures vres de cosruco de D, suv que l o borde à droe ou à guche r des zéros. éhode des covrces vre bordge à droe << Tquee / < Pr eele : D D vec : D Il es évde que oues ces éhodes doe sesblee les êes résuls s >>.

36 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. 9 ESOUTIO DU SYSTEE D EQUATIOS DE YUE-WAE PA IVESIO ATICIEE V v vec : : : V v : V V V V V V V vec : V V b α vec : V α α α α e b Coe : V V V α, o e dédu : α V Pus o obe les rères,,, : V α α α

37 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques AGOITHE DE EVISO I ésoluo érve du ssèe de Yule-Wler éhode de résoluo des équos de Yule-Wler r verso rcelle es coûeuse e es clcul e eu egedrer des erreurs uérques dues à l verso rcelle. lgorhe de evso rocure l êe soluo que l éhode drece r verso rcelle s vec u lgorhe érf es réel. V qu eu uss s écrre : ou ecore : our : V s s re e rce de l lgorhe de evso, qu ere de résoudre effccee les équos récédees, reose sur ue éro sur l ordre du odèle :, O écr doc les équos récédees e lç u dce [ ] sur rères e l o v érer sur our : es soluos à l ordre : our : [ ],, : [ ],..., V. 3 v e V, sgf que l o ulse le odèle à [ ] [ ] s [ ] s [ ], [ ] [ ] [ ] s s [ ] rocédure de evso es l suve : o ére de, re V so ulsées our résoudre l équo du odèle d ordre : V re : [ ].,, V[ ] Ilso [ ] [ ]. ρ [ ] V[ ] [ ] V ρ V 3. [ ] [ ] 4. our : ever à. que < [ ] [ ] [ ] ρ [ ] s ρ [ ] s e veceur résul e le sclre V cherchés so obeus e f d éros : [ ] [ ] [ ] so :,, e : V V[ ]. s

38 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques lgorhe de evso eu êre écr s : éro de,,, Pour : { } V Ilso ρ V V ρ V Pour : : ρ ρ s s s e veceur résul e le sclre V cherchés so obeus e f d éro.. 3

39 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. 3 AGOITHE DE EVISO II ésoluo érve du ssèe de Yule-Wler P qu eu uss s écrre : v rce de covrce es ue rce de Toelz. So ere géérl désge l uocovrce du sgl. e rce de l lgorhe de evso reose sur le clcul de l soluo u rg à rr de l soluo u rg. Pour cel, o doe l oo suve où l ordre, oé e dce [ ], do êre éré de à : [ ] P es l ussce du bru qu eu êre vu coe l erreur qudrque d eso u rg [ ] [ ] [ ] [ ] P vec [ ] E os : [ ] B r e [ ] F r B e F sgf Bcwrd e Forwrd o eu écrre le ssèe de Yule-Wler de fço lus cocse : [ ] F P so, u rg : [ ] F P E ss u rg, l rce de covrce s écr : F F B B r r r r O : [ ] F B F B B F P r r r vec : [ ] [ ] [ ] F O uss : [ ] B F B F F B P r r r vec : [ ] [ ] [ ] B Pr cobso lére : [ ] [ ] F B B F B F F P P r r

40 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. 33 E chosss le coeffce el que : [ ] F B P r, o obe l soluo u rg qu s écr e foco de l soluo u rg : [ ] [ ] [ ] B F F F F B P P P r [ ] P é osf l rerésee ue erreur qudrque, l derère équo ore que les coeffces so de odule féreur à. es coeffces ore le o de coeffces de réfleo. Algorhe de evso Vleurs les : P [ ] Pour,, : { [ ] [ ] [ ] P Pour,, : { [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] } [ ] [ ] P P } Vérfco à l ée [] [] [] [ ] P P

41 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. 34 ETHODE DE BUG ésoluo érve du ssèe de Yule-Wler vec core de sblé éhode de résoluo des équos de Yule-Wler r verso rcelle ou r l lgorhe de evso eu codure à ue soluo d u flre o sble. éhode érve de Burg our l résoluo des équos de Yule- Wler gr u flre sble coe soluo, êe s cee soluo es s ecee deque à l soluo drece ou de evso des équos de Yule-Wler soluo rochée - du f de l core de sblé jouée u ssèe de Yule-Wler - s oujours sble. P qu eu uss s écrre : v rce de covrce es ue rce de Toelz. So ere géérl désge l uocovrce du sgl. dée de Burg fu de clculer drecee à rr des doées ue esée des coeffces de réfleo e ce, ss sser r le clcul des covrces. O e dédu, s écessre, r l relo de evso : [ ] [ ] [ ] B F F F F B P P P r les coeffces du odèle. Pour cel, o rer de l eresso de l erreur de rédco u rg : es dscre [ ] [ ] F F ε errreur drece F Forwrd [ ] [ ] B B ε errreur rérogrde B Bcwrd E uls les coeffces de réfleo, o : B F B F F ε ε ε e : F B F B B ε ε ε Pour rouver u eseur de, Burg roose de ser r ror à, l soe des erreurs : E B F ε ε. E r des équos récédees, o bou à ue équo du d degré e qu, r ulo de s dérvée, codu à : [ ] E E B F F B ε ε ε ε Ds l lgorhe de clcul des coeffces, les esérces oees ssques so relcées r des oees eorelles ergodcé. Pour u rocessus A d ordre, o :

42 Tree du Sgl. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques. 35 éhode de Burg Vleurs les : P,,, B F ε ε Pour,, : { B F F B ε ε ε ε Pour,, : { [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] } [ ] [ ] P P,,, B F F ε ε ε,,, F B B ε ε ε } Ue roréé de l lgorhe de Burg es de grr que les esées de coeffces de réfleo so de odule féreur à.

43 Tree du Sgl TP. Sgu. Ssèes TP. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques II. SIGAU AEATOIES ESTIATIO DE A COVAIACE Fre vrer les rères e our vor leur fluece our chque éhode. : obre d'échllos du sgl observé c u bru blc : Feêre coulsse à l'éreur de l'ervlle ou bord à guche ou à droe: < OIGI : : 8 :.. : whe :.5 b :.5 oe : l foco hcd "whe" rodu u bru blc ceré de dsrbuo ufore : les rélsos so réres uforée ere -.5 e b.5. OYEE ET COVAIACE THEOIQUES héore d qu'ue lo ufore sur [,b] our oee e vrce : : σ : σ 'lude crêe c du sgl eu êre dédue de σ : c : c : b σ c.5 c : CFFT BUIT BAC. FFT [BUIT BAC] TP.

44 Tree du Sgl TP. Sgu. Ssèes. ESTIATIO DE A OYEE ET DE A COVAIACE PA EGODICITE. oee : :. Covrce : r : Λ : CFFT r : Λ.78 COVAIACE BB DSP BB FFT [COVAIACE BB] r Cocluso : 7 Vrce du bru blc : σ : 7 σ. BUIT BAC DE OYEE ET DE VAIACE σ A rr de l foco hcd "whe", fbrquer u bru bru blc de lo de dsbuo ufore de oee doée e de vrce σ doée. Vérfer à l'de du clcul de l oee e de l covrce r ergodcé.. Foco BruBlc,,sg : AZ : r : subr r,,,, BruBlc,, sg : :.. : sg : 6 : BruBlc,, sg Y : CFFT 6. BUIT BAC.78 FFT [BUIT BAC] Y 'lude crêe c du sgl eu êre dédue de σ : c : sg c 4.43 TP.

45 Tree du Sgl TP. Sgu. Ssèes VEIFICATIO. Eso de l covrce r ergodcé :. oee : :. Covrce : r : Λ : CFFT r : Λ lude : lude 5.89 COVAIACE BB.3 DSP BB FFT [COVAIACE BB] r Cocluso : Vrce du bru blc: σ : σ TP. 3

46 Tree du Sgl TP. Sgu. Ssèes TP AEE. Sgu déerses. Sgu léores. Ssèes sochsques I. SIGAU DETEIISTES U sgl à TC ser rogré coe ue foco s, réel U sgl à TD ser rogré coe ue foco s, eer, ou eu coe u veceur s. Covoluo dscrèe c de sgu cusu Covoluo d'ue rso Γ vec ue ore Π C : :.. C Γ : Φ Π : f C s : Γ d : Π f > C c : s d Γ d c Covoluo cusle Foco covcusl, h de covoluo cusle de sgu e h covcusl, h legh legh h for.. h f < oherwse TP. 4

47 Tree du Sgl TP. Sgu. Ssèes II. SIGAU AEATOIES ESTIATIO DE A COVAIACE. ESTIATIO DE A COVAIACE PA A ETHODE DES COEATIOS : F, j : :.. f j f j < j oherwse oherwse ul : : sc, ul D : r,, F AZ : r : subr r,,,,. Covrce : r : Λ : CFFT r : Λ. rce de Covrce : : rce s cosrue le crcère Toelz.78 COVAIACE BB DSP BB FFT [COVAIACE BB] r Cocluso : Vrce du bru blc: σ : σ TP. 5

48 Tree du Sgl TP. Sgu. Ssèes 3. ESTIATIO DE A COVAIACE PA A ETHODE DES COVAIACES : :.. : subr,,,, AZ : r : subr r,,,, 8 F, j : D :. Covrce : r : Λ : CFFT r : Λ. rce de Covrce : :.69 COVAIACE BB DSP BB FFT [COVAIACE BB] r Cocluso : Vrce du bru blc: σ : σ [3-VBD]. ESTIATIO DE A COVAIACE PA A ETHODE DES COVAIACES : Vre Bordge à droe : :.. : subr,,,, AZ : r : subr r,,,, 8 F, j : D : r,, F. Covrce : r : Λ : CFFT r : Λ. rce de Covrce : :.69 COVAIACE BB DSP BB FFT [COVAIACE BB] r Cocluso : Vrce du bru blc: σ : σ TP. 6

49 Tree du Sgl TP. Sgu. Ssèes III. SYSTEES STOCHASTIQUES POCESSUS GEEATEU DE SIGA AEATOIE : A So le flre A d'ordre ecé r u bru blc : : Hz : z z O désre que l foco d'uocorrélo φ de l sore so elle que : φ : 6 φ : 3 φ : Déerer les coeffces e du flre foreur A s que l vrce V du bru blc à l'erée du flre ere d'vor φ désré. O résoudr le ssèe de Yule-Wler r verso rcelle. O vérfer le f que ossède be l foco d'uocovrce escoée e l clcul r l éhode r ergodcé, rès vor déeré l sore sur os.. ESOUTIO DU SYSTEE DE YUE-WAE v PA IVESIO ATICIEE : :.. j :.. :.. AZ : : subr,,,,,,,, φ : subr φ r : subr r,,,, Sse du veceur uocorrélo φ : φ : 6 φ : 3 φ : φ 6 3 TP. 7

50 Tree du Sgl TP. Sgu. Ssèes Créo de l rce : : φ, j j Eele, our, éservo du veceur ce 'es s ue lso e Ilso du veceur b : φ φ φ φ φ φ φ φ φ : b : φ Clcul du veceur e de V : b : b 3 : φ b V : φ φ V 4 :.. : V ésul : du veceur, l e fu reer que les rères cherchés :,... e gorer : CACU du BUIT BAC de VAIACE V sur os BruBlc,, V : AZ : : subr,,,, : : : BruBlc,, V : TP. 8

51 Tree du Sgl TP. Sgu. Ssèes 3. CACU de l EPOSE du FITE A u BUIT BAC CETE de VAIACE V AZ : : subr,,,, :.. : : VEIFICATIO : CACU de l FOCTIO d'autocovaiace r EGODICITE. Sgl d'erée : AZ : r : subr r,,,,. oee : :. Covrce de : :.. r : r à rrocher de : V 4 r. Sgl de sore : AZ : r : subr r,,,,. oee : :. Covrce de : :.. r : r à corer vec : φ Cocluso : vec u ordre lus or our le flre A, les résuls sere ecore lus roches des résuls escoés. 6 3 TP. 9

52 Tree du Sgl. Shèse du sgl. Idefco. Shèse du sgl. Idefco Shèse du sgl I. SIGAU DETEIISTES gééro d u sgl déerse eu êre rélsée à rr :. de l eresso lque forule du sgl. d u odèle eele : odèle Auoégressf A. d ue ble de loo-u fcher éore. d ue Trsforo héque verse Fourer, lce... Eele : Gééro d u sgl susoïdl ss hse le. Eresso lque : Gééro d u sgl susoïdl de fréquece f e d lude A eresso à Tes Cou s écr : Asπf F e sgl à Tes Dscre es gééré e se do échllos r érode du sgl à géérer. f f F es l fréquece d échlloge. T Elle do vérfer l codo de Sho our créer le sgl vec ue boe résoluo : grde fréquece e c l seule! coeue ds le secre de. AsπfT Z es l dce, géérlee eorel, du sgl. F f cr f es l lus. odèle : Gééro d u sgl susoïdl de fréquece f e d lude U odèle A d ordre eu êre ulsé our géérer u sus e oue sue rgooérque : déosro r récurrece, le sgl é récursf obeo du odèle r defco r eele α β vec : coeffces : α AcosπfT β hse le lso : As π ft s o veu ue hse le o ulle hse le ou As π ft s o veu ue hse le ulle e où : rerésee le sgl susoïdl à l s T.. Tble de loo-u : Fcher éore. Trsforo héque verse lce : Gééro d u sgl susoïdl de fréquece f e d lude πf T s πf à l de de bles πf.

53 Tree du Sgl. Shèse du sgl. Idefco II. SIGAU AEATOIES Sgu léores r foco odulo Ue éhode de gééro de sgu léores e f seudo-léores du f de l érodcé des sgu egedrés cosse à ulser l foco odulo. Sgl léore à dsrbuo ufore. Bru blc à dsrbuo ufore e sgl léore à dsrbuo ufore es décr r déosro r récurrece, le sgl é récursf : A odulo P lso dev vérfer : < < P E de l lso sur ue horloge r eele, o u sgl léore géér à chque ess ue séquece dfféree. So l séquece egedrée es déerse ds le ses où l équo décrv le sgl es lque, rérque. O : Pour vor < < < < P, l suff de dvser chque ere de l séquece r P. e sgl gééré es seudo-léore cr érodque de érode P. Pour e s, lorsque ugee, reober ve sur l êe sére de coeffces de l séquece, l vu eu chosr P grd. P do êre u obre reer our que le résul du odulo e so s ul. O eu redre r eele :, A 8, P es échllos euve êre cosdérés coe déeds les us des ures, codus s à fourr u bru blc à dsrbuo ufore. Sgl léore à dsrbuo de legh e sgl léore à dsrbuo de legh eu êre obeu à rr du sgl léore à dsrbuo ufore : σ / σ crcérse l dque du sgl. O eu redre r eele : σ. { } Sgl léore à dsrbuo gussee e sgl w léore à dsrbuo gussee eu êre obeu à rr des sgu léores à dsrbuo ufore e w cos π à dsrbuo de legh : { } Sgu léores r foco OU eclusf Ue ure éhode de gééro de sgu léores cosse à ulser l foco OU eclusf. U échllo de l séquece léore es codé sur bs. e o de l échllo de l séquece es obeu à rr du o de l échllo e effecu u OU eclusf ere les bs de lus fble ods de, e e décl crculree vers l droe les bs du o : le SB es erdu, e l rere le résul du OU eclusf our ouveu SB. U o coveoellee so SB à l erêe guche e so SB à l erêe droe. e SB es le b de lus for ods, le SB celu de ods le lus fble..

54 Tree du Sgl. Shèse du sgl. Idefco Idefco odélso I. IDETIFICATIO PA FITES FOEUS - ODEES A, A AA. Processus A ovg Averge - oee oble d ordre U sgl à TD eu êre defé coe sore d u flre A ecé r u bru blc cr l ou ds u bru blc, u bru blc ece ous les odes du rocessus, l oues les fréqueces ds u bru blc : b w b w b w b où : w e : { } b w vec b le f de dvser ous les coeffces r désge u rocessus léore réel blc, ceré, sore, de vrce b es ue séquece de coeffces réels. e rocessus s cosru our I l séquece { b } : { h } { b } Ce flre doc our FT : [ b ] b z b b z b z H z TZ σ b codu à Cee FT e ossède s de ôles. Elle codu doc à u flre cusl sble, fcl s l defco du sgl elos ere coeffces du odèle e covrces lheureusee, les relos ere coeffces du odèle e covrces e so s léres. Il suff our s e covcre de rer e eele le rocessus A d ordre à TD egedré r : b w b w w bw Clculos l uocovrce E[ ] so : o relle qu u bru blc de vrce E E E E où : es l VA do es ue rélso W es l VA do w es ue rélso σ es el que : E [ W W ] σ δ, [ ] E[ W ] b E[ W ] b E[ W ] b b e que [ ] E[ W bw bw W bw bw ] b bb [ ] E[ W bw bw W bw bw ] bσ [ ] our b b b b b b σ our σ σ orsque l o veu defer odélser u sgl w bw bw lors l covrce σ σ es re coe u rocessus A d ordre doé c d erée es coue dédue de l séquece { } w : du sgl r ue éhode d eso de l foco d uocovrce, r eele, l éhode r ergodcé e b, b e σ so les coues... 3

55 Tree du Sgl. Shèse du sgl. Idefco e ssèe d équos es o lére e our le résoudre o f el à des lgorhes de Progro o ére.. 4

56 Tree du Sgl. Shèse du sgl. Idefco. Processus A Auo-egressve - Auo-égressf d ordre U sgl à TD eu êre vu coe sore d u flre odèle A ecé r u bru blc cr l ou ds u bru blc, u bru blc ece ous les odes du rocessus, l oues les fréqueces ds u bru blc : w vec le f de dvser ous les coeffces r e chge re e codu à so : w où : w e : { } désge u rocessus léore réel blc, ceré, sore, de vrce coeffces réels. es ue séquece de e rocessus s cosru our I l séquece { } TZ [ H z ] h où z H z flre ou-ôle z z z σ H es l FT du flre : Cee FT ossède des ôles. Ceu-c dove êre de odule < our ssurer l sblé du flre cusl. elos ere coeffces du odèle e covrces cs Preos our eele le rocessus A d ordre à TD egedré r : w vec < our ssurer l sblé du flre. E re l esérce des ebres, e e uls l hohèse que es lu-êe ceré. Clculos s foco d uocovrce E[ ] o relle qu u bru blc de vrce où : Coe : w w w w d où, coe l s de déedce cusle ere e w w es ceré, o e dédu que le rocessus es l VA do es ue rélso W es l VA do w es ue rélso σ es el que : E [ W W ] σ δ, e que w w o : es re s ere cuslee e foco de w, ce qu sgfe que es foco de w, w,... Coe w, w,... so déeds de w bru blc, lors e w so déeds doc o corrélés, ce qu s écr : E [ W ] E[ ] E[ W ] cr le bru blc es ceré o : [ ] E[ W ] E[ ] E so : σ O uss : w d où : [ ] E[ ] E so : O doc le ssèe d équos : σ. 5

57 Tree du Sgl. Shèse du sgl. Idefco Ce ssèe lére d équos eu s écrre sous fore rcelle : vec : σ v v soluo de ce ssèe lére d équos es éde : σ elos ere coeffces du odèle e covrces cs quelcoque eresso rcelle ere l géérlso à u odèle A d ordre do l foco d uocovrce vérfe le ssèe lére d équos : ce so les équos de Yule-Wler σ ou ecore : rce d uocovrce de ere géérl r, e déed que de j j v re es de rce de Toelz. Pour rélser ce clcul, ue verso rcelle es ossble s o ulse géérlee l lgorhe effcce érf de evso ou ecore de Burg, qu éve ue verso rcelle e e à rof le crcère Toelz de l rce. séquece { } σ, soluo vec, du ssèe lére de Yule-Wler à rr de l cossce de l rce d uocovrce, codu à l relo de récurrece du flre. déero de l séquece { } des ôles de codu, de fço équvlee à celle { } H z z z z z, à l obeo du flre d defco de l séquece. z vge de l odélso A r ror à l defco r u odèle A es qu elle codu à u ssèe lére d équos our l déero des coeffces du flre. Alcos :. shèse de sgl. coresso de sgl de role r eele : u sgl de échllos d u sgl de role eu êre codé o s r éorso de l séquece brue { } s coressée our êre reée u coeffces du flre odèle A d ordre e u coeffce σ, vrce du bru blc lcé à l erée du flre our rodure, shéser le sgl. décoresso cosse à géérer, shéser à rr du bru blc de vrce σ r lco de l lgorhe A du flre foreur d ordre u bru blc.. 6

58 Tree du Sgl. Shèse du sgl. Idefco 3. Processus AA d ordre U rocessus AA s obe e e e sére ue srucure A e ue srucure A. So l équo récurree : so : où : w e : { } b w vec le f de dvser ous les coeffces r e { } bw bw b w désge u rocessus léore réel blc, ceré, sore, de vrce b so des séqueces de coeffces réels. e rocessus s cosru our I l séquece { } TZ [ H z ] H z b z z b b z z h b z z e chge re e codu à σ où H z es l FT du flre : Cee FT ossède des ôles. Ceu-c dove êre de odule < our ssurer l sblé du flre cusl. équo récurree de ue soluo uque, sore u d ordre, uque, qu s ere cuslee e foco de w, s e seulee s les rces du déoeur ôles de H z so de odule <. 4. erques. Il eu rîre réduceur de odélser u rocessus r u obre resre de rères. s cee odélso corresod à u rocessus STI Ssèe ére à Tes Ivr, décr r ue équo u dfféreces lére sore à coeffces coss.. O ore que ou rocessus AA ou A eu êre roché r u rocessus A d ordre suffse élevé l vge d ue odélso A es de codure à u ssèe lére d équos our l déero des rères du odèle, s l fu e core-re veller à l sblé du flre. De êe, ou rocessus AA ou A eu êre roché r u rocessus A d ordre suffse élevé l vge d ue odélso A es d ssurer l sblé du flre odèle, s e core-re, cee odélso codu à u ssèe o lére d équos red s os sle l déero des rères du odèle. Ce résul es fodel e rque usque, s l o chos r ces 3 odèles, le lus «uvs» odèle, ue récso rsoble eu ecore êre obeue e re u ordre ssez élevé. U rocessus do le secre ossède des «vllées rofodes» écesse e effe os de rères s o ulse, our le reréseer, u odèle A luô qu u odèle A. De êe, u rocessus do le secre ossède des «cs élevés» écesse os de rères s o ulse, our l defer, u odèle A luô qu u odèle A.. Alco de l defco : Coresso de sgl Pluô que de éorser le sgl bru, o eu socer les rères A ou A ou AA du odèle. coresso cosse, rès le cho d u ordre d u lus élevé que l récso souhée, e l déero des rères du odèle e de l vrce du bru blc. décoresso cosse lors e l gééro du sgl é doé le odèle chos.. 7

59 Tree du Sgl. Shèse du sgl. Idefco. 8. Aure rocédé d defco r les odèles A, A ou AA Eele : odélso A Pluô que d ulser u bru blc our l erée du flre, o red ue cose b, e o déere cee cose s que les rères du odèle e s r lco du crère des odres crrés cf. ee l éerge de l erreur ere l séquece à defer e so eso ˆ décre r : b ˆ ˆ 5. Alco : Eso du secre d u rocessus A Alse secrle - Eso Ds le cs d u rocessus A d ordre, l relo ere les rères à eser e les covrces v es lére. Elle ere slee d ober ue eso des rères { } du odèle e l vrce σ du bru blc d erée, e subsu à l rce de covrce ece ue rce de covrce esée. elos ere coeffces du odèle e covrces esées cs O relce ds l équo obeue vec les covrces eces : σ e r leur esée resecve. ergodcé oujours suosée ous doe : es suosé ceré esée resecve de e de es doée r éhode des corrélos : ˆ ˆ O obe our rce de covrce esée : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ E le coeffce du odèle A s que l vrce σ du bru blc d erée so : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ

60 Tree du Sgl. Shèse du sgl. Idefco elos ere coeffces du odèle e covrces esées cs quelcoque U résul or es que s l rce es de Toelz, le olôe déoeur de l FT H z : z z oues ses rces à l éreur du cercle ué, ssur s l sblé du flre odèle. Eso du secre d u rocessus A Ue fos les rères { } du odèle e l vrce éhode hue résoluo σ du bru blc d erée esés r { â } déere le secre S f de l sore du flre A d erée b bru blc. O : S B d où : S f ˆ σ ˆ f H f SB f H f σ cr le secre DSP d u bru blc es e ˆ σ σ : π f H f ˆ σ H z e ˆ vec : H z ˆ z ˆ z S f σ ˆ σ doc : S f π f π f ˆ e ˆ e Cee éhode d eso secrle s elle éhode hue résoluo., o II. IDETIFICATIO PA PEDICTIO IEAIE er Predco Codg [Vor Chre sur l Prédco] III. IDETIFICATIO PA OIDES CAES [Vor Chre sur le flrge ol] erque Ue defco r l éhode du olôe de grge es evsgeble e ree du sgl cr our defer u sgl de os, coeffces les coeffces du olôe de grge d ordre so écessres, ce qu es éore e corso des ures éhodes d defco qu écesse u obre de rères be odre que l lle du sgl à defer : <<.. 9

61 Tree du Sgl TP. Shèse. Idefco I. SYTHESE DE SIGA TP. Shèse du sgl. Idefco. Sgu déerses Géérer r récurrece u sgl susoïdl u d'lude e de fréquece f 5 Hz sur ue "durée" 5 os durée *T. fréquece d'échlloge F /T do resecer l codo de Sho : F > F vec c F f. f : 5 F : T : α : cos π f T β : : 5 :.. F Ilso : u : u : Equo récurree : u : T. secode :... Sgu léores.39 u fréquece : 5 Herz. sec. Gééro d'u Bru blc ceré de drbuo ufore Géérer u sgl léore de dsrbuo ufore, vr ere -.5 e b.5 sur ue "durée" e obre de os os. Vérfer qu'l s'g d'u be d'u bru blc ceré e clcul r l éhode r ergodocé s oee, s foco d'uocovrce e s vrce. Bru blc v cors ere e P : A : 8 P : 3357 : :.. ooel Wheose : Ilso : v : Equo récurree : v : Vsuellee, o vérfe be : "érode" : F f érode : os F : T f Bru blc w cors ere e b : :.5 b :.5 :.. w :.495 w TP.

