APPLICATIONS DU CALCUL INTEGRAL

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1 APPLICATINS DU CALCUL INTEGRAL Exemple d troducto. Clculer l re de l surfce comprse etre l prole d équto y = x et l xe (J) Premère démrche : peut écrre : f yf(x) x J y x y x ou y g(x) x I L re A recherchée est lors : A = f (x) dx g(x) dx y + x - = 0 0 u.s. x dx x dx x Deuxème démrche : utlse le théorème de Rem : 0 S f est ue focto cotue sur u tervlle [,] et s l o costrut ue dvso W de [,] vec, [x -, x ], lors lm f( ) x = f(x)dx. peut pplquer ce théorème sur toute focto f cotue : Sot u prtge W de l tervlle [-,] sur l xe des ordoées (J) ; sur chque tervlle [y -,y ], o chost u omre quelcoque et o costrut le rectgle R d re A = sehuteur = (- ) y. D où A = lm A = lm = ( ) y vec g(y) = - y ; g(y)dy J y y- - s A = g(y)dy ( y )dy y y (8 ) ( 8 ) 6 u.s I R g x x. Utlser l méthode précédete pour résoudre les exercces suvts : ) Clculer l re de l surfce délmtée pr l drote d d équto d : y = x et l prole : y = x ; ) Clculer l re de l surfce délmtée pr les coures d équto x = + y et x = 0 ; c) Clculer l re de l surfce délmtée pr les coures d équto x = y +y et x = 0 ; d) Clculer l re de l surfce délmtée pr les coures d équto y = - x et y = -x ; e) Clculer l re de l surfce délmtée pr les coures d équto y = x /, y = x et y = 0.

2 Clcul du volume d u corps de révoluto. Révoluto utour de l xe des scsses (I) Sot f ue focto cotue sur l tervlle [,] et C le corps de révoluto oteu e fst tourer l surfce S délmtée pr le grphque f et l xe (I) utour de l xe des scsses (I) ; Sot ue dvso W de [,] et [x -,x ], sot R le rectgle de se x = x x - et de huteur h = f( ) ; sot C le cyldre de huteur x et de se h f ( ) V le volume de C : V = se huteur = f ( ) x ; D où V = V = f ( ) x. Pr Rem, comme f est cotue cr f l est pr hypothèse : f x C C x- x V x = lm V = lm f ( ) x = f (x)dx Exercces : ) Clculer le volume d ue sphère de ryo r de deux mères dfféretes. ) Clculer le volume du solde egedré pr l révoluto utour de l xe (I) de l surfce orée pr y = x, x = 0 et x =. c) Clculer le volume du solde egedré pr l révoluto utour de l xe des ordoées (J) de l surfce orée pr x = y y, et x = 0.. Révoluto utour de l xe des ordoées (J) Sot f ue focto cotue sur l tervlle [,] et C le corps de révoluto oteu e fst tourer l surfce S (délmtée pr le grphque f, l xe (I) et les vertcles x = et x = ) utour de l xe des ordoées (J). Théorème : Le volume de ce corps C vut : V y = xf(x)dx. Démostrto : x Sot ue dvso W de [,] et [x -,x ], sot C le cyldre évdé de lrgeur x et de huteur h = f( ) ; so volume v est proche de celu d u prlléléppède rectgle de huteur h, de logueur r et d épsseur x. S x r h x- x Le volume recherché est doc : V y = lm v lm f( ) x x f(x)dx. CQFD

3 Clcul de l logueur d u rc de coure. Formule Sot ue focto f, cotue sur [,] ; o chercher à clculer l logueur l de l rc du grphque f sur [,]. Sot ue dvso W de [,] ; f est cotue sur tout tervlle [x -,x ] : pr le théorème des ccrossemets fs, [ x -,x ] tel que ' f(x ) f(x ) y ' f( ) yxf( ) x x x A B l l x- x x l lm ' x f '( ) f (x) dx. r l AB, d où l x y l x x f'( ) x f'( ) As : l = lm Pour cette derère églté, l fut poser les deux hypothèses supplémetres : f dérvle sur [,] et f cotue sur [,].. Exemples ) Clculer l rc de chîette : ' l = ch (x) dx sh(x) dx ch(x) dx 0 sh(x) sh() 0 l ch(x) x ) Clculer l rc de prole : l = x dx x dx = x^ l

4 U exemple prtculer : volume de l tersecto de deux cyldres orthogoux de même ryo R Pour mpuler ces fgures Cr D terctves, clquer sur l mge vec le outo de drote, pus ds le meu «jet CrActvedoc» chosr mpuler, pus clc drot efocé, ouger l sours.. Résoluto géométrque : Imgos ue sphère yt pour cetre le pot d tersecto des xes des cyldres, et scrte ds ces deux cyldres e même temps. S ous coupos cette sphère pr u pl prllèle à deux des xes des cyldres, l tersecto oteue vec l sphère ser u cercle, et celle oteue vec l tersecto des deux cyldres ser u crré. Quelle que sot l lttude du pl, le cercle ser toujours scrt ds le crré. L re de ce cercle (A cercle ) de ryo vrle R v est égle à π R v, tds que l re du crré (A c rré) de côté R v est égle à R v. otet lors l relto : A crré = x A cercle. Le volume V de l tersecto des deux cyldres est doc égle à fos le volume o Scht que V s = V sde l sphère de ry R. R, o : V = x R = 6 R [u.v.]

5 logueur des cyldres ccher les cyldres ccher le volume leu tlle Réd K J Rot I H Déplcer les pots H, Rot, tlle. Résoluto lytque : Sot V le volume élémetre du prlléléppède de se le crré oteu pr l tersecto des cyldres et d u pl prllèle ux deux xes des cyldres et de huteur z, logueur de l tervlle [z -, z ] oteu pr ue dvso W sur l xe vertcl des cotes (K) de l tervlle [-R,R]. V = se huteur = r z où r est le côté (vrle) du crré. z R -R Sot r = MP le côté du crré. Pr Pythgore pplqué u trgle PM o : MP R où [z -, z ] ; s V = R z Pr Rem : V = lm V = lm R R R z = R 6 R z dz [ R z z ] R [ R R R R ] [R R ] [ R ] R [u.v.] 5