Microéconomie de l Incertitude M1 Banque et Marchés Financiers

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1 Microéconomie de l Incertitude M1 Bnque et Mrchés Finnciers Emmnuel DUGUET Notes de Cours, V1

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3 1 Concepts de bse Les loteries Le critère d espérnce mthémtique Le prdoxe de Sint Pétersbourg Le prdoxe de l ssurnce Quelques réponses possibles ux prdoxes L utilité de l richesse Le critère espérnce-vrince L utilité indirecte L espérnce d utilité Les fonctions de Mrkowitz L mesure du risque L prime de risque Expression excte Expression pprochée Les types de risque Expression excte Expression pprochée Prime de risque reltive Prime de risque prtielle Les fonctions d utilité usuelles Les fonctions CRRA Les fonctions CARA L utilité linéire de Mrkowitz L dominnce stochstique Dominnce stochstique d ordre Risque et vrince Dominnce stochstique d ordre Les choix de portefeuille Les cs de dominnce stochstique

4 4 5.2 Choix d un décideur neutre Choix d un décideur riscophile Choix d un décideur riscophobe L demnde d ssurnce Le contrt de co-ssurnce Les cs de dominnce stochstique Conditions d optimlité pour un contrt de co-ssurnce Préférences CARA Préférences de Mrkowitz Préférences CRRA L ssurnce vec frnchise Modèle à risque unique Préférences CARA Préférences CRRA Le critère espérnce-vrince Comprison L sélection dverse

5 CHAPITRE 1 Concepts de bse Cetteprtieviseàintroduirequelqueconceptsdebseet àlesillustrerprdesexemples. Nous considérons un univers en environnement incertin, dns lequel les gents économiques ne peuvent ps toujours être sûrs des données d un problème vnt de prendre une décision. Plus précisément, il doivent prendre leurs décisions vnt que les lés qui comptent pour leur problème ne se rélisent. Des exemples clssiques de ce type d environnement sont l ssurnce, où l on doit déterminer son degré de couverture sns svoir si l évènement couvert ur lieu ou non, ou encore les plcements en ctions donc le rendement est incertin u moment où l on investit. Plus générlement, on ne considère que les environnements économiques où l incertitude joue un rôle importnt : l ssurnce n existerit ps en l bsence d incertitude, et les plcements sur les mrchés finnciers ne peuvent se concevoir que dns l incertitude. On peut résumer l incertitude qui pèse sur un problème économique pr trois éléments : les étts de l nture : ce sont les évènements qui peuvent se réliser. On peut les écrire soit sous une forme discrète, comme fire fce à un sinistre ou non (deux étts), soit sous forme continue, comme le tux de remboursement dns le cs d une ssurnce (un intervlle pprtennt à [0, 1]); les ctions rélisbles pr l gent étudié : s ssurer contre un sinistre ou non (deux ctions), ou s ssurer un tux de remboursement en cs de sinistre (une vleur réelle pprtennt à un intervlle); les conséquences des ctions pour un étt de l nture donné : le montnt de richesse selon qu un sinistre eu lieu ou non et que l on s est ssuré ou non. Ces conséquences sont souvent définie sur l richesse de l gent étudié, ou sur des décisions économiques en générl (cht de biens de consommtion pour les ménges, embuche pour les entreprises). On résume toutes ces informtions dns ce que l on ppelle une loterie. Dns cette prtie, nous verrons successivement les loteries, le critère d espérnce mthémtique et les risons pour lesquelles on ne peut ps toujours utiliser le critère d espérnce mthémtique pour prendre des décisions en environnement incertin. 5

6 6 1.1 Les loteries On peut représenter les données d un problème simple pr une mtrice d informtion qui contient les qutre éléments suivnts : les étts de l nture, leurs probbilités, les ctions et les conséquences des ctions selon l étt de l nture qui se rélise. Prenons un exemple vec trois étts de l nture E = {e 1,e 2,e 3 } et trois ctions A ={ 1, 2, 3 }. Les probbilité sont ttchées ux étts de l nture, on pose donc p j = Pr[e = e j ] et j p j = 1 puisque ce sont les trois seuls étts possibles. Ces probbilités peuvent être objectives ou subjectives. Les conséquences se définissent à l fois pr rpport ux étts de l nture et ux ctions, on peut donc les noter x ij où i est l indice de l ction entreprise i {1,2,3} et où j est l étt de l nture j {1,2,3}. L mtrice d informtion est l suivnte : e 1 e 2 e 3 p 1 p 2 p 3 1 x 11 x 12 x 13 2 x 21 x 22 x 23 3 x 31 x 32 x 33 Dns ce cdre, choisir une ction i revient à choisir des gins x ij qund l étt de l nture e j se rélise, schnt que cet évènement ur lieu vec une probbilité p j. Dns l mesure où l on possède des informtions sur les conséquences x ij et les probbilités des étts de l nture, on n ps besoin de l liste explicite des étts de l nture. Plus précisément, on interprète chque ligne comme une loterie. Pr exemple pour l première ligne, on noter : x11 x 1 = 12 x 13 p 1 p 2 p 3 ce qui signifie que l ction 1 pporter le gin x 11 vec probbilité p 1, le gin x 12 vec probbilité p 2 et le gin x 13 vec probbilité p 3. Ces informtions sont priori suffisnte pour prendre des décision dns l incertin (vec les préférences de l gent économique étudié, que nous verrons plus loin). Prenons un cs prticulier de l exemple précédent: e 1 e 2 e 3 0,1 0,4 0,5 1 z 1 z 2 z 3 2 z 2 z 1 z 1 3 z 3 z 3 z 3 cette mtrice d informtion définit les trois loteries suivntes : z1 z 1 = 2 z 3 0,1 0,4 0,5 z2 z 2 = 1 z 1 0,1 0,4 0,5

7 7 et 3 = z3 z 3 z 3 0,1 0,4 0,5 Arrivé, à ce stde on voit que l on peut simplifier les deux dernière loteries. L loterie 2 rpporte z 1 dnslesétts del nture2et 3, donc elle rpporte z 1 vec une probbilité égle à 0,4+0,5 = 0,9, ce que l on peut écrire de mnière synthétique sous l forme : z2 z 2 = 1 0,1 0,9 et l on peut effectuer l même opértion pour l loterie 3. Cette loterie rpporte z 3 dns tous les étts de l nture. Il s git de lloteriecertine, que l on note : z3 3 = 1 Plus générlement une loterie discrète, vec I évènements possibles peut s écrire : = z1 z 2... z I p 1 p 2... p I, 0 < p i 1, I p i = 1. i=1 où les x i sont les rélistions de l vribles d intérêt (e.g., gins ou pertes) qui surviennent vec des probbilités respectives p i. L condition p i > 0 signifie que l on exclut les événements impossibles, et l conditions p i 1 que l on peut utoriser une loterie certine. On peut églement définir une loterie sur des rélistions continues. On utilise lors une fonction de réprtition, ou une densité, à l plce des probbilités. Dns ce cs, il n est ps nécessire d utiliser l nottion précédente puisque l fonction de réprtition contient toute l informtion nécessire. On ur simplement : F (z), z A où A est l ensemble des rélistions possibles z de l vrible létoire Z, qui dépend de l loterie, et : F (x)=pr[z z] Si l on utlise une densité f (z), on ur : F (z) = z f (x)dx. Exemple 1.1 (Assurnce prtielle) Un ménge veut ssurer s voiture de vleur v schnt que l probbilité d ccident est p. Le ménge s ssure pour un montnt z v et doit pyer une prime d ssurnce égle à βz, vec β ]0,1[. En cs d ccident, son cpitl ser égl u montnt remboursé z moins l prime d ssurnce