62 Tree du Sgl TP. Shèse. Idefco Vérfco :. oee e vrce héorques : héore d qu'ue lo ufore sur [,b] our oee e vrce : : σ : b b σ.83. Eso de l covrce r ergodcé :. oee : : w. Covrce : φ : w w.77 φ.69 Cocluso: l foco de covrce l'llure edue r l héore: φ σ δ 99 Vrce du bru blc: σ : φ σ TP.

63 Tree du Sgl TP. Shèse. Idefco II. IDETIFICATIO Fre vrer l'ordre du flre odèle A us l lle du sgl à defer. Cocluso? Esser esue sur u secod sgl. So le flre A d'ordre ecé r u bru blc. Equo de récurrece du flre A d'ordre : Foco de Trsfer corresode : : Hz : z 'defco d'u sgl s doé cosse à le odélser coe réose d'u flre A d'ordre à u bru blc de vrce V. e roblèe es lors de déerer les coeffces du flre A odèle e l vrce V du bru blc.. Foco YuleWler φ, : ésoluo du ssèe de Yule-Wler v r verso rcelle Prères d'erée :. φ : le veceur foco d'uocovrce d du sgl : φ, φ... φ. : d de φ e de l'ordre du flre foreur A Prère de sore :. le veceur d : V : vrce du bru blc;,,... : rères du flre foreur A d'ordre YuleWler φ, : for.. Eele : : 3 r : 6 for j.. φ, j j b : r : 3 r : for.. b φ α φ b φ φ α for.. α : YuleWler r, V: V 4 : TP. 3

64 Tree du Sgl TP. Shèse. Idefco. Erco des rères,,... du flre A d'ordre e de l Vrce V du bru blc d'erée Sgl de role sur ue feêre de os :. O cosdère sgu de role eregsrés ds les fcher e o ssus de l'eregsree des voelles "" e "o", échlloés à 8 Hz oo 8 bs e de durée.s -> leur lle es de 8 échllos.. ecure du fcher de doées ASCII doée flo r lge, 8 coloes : 8 :.. s : EADWAV ".wv" s: s 8 s Cerge du sgl e recdrge d'lude ds l ge [-.5,.5] : cr o shéser à rr d'u bru blc ceré o : e s s : s o : s : s s : s.5 s. Clcul de l foco d'uocovrce r du sgl r l éhode d'ergodcé :. oee :. Covrce : : s r : s s Erco des rères,,... du flre A d'ordre e de l Vrce V du bru blc d'erée : : : V : V Aeo : l fu V > :.. TP. 4

65 Tree du Sgl TP. Shèse. Idefco 3. Gééro du bru blc ceré de vrce V de os : BruBlc,, V : V Wheose ou ecore : BruBlc,, V : V whe : : BruBlc,, V Clcul de l réose du flre A d'ordre u bru blc ceré de vrce V AZ : : : sgl shésé : Aeo : l fu que le flre so sble à corer u sgl de role s l fudr écouer our corer! : 79.5 s TP. 5

66 Tree du Sgl TP. Shèse. Idefco or Sgl sur Bru : SB : SB db APPICATIO : Shèse, Coresso du sgl de role ds s olé 8 échllos, durée s O relce chque bloc de P échllos du sgl de role de 8 échllos durée s r les coeffces du odèle A. As s P 8 e 8 o obe u u de coresso d'evro. Pour ere e oeuvre ce ree, o cere d'bord le sgl de 8 échllos e o recdre so lude ds l ge [-, ]. O feêre esue ce sgl r rches de P 8 échllos durée s, e re 5% de chevuchee ere les feêres our éuer l'effe des vros éveuellee brules des coeffces de coresso des coeffces d'ue feêre à l suve. Shèse, Coresso du sgl ge Selo le êe rce, effecuer l coresso d'ue ge e se re à D e e r l'ge coloe r coloe. TP. 6

67 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Crcérso Crcérso de sgl our l dsco, l recossce de sgl e bu de l crcérso d u sgl es de rouver ue sgure, ue crcérsque our u sgl, uors s recossce, s dsco, s dscro. dffculé es de rouver, suv le e de sgl, le bo oul de crcérso, ere s dscro r ror à des sgu dfféres ou e uors ue relve vrblé de l sgure, ds le cs de rélsos ulles d u êe e de sgl e : recossce de role : luseurs reroducos du êe o dove êre clssfées eseble e dscrées r ror à l rooco d ures os. Pluô que d ulser le sgl bru coe sgure, o red ue rsforée de ce sgl, l vge de coresser, de rédure l qué d foros ules, erees du sgl. Eele : sgl TF secre es réduco de l'fo fréquece Il réduco de l foro cr le secre s ule ve qud l fréquece ugee u sgl e eu êre fe rde, l foro coeue ds les os du sgl eorel se rerouve, our l esseel, ds les ers os les ers os, vec < de s eréseo Fréqueelle. Eele : ecossce de role, d ge recossce es bsée sur l corrélo, s luô que de corréler les sgu brus le sgl à recoîre e les eregsrees de référece e Bse De Doées, ce qu es coûeu e es clcul e s rès effcce our l recossce, o corrèle des rves, des crcérsques eres du sgl à recoîre vec les êes rves ssues des eregsrees de référece, ce qu ccroî l rdé e l qulé de l recossce eele de rve de crcérso de l role recossce de l role, du locueur : le cesre. I. TASFOATIOS FEQUETIEES ouls de crcérso fréqueels TASFOATIO DE FOUIE DISCETE TFD Elle ere de crcérser u sgl sore e do so occuo e fréqueces. el : Trsforo de Fourer U sgl érodque de érode T, décoosé e sére de Fourer s'écr : π C cos ω Φ vec : ω T : érode de T Eele : Décooso e sére de Fourer d u sgl érodque «rgulre» TFD : Φ Φ eres e cusle Φ 3 /ω Φ /ω TFD eres rerésee u dce eorel, u dce fréqueel. e π / TFD [ ] esrco : l TFD e doe s de loclso eorelle des fréqueces, s seulee leur réro globle. TFD Iverse TFDI Elle es doée r l relo : eres e eres π / TFDI [ ] 3.

68 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Ierréo Séquece eorelle T T T T Séquece TFD F F /T.[ /T ] / T T : Durée d'observo de l séquece eorelle T : Pérode d'échlloge : obre d'échllos ed T érodcé du secre érode F f F Eele : T s T. s échllos F / T Hz F Hz SPECTOGAE - TASFOATIO DE FOUIE A COUT TEE TFCT Alse es-fréquece, coe l lse e odelees e secrogre clcule l TFD sur ue feêre f glsse u cours du es sur le sgl. es TFDs sur chque feêre glsse foursse le secrogre, qu ere d der l Trsforo de Fourer à l crcérso des sgu o sores. e secrogre ere de crcérser u sgl o sore e do so occuo e fréqueces e foco du es : lse Tes-Fréquece. Alude du odule de l TFCT f TFD Alude du odule de l TFCT Fréquece Fréquece Fréquece - Tes Tes O obe our chque dce de feêre f ue TFD : e π / e u ol, o lus u secre D, s u secrogre 3D eréseo Tes-Fréquece : π O l relo de défo de l TFCT :, f e f eu êre ue feêre de odéro Blc, Brle... luô qu'ue sle feêre recgulre de rocure. Cee lse es-fréquece résee l vge r ror à l lse de Fourer sle, de erere l loclso eorelle des fréqueces coeues ds le sgl vor «secrogr of he word EAD». 3.

69 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso TASFOATIO DE WIGE-VIE Alse es-fréquece, coe l lse e odelees Elle ere de crcérser u sgl o sore e do so occuo e fréqueces e foco du es : lse Tes-Fréquece. TWV d'u sgl s'écr : τ τ πντ TWV[ ] e dτ ν, : cojugué de e résul, foco de ν e, uorse ue lse ds l esce Tes-Fréqueceν. TASFOATIO DE HIBET Trsforo de Hlber TH $ d'u sgl cosse e l covoluo de r l foco TH ˆ * π ODEETTES 3. 3 : π lur des sgu e so s sores, e c'es jusee ds l évoluo de leurs crcérsques ssques, fréqueelles, eorelles, sles que résde l esseel de l foro qu'ls coee e. : sgu de role, d ge. Avec l lse de Fourer suf l TFCT, Trsforée de Fourer à Cour Tere, qu cosse e des TF sur des feêres glsses du sgl, l roche du sgl es globle e oue oo de loclso eorelle ou sle our des ges dsrî ds l esce de Fourer. décooso d u sgl e ue soe d odelees e o lus e ue soe d odes coe vec l lse de Fourer ore u coeu fréqueel ou e réserv l loclso f d'ober ue reréseo es/fréquece ou esce/échelle du sgl e. e usque : décooso e odelees d u sgl o sore, u débu e ue f, coe l fre d ue ouche u o, corree à l décooso e odes d u sgl sore, coe l vbro eue, rologée d u dso, ése défe deus l orge des es. oo d odelee odelee de Gbor ègre u os 3 foros : u coecee, ue f e ere les deu, ue fréquece récse. Trsforée de Fourer coue Aroche de Fourer : sgl soe d odes de focos sus de fréquece ulle e rslées πν rsforo décooso de Fourer coue F ν d ue foco f s écr : F ν f e d oée : F ν < f, ψ > où ψ * < f, g > f τ g τ dτ πν e ode, e : < > f, g f τ g τ dτ rodu sclre our focos réelles rodu sclre our focos colees * g : cojugué de g πν rsforo décooso de Fourer verse recosruco s écr : f F ν e dv Trsforo de Fourer cosue u oul dé à l lse de sgu sores, qu euve se décrre globlee e r ue cobso léres d odes. Elle e eu crcérser effccee, loclee, u sgl o sore, qu lu s ere coe cobso lére d odelees. Trsforée e odelees coue Aroche odelees : sgl soe d odelees odes évescees, odes loclsées, odes ores réglbles e fréquece e rslo rsforo décooso e odelees coue, b F d ue foco f suv l odelee ψ s écr : b F, b f ψ, b d f ψ d oée F, b < f, ψ, b >, b es odelees flles, b d échelle dlo e b le rère de rslo. ψ s obee r dlo e rslo de l odelee ère ψ es le fceur décooso d u sgl e odelees es s rèrble : les odelees flles so, à l de d ue foco d échelle, réglbles e dlo e e rslo de l odelee ère.

70 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso vrble joue le rôle de l verse de l fréquece : lus es e os l odelee es éedue eorellee, doc lus l fréquece cerle de so secre es élevée. O eu erréer cee eresso coe ue rojeco du sgl sur ue flle de focos lses b cosrue à rr d'ue foco ère ψ coforèe à l équo suve : ψ, b ψ es reères odelees ulsées o éé l odelee de orle, ue gussee odulée r ue eoeelle colee, le «cheu ec», dérvée secode d'ue gussee, e celle de Hr, défe r orceu. Iverso recosruco - Adssblé Ue odelee es ue ode loclsée, évescee. S fore es s uque l suff qu elle uorse l recosruco : ecosruco codo d esece de f C F, b ψ b, ψ d db vec où Ψ ν rerésee l TF de ψ C ψ π Ψ ν C ψ es l codo d dssblé d ue foco coe odelee : dν dν Codo d esece Ψ ν Ψ ν < ν ν Cee équo se rèe le lus souve à l codo suve ulso du héorèe de Prsevl, eu corge qu dque seulee que l foco odelee so à oee ulle : ψ d e cho de l odelee es doc e rce rès ouver. Ceed, l robusesse e l vesse de covergece de l lgorhe de recosruco s que l cocé de l décooso, crcérsée r l o redodce de l foro so rès déeds du cho de l odelee. Trsforée e odelees dscrèe, F, f ψ b d < f, ψ, S o chos e b, o rle de rsforée ddque : F, f ψ d ecosruco F,, Tes d odelees : Odelees de orle Odelee ère ψ ω e e Fceur d échelle : ω 5 π > ψ vec dν ν F, ψ, ψ, b e ψ I ψ ψ

71 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Fceur d échelle : ω e ψ I ψ ψ Tes d odelees : Cheu ec / 4 Odelee ère ψ π e Avec le fceur d échelle : ψ 3 Fceur d échelle :.867 ψ ψ.5 Fceur d échelle : ψ ψ Tes d odelees : Odelees d'igrd Dubeches ψ cos s 5 Fceur d échelle : Odelee ère [ ] e ψ I ψ ψ

72 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Fceur d échelle : e ψ I ψ ψ Tes d odelees : Odelees de Gbor Trsforée e odelees de Gbor Odelee ère Gboree Fceur d échelle : ν ψ π F, ν 4 e τ 4 πντ π f τ e e dτ e πν e ψ I ψ ψ Fceur d échelle : ν e ψ I ψ ψ Odelees de Hr Odelee ère ψ s s s s < < / / <.. ψ ψ

73 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Algorhe de ll lgorhe rdl de ll rélse l décooso d u sgl e ue soe d odelees s que s recosruco, suv u rocessus érf rde. e sgl do vor ue logueur égle à ue ussce de. rsforée e odelees l êe logueur que le sgl. e sgl décoosé, es cosué [à chque ée de l décooso roee qu coe veu] de res :. l re lse ou roo, cosuée des ers coeffces du sgl décoosé,. l re dél, cosuée du rese des coeffces du sgl décoosé re dél es elle-êe forée de luseurs séqueces, rerése l foro à dfférees échelles lse urésoluo : le résul de l décooso du sgl es u roee e ue re de lse à coeffces e ue re de dél le rese des os coe l décooso du sgl e odelees à dfférees résoluos. Alse e odelees wveles Décooso lse urésoluo odelees os lse dél flres h,g Sgl d'erée os os V W Sgl décoosé u veu V lse dél flres h,g V W Sgl décoosé u veu... lse V dél flres h,g W Sgl décoosé u veu V W W W os os os os : obre de veu de décooso, de résoluo Sgl décoosé u veu os ecosruco shèse os os os V os W W W os Sgl décoosé... ecosruco flres h,g V Sgl recosru u veu ecosruco flres h,g V Sgl recosru u veu ecosruco flres h,g os Sgl d'erée V Sgl recosru u veu 3. 7

74 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso es ées de décooso e de recosruco euve êre vues coe u flrge, de I h e g : Décooso ecosruco flres déco d'ordre erolo d'ordre flres sgl h ~ lse lse h sgl g ~ d dél dél d g Décooso : d,, l l h ~ [ l ] g~ [ l ], l, l ecosruco : h ] d g[ ],, [, : dce du veu de décooso ;,, l : dces sur les sgu, d, h, g. h ~ rerésee h reversé ds le es. déco d'ordre cosse e l suresso sous-échlloge d u coeffce sur deu erolo ou sur-échlloge d ordre s'effecue e ercl u ere chque échllo du sgl. I des flres de Décooso/ecosruco h[ ] <,,, > sse - bs. O g[ ] h[ ] g[ ] < ψ,,, > sse - hu vec : ψ : odelee ère : foco d échelle, ecore elée odelee ère, e défe r : /,, où, Z es ue bse de V, V j cosu ue sue de sous-esces eboîés de, eseble des focos coues d ue vrble réelle e de crré soble. es flres h e g déede doc des odelees ulsées. Eele : Odelees de Hr : h [],,,,, où l élée soulgé corresod à l dce g [],,,,, Odelees de Dubeches : h [] es el que : h [ ] h[ ] Alse e que d odelees wveles ces Décooso lse urésoluo que d odelees os lse dél flres h,g Sgl d'erée V V W lse dél lse dél flres h,g V W,... lse dél lse dél V W, W W...,,3 W, W,3 lse dél W W,, flres h,g V W, W, W,3... W W,, Sgl décoosé os os : obre de veu de décooso, de résoluo Does rcu d lco des odelees l lse vocle l lse de sgu rdr l coresso des sgu 3. 8

75 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Eeles de résuls d ue lse e odelees Trsforée e odelees de Dubeches à 4 coeffces logueur du sgl d'erée do êre ue ussce de, e >4 Défo de l'odelee ère G f : 3 F : f f <.5 f oherwse :,.99.. ODEETTES D f G : f > oherwse 3 : F f < F oherwse G Défo des odelees flles W,j ddques obeues à rr de l'odelee ère G Wj, : G j j Qud j eer vre, les odelees W,j chge e échelle d'u fceur égl à ue ussce de. Eele : W, W, Trsforée e odelees T,j, de l foco u o à l'échelle j T, j, : j j W, j d T es défe à rvers ou l'e réel, s les odelees so e es lé. vleur de T our u s rculer e ue échelle j rocure de l'foro sur sur u ervlle de es de lrgeur j ceré e. es rsforées our ue échelle j lrge four de l'foro our des ervlles de es lrges. es rsforées our ue échelle j égve lse les crcères de à ue ee résoluo 3. 9

76 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Eele : le sgl do vor ue logueur égle à ue ussce de lgorhe de ll. rsforée e odelees l êe logueur que le sgl So l foco : e 3 : e Echlloos à 5 os uors l cosruco du veceur sgl P : :.. 5 : 5. P : P 5 5 Trsforée e odelees dscrèe : r l foco égrée hcd : TP : dwvele P legh TP 5 legh P 5 es ers élées de TP so elés les coeffces d'roo. es élées ress so les coeffces de dél. rsforée TP coe 8 veu de dél : es 56 derers os reresee les foros à l lus fe résoluo, les 8 os récédes reresee ue échelle fos lus lrge, ec... es élées d 3 doe l'foro à l'échelle l lus lrge. TP : 3 P : logueur Trsforée e odelees os TP : logueur 9 5 os os lse coeffs échelle l lus grossère veu dél rese échelle l lus fe veu 8 6 P TP es coeffces de l rsforée e odelees TP so roches de our les résoluos les lus fes f du bleu de coeffs TP. -> coresso du sgl P r rocure de l rsforée TP ulo des derers coeffces de l rsforée, corresod à l résoluo l lus fe eu êre evsgée. 3.

77 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Pour chque échelle, l oso d'u élée à l'éreur du veu uquel l re coïcde vec l loclso ds le es de l crcérsque à esurer du sgl. Pour vsulser l'foro, l es s rque d'éedre chque veu à l êe logueur que le sgl orgl P. ous lceros les 8 veu éedus ds u bleu uque A : veu : r:.. 8 Iforo à l'échelle r : veu 3, coe 8 coeffces : r: 3 A r, : TP. r floor 9r veu 6, coe 64 coeffces : floor re eère r: 6 A 3, A 6, 4. 4 Pour vor l relo ere les veu e le sgl orgl, ffchos luseurs veu de dél sur le êe grhe, sous le rcé du sgl orgl : P A, 6 A 3, 3 A 5, 'foro ds TP uorse l recosruco colèe du sgl P. Pour recosrure P, ous lquos l rsforo e odelees verse : : T, j, W, j j so, r l foco égrée hcd : S : dwvele TP P S e grhe ore que S coïcde vec P. 3.

