DISPOSITIF INTERFÉRENTIEL PAR DIVISION DU FRONT D ONDE : TROUS D YOUNG

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1 ISPOSITIF INTERFÉRENTIEL PAR IVISION U FRONT ONE : TROUS YOUNG diffrction.pdf Il s git d un dispositif interférentiel pr division du front d onde. Nous llons l étudier en détil à cuse de son importnce historique et églement prce qu il constitue le prototype d utres dispositifs. I. ispositif des trous d Young. escription Sur le trjet de l lumière entre l source ponctuelle S et le point d observtion M, on dispose un écrn opque percé de deu trous fins. Ces trous, s ils sont suffismment fins, diffrctent l lumière et sont ssimilbles à deu sources ponctuelles sphériques cohérentes entre elles, ppelées sources secondires. On note O le milieu de S S, Oz l méditrice de S S perpendiculire à l écrn où sont percés S et S. Le pln d observtion O y est norml à cette méditrice, O étnt sur l méditrice, O prllèle à S S orienté de S vers S. On étudie d bord le cs où l source est ponctuelle et sur l méditrice de S S. Frnges brillntes S M S O O O O y z S Frnges sombres d écrn d observtion 3.3. trous d Young

2 . Chmp d interférence. Non loclistion des frnges. ivision du front d onde Tous les points éclirés pr les deu sources secondires à l fois sont le siège d interférences puisqu ils reçoivent deu ondes cohérentes. On ppelle chmp d interférence l portion d espce comprennt tous les points M siège du phénomène d interférence, i.e. pprtennt à l intersection des deu fisceu diffrctés pr S et S. L position de l écrn d observtion n est ps imposée, il suffit qu il intercepte le chmp d interférence : on dit que les interférences ne sont ps loclisées. Le pln percé des deu trous divise le front d onde de l onde émise pr S : les deu ondes cohérentes sont obtenues pr division du front d onde, le dispositif des trous d Young est un eemple de dispositif interférentiel pr division du front d onde. 3. Clcul de l ddm δ(μ). L différence de mrche en M est : ( S M S M) δ( M) (SM) (SM) (SS ) + (S M) (SS ) (SM) (S M) (SM) n éterminons une epression pprochée de l différence de mrche δ(m) en un point M(,y,) de l écrn. Nous sommes dns le cs où >>, << et y <<, c est-à-dire que l distnce entre les deu trous est très fible devnt leur distnce à l écrn et que le point M d observtion est à une distnce du centre O très fible devnt. Les sources secondires ont comme coordonnées : S (/;;) et S (-/;;). Avec M(,y,), on clcule :. S M S M + y + y y + y S M S M + SM SM Rq : On retrouve ce résultt en écrivnt : S M SM S M + S M SM SM On en déduit l ddm, le déphsge entre les deu ondes et l ordre d interférence u point M(,y,) : δ (M) n ; δ(m) n ϕ(m) π π π λ λ λ ; δ(m) ϕ(m) n p(m) λ π λ λ L ddm dépend effectivement du point d observtion M : on donc un éclirement non uniforme sur l écrn. 4. Eclirement Trous non identiques : (M) I + I + II cosπ fonction de seulement λ I Où I i est l éclirement en M lorsque l source secondire S j (j i) est occultée. ns le cs usuel où les deu sources secondires ont même mplitude (i.e. qund les trous sont identiques), les éclirements que chcun donnerit seul, sont égu : I I noté I. L éclirement s écrit : 3.3. trous d Young