8 8 βz. S il n y ps d ccident, son cpitl ser de v moins l prime d ssurnce. Ceci correspond à l loterie : (1 β)z v βz (z) = p 1 p on note l loterie = (z) fin de montrer que le résultt de l loterie dépend de l décision z prise pr le ménge. Exemple 1.2 (Jeu d rgent) Unepersonnechèteunjeuàgrtterd unmontnt m.il peutggnerlemontnt x mvecuneprobbilité p=0,25.lloteriecorrespondnt à ce jeu est donnée pr : x m m = 0,25 0,75 Exemple 1.3 (Risque de chômge) Une personne peut être u chômge vec probbilité p. Si elle trville son slire est w, sinon il est égl à γw, vec 0 γ <1. L cotistion chômge est égle à τw, 0 < τ < 1. L loterie correspondnte est donnée pr : γw (1 τ)w = p 1 p Exemple 1.4 (Fonction de profit) Une entreprise produit un bien qu elle vend u prix létoire p. Pour le produire elle embuche L trvilleurs qu elle rémunère u slire certin w. S fonction de production est Q = L et le prix p pprît vec une densité ϕ(p). On peut définir l loterie sur son profit de l mnière suivnte. Elle commence pr mximiser son profit Π(p) = pq wl = p L wl pr rpport à L. L condition du premier ordre donne L = (p/(2w)) 2. Donc le profit létoire est égl à : on peut donc écrire l loterie : Π (p)=p L wl = p2 4w, = Π (p) ϕ(p) 1.2 Le critère d espérnce mthémtique Une fois que l on écrit les données du problème sous forme d une loterie, il nous fut un critère nous permettnt de les comprer entre elles. Ceci nous permettr de déterminer les décisions des gents en environnement incertin. Une première méthode consiste à considérer simplement le gin moyen que procure une loterie, il s git de l pproche pr l espérnce mthémtique. Nous verrons que ce critère est insuffisnt pour plusieurs risons. D une prt, il semble invlidé pr des expériences et, ce qui est plus problémtique, il ne permet ps d expliquer l existence d un mrché de l ssurnce vible.

9 9 1.1 (E ) L espérnce mthémtique d une vrible létorie discrète X de rélistions (x 1,...,x I ) qui surviennent vec des probbilités (p 1,...,p I ) est définie pr : E(X) = I p i x i i=1 et l espérnce mthémtique d une vrible létoire X continue de rélistions x A R est définie pr : E(X)= xf(x)dx x A où f (x) est l densité de probbilité de X. 1.3 Le prdoxe de Sint Pétersbourg Le prdoxe de Sint Pétersbourg est l conséquence d une expérimenttion rélisée pr Dniel Bernoulli en Il demndit à ses interlocuteurs quel droit d entrée ils étient près à pyer pour le jeu suivnt : on jette une pièce bien équilibrée et l on compte le nombre de jets successifs qui tombent sur pile. S il y I jets successifs, le joueur empoche 2 I ducts. Les réponses qu il obtient portent sur des montnts fibles, de l ordre de 4 ducts. Quel montnt le critère d espérnce mthémtique nous inciterit-il à proposer? Le plus simple est d écrire l loterie puis de clculer son espérnce mthémtique. Schnt que l probbilité de tomber I fois de suite sur pile est égle à 1/2 I et que le gin est de 2 I qund cel rrive, on obtient : B = I I On remrque que l somme infinie des probbilités est bien égle à 1 : + i=1 i 1 = 2 + i=0 i = 1 1/2 1 =

10 10 donc l espérnce mthémtique de cette loterie est : + i 1 E(B) = 2 i 2 i=1 = lim I + = lim I + = lim I + I = +, I i=1 I 1 i=1 1 i 2 i 2 un joueur qui pplique le critère d espérnce mthémtique devrit donc être prêt à donner tout ce qu il possède pour jouer à ce jeu. Ceci ne correspond ps du tout à ce que l on observe, nous sommes donc en présence d un prdoxe expérimentl. Dniel Bernoulli propose une solution de ce prdoxe que nous verrons plus loin. 1.4 Le prdoxe de l ssurnce On considère mintennt un prticulier qui dispose d une richesse non risquée ω, et qui souhite ssurer un bien risqué de vleur v pour un montnt z. Pour obtenir une indemnité z en cs de sinistre, il doit régler une prime d ssurnce d un montnt βz, vec 0 < β 1. Le sinistre survient vec une probbilité p. L loterie sur l richesse du prticulier est définie pr : ω+(1 β)z ω+ v βz W = p 1 p L ssureur de son côté perçoit l prime d ssurnce βz que le sinistre it lieu ou non et doit fire fce à un coût de fonctionnement de c, en plus du remboursement z qu il doit effectuer en cs de sinistre. Si le sinistre lieu, il fit une perte de βz z c < 0, et s il n ps lieu il rélise un gin de βz c. On suppose que βz c > 0 pour le problème it un sens. L loterie sur le profit de l ssureur est donc : (β 1)z c βz c Π= p 1 p L espérnce de richesse de l ssuré est donc : E(W) = p[ω+(1 β)z]+(1 p)[ω+ v βz] = ω+(1 p)v+(p β)z et l espérnce de profit de l ssureur est : E(Π) = p[(β 1)z c]+(1 p)[βz c] = (β p)z c

11 11 Ces deux espérnce mthémtiques sont des fonctions linéires de z, le prmètre essentiel est donc l pente de l droite. Considérons d bord le cs de l ssuré. Celui-ci v rechercher le montnt d ssurnce qui mximise l espérnce de s richesse létoire W. Il doit donc résoudre le progrmme : mxe(w) z s.c. 0 z v L espérnce E(W) est une fonction linéire du montnt ssuré z, vec une pente p β. Il y donc trois cs possibles : si p < β, l espérnce de l richesse est décroissnte vec le montnt ssuré donc on obtient une solution en coin vec une demnde d ssurnce z d = 0. si p = β, l espérnce de l richesse ne dépend ps du montnt ssuré (droite horizontle) donc toutes les vleurs de z procurent l même richesse et l on se retrouve dns un cs d indétermintion, soit z d [0,v]. si p > β, l espérnce de l richesse est croissnte vec le montnt ssuré donc le prticulier choisit l ssurnce complète, et l on obtient l solution en coin z d = v. Globlement, on voit que le prticulier ne souhite s ssurer que si p β, ce que résume le point suivnt : 0 si p < β z d = [0,v] si p=β v si p > β Exminons mintennt si l ssureur intérêt à répondre à s demnde d ssurnce. L ssureur cherche à mximiser l espérnce de son profit : mxe(π) z s.c. 0 z v L espérnce E(Π) est églement une fonction linéire du montnt ssuré z, vec une pente β p. On retombe donc sur les trois cs précédents. si p < β, l espérnce de profit est une fonction croissnte du montnt ssuré, et l ssureur intérêt à offrir une ssurnce complète, soit z s = v sous réserve que l espérnce de profit soit positive : E(Π ) =(β p)v c > 0, mis dns ce cs, l ssureur rencontre une demnde nulle z d = 0. Il ne peut donc ps y voir de trnsction.