78 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso erqu que les coeffces à l'échelle l lus ee f du bleu de coeffs TP so be féreurs u coeffces des résoluos suéreures, cel suggère que l'o usse coresser le sgl P r rocure de l rsforée ulo des derers coeffces de l rsforée, corresod à l résoluo l lus fe. Igoros r eele les 3 lus es veu, e recosrusos P à rr de l rsforée roquée, e coe que 64 élées dfféres de. es 3 derers veu so cosués des derers élées detp. : TP : C : dwvele TP P C e grhe ore que C es ue ssez boe rélque de P, be que le f d'vor goré les déls les lus fs roduse ue ge ssez uvre du c éro de P, qu es ue crcérsque de dél ssez f de P re rde de P occu doc les Hues Fréqueces. Pour vsulser les odelees elles-êes, o eu verser ue séquece rsforée coe seulee u coeffce o ul. : for.. 5 w : dwvele Vue élrge : w w e coeffce o ul de se sue ds le veu qu débue à l'élée 64, s ous ouvos suer l loclso eorelle de l'odelee dérr à :

79 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Alco : coresso de l foro eele vec les odelees de Hr l rsforo e odelees rélse ue coresso eorelle sle ds le cs D du sgl Décooso du sgl ss eres Décooso du sgl vec eres coresso vec eres Tou ou re coeffces les lus fbles e vleur bsolue du dél d u ou luseurs veu de décooso es ullé Coresso & lse ulrésoluo. à D : l coresso cosse à surer les coeffces d lse les lus fbles e vleur bsolue flre Dooho. à D : l coresso cosse à surer les veu de résoluo les lus fs. 3. 3

80 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso lse v : h Odelees de Hr D & D - Coresso Trsforée e odelees de Hr de veu logueur du sgl legh v 4 for.. rows h hr h rows h for.. rows v v hr f for.. rows s s v hr oherwse I h sse-bs du flre de Hr h h reverse Coeffces d'lse : hr*v hr Décosous-éch. d'ordre de del v : for.. h for.. rows h g h for.. rows g gr g rows g for.. rows v d v gr f d for.. rows d ds ds d v gr oherwse I h sse-bs du flre de Hr h I g sse-hu du flre de Hr g g reverse Coeffces de dél d : d gr*v gr Décosous-éch. d'ordre de d wvehr v : lse v d del v w sc, d w lse dél w lse dél 3. 4

81 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Trsforée e odelees verse de Hr de veu recosruco, d : h for.. rows h g h for.. rows s s for.. rows d ds d I h sse-bs h I g sse-hu g Ierolo sur-éch. d'ordre de & d our doer res. s & ds ds for.. rows s v s h f v s h for.. rows ds v ds g f oherwse v s*h v v v v v ds g oherwse v ds*g v s*h ds*g rows w wvehr w : subr w,,,, d subr w, rows w, rows w,, v recosruco, d v Coeffces d'lse Coeffces de dél d ecosruco 3. 5

82 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Trsforée e odelees de Hr de veu leghv ; ; wvehr v, : v for.. lse d del w d for,.. f > w sc w, d w w sc, w Trsforée e odelees verse de Hr de veu rows w wvehr w, : subr w,,,, for,.. d subr w rows w rows w,,,, for,.. recosruco, d Progro de l décooso e odelees de Hr D de veu v sgl orgl v w w w 3 d 3 d3 d d d d rsforée e odelees de v u veu lse d dél rsforée e odelees de v u veu lse d dél rsforée e odelees de v u veu 3 3 lse d 3 dél

83 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Tes sur séquece séquece s : Décooso u veu w : wvehr s w ecosruco u veu v : wvehr w v Décooso u veu w : wvehr s, w ecosruco u veu v : wvehr w, v Décooso u veu w : wvehr s, w ecosruco u veu v : wvehr w, v Décooso u veu 3 w : wvehr s, 3 w v : wvehr w, ecosruco u veu 3 v

84 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Tes sur sgl D o vo l coresso eorelle du sgl fle : "s." s : EADP fle :.. legh s legh s 64 sgl D 4 s 5 Décooso u veu /ecosruco u veu w : wvehr s, v : wvehr w, legh w s w v Décooso u veu /ecosruco u veu w : wvehr s, v : wvehr w, v : wvehr wvehr w,, fu s rgolo cr roo du résul! w v v Décooso u veu 3 /ecosruco u veu 3 w : wvehr s, 3 v : wvehr w, s w v

85 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Tes sur sgl D fle : "bo.b" I : EAD_IAGE fle sgl D ge I Trsforée de Hr D e de veu wvehr I, : wvehr W, : for.. rows I W T for.. rows W I T I T v w W W T w v I wvehr v, w Trsforée Hr verse D e de veu wvehr w, v Trsforée de Hr D e de veu wvehr I, : Trsforée Hr verse D e de veu wvehr W, : for.. cols I W for.. cols W I v w W w v I I wvehr v, w W wvehr w, v Trsforée de Hr D de veu coe Trsforées D e e sérblé wvehrd I, : W wvehr I, W wvehr W, W wvehrd I, : W wvehr I, W wvehr W, W Trsforée Hr verse D de veu wvehrd W, : I wvehr W, I wvehr I, I ou ecore cel reve u êe : wvehrd W, : I wvehr W, I wvehr I, I Décooso e odelees de Hr D à rr de décoosos de Hr D e wvehr e e wvehr e. veu d ou ecore cel reve u êe : d d d d dd... vec d d... d dd vec... d d... WwvehrdI WwvehrW WwvehrI WwvehrdI WwvehrW WwvehrI 3. 9

86 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso ecdrge de dque our occuer ecee l lge -> 55 d'ue ge recd I : I, I, for.. rows I for.. cols I I, I, J ruc, f f I >, I <, for.. rows I f for.. cols I J I J oherwse I, 55 Trsforée de Hr D e e e de veu o vo l coresso sle Décooso/ecosruco u veu e Décooso/ecosruco u veu e W : wvehr I, J: wvehr W, W : wvehr I, J : wvehr W, W J W J ecdrge de dque W : recd W W : recd W W J W J 3.

87 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Décooso/ecosruco u veu e Décooso/ecosruco u veu e W : wvehr I, J: wvehr W, W : wvehr I, J : wvehr W, W J W J ecdrge de dque W : recd W W : recd W W J W J Trsforée de Hr D de veu coe Trsforées D e e e de veu Décooso/ecosruco D u veu Décooso/ecosruco D u veu W : wvehrd I, J: wvehrd W, W : wvehrd I, J : wvehrd W, W J W J ecdrge de dque W : recd W W : recd W W J W J 3.

88 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Coresso de sgl vec eres effecuée c sur le sgl eer lors qu'e rélé o l'effecue à D r feêres res de s our l role ou à D r blocs crrés de els 88 r eele JPEG ou r bdelees zoes de els. de lus les odelees de Hr e soe s rès dées, corree à celles de Dubeches lus coces Aulo des coeffces de del de veu de l rsforée de Hr D rows w cudel w, : subr w,,,, for,.. d subr w rows w rows w,,,, d for.. legh d for,.. sc, d Aulo des coeffces de del de veu de l rsforée de Hr D cudel W, : for.. rows W cudel W, : W T w v V cudel w, v V T cudeld W, : W cudel W, W cudel W, W for.. cols W V w v V W cudel w, v or sgl/bru overll e e db : dceur de l qulé de l coresso S, u : log Coverso D e D cdd I : legh legh cols I u for.. rows I for.. cols I Coverso D e D cdd, : legh I, I, 3. I for.. for..

89 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Coresso de séquece séquece Décooso veu w : wvehr s, Avec u êe u de coresso, o ur ue be elleure qulé e ul l oé des coeffces du dél de vu qu so les lus fbles e vleur bsolue! 3 Coresso veu ecosruco veu w w : cudel w, w v : wvehr w, v S s, v Décooso u veu ecosruco u veu s : w : wvehr s, w v : wvehr w, v Aulo dél veuw & coresso rès élevé 75% Décooso veu w : wvehr s, Coresso veu & ecosruco u veu w : cudel w, w : cudel w, w.77 v : wvehr w, v.77 S s, v Aulo dél veu u coresso élevé 5% Décooso veu w : wvehr s, Coresso veu ecosruco u veu w w : cudel w, w v : wvehr w, v.77 S s, v Aulo dél veu u coresso fble 5%

90 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Coresso sgl D fle : "s." s : EADP fle :.. legh s legh s 64 sgl D 4 s 5 Décooso veu /Coresso veu /ecosruco veu w : wvehr s, w : cudel w, v : wvehr w, S s, v s v 5 5 Décooso veu /Coresso veu /ecosruco veu v s 5 w : wvehr s, w : cudel w, v : wvehr w, S s, v s 5 v 5 v s 5 Décooso veu /Coresso veu & /ecosruco veu w : wvehr s, w : cudel w, w : cudel w, v : wvehr w, S s, v s v v s

91 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Coresso sgl D fle : "bo.b" I : EAD_IAGE fle Trsforée Hr D e e e veu Décooso veu /Coresso veu /ecosruco veu Tu 5% W : wvehr I, W : cudel W, J: wvehr W, W : wvehr I, W : cudel W, J : wvehr W, I W J W J Coverso D e D e Trsforéee D : cols I D->D/Décooso veu /Coresso veu /ecosruco veu / D->D Tu 5% : c'es rel! : cdd I w : wvehr, w : cudel w, v : wvehr w, J : cdd v, I J Trsforée de Hr D de veu coe Trsforées D e e e de veu Déco.v. /Cor. v. /ecosr. v. Tu 75% Déco. v. /Cor.v.& /ecosr.v. Tu 87.5% W : wvehrd I, W : wvehrd I, W : cudeld W, W : cudeld W, J : wvehrd W, W : cudeld W, J : wvehrd W, W J W J 3. 5

92 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Décooso e odelees D ges Décooso er veu : obeo des 4 qudrs Alse/Dél Alse/Dél ecosruco er veu : à rr des 4 qudrs ecosruco ecosruco 3. 6

93 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso II. AAYSE CEPSTAE oul de crcérso eorel e Cesre colee de l séquece es l séquece z TZ z vec : [ ] c s défe : TZ [ l z ] séquece des coeffces cesru c d u sgl four ue lse eorelle du sgl. c TZ C z du cesre c es doée r s z E rége hroque C f z e e ω π f, o, e er C c z C coverge : z l z f f f e vec f Arg[ f ] : f l f l f e l f f Cesre fréqueel [ ] TF c C f E rsfor, à l de du logrhe, u rodu e soe, l reréseo de C f des sgu à Tes Dscre s ree u dgre de Bode des sgu à Tes Cou. e Cesre c eu doc églee êre obeu r Trsforo de Fourer verse de C f : c TF π f [ C f ] TF [ l f ] TF [ f ] l f e df Pour u sgl réel, les roréés de sére de l TF doe le résul slfé : π π c l f cosπ f df f sπ f df π π π π f e π f df erque Ds ceres lcos coe le ree de l role, o e clcule qu ue re de Cesre qu corresod u odule de f : c π l f cosπ f df Cesre de l réose d u flre lére So u flre uérque lére de FT H z e d erée/sore resecves e e Cesre c de l sore s obe à rr de celu c de l erée e de celu c h de l I h du flre : c TZ. [ l Y z ] TZ [ l H z z ] TZ [ l H z l z ] TZ [ l H z ] TZ [ l z ] h so : c c c 3. 7

94 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Alco : Tree de l role S l o red l eele d ue lco e ree de l role, u odèle de roduco de l role cosse ds l relo suve : f T h T * e T où :. f T es le sgl vocl échlloé à l érode T,. h T, l éose Iulsoelle du codu vocl crcérs ce derer ds u lbs de es e., le sgl d eco ere de shéser le sgl vocl. e T éhode de clcul des coeffces cesru codu à effecuer ds l feêre eorelle d lse ue décovoluo de l relo récédee f de sérer les corbuos du codu vocl e de l eco. lse cesrle rocède de l fço suve our rsforer le rodu de covoluo e ddo : - Pour rsforer le rodu de covoluo de l relo récédee e rodu sle, elle oère ue TFD ω T / de f T, so : F ω f T e vec : le obre de os de l TFD, O oe dfféree l TFD de T f r : f T e ω T / ω π, ω ω, ω ω. F, F T, F ω, F ω T, e O, e o H ω e E ω, les TFs resecves de h T e e T : F ω H ω E ω - Elle lque le logrhe à l relo récédee, our rsforer le rodu e ddo : log F ω log H ω log E ω F ω... - Elle reve u doe eorel our doer le cesre crcérs l sgl f T déf r : TF log F ω [ ] lse cesrle es ue lse eorelle le cesre be qu gre du o «secre», es s ue sore de secre. Elle doe les coeffces cesru. Coeffces cesru es dfférees ées d ue lse cesrle 3. 8

95 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso III. AAYSE PC Codge Prédco ére Vor chre sur l rédco our colées oul de crcérso eorel lse PC es ue lse eorelle, s de obreu rères euve êre ébls ds le doe fréqueel. O l déjà recorée vec les flres foreurs A. lse PC s ue sur les coeffces du flre foreur A d ordre qu, ecé r u bru blc de vrce V à déerer, rodu le sgl cosdéré, à éuder. séquece { } es doc le résul du codge PC e ser de bse à l lse PC. Déero des coeffces du flre foreur A : Ds ue lco de ree de l role r eele, l éhode PC clcule des coeffces sur u échllo de role r rédco à rr d ue odéro lére d u obre f d échllos le récéd. Cee éhode ulse le odèle suv de roduco de l role : T : érode d échlloge et et Iulsos érodques Bru blc T T Eco Codu vocl Prole Vosé/o vosé G/Az st flre A e T e codu vocl, qu flre le sgl d eco, eu êre sslé à u flre récursf. Avec ue boe roo, le sgl s T qu l ée à u s eu êre clculé à rr des vleurs qu l rses u ss récédes. A l s T, le sgl s T eu doc s erer coe ssu d ue cobso lére de so ssé u ss récédes, e d u ere d erreur e T à ce s reréseé r le sgl d eco du odèle de roduco de role : s T s [ T ] Ge T G : g de réglge Ge T : erreur de rédco [ T ] 3. 9 s : re réde [.. ] : coeffces de rédco e odèle de roduco de l role flre foreur A s écr : G S z E z G : g de réglge A z G / A z : FT du codu vocl E z : TZ de l eco S z : TZ de l sore du codu vocl sgl de role odèle : A z z d où : GE z S z A z S z z so ds le doe eorel : Ge T s[ T ] so, e f : Ge T s T s[ T ] e ere Ge T es l erreur de rédco, erreur ere l échllo de role réel e l échllo réd. rédco lére de T s es doée r : s T s[ T ]

96 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Pour déerer les coeffces, o eu ser l éerge W de l erreur sur l ervlle de es [ T, rt ] : W r [ Ge T ] r O : W s[ T ] s[ T ] js[ j T ] r r j so : W js[ T ] s[ j T ] js[ T ] s[ j T ] e : W j j C j j r j vec : C j s[ T ] s[ j T ] Pour ser l éerge W de l erreur, o eu ulser l éhode des odres crrés : E écrv que l dérvée relle de W r ror à es ulle, o l équo suve : C C r Pour l résoluo, l ervlle de soo [ T, rt ] eu êre déf de fços selo que l o ulse l ue ou l ure des éhodes suves : [ T rt v de à - éhode d uocorrélo : l ervlle de es, ] e o cosdère le sgl ul hors de l ervlle d échllos [, ] où es le obre de os cosdérés our le sgl de role. - éhode de covrce : l ervlle de es, ] [ T rt es lé à [, T]. es coeffces de rédco PC coduse à ue eso du secre de role ue fos l fluece de l eco élée. Ce so les coeffces du flre foreur A do l erée es u bru blc de vrce V. cf...3. «Eso de l DSP à rr du odèle A du sgl» du rése chre : secre V φss ω jω e lse PC résee rclee vges : - Elle es dée à l éude de héoèes évolu rdee u corre des éhodes fréqueelles qu dove êre effecuées sur ue durée suffse logue s l o veu que le secre so cou vec ue récso coveble. - rédco ere d éler ue r ore de l redodce du sgl. redodce es crcérsée r l rrvée d échllos e fourss s d foros ouvelles; rédre l vleur du sgl e foco de ses vleurs ssées ere de débrrsser le sgl de ses seudo-foros. Cee redodce es qu éhéère locle e les coeffces de rédco lére dove êre réjusés régulèree. j j j PC FFT du sgl gééré r le flre foreur A de coeffces Eele de flrge PC, FFT e Cesre fréqueel sur l voelle «e» du o «solel» ds l hrse rlée : «bse e le solel se dsue». 3. 3

97 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Eso héore de l eso es u doe d lco or du Tree du Sgl. Il es e effe rès fréque qu ue foro que l o cherche à coîre e so s drecee ccessble, s so erceble à rvers ue ure grdeur observble. es éhodes eses d eso d ue foro d rès l cossce d ue esure se rérsse e groues suv l ure que l o doe à cee foro :. s elle es léore, ces éhodes relève de l héore bésee de l eso, ds que. s elle es déerse, o rler lors de héore de Fsher. e ou héorque cerl de l ère es cosué des echques d eso bésee. Ces derères so r l sue coléées du rce d orhogolé ssque, qu codu oe à éhodes rès clsssques de flrge ssque, que so le flrge de Weer e le flrge de de l. Bsée sur ue roche rès dfféree, l héore de Fsher ore ou d bord que l eso d ue foro déerse à rr de esures bruées es écessree echée d erreurs. Ue clsse rculèree éresse d eseurs cosue lors les eseurs de u de vrseblce. IV. AAYSE SPECTAE e secre d u sgl déerse s obe r Trsforo de Fourer. Pour u sgl léore, o e dsose que d ue rélso écessree roquée du sgl e our e ober le secre ou luô l Desé Secrle de Pussce, l es dsesble de qulfer le résul obeu le secre, e eres ssques r référece u vérble secre.. EEETS DE A THEOIE CASSIQUE DE ESTIATIO Ds les roblèes d eso, o géérlee ffre à cégores de vrbles : : u veceur de vrbles coues que l o cherche à déerer. : u veceur de vrbles esurées observo, do l vleur déed d ue ère ou d ue ure de celle de. Déerer à rr de e doc e foco de cosse à rer de ère déerse les esures our ober ue grdeur ˆ, roche de, so : ˆ f bru f ˆ E rque, l e suff s d effecuer ue seule eérece ulso d u seul our récer s l foco f es ssfse. Il fu evsger des résuls oes or sur u grd obre d eéreces. e elleur oe d effecuer cee lse de vldé ou de qulé de f es de lcer le roblèe ds u coee ssque, e cosdér que ou ou re des vrbles, erve ds le roblèe, so des rélsos de vrbles léores. Eele : cs oovrble So à déerer l ccéléro de l eseur g à rr de l observo de l vesse de l chue d u cors : l ccéléro g s obe à rr de l vesse v du cors e du es r l relo lére : v g. E rque, o s ccès à l vesse vre : v es ue esure bruée de l vesse. O l corresodce vec les oos récédees : g ĝ ˆ v v g ˆ f v ˆ f 3. 3

98 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso S les veceurs e so cosdérés ous deu coe des rélsos de Vrbles Aléores e Y, l héore de l eso es de héore géérle de l eso dûe à Bes. S es ue grdeur coue déerée déerse e ue rélso de l VA Y, o es ds le doe de l héore clssque de l eso héore de Fsher. C es cee secode hohèse qu v erere de rer de l eso secrle.. ˆ f ser ue rélso de ˆ f Y. ˆ, veceur léore, es elé eseur. ˆ, rélso de ˆ, es elé eso Bs e vrce d u eseur O déf le bs de l eseur ˆ f Y b E ˆ E f Y b Selo que b ou o, o dr que l eseur es o bsé ou bsé. r : [ ] [ ] [ ] O déf l rce de vrce-covrce de l eseur ˆ f Y [ ] P r: E ˆ E[ ˆ ] ˆ E[ ˆ ] P Cs oovrble Ds le cs oovrble, l eseur ˆ fy [ ] our bs b E [ ] ˆ e our vrce: σ [ ] E ˆ E ˆ Evdee, lus b e σ so fbles, elleur es l eseur. lheureusee, géérlee, l duo de l u rovoque l ugeo de l ure. Ds ces codos, u eseur bsé ourr êre référble, s le bs es fble, à u eseur o bsé s de rès grde vrce. E ˆ : e coros ere bs e vrce eu êre éudé e rélsé e e l EQ de l eseur: EQ [ ] EQ : Erreur Qudrque oee [ ˆ ] E[ ˆ ] E[ ˆ ] E E [ ] E[ ] es u oéreur lére, e es ue rélso de doc Coe : E[ ˆ ] E[ ˆ ] [ ] [ ] [ ] [ ] o : ˆ E ˆ E ˆ E ˆ E D ure r: E[ ˆ E[ ˆ ] ] E[ ˆ E ˆ [ ˆ ] E [ ˆ ] ] E[ ˆ ] E [ ˆ ] E [ ˆ ] E[ ˆ ] E [ ˆ ] E ˆ E ˆ E ˆ Eˆ E ˆ E ˆ E ˆ doc : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] c es-à-dre : [ ˆ ] ˆ [ ˆ ] ˆ E E E E σ b d où: b [ ] E ˆ σ e coros rî be cr l réduco de l vrce Cossce d u eseur σ r eele rovoque u ccrossee du bs b. O eu églee s éresser u roréés soques des eseurs. Pour ue coue à eser, o cosdère des veceurs d observo Y de deso crosse corresod à ue ccuulo des esures d où ue sue d eseurs ˆ, ˆ, e des roréés soques des bs b e des vrces σ. S l b l σ l eseur es d coss. 3. 3

99 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Eele es ue séquece déede gussee, de oee e d écr-e σ de vrce σ, sore e ergodque, o eu e eser l vleur oee à l de de l eso : ˆ O eu clculer le bs e l vrce de l eseur ˆ : bs b E[ ˆ ] E E[ ] : le bs b E [ ˆ ] E [ ˆ ] es ul b S { } vrce σ σ $ $ $ [ [ ]] [ ] E E es déede : E [ j ] σ δ e l oéreur E, j [] lére, E E E E or l séquece { } σ σ σ E E doc : E[ ] σ σ Coe b e que l σ Eele, l eseur es coss. Sous les êe hohèses que l eele, o eu eser cee fos l vrce l eso ˆ σ : eseur : ou eseur : σ de{ } ˆ σ s es cou ˆ σ ˆ s do êre esé sulée. à l de de O eu clculer le bs, b, de l eseur, Σˆ : bs b E [ ˆ Σ ] E E[ ] σ σ b E Σˆ σ E Σˆ σ es ul b : le bs [ ] [ ] O eu clculer le bs, b, de l eseur, Σˆ ˆ : 3. 33

100 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso bs b [ ] Σ ˆ ˆ E E E E [ ] Σ ˆ E E E σ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Σ ˆ E E E E E σ σ [ ] Σ E ˆ σ σ σ σ σ σ : le bs [ ] [ ] ˆ ˆ σ σ Σ Σ E E b es o ul b σ O eu ceed l uler e re our eso : ˆ ˆ σ. THEOIE CASSIQUE DE ESTIATIO SPECTAE.. Eseurs de corrélo séquece d ercorrélo de sgu { } e { } Y s écr : [ ] Y E φ Avec l hohèse ergodque oee ssque oee eorelle, o : l De êe le sgl d uocorrélo s écr : l Eso de l uocorrélo Cel reve our u doé, à ue eso de l oee sur du sgl { }. Ds l rque, o e dsose évdee s d ue fé d échllos eorels d ue séquece rélso { } de { }, s seulee de échllos. O e eu lors effecuer cee oee que sur échllos de { } : e effe : le clcul des eres es sous à : our déf e our déf e l e eu doc se fre que sur l ervlle erseco de : e so : < s s s e rerqu qu ue uocorrélo es re, o : < > d où les eressos de l eso ˆ e de l eseur φˆ de l uocorrélo: ˆ ˆ φ

101 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso E E ˆ φ φ φ Coe [ ] [ ] b [ ˆ φ φ ] E[ ˆ φ ] φ E O ore que l vrce de l eseur es rooroelle à Coe o l déjà d, le clcul drec de l uocorrélo C es l eso ˆ de l uocorrélo qu e doe u résul fble., le bs de l eseur es ul :. eseur es doc coss.. es s rerésef cr o e dsose que d ue rélso { } lgorhe le lus souve ulsé our le clcul de l eso ˆ, e l roréé suve, où : l relo : * ˆ * lgorhe du clcul de l eso ˆ ˆ f el à l Trsforo de Fourer cr o { } TFD { } * es le cojugué de TFD Φ ω * ˆ eu doc êre celu-c : TFD,, ;,,. Clcul de { } { }. Clcul de { } 3. Clcul de ˆ TFD { } Eso de l ercorrélo,,,, ercorrélo es s ue séquece re. O eu rsoser le cs récéde our des sgu sores, ergodques e à vleur oee ulle : ˆ ˆ s s - O eu orer que cee eso es ss bs e cosse... Eseurs de DSP els :. Foco d uocorrélo Foco d uocovrce bus de lgge. DSP de TF [foco d uocovrce de ]... Eseur de DSP : éhode du érodogre Pérodogre So { } le sgl à crcérser échlloé u s d observo de{ }. So : T, e ue feêre { } f sgl observé sur ue cere durée. O : TF { } :, Y f de lrgeur, feêre jω f e Y ω 3. 35

