Opérateurs d Agrégation : Moyenne Arithmétique et Géométrique Pondérées

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1 SETIT th Iteratioal Coferece: Scieces of Electroic, Techologies of Iformatio ad Telecommuicatios March -6, 009 TUNISIA Opérateurs d Agrégatio : Moyee Arithmétique et Géométrique Podérées Fouzia HAMADACHE *, Nacira DIFFELLAH * et Khier BENMAHAMMED ** * LSI Laboratoire des Systèmes Itelligets Cetre uiversitaire de Bordj Bou Arréridj Algérie fouziapull@gmail.com acirapush@gmail.com ** LSI Laboratoire des Systèmes Itelligets Uiversité Ferhat Abbas Sétif Algérie khierbe@gmail.com Résumé: Les techiques de fusio d iformatio e gééral et les opérateurs d agrégatio (ou foctios d agrégatio) e particulier sot utilisés das différets domaies du raisoemet humai pour l élaboratio d ue décisio fiale. Les opérateurs d agrégatios sot utilisés itesivemet par la commuauté Multi Expert Multi Criteria Decisio Makig (ME-MCDM), le problème de l agrégatio multicritère cosiste à sythétiser des iformatios traduisat des aspects ou des poits de vues différets et parfois coflictuels au sujet d u même esemble d objets. Il se pose de maière cruciale das ombre de procedures d évaluatio utilisées e aide à la décisio. O s itéresse das cet article aux propriétés des opérateurs d agrégatio (uaimité,homogéiété,mootoie, ) et à l étude détaillée de deux opérateurs de compromis très utilisés : la moyee arithmétique podérée et la moyee géométrique podérée. Mots clé : Aide à la décisio, fusio d iformatio, foctios d agrégatio, opérateurs de compromis. INTRODUCTION Les opérateurs d agrégatio cosistet à combier des iformatios issues de plusieurs sources [BEL 07], [DET 0] (ou de la même source avec différetes périodes de temps) afi d'avoir ue iformatio fusioée et représetative [TOR 07]. Elles sot utilisées das les systèmes pour réduire quelque type de bruit, extraire l iformatio et predre des décisios [SMO 0].. Foctios d agrégatio.. Défiitio Ue foctio d agrégatio est ue foctio mathématique qui pred e etrée des valeurs appelées argumets et produit e sortie ue valeur uique. Cette foctio peut être représetée de plusieurs faços : Comme ue forme algébrique Comme u graphe. Ue foctio d agrégatio est ue foctio qui pred des argumets réels de [0,] et produit ue valeur réelle das [0,]. [ 0,] [ 0,] f : U N () Le but des foctios d agrégatio (elles sot aussi appelées opérateurs d agrégatio) est de combier u esemble de ombres réel ( x,..., ) ombre réel y. x pour doer u y = f ( x, x,..., x ) ().. Propriétés élémetaires des opérateurs d agrégatio... Coditio aux limites U opérateur d'agrégatio f doit satisfaire les deux coditios suivates : f ( 0,0,...,0) = 0 (3) f (,,...,) = (4) C'est l'uaimité pour les valeurs extrêmes. - -

2 SETIT Mootoie La foctio d agrégatio f est o décroissace par rapport à chaque argumet. si y x et y = x pourtout i i i =,..., f ( y,..., y,..., y ) f ( x,..., x,..., x ) i i (5) La moyee arithmétique podérée vérifie les propriétés des opérateurs d'agréatio. So tracé e trois dimesios déped de la podératio des etrées. ( x, x) M est doée par le trace suivat :,..3. Idempotece Ue foctio d agrégatio est idempotete si so résultat est idetique aux etrées lorsque celles-ci sot toutes égales ou si o agrège fois la même valeur o trouve la valeur iitiale. f ( x, x,..., x) = x (6)..4. Compesatio Le résultat de l'agrégatio est supérieur au plus petit des élémets agrégés (miimum) et iférieur au plus grad des élémets agrégés (maximum). mi ( x ) f ( x,..., x ) max( x ) i i i = i = (7)..5. Les opérateurs de compromis Das cette classe o trouve les opérateurs de type moyee. La moyee est le moye le plus utilisé pour combier les etrées ; elle et utilisée gééralemet e vote, das la prise de décisio, aalyse statistique. La loi pricipale est que la valeur agrégée doit être comprise etre la valeur max et la valeur mi des etrées et elle est vue comme ue valeur représetative de toutes les etrées. Ue foctio d agrégatio f est de type moyee si elle vérifie la relatio de compesatio..3. Vecteur poids Quad les etrées e sot pas symétriques, il est écessaire d associer à chaque etrée u poids qui est u ombre [ 0,] i qui reflète la cotributio de chaque etrée à l agrégatio totale. suit : Le vecteur poids (,..., ) = est défiit comme [ 0, ] et = (8) i i i =.4. Moyee arithmétique podérée La somme podérée ou moyee arithmétique podérée est défiie par : Figure. tracé e 3 dimesios de la moyee arithmétique podérée =/ et =/ Par cotre le tracé e trois dimesio de M ( x, x) est comme suit : 0, Figure. tracé e 3 dimesios de la moyee arithmétique podérée =0 et =.4.. Tracé de la valeur agrégée Preos le vecteur d etrée : [( x, )] = ( 0.,0.8) [ ] x = x (0) Avec le vecteur poids:, = = = () M ( x, x ) = (. x ), i i i = = = () M ( x,..., x ) = (. x )... i i i = (9) - -