3 Trous identiques I(M) I + cos π λ L éclirement est une fonction sinusoïdle de. Si un détecteur décrivit l écrn prllèlement à S S, il verrit l éclirement osciller entre I m I + I + II (4I dns le cs usuel I I I ) et I min I + I II ( dns le cs usuel), utour de l vleur moyenne I moy I + I (I dns le cs usuel). I et I 9 I I I 5 ns le cs usuel I I I, l éclirement minimum est nul et l éclirement mimum vut 4I, Rppelons que si les deu sources n étient ps cohérentes, on observerit un éclirement uniforme I. Qund les deu sources sont cohérentes, c est l éclirement moyen sur l écrn qui vut I, mis en certins points l éclirement est nul, en d utres, il vut 4I (on l même énergie lumineuse totle mis non uniformément réprtie). 5. Frnges d interférence éfinition : Sur un écrn pln, une frnge d interférence est un ensemble de points où l différence de mrche est l même. Ainsi une frnge d interférence est un lieu d égl éclirement puisque Remrque : l éclirement vrie continument entre I m et I min. δ(m) I (M) I + I + II cos π. λ Cs du dispositif des trous d Young Une frnge d interférence est crctérisée pr δcst, ie puisque δn/ pr cst : les frnges d interférences sont des portions de droites d équtions ici cst, c est-à-dire perpendiculires u segment [S S ], prllèles à O y vec nos nottions. Même si sur l écrn l éclirement vrie continument entre I m et I min, on définit seulement deu types de frnges : frnges brillntes et frnges sombres. Les frnges brillntes sont obtenues lorsque les deu ondes sont en phse à π près, c est-à-dire lorsque l différence de mrche est un multiple de l longueur d onde dns le vide, ou encore lorsque l ordre d interférence est entier. On prle d interférences constructives. frnge brillnte FB : lieu des points où l éclirement est mimum : 3.3. trous d Young 3

4 FB : I(M) m cos[ ϕ(m)] ϕ(m)kπ (k Z ) δ(m)kλ p(m)k frnges brillntes : δ kλ : n kλ : FB λ λ k k n remrque : Pr bus de lngge, on confond toute l bnde brillnte (dont les points ont un éclirement compris entre I moy et I m ) et l droite centrle de cette bnde, dont les points ont un éclirement égl à I m et dont on vient de donner l éqution. Les frnges sombres, qunt à elles, sont obtenues lorsque les deu ondes sont en opposition de phse, c est-à-dire lorsque l différence de mrche est un multiple impir de l demi longueur d onde, ou encore lorsque l ordre d interférences est demi entier. On prle d interférences destructives. frnge sombre FS : lieu des points où l éclirement est minimum : FS : I(M) min cos[ ϕ(m)]- ϕ(m) k + π vec k Z δ(m) k + λ p(m)k + frnges sombres δ k + λ : n k + λ : FS λ λ k + k + n remrque : Là encore, pr bus de lngge, on confond toute l bnde sombre (dont les points ont un éclirement compris entre I moy et I min ) et l droite centrle de cette bnde, dont les points ont un éclirement égl à I min et dont on vient de donner l éqution. X S M Y S O O z S y Y S X S S O O y M z 6. Frnge centrle C est pr définition le lieu des points où l différence de chemin optique pour les deu trjets est nulle. Frnge centrle : δ( FC )m ϕ( FC )rd p( FC ) ns le cs étudié, elle pour éqution : FC (et s position ne dépend ps de l longueur d onde utilisée λ ). 7. Interfrnge C est l distnce séprnt les centres de deu frnges brillntes consécutives (ou deu frnges sombres consécutives). Nous vons vu que l éclirement est une fonction périodique de. L interfrnge est donc l période de cette fonction I() trous d Young 4

5 n I() I + I + II cosπ de l forme I() I + I + II λ Nous vons ussi trouvé l éqution des centres des frnges brillntes : cos π i λ λ k k : de l forme FB ki n FB interfrnge λ λ n i L interfrnge est donc l vrition de qui correspond à une vrition du déphsge de π, ou encore à une vrition de l ordre d interférence d une unité, ou encore à une vrition de l ddm de λ. i interfrnge ϕ(+i)- ϕ() π δ(+i)-δ() λ p(+i)-p() 8. Contrste Rppel : On crctérise l visibilité des frnges pr le fcteur de contrste C (ussi ppelé «contrste» ou «fcteur de I m I min visibilité») défini pr : C I + I m où I m est l éclirement mimum et I min l éclirement minimum. Le contrste est toujours compris entre et. min Cs du dispositif des trous d Young : I C I m m Cs usuel I I : le contrste vut lors : C. I + I min min I I I + I 9. influence du déplcement de l source perpendiculirement à S S X S mis Y S On toujours SS SS et l ddm ectement même epression qu u 3. : l figure d interférence est donc l même (elle est constituée de droites perpendiculires à S S, l interfrnge est inchngée iλ/ et l frnge centrle est toujours sur le pln méditeur de S S : Mêmes équtions pour les frnges, même interfrnge, même frnge centrle FC Conséquence : utilistion de deu sources primires S A et S B (u lieu d une seule S), de même longueur d onde λ. Chque point source donne son système de frnges : éclirement en M dû à S A seule : I A (M) I A + cos π λ éclirement en M dû à S B seule : I B (M) I B + cos π λ Les deu sources étnt incohérentes, les éclirements dus à chcune vont simplement s jouter (sns interférences supplémentires) : ( ) I(M) I A (M) + I B (M) I + I A B + cos π λ On obtient l même figure d interférence qu vec un seul point source, (mêmes équtions pour les frnges, même I A + I u lieu de I ou I. interfrnge, frnge centrle FC ), mis plus lumineuse : l éclirement moyen est ( ) Conséquence : utilistion d une fente source F perpendiculire à S S. B A B L fente constitue une jutposition d un très grnd nombre de points sources primires, de même longueur d onde, mis incohérents entre eu : les éclirements en un point M de l écrn, dus à chcun de ses points sources s joutent 3.3. trous d Young 5