102 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso O elle érodogre : S ˆ ω Y ω S $ ω Y ω Y ω Ds le cs { } réel : rel : s { } réel, o : Y Y Y cojugué de Y e Y TFD { } S $ ω Y ω Y ω jω jω jω jω Sˆ ω e e e e jω jω so, e os : Sˆ ω e e TF : [ ] où : f f ˆ ω e érodogre S du sgl es l TF de l séquece d uocorrélo du sgl feêré : [ ] S $ ω TF vec : f sgl feêré lgorhe du clcul de l DSP de r érodogre DSP f Auocorrélo TF ˆ / S ω feêrge Y ω ˆ TF / S ω Y ω bs de l eseur bs du érodogre O ore que l eseur es bsé, suf s l feêre { } vrce de l eseur vrce du érodogre f es fe lrge. O ore r core que l vrce de l eseur e due s qud ugee. e érodogre es doc coss suf our quelques cs rculers de sgu { }. Pérodogre oeé Du f de so cossce, e rque, l éhode du érodogre sle es eu ssfse. O réfère géérlee le érodogre oeé, qu cosse à clculer érodogres à rr de sous-sues du e à e effecuer l oee, rédus s, s les érodogres so déeds, l vrce de sgl { } l eseur ds le ror. C es l éhode de Welch. O : Sˆ ω où les { } f e jω so res de durée se chevuch de l séquece { } { } de durée : D D { } D { } 3. 36

103 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso vec :. : durée : obre de sous-sues { } de { }. D : déclge de chque sous-sue :. s D : le chevuchee C des sous-sues{ } es ul : C. so < D < : l chevuchee C des sous-sues{ } : C D. s D > o erd des échllos de { }, e s D o e eu bler { }.. obre de sous-sues :. s es dvsble r D, o : D. so o dvsble r D : E D S D es grd roche de le chevuchee des séqueces { } ou. E rerésee l re eère. es fble e celles-c euve doc êre cossérées coe relvee déedes : o lors érodogres déeds. e coros ere bs e vrce rî clree : our u doé, le bs ser d u lus fble que es grd lrge feêre, e l vrce ser d u lus fble que es grd. Il es clr que l ccrossee de e red les sous-sues o déedes, e l vrce e ser s rédue. Welch suggère le coros:.... Eseur de DSP : éhode du corrélogre ou ecore éhode de Blc-Tue O vu d ue r qu l ese u eseur coss des séqueces d uocorrélo e d ure r, que le érodogre es l Trsforée de Fourer de cee séquece d uocorrélo. O eu doc d bord eser l uocorrélo us e redre l Trsforée de Fourer. C es le rce du corrélogre : ˆ jω ω ˆ f e S O lcé ue feêre { } E effe our élevé, D ure r, { } TF [ ˆ f ] f de lrgeur our éver de fusser l eso de S ˆ ω. ˆ eu vor des vleurs dsersées. f do l êre églee, so S ˆ ω e le ser s. ˆ é re, { } O ore que l eseur corrélogre es coss. lgorhe du clcul de l DSP de Eso de l' Auocorrélo ˆ r corrélogre f DSP feêrge TF Sˆ / ω 3. 37

104 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso..3. Eso de l DSP à rr du odèle A du sgl lse PC THEOIE ODEE DE ESTIATIO SPECTAE bsée sur les rocessus gééreurs de sgl O vu qu u sgl eu êre reréseé r u odèle gééreur flre foreur ecé r u bru blc. e odèle ouv êre du e A, A, AA ou d E Guss-rov. A rr de l cossce des rères du odèle, o ourr lors clculer l DSP du sgl. vge r ror u echques clssques récédees es ue elleure résoluo secrle e l ossblé d defco e es réel des rères du sgl r flrge df. O s que l Foco de Trsfer d u flre A es : corresod à l équo récurree : Preos T our érode d échlloge our slfer les écrures. H z Y Y z z es DSPs d erée e de sore so relées r l relo : Φ ω ω ω où : Φ ω TF[ ] [ ] e Φ YY ω TF S { } YY H Φ z vec : e : uocorrélos. Φ ω so : YY Φ ω V es ue séquece blche de vrce V Φ ω V : ΦYY ω jω e Φ YY ω es obeu à rr de V e des rères du odèle A es évdee s cou à ror. Il fu doc rélblee «defer» les rères, qu so vec V, les soluos des équos léres de Yule-Wler : e jω V our : V s s re so, sous fore rcelle : ce so les équos de Yule-Wler : V ou ecore : v 3. 38

105 Tree du Sgl 3. Crcérso Alse - Trsforos fréqueelles. Eso Pour rélser ce clcul, ue verso rcelle es ossble s o ulse géérlee l lgorhe effcce érf de evso, ou ecore l éhode de Burg, qu éve ue verso rcelle. Y requer : E résué, l clcul de l DSP de l séquece { }. l eso de séquece d uocorrélo { }, à sérer ds le ssèe : V. le clcul des rères e de V à l de de l lgorhe de evso ou r verso rcelle. V. l ulso de l relo : ΦYY ω our ober l DSP cherchée. jω e 3. COCUSIO Coe oujours e Tree du Sgl, lus o d foros sur le sgl à rer, elleur es le ree rélsé. As, des éhodes lus usses d lse secrle Psreo, Pro,... ee à rof l cossce de l srucure du sgl à crcérser, ou lus géérlee, à rer

106 Tree du Sgl TP 3. Crcérso. Eso CAACTEISATIO I. TASFOATIOS FEQUETIEES TP 3. Crcérso. Eso TFD sgu sores T : Sgl à TD, échlloé à l cdece T, e d'ue cere durée T : Il s'g d'u sgl de role eregsree de l voelle "". fréquece d'échlloge es : F /T 8 Hz. e obre d'échllos es : 8. durée de l'eregsree es : T. s. Chque échllo es codé e oo sur oce. T. Fcher : : 8 :.. : EADWAV "o.wv" : 8 : :.. <- Focos ulseur -> : TFDI e 4 Trsforée de Fourer rde : FFT e obre de os do êre ue ussce de, so c 5 os. Du f de l érodcé de / de l Trsforée, le clcul de l FFT es lé à /. : 5 Cocluso : :.. : subr,,,, 799 : : TP 3.

107 Tree du Sgl TP 3. Crcérso. Eso ODEETTES crcérso de sgu o sores foco de Trsforée rde e odelees requer u obre d'échllos égl à ue ussce de : o red doc les 5 ers os du sgl orgl co 8 os. : 5 :.. : for.. Trsforée e odelees : Trsforée e odelees verse : w : w : ^- Focos égrées hcd er veu de décooso.555 w w w 3 Cocluso : Coresso r odelees Eele : coresso d'u fceur 3 O eu ulser seulee les /3 reers os de w Trsfo e odelees de our crcérser. Pour le vor, uler l rsforée e odelees w sur /3 < < our fbrquer le sgl w e redre esue l rsforée e odelees verse w e corer w à e rç l dfférece w-. Cocluso. w : w : wve w.949 w w w 3.58 Cocluso : TP 3.

108 Tree du Sgl TP 3. Crcérso. Eso Vsulso de l coresso : coresso d'ges : I : EAD_IAGE "bo.b" obre de coloes : : cols I obre de lges : : rows I 8 8 Trsforée e odelees : Tree D coloe WveD f : g wve f g Trsforée e odelees de chque coloe de l'ge : WveD: I : WveD I Trsforée e odelees verse : Tree D coloe IWveD f : g wve f g Trsforée e odelees verse de chque coloe de l'ge : IWveD: I : IWveD Ige orgle Ige odelees Ige odelees verse I Coresso d'u fceur : : CoressD u : TP 3. 3

109 Tree du Sgl TP 3. Crcérso. Eso Trsforée e odelees : Trsforée e odelees de chque coloe de l'ge Coresso D coloe WveDco f : g wve f g CoressD g g WveDco I : for.. cols I J WveDco I reur J : WveDco I : IWveD Ige orgle Ige odelees Ige odelees verse I TASFOEE DE HIBET Trsforo eorelle : 8 h : :.. <- Foco égrée à hcd cr l foco ulseur Hlber es ro lee h TP 3. 4

110 Tree du Sgl TP 3. Crcérso. Eso II. AAYSE CEPSTAE Trsforo eorelle CEPSTE : 5 :.. Cesre : c : <- Foco égrée hcd 6.6 c Cocluso : III. AAYSE PC Trsforo eorelle : 3 :.. 3 : for.. φ : : 8 : 3 veceur uocovrce coeffs du flre foreur 3 V: ^- obre de os lé cr so les focos ulseur r e YuleWler so ro lees. V TP 3. 5

111 Tree du Sgl TP 3. Crcérso. Eso ESTIATIO IV. AAYSE SPECTAE Trsforo fréqueelle Pérodogre : 5 :.. cor : Pérodogre : : Secre du sgl léore ds s globlé, à corer u secre drec de sur seule rélso : : FFT TP 3. 6

112 Tree du Sgl TP 3. Crcérso. Eso Focos Bblohèque : oee, Foco d'auocovrce r e Vrce V du sgl de d r l éhode d'ergodcé :. oee : o legh. Veceur d'auocovrce : vuocov legh o for.. r r. Vrce : Vr vuocov Foco YuleWler φ, : ésoluo du ssèe de Yule-Wler v r verso rcelle Prères d'erée :. φ : veceur foco d'uocovrce d du sgl d : φ, φ... φ. : d de l'ordre du flre foreur/pc A Prère de sore :. le veceur d : V: vrce du bru blc s flre foreur;,,... : rères du flre foreur/pc A d'ordre YuleWler φ, for.. Eele : : 3 r : 6 for j.. φ, j j b : r : 3 r : for.. b φ α φ b φ φ α for.. α : YuleWler r, V: V 4 : TP 3. 7

113 Tree du Sgl TP 3. Crcérso. Eso Foco YuleW, : ésoluo du ssèe de Yule-Wler v r verso rcelle Prères d'erée :. : sgl d :,.... : d de l'ordre du flre foreur/pc A Prère de sore :. le veceur d : V: vrce du bru blc s flre foreur;,,... : rères du flre foreur/pc A d'ordre YuleW, r vuocov YuleWler r, Bru blc de os de oee e de vrce V : Bru blc de os ceré de vrce.83 : Wheose A 8 P 3357 v for.. v od A v, P for.. w P v.5 w Bru blc de os de oee e de vrce V : BruBlc,, V V whe BruBlc,, V V Wheose éose reose veceur d. du flre A d'ordre coeffs u sgl veceur d. reose,, legh for.. f f < f TP 3. 8

114 Tree du Sgl TP 3. Crcérso. Eso TFD TFD legh ou ecore : TFD legh TFDI for.. π e TFDI legh for.. π e for.. reur I for.. cos π I I s π I Covoluo cusle sgu de êe logueur covcusl, h legh Trsforée de Hlber for.. Hlber legh f for.. f π TH TH covcusl, f h Covoluo cusle sgu de logueur dfféree covcusl, h legh legh h for.. h f < oherwse TP 3. 9

115 Tree du Sgl 4. Codoee - Flrge. Déeco I. CODITIOEET - FITAGE 4. Codoee - Flrge. Déeco. Prérees se e fore, lfco, feêrge, flrge... Précceuo e déscceuo Débruge - Télécoucos - Tree de l role e rce du débruge r récceuo-déscceuo cosse à élorer le or Sgl sur Bru. ors de l rssso d u sgl à rvers u cl sous à u bru, o élore le or Sgl sur Bru S e uls à l ésso u flre d de récceuo de FT H f e à l réceo le flre verse de déscceuo de FT H f H f. d So u sgl léore à TD, suosé sore u d ordre, ceré, de DSP coue S f. Ce sgl es rss à rvers u cl sous à u bru B sore u d ordre, ceré, de DSP S B f coue. O effecue à l ésso le frge H f e, f que l oéro lsse le sgl ule chgé, o effecue à l réceo le flrge verse H f H f : d B Y H f f H d W Précceuo - déscceuo Pr coséque, le sgl reçu our eresso : e bu es de déerer le coule { H f, H f } W où W rerésee le bru obeu r flrge du bru d qu se l ussce de W. s l fu s oser ue core. E effe, o ourr redre uss ee que l o veu l ussce de W e ull H f r u fceur A élevé e e dvs H d f r le êe fceur. Cel rcher s codur ô ou rd à ue suro, ue dsorso. core chose cosse à fer l ussce P Y e sore du flre d ésso f H, ce qu es rsoble e rque. erque : Ue sle sousrco du bru, à suoser que celu-c so cou, e rche évdee s, du f de so crcère léore. Déero des flres H f e H d f DSP du sgl Y e sore du flre H f doe l ussce P Y de Y : cf. chre [ ] [ ] U êe clcul lqué u flre H PY E Y YY TF SY f SY f df P H f S f df e τ Y d f ecé r le bru B seul doe our l ussce P W de P W E[ W ] d B H f S f df W : B. 4.

116 Tree du Sgl 4. Codoee - Flrge. Déeco Il fu ser P W vec l core de fer l ussce P Y à ue vleur P. Ue éhode clssque de so sous core es l echque des ullceurs de grge. Ds cee éhode, o ddoe à l eresso à ser, λ fos l core, ce qu codu à ser P λ P ou, ce qu reve u êe, à ser P P W λ : e f Il fu doc ser : Hd f SB f df λ H f S f df P E relç H Y P P à l vleur Y P, λ es u ullceur de grge S f r H f d f, cee eresso s écr : Hd f SB f λ df P H f λ Pour e ober le u, l fu chosr H d f S B H d f qu red u l eresso sous le sge de l égrle : S f f λ e doc qu ule s dérvée r ror à H f d H d f. d W Y Il ve : H f d S λ S B f f e clcul de λ se f e er l core : S f P H f S f df df SB f S f df H f λ d Flee, l ve our le flre de déscceuo : H d f SB f S f df S f λ S f P B S S B f f H d f P S B f S f df S S B f f e our le flre de récceuo : H f H d f P S B f S f df S S B f f 4.

117 Tree du Sgl 4. Codoee - Flrge. Déeco II. DETECTIO. Flrge dé ched flerg Ds le cdre du flrge dé, le roblèe es de déecer l résece d u sgl, cou, ds du bru e o le débruge de ce sgl. ous llos rer ce roblèe ds le cs dscre, le lus or our les lcos. Poso du roblèe O dsose de l esure bruée { } qu, selo l résece ou o du sgl { s } à déecer, êlé u bru { } eu redre fores : s b résece. b bsece. où :. { s } es u sgl déerse de durée B es u sgl VA léore ceré, sore u d ordre oes d ordre oee e vrce b es ue observo, ue éreuve, ue rélso.. { } sores, do { } Il s g de déerer u flre lére cusl, de I { } h, d erée/sore resecve { } e { } red l le or Sgl sur Bru S : Sgl o ose o, oé ρ le bu es s d éler le bru s de déecer l résece du sgl ule ds le sgl brué. e flre dé h cosue doc ue de à l décso. Il cosse e ccrossee du or Sgl/Bru. E o : e : o our le S : O oe fourss erques { } * * ρ ρ * s s * h s h : éose du flre à { s } à l s 4. 3 b b * h b h : éose du flre à { b } à l s ρ s EY [ B ] Flre dé Flre { h } { } b,, qu ρ, h : or des ussces sées à l s { Y } Décso Déeceur résece bsece * l vleur le de ρ ρ, { h } e { } * * ρ du flre cherché : ρ ρ { h }., de s ds de s ds h l I ole corresode. Af de fcler l âche du déeceur, o chos u crère de coû ρ qu corresod à l ro d u c sur our.. O suosé lcee que le sgl { } resrcve usque le bru es suosé sore. s rî à l s. vleur du u es lors défe à ue Cose rès, ou be fer s vleur r orlso : orlso. Cee hohèse es ullee * ρ de ρ es lbre de cho : o eu lsser s vleur défe, uquel cs l I { h } * * * s so : s s h

118 Tree du Sgl 4. Codoee - Flrge. Déeco 4. 4 Soluo Af de slfer les oos e les clculs, o ose où l dce sgfe everse: s s s s b b b b h h h h es équos: * h s h b b h s s euve lors êre réécres l covoluo es couve : * h s b h h b s h h s b s Ds ces codos e e coe du f que h es déerse : [ ] [ ] [ ] h h h B B h h B B h h b b h h b h s s h h s BB E E B E Y b s φ où : [ ] BB E B B φ es l rce d uocorrélo d uocovrce ds le cs sore du bru { } B le ere géérl de BB φ es j BB φ rce de Toelz As : [ ] h h h s s h BB B Y E s φ ρ ρ φ * * * * * h s s h h h BB Coe * ρ es l r ror à h, o écessree : * ρ ρ doc : h h h h s s h h * BB φ ρ cr : h s h s s h e [ ] B Y E BB h h φ e : * our h h h h é ue foco de luseurs vrbles qu sse r u u our * h h, o : h * où : h h h O relle les règles de dérvo rcelle: h h h d d, d d s h h s, [ ] h s s h h s d d e h h h h BB BB d d φ φ d où : h h s s h BB φ ρ * e coe : h * e : * h s o : h h s s h * * * * BB φ ρ * * s BB h φ ρ

119 Tree du Sgl 4. Codoee - Flrge. Déeco S * BB s φ BB ese φ BB régulère de déer o ul, o doc : φ * h ρ O eu clculer so : * ρ d rès l relo : h * s e e uls l relo récédee : s h s * φbb s ρ ρ * φ BB s s * Cs rculer or : { B } es u bru blc de vrce Pour u bru blc de vrce σ, o : φ BB σ I σ : E les forules ébles : * φbb * ρ s s e : h φbb s * ρ * s s ρ σ s σ e : h * s s devee : Coe * h es déf à ue Cose rès, o eu redre : ce qu reve à redre : s. * h s so : * h s,, e flre dé u sgl { s } u ses de l so du or Sgl sur Bru à l s doc our I l ge ds u ror du sgl { s } ge obeue e effecu u reversee du es. erques { } s { } Flre dé { Y } Déeceur résece bsece de s ds de s ds cossce du sgl { s } à déecer es écessre, s que l eso de l uocovrce du bru. e flre dé effecue l covoluo : Y s Y s so e os : : A u coeffce rès ullceur, cee relo l srucure d u corréleur, qu effecuer l ercorrélo ere { } e { s }. C es ourquo le flre dé es rfos sslé à u ercorréleur. Il fu ceed be oer les dfféreces de focoee :. ds u ercorréleur, es grd e << lors que :. our u flre dé, eu êre fble e. 4. 5

120 Tree du Sgl TP 4. Codoer.Flrer.Déecer CODITIOEET - FITAGE TP 4. Codoee - Flrge. Déeco : 55 :.. Tes de bru : b : 5 guss b : 5 whe Sgl és o brué : : s Bruge cl de rssso : b: b 5. Alfco o / éuo vl : : : r : s : Flre d'ésso Al. b r Flre de réceo / Al. s.698 s Cocluso :. Précceuo / déscceuo : P : : ff vuocov B : ff vuocov b : legh b Flre d'ésso Flre de réceo H f f Précceuo r H d Déscceuo s :.. FT flre déscceuo: Hd : FT flre récceuo: H : I flre déscceuo: hd : I flre récceuo: h : : r : s : s Cocluso : TP 4.

121 Tree du Sgl TP 4. Codoer.Flrer.Déecer DETECTIO AZ : s : subr s,,,,. Flrge dé : : 55 :.. Sgl o brué : s : s 5 Tes de bru : b : guss V : b : BruBlc,, V éhode géérle : Sgl reçu : b: b : s b : b 5 rce d'uocorrélo du bru : br : b Φ : S : 5 I du flre dé : Sore du flre dé : sr : s ρ : h : : covol, h : covol, h Cocluso: Cs rculer : bru blc de vrce V : Sgl reçu : b: b : s b : b sr : s h : : covol, h : covol, h ρ : TP 4.

122 Tree du Sgl TP 4. Codoer.Flrer.Déecer Focos Bblohèque : oee, Veceur r e rce d'auocovrce r e Vrce V du sgl de d r ergodcé :. oee : o legh. Vrce : Vr vuocov. Veceur d'auocovrce : vuocov legh o for.. r r. rce d'auocovrce : uocov legh r vuocov for for.. j.. r, j j Foco YuleWler φ, : ésoluo du ssèe de Yule-Wler v r verso rcelle Prères d'erée :. φ : veceur foco d'uocovrce d du sgl d : φ, φ... φ. : d de l'ordre du flre foreur/pc A Prère de sore :. le veceur d : V: vrce du bru blc s flre foreur;,,... : rères du flre foreur/pc A d'ordre YuleWler φ, for.. Eele : : 3 r : 6 for j.. φ, j j b : r : 3 r : for.. b φ α φ b φ φ α for.. α : YuleWler r, V: V 4 : TP 4. 3

123 Tree du Sgl TP 4. Codoer.Flrer.Déecer Foco YuleW, : ésoluo du ssèe de Yule-Wler v r verso rcelle Prères d'erée :. : sgl d :,.... : d de l'ordre du flre foreur/pc A Prère de sore :. le veceur d : V: vrce du bru blc s flre foreur;,,... : rères du flre foreur/pc A d'ordre YuleW, r vuocov YuleWler r, Bru blc de os de oee e de vrce V : Bru blc de os ceré de vrce.83 : Wheose A 8 P 3357 v for.. v od A v, P for.. w P v.5 w Bru blc de os de oee e de vrce V : BruBlc,, V V whe BruBlc,, V V Wheose éose reose veceur d. du flre A d'ordre coeffs u sgl veceur d. reose,, legh for.. f f < f TP 4. 4

124 Tree du Sgl TP 4. Codoer.Flrer.Déecer TFD TFD legh ou ecore : TFD legh TFDI for.. π e TFDI legh for.. π e for.. reur I for.. cos π I I s π I Covoluo cusle sgu de êe logueur covcusl, h legh Trsforée de Hlber for.. Hlber legh f for.. f π TH TH covcusl, f h Covoluo cusle sgu de logueur dfféree covcusl, h legh legh h for.. h f < oherwse TP 4. 5

125 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df ITODUCTIO Objecf e bu es de rsere u essge oreur d foro d u dsosf de dér elé éeeur vers u dsosf d rrvée elé réceeur r l erédre d u cl de rssso. es dégrdos que eu subr le sgl ds le cl de rssso so ulles : dsorsos, déforos secrles, bru, écho,... fgure suve llusre u cs cocre de cl rodus u écho : l rssso d u essge d ue our éerce vers u véhcule : Ds cee suo, l ode ése eu eruer ches our edre le réceeur : u rje drec e u rje réfléch sur u bâe. es es de rogo é dfféres sur ces rjes, le réceeur observe l sueroso de versos déclées du sgl és. Pr eele, s l o ée ue sue de sboles es eer e désge le es, o reço : α β α, β so réels e désge u rerd e obre d échllos : l erférece ere les sboles e objecf de l églso es de resuer le essge és à rr de cee observo qu es u verso flrée de l séquece rsse : c es l ulo d écho.. oes Ds le vde, les odes élecrogéques se roge rès be e les sos rès l. Ds l eu, c es l verse. Il es s évde que l rogo déed esseellee du leu : l es géérlee lus fcle de rsere u essge r u câble col de de log qu ere l erre e l lue! Ds ous les cs, l es érf d der le essge u cl de couco e de rer le sgl bru reçu our e erre le essge orgel. Pour ce fre, de obreu dsosfs erédres so écessres à u ssèe de élécoucos : Eeeur. U dsosf de uérso des doées.. U dsosf de coresso e de codge: l redodce du essge és uorse l coresso vec ou ss ere :. codge de source : suresso de l redodce du essge à rsere. codge cl : roduco d ue redodce du essge à rsere s le cl erurbe l rssso e vue de l déeco e correco des erreurs de rssso u veu du réceeur.. U oduleur : so rôle es d der le sgl u roréés secrles du cl de rssso. Pr eele, les fréqueces udo de Hz à Hz se roge rès l sous l fore d odes élecrogéques e l es écessre de rsler le secre d u essge udo uour d ue fréquece lus élevée our e ssurer l rssso. Cee rslo do urellee s effecuer ss lérer l foro orée r le sgl. odulo es églee jusfée r le f qu u êe cl de rssso eu êre ulsé r luseurs ssèes de couco ullege.. Ue ee : elle roe e dffuse le sgl ssu du oduleur ds le leu our lu erere de se roger ees rbolques our les odes Herzees, hus-rleurs ou hdrohoes our les odes cousques,... 5.

