METHODES NUMERIQUES APPLIQUEES AUX CALCULS DES ECOULEMENTS ET DU TRANSFERT DE CHALEUR

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1 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER (Verso Ju ) Par : Pr. Abbès AZZI T Faculé de Gée-Mécaque STO MB BP.55 El-Maouar Ora Algère. Tel-fa:+ () 6 e-mal: azz.abbes@yahoo.fr url :

2 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER AVANT PROPOS La perre agulare de la méhode des dfféreces fes es bel es be le développeme e sére de Taylor. Brook Taylor ce élève qu dev plus célèbre que ces professeurs découvr les séres appelées développeme de Taylor. Par sa découvere Taylor a ms ere os mas le moye de prédre la valeur d ue foco e u po doé e foco de sa valeur e la valeur de ces dérvées e u aure po ou proche du premer. C es be à parr de cee sére qu o peu ober les schémas algébrques pour remplacer les dérvées das ue équao de ype EDP (Equao au Dérvées Parelles). C es la base même de la méhode des dfféreces fes e des aures méhodes dédues de celle-c. Tou le rese es qu aees serva à parler de sablé cossace erreurs de rocaure e aures. Vous l aurez comprs oue la phlosophe de cee méhode es d essayer de prédre ce qu se passera das u laps de emps sur la base de ce qu se passe à l sa (valeur saaée) e les edaces de chageme acuelles (les dérvées successves). Cec es vra pour le emps mas auss pour l espace. Cee prédco es d aua plus use que l crémeao es pee e/ou que les los de chageme e d évoluo so coues. Mo cours de dfféreces fes e le dvse habuelleme e ros grads chapres classés par ordre de compleé. J ame auss cosrure mo cours auour d eemples à résoudre ce qu permera d appredre ou e applqua. Il es auss mpora de dre que les équaos de raspor do l es queso e MDF compore esseelleme u erme o saoare u erme de raspor par coveco u erme de raspor par dffuso e ef u erme source. La pare dffuso es la plus smple à raer pusqu e géérale le coeffce de dffuso es assmlé à ue cosae d où ue équao léare plus smple à raer. L équao de Fourer relave au rasfer de chaleur par coduco e e régme o saoare sera l eemple à résoudre dura oue la premère pare du cours. Das cee pare l es queso d rodure l éuda au schémas umérques de base auss be pour l espace que pour le emps. Les oos de précso (erreurs de rocaure) de sablé e de cossace compléero cee premère pare. Das u deuème emps la pare dffuso sera reraée par l approche des volumes fs. Les mêmes eemples sero reprs e dscués sur la base de cee méhode. Tou comme pour les dfféreces fes la méhode des volumes fs repose sur u prcpe de base qu es le héorème de la dvergece. Ce prcpe perme de subsuer ue égrale de volume par ue égrale de surface. Cee pare du cours correspod à ce que e doe habuelleme au éudas de graduao. Page

3 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER Les ermes de coveco so o léares e par coséque plus complqués à raer. Il s ag là d u mouveme macroscopque de flude à qu o do adaper les schémas de coveco e foco de la dreco de l écouleme. Cee pare sera raée dreceme par la méhode des volumes fs e porera sur la dualé précso-sablé. Les dfféres ypes de schéma e leurs propréés sero éudés à ravers des eemples d applcaos. E géérale e réserve cee pare pour les éudas de pos-graduao mas empêche que des fos avec des éudas sudeu e graduao o peu aborder ue pare de ce chapre. La rosème pare du cours cocere la résoluo des sysèmes d équao (Naver- Sokes). A ravers ce sysème d équaos quas-o léares e couplées rodus les algorhmes de correco de presso ulsés pour les équaos de fludes compressbles. La pare compressble e fa pas ecore pare de ce cours. Page

4 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER SOMMAIRE Les équaos au dérvées parelles classfcao PARTIE I :. Préseao de la méhode des dfféreces fes. L équao de coduco de la chaleur (Joseph Fourer). Le problème saoare. Le problème o saoare. Schémas eplce e mplces 5. Le cocep de sablé (rasformao de Fourer) 6. Schéma de Crak-Ncholso 7. Schéma de Duffor-Frakel 8. Le cocep de cossace 9. M-proe (coduco hermque e D). Préseao de la méhode des volumes fs. Applcao à la pare dffuso (D). Dffuso e D e D. M-proes (coduco hermque e D) PARTIE II :. Applcao de la méhode des volumes fs pour u problème de covecodffuso. Les propréés d u schéma de coveco. Schéma ava d ordre u. Schéma ceré d ordre deu. Schéma hybrde 5. Schémas à haue précso avec e sas lmeurs PARTIE III :. Algorhme de couplage presso-vesse. Relaao. Mallage décalé. Ierpolao de Rhe & Show (mallage colocaf). Algorhmes : SIMPLE SIMPLEC SIMPLER e PISO Page