12 12 si p = β, l espérnce de profit est indépendnte du montnt ssuré, mis surtout elle est négtive en rison des fris de fonctionnement de l compgnie d ssurnce c. Plus précisément E(Π) = (β p)z c = c < 0. Donc l ssureur ne proposer ps de contrt u prticulier, et l on ur z s = 0. sip > β,l espérncedeprofitdel ssureursertoujoursnégtivecr(β p)z < 0 donc z s =0. Lconclusionestdonclsuivnte: ilnepeutpsyvoirdemrchédel ssurnce si l on pplique le critère d espérnce mthémtique. C est une critique beucoup plus forte que le prdoxe de Sint Pétersbourg cr le mrché de l ssurnce existe et qu il est importnt dns l économie. Il est donc importnt de trouver une modélistion de l économie de l incertin qui justifie l existence du mrché de l ssurnce (et des mrchés finnciers) et qui explique son fonctionnement. 1.5 Quelques réponses possibles ux prdoxes L utilité de l richesse Pour résoudre le prdoxe de Sint Pétersbourg, Dniel Bernoulli suggère de remplcer les rélistions de l richesse pr leur logrithme, donc d utiliser un critère différent de l espérnce mthémtique. Nous verrons plus loin que cel revient à remplcer les rélistions monétires x i pr leur utilité u(x i ) = lnx i. On boutit à une utilité de l richesse définie pr : U (W) = + i=1 ln(2 i ) + i = ln(2) 2 i 2 i i=1 Il nous reste donc à trouver l somme : S = + i=1 i 2 i ce qui est heureusement ssez fcile. On sit que, pour 0 < x <1 : donc ce qui implique : f (x) = xf (x) = f (x) = 1 1 x =1+x+x x i (1 x) 2 = 1+2x+3x i x i x (1 x) 2 = x+2x2 +3x i x i +...

13 13 et en posnt x = 1/2, on obtient : donc ce qui implique : 1/2 (1 1/2) 2 = i 2 i i=1 i 2 i = 2 U(W)=2 ln(2)=1,386. insi les prieurs potentiels peuvent proposer un montnt très fible pour prticiper à ce jeu dès lors que leurs préférences sont prises en compte. Nous verrons plus loin que ce cs prticulier correspond à une version fce u risque Le critère espérnce-vrince Pour résoudre le prdoxe d inexistnce de l ssurnce, on peut commencer pr critiquer le critère d espérnce d utilité : ce critère ne tient compte que du rendement moyen il ne tient ps compte des risques ssociés à ce rendement donc il ne fit ps de différence entre le rendement moyen d une vrible létoire et un rendement certin égl à son espérnce mthémtique En première nlyse, on peut mesurer le risque pr l vrince de l richesse : V(W) =E (W E(W)) 2. Cette quntité mesure l vleur moyenne du crré de l distnce entre les rélistions W et leur vleur moyenne E(W). Donc plus les rélistions de l richesse s écrtent de leur moyenne, plus l richesse est risquée. Une mnière de résoudre le problème d inexistnce du mrché de l ssurnce consiste à introduire l notion de risque dns le critère de décision. Un critère très répndu est le critère espérncevrince. On peut le définir de l mnière suivnte : U(W) =E(W) kv(w), il s git d une fonction de Mrkowitz. Lorsque k > 0, cette utilité présente une version pour le risque, puisqu elle est d utnt plus fible que l incertitude qui porte sur l richesse est élevée. Si k = 0 on retrouve le critère d espérnce de l richesse et l on prle de neutrlité fce u risque. Qund k < 0, l utilité de l richesse est d utnt plus élevée que le risque est importnt, on prle de goût pour le risque. Le coefficient k mesure donc l version fce u risque.

14 14 Reprenons l expression de l richesse vec un contrt d ssurnce : ω+(1 β)z ω+ v βz W = p 1 p nous vons vu que son espérnce est égle à : et s vrince est égle à : E(W) = ω+(1 p)v+(p β)z V(W)=p[ω+(1 β)z (ω+(1 p)v+(p β)z)] 2 près simplifiction, on trouve : +(1 p)[ω+ v βz (ω+(1 p)v+(p β)z)] 2 V(W) = p(1 p)(v z) 2, le risque ssocié à cette richesse est croissnt vec l écrt entre l vleur du bien et le montnt remboursé en cs de sinistre. Moins on s ssure, plus l vrince est forte. Ce risque vrie églement vec l probbilité de sinistre. L expression p(1 p) est minimle en p = 0 (évènement impossible) et p = 1 (évènement certin), et mximle en p =1/2. C est donc qund le sinistre utnt de chnces d rriver que l bsence de sinistre que le risque est le plus fort. On peut interpréter l expression p(1 p) comme un indicteur d incertitude sur les étts de l nture. L incertitude est mximle en p = 1/2 donc l richesse est plus risquée en ce point. L utilité de Mrkowitz du problème d ssurnce est donc égle à : U(W)=ω+(1 p)v+(p β)z kp(1 p)(v z) 2 On supposer ici que l on toujours p < β fin que l ssureur puisse proposer des contrts rentbles. Trois cs sont à distinguer, selon le degré d version fce u risque. Si k < 0,ledécideurimelerisqueetsespréférences U (W) sontreprésentées pr une fonction convexe en z. On se retrouve donc vec une solution en coin. En z =0 l utilité est égle à : et en z = v : en effectunt l différence on trouve que : U (z = 0) = ω+(1 p)v kp(1 p)v 2 U (z = v) = ω+(1 p)v+(p β)v, U (z = 0) U(z = v) = kp(1 p)v 2 (p β)v < 0, p < β donc l utilité est mximle en z = 0. Un décideur qui ime le risque ne s ssure ps, ce qui est conforme à l intuition.