126 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df éceeur. Ue ee do le rôle es de cer le essge.. U déoduleur desé à reer le sgl reçu vers l bde de bse bde secrle du essge v odulo.. U dsosf de récuéro de oreuse ere de coeser u éveuel déclge ere l fréquece oreuse ulsée r le oduleur e celle ulsée r le déoduleur.. U dsosf d échlloge, rélre écessre à ou ree uérque. Ce échlloge do e géérl êre codé r u dsosf de schroso sbole ere de schroser échlloge e réceo vec le rhe d ésso des sboles.. U églseur do le rôle es de coeser les dsorsos rodues r le cl e les dfféres dsosfs élecroques de rssso. S srucure ece déed de l coleé de l lco cosdérée.. Des ssèes de décodge e de décoresso. Il es clr que l descro récédee e doe qu ue ge grossère de ce que eu êre u ssèe cocre. E rculer, l décooso du ree globl e odules déeds es souve rfcelle. obre de dsosfs effcces ese cojoee luseurs des rères écessres u bo focoee du réceeur. odélso héque Du o de vue héque, les oéros décres récédee s écrve grossèree de l ère suve : es sboles oreurs d foro e sgl à rsere es ue sue { } de vleurs colees re à u eseble f. Eele : odulo de hse PS Phse Shf eg {, } Shf eg. {,,, } our ue odulo DP, odulo r Délcee de Phse à és BPS Br Phse Eele : our ue odulo DP4 à 4 és. odulo de oreuses e qudrure QA Qudrure Alude odulo { ± ±, ± ±, ± ±, ± ± } our ue odulo QA à 6 és. orsqu ue seule des oreuses es ulsée, l odulo QA se rédu à ue sle odulo d lude. Pr eele, {,,, } corresod à ue odulo d lude A Alude odulo, AS Alude Shf eg à 4 és. Doées res. Cosello E géérl, les euve redre vleurs dfférees. O rle de doées res. es dfféres és ossbles euve êre reréseés ds le l colee. reréseo ds le l colee des dfférees vleurs rses r le sgl u cours du es s elle ue cosello. Cosello d u sgl : reréseo ds le l colee des dfférees vleurs rses lhbe r ce sgl. Eele : Cosello d ue odulo à 4 és de hse {,,, } I * * e * * 5.

127 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df se e fore sue { } des sboles à rsere do êre séquecée ds le es. O ée les sboles à u rhe réguler. durée sér l ésso de sboles successfs es oée T. Elle s elle l durée sbole. A rr, o cosru le sgl à TC : de l sue des vleurs colees { } δ T covoluo de r ue ulso de se e fore d Π T Π four le sgl à TC : foco de se e fore Π l lus sle es l ore : Π T our < T so Eele : se e fore, r ue foco ore, de 8 sboles cosécufs d ue odulo à és ± : {,,,,,,, } d se e fore d'u essge uérque erque : Il es e géérl référble d ulser ue ulso de se e fore Π lus douce que l ore, f de ler l ecobree secrl. E effe, lus ue foco es lsse bsece de rsos rdes, de fros rdes, de rches d escler, lus s Trsforée de Fourer doc so secre décroî rdee, l s l ecobree secrl. odulo odulo vse à rsler le secre du sgl Bsse-Fréquece BF à éere d sgl odul uour d ue fréquece lus élevée ν oreuse ou e réserv l foro suorée r ce sgl. rslo du secre de d uour d ue fréquece oreuse effecvee rss ds le leu hsque. ν codu u sgl Hue-Fréquece HF e Pr d ue foco susoïdle oreuse A cos πν, l dée de bse d ue odulo cosse à fre vrer leee r ror à ν vro coe le sgl à rsere, l u des rères A, rle resecvee de odulo d lude, de fréquece ou de hse. ν ou. O orsque les vros du rère chos so effecvee lees r ror à l fréquece de l oreuse ν, le sgl obeu sgl odulé es à bde éroe uour de ν. es odulos so géérlee léres cr lors l églso es fclée. Ds ce cs, l rslo e fréquece covoluo r u Drc s effecue e ull d r ue eoeelle colee e es. e sgl réellee és s obe e re l re réelle ce qu our effe de sérser le secre du sgl réellee és. πν As le sgl HF és s écr : e e{ d e } 5. 3

128 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df E résué : d es u sgl BF à rsere πν d e es à bde éroe uour de ν e coore bdes de fréqueces : l ue uour de ν e l ure uour de ν. TF { d } { πν TF d e } { e } TF ν ν ν Secres du sgl odul, du sgl lque e du sgl odulé ν ν ν O oe P e Q les res réelle e gre du sgl rss : P Q eer d P Q réel e sgl odulé e s écr : Q e e{ d e } πν P cosπν Q sπν P Q cos πν rc P Cee relo ore que e eu êre vu :. coe l odulo de oreuses e qudrure. coe ue odulo de hse e d lude. Evdee, l es ossble de eloer que l ue de ces ossblés our rélser ue odulo d lude ou ue odulo de hse. Pr eele, s le sgl d es réel, seule l lude es odulée. Q Pour ue odulo de fréquece, rc eu êre rs coe foco lére o sore du es : P Q rc P e cl de rssso e sgl e se roge ds le cl de rssso. Ce cl es resque oujours suosé lére. As, s sore s ere coe covoluo de so erée r s I. U cl lére eu êre crcérsé de ère équvlee r s éose e Fréquece TF de s I. e sgl e jecé ds le cl é à bde éroe uour de ν, le sgl r rrv u veu du réceeur l es uss lorsque l hohèse de léré es vérfée. Il s écr : r e ~ r πν e où ~ r es u sgl BF colee. déodulo { } déodulo es l oéro verse de l odulo. e bu es de resuer u eu le sgl odul, BF, à rr du sgl odulé. Pour cel, l es écessre de rsler r vers l bde de bse bde de fréquece le v odulo. E o r ~ r πν e le sgl lque ssocé à r, l déodulo rodu le sgl : πν φ r e où l hse φ rdu le déhsge ere les oreuses de l éeeur e du réceeur φ vre léree u cours du es. 5. 4

129 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df es rees e bde de bse échlloge du sgl déodulé codu à ue sue de vleurs T τ. orsque le cl e ous les ssèes de ree so qus rfs, le sgl sub que eu de dsorsos. De ce f, l eso du essge és découle édee de : τ T d d où : E rque, ce es js le cs. es rcles sources d erreur so les suves :. I du cl es s déle I déle égle à ue ulso de Drc. échlloeur à l réceo es s schroe vec celu ulsé lors de l ésso ou à ue érode d échlloge dfféree de celle T de l échlloeur d ésso τ o cos. 3. fréquece oreuse ν ulsée r le déoduleur dffère de l fréquece ν ulsée r le oduleur fdg. Il es doc érf de rer le sgl de ère à eser u eu les sboles és. es rcu ssèes ere de coeser les dsorsos so les suvs, do le uéro dque le défu récéde corresod :. églso rédu les dsorsos lées esseellee u erfecos du cl de rssso.. schroso ou récuéro de rhe coese l déschroso ere les échlloeurs éeeur e réceeur. 3. récuéro de oreuse lue core le f que l fréquece oreuse ulsée r le oduleur dffére de celle qu ulse le déoduleur. e ssèe de récuéro de oreuse ere églee de coeser les déhsges lés à l effe Doler l effe Doler rî qud l éeeur ou le réceeur ou les deu so e ouvee : eele : so de fréquece vrble our u éo és r ue voure déss le éo. Π d e Bru b r oduleur Cl Déoduleur Tree cou Tree dscre c Chîe de Trssso τ T Eglso Ds le doe des élécoucos, les doées éses rverse u cl de rssso e les dfféres dsosfs élecroques ssocés à l éeeur e u réceeur. e rôle de l églseur es lors de rédure u eu les dsorsos orées r ces élées. Asec fréqueel E l bsece de bru, l églseur es slee u flre verse do le rôle es de redre le l éose Fréqueelle F de l eseble cl-églseur. orsque le cl de rssso es brué, u sle flre verse lfe cosdérblee le bru le bru occue les Hues Fréqueces e coe le cl ue F du e sse-bs, so verse es sse-hu lf s le bru e u ure crère es ulsé ds le êe bu u crère qudrque odres crrés s l éerge de l erreur ere l réose du cl-églseur réel e celle du cl-églseur dél. Asec eorel C ν F du cl ν E ν ν F de l'églseur H ν ν F de l'eseble ors d ue rssso, des sboles éléeres so és régulèree oues les T secodes. S r eele, l durée de l I du cl es féreure à l écr de es ere sboles cosécufs, ceu-c rese eorellee dsjos e sore du cl de rssso. Ds le cs corre, o e eu lus les dsguer slee les us des ures : u ree du sgl églso s ose. 5. 5

130 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df Dgre e oel Cosdéros u eele cs d école : le sgl és se coose d ue sue léore blche de e de -. reréseo doée c ulse 6 os r durée sbole. FT du cl coore ôle α e s écr : α H z où z rerésee c u rerd de /6 de sbole. α z vleur de α ulsée es colee : α.95e, dus u cooree oscll de l réose. I du cl es rès osclle, rdus ue résoce rquée de l F. reréseo eorelle des sgu d erée e de sore du cl e celle des cosellos cosello d u sgl reréseo ds le l colee des dfférees vleurs rses r ce sgl eree de se fre ue reère dée de l ure du roblèe. Pr eele, s l cosello e sore se coore de âches dsces, l es clr qu l ser fcle de resuer le sgl és. Il suff our cel d ulser ue foco o-lére sée de e seullge. Cee suo se rdu églee r le f que l reréseo eorelle du sgl de sore es rès roche de celle du sgl d erée. Il s vère souve ule de dsoser d ure odes de reréseo des sgu. E rculer, l fu oer que l u des défus jeurs de l reréseo sous l fore de cosello résde ds l ole dsro de l sec eorel. Ue ère coode de vsulser le u d erféreces ere sboles cosse à reréseer sur l durée de ou sboles, oues les cofguros ossbles de l sore, ssocées u dfférees sues de sboles ossbles e erée. Ue elle reréseo ore le o de dgre e oel. Dgre e oel : reréseo sur l durée de ou sboles de oues les cofguros ossbles de l sore, ssocées u dfférees sues de sboles ossbles e erée. E rque, l ouverure de l oel cosue u bo dceur du degré d erféreces ere sboles : lus l oel es feré, lus le u d erféreces ere sboles es or. I du cl Secre d lude du cl I FT Erée du cl 6 os/sbole Sore du cl re réelle 5 Eree e Sore Cosello du sgl d erée du cl Cosello du sgl de sore du cl 3. 5 I Eree I Sore 4 e Eree e Sore 4 Dgre e oel

131 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df I. CODAGE - DECODAGE ODUATIO - DEODUATIO odulos logques Pour que l occuo e fréquece so le, o ulse géérlee ue oreuse susoïdle l oreuse occue lors qu ue seule fréquece : l fréquece de l susoïde. 3 fços d'sérer le sgl à éere BF Bsse Fréquece ds l oreuse HF Hue Fréquece : O sère : - l BF ds l'lude de l oreuse : odulo d'lude A Alude odulo ou ecore AS Alude Shf eg - l BF ds l fréquece de l oreuse : odulo de fréquece F Frequec odulo ou ecore FS Frequec Shf eg - l BF ds l hse de l oreuse : odulo de hse P Phse odulo ou ecore PS Phse Shf eg E. Trssso d u sgl uérque : oreuse susoïdle : Sgl à rsere : veu veu odulo d'lude A : erque : Porée d ésso ore réfleo sur les couches hues de l oshère s u r d ue odre qulé le bru se greffe drecee sur le sgl ule, eveloe du sgl odulé odulo de fréquece F : Avge : Ecellee ué u bru le bru e se greffe s drecee sur le sgl ule s sur l eveloe du sgl odulé odulo de hse P : Avges : elleur déb de rssso e lus d ue ecellee ué u bru le bru e se greffe s drecee sur le sgl ule s sur l eveloe du sgl odulé oreuse : s Acosπ f l oreuse es qus-oujours susoïdle A A A s : c es l odulo A s : sgl à rsere f f f s : c es l odulo F s f : c es l odulo P π 3 es de odulo : - odulo logque coue - odulo logque r ulsos - odulo r ulsos codées odulo uérque HF : sgl oreur, oé s BF : sgl ule, sgl odul, sgl à rsere oé s Pour l odulo d'lude : s susoïdle de fréquece ll de qq. Hz à qq. Hz. Pour l odulo de fréquece : s susoïdle de fréquece de l'ordre de Hz. Avec ue oreuse de fréquece Hz, l'ecobree secrl du sgl udo de l'eele récéde occu de Hz à Hz, es rslé de Hz e deve e : de.5 Hz à. Hz l'ee es lors dée à oue l lge e ue deso rsoble. 5. 7

132 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df Il suff à l réceo de s'ccorder sur l fréquece oreuse, uour de lquelle l vro de fréquece relve es fble dfféreco sée, à ss odulo : l déeco, ou déodulo, cosse lors e u sle flrge fréqueel sse-bs, our éler l oreuse HF e e coserver que le sgl ule BF. Eele : Esso ss odulo de sgu de usque leur secre v de Hz à Hz : Secre d lude Secre occué occuo e fréquece S f Hz Hz f Hz Hz es sgu se élge s o les rse els quels cr, à l réceo, l es osble de les sérer. e rce de l séro cosse e u flrge fréqueel : le réceeur se cle sur sélecoe l fréquece ou l ge de fréqueces du sgl à déecer e éle le rese des fréqueces. S des sgu occue l êe lge de fréqueces, l es doc ossble de les sérer à l réceo. odulo cosse à effecuer ue rsoso de fréqueces du sgl à éere uour de l fréquece oreuse oreuse susoïdle de fréquece f ~ Hz. f de l As, l vro relve de fréquece du sgl odulé es rès fble e uorse ue déeco déodulo, flrge fréqueel ere de récuérer le sgl orgl e se cl sur l fréquece de l oreuse. Pour rsere luseurs sgu BF, l suff lors d ulser our chcu ue fréquece de oreuse dfféree uour de lquelle le réceeur se cler our l déeco. Eele : Esso vec odulo d u sgl de usque secre ll de Hz à Hz f ~ Hz : Secre d lude Secre occué occuo e fréquece S f f - Hz f Hz f Hz f f - Hz f Hz oreuses e euve doc vor l êe fréquece so o e eu déoduler l esce des fréqueces es règleeé. oreuse cosue doc ue eveloe u ses du courrer «osl» ds lquelle o sère le sgl à rsere c es l odulo our e s que les sgu à éere se élge dur le rsor. eveloe es elle-êe u sgl, le sgl oreur, de fréquece uque e de HF. déodulo do se chrger d éler cee «eveloe» r flrge fréqueel sse-bs les HF so élées. S le sgl à rsere es crcérsé r u secre rès éro êe à BF, l es clr qu l s beso de oreuse. s l lur des foros o our suor u sgl BF de secre de fréqueces lrge e vleur relve e dove doc êre odulés. odulo r ullco ecore elée odulo «ss oreuse» cr S f à f f Poreuse: s A cos π f Grhe de s : Sgl BF suosé susoïdl ds u er es: s A cos π f s Secre de s : S f A f f 5. 8

133 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df eréseo eorelle du sgl odulé s : sgl és s s s A A cos πf cos πf <--- s s sbf <--- sbf e sgl s es, u fceur A rès, le sgl s BF, qu es l eveloe, u ses grhque, de s. Secre Sf de s s A A [ cos{ π f f } cos{ π f f } ] d où le secre d lude S f de s décooso e sére de Fourer rédue c à ue sle lérso du rodu de cosus : A A Déodulo du sgl : s s S f f f f f f f Elle eu êre obeue e ull s r ue oreuse locle à l réceo: s vec : A cos π f us e flr s A A s s s A A A cos πf cos πf A [ cos 4π f ] cos πf A A A A s s s A cos π f A [ cos{ π f f } cos{ π f f } ] v élé r u flre sse-bs v s u fceur A A A rès. Secre de s : f f f f f f s s' s ullceur ' f Flre sse-bs f f v Alfceur A A A s 5. 9

134 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df odulo d'alude A eréseo eorelle du sgl odulé : s E. : s susoïdl : s A cos π f s [ ] cos πf [ A A cos πf ] cos πf A s E os : A : dce, ou u de odulo e % A A [ π ] cos πf o : s A cos f vec : A s s A, φ, A cos π f φ s s A,, vec A A s églge du u de odulo : es le sgl à rsere < < : eveloe > du sgl s A eveloe osve de s A A s à u fceur rès e u offse rès :. odulo es correcee rélsée. s sbf <--- sbf <--- s -A- : eveloe > du sgl s e éoge s suffse du sgl à rsere l sous-odulo l foro ule es déecble <--- sbf s : s <--- s sbf : eveloe > du sgl s o es à l le de l surodulo : es le sgl à rsere s à u fceur rès e u offse rès : eveloe osve de s A s sbf <--- sbf <--- s 5.

135 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df > : eveloe > du sgl s e éoge lus fdèlee du sgl à rsere ere d foros à l rssso, doc à l réceo : l surodulo s s sbf <--- sbf <--- s Secre du sgl odulé A E. : s susoïdl : s A cos π f s A s [ ] cos πf [ A A cos πf ] cos πf E lérs le rodu de cosus, o : vec : s A A A A cos f { cos [ π f f ] cos [ π f f ] } π d où les secres : A S f A A S f A f Déodulo du sgl A Déeco schroe f f f f f f f O ulse u osclleur locl à l réceo, oscll ecee à l fréquece f e délvr le sgl : s A cos πf s s' ullceur f Flre sse-bs f f v [ π ] cos πf E effe : s s A A cos f s d où : A A v élé r le flre sse-bs s cos πf cos 4πf cos[ π f f ] cos[ π f f ] v es be rooroel à s rès élo de l coose coue. 5.

136 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df Boucle à Verroullge de Phse Phse oced oo : P Pour éver le roblèe de fdg déclge ere les osclleurs à l ésso e à l réceo, o ulse de référece u sservssee P our recosuer s à rr de s our l déeco schroe : s u ulleur f Flre sse-bs f f VCO Sché soque d ue P [ ] 'osclleur codé e eso VCO Volge Corolled Oscllor délvre le sgl: u A s πf vec déed de l eso de code r l relo : d d vec : : C e e d d << πf s ulleur s' f Déhseur π / vce Flre sse-bs f u f u s P VCO Sgl déodulé s o éle l coose coue Déeco schroe à P odulo Bde érle Uque r ullco BU O vu que l ullco du sgl ule s A cos πf r l oreuse s A cos πf rovoque A A cooses fréqueelles susoïdles d'ludes e de fréqueces f f e f f. odulo BU e coserve qu'ue seule de ces cooses : E. : l Bde érle Suéreure BS sgl és : s cos[ π f f ] Avge : BU occue s ue bde de fréqueces lée r ror à l odulo r ullco occuo fréqueelle rédue. eréseo Teorelle de l BU S s es susoïdl de fréquece f s : susoïde d'lude C e de fréquece f f odulo BU Trslo du sgl ds le doe fréqueel rslo du secre, déclge, rsoso de fréqueces. A A 5.

137 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df Secre du sgl BU S s occue l bde de fréqueces [ f f ], le sgl odulé BU occue l bde [ f f f f ] S f, : A A Secres : A S f A f A A f f f f f f f f E e coserv qu'ue seule Bde érle, o le l bde de fréqueces écessre à l rssso. Déodulo de l BU s s ulleur u s : osclleur locl : s A cos π f s BU A A cos π f f f Flre sse-bs f f Sgl déodulé [ ] AAA [ π ] π { [ π f f ] πf } u A AA cos f f cos f cos cos odulo de Fréquece F e odulo de Phse P O sère le sgl BF ds l fréquece de l oreuse ere à éler flrge Avge : F es os sesble que l odulo d'lude u brus rses cr ceu-c gsse drecee sur l'lude du sgl odulé bru ddf doc du sgl ule à l réceo, e quse s sur s fréquece. odulo de Phse e odulo de Fréquece P e F e sgl odulé sgl és eu s écrre : s A cos θ vec : θ : hse de s. E odulo A : s erve ds A E. : E odulo P e F : s erve dsθ - e P: s d - e F: d s A f s cos s s A cos f s d el : s s A, φ, Acos π f φ π A AAcos f As θ πf : θ πf e : A A π s s A, φ, vec φ s 5. 3 π τ τ s s A, φ, vec φ s τ dτ e s A cos f π s le sgl odul es susoïdl.