5 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER LES EQATIONS AX DERIVEES PARTIELLES (EDP) Das cee premère pare l es queso de proposer u classeme des équaos au dérvées parelles de la mécaque des fludes e des codos au lmes qu vo avec. Classfcao : Cosdéros la forme géérale d ue Equao au Dérvées Parelles (EDP) de secod ordre suva les deu varables dépedaes ( e y) : A B C D E F G y y y () e classfcao assez smple de cee équao peu êre fae sur la base des coeffces assocés au dérvées d ordre le plus élevé A B e C. O calcule le déerma déf par : B AC L équao es de de ype ellpque s parabolque s hyperbolque s. Das le cas d u sysème d EDP l fau écrre l équao caracérsque du sysème pour rouver sa aure. La marche à suvre es llusrée par l eemple suva : V V A y y V V A B C D y y o écr les déplaceme : B C D E E () () d d dy y () V V dv d dy y (5) Les équaos précédees s écrve sous la forme compace suvae : Page 5

6 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER A A d B B dy C C d D D dy E E y V d V dv y (6) Le déerma : C A C dy A D A D B C B C ddy B D B D d A (7) dy O dvse l équao précédee par d e o déf f d ' ' a f b f c (8) b ac (9) L équao es de de ype ellpque s elle es parabolque s e hyperbolque s. e des ulés de cee classfcao es de prévor le comporeme de l équao vs à vs des codos au lmes. S ous magos u écouleme de flude de gauche vers la droe ue perurbao e u po doé a pas d fluece amo s l équao es de ype parabolque. S par core l équao es de ype ellpque ue perurbao quelcoque e u po quelcoque aura ue fluece das oues les drecos de l espace. e coséquece drece de cee caracérsque es qu u problème de ype parabolque peu êre résolu par ue marche ava alors qu ue équao de ype ellpque écesse la prse e cosdérao des codos au lmes mposées sur oues les froères du domae de calcul. Par eemple : L équao de Laplace y L équao de dffuso L équao y ellpque parabolque hyperbolque L EDP de aure parabolque : C es le cas d u problème de propagao assocé à u mécasme de dsspao el que la coduco hermque o saoare. Page 6

7 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER L équao lmes : lée au codos ales : s e au codos au accepe la soluo eace suvae s ep C es ue équao léare d ordre parabolque par rappor à la varable du emps. La propagao e ava das le emps e la dffuso das l espace fo que la soluo e u po P peu fluecer mpore qu elle po pour. Cepeda les pos se sua das la zoe e so pas fluecés par la soluo au po P. E d aures ermes o dra que le passé flue sur le fuur alors que l verse es pas vra. La dsspao das l espace fa que même s la dsrbuo ale pour es dscoue la soluo deve coue pour. L EDP de aure ellpque : Cee caégore d EDP es assocée au problèmes de aure saoare ou d équlbre els que l écouleme saoare d u flude vsqueu la réparo saoare du champ de empéraure ou la dsrbuo d u poeel. L équao de Laplace du ype assocée au codos au lmes suvaes y s s ep e y y suvae : y s ep y accepe la soluo eace La prcpale caracérsque de ce ype d équao ellpque es qu ue perurbao rodue e u po quelcoque à l éreur du domae de calcul flue sur la oalé du domae. Cec mplque que pour résoudre u problème de ype ellpque l es mpéraf de poser les codos au lmes sur oues les froères du domae. Ic auss ue dscoué das les codos au lmes es rapdeme effacer (lsser) à l éreur du domae de calcul. L EDP de aure hyperbolque : Cee caégore d EDP peu êre cosdérée comme eeso des équaos ellpques pour lesquels ceraes valeurs crques des paramères dove êre déermées e même emps que la dsrbuo d équlbre correspodae. La résoace de crcu élecrque ou d ecees acousques as que la déermao des fréqueces propres des srucures élasques cosue des eemples de ce ype d équaos. L équao de propagao d ue ode suvae représee u rès bo eemple pour l équao de ype hyperbolque. Cee équao assocée au codos ales s e au codos au lmes accepe la s cos soluo suvae : Page 7