15 15 Si le décideur est neutre fce u risque, on se retrouve dns le cs de l espérnce mthémtique que nous vons déjà étudié, donc il n existe ps de mrché de l ssurnce. Il nous reste donc à exminer le cs où le décideur présente de l version fce u risque. Dns ce cs, k >0, l fonction d utilité est une fonction concve de z (cr le terme du second degré présente un signe négtif). L solution est donc donnée pr l condition du premier ordre. On : U = p β+2kp(1 p)(v z) z 2 U = 2kp(1 p)v < 0 z 2 en résolvnt l condition du premier ordre U/ z(z )=0, on trouve : z = v β p 2kp(1 p), etcemontntpeutbienêtrecomprisstrictemententre0etv.unmrchédel ssurnce peut donc exister qund les décideurs sont riscophobes. Nous pouvons églement, à prtir de z, voir quels sont les déterminnts du montnt ssuré. On voit que le montnt d ssurnce choisi : est croissnt vec le degré d version pour le risque k; toutefois l ssurnce ne ser jmis complète z < v, suf dns le cs limite d une version infinie pour le risque (k + ); est décroissnt vec le tux de prime d ssurnce qu il fut pyer β, c est un effet prix clssique; Il reste à voir l dépendnce du montnt ssuré pr rpport à l probbilité de sinistre. On : z p = p2 2βp+β 2kp 2 (1 p) 2 = (p β)2 + β(1 β) 2kp 2 (1 p) 2 >0 donclemontntssuréestcroissntveclprobbilitédesinistre(cr 0 < β <1). Globlement les résultts correspondent à l intuition, à l exception d une propriété : le montnt de l ssurnce ne dépend ps de l richesse non risquée ω du décideur. Nous verrrons que ce résultt n est ps générl. 1.6 L utilité indirecte L pproche de Bernoulli pour résoudre le prdoxe de Sint Pétersbourg fit ppel à une fonction d utilité définie directement sur les montnts monétires. Cette notion correspond u concept d utilité indirecte utilisé en microéconomie. Considérons un

16 16 décideur qui doit llouer s richesse M entre G consommtions x =(x 1,...,x G ) venduesuxprix p =(p 1,...,p G ).Onrésumelespréférencesdudécideurprunefonction d utilité f(x) qui lui permet de clsser tous les pniers de biens possibles. Comme f est directement définie sur les ctions du décideur, il s git d une fonction d utilité directe. Ce type d pproche n est ps toujours l plus prtique en microéconomie de l incertitude, cr les décisions portent souvent sur des montnts monétires. On préfère souvent utiliser l fonction d utilité indirecte définie ci-dessous. On considère que le décideur doit mximiser son utilité sous contrite de richesse. Il résoud le progrmme suivnt : s.c. mxf(x) x G p g x g M g=1 qui fournit les G fonctions de demnde que l on note : x d (p,m)= x d 1(p,M),...,x d G(p,M) l utilité indirecte est lors obtenue en remplçnt les quntités x pr leur expression en fonction des prix et de l richesse x d (p,m). On note l utilité indirecte de l mnière suivnte : u(p,m)=f x d (p,m). A ce stde on peut jouter l hypothèse que les prix sont fixes sur l période de décision p=p, findene grderque l dépendncedel utilitévisàvisde l richesse, on obtiendr donc : u(m)=f x d (p,m). C est le type de fonction d utilité que nous utiliserons le plus souvent. Dns le cs du prdoxe de Sint Pétersbourg, nous vions utilisé u(x) =lnx.

17 CHAPITRE 2 L espérnce d utilité Le concept d espérnce d utilité été introduit pr John von Neumnn et Oskr Morgenstern dns leur ouvrge Theory of Gmes nd Economic Behviour en Ce concept est extrêmement prtique et permet d obtenir de nombreux résultts intéressnts. Leur pproche consiste à étendre le concept de fonction d utilité à l décision dns l incertitude. Pour prvenir à ce résultt, on définit les préférences directement sur des loteries. L espérnce d utilité de l richesse létoire W, noté U (W) est définie pr : U(W) = E(u(W)) où u(w) est l utilité indirecte ssociée à l rélistion w de l vrible létoire W. Dns le cs continu, pour une loterie de densité g(w) vec support S W, l espérnce d utilité est donnée pr : U(W) = g(w)u(w)dw, S W et dns le cs discret, pour une loterie L =(w i,p i ), on obtient : U(W) = I p i u(w i ). i=1 Nous voyons ici que l résolution du prdoxe de Sint Pétersbourg pr D. Bernoulli revient à supposer un critère d espérnce d utilité dns lequel les préférences sur les rélistions w i sont représentées pr u(w i ) = lnw i. Avec cette hypothèse, les joueurs potentiels ont une utilité décroissnte de l richesse. On voit que ce critère de décision générlise bien l fonction d utilité en environnement certin puisque, lorsqu on l pplique à une loterie certine : w W = 1 on obtient : E(u(W)) =1 u(w) = u(w), 17

18 18 l fonction d utilité en environnement certin. Il y toutefois une différence importnte entre les propriétés de l espérnce d utilité et les propriétés de l fonction d utilité en environnement certin. Dns l pproche en environnement certin, l fonction d utlité n est définie qu à une fonction croissnte près, de sorte que les mêmes préférences peuvent être représentées pr plusieurs fonctions d utilité. C est églement vri de l espérnce d utilité U(W) = E(u(W)) mis, si l on prend n importe quelle trnsformtion croissnte, le résultt n est ps forcément une fonction d utilité espérée. Si l on souhite grder une fonction d utilité espérée, il fut se retreindre ux fonctions ffines croissntes : L rison est l suivnte : de sorte que g(u)=+b U, R, b >0. E(g(U))=+b E(U) E(u(W 1 )) >E(u(W 2 )) +be(u(w 1 )) > +be(u(w 2 )) R, b >0. Ainsi, si l on souhite grder une espérnce d utilité, il fut se limiter ux trnsformtions ffine de l fonction d utilité de déprt. Sinon, il fut utiliser un critère plus complexe. Le critère d espérnce d utilité générlise églement le critère d espérnce mthémtique. Nous vons vu qu un décideur est neutre fce u risque si : U(W)=E(W), pour se rmener à ce cs il suffit de prendre l fonction d utilité suivnte : on ur lors : u(x)=x, U(W)=E(u(W)) = E(W), on utiliser donc l fonction identité, ou une trnsformtion ffine croissnte de cette fonction, pour représenter les préférences d un décideur neutre fce u risque. Exemple 2.1 Reprenons le problème d ssurnce dns le cdre de l espérnce d utilité. Prenons les préférences logrithmiques u(x) = ln x. L loterie ssociée à l ssurnce est : ω+(1 β)z ω+ v βz W = p 1 p

19 19 le critère d espérnce d utilité est donc égl à : U(W) = E(u(W)) Le progrmme du décideur est donné pr : = p u(ω+(1 β)z)+(1 p)u(ω+ v βz) = pln(ω+(1 β)z)+(1 p)ln(ω+ v βz) mxu(w) s.c. 0 z v, z l condition du premier ordre est donnée pr : U z (z) = 0 ce qui donne une solution intérieure : p(1 β) ω+(1 β)z β(1 p) ω+ v βz = 0, z = p β p v β β(1 β) ω,et il fut vérifier l condition du second ordre : on obtient donc l solution : 2 U p(1 β)2 (z) = z2 [ω+(1 β)z] 2 β2 (1 p) [ω+ v βz] 2 <0. 0 siz < 0 z = z si 0 z < v v siz > v Commentons l forme obtenue. Le montnt ssuré : ugmente vec l vleur du bien v que l on souhite ssurer; croît vec l probbilité de sinistre p; décroît vec l richesse ω du client potentiel; ce résultt est importnt cr on ne le trouvit ps vec le critère espérnce-vrince. Il indique que les individus les plus riches sont leurs propres ssureurs; pour l effet du prix unitire de l ssurnce β, il fut clculer l dérivée : z β = p β 2v ω β 2 β 2 (1 β) 2 2βp+p = p β 2v ω (β p) 2 β 2 (1 β) 2 + p(1 p) < 0, p [0,1] donc plus l ssurnce est chère moins on s ssure, toutes choses égles pr illeurs.