138 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df Ds le cs où le sgl ule sgl à rsere, ecore elé sgl odul s éress our ue éude éléere : s A cos f A πf es susoïdl cs π, o, our eresso du sgl odulé s : [ ] - e F : s A cos πf s πf A cosπf s π f vec : A : dce de odulo. π f - e P : π π π π s A cos f A cos f A cos f cos f vec : A : dce de odulo. Fore du sgl F Pour s susoïdl : odulo correcee rélsée : fble e s surodulo ere d foros : élevé s Secre du sgl F Cs sle où << { πf sπf } A { cosπf cos sπf sπf s sπf } s A cos s A cos πf A sπf sπf A s A cos π f cos{ π f f } cos{ π f f } Secres : A oreuse BS BI A S f A S f A f f f f f f f f 5. 4

139 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df quelcoque s { s } cos { s } e[ πf πf A πf πf A e ] forule d Euler Décooso de Bessel : s A e J e sπf πf J e π f f e où J so les focos de Bessel réelles s A J cos π f f ] [ e secre de s es f : : secre doublee f s s es s susoïdl. Focos de Bessel : J ---> J ---> J ---> J3 ---> J J J J Déodulo de Fréquece O rsfore l vro de fréquece ω e vro d'lude A O eu esue effecuer ue déodulo d'lude à P r eele. 5. 5

140 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df odulos uérques Trsssos uérques es odulos d'ulsos E élécoucos, le sgl rerése l'foro à rsere sub ue rsoso de fréquece de fço à occuer ue bde de fréquece de lrgeur relvee fble uour d'ue oreuse HF. Cee rsoso es effecuée r odulo d'u des rères crcérs l oreuse : lude, fréquece ou hse. S l oreuse es cosuée d'ulsos, l odulo résee l'vge de ouvor rsorer luseurs sgu à l fos : c'es le ullege eorel ullege séleco, couo de sgl r. es ulsos de l oreuse o our fréquece F e : fréquece des échllos du sgl uérque. A l réceo, l suff de se cler sur l fréquece d échlloge F e our déoduler. odulo d'ulsos e lude O ulse u échlloeur rhé r ue horloge H de érode T e érode d échlloge T e e F fourss des ulsos de lrgeur τ. U échlloeur errueur, coueur logque codé r l'horloge H s e H τ H T e s s BF s * s sgl és T e Secre de s : O ore à l'de de l Trsforée de Fourer que l'échlloge eorel our effe de érodser le secre de s : à l érode fréqueelle F e : S f S f - F F f - F e - F F F e F e F e - F F e F f 5. 6

141 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df oreuse l'horloge do resecer l codo de Sho : héorèe de Sho : Fe F où F es l fréquece le coeue ds le secre de s, ss quo l recouvree des lobes du secre de s e ossblé, à l réceo, de recosuer rr des échllos s. s à E. : Sgl de usque : Sgl de role : Hz f < Hz F Hz F 4 Hz < e 3 Hz f < 4 Hz F 4 Hz F 8 Hz. < e Déodulo déodulo se f slee r flrge sse-bs de s vec F our fréquece de couure. ullege O eu, sur u êe cl de rssso ue êe oreuse équvle d ue lge de rssso our les rsssos flres rsorer luseurs essges e êe es r ullege eorel séleco d u sgl r. A l réceo, l fu sérer les essges r déullege récuéro des sgu à rr d sgl. s s s * U DEU s * Flre Psse-bs s s * s s s * s * s * Flre Psse-bs s Echlloeurs T e ulleeur eorel Déulleeur eorel Ce ssèe de ullege es ulsé e éléhoe : l fréquece suéreure de l vo es de l'ordre de F 4 Hz. 'échlloge se f à F e 8 Hz. O rrve à rsorer luseurs dzes de voes éléhoques sur l êe lge de rssso. 5. 7

142 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df odulo d'ulsos e durée PW : Power Wdh odulo es ulsos o oues l êe lude, s c'es leur durée τ qu es foco du sgl s à rsorer. s T e s sgl és E T e τ odulo d'ulsos e oso es ulsos o oues l êe lude e l êe durée, s leurs fros os rsse ous les secodes, coe ds les cs récédes. Ils so rerdés d'u es τ qu es foco du sgl T e s à rsere : s T e s sgl és E T e τ odulo d'ulsos e desé os ulsée cr F e es vrble es ulsos o oues l êe lude e l êe durée, s leur desé fréquece es foco du sgl s à rsere : s s E 5. 8

143 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df odulo d'ulsos codées IC ulso es codée r o bre es échllos successfs du sgl à éere e so s ulsés drecee s so qufés e codés uérquee e u o bre à l'de d'u coversseur logque-uérque CA. qufco v rrodr l'lude de l'échllo cs de l odulo e lude ou s durée cs de l odulo e durée ec..., à ue vleur dscrèe r vleurs ossbles : obre de bs de qufco, : dque de qufco, de codge. 'échlloge dscrése le es à l érode d échlloge T e, lors que l qufco dscrése l vleur, l lude de l'échllo. e bu du codge eu êre de ler l occuo secrle du sgl à éere, ou l uso u bru, ou ecore le cocge, l coresso des doées... es rcu codges ulsés so les suvs : - code bre bhsé - code dfféreel bhsé - code Z eour à Zéro - code Z o eour à Zéro - code à odulo de dél D ou ller - codes F - codes ulveu H V T Horloge Code Bre l V - Code Bhsé V Code Bhsé dfféreel V - Code Z V - Code Bolre V - Code Z e sgl uérsé échlloé, qufé e codé es rfos codé drecee suv le code bre ur code bre l ou eu, suv le code bre réfléch code de Gr r eele, our uorser l déeco e l correco des erreurs de rssso. e code bhsé résee, qu à lu, l vge de ler le secre de fréqueces occué r le sgl à éere r ror u code bre ur. odulo : Pluô que de rsere le o bre de chque échllo, o e rse que l dfférece d lude ere échllos cosécufs e ouv souve êre codée sur u seul b s l vleur des échllos e vre s ro brulee. Avge : Coresso réduco de l qué d'foros à rsere. 5. 9

144 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df Trssso du sgl bre uérque Trssso e Bde de Bse es ulsos de cour érls les e les so lquées drecee our l'ésso, o d ds ce cs que l rssso se f e bde de bse. Coe eu du héorèe de Sho, u sgl do l bde de fréquece ule occuée es B écesse u cl de lrgeur B. Trssso r odulo e lus souve, l rssso e bde de bse 'es s ossble du f de l fble Bde Psse du cl de rssso, e l fu der le ode de reréseo de l'foro u cl dsoble : c'es l odulo. - odulo AS Alude Shf eg : odulo d'lude U osclleur de fréquece élevée es odulé e ou ou re r le sgl bre à rsere. e secre du sgl ule es rsosé uour de l fréquece oreuse. - odulo FS Frequec Shf eg : Su de fréquece Au vleurs e des bs successfs corresode fréqueces dfférees de l'osclleur loe oreuse. - odulo PS Phse Shf eg : Su de hse e sgl à rsere es cosué d'ulsos olres qu code ue vro de ± π / de l hse de l'osclleur loe. Ce rocédé écesse de coîre l hse de référece rssso écessree schroe. - odulo DPS Dfferel Phse Shf eg : Su de hse dfféreel Pour éver d'vor à rsere ue hse de référece, l'foro es rsse sous fore de vros de hse. Trssso d u sgl uérque : oreuse susoïdle : Sgl à rsere : veu veu odulo d'lude AS : odulo de fréquece FS : odulo de hse PS : 5.

145 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df Codes déeceurs e correceurs d'erreurs e bru ds les ssèes de rssso bre eu odfer u b du o. Pluseurs codes de déeco e de correco ese : Ulso d'u b suléere de ré ré d'u o bre ré du obre de bs à coeus ds le o A chque o du essge à rsere, es joué u b chos de elle sore que le o résul ue ré re ce b joué es elé b de ré : Code déeceur d'erreurs r es de ré à l réceo. Icovée : s de correco ossble cr o e eu s loclser le b erroé. De lus, u obre r d erreurs sulées sur u o sse erçues. Codes à rés erelcées U bleu D à Desos es cosru vec les os bleu de lle. ré es corôlée horzolee e verclee : code déeceur lus uss que le récéde cr l loclso du b d erreur e doc correco ossble. Coe le récéde, seul u obre r d erreurs sulées eu êre déecé. Codes de Hg Codes déeceurs e correceurs. Ils joue luseurs bs à des elcees be déerés ds le o chcu de ces bs corôle u groue de bs du o vec recouees des groues our déecer l oso des erreurs e s les corrger lus effccee Codes cclques Pour ue rssso sûre à % le Codge à edodce Cclque CC eu êre ulsé, our lequel les doées so codées sous fore olole. Ce corôle cosse à corer les reses des dvsos d'u olôe r u olôe fe our l doée le e our l doée rès rssso les doées é reréseées sous fore de olôes do l logueur codoe le cho des olôes dvseurs. Pluseurs codes à redodce cclque so défs suv l logueur des os à rsere. Codes cous correco d'erreurs e ques lur des codes déece des erreurs réres dvduellee. lheureusee, les erreurs so rfos êe s c'es rre grouées e ques. e.: oussère sur u Coc Dsc luseurs dze de bs dsrsse d'u cou. Pour cobre ce héoèe, ue soluo sle s effcce cosse à effecuer u erelcee écrure des os ds u ordre dffére de celu de l lecure. Eele : erée horzole des os ds ue rce e lecure vercle de ces os. Code déeceur e correceur d erreur. 5.

146 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df Flrge ol u ses des odres crrés e fre églseur equlzer e l erceur de sgl à rr d ue esure bruée so roblèes dfféres e à l êe soluo forelle. e reer es osé de ère déerse, le secod de ère sochsque. es deu se bse sur u crère qudrque so de l éerge de l erreur. II. EGAISATIO Dégrdo { u { v } esuro } G z Fz { } cl où G z F z es l FT du cl de rssso dégrdé-resuré. Y z E doée l dégrdo G z, l s g de déerer le flre de resuro F z el que : D z, U z so : F z G z D z. e ere «églseur» rove du cs rculer D z. O lors : F z G z dégrdo es coue r odélso ou defco. e rôle de l églseur F z es de coeser l dégrdo. D z soluo éde : F z es géérlee o rélsble. G z E effe, s G z s ule our ceres fréqueces, F z es f. Ou be s G z coore des zéros «sbles», F z es lors sble. Ou ecore, F z do êre sse-hu s coe c es géérlee le cs e hsque, G z es sse-bs, e u flre hsque sse-hu e eu êre sse-hu our des fréqueces fe élevées. Ef, s G z rovoque u rerd cs des flres cusu, F z es o cusl cr l do rovoquer ue vce. O réfère s se ler à l clsse des flres F z du e A IF : éose Iulsoelle Fe e ser le crère qudrque odres crrés our sgu déerses : V { f } d dˆ où : { d }, { f } e { } g so les Is de D z, F z e z $d l I du cl resuré. Coe d ˆ g * f du f de l relo d églso : F zgz Dz, o : { f } d g * f G e { } V vec f our < e > flre IF cusl de suor de logueur V { f} d f g d f dg f f j or : Posos : o relle que : j j j dg dg e e os j λ : gg j gg : uocorrélo de g j dg : ercorrélo ere d e g doc : V { f } d f dg d α φ gg : rce d uocorrélo Toelz Alors V f α f f f dg f f f f f φ f gg dg j dg dg dg j φ j λ j g gg j gg λ gg, j j λ j g λ g g gg j do le u es doé r l ulo du grde V f φ f j dg gg 5.

147 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df Doc : φ gg f dg 5. 3

148 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df Eglso g Ds le cs où D z : { d} δ e dg dg g o, e os g γ : g o rerouve ue fore roche du ssèe d équos de Yule-Wler. Ce so les équos de Weer-Hof φ gg f γ do l soluo eu êre obeue r verso rcelle : f φ gg γ Cocluso De lus, ds le cs cusl g cusle, l églso codu u ssèe Yule-Wler : φ f gg γ vec γ g e rce de l églso rée c f re de l églso suervsée : o l cossce de l dégrdo, drecee coe c, r defco r eele, ou r ressge réseu de euroes rfcels ressge uérque, chîes de rov ressge uérque, lgorhes gééques, ressge sbolque. orsque l dégrdo es s coue à ror, l e s g lus réellee de resuro de sgl e o rle lors d églso o suervsée ecore elée églso veugle. 5. 4

149 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df III. ETACTIO DE SIGA IEGE DAS DU BUIT e roblèe de l erco de sgl ergé ds du bru es l logue e sochsque du roblèe récéde déerse de l églso. Ce e de débruge es bsé sur u crère qudrque so de l éerge de l erreur ds u coee sochsque. { } { } { } u s b Fz { ŝ } A rr de l esure u { } TZ [ F z ] f Coe : s b sgl bru, l s g de déerer l FT F z ou l séquece I ssfs u crère qudrque our sgu léores o sse e Esérce : e flre { } V { f } E[ S Sˆ ] u vec : { S } VA do ue rélso es { s } ˆ our qu l erco du bru. O doc : V { f } [ * ] E S f U { U } VA do ue rélso es { u } S f * U f é rs coe u flre IF A de suor de logueur, o : V { f } E os : f f f e f U U U U l ve : V { f } f [ f U] V E S Prce d orhogolé : l erreur es orhogole à l observo : e grde dérvée de V doe le u de f V our : V f E[ f U U] S ES f * U Cee relo ere le f que, à l s, l erreur d eso S f U es orhogole à oues les doées résees e ssées U le rodu sclre rcel es ul. C es le rce d orhogolé. O : V f E [ S f U U] E [ U S U f ] { E [ S U ] E [ U U ] f } Coe le ere géérl de l rce U U es le ere d uocorrélo [ ] uu, U U j φ, oée : E [ U U ] : rce de Toelz. d uocorrélo uu De êe, s o oe E [ S ] E es l rce U le veceur d ercorrélo, o rerouve ue fore roche du ssèe su d équos de Yule-Wler sous fore rcelle. V f e grde de V s écr doc : { f } su Ce so les équos de Weer-Hof : f su do l soluo eu êre obeue r verso rcelle : f su érê de cee roche es de e s écesser l cossce du bru s seulee celle du sgl à erre c es u u! Pour flrer u sgl brué, l fu l cossce : so du bru, so du sgl o brué! Ds u coee d uodo flrge df, l core Tes éel clcul e lge ose d éver l verso rcelle e roch e e uls les doées ssées cf. flrge df Wdrow. su 5. 5

150 Tree du Sgl 5. Trssso Codge. Eglso. Erco de sgl ergé ds du bru. Flrge df IV. FITAGE ADAPTATIF Flre df de Wdrow verso récurree es réel du flre erceur de sgl ergé ds du bru vu v e flre df de Wdrow rerésee l eele le lus cou de flre df : l s g d u flre A IF ol u ses des odres crrés. jusee des rères du flre les coeffces, les échllos de I se f e lge, c es-à-dre que les rères du flre vre u cours du es our s der à l core flrge ol : our le flre de Wdrow, l core es qudrque odres crrés sécfée. Ds l roche de Wdrow, le u du crère de erforce f V [ V f α f f φ gg f our le dg roblèe de l églso ou V f E[ S f U] our le roblèe de l erco de sgl ergé ds du bru] es obeu de ère érve r ue éhode de grde. e veceur grde es eredculre u hersurfces V f du es flrge df, o, sur ue sosurfce, dv qu es le veceur ge à l sosurfce. Ds ces codos, s o ère sur f rooroellee u grde de f V f f o r vers le u de V f selo «l lus grde ee». { } su e C : e effe, s l o suose que f es foco f& d, doc V f es eredculre à f &, V f V le grde de V f es f S es l dce d éro, o chos : f f f µ su l e rerésee bsolue s l élévo à ue ussce où µ es u rère f l s d éro. Coe oujours vec l éhode du grde, s µ es fble, l covergece es lee e s µ es grd, l rsque de dvergece. Pour êre lus récs,sur l vleur le de µ o eu réécrre l relo récédee : f [ I µ ] f µ su C es ue équo vecorelle du er ordre, do l soluo coverge vers s oues les vleurs rores de [ I µ ] so de odule féreur à, c es-à-dre s : µ λ < où : λ so les vleurs rores de φ uu su d où ue core our le cho de µ : < µ < où : λ es l lus grde vleur rore λ Il rese à ffer l relo érve : f f µ f Pour cel, u leu du crère de erforce f su λ de e év le clcul, l cossce de e V [ V f V { f } d dˆ α f f φ f dg gg our le roblèe de l églso ou { } [ ˆ ] V f V f [ f U] E S S E S our le roblèe de l erco de sgl ergé ds du bru], o ulse u ure crère de erforce, cosué de l erreur qudrque sée : f s f U e do le grde es : V f s f U U e U V. su lgorhe d uodo eu doc s écrre : l rouvé eérele so effccé f f µ e U so, our l -èe coose de f : f f µ e u vec. 5. 6

151 Tree du Sgl TP 5. Trssso TP 5. Trssso I. CODAGE - DECODAGE Sgl à rsere Sgl odul : A :.5 f : s : A cos π f s : A f <. :, 3.. s : s oherwse Poreuse : A : f : s A, φ, : A cos π f φ s s A, f,.5.5 odulo r ullco : s : Sgl odulé.5 s.5 odulo d'lude A A : s : sa,, A :.5 A.5 s.494 odulo de hse P : φ: s : s A, φ, : A s TP 5.

152 Tree du Sgl TP 5. Trssso odulo de fréquece F : 5 φ: s : s A, φ, : A π f.937 s II. EGAISATIO : 5 Sgl d'erée : :.. u : s { u { v } } G z Fz { } I de l dégrdo : g : Sgl dégrdé : v : I de l resuro : φ : γ : γ : g f : Sgl resuré : : u v TP 5.

153 Tree du Sgl TP 5. Trssso III. ETACTIO DE SIGA IEGE DAS DU BUIT { u } { s } { b } { } { ŝ } : 3 :.. Fz Sgl d'erée o brué : s : s s Bru : b : whe 5 5 Sgl brué : u: s b u reverse : ub : u u 5 5 I du débruge : : φsu : f : Sgl débrué : : TP 5. 3

154 Tree du Sgl TP 5. Trssso Focos Bblohèque : oee, Veceur r e rce d'auocovrce r e Vrce V du sgl de d r ergodcé :. oee : o legh. Vrce : Vr vuocov. Veceur d'auocovrce : vuocov legh o for.. r r. rce d'auocovrce : uocov legh r vuocov for.. for j.. r, j j Foco YuleWler φ, : ésoluo du ssèe de Yule-Wler v r verso rcelle Prères d'erée :. φ : veceur foco d'uocovrce d du sgl d : φ, φ... φ. : d de l'ordre du flre foreur/pc A Prère de sore :. le veceur d : V: vrce du bru blc s flre foreur;,,... : rères du flre foreur/pc A d'ordre YuleWler φ, for.. Eele : : 3 r : 6 for j.. φ, j j b : r : 3 r : for.. b φ α φ b φ φ α for.. α : YuleWler r, V: V 4 : TP 5. 4

155 Tree du Sgl TP 5. Trssso Foco YuleW, : ésoluo du ssèe de Yule-Wler v r verso rcelle Prères d'erée :. : sgl d :,.... : d de l'ordre du flre foreur/pc A Prère de sore :. le veceur d : V: vrce du bru blc s flre foreur;,,... : rères du flre foreur/pc A d'ordre YuleW, r vuocov YuleWler r, Bru blc de os de oee e de vrce V : Bru blc de os ceré de vrce.83 : Wheose A 8 P 3357 v for.. v od A v, P for.. w P v.5 w Bru blc de os de oee e de vrce V : BruBlc,, V V whe BruBlc,, V V Wheose éose reose veceur d. du flre A d'ordre coeffs u sgl veceur d. reose,, legh for.. f f < f TP 5. 5

156 Tree du Sgl TP 5. Trssso TFD TFD legh ou ecore : TFD legh for.. π e for.. reur I for.. cos π I I s π I TFDI TFDI legh for.. π e Covoluo cusle sgu de êe logueur covcusl, h legh for.. h Covoluo cusle sgu de logueur dfféree covcusl, h legh legh h for.. h f < oherwse TP 5. 6

157 Tree du Sgl TP 5. Trssso Trsforée de Hlber Hlber legh f for.. f π TH TH covcusl, f Veceur r de covrce des sgu e de d r ergodcé :. Veceur de Covrce : vcov, legh for.. v v vcoveregeerl, legh o o for.. r r Veceur e rce uls : Veceurul for.. rceul lges, cols for l.. lges ul for c.. cols ul ul lc, ul TP 5. 7

158 Tree du Sgl 6. Prédco 6. Prédco Prédco ssge - Flrge - Prédco So esures d u sgl. e reee de l esure u es :. e géérl, vec > ssé : s elle le lssge. rése : s elle le flrge. e géérl, vec > fuur : s elle l rédco PEDICTIO IEAIE Codge PC er Predco Codg E doé les échllos ssés d u sgl coor os :,,, l s g d e rédre l échllo rése :. e lus sle es d effecuer ue rédco lére : $ $ e flre de rédco es doc u flre A Auoégressf ur ss erée. Cel du que, du f de l soré du odèle doé A, l rédco e ser fble que s le sgl à rédre es relvee sore. O eu défr l erreur de rédco : d où : e vec TZ c es l équo du flre «erreur de rédco» : z e ˆ e so e E z Y z E z z z l s g d u flre A verse u ses de FT verse du flre A de FT : Y z Pos le roblèe de rédco e eres sochsques vu le obre or de rères e jeu, le flre «erreur de rédco» récéde : e s écr : E Y où les sgu roose de clculer, our ce flre, les rères qu se l ussce l vrce de el :. Pussce de : P E[ ] E Pussce P E de E : P E [ ]? E [ E ] E Y jy j je[ YY j ] z : z. E e Y so léores, e o se E.. Vrce de : V E[ ] E [ ] E E E j j j j j où es l foco veceur d uocovrce d uocorrélo ds le cs sore du sgl. [ ] 6.

159 Tree du Sgl 6. Prédco Pussce le: o eu e clcul l dérvée de de P E s ssurer que l ulo de l dérvée ère de P E codu be à u u de P E [ E ] eres e coe s E so codo d olé :,,,, ou ecore :,, Du f que es re, o : [ ] E uls: O doc : Ces équos euve s écrre : V 6.,,,, E E [ ] j j j j j j EE, j j j, ds l relo récédee, l ve: [ ] E E V e [ ] E E V,, our : so, sous fore rcelle : ce so les équos de Yule-Wler : V ou ecore : rce d uocorrélo de ere géérl r, e déed que de j As, à rr de l cossce de l séquece d uocorrélo de { Y } les coues : V e les rères du flre rédceur. j. V s s v re re es de rce de Toelz., l relo rcelle ere de déerer Pour résoudre le ssèe de Yule-Wler, ue verso rcelle es ossble s o ulse géérlee l lgorhe effcce érf de evso, ou l éhode de Burg, qu éve ue verso rcelle. éhode de Burg, rodus l core suléere de sblé du flre de rédco u ssèe de Yule-Wler, gr s u flre A de rédco sble.

160 Tree du Sgl 6. Prédco erque : D u o de vue lgorhque, les roblèes de flre rédceur e de shèse A r flre foreur so E es u bru blc. équvles. O ore d lleurs que, our suffse grd, { } Alco Coresso de sgl r codge PC O cosdère u sgl que l o souhe coresser r codge PC. e rce du codge PC cosse à odélser u sgl coe sore d u flre A d ordre odèle ou ôle, ss erée, our sur ses seules codos les : : coeffces du flre A so de l erreur de erreur de rédco ere le sgl orgl e le sgl ssu du flre A codu à l déero des coeffces,... du flre A. Cee déero e e oeuvre u ssèe d équos léres ssèe de Yule-Wler, do l résoluo eu se fre de luseurs fços : - drecee éhode érve de Yule-Wler - r l éhode érve de Burg où s es ue feêre glsse ss recouvree sur le sgl orgl à coresser, e l ordre désré our le flre A < <, vec legh s l vge de l éhode de Burg es de grr u flre A sble. As, our ue feêre s doée de os, rès vor déeré les coeffces rédceur, o eu recosrure ue roo ŝ de s r l équo : du flre A : sˆ sˆ vec l lso : s ˆ s our Tu de coresso Pour coresser ue feêre de os, o beso de coeffces e u de coresso eu doc êre décr r l évluo du ror : Tu de dsorso e de os d lso. /. évluo du u de dsorso ere le sgl décoressé ou ecore réd ˆ e le sgl orgl eu se décrre r l évluo du ror Sgl sur Bru globl sur ou le sgl SOV Sgl o ose o OVerll legh legh SOV log log vec b legh legh ˆ SOV e db b ˆ Crcérso : Alse secrle r codge PC [Vor Chre Crcérso] 6. 3

161 Tree du Sgl TP 6. Prédco TP 6. Prédco. Prédco sur sgl rès sore Sgl à rédre : : 3 :,.. : s 5 Ordre du flre A lle du ssé our l rédco : : Cerer le sgl v rédco e le décerer rès : o : Prédco à s : Coeffces du flre A de PC : φ : : 3 4 ou : : YuleW, ou ecore foco égrée hcd : : ulew, Flre A de PC : : :,.. :.996 Foco Prédco à s : Predcsv, : redcs, :,.. 4 Foco Prédco à s s : Predcsv,,s s : : redcs,, s :,.. s Cocluso : TP 6.

162 Tree du Sgl TP 6. Prédco. Alco sur sgl eu sore : Coresso de sgl r PC : éhodes : YuleWler & Burg Sgl orgl os : :.. : cos π rd Feêrge s du sgl orgl os Cerge : 3 :.. s : : o s s: s 5 s Ordre du flre A de redco : ruc 5 Coeffces du flre A de redco Yule-Wler : ulew s, Burg : burg s, éhodes Yule-Wler e Burg Sgl S ssu du flre A de redco Ilso :.. S : S : Clcul :.. S : S : Corso ere le sgl orgl s e le sgl red S : s s S S TP 6.