8 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER Ef la fgure représee schémaqueme l fluece d ue perurbao au po P sur l esemble du domae de calcul pour les ros ypes d équaos. Les codos au lmes Fgure : Naure des équaos e codos au lmes (a) Hyperbolque (b) Parabolque e (c) Ellpque. So u problème déf das u domae R lmé par la froère R. Les codos au lmes peuve êre de ros aures : Drchle : Das ce ype de codos la valeur de la varable dépedae es mposée sur la froère du domae de calcul f sur R () Newma : La varable dépedae es pas coue sur la froère mas sa dérvée es be déf f ou q sur R () s Me : e combaso léare des deu premères codos es mposée sur la froère k f k sur R () problème de rasfer de chaleur ou d écouleme es d be posé s e résolva les équaos du problème lées au codos au lmes e ales La soluo umérque ese. La soluo umérque es uque. La soluo umérque déped de faço coue de la varao des codos au lmes. Page 8

9 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER PRESENTATION DE LA METHODE DES DIFFERENCES FINIES TAYLOR BROOK (685-7) Sr Brook Taylor es u homme de sceces aglas é le 8 aoû 685 à Edmoo (Agleerre). Il es mor à l âge de 6 as le 9 décembre 7 à Lodres. So domae d érê clus les mahémaques la musque la peure e la phlosophe. So amour pour les mahémaques lu a éé rasms par ces professeurs Joh Mach e Joh Kell. Il compléa ses éudes à l'uversé de Cambrdge e dev célèbre pour ses corbuos au développeme du calcul fésmal. Le avrl 7 (à l âge de 7 as) Taylor fu adms à la Royal Socey de Lodres (l'équvale de l'académe des sceces de Pars) o sur la base de ces publcaos scefques mas sur recommadao e eperse de Mach Kell e aures. Evro deu aées après l fu élu secréare de la Royal Socey e l y resa du aver 7 au ocobre 78 lorsqu'l du se résger pour rasos de saé d'ue par d'aure par par maque de movao. La pérode où l fu secréare de la Royal Socey de Lodres fu celle de sa ve où l fu le plus producf e mahémaques. Il publa deu ouvrages e 75 qu so erêmeme mpora pour l'hsore des mahémaques. Das so ouvrage Mehodus cremeorum dreca e versa Taylor aoua au mahémaques supéreures ue ouvelle brache appelée calcul de dfféreces fes vea l'égrao par pares e découvr les séres appelées développeme de Taylor. E fa la premère meo par Taylor de ce qu es appelé auourd'hu héorème de Taylor apparaî das ue lere que ce derer écrv à Mach le 6 ulle 7. L'mporace du héorème de Taylor e fu pas perçue ava 77 quad Lagrage proclama que c'éa le prcpe de base du calcul dfféreel. Le erme sére de Taylor semble avor éé ulsé pour la premère fos par L'Huler e 786. Taylor présea auss les prcpes de base de la perspecve das Lear Prospec (75). La secode édo fu appelée New prcples of lear perspecve. Ef Taylor f de ombreu séours e Frace. C'éa d'ue par sue à des problèmes de saé e d'aure par pour garder le coac avec ces ams mahémaces. Acuelleme la perre agulare de la méhode des dfféreces fes es aure que le développeme des séres de Taylor. (Wkpéda Ecyclopéde) La méhode des dfféreces fes : Cee méhode es basée sur la echque du développeme e séres de Taylor qu perme d appromer la valeur d ue foco e u po doé s o coaî la valeur de la de foco as que oue ces dérvées e u po vos e espace ou e emps. Cee echque perme de développer des schémas pour remplacer les dérvées premères e secodes des EDP pour pouvor evsager ue soluo umérque par calculaeur. Pour ober ue soluo umérque l fau ou d abord défr u domae umérque cosué par u esemble de pos dscres appelé grlle de calcul. Les valeurs saaées e locales des varables dépedaes du problème so déf sur l esemble des pos de la grlle de calcul. La dfférece ere cee vue umérque à ravers u cera ombre de pos e la dsrbuo coue eace représee l erreur commse par la méhode umérque. Il es ou à fa logque de peser que plus le ombre de pos es mpora plus la vsualsao es clare u peu comme les pels d ue phoo umérque. La Fgure représee des eemples de grlles de calcul. Page 9