20 Les fonctions de Mrkowitz Considérons une fonction d utilité qudrtique : u(x) = c 0 + c 1 x+c 1 x 2, l espérnce d utilité correspondnte est donnée pr : E(u(W))=c 0 + c 1E(W)+c 2E W 2 or V(W) =E(W 2 ) E(W) 2, de sorte que : E(u(W)) = c 0 + c 1E(W)+c 2 V (W)+E(W) 2 = c 0 + c 1E(W)+c 2E(W) 2 + c 2V(W) = g(e(w),v(w)). L fonction de Mrkowitz, n est ps linéire vec E(W) mis il est possible d obtenir une fonction linéire vec des hypothèses plus fortes. On remrque églement que l vrince peut pprître nturellement vec un critère d espérnce d utilité. 2.2 Lmesuredurisque L mesure du risque à prtir d une fonction d utilité reste une mesure bstrite qui n est ps directement interprétble. Comme on trville essentiellement sur les montnts monétires, il est plus prtique de trviller sur une mesure monétire du risque. L intuition d une telle mesure est l suivnte : pour une loterie donnée, combien un individu serit-il prêt à pyer pour se débrsser de l incertitude? L réponse à cette question dépend à l fois de l loterie et des préférences indivivuelles. Pour mesurer le risque de mnière plus directe, on utilise les concepts d équivlent certin, deprixdevente d une loterie et deprimederisque. 2.1 (E ) L équivlent certin d une richesse létoire W est l richesse certine w qui procure l même utilité que l richesse létoire W : w u(w) =E(u(W)) ou de mnière équivlente : w = u 1 (E(u(W))). Exemple 2.2 Un investisseur de préférences u(x) = x possédnt ω = 100 se voit confronté à l loterie X suivnte : X = 0,5 0,5

21 21 quel-est l équivlent certin de s richesse? On commence pr exprimer l loterie de s richesse létoire : W = ω+ X = = 0,5 0,5 0,5 0,5 son espérnce d utilité est donnée pr : E(u(W)) = 0,5 36+0,5 256 = 0,5 6+0,5 16 = 11 on cherche donc une richesse certine w vérifint : u(w) = 11 w = 11 w = 121, on peut églement remrquer que u 1 (x)=x 2 de sorte que w =11 2. Dns l exemple précédent, nous vons vu que l équivlent certin de l loterie W est de 121, or l espérnce mthémtique de l richesse W est égle à E(W) = 0,5 36+0,5 256 = = 146, insi le décideur est prêt à recevoir une vleur certine plus fible (121 ) que l vleur moyenne de l loterie (146 ) pour être libéré du risque de vrition de s richesse. Ceci correspond à l intuition du concept d version fce u risque. Tout se psse comme si le décideur étit prêt à céder =25 pour ne plus fire fce u risque. C est l prime de risque. Pour définir ce concept de mnière plus précise, nous introduisons l notion de prix de vente d une loterie. 2.2 (P ) Le prix de vente p v de l prtie létoire X d une richesse W est le prix miniml à prtir duquel le propriétire de cette loterie est prêt à l vendre. Remrque 2.1 En vendnt une loterie à un prix p v le propriétire cède une richesse létoire W = ω + X en échnge d une richesse certine w = ω + p v, où w est l équivlent certin de l richesse W. Plus exctement, le propriétire d une loterie X ccepte de l vendre u prix z si son utilité vérifie : u(ω+ z) E(u(ω+ X))=E(u(W)) = u(w) où w est l équivlent certin de l richesse létoire W. Comme l fonction d utilité u est croissnte, ceci implique que : ω+ z w z w ω,

22 22 on en déduit que : p v =rgmin z {z w ω}=w ω. Un prix de vente peut être positif ou négtif : s il est positif, cel signifie que le propriétire exige une rémunértion en échnge de s loterie; s il est négtif, cel signifie qu il est prêt à pyer l cquéreur pour ne plus encourir le risque de cette loterie. Exemple 2.3 Le prix de vente de l loterie précédente est égl à : p v = w ω = = 21, le propriétire de l loterie est prêt à l vendre pour 21 pour ne plus encourir le risque ssocié à cette loterie. Comme cette loterie rpporte 46 en moyenne, on en déduir que le décideur présente une version pour le risque. Exemple 2.4 On considère le même décideur, u(x) = x, ω = 100, confronté à une loterie différente Y : Y = 0,5 0,5 W = ω+ Y = 0,5 0,5 l espérnce d utilité de cette loterie est donnée pr : E(u(W)) = 0,5 9+0,5 121 = 0,5 3+0,5 11 = 7 donc l équivlent certin de s richesse létoire est égl à : et le prix de vente de l loterie de : w = 7 2 =49 p v = w ω = = 51 < 0, donclepropriétiredelloterieestprêtàpyer51 àuncquéreuréventueldecette loterie. Notons qu en moyenne, cette loterie fer fire une perte à son propriétire puisque : E(Y) = 0,5 91+0,5 21 = 35, le fit que le propriétire soit prêt à pyer 51 pour ne plus être confronté à un risque moyen de 35 est crctéristique d une version pour le risque. Comme le montrent les deux exemples précédents, l version fce u risque n est ps définie pr le signe du prix de vente d une loterie. Quelque soient les préférences du décideur, le prix de vente d une loterie peut être positif ou négtif. Pour s en

23 23 convincre, considérons le cs d un gent neutre fce u risque. Pr définition u(x) = x donc : w =E(u(W)) =E(W) et p v = w ω = E(W) ω = E(ω+ X) ω = E(X) R cr une espérnce mthémtique peut voir n importe quel signe. Ce qui compte est l écrt entre le prix de vente et l espérnce mthémtique de l loterie. Il s git d une définition de l prime de risque. 2.3 Lprimederisque Expression excte 2.3 (P ) L prime de risque bsolue π est le montnt que le décideur est prêt à pyer pour s ffrnchir du risque. L prime de risque π d une richesse létoire W = ω+ X est égle à l écrt entre l espérnce mthémtique de l prtie létoire de l richesse et son prix de vente : π =E(X) p v. On peut églement définir l prime de risque π comme l écrt entre l espérnce de l richesse létoire et son équivlent certin : π = E(X) (w ω) = E(ω+ X) w = E(W) w. 2.1 (P ) On peut églement définir l prime de risque bsolue de l mnière suivnte : u(e(w) π )=E(u(W)) π = E(W) u 1 (E(u(W))), cette propriété vient du fit que l équivlent certin est défini pr u(w) = E(u(W)) et que π = E(W) w w=e(w) π. 2.4 (A ) L version fce u risque peut se définir pr rpport à l prime de risque bsolue π ssociée à une richesse W. Plus précisement : Aversion fce u risque : π >0;