163 Tree du Sgl TP 6. Prédco or Sgl/Bru sur ue feêre SOVdB : SOVdB : SOVdB SOVdB Tu de coresso obre d'échllos de l feêre du sgl orgl : obre de os du sgl coressé, réd, our ue feêre : 3 Coclusos. ehode de Yule-Wler :. ehode de Burg : TP 6. 3

164 Tree du Sgl TP 6. Prédco Focos Bblohèque : oee, Veceur r e rce d'auocovrce r e Vrce V du sgl de d r ergodcé :. oee : o legh. Vrce : Vr vuocov. Veceur d'auocovrce : vuocov legh o for.. r r. rce d'auocovrce : uocov legh r vuocov for.. for j.. r, j j Foco YuleWler φ, : ésoluo du ssèe de Yule-Wler v r verso rcelle Prères d'erée :. φ : veceur foco d'uocovrce d du sgl d : φ, φ... φ. : d de l'ordre du flre foreur/pc A Prère de sore :. le veceur d : V: vrce du bru blc s flre foreur;,,... : rères du flre foreur/pc A d'ordre YuleWler φ, for.. Eele : : 3 r : 6 for j.. φ, j j b : r : 3 r : for.. b φ α φ b φ φ α for.. α : YuleWler r, V: V 4 : TP 6. 4

165 Tree du Sgl TP 6. Prédco Foco YuleW, : ésoluo du ssèe de Yule-Wler v r verso rcelle Prères d'erée :. : sgl d :,.... : d de l'ordre du flre foreur/pc A Prère de sore :. le veceur d : V: vrce du bru blc s flre foreur;,,... : rères du flre foreur/pc A d'ordre YuleW, r vuocov YuleWler r, Bru blc de os de oee e de vrce V : Bru blc de os ceré de vrce.83 : Wheose A 8 P 3357 v for.. v od A v, P for.. w P v.5 w Bru blc de os de oee e de vrce V : BruBlc,, V V whe BruBlc,, V V Wheose éose reose veceur d. du flre A d'ordre coeffs u sgl veceur d. reose,, legh for.. f f < f TP 6. 5

166 Tree du Sgl TP 6. Prédco TFD TFD legh ou ecore : TFD legh for.. π e for.. reur I for.. cos π I I s π I TFDI TFDI legh for.. π e Covoluo cusle sgu de êe logueur covcusl, h legh for.. h Covoluo cusle sgu de logueur dfféree covcusl, h legh legh h for.. h f < oherwse TP 6. 6

167 Tree du Sgl TP 6. Prédco Trsforée de Hlber Hlber legh f for.. f π TH TH covcusl, f Veceur r de covrce des sgu e de d r ergodcé :. Veceur de Covrce : vcov, legh for.. v v vcoveregeerl, legh o o for.. r r Veceur e rce uls : Veceurul Prédco à s redcs v, for.. ul ul rceul lges, cols for l.. lges for c.. cols ul Prédco à s s redcs v,, s ul lc, TP 6. 7

168 Tree du Sgl 7. Flrge ol 7. Flrge ol Flrge ol Flrge sous core Il ese 3 grdes éhodes de flrge ol, c es-à-dre de flrge sous core d u sgl léré r u bru :. le flrge r odres crrés Il cosse e ue so de l éerge de l erreur ere le sgl esuré e l eso r u odèle du sgl o brué. e odèle doé our le sgl o léré es u odèle lére e ssez géérl. Il lssge du bru lus que s réjeco. e flrge des odres crrés se lce d u o de vue déerse. Il core de soré.. le flrge de Weer Il s ue sur l éhode des odres crrés : le flrge de Weer es l logue e sochsque du flrge des odres crrés qu lu, se lce ds u coee déerse. Il core de soré.. le flrge de l Il cosse e l oursue d u odèle d E odèle de Guss-rov écessre e relvee récs du sgl o brué. Il s de core de soré. S le odèle es correc, l vérble réjeco du bru e o s u lssge. S le odèle es s rélse, les résuls euve êre rès uvs. I. OIDES CAES odres crrés drec Algorhe S es Squres U ssèe lére de équos à coues : h où : désge ue rce crrée de deso h désge u veceur de deso cou désge u veceur de deso ossède ue soluo uque : h de s e seulee s es versble o sgulère c es-à-dre rce régulère. Errreur ou écr : ε h écr ere l soluo vre e l soluo esée, clculée : ε oos que ds ce cs, l écr qudrque, déf r : ε h h Η lus géérlee : h h es juse égl à : ε ε ds le cs colee, où l dce Η sgfe l rsoso-cojuguso S l rce es s crrée, o déf s seudo-verse e s u crère qudrque odres crrés. ulso d roos léres f que, e ree du sgl, de obreu sgu euve se odélser sous l fore h où : e h désge ue rce coue désge u veceur cou. 7.

169 Tree du Sgl 7. Flrge ol Eele : Flre IF de I h coue. Ds ce cs : es ue rce obeue à rr de vleurs de l erée, e le rodu h rerésee le sgl de sore le rodu sclre de veceurs rélse l covoluo. E l bsece de bru, l observo de vleurs du sgl de sore suff doc à eser h : h décovoluo E rque, l e es js s e o se doe lus d observos que d coues du f de l résece d u bru de esure : l lors ue «fé de soluos o eces» e l éhode des odres crrés four lors le veceur à eser de deso ol u ses qudrque à rr des observos. E o le veceur d observo e e suos le bru w ddf, o : h w O ore e ssque, que l eseur de h, cosru à rr des observos e de l rce, es d u elleur que le obre de os observos es grd, r coséque : lors l rce es de deso e les veceurs h de deso de deso O doc lus d équos que d coues : coséquece es qu l ese s e géérl de veceur h el que o d que le ssèe es surdéeré. h so rfee égl à l observo. Ue ure fço de le dre es que le veceur, de deso r les veceurs-coloes de. Ce sous-esce elé ge de ser oé Ig., re s u sous-esce vecorel egedré e roblèe es de rouver u veceur h, de deso, el que l élée h Ig so le lus roche ossble de, ce qu se rdu c r l so de l erreur qudrque so de l éerge de l erreur ε : h h h qu re évdee à Η ε J lus géérlee : h h ε soluo es doée r le héorèe de rojeco rce d orhogolé, qu d que le veceur h es el que l écr : ε h es orhogol à Ig e doc e rculer u veceurs-coloes de l rce : ε h h ε so de l éerge de l erreur ε Déero de h el que h our effecvee vérfer que l o u u de ε e o u u, l suff de regrder le sge des dérvées secodes : ε > h ε h l erreur ε ε h h rodu sclre ul h { } es orhogole à l observo ε h e coe h colére à ε h : h Ig Théorèe de rojeco 7.

170 Tree du Sgl 7. Flrge ol E er cee codo d orhogolé, o obe : so : h Η lus géérlee : h Η Η h lus géérlee : h S l rce es de rg le les veceurs-coloes de so déeds, l rce de deso, es versble e l soluo cherchée es l eseur des odres crrés Guss : h Η Η lus géérlee : h A l orge, l eseur des odres crrés es s à roree rler de ure robblse. lus géérlee : Η e flrge des odres crrés es l logue e déerse du flrge de Weer qu lu, se lce ds u coee sochsque. De lus, o ore que, sous l hohèse que le bru w es blc, l eseur des odres crrés de h es lére, ss bs e de vrce le eseur ol. Ef, l éhode des odres crrés s éed ss dffculé à u odèle d observo o lére. Il suff de relcer ds le roblèe récéde h r l eresso suosée de fore coue h déed de fço o lére du rère h à eser. lheureusee, l es lors lus ossble de doer ue eresso lque de l rgue Η du u de l foco de coû J h [ h ] [ h ] lus géérlee J h [ h ] [ h ] e o se coee d lgorhes clssques de so uérque. Ces lgorhes souffre e géérl de l esece de locu e ose le roblèe de l vesse de covergece. E oure, ces e ossède s le crcère ol récéde. odres crrés récursf Algorhe S ecursve es Squres relo des odres crrés drec : h d ue rce de deso. f que le clcul de h écesse l ulo S cee rce es cosrue à rr d u flu cou de doées e que l o veu effecuer le clcul e es réel, le f que l lle de croî de fço llée red ossble u clcul drec à rr de l relo h Heureusee, l lgorhe des odres crrés récursf four ue soluo ouv êre léeée e es réel e qu résee e oure l vge de e s recourr à ue verso rcelle. Il focoe r se à jour de l vleur h u fur e à esure que les doées rrve.. Ideos r les vleurs obeues à l ée : h P vec : P E o : où : désge l èe o dédu : [ ] e doc : P P lge de l rce 7. 3

171 Tree du Sgl 7. Flrge ol E lqu à o : P P l deé suve our ue rce e u veceur u : uu P P P P E reor ds l eresso de l ve flee : h h Ds cee eresso, le ere uu u h doée r : h P [ ] P vec : h h que l o ur dû observer s h é ece. lgorhe des odres crrés récursfs s écr doc :. Vleurs les :. Pour,, ééer : P veceur d. P h rî coe l erreur ere l vleur observée I P vec h δ e l vleur I : rce deé d. e δ << δ > δ coeffce réel P vec [ ] P h h P P P P h P A codo d vor grd, l es ule de rr des Codos Iles eces fs erver le clcul de P e h à rr de l relo : h P. u odres crrés oes Algorhe S es e Squres lgorhe des odres crrés oes lgorhe S, ecore elé grde sochsque, es ure que l verso récursve du flre de Weer vor Flrge de Weer. Idefco r l éhode des odres crrés Cs oovrble Soe observos, [ ], d u sgl déed léree d u rère à eser e de vrble coue eele le es : ss de rses de esures, our u sgl foco du es : esé de u ses d u crère d écr qudrque odres crrés es doé r â.. S obre d observos < obre s cs oovrble de rères à eser Soluo ossble à déerer. S obre d observos obre s cs oovrble de rères à eser Soluo ece : s de odres crrés à lquer. S obre d observos > obre s cs oovrble de rères à eser Soluo s l erreur qudrque odres crrés. â eu êre déeré drecee odres crrés drec S ou récursvee odres crrés récursf S : 7. 4

172 Tree du Sgl 7. Flrge ol 7. 5 Clcul drec - odres Crrés Drec - Algorhe S es Squres [ ] ˆ vec : [ ] observos veceur : veceur : eser à rère sclre: vrble veceur : :,...,... :, ˆ :,... e clcul drec, ds le cs ulvrble, v lquer ue verso de rce. Clcul récursf Tes éel - odres Crrés écursf - Algorhe S ecursve es Squres O ère sur les observos ] [ : Pour à : [ ] P P P P P ˆ ˆ ˆ vec :, ",, ˆ : sclres" P P [ ] P P ˆ ˆ ˆ O eu léeer l récurrece ss les dces cr l es s écessre de éorser les résuls erédres : Pour à : [ ] P P P P P ˆ ˆ ˆ vec :,,, ˆ : sclres P U clcul récursf écesse d êre lsé. O eu lser rclee de fços : Ilso O lse à rr de l esure d dce : O effecue u clcul drec à rr des reères observos, e esue o récure à rr de jusqu à : Clcul drec : Q P ˆ ˆ vec : Q P < < e vec e vec, : sclre Q ou :

173 Tree du Sgl 7. Flrge ol O lse à rr de l esure d dce : O chos ue vleur de P suffse grde à rr d u cer obre d observos, l eso es déede de l Codo Ile â que l o eu chosr rbrree e rculer ˆ. P es ue esure de l erreur de l eso effecuée vec les ères observos. Ue vleur fble de P dque que ˆ coverge vers â. Avec cee lso, l fu suffse d observos our ouvor coverger vec récso vers l soluo ece â foure r le clcul drec. e clcul récursf, r ure, lque ue rogo d erreur de rocure. Cs ulvrble Soe observos, [ ], d u sgl déed léree de rères à eser, vec ssèe surdéeré [... ] e de vrbles coues : vec [ ] [ ]. esé de u ses d u crère d écr qudrque odres crrés es doé r â.. S obre d observos < obre s cs oovrble de rères à eser Soluo ossble à déerer. S obre d observos obre s cs oovrble de rères à eser Soluo ece : s de odres crrés à lquer. S obre d observos > obre s cs oovrble de rères à eser Soluo s l ereur qudrque odres crrés. â eu êre déeré drecee odres crrés drec ou récursvee odres crrés récursf : Clcul drec - odres Crrés Drec - Algorhe S es Squres [ ] ˆ vec : ˆ [... ] [ ˆ ˆ ˆ... ] [... ] veceur : ˆ [ ], : vrbles ue vleur ds l' ervlle[, ] [, ] : veceur :, : : veceur :, : rce:, : vrbles rères observos à eser e clcul drec, ds le cs ulvrble, lque ue verso de rce. Clcul récursf Tes éel - odres Crrés écursf - Algorhe S ecursve es Squres O ère sur les observos [ ] : Pour à : ˆ P P P ˆ P P [ ˆ ] vec : P P :, :, :, ˆ :, :, " sclre" ˆ :, sclre [... ] : observos s d' verso de rce : vrbles : obre d' observos [ ˆ ˆ... ˆ ] " veceur,": rères à eser 7. 6

174 Tree du Sgl 7. Flrge ol O eu léeer l récurrece ss les dces cr l es s écessre de éorser les résuls erédres : Pour à : P P P ˆ ˆ P P [ ˆ ] U clcul récursf écesse d êre lsé. O eu lser rclee de fços : Ilso O lse à rr de l esure d dce : O effecue u clcul drec à rr des reères observos : o obe â,, P, e Q,, e esue o récure à rr de jusqu à : Clcul drec : ou : ˆ P Q vec : ˆ P Q [ ] vec vec [... ] O lse à rr de l esure d dce : O chos l rce P vec des vleurs grdes sur l dgole e so P rse dgole. A rr d u cer obre d observos, l eso es déede de l Codo Ile â que l o eu chosr rbrree e rculer ˆ. P es ue esure de l erreur de l eso effecuée vec les ères observos. Ue vleur fble de P dque que ˆ coverge vers â. Avec cee lso, l fu suffse d observos our ouvor coverger vec récso vers l soluo ece â foure r le clcul drec. e clcul récursf, r ure, lque ue rogo d erreur de rocure. Alco : Idefco de rocessus defco r l éhode des odres crrés ere d defer les échllos de sore du ssèe cosdéré, coe ssus d u rocessus AA odèle géérl. érê es évdee de ouvor s dsoser de l FT du rocessus cosdéré. s l s d erée u ou s elle es o ou l coue, o se le à u odèle A uree récursf : Erée u Processus réel odèle Gz Sore - Erreur ε odèle : Processus AA : Prédco ˆ b b z b z b z G z. q z z z q 7. 7

175 Tree du Sgl 7. Flrge ol 7. 8 es rères à eser so : q b b b,,,,,,, q rères à eser. O suose que l séquece d erée u lquée ece ous les odes du rocessus. - séquece d erée : u, u u : observos - séquece observée :, es séqueces d erée e de sore so observées sur ] [. O v lquer le crère qudrque de odres crrés our ser l éerge de l erreur. O : ˆ z U z Y z z z z b z b z b b z G q q d où, r TZ : ˆ ˆ ˆ ˆ u b b u b u q q ˆ es l esée de, ou ecore s rédco, so odèle clculé à rr des observos récédees. Pour clculer ˆ l fu be dérrer l récurrece e ulser les observos. équo deve s : ˆ u b b u u b q q e l erreur ε s écr : ˆ u b u b u b q q ε d où o re l observo : u b u b u b q q ε es séqueces d erée e de sore é observées sur ] [, o le ssèe d équos : { } { } { } q u b b u u b b u u b b u u b u b b u u b b u u b u b q ε ε ε ε ε D où l relo rcelle : 3 b b b q u u u u u u u u u q ε ε ε q so :

176 Tree du Sgl 7. Flrge ol 7. 9 ε 3 vec 3 q u u u u u u u u u So le crère qudrque : ε ε J ε soluo qu se J codu à l relo des odres crrés : clcul drec : [ ] ˆ Alco : Idefco d u cl de couco h O odélse u cl de couco r u flre IF de I : { },,, h h h e roblèe de l defco de ce cl es d eser l I { } h coues éhode l lus sle cosse à evoer ue séquece coue { } de sboles,,, de séquece d ressge, e d observer l sore { } du cl. E rque, coe le cl es géérlee s sore l vre ds le es, o es codu à refre régulèree cee oéro e fs récéder chque re de sboles r ue séquece d ressge. observo e sore du cl s écr : l séquece d ressge e l I du flre so suosées cusles j j j w h h h w h w h * où : { } w rerésee u bru ddf qu ve se sueroser u sgl rss. E écrv l sue des observos sous fore rcelle, our ll de à, o : w w h h e veceur h qu se l écr qudrque h h h J ε es doé r : h odres crrés drec O eu se deder s l ese des séqueces d ressge elleures que d ures. réose es ou. As, s o cosdère que l séquece { } es ue rélso d u rocessus léore sore ergodque, o eu orer que les erforces so oles lorsque ce rocessus es blc ce résul é révsble, cr l ou ds u bru blc, ce derer ece doc ous les odes, oues les fréqueces du cl. O s efforcer doc à éere des séqueces d ressge qu resseble u que ossble à du bru blc.

177 Tree du Sgl 7. Flrge ol 7 AEE. Flrge ol II. FITAGE DE WIEE Cosdéros u ssèe S do l erée e l sore d ordre. O suose coues l foco d uocovrce les sgu e O suose que e s écrre Y. so ue rélso des VA e Y. so rocessus léores, réels, cerés, sores u de e l foco de covrce [ Y ] so de covrce sore, ce qu sgfe que [ Y ] E E e déed que de e eu O se roose de déerer le flre lére de I Fe A os : { } { h h, h } elleure roo du ssèe S. ˆ O ose : h * h h h h e : ε ˆ h qu so l,, O cherche l séquece { h } qu se l éerge oee ssque de l ussce de l erreur ε crère qudrque : E [ ε ] S h - ŷ ε D rès le héorèe de rojeco vu lus hu, vec les odres crrés, les coeffces qu se l écr qudrque ere e ŷ so els que l erreur ε $ es orhogole à ou élée de l esce de rojeco. Or ce esce es egedré r les vrbles léores,,,. où { } Pr coséque, u ses de l orhogolé ds l esce de Hlber des VAs de crré soble, o, our ou {,,, } : [ ˆ ] E [ h h h ] E[ h h h ] E [ ] E so : {,,, } : Cee relo eu s écrre sous fore rcelle équo de Weer-Hof : e os : e où r défo : [ ] E [ ] [ h h ] r E h [ ] h r e r s écrve à rr des focos de covrce e Y : r e flre de Weer, soluo de l équo de Weer-Hof, s obe sée : Y Y h r 7.

178 Tree du Sgl 7. Flrge ol Evdee, ds le cs où le ssèe S es u flre lére IF de I g e le u de [ ] E ε es égl à. g, de durée fe, h es ecee égle à O eu le orer e rel que, our u flre lére, l foco de covrce ere l erée e l sore es doée r Y : Y h * soluo rouvée : h r écesse ue verso rcelle. O eu ouefos l éver r se e oeuvre de l lgorhe du grde. Algorhe du grde verso récurree du flre de Weer Cosdéros l équo récurree : h h µ [ r h ] où : h désge le veceur obeu u s d éro. e coeffce réel µ es elé le s du grde. A codo de chosr : < µ < λ désge les vleurs rores de λ o ore que h coverge vers le flre de Weer. E effe l soluo de l équo récurree : h h µ [ r h ] es doée r : h I A r A h où o osé : A I µ e ulsé l deé : I A A I A I A odres crrés oes Algorhe S es e Squres S o coî e r, l lgorhe du grde four ue soluo u roblèe osé. lheureusee, e r so géérlee cous e dove êre esés à rr des doées observées. lgorhe des odres crrés oes lgorhe grde sochsque ou ecore S - es e Squres, lgorhe df gé r Wdrow 985, éve le clcul de ces esos. e : e h Posos : [ ] O eu écrre : r h E [ ] E [ ] h E [ e ] oos que vec les coeffces obeus à l s. e rerésee l dfférece ere l vleur à l s e sore du ssèe S e l vleur clculée S e es ulle, o eu cosdérer que les coeffces o l boe vleur, so l fu les corrger. erreur e es dfféree de l erreur ε ˆ défe lus hu e qu f erver l le cherchée. E coséquece, l équo récurree our eresso : h h µ E [ e ] 7.

179 Tree du Sgl 7. Flrge ol Ue dée, do le ére reve à Wdrow, es de relcer ds l équo récurree, l esée de E [ e ] r s vleur «sée» e. E ç rche! A codo d cceer ue oscllo résduelle uour de l soluo. O obe équos qu cosue l lgorhe du grde sochsque ou lgorhe S : Algorhe S. Vleur le : h. ééer : e h h h µ e III. FITAGE DE AA roche de l ere de s ffrchr de l hohèse de soré des sgu. Elle e à rof l eréseo d E. Eele : So u véhcule se délç sur ue droe vec ue vesse v cose. Pr de l oso le d, s oso à l s es doée r : d d v Cee équo de ouvee eu ecore s écrre es dscre : vec coe CIs Codos Iles : d d v v v v d d v v E f, o s vre cofce ds l hohèse selo lquelle l vesse es cose le odèle d évoluo de l vesse do o dsose es récs. Pour redre e coe d éveuelles vros, o suose que : d d v b v v b où : b e b so rocessus léores fgur u bru de odèle. équo d évoluo doc our eresso rcelle : d v d b v b Suosos à rése que l oso d so observée à l sore d u dsosf brué qu délvre l vleur : d u où : u es u rocessus léore fgur u bru d observo, u bru de esure. 7.

180 Tree du Sgl 7. Flrge ol 7. 3 e roblèe se rèe doc lors u ssèe d équos : [ ] u v d b b v d v d E ss à ue écrure rcelle, o : observo équo d' E équo d' u C b A e os :. E : v d. Observo vecorelle :. A. b b b. [ ] C. u u e flre de l four l elleure eso e oee qudrque de à rr de l observo. Ds s fore l lus sle, o f les hohèses suves brus de odèle e d observo les res ossbles : brus blcs :. les cooses de b e u so des rocessus léores cerés, blcs e o corrélés ere eu. eurs rces de covrce resecves o our eresso : e τ so dscres [ ] τ δ σ σ σ τ τ b b b E b b b [ ] τ δ σ σ σ τ τ u u u E u u u e : [ ] E u b τ e flre de l four à chque s l eso ˆ, foco lére de,,, qu se l erreur qudrque [ ] ˆ E. Ds le cs gusse, cee eso lére es l elleure r oues les focos de,,,.