10 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER Fgure. Eemples de grlles de calcul L éape suvae cosse à appromer ou remplacer oues les dérvées parelles par des schémas dscres (dfférece fes). L EDP sera rasformée e équao algébrque. Cee équao algébrque es esue applquée sur l esemble des œuds de la grlle de calcul. Le résula sera u sysème d équao compora aua d équaos que d coues (œuds). Ce sysème sera esue résolu par ue méhode approprée. Le résula sera ue dsrbuo dscrèe de la soluo sur l esemble des pos du domae de calcul. Page

11 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER Grlle de calcul : Fgure ; Grlle de calcul srucurée D. Ava de commecer l fau rouver u moye qu ous permera de localser spaaleme e emporelleme ous les pos de la soluo umérque. C es ce qu o va appeler créao de la grlle de calcul. Das la sue o va résoer sur u espace pla (D) e l eeso pour le D sera fae de maère uve. La Fgure représee la maère la plus drece pour repérer les pos suva la procédure srucurée. C es u peu comme ue marce chaque po sera affecé de deu dees () qu le posoero par rappor à ces voss. So la varable à calculer. Sa valeur au dfféres pos de la grlle s écr de la maère suvae : ( y) () ( y) () y ( y ) () y ( y ) () Mallage o-srucuré : L aure faço de maller u domae de calcul es de défr u uage de pos pas écessareme srucuré. Das ce cas-là l faudra uméroer les pos de calcul u par u. Chaque po aura ces coordoées e y. E plus l faudra reler ces pos ere eu de faço à créer des élémes (gééraleme des ragles vor Fgure ). Le fcher de la grlle de calcul sera compléer par ue lse des élémes (eu-mêmes uméroer) e les pos composas chaque éléme. Page

12 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER Page Le développeme e sére de Taylor ; R y y!...! (5) R y y!...! (6) e aure écrure de l équao (5) o oubl emporareme la deuème dmeso. R ' ' '!...! Le erme R représee les ermes oms d ordre (+ à l f). Théorqueme o aura beso d u ombre f de ermes pour pouvor calculer la valeur de ( + ). E praque o se lme à u ombre f de erme e ou le rese sera cosdéré e a que l erreur de l appromao (erreur de rocaure). Cosruco des schémas pour la dérvée d ordre u e deu : E arragea l équao (5) o obe le schéma au dfféreces ava: y y (7) L équao (6) doe le schéma au dfféreces arrère : y y (8) Le schéma au dfféreces cerées s obe e sousraya l équao (6) de l équao (5) : y y (9) La dérvée secode es obeue e addoa l équao (5) à l équao (6) : y y y () Les schémas c-dessus s écrve sous forme dcelle : ()

13 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER () () () Applcao : A re d eercce cosrure u schéma pour appromer la dérvée crosée. Applcao : E ulsa u schéma d ordre u calculer la premère dérvée de la foco suvae pour =.5 e pour deu crémeaos h=.5 e h=.5 f Répéer l opérao avec u schéma d ordre deu. Comparez avec la soluo eace. Le fa de dre qu u schéma es d ordre deu veu dre qu l es plus précs que celu d ordre u. L erreur de rocaure es proporoelle à h au leu de h (pour le schéma d ordre ). De ce fa u schéma d ordre deu es ouours préféré e CFD. Pour la dérvée par rappor au emps l es d usage d ulser u schéma ava d ordre u. C es u peu par rappor à la aure de la varable emps. Erreur de rocaure : C es l erreur qu résule de l ulsao d ue appromao (schéma) à la place de la soluo eace (dérvée). Erreur d arrod : C es l erreur egedrée lorsqu o se lme le ombre de décmales prs e compe après la vrgule. Page

14 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER Page La prcpale remarque es que le schéma ceré es d ordre es plus précs que les deu aures. Malheureuseme ce schéma e peu êre ulsé pour les œuds de froères où le domae de calcul es déf seuleme d u seul côé du œud de calcul. La formule d u schéma d ordre applcable au œuds des froères peu êre cosrue e ulsa ros pos au leu de deu. La procédure es la suvae : c b a (5)... 6! (6)... 6! (7) E mulple l équao (6) par b e l équao (7) par c ; b c b c c b a c b a (8) L defcao de l équao (8) à l équao (5) doe : b c b c c b a (9) La résoluo de ce sysème d équao doe l epresso suvae pour u schéma de secod ordre ulsa ros pos pour la dérvée premère. () Applcao : Cosrure u schéma d ordre ulsa les pos + e + pour appromer la premère dérvée.