24 24 Neutrlité fce u risque : π = 0; Goût pour le risque : π <0. Un décideur riscophobe est prêt à pyer pour s ffrnchir du risque, lors qu un décideur riscophile est prêt à pyer pour cquérir un risque supplémentire. 2.2 (I! J) Soit f une fonction strictement concve et W une vrible létoire réelle : f(e(w)) > E(f (W)). Remrque : si f est strictement convexe, f(e(w)) < E(f(W)); si f est linéire (donc concve et convexe), f(e(w))=e(f(w)). L prime de risque se définit donc en comprnt l espérnce mthémtique d une richesse vec son équivlent certin. Elle permet églement de mesurer un degré d version fce u risque en unités monétires. En fit, l forme de l fonction d utilité permet de déterminer directement si un décideur présente de l version pour le risque. L équivlent certin d une richesse létoire W est défini pr : et l prime de risque est égle à : w = u 1 (E(u(W))) π =E(W) w =E(W) u 1 (E(u(W))) donc l prime de risque est positive si et seulement si : E(W) > u 1 (E(u(W))) u(e(w)) >E(u(W)), on retrouve l inéglité de Jensen ppliquée à l fonction d utilité u et à l richesse létoire W. Un décideur est riscophobe si ses préférences sont représentées pr une fonction d utilité concve. Qund l prime de risque est nulle : u(e(w)) = E(u(W)), donc les préférences peuvent être représentées pr une fonction linéire qund le décideur est neutre fce u risque. Enfin, si l prime de risque est négtive, on doit voir : u(e(w)) < E(u(W)), les préférences du décideur sont représentées pr une fonction d utilité convexe qund il est riscophile.

25 25 Exemple 2.5 (Risque de chômge) On considère un trvilleur qui ggne un revenu r qund il est en emploi vec probbilité 1 p. Qund il est u chômge(vec probbilité p), il peçoit une indemnité b < r. S richesse initile est égle à ω et ses préférences sont représentées pr u(x) = lnx. On peut représenter ce risque pr une loterie sur l richesse du trvilleur : b r ω+ b ω+ r X = p 1 p W = ω+ X = p 1 p L espérnce de l richesse est égle à : et l espérnce du risque de chômge à : E(W) = ω+ p b+(1 p) r E(X) = p b+(1 p) r L espérnce d utilité de l richesse est égle à : E(u(W)) = pln(ω+ b)+(1 p)ln(ω+ r) = ln (ω+ b) p (ω+ r) 1 p donc son équivlent certin est égl à : w = exp[e(u(w))] = (ω+ b) p (ω+ r) 1 p et le prix de vente du risque de chômge est égl à : p v = w ω = (ω+ b) p (ω+ r) 1 p ω. L prime de risque ssociée u chômge peut être clculée pr l formule: ou pr l formule : π = E(X) p v = p b+(1 p) r (ω+ b) p (ω+ r) 1 p + ω π = E(W) w = ω+ p b+(1 p) r (ω+ b) p (ω+ r) 1 p. Il est intéressnt d observer que cette prime de risque dépend fortement de l richesse intile du trvilleur. Pour fixer les idées, nous fixerons r = 1200, b = 600, p = 0,1. Clculer les primes de risque pour un chômeur ynt une richesse de ω = 1000 et pour un chômeur ynt une richesse de ω =0. Dns le premier cs, l espérnce de l richesse est de : E(W)=1000+0, , = 2140,

26 26 et l équivlent certin de cette richesse : donc l prime de risque est de : w = (1600) 0,1 (2200) 0,9 2131, π = = 9, le premier chômeur est prêt à pyer 9 pour être libéré du risque de chômge. Il présente de l version vis à vis du risque. Dns le second cs, l espérnce de l richesse est de : E(W) =0, , =1140, et l équivlent certin de cette richesse est de : d où l prime de risque : w =(600) 0,1 (1200) 0,9 1120, π = =20, le chômeur le moins riche est prêt à pyer une prime de risque plus importnte à préférences et risque identiques. 2.5 Un décideur A doté de préférences u A est plus riscophobeque le décideur B s il existe une fonction f croissnte et concve telle que : u A (x) = f(u B (x)). Cette définition permet de vérifier qu un décideur A plus riscophobe qu un décideur B ur une prime de risque plus importnte que celle de B. Pour voir cette propriété, on prt de l définition de l prime de risque du décideur A, π A, puis on utilise celle du décideur B, π B : u A (E(W) π A ) = E(u A (W)) or u A est une fonction croissnte, donc : = E(f(u B (W))) < f (E(u B (W))) = f (u B (E(W) π B )) = u A (E(W) π B ) u A (E(W) π A ) < u A (E(W) π B ) E(W) π A < E(W) π B π A > π B. Il est donc possible de clsser le degré d version fce u risque des décideurs en comprnt les primes de risque. Cette propriété est importnte cr les fonction d utilité ne sont ps observbles lors que les primes de risque le sont prfois. Nous retrouverons cette propriété vec le théorème de Prtt.

27 Expression pprochée Cette section présente une méthode qui permet d pproximer les primes de risque. Kenneth Arrow 1 et John Prtt ont proposé l pproximtion suivnte pour un petit risque : π V (W) 2 u (E(W)) u (E(W)) Le premier terme, en V(W)/2, mesure l incertitude ssociée à l richesse; le second terme, en u (.)/u (.), mesure l version fce u risque du décideur. Cette formule simplifiée indique simplement que l prime de risque est croissnte vec l incertitude (objective) et vec l version fce u risque (subjective). Pour démontrer cette formule, nous commençons pr utiliser l reltion suivnte, qui définit l prime de risque :. π = E(W) u 1 (E(u(W))) (2.1) u 1 (E(u(W))) =E(W) π E(u(W)) = u(e(w) π). L méthode consiste à effectuer un développement limité de cette expression pour de petits risques, c est-à-dire pour des loterie qui s écrte peu de s moyenne. Afin de simplifier le membre de guche de l éqution (2.1), on effectue un développement limité à l ordre 2 de l fonction d utilité u(x) u voisinge d un point m : u(x) u(m)+(x m)u (m)+ 1 2 (x m)2 u (m), on en déduit que pour une vrible létoire W, on doit voir : u(w) u(m)+(w m)u (m)+ 1 2 (W m)2 u (m), en prennt l espérnce mthémtique de l expression précédente, et en tennt compte du fit que le développement limité se fit u voisinge de l espérnce de l vrible létoire W, m =E(W), on obtient : E(u(W)) E u(m)+(w m)u (m)+ 1 2 (W m)2 u (m) (2.2) u(m)+(e(w) m)u (m)+ 1 2 E (W m) 2 u (m) u(m)+ 1 2 V (W)u (m) u(e(w))+ 1 2 V (W)u (E(W)). Considérons mintennt le membre de droite de l éqution(2.1). Comme le risque est petit, on peut effectuer un développement limité u premier ordre u voisinge 1 Kenneth Arrow obtenu le prix Nobel d économie en 1972.

