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1 Lycée Stendhl (Grenole) Niveu : Titre Cours : Terminle S Année : Chpitre 09 : Les Intégrles Cittion du moment : «Le seul enseignement qu un professeur peut donner, à mon vis, est de penser devnt ses étudints.» (Henri Léon Leesgue) I. Intégrle d une fonction continue positive. Activité de découverte Activité 0 et ctivité 02 en fichiers nnees joints 2. Définitions Le pln est muni d un repère orthogonle ( O, i, j ). Définition 0 (Unité d ire) L ire du rectngle OIKJ définit l unité d ire noté u. Définition 02 (Intégrle de à de f) Soit f une fonction continue et positive sur [, ] et C s coure représenttive dns f le repère ( O, i, j ). L intégrle de de à de f est l ire, eprimée en u,. du domine D délimitée pr C, l e des scisses et les droites d éqution et Oton Site Internet :

2 Lycée Stendhl (Grenole) 2 On note cette intégrle : f ( ) d Remrques : Eemple : Clculer Dns l écriture f ( ) d l lettre peut être remplcée pr n importe quelle. utre lettre. C est une vrile muette f ( ) d f ( t) dt f ( ) d et sont les ornes de l intégrle et on f ( ) d f ( ) d f est continue et positive sur l intervlle [0,8] et 8 f ( ) d = Oton Site Internet :

3 Lycée Stendhl (Grenole) 3 3. Fonction F : f ( ) d Théorème 0 : Si f est une fonction continue et positive sur [, ] Démonstrtion : lors F : f ( t) dt est dérivle sur [, ] et On note f une fonction continue, positive et croissnte sur [, ] On note F( ) f ( t) dt On note [, ] et h 0 vec h h 0 F( h) F( ) f ( t) dt f ( t) dt F' f Comme f est croissnte sur [, ] lors on peut encdrer F( h) F( ) pr 0 0 En déduire F( h) F( ) 0 0 lim h h 0 h0 F( h) F( ) 0 Oton Site Internet :

4 Lycée Stendhl (Grenole) 4 Refire l démonstrtion si h 0 Refire l démonstrtion si f est décroissnte sur [, ] Conclusion Oton Site Internet :

5 Lycée Stendhl (Grenole) 5 II. Primitive d une fonction continue. Définition et propriétés Définition 03 : f est définie sur un intervlle I. On dit que F est une primitive de f sur I si F est dérivle sur I et F' f Eemples : Trouver une primitive de f : 2 sur Trouver une primitive de f : sur Trouver une primitive de 2 f : sur Trouver une primitive de f : e sur Trouver une primitive de f : Oton Site Internet :

6 Lycée Stendhl (Grenole) 6 Propriétés Si f dmet une primitive F sur I lors toutes les fonctions F( ) où sont des primitives de f sur I. Démonstrtion : Si f dmet des primitives sur I, lors il en eiste une seule vérifint F( ) Démonstrtion : Eemple : Trouver l primitive de f : 2 vérifint Oton Site Internet :

7 Lycée Stendhl (Grenole) 7 2. Tleu des primitives Formules pour trouver une primitive des fonctions usuelles : Fonctions f Sur Une primitive F f : k, k F : f : n n f : n n, n f : F: k n n ] ;0[ ou ]0; [ F: ( n) n ]0; [ F : ln f : e F : f : 2 ]0; [ F : f : cos F : sin f : sin F : cos e Formules générles pour trouver une primitive d une fonction : Fonctions Une primitive u'( ) v'( ) u( ) v( ) u'( ) v'( ) u( ) v( ) k u'( ) k u( ) n n u uu ' n u' n u vec u 0 ( n) u n u' 2 u vec u 0 u ue ' u u' u vec u 0 lnu u Oton Site Internet :

8 Lycée Stendhl (Grenole) 8 3. Cs des fonctions positives et continues Théorème 02 Si f est continue positive sur [, ] lors : f ( t) dt est l primitive de f sur [, ] s nnulnt en. Toutes les primitives de f sont les fonctions F telles que F( ) ( ) où Démonstrtion : Proposition : Si f continue et positive sur [, ] lors f ( t) dt F( ) F( ) où F est une primitive de f sur [, ]. Démonstrtion Oton Site Internet :

9 Lycée Stendhl (Grenole) 9 Théorème 03 : Si f est continue sur I lors f dmet des primitives sur I Démonstrtion dns le cs où I [, ] Remrque : Il eiste des fonctions discontinues sur I et qui dmettent des primitives sur I. III. Intégrle d une fonction continue de signe quelconque. Etension de l définition Définition f est une fonction continue sur un intervlle I et F est une primitive de f sur I. et sont deu nomres quelconques de I. L intégrle de f entre et est : f ( ) d F( ) F( ) On écrit ussi : f ( ) d F ( ) F( ) F( ) Eemples : 2 3d 2 t dt cosd Oton Site Internet :

10 Lycée Stendhl (Grenole) 0 Théorème (dmis) : f est une fonction continue sur I et I. L fonction F : f ( t) dt est l unique primitive de f sur I s nnulnt en. 2. Propriétés Reltion de Chsles : f est continue sur I et,, c sont des nomres de I. c c f ( ) d f ( ) d f ( ) d Linérité : f et g sont continues sur I et, sont des nomres de I et k ( f g)( ) d f ( ) d g( ) d ( kf )( ) d k f ( ) d Positivité : f est continue sur [, ] Si f 0 sur [, ] lors f ( ) d 0 Conservtion de l ordre : f et g sont continues sur [, ] Si f g sur [, ] lors f ( ) d g( ) Oton Site Internet :

11 Lycée Stendhl (Grenole) 3. Conséquences sur le clcul d ires. Eemples : L ire grisée en u. est A f ( ) d f ( ) d c L ire grisée en u. est A f ( ) g( ) d L ire grisée en u. est A f ( ) g( ) Oton Site Internet :

12 Lycée Stendhl (Grenole) 2 4. Inéglité de l moyenne et Vleur moyenne Propriété : Soit f une fonction continue sur [., ] Soit m et M deu réels tels que, pour tout [, ], m f( ) M lors Démonstrtion : m( ) f ( ) d M( ) Définition : Soit f une fonction continue sur [., ] L vleur moyenne de f sur [, ] est le réel f ( ) Oton Site Internet :