15 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER. L équao de coduco de la chaleur (Joseph Fourer) L équao de Fourrer radusa le rasfer de chaleur par coduco sera ulsée das la sue du cours comme eemple de base pour llusrer l applcao de la méhode des dfféreces fes. T c T Q () où : T y : La empéraure foco de l espace e du emps. c Q : La chaleur spécfque. : La masse volumque. : Source de chaleur par ué de emps e de volume. : Le coeffce de coducvé hermque. : Le emps. Be que la coducvé hermque la chaleur spécfque e la masse volumque peuve varer e foco de la empéraure elles sero cosdérées cosaes das la sue du cours. Nore premère approche du problème sera d applquer cee équao pour u cas assez smple el que le rasfer de chaleur e D. So u fl méallque de seco droe rès pee par rappor à sa logueur de faço à ce que le flu de chaleur ese seuleme suva la logueur du fl. S e plus la source de chaleur es absee l équao précédee pred la forme suvae : T T a () Où a c représee la dffusvé hermque. S les empéraures mamale e mmale du processus so coues la empéraure sera admesoalsée comme su : T T T T m () ma m e e rodusa la varable d espace admesoelle l équao précédee s écr : ' / L où L es la logueur du fl Page 5

16 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER a () où a éé remplacée par pour smplfer l écrure. LE PROBLEME STATIONNAIRE S e plus le problème es saoare l équao deve : (5) Le problème sera compléé par la pose des codos au lmes. I = I = I = I = I = 5 I = 6 L L NI = 6 Logueur du fl. Nombre de œuds du mallage. Les codos au lmes sero du ype Drchle : NI (6) O calcul par l epresso suvae : NI e o géère la grlle de calcul par la poro de programme : () =. Do I=NI () = (-)+ eddo (7) L équao (5) sera dscrésée par u schéma ceré de secod ordre : (8) Page 6

17 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER Page 7 Le ombre de œuds global éa 6 do deu so réservés pour les codos au lmes e quare so à calculés par la méhode des dfféreces fes. L applcao de l équao algébrque (8) au quare œuds doe le sysème suva : I= so (9) I= so () I= 5 so 5 () I=5 6 5 so 5 () Mahémaqueme parla o dspose d u sysème de quare équaos à quare cous : 5 () Ce ype de marce es appelée marce r dagoal e elle es facleme résolu par la méhode du pvo (ragulao). Soluo :

18 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER O a auss : e 6 Il es clar que la soluo es ue droe e parfae cocordace avec la coduco hermque u drecoelle qu possède u caracère léare. Remarque : La soluo de ce ype de problème es possble aalyqueme (deu égraos successves) e la soluo e celle d ue lge droe. LE PROBLEME NON-STATIONNAIRE O repred l équao () u u a Das ce gere de problème e plus des codos au lmes o a beso des codos ales. C es à dre ue dsrbuo ale de la soluo pour le emps zéro. Les varables auro deu dces : le premer se rappora au emps e le deuème à l espace.. sera représeée par. = = I = I = I = I = I = 5 I = 6 = L Page 8

19 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER Schéma eplc L équao précédee sera appromer par le schéma suva : a () O remarque qu o a ulsé u schéma ava d ordre u pour la dérvée par rappor au emps e u schéma ceré d ordre deu pour la dérvée par rappor à l espace. Lors de cee dscrésao ous avos chos de predre les ermes de droes au emps. ce schéma s appelle u schéma eplce pusqu l perme de formuler l epresso de la varable au po e à l sa + eplceme e foco de la soluo déà calculée au emps. Ce schéma es représeé par la molécule suvae. L équao () sera arragée comme su : (5) avec a (6) L équao (5) sera applqué au œuds d ue même ragé (c.a.d. = cse). Repreos le problème de coduco de la empéraure précède e posos les codos au lmes suvaes (... pour ) ) e les codos ales ( S o repred le même ombre de œuds que précédemme (NI=6) le pas d espace sera. Cas :. (. 5 ) Page 9