28 28 d une prime de risque nulle (π =0). On noterπ l vleur pprochée de l prime de risque :: u(e(w) π ) u(e(w)) π u (E(W)), en églisnt les pproximtions des deux membres de l éqution (2.1), on obtient : u(e(w))+ 1 2 V (W)u (E(W)) u(e(w)) π u (E(W)) π V (W) u (E(W)). 2 u (E(W)) Avec cette expression, on voit que : qund les préférences sont concves (u < 0), l prime de risque est positive plus l vrince est forte, plus l prime de risque est importnte. L seconde prtie de l expression est utilisée pour mesurer l intensité de l version pour le risque. On définit l indice d version bsolue pour le risque d Arrow-Prtt comme : A (x) = u (x) u (x), pour toute vleur certine. Ce coefficient mesure le degré de concvité de l fonctio d utilité u voisinge du point x. Plus il est importnt, plus l version bsolue pour le risque est forte. L prime de risque bsolue peut donc se réécrire : on remrque lors que : π = V (W) 2 A (E(W)), E(W) = E(ω+ X) = ω+e(x) V(W) = V(ω+ X) =V(X), donc on peut réécrire l prime de risque bsolue en fonction des crctéristiques de l loterie sous l forme : π = V (X) A (ω+e(x)). 2 $ 2.1 (P) Soient deux individus A et B dont les préférences sont représentées respectivement pr U A (W) = E(u A (W)) et U B (W) = E(u B (W)), les trois propriétés suivntes sont équivlentes : (i) u A est une trnsformtion strictement croissnte et strictement concve de u B : f, f >0, f < 0 : u A (x) = f(u B (x)).

29 29 (ii) L prime de risque bsolue de A ssociée à l richesse létoire W est supérieure à l prime de risque bsolue de B ssociée à l même richesse, pour tout petit risque X tel que W = ω+ X : π A (X) > π B (X). (iii) En n importe quel point x, l indice d Arrow-Prtt de A est supérieure à celui de B : x, u A (x) B (x) u A (x) > u u B (x). 2.4 Lestypesderisque On distingue trois types de risque. Le premier X est le risquedditif que nous vons déjà vu, il s joute à l richesse : W = ω+ X, le deuxième risque Y est multiplictif, il multiplie l richesse : W = ω(1+y), on l utilise pour les risques portnt sur les tux. Le troisième risque Z générlise les deux précédents, on l ppelle le risque mixte. Il ne multiplie qu une prtie de l richesse : W = ω+ ω 2 Z, On retrouve le risque dditif en posnt ω 2 = 1 : W = ω+ Z, et le risque multiplictif en posnt ω 2 = ω : W = ω(1+z). On peut églement réécrire le risque prtiel en décomposnt l richesse entre s prtie certine ω 1 et s prtie risquée ω 2. En utilisnt ω = ω 1 + ω 2, on obtient : W = ω 1 + ω 2 + ω 2 Z = ω 1 + ω 2 (1+Z). A ces trois risques sont ssociées trois primes de risques : l prime de risquebsolue correspond u risque dditif et est notée π ; l prime de risquereltive correspond u risque multiplictif et est notée π r ; l prime de risqueprtielle correspond u risque mixte et est notée π p ; pr défut, l prime de risque est bsolue et le risque dditif.

30 Expression excte Exemple 2.6 (Prime de risque bsolue) On considère un décideur de richesse ω = 100 de préférences représentées pr u(x) = x. Il est confrontée à un risque dditif : X = 0,5 0,5 L richesse létoire est donnée pr : W = ω+ X = et son espérnce mthémtique est donnée pr : et son équivlent certin est donné pr : w = ,5 0,5 E(W)=0,5 75+0,5 175 =125 0,5 75+0, ,8 donc l prime de risque bsolue π est égle à : π = E(W) w = ,8 = 5, (P ) L prime de risque reltive π r est le nombre de points de rendement en proportion (ou %) du cpitl totl uxquels un décideur est prêt à renoncer pour s ffrnchir du risque. Elle est définie pr : π r u(e(w) ωπ r ) = E(u(W)) u(ω(1+e(y) π r )) =E(u(ω(1+Y))) Exemple 2.7 (Prime de risque reltive) On considère un décideur vec un cpitl de ω = 100 et des préférences représentées pr u(x) = x. L loterie porte sur le tux de rendement : 25% +75% Y = 0,5 0,5 le tux de rendement moyen est défini pr : E(Y) =0,5 ( 25%)+0,5 (75%)=25% et l équivlent certin du tux de rendement y est défini pr : u(ω(1+y)) = E(u(ω(1+Y))) ω(1+y) =0,5 0,75ω+0,5 1,75ω,

31 31 le terme en ω se simplifie et il reste : 1+y = 0,5 0,75+0,5 1,75 1,0945 donc l prime de risque reltive : y = (1,0945) ,8%, π r =E(Y) y = 5,2%. Le décideur est donc prêt à scrifier 5,2% de rendement pour psser de l ctif Y à un ctif certin. Comme il s git du même exemple que pour l prime de risque bsolue, on, de plus : π ω = 5,2 100 = 5,2% = π r 2.7 (P ) Lprimederisqueprtielle π p est le nombre de points de rendements en proportion (ou %) du cpitl risqué uxquels un décideur est prêt à renoncer pour s ffrnchir du risque. Elle est définie pr : π p u(e(w) ω 2 π p ) = E(u(W)) vec ω = ω 1 + ω 2. u(ω 1 + ω 2 (1+E(Z) π p )) = E(u(ω 1 + ω 2 (1+Z))), Exemple 2.8 (Prime de risque prtielle) On considère un investisseur vec une richesse certine ω 1 = 50, une richesse risquée ω 2 = 50, des préférences représentées pr u(x)= x. Le plcement sur l richesse risquée est représenté pr l loterie : 50% +150% Z = 0,5 0,5 l richesse létoire s écrit donc : W = ω 1 + ω 2 (1+Z) = ,5 0,5 il s git de l richesse létoire des deux exemples précédents. L espérnce de l loterie est égle à : et : E(Z)=0,5 ( 50%)+0,5 150% = 50% E(u(W))=0,5 75+0,5 175 = 10,945 donc l prime de risque prtielle doit vérifier : 50+50(1+50% π p ) = 10, (1,5 π p ) =10, π p = 10,945 π p = 125 (10,945) ,4%

32 32 insi le décideur est prêt à scrifier 10,4% de rendement sur l prtie risquée de l richesse en échnge d un plcement certin. On remrque que : π p ω 2 =10,4% 50 =5,2 = π, donc le tux sur l richesserisquée est égl u ledouble du tux sur l richesse totle prce que l richesse risquée représente l moitié de l richesse totle. 2.3 (P ) Les trois défiitions des primes de risque vérifient : π = ωπ r = ω 2 π p, ceci vient de leurs définitions : E(u(W)) = u(e(w) π ) = u(e(w) ωπ r )=u(e(w) ω 2 π p ), et comme l fonction u est croissnte, on : E(W) π = E(W) ωπ r =E(W) ω 2 π p, ce qui implique : π = ωπ r = ω 2 π p. Les différentes primes de risque représentent donc le même montnt exprimé de mnières différentes. Nous vons vu que l prime de risque bsolue peut s écrire en fonctiond unindiced versionpourlerisquea (x).nousllonsmontrermintennt que l on peut écrire toutes primes de risque, pour un petit risque, en fonction d indices d versions pour le risque spécifique à chque risque. 2.6 Expression pprochée Nous vons déjà vu l expression pproché de l prime de risque bsolue. Il nous reste donc à voir les expression des primes de risque reltive et prtielle. Nous utiliserons le développement limité de l espérnce d utilité (2.2) u voisinge de l richesse moyenne m =E(W) Prime de risque reltive L richesse risquée s écrit : W = ω(1+y) son espérnce mthémtique est donc donnée pr : E(W) = ω(1+e(y))m et s vrince pr : V(W) =V(ω+ ωy) = ω 2 V(Y),