3 SETIT009 Il e résulte le tracé suivat : Figure.3 tracé de la valeur agrégée avec =/ et =/ Et avec le vecteur poids : ( = 0, = ) = (3) Figure.5 tracé e 3 dimesios de la moyee géométrique podérée =/ et =/ Par cotre le tracé e trois dimesio de G ( x, x) est comme suit : 0, M ( x, x ) = (. x ), i i i = = = (4) Il e résulte le tracé suivat : Figure.6 tracé e 3 dimesios de la moyee géométrique podérée =0 et =.5.. Tracé de la valeur agrégée Figure.4 tracé de la valeur agrégée avec =0 =.5. Moyee géométrique podérée Fréquemmet les etrées e sot pas ajoutées mais multipliées d où la moyee géométrique podérée est défiie par : G ( x,..., x ) = x i (5) i i = La moyee géométrique podérée vérifie les propriétés des opérateurs d'agréatio. ( x, x) G est doée par le trace suivat :, et Preos le vecteur d etrée : [( x, )] = ( 0.,0.8) [ ] x = x (6) Avec le vecteur poids :, = = = (7) G ( x, x ) = x i, i i = (8) = =

4 SETIT009 Il e résulte le tracé suivat : Tab. Score des experts C C C3 C4 C5 C Figure.7 tracé de la valeur agrégée avec =/ et =/ Et avec le vecteur poids : ( = 0, = ) = (9) G ( x, x ) = x i, i i = = = Il e résulte le tracé suivat : (0) Tab. Normalisatio du score des experts C C C3 C4 C5 C6 /3 /3 /3 /3 /3 /3 3 /3 /3 /3 /3 /3 4 /3 /3 5 /3 /3 /3 /3 6 /3 /3 /3 7 /3 /3 /3 /3 8 /3 /3 /3 /3 9 /3 /3 /3 /3 /3 0 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3.6. Recherche du vecteur poids Ue approche pour le choix les poids utilisat la mesure de l etropie, ce degré décrit la dispersio des poids. Figure.8 Tracé de la valeur agrégée avec =0et= Applicatio des opérateurs de compromis à la prise de décisio Appliquat les techiques d agrégatio pour les problèmes ME-MCDM (problème de sélectio d u ph.d) (résultats de l article «aggregatio operators for selectig problem») experts otet le cadidat suivat 6 critères. dipersio(,,..., ) = l( ) i = i i () E gééral ue autre cotraite est imposée c est la valeur désirée de la mesure oress ( M ) = α [ 0,]. i = α i = i () L idée est de choisir u vecteur de poids qui maximise dipersio () Pour cela o utilise le problème d optimisatio suivat : mi l( ) i = i i (3) - 4 -

5 SETIT009 Avec les cotraites suivates : i i = = i i i = α = i 0, i =,..., (4) Pour résoudre le problème d optimisatio suivat o utilise la programmatio o liéaire ou la programmatio covexe Noliear Programmig (NP) le problème ou la foctio objective et les cotraites sot des foctios o liéaires. La solutio d u problème o liéaire demade ue procédure d itératios afi d établir ue directio de recherche à chaque itératio. mi 6 l( ) i = i i (5) Avec les cotraites suivates: 6 = i = i 6 i = i = i i 0, i =,...,6 (6) E appliquat la programmatio o liéaire o trouve le vecteur poids : = = = = = W = (7) = Le résultat de l agrégatio des scores des experts par la moyee arithmétique podérée et la moyee géométrique podérée est comme suit : Tab.3 Les moyees podérées des scores. C C C3 C4 C5 C6 M G /3 /3 / /3 /3 / /3 /3 /3 /3 / /3 / /3 /3 /3 / /3 /3 / /3 /3 /3 / /3 /3 /3 / /3 /3 /3 /3 / /3 /3 /3 / /3 /3 /3 /3 /3 / Pour la prise de décisio fiale o opte pour la moyee arithmétique des deux moyees. Tab.4 Score fial utilisat la moyee arithmétique M Score fial M(M ) G Score fial M(G ) Coclusio et perspectives Das le cas ou le vecteur poids = ( 0,) les deux opérateurs arithmétique et géométrique podérée utiliset les iformatios d ue seule source. Das le cas ou le vecteur poids = ( 0.5,0.5) utiliset les iformatios des deux sources., ils La fusio d iformatio cherche à modéliser au mieux les différetes doées des différetes sources et o pas de les supprimer pour l'aide à la décisio. Pour cela le deuxième cas ou le vecteur poids = 0.5,0.5 est préférable au premier cas ou le ( ) vecteur poids = ( 0,)

6 SETIT009 Doc e perspective: O cherche à coaître les autres opérateurs d agrégatio qui existet sous plusieurs formes : opérateurs OWA et itégrales floues qui cherchet à combier les iformatios issues de plusieurs sources afi d'aider à la prise de décisio. O cherche à choisir la podératio adéquate pour chaque opérateur e utilisat des algorithmes spécifiques. O cherche à choisir les foctios d agrégatio pour des applicatios spécifiques. REFERENCES [BEL 07] G.BELIAKOV, A.PRADERA, T.CALVO, Aggregatio Fuctios: A Guide for Practitioers, Spriger-Verlag Berli Heidelberg, 007. [DET 0] M.DETYNIECKI, Mathematical Aggregatio Operators ad their Applicatio to Video Queryig, 00. [SMO 0] R.SMOLIKOVA, Aggregatio operators for selectio problems, Elsevier Fuzzy Sets ad Systems, pp.3-34, 00. [TOR 07] V.TORRA, Y.NARUKAWA, Modelig Decisios Iformatio Fusio ad Aggregatio Operators, Spriger-Verlag Berli Heidelberg,