20 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER A ce veau o peu arrêer les calculs pusqu o remarque que les résulas umérques de la prédco e peuve êre accepés physqueme. E l absece de source de chaleur les valeurs de la empéraure dove êre borées par les codos au lmes pre ecore o vo apparaîre des valeurs égaves de la empéraure admesoelle. O coclue que le schéma umérque es pas sable pusqu l amplfe les erreurs rodues par les codos ales. Cas :. (. 5) D après les résulas c-dessus o remarque que la premère varae avec. es sable. Elle e peu pas abour à ue soluo rasoable. Alors qu avec. le processus es sable. Cocluso : la sablé d u schéma eplce es pas ouours assurée. Cocep de sablé d u schéma : schéma es d sable s l amor les erreurs provea des C.I. des C.L. e de l appromao ulsée. S l amplfe les erreurs le schéma sera sable e e pourra pas coverger vers ue soluo réalse. Pour rodure le cocep de sablé ous allos ulser le schéma de l équao (5) So u la soluo eace (e muscule) e la soluo umérque à l sa. ces deu quaés sero lées par : u u (7) Page

21 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER Page Où u es l erreur rodue das le calcul par l appromao du schéma (erreur de rocaure). Remplaços l équao (7) das () ous obeos : u u u u u (8) Ou u u u u (9) Cee derère équao décr l évoluo de l erreur e foco du emps. Comme l es d précédemme u schéma umérque sable e do pas amplfer les erreurs. Cee codos es be vérfée s pusque es ouours posf. u u u u () ma ma u u E d aures ermes l erreur rodue par u pas de emps e peu êre supéreur à ANALYSE DE LA STABILITE PAR LA TRANSFORMATION DE FORIER Corareme à l erreur de rocaure qu peu êre esmer pour mpore quel problème (auss complee so-l) l es praqueme rès dffcle d aalyser la sablé d u schéma doée. Il es même mpossble d éuder la sablé d u algorhme pour des équaos o léares. e méhode d aalyse de la sablé basée sur la rasformao de Fourer peu êre applquée au schéma précède (5) : La soluo d'u el problème peu s écrre sous la forme suvae : e () L eco de cee soluo das l équao (5) doe : e e e e () Qu peu auss s écrre :

22 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER G () Où : G e e () es appelé faceur d'amplfcao. Pour qu u schéma so sable l fau que G. S o applque les égalés rgoomérques suvaes cos e e ; cos à l epresso de G ous obeos : G cos s (5) (6) G s (7) Ef : G sera vérfer s s (8) s (9) Cee codos es vérfé s : (5) E cocluso ous dros que le schéma eplce éudé précédemme es sable pour la codo (5). E aalysa l eemple cé précédemme ous cosaos que l algorhme es sable pour u. qu correspod à. 5 e que ous avos sablsé le calcul e adopa ue valeur plus pee du pas du emps ;. (. 5). Les coclusos sero : Pour u. la valeur mamale du pas du emps pour u calcul sable sera.8. Page

23 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER S ous voulos augmeer la précso du schéma e adopa par eemple u. o do auss vérfer. C es à dre plus la précso spaale es grade plus le calcul sera plus log pusque le pas du emps egé pour la sablé du schéma eplc sera plus pe. Du po de vue capacé de sockage e mémore ce schéma ege u espace double pour la dsrbuo de la soluo umérque ( e +). Schéma mplce Repreos le problème de la coduco hermque o saoare e re écrvos l équao dscrèe () comme su (les ermes de droe so au emps +) a (5) Après groupeme e arrageme : (5) Cee équao présee ros cous e même emps ce qu e perme pas de la résoudre dreceme comme c éa le cas pour le schéma eplce. Cee forme de dscrésao es appelée schéma mplce. Pour rouver la soluo l fau écrre l esemble des équaos ssues de l applcao de (5) sur ous les œuds de la même lge e esue résoudre le sysème ou eer. S ous repreos l eemple précéde composé de s œuds le sysème s écrra : e 6 so coues e représee les codos au lmes. Page

24 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER Page O dspose maea d u sysème de quare équaos à quare cous. * 5 * * * 5 Les varables de ype * représee la soluo umérque à l érao précédee. La soluo de ce sysème doe dreceme la soluo de l équao. O cosae que l adopo de mpore qu elle valeur du paramère abou à ue soluo umérque sable. O coclue que le schéma mplce es codoelleme sable. Applcao : lser l aalyse de fourrer comme précédemme pour morer que le schéma mplce es codoelleme sable. Schéma de Crak-Nckolso : Suva ce schéma l équao () s écrra de la maère suvae : a (5) el schéma pred ue moé e eplce e l aure moé e mplce. e faço plus gééralsée de dscréser l équao () es : a (5) Pour le schéma es eplce pour l es mplce e pour 5. l deve Crak- Ncholso.