33 33 on en déduit que : D utre prt, on : E(u(W)) u(m)+ ω2 2 V (Y)u (m). u(m ωπ r ) =E(u(W)) en prennt le développement limité d ordre 1 u voisinge de π r = 0, on obtient : u(m ωπ r ) u(m) π r ωu (m), de sorte que, en notntπ r l pproximtion de l prime de risque reltive : u(m) π r ωu (m) u(m)+ ω2 2 V (Y)u (m) en simplifint, on obtient l prime de risque reltive : π r = V (Y) 2 ω u (m), u (m) : L indiced versionreltivepourlerisqueestdéfinienposnte(y) =0( m = ω) A r (x)= x u (x) u (x), cet indice est égl à l vleur bsolue de l élsticité de l utilité mrginle de l richesse. Qund l richesse ugmente de 1%, l utilité mrginle de l richesse décroît de A r (x)%.plus cette élsticité est élevée plus le décideur présente d version reltive pour le risque. Remrquons ici que, comme les primes bsolues et reltives sont reliées pr une contrinte linéire (π = ωπ r ), on peut obtenir l pproximtion de l prime de risque reltive directement. On : π = ωπ r V(W) = V(ω(1+Y)) = ω 2 V(Y) π V (W) u (E(W)) 2 u (E(W)) donc : ωπ r ω2 V(Y) 2 π r V (Y) 2 u (E(W)) u (E(W)) ω u (E(W)) u (E(W))

34 Prime de risque prtielle L richesse risquée s écrit mintennt: W = ω 1 + ω 2 (1+Z) son espérnce mthémtique est donc donnée pr : et s vrince pr : on en déduit que : D utre prt, on : E(W) = ω 1 + ω 2 (1+E(Z))m V(W) = V(ω 1 + ω 2 (1+Z))=ω 2 2V(Z), E(u(W)) u(m)+ ω2 2 2 V (Z)u (m). u(m ωπ r ) =E(u(W)) en prennt le développement limité d ordre 1 u voisinge de π r = 0, on obtient : u(m ω 2 π p ) u(m) π r ω 2 u (m), de sorte que, en notntπ p l prime de risque prtielle : u(m) π p ω 2 u (m) u(m)+ ω2 2 2 V (Z)u (m) en simplifint, on obtient l prime de risque prtielle : π p = V (Z) u (m) ω 2, 2 u (m) Remrquons ici que, comme les primes bsolues et reltives sont reliées pr une contrintelinéire(π = ω 2 π p ),onpeutobtenirl pproximtiondelprimederisque reltive directement. On : donc : π = ω 2 π p V(W) = ω 2 2V(Z) π V (W) 2 ω 2 π p ω2 2V(Z) 2 π p V (Z) 2 u (E(W)) u (E(W)) u (E(W)) u (E(W)) u (E(W)) ω 2 u (E(W)).

35 CHAPITRE 3 Les fonctions d utilité usuelles Les préférences résument les comportements vis-à-vis du risque. Il est donc importnt de connître les crctéristiques des fonctions d utilité usuelles. 3.1 Les fonctions CRRA Il s git des fonctions d utilité que se mettent sous l forme d une puissnce : u(x) = xα α, α=0. On obtient les cs prticuliers suivnts : α =1: u(x)=x, on retrouve le critère d espérnce d utilité; α 0 : u(x) = ln(x), l utilité logrithmique. On trouve ce résultt en ppliqunt l règle de L Hôpitl. 1 on peut églement prendre des vleurs négtives : α = 1 donne u(x)= 1/x qui est une fonction d utilité clssique présentnt de l version pour le risque. Le critère de décision devient : L utilité mrginle est donnée pr : U (W) =E(u(W)) = 1 α E (W α ). u (x) = x α 1 >0 1 Rppel : On utilise églement : f(x) lim x g(x) = f () g (), g ()=0. x α =exp(αlnx). 35

36 36 et l dérivée seconde pr : u (x) =(α 1)x α 2, dont le signe dépend des vleurs de x et α. En supposnt que l richesse est positive x > 0, on ur : α <1:u (x) <0, utilité concve, préférences riscophobes; α =1:u (x) =0, utilité linéire, préférences neutres; α >1:u (x) >0, utlité convexe, préférences riscophiles. L indice d version bsolue fce u risque est donné pr : A (x) = u (x) u (x) = 1 α x, il décroît vec l richesse. A prtir de cet indice, on peut clculer l prime de risque bsolue : π = V (X) A (E(W)) 2 = V (X) 1 α 2 ω+e(x) = 1 α V(X) 2 ω+e(x), cette prime de risque est décroissnte vec l richesse et croissnte vec l vrince de l lé. Elle est églement décroissnte vec le rendement moyen de l prtie risquée de l richesse. Une plus forte vrince peut donc être compensée pr une plus grnde espérnce de gin. L indice d version reltive fce u risque est donné pr : A r (x) = x A (x) =1 α, il est constnt. C est cette propriété qui donne son nom à l fonction : Constnt Reltive Risk Aversion ou CRRA. Cette reltion permet églement d interpréter le prmètre α : plus il est élevé, plus l version reltive fce u risque est fible. Exemple 3.1 (Assurnce) Considérons l exemple de l ssurnce que nous vons déjà vu : ω+(1 β)z ω+ v βz W = p 1 p L espérnce d utilité de l richesse vec une fonction CRRA est donnée pr : U(W) = E(u(W)) = p α (ω+(1 β)z)α + (1 p) α (ω+ v βz) α,

37 37 et l demnde d ssurnce z doit vérifier : ce qui est équivlent à : vec : U z (z )=0, p(1 β)(ω+(1 β)z ) α 1 = (1 p)β(ω+ v βz ) α 1 p(1 β) ω+ v βz α 1 (1 p)β = ω+(1 β)z p(1 β) ω+(1 β)z 1 α (1 p)β = ω+ v βz 1/(1 α) p(1 β) = ω+(1 β)z (1 p)β ω+ v βz ce qui donne : k = k = ω+(1 β)z ω+ v βz 1/(1 α) p(1 β) (1 p)β k(ω+ v βz ) = ω+(1 β)z (k 1)ω+ kv = (1+(k 1)β)z z = kv+(k 1)ω 1+(k 1)β On peut lors étudier les déterminnts de l demnde d ssurnce. On voit que : z v = k 1+(k 1)β >0, le montnt de l ssurnce ugmente vec l vleur du bien risqué. Pour l richesse non risquée, on : z ω = k 1 1+(k 1)β. On remrque que le dénominteur de cette expression est positif pour toute vleur positive de k puisque : k > 0 k 1 > 1 (k 1)β > β 1+(k 1)β > 1 β >0 cr 0 < β <1. Donc le signe de l dérivée est donnée pr le signe du numérteur. Or nous vons : p < β 1 β < 1 p,

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