181 Tree du Sgl 7. Flrge ol Flre de l récursf e clcul drec f erver l verse d ue rce de covrce de deso. Pr coséque, qud croî, l deso de cee rce croî de fço «elosve». vge du flre de l es d êre u lgorhe récursf. Il effecue le clcul de ˆ à l s r ue se à jour de l vleur ˆ obeue à l s e e coe de l derère vleur observée. Algorhe du flre récursf de l. Vleurs les : ˆ E [ ]. ééer our : E[ ] [ C C ] G C u [ CA ˆ ] ˆ A ˆ G A G C A b eresso de ce lgorhe elle quelques rerques : [ ]. G s elle le g de l. Il eu êre clculé à l vce. E effe les équos qu le déere e 3 e déede s des doées observées. Touefos, à r ds le cs sclre é de deso, l déero de G requer l résoluo d ue équo récurree colee.. sgfco de l équo es clre. D rès l équo d E, s l v s de bru, l vleur de à l s ser A. C es le er ere de l équo. s à cuse du bru, l fu corrger cee vleur r ue qué rooroelle à l écr ere l vleur observée e l vleur que l o ur dû vor s l équo d observo é s bruée, à svor C CA.. e flre de l écesse l cossce de b e u. Ceed l héore eu êre géérlsée e clure l suo où l fu eser ces qués à rr des doées observées. Ds ce cs l sue des gs es lus ré-clculble.. E résué, le flre de l codu à l erreur qudrque le. Il écesse ue descro déllée du odèle de sgl ss ouefos oser de cores de soré. orsque l o s écre de ce odèle, les résuls obeus euve êre rès uvs. e flre de l es lére e récursf. e obre d oéros r o échllo es or, codus à u es de clcul coûeu qu rfos lé s se e oeuvre

182 Tree du Sgl TD 7. Flrge ol TD 7. Flrge ol I. OIDES CAES Idefco r l éhode des odres crrés. ésoluo d u ssèe d équos surdéeré u ses d u crère d écr qudrque [Vor TP] Cosdéros le ssèe d équos : α 3β 6 3α 4β 7 α β Déerer les rères ˆ α â r l éhode des odres crrés drec S. ˆ β. Aroo olole [Vor TP] O cherche à rocher ue sére de esures eérure de jours du os derer r u olôe d ordre -. z z bscsse ordoée O chos our coecer u olôe d ordre droe oee, our rocher l sére de esures. echercher le rère â ordoée à l orge de l droe oee : - A l de de ce odèle, rédre l eérure du èe jour, du 3 èe jour. - r S - r S. O chos e our odèle ue droe ss r l orge our defer l sére de esures. echercher le rère â ee de l droe ss r l orge : - A l de de ce odèle, rédre l eérure du èe jour, du 3 èe jour. - r S - r S bs. O chos c our odèle u olôe du er ordre droe de régresso lére, our l defco. ˆ echercher le rère ˆ â ordoée à l orge e â ee de l droe : ˆ - A l de de ce odèle, rédre l eérure du èe jour, du 3 èe jour. - r S - r S. O chos c our odèle u olôe du d degré 3 our l defco. echercher les rères ˆ ˆ ˆ de l courbe qu «sse» r l eseble des os z, : ˆ - r S - r S - A l de de ce odèle, rédre l eérure du èe jour, du 3 èe jour. 3. O chos c our odèle u olôe d ordre our l defco. echercher les rères ˆ [ ˆ ˆ ˆ ] du olôe : - r S - r S - A l de de ce odèle, rédre l eérure du èe jour, du 3 èe jour. TD 7.

183 Tree du Sgl TD 7. Flrge ol 3. Idefco de rocessus [Vor TP] Cosdéros u rocessus échlloé e so odèle : Processus réel Sore Erée u odèle Gz - Erreur ε Prédco ˆ. O red coe odèle : Gz b bz ˆ O doc : b u b u Flre A d ordre e ε ˆ b u b u O eregsre les doées suves : u E uls l éhode des odres crrés, déerer les rères ou du odèle b $ e b $. - Trcer les réoses e ˆ s que l code u sur u êe grhe.. êes quesos e re u odèle lus géérl : G b b z... b z z z... Flre AA d ordre q q qz TD 7.

184 Tree du Sgl TD 7. Flrge ol TD 7 Aee. Flrge ol I. OIDES CAES - II. FITAGE DE WIEE - III. FITAGE DE AA Déero de l'verse sble d'u fre IF - Eglso - odres crrés - Débruge d u sgl r flrge de l O cosdère u fre lére cusl IF de I So verse de FT : G z H z es u flre II de I léeé sous fore cusle.. h à coeffces e de FT H z h z g ouv êre sble z G des ôles s l es O eu ouefos ssurer s sblé que à e redre ue fore o cusle. O erd lors l léeo «es réel» clcul e lge du flre le flrge se f lors e es dfféré. Ue ure soluo cosse à rocher g r u flre IF de suor de logueur rs cusl géérlee. Alco O cosdère le flre IF de I h à coeffces : : h 5 h h. S FT es H z. Déero de l'verse sble d'u flre IF. ere e évdece le crcère sble de l I TZ [ G z H z ]. Déerer l I TZ [ G z H z ] Eglso g g rse cusle. sble s o cusle. 3. Ds le cs où o le le suor de g à ue logueur flre IF : g, g,, g flre cusl orer que le roblèe eu se ere sous l fore d u ssèe lére, e écrv l relo d églso : g h g h g h g h g * h δ our ll de jusqu à. O léeer l éhode vec 3. odres crrés 4. Iléeer l éhode des odres crrés our déerer le flre resureur { g } { g, g,, }. odres crrés drec S. odres crrés récursfs S : g TD 7. 3

185 Tree du Sgl TD 7. Flrge ol Débruge d u sgl r flrge de l O observe le sgl : u où Z. O dsose du odèle suv d évoluo du sgl odèle A du er ordre :. équo d E : b. équo d observo : u vec :. 9 es brus de odèle b e d observo eur vrce resecve es : σ σ 9 O ose : b σ ρ σ b u u so cerés, blcs e o corrélés ere eu. u 5.. Déerer l eresso de l ussce P corresod à l soluo sore de l équo d E. O redr cee vleur coe eresso le de [ ] E. 5.. Ecrre u rogre qu e e oeuvre le flre de l sur l rjecore roosée. TD 7. 4

186 Tree du Sgl TP 7. Flrge ol I. OIDES CAES TP 7. Flrge ol. ésoluo d'u ssèe de équos à coues [Vor TD] éhode des odres Crrés requer oujours ue surdéero :. S, ce 'es lus u roblèe d'oso e l soluo es ece, obeue r verso rcelle lors qu'o ue seudo-verse e ce qu cocere le ssèe surdéeré. cs ulvrble S : : : Vérfco : rédco Y : Y: Y. odélso d'ue sére de doées r u olôe d'ordre [Vor TD] éhode des odres Crrés requer oujours ue surdéero :. S, ce 'es lus u roblèe d'oso e l soluo es ece : l s'g du olôe de grge d'ordre, ou ecore ue courbe sle, Bézer... Doées d : : d : d : legh T T TP 7.

187 Tree du Sgl TP 7. Flrge ol. Polôe d'ordre droe oee cs oovrble S : : : : f : T T f Vérfco : Foco égrée hcd : e 3 9 S : f : f 3 9 Prédco : : f TP 7.

188 Tree du Sgl TP 7. Flrge ol. Droe ss r l'orge cs oovrble S : : : : f : T T f. 9 S : f : f. 9 Prédco : : f TP 7. 3

189 Tree du Sgl TP 7. Flrge ol bs. Polôe du er ordre droe de régresso lére cs ulvrble S : : : : f : T T Vérfco : Focos égrées hcd, : erce : sloe, f 3 9 S : f : f 3 9 Prédco : : f TP 7. 4

190 Tree du Sgl TP 7. Flrge ol. Polôe du d ordre cs ulvrble S : : : f : T.59 T f 3 9 S : f :.33 f 3 9 Prédco : : f TP 7. 5

191 Tree du Sgl TP 7. Flrge ol 3. Polôe d'ordre cs ulvrble : 5 S : : : f : T T f S : T f : f.8 9 Prédco : : f TP 7. 6

192 Tree du Sgl TP 7. Flrge ol 3. Idefco de l Foco de Trsfer à coeffs d'u rocessus [Vor TD] à rr de esures de s sore e de vleurs de l'erée corresode éhode des odres Crrés requer oujours ue surdéero :. S, ce 'es lus u roblèe d'oso, l soluo es ece,obeue r décovoluo. Doées d : u : d : legh u u 4 u : d : d. FT à coeffs cs ulvrble S : : : Coeffs du flre : b: b Vérfco : Sore réde Y : Y : for.. b u f.657 b u b u oherwse u Y 4 TP 7. 7

193 Tree du Sgl TP 7. Flrge ol. FT à q coeffs cs ulvrble S : q: : : q : : T Coeffs du flre : b : for j.. : for j.. q f q b j j c j j b c b T T Vérfco : Sore réde Y : Y : for.., q, b u j j j j j j f q,, b u j j j oherwse.657 u Y 4 TP 7. 8

194 Tree du Sgl TP 7. Flrge ol TP 7 AEE. Flrge ol I. OIDES CAES. Flrge S es Squres - odres crrés drec Idefco de l I h d. d'u cl à rr de l esure bruée de s réose d. à u sgl d... h.... w h w.. Y Sore veceur rce h I veceur W Bru veceur Soluo : odres crrés drec Progro : h: T : obre de os d'observo de : obre de os cous de h T Y Il fu le ssèe surdéeré: AZ : Fre croîre à rr de l vleur e corer l I vre du cl vec celle obeue r defco : subr,,,, Y : subr Y,,,, : 3 : 3 :.. j :.. :.. éservo éore : : Y : Eele de sgl d'erée : whe : Bru blc d'erée elleur ressge ossble Eele de I vre du cl : j :.. h : j h T j Sore : :.. : for.. h f Bruge de l sore cl : w : rd. : w Cosuo de l rce : éservo éore : Cosuo du veceur Y[->-] [->-] : Y : for Y.. :, j ou ecore :, j : for.. for j.., j j Y : subr,,,, AZ : odres crrés drec : éhode drece décovoluo seulee s : h : Y : subr Y,,,, h: Y h T : subr,,,, h T Cocluso:. our :. our > : TP 7. 9

195 Tree du Sgl TP 7. Flrge ol II. FITAGE DE WIEE Idefco de l I h d. d'u cl à rr de l esure bruée de s réose d. à u sgl d.. Flrge de Weer P: : P obre de os de l I coue : ere e : whe :.. r :.38 r.49 r : vcov, r : uocov r III. FITAGE DE AA. Flrge de l : :.. b : Vb : b : BruBlc, b, Vb Bru de odèle u : Vu : 9 u : BruBlc, u, Vu Bru d'observo :.9 ρ : Vb Vu E l : : Sgl brué : Sgl o brué : h : h T : for.. b : f b f for.. b f b b f b f > b b f > b : u b : b 4 Sgl brué Sgl o brué b 5 5 TP 7.

196 Tree du Sgl TP 7. Flrge ol Flre de l : rces : A: C : Sgl brué flré l Vb : for...9 TP 7.

197 Tree du Sgl TP 7. Flrge ol Focos Bblohèque : oee, Veceur r e rce d'auocovrce r e Vrce V du sgl de d r ergodcé :. oee : o legh. Vrce : Vr vuocov. Veceur d'auocovrce : vuocov legh o for.. r r. rce d'auocovrce : uocov legh r vuocov for.. for j.. r, j j Foco YuleWler φ, : ésoluo du ssèe de Yule-Wler v r verso rcelle Prères d'erée :. φ : veceur foco d'uocovrce d du sgl d : φ, φ... φ. : d de l'ordre du flre foreur/pc A Prère de sore :. le veceur d : V: vrce du bru blc s flre foreur;,,... : rères du flre foreur/pc A d'ordre YuleWler φ, for.. Eele : : 3 r : 6 for j.. φ, j j b : r : 3 r : for.. b φ α φ b φ φ α for.. α : YuleWler r, V: V 4 : TP 7.

198 Tree du Sgl TP 7. Flrge ol Foco YuleW, : ésoluo du ssèe de Yule-Wler v r verso rcelle Prères d'erée :. : sgl d :,.... : d de l'ordre du flre foreur/pc A Prère de sore :. le veceur d : V: vrce du bru blc s flre foreur;,,... : rères du flre foreur/pc A d'ordre YuleW, r vuocov YuleWler r, Bru blc de os de oee e de vrce V : Bru blc de os ceré de vrce.83 : Wheose A 8 P 3357 v for.. v od A v, P for.. w P v.5 w Bru blc de os de oee e de vrce V : BruBlc,, V V whe BruBlc,, V V Wheose éose reose veceur d. du flre A d'ordre coeffs u sgl veceur d. reose,, legh for.. f f < f TP 7. 3

199 Tree du Sgl TP 7. Flrge ol TFD TFD legh ou ecore : TFD legh for.. π e for.. reur I for.. cos π I I s π I TFDI TFDI legh for.. π e Covoluo cusle sgu de êe logueur covcusl, h legh for.. h Covoluo cusle sgu de logueur dfféree covcusl, h legh legh h for.. h f < oherwse TP 7. 4

200 Tree du Sgl TP 7. Flrge ol Trsforée de Hlber Hlber legh f for.. f π TH TH covcusl, f Veceur r de covrce des sgu e de d r ergodcé :. Veceur de Covrce : vcov, legh for.. v v vcoveregeerl, legh o o for.. r r Veceur e rce uls : Veceurul Prédco à s for.. ul ul redcs v, legh v o v v v φ vuocov v YuleWler φ, v v v v v rceul lges, cols for l.. lges for c.. cols ul Prédco à s s redcs v,, s ul lc, for v v.. s redcs v, TP 7. 5

201 Tree du Sgl TAITEET DU SIGA AEE Aee

202 Tree du Sgl 8 Aee. Décso Clssfco, ecossce des Fores 8 AEE. Décso Clssfco, ecossce des Fores I. CAS BI-CASSE Ds cers cs, l flé de l esure d u sgl es l recossce du héoèe hsque qu e es l source. orsque celu-c f re d u eseble de suos déjà coues à ror, le roblèe se rèe à l ecossce Des Fores DF e relève de l héore de l décso. U cs sle, fréquee recoré e rculèree éudé corresod u cs de l décso ere clsses. observeur es lors e résece d ue source qu géère ue sore crcérsque d u héoèe r ossbles, que l o elle des clsses ou hohèses H e H. Cee source es lors erurbée r u cl de rssso qu red ossble ue déero sûre des hohèses. e sgl esuré es lors ulsé our cosrure u élée d u esce de reréseo ou d observo χ du héoèe observé. Ce esce de reréseo do corresodre à ue ssque suffse du héoèe observé, c es-à-dre que l cossce du veceur d observo do erere d vor ous les élées our redre ue décso correce. Ds l esure du ossble, ucue vrble de décso e do doc êre voloree occulée. cosuo de ce esce ere esue de cocevor e de qulfer ue règle de décso, do l foco es de déerer u eu à quelle hohèse corresod l élée cosru à rr du sgl observé. Cee règle de décso rélse doc ue ro de l esce de reréseo e sous-esces dsjos e coléeres χ e χ, c es-à-dre u découge de l esce de reréseo e sous-esces els que : χ χ χ e χ χ Ue fos cee règle de décso cosuée, l e rese lors lus qu à l lquer u dvdus, our déerer l clsse à lquelle ls ree. Cs où les desés de robblé du veceur d observo codoellee à chque clsse so coues orsque les desés de robblé ρ e H ρ du veceur d observo codoellee à chque clsse so coues, l es ossble de les ulser our déerer l règle de décso. Il fu our cel cosdérer les 4 cs ossbles de décsos e d hohèses, e leurs robblés resecves : ds l clsse ds l clsse H Décder Décder H P D H ρ H d P D H ρ H χ H P D H ρ H d P D H ρ H χ χ χ d d Pr eele, s l hohèse H corresod à u ssèe e bo é, e l hohèse H à u dsfocoee de ce ssèe, lors P D H corresod à l robblé de déecer le défu, P D H corresod à l robblé de fusse lre, e P D H à l robblé de e s déecer u défu. 8 Aee.

203 Tree du Sgl 8 Aee. Décso Clssfco, ecossce des Fores Foco de coû Ces 4 robblés so esue ulsées our cosrure ue foco de rsque ou de coû égle à ue soe odérée de chcue des hohèses, e que l o souhe redre l lus ee ossble : C P D H P H C P D H P H C P D H P H C P D H P H Coe les décsos erroées so lus élsées que les décsos correces, les coeffces de odéro dove êre choss de fço à vérfer les relos d ordre suves : C > C e C > C > > Cee foco de rsque de u u bsolu, cr elle eu êre orée r l vleur : CP H CP H P D cr, our H P D H P D H P D H, o le cs dél : De lus, elle eu églee s écrre sous ue ouvelle fore, obeue à rr des desés de robblés codoelles, décres lus hu : P D H P D e P D H P D H H CP D H P H CP D H P H C[ P D H ] P H C[ P D H ] P H CP H CP H C C P H P D H C C P H P D H C P H C P γ H e os : γ C C P H P D H C C P H P D H vec : γ { C C P H ρ H C C P H ρ H } d E cor les eressos de e de, o : CP H CP H γ vec C > C > C P H C P H e χ so, our que, l fu : γ < ue robblé à l ervlle [, ] es doc le lorsque l qué égrée : { C C P H ρ H C C P H ρ } ds l olé du doe χ. es < H Cec èe doc à chosr l eseble χ des vleurs de our lesquelles o décde de chosr le cs, coe l eseble de oues les observos our lesquelles : ρ H C C P H < ρ H C C P H cr C > C e ρ robblé ρ d Ds le cs corre, le veceur corresod à u élée de χ, e doc à l décso du cs. χ e crère bése codu doc à ue règle de décso elé le es du ror de vrseblce : Tes du ror de vrseblce Décder s < µ Décder s > µ vec : H H ρ e ρ 8 Aee. µ C C P H C C P H

204 Tree du Sgl 8 Aee. Décso Clssfco, ecossce des Fores Cee règle de décso cosse doc à corer ue foco du veceur d observo, elée réceeur, à u seul de décso µ qu déed des robblés ror des hohèses e des coûs fés r l ulseur. Ds cers cs, oe lorsque les desés de robblé corresod u hohèses so gussees, o réfèrer ulser le logrhe du ror de vrseblce, qu devr êre coré u logrhe de µ. S les hohèses so cosdérées coe sérques e s le rsque corresod à l robblé d erreur ole, lors : C C e C C so P D H P H P D H P H e crère de vrseblce corresod lors à chosr l hohèse do l robblé oseror es l lus élevée : Décder Décder s s ρ ρ ρ ρ H P H < H P H H P H > H P H Cee règle de décso corresod doc à chosr l hohèse qu, coe eu du veceur d observo obeu, se révèle êre l lus robble. Cs où les desés de robblé du veceur d observo codoellee à chque clsse e so s coues Ef, s les robblés ror des hohèses e so s coues, o eu ceed fer eérelee le seul d ue règle de décso cosrue erquee e suv l roche bésee. E er le crère de rsque e foco de l robblé de l hohèse, P H, de l robblé de «fusse lre», P, e de l robblé de déeco, P D H robblé P H : C D H, o ore que le rsque déed léree de l C C P D H P H { C C C C P D H C C P D } H ègle du règle de décso qu se le rsque u es doc celle our lquelle le coeffce de P H es ul : C C C C P D H C C P D H C C C C P D H P D H C C C C Ce cho es elé règle du. Elle ere le coros dssble ere l robblé de déeco e l robblé de fusse lre. Courbe CO Ds l rque, o ese les fréqueces relves des cs de déeco e de fusse lre e foco du seul de décso µ. O obe lors ue courbe, elée courbe CO crcérsque de l oéreur de réceo : D H f [ P D ] P H 8 Aee. 3

205 Tree du Sgl 8 Aee. Décso Clssfco, ecossce des Fores Cee courbe sse écessree r les os, e, ds que, lorsque µ, le cs es js reeu : l P D H l P D H µ µ l P D H l P D H µ µ De lus, l eresso du déeceur ere de dédure églés : P D H < µ P D H P D H > µ P D H > µ P D H P D H > µ P D usque, lorsque µ, le cs es oujours reeu, µ P D H H II. CAS BI-CASSE AVEC O-DECISIO Pour cers roblèes de ecossce Des Fores, l es ossble ou référble de e s rbuer ue rse de décso à chque vleur du veceur d observo, f d ober ue déeco lus sûre. Pr ror u cs b-clsse vec décso récéde, cel reve à jouer ue ossblé suléere de o décso r les cs ossbles de décsos e d hohèses : ds l clsse ds l clsse e re décder Décder Décder P D H D H P D H H P H P P P D H D H D H Cee ouvelle suo erîe doc ue odfco de l eresso de l foco de rsque : D H P H C P D H P H C P D H P H C P D H P H C P D H P H C P D H P C P H Pusqu ue décso erroée résee u coû lus élevé qu ue o-décso, les dfféres coeffces de élé so choss de fço à vérfer les relos d ordre suves : C > C > C e C > C > C > > Cs où les desés de robblé du veceur d observo codoellee à chque clsse so coues eresso des robblés de o-décso e foco des obblés de décso : P D H P D H P D e P D H P D H P D H codu lors à ue ouvelle eresso de l foco de coû : C H H C C P D H P H C C P D H P H C P H C C P D H P H C C P D H P P H C H e os : P H C P γ γ γ { C C P H ρ H C C P H ρ H } χ e γ { C C P H ρ H C C P H ρ H } χ so de codu à l défo de sous-esces de décso χ e χ, qu e so lus coléeres: χ χ { χ, C C P H ρ H C C P H ρ } { χ C C P H ρ H C C P H ρ } H <, H < 8 Aee. 4 d d

206 Tree du Sgl 8 Aee. Décso Clssfco, ecossce des Fores ègle de décso O e dédu l règle de décso : µ Tes du ror de vrseblce Décder s Λ < µ Décder s Λ > µ Décder so vec : C C P H C C P H H H ρ Λ, ρ C C P H C C P H µ e Cee règle de décso cosse doc à corer ue foco du veceur d observo à seuls, ucue décso é rse lorsqu ucue de ces églés es vérfée. Cs où les desés de robblé du veceur d observo codoellee à chque clsse e so s coues Ef, lorsque l o e dsose s des eressos lques des desés de robblé codoelles, o eu chercher à ser l foco de rsque e foco des robblés ror des hohèses H e H : C C P D H C C P D H C P H P H C C C C P D H C C P D [ H ] P H [ C C P D H C C P D ] H Cec codu lors à redre le ere e fceur de P H égl à. es seuls de décso euve lors êre déerés déede e re les ersecos des courbes CO : D H f [ P D H ] P D H f [ P D ] des droes dédues du : P H C P e D H P D e P D H P D H C C C C C C Γ C C C C H C C C C C C Γ C C vec : e où : Γ rerésee l échelo de Hevsde. C 8 Aee. 5

207 Tree du Sgl TD 8 Aee. Décso Clssfco, ecossce des Fores TD 8 AEE. Décso Clssfco, ecossce des Fores I. CAS BI-CASSE. Cl de rssso Ue source qu ée so ue eso ulle hohèse H, so ue eso cose V hohèse H, es observée à l sore d u cl de rssso, qu rodu u bru ddf gusse, blc e ceré : H : H : V Vr σ vec : E [ ] e : [ ] Cosrure le réceeur bsé sur l observo de vleurs de. TD 8 Aee.

208 Tree du Sgl Projes TAITEET DU SIGA POJETS Projes.

209 Sgu & ssèes. Prébule es éocés de roje déllés se rouve ds le réerore : COIGES\GA\TS\TSPOJET - e rvl dedé es à rogrer sous hcd, r groue de 3 élèves u. - e rvl à redre sous l fore d u fcher z déoé vec l ulé du suje e ous les os des ebres du groue de roje, fcher à déoser sur Arelv do coer le rogre hcd vec oues les doées écessres, les coeres e ror égrés u docue hcd. Des quesos de cours dvduelles sero osées lors de l souece du roje. Tree du Sgl - Projes Eocés de roje déllés se rouv ds le réerore : COIGES/GA/TS/TSPOJET. Ileeo of dscree-e sses - Prole & ge. Seech sgl coresso wh FFT 3. Ige sgl coresso wh FFT 4. Coresso role-ge r odelees Dubeches 5. Coresso role-ge r flres foreurs 6. Coresso role-ge r redco lere PC 7. Trsforee e odelees Hr - Coresso role 8. Trsforee e odelees Hr - Coresso ge 9. Eso des fors d'u sgl role r PC. Frcl ge coresso. Segeo role e os deeco cve vocle. elee de secre 3. Trsforos D e D - Serble 4. Deeco de f de os r esure d'eerge 5. Suresso d'echo r rsforee cesrle colee 6. Eso des fors d'u sgl role r cesre 7. ehodes d'verso de rsforee de cesre reel 8. Proje fce - Eso r les odres crres Boforque Alse de sgu ECG Elecro-CrdoGre e EEG Elecro-EcéhloGre lse FFT e Odelees..