25 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER Schéma de Duffor Frakel C es u schéma eplce e codoelleme sable a (55) Cocep de cossace d u schéma schéma es d cossa s e seuleme s l erreur de rocaure ed vers zéro quad ous les pas e ede vers zéro. E d aures ermes : plus o raffe le mallage de calcul plus le résula do êre précs. Le schéma mplce e eplc rodus précédemme so cossas pusque l erreur de rocaure ed vers zéro quad e ede vers zéro. Eamos le schéma de Duffor Frakel de l équao (55). a L erreur de rocaure a la forme suvae :... 6 (56) Tou va pour le meu s lm quad e. Par core s e schéma e sera plus cossa. ede vers zéro avec le même au elle que alors ce M-Proes : (L éocé des applcaos c-dessous es spré du cours de Lars Davdso Chalmers Tekska Hogskola Termo- och Fluddyamk haks o Dr. Lars Davdso) Le proe cosse à résoudre le problème de coduco hermque (dffuso) das u domae recagulare (D) e applqua des codos au lmes de ype Drchle e Newma. L équao de Fourrer : Dv GradT S Page 5

26 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER T T S y y = H Nord Oues Es y = = Sud = L L = e H =.5 5 L Fgure : Domae de calcul e codos au lmes. cas Sud Es Nord Oues S s y H T y H 5s y H T cos y H 5 y H s y H 5 5 T T y H 5cos y H T -.5 Tableau : Les codos au lmes du groupe L =.5 e H =.5.pour.7. e. y. aureme cas Sud Es Nord Oues S s y H T y s y H T y 5y H 5cos y H T y 5 Page 6

27 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER 5y H 5cos y H 5 s y H T y T y Tableau : Les codos au lmes du groupe L = e H = cas Sud Es Nord Oues S L T L T 5 5 L T 5 5 L T L T Tableau : Les codos au lmes du groupe S sprer de l eemple du cas c-dessous pour adaper le programme à vore cas e préseer le rappor de vore m-proe. Le rappor do comporer la formulao du problème les codos au lmes la dscrésao la méhodologe ulsée l éude de sesblé de la soluo par rappor à la alle de la grlle de calcul les fgures des résulas (sohermes e le veceur flu de chaleur défs par T q e T q y ) e les y dscuos. Soluo par la méhode des dfféreces fes T T T S y O ulse u schéma eplc ava pour le emps e ceré pour l espace. L équao précédee pred la forme suvae : T bt ct d T et f at Page 7

28 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER avec b ck ** d ek y ** f S a * k ** * k y ** * e Applquer cee équao au œuds de la grlle de calcul e ober u sysème d équaos qu l fau résoudre par la méhode de Gauss-Sedel. Programme Forra à élécharger c Dffuso D e dfféreces fes hp:// Cas : Sesblé de la soluo à la alle de la grlle de calcul : les calculs o éé codus pour ros grlles ayas e pos e ommées G G e G respecveme. La dsrbuo de la empéraure pour (y = H / ) e le log du recagle es représeé sur la fgure. Pour assurer la sablé du schéma eplc l fau que le pas du emps vérfe la codo suvae : y T X 5 Fgure : Sesblé de la soluo umérque vs-à-vs de la alle de la grlle de calcul. La dsrbuo de la empéraure sous forme de lges sohermes es représeée sur la fgure : Pour llusrer le flu de chaleur O race les veceurs du flu défs par T q e q y T y Page 8

29 METHODES NMERIQES APPLIQEES AX CALCLS DES ECOLEMENTS ET D TRANSFERT DE CHALER T Fgure : Isohermes cas œuds. T Fgure : Dsrbuo du flu hermque. La fgure llusre la dreco du flu hermque de coduco à l éreur du domae de calcul. Varae : Repredre les mêmes cas e ulsa la méhode ADI pour résoudre l équao saoare. Page 9

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