6 simplement, le terme + cos π se met en fcteur : On obtient l même figure d interférence qu vec un seul point λ source, (mêmes équtions pour les frnges, même interfrnge, frnge centrle FC ), mis beucoup plus lumineuse (l éclirement moyen est l somme des éclirements moyens qui serient dus à un seul point source). Remrque : on dmettr qu on peut églement remplcer les trous S et S pr des fentes prllèles à l fente source, on obtient toujours le même système de frnges, mis plus lumineu encore: c est le dispositif des fentes d Young.. influence du déplcement de l source prllèlement à S S Soit O X un e prllèle à O, coupnt l méditrice de S S en O, position primitive de l source S. Soit X S l nouvelle bscisse de l source S (près déplcement prllèlement à S S ). X S S O M O O O S O y z Frnge centrle (lieu des points δ) d écrn d observtion Pour clculer l différence de mrche, il fut tenir compte cette fois de l contribution non nulle de (SS )-(SS ). L géométrie des tringles S S S et S S M étnt nlogues, le clcul de cette deuième contribution est identique à celui de l première. X S M SM et SS SS d L ddm, l ordre d interférence et l éclirement en M(,y,) s écrivent donc, d étnt l distnce du pln des trous à l source S, distnce supposée grnde devnt l écrt des trous : S 3.3. trous d Young 6

7 XS δ(m) n XS XS δ( M) n + p(m) + + d λ λ d λ d π X S I(M) I + I + II cos n + f() λ d Sur l écrn, les frnges sont toujours d éqution cst : ce sont toujours des droites orthogonles à l direction S S. L interfrnge est toujours le même : iλ/. L ordre d interférence en un point M de l écrn dépend non seulement de l position de M (pr ), mis ussi de l position du point source (pr X S ). L frnge centrle été trnsltée pr rpport u cs «symétrique» «S en O», dns le sens opposé u sens de déplcement de l source. Le pln contennt l frnge centrle et S psse toujours pr le milieu du segment S S. FC X S d II. Perte de contrste pr mnque de cohérence. Perte de contrste pr élrgissement de l source. ) eu points source déclés b) Fente source lrge Considérons le dispositif des fentes d Young vec deu fentes d Young infiniment fines distntes de. Pr contre l fente source S une lrgeur s non négligeble. On peut l considérer comme l jutposition de fentes sources élémentires, incohérentes entre elles (les tomes émettnt l lumière sont distincts, donc émettent des ondes incohérentes). X dx X S Fente source O S O z Y Repérons une fente source élémentire constitunt l source réelle lrge pr son bscisse X; soit dx s lrgeur trous d Young 7

8 Une telle fente source élémentire, si elle étit seule, donnerit sur l écrn le système de frnges d interférences décrit u prgrphe I. En un point M de l écrn, l éclirement di(m) dû à cette fente source élémentire est de l forme (on se plce dns le cs où les deu fentes d Young S et S sont bsolument identiques) : δ(m) n di(m) di cos + π et δ(m) + λ nx d X di(m) di( + cos πp(m) ) où p (M) + λ d où di est l éclirement que donnerit en M l bnde source élémentire considérée, vec une des deu fentes d Young bouchée. Les interfrnges correspondnt u différentes fentes sources élémentires vont être identiques : iλ/, en revnche leurs frnges centrles FC -X/d vont être continûment déclées. Ce phénomène v diminuer l visibilité du phénomène voire nnuler le contrste sur l écrn : pour certines lrgeurs de l fente source, le contrste s nnule, l éclirement sur l écrn est uniforme, on dit qu il y brouillge des frnges. c) Vrition de l ordre d interférence p(m) vec l position des fentes sources élémentires On vu que l ordre d interférence en un point M de l écrn dépend de l bscisse X de l source. Pour les différentes fentes sources élémentires constitunt l fente source, les ordres d interférences en M correspondnts vont décrire tout un intervlle p. Selon l lrgeur de cet intervlle, les frnges vont être plus ou moins brouillées. Rppelons l ordre d interférence en M : p (M) λ X + d Pour une vrition dx de l position d un point source, on une vrition en M de l ordre d interférence : dp(m) λd dx L fente source lrge entière (lrgeur s) occsionne donc en tout point M de l écrn, une vrition de l ordre d interférence : s λd L moitié de l fente source occsionne donc en tout point M de l écrn, une vrition de l ordre d interférence : s p(m) λd d) Brouillge pr élrgissement de l fente source. Si, en prtnt d une source très fine pour lquelle le contrste est proche de et p, on ouvre progressivement l fente source, le contrste diminue, il y progressivement brouillge. Pour distinguer frnges brillntes et frnges sombres, il fut qu en un point M quelconque, l lrgeur de l intervlle p correspondnt à l moitié de l étendue sptile de l source, soit inférieur /. Brouillge des frnges : p >/ où p correspond à l moitié de l étendue sptile de l source (s/) Soit : Brouillge des frnges λd s > On peut comprendre ce critère de l fçon suivnte. Considérons pr eemple un point M de l écrn dont l éclirement dû à l droite centrle de l fente source est miml : M serit u centre d une frnge brillnte si l fente source ne comprenit que s droite centrle, infiniment fine, l ordre d interférence en M correspondnt serit un entier k. Pour les bndes élémentires de l fente source d bscisse différente de, l ordre d interférence en M n est plus ectement entier dp(m) dx ; pour l bnde élémentire d bscisse s/, l ordre d interférence en M vrié de λd 3.3. trous d Young 8

9 s s p(m), et pour l bnde élémentire d bscisse -s/, l ordre d interférence en M vrié de ; si ces λd λd vritions de prt et d utre de l entier k sont en vleur bsolue inférieures à,5, on peut encore distinguer que M est sur une frnge brillnte cr les différents ordres pour les différentes bndes élémentires seront plus proches de k que de (k+) ou (k-). s Ainsi, on doit voir : p(m) ; si ce n est ps vérifié, il y «chevuchement des ordres» correspondnt u λd différentes bndes sources élémentires, on dit qu il y brouillge. I/I Vert : s Bleu : s,4s Rouge : s,7s Noir : ss June : s,s /i. Perte de contrste pr élrgissement spectrl de l source ) ensité spectrle Lorsqu une source n est ps monochromtique, l énergie qu elle émet se réprtit sur plusieurs fréquences. On crctérise cette réprtition pr une fonction ppelée densité spectrle en fréquence de l source, F (), telle que l éclirement élémentire émis pr l source dns l intervlle de fréquence [, +d] s écrit : di s F ()d. di s F ()d : intensité émise pr l source dns l intervlle élémentire de fréquence [, +d] F () : intensité émise pr l source pr unité d intervlle de fréquence u voisinge de l fréquence L intensité lumineuse totle émise pr l source est l ire située sous l courbe F () : I s di s + F ( ) d di s F ( ) d F () est l intensité émise pr l source pr unité d intervlle de fréquence u voisinge de l fréquence. Les courbes ci-dessous donnent l llure des densités spectrles dns les cs : d une source de lumière blnche (mpoule à incndescence) d une lumière émise pr une lmpe à incndescence filtrée pr un filtre de bonne qulité d une lmpe spectrle à vpeur de mercure d une lmpe spectrle à vpeur de mercure filtré pr un filtre vert : λ546,µm d une lmpe à vpeur de sodium : on prle de doublet d une source de densité spectrle à profil rectngulire (modèle) 3.3. trous d Young 9

10 F () F () F () F () F () F () F b) Source non monochromtique de densité spectrle à profil rectngulire On se plce à nouveu dns le cs d une fente source infiniment fine située dns le pln méditeur des trous d Young mis cette source n est plus qusi monochromtique. Supposons-l de densité spectrle à profil rectngulire. Notons - l lrgeur de l rie rectngulire et m ( + )/ l fréquence centrle, moyenne des fréquences et. On vu que pour une source monochromtique, l ordre d interférence en un point M de l écrn est : δ(m) n n δ() p(m) λ λ λ c c où c est l fréquence de l onde de longueur d onde dns le vide λ λ Il dépend de l longueur d onde. Si plusieurs longueurs d onde (fréquences) sont présentes, elles sont incohérentes entre elles et ne correspondent ps u même ordre d interférence en M : à chque fréquence de l source correspond un système de frnges d interférences vec interfrnge différent. Les différentes fréquences sont incohérentes et on observe sur l écrn l superposition de tous ces systèmes de frnges. Il en résulte une diminution du contrste pr rpport u cs monochromtique. δ() dp d c Si l source n est ps monochromtique, l ordre d interférence décrit tout un intervlle p et p dépend de. Pour évluer si le contrste reste cceptble, on utilise le même critère qu u ) : On ur brouillge des frnges si p>/ où p est évlué sur l moitié / de l étendue spectrle de l source. Or, pour l moitié de l étendue spectrle de l source, δ() p. c On déduit : p > c δ() > Plçons-nous dns le cs fréquent où << m ou encore λ<<λ m Posons λ c/ et λ c/, λ m (λ +λ )/ et λ λ -λ ; on donc λ λ m +( λ /) et λ λ m -( λ /) 3.3. trous d Young

11 ns le cs fréquent << m, on peut fire l pproimtion suivnte, en négligent les infiniment petits du second ordre : c m c + c / λ c + c / λ λ λ λ + λ λ m et c c λ λ m : λ λ c λ λ m m m λ λ m l m c λ On lors cτc * λ l m c λ Brouillge des frnges : pour δ ( ) > cτc * λ III. Superposition de N ondes cohérentes entre elles. Condition d interférences constructives Soit N ondes qusi monochromtiques cohérentes entre elles, de même mplitude et dont les phses sont en progression rithmétique, i.e. déphsées l une pr rpport à l suivnte de l même quntité ϕ. Leur superposition donne églement lieu à des interférences. δ δ δ θ δ θ δ L condition d interférences constructives s écrit encore : ϕ( θ) p. π ou encore δ ( θ) pλ où p est entier ns le cs de N ondes diffrctées pr un réseu de ps, l différence de mrche s écrit : δsinθ L condition d interférences constructives s écrit lors : sinθpλ. Les directions θ dns lesquelles on observe des mim de lumière sont indicées pr un entier p, ppelé «ordre du mimum principl» : 3.3. trous d Young

12 λ sin θ p p Le déphsge entre deu ondes émises pr des fentes consécutives étnt le même pour tout couple d ondes émises pr des fentes consécutives, si elles sont en phse module π, lors les N ondes sont en phse modulo π.. emi-lrgeur des pics principu Le profil d éclirement peut se clculer (hors progrmme). Il n est plus sinusoïdl comme pour des interférences à deu ondes mis il présente des mim pour l même condition : ϕ p. π où p est entier. Ci-dessous, l éclirement obtenu pr un clcul numérique, correspondnt à l superposition de N ondes de même mplitude, déphsée de ϕ. Les mim sont d utnt plus igus que N est grnd. L demi-lrgeur des pics principu est N π. Il s git de l écrt entre le déphsge donnnt le mimum principl d ordre p et l plus petite vleur supérieure du déphsge donnnt un éclirement nul. On prle ussi de demi-lrgeur à l bse d un pic. On trouve fcilement ce résultt à l ide d une construction de Fresnel : 3. Utilistion d un réseu pour l spectrométrie 3.3. trous d Young