X. Equations paramétriques d'une courbe. Coordonnées polaires.
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- Francine Briand
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1 . Equtions prmétriques X. Equtions prmétriques d'une courbe. Coordonnées polires. f ( ) Soient deu équtions où intervlle [, b] g( ) A chque vleur de correspondent une vleur de et une vleur de. Si l'on considère ces vleurs comme les coordonnées d'un point du pln, à chque vleur de, correspondr un point du pln. Qund vrie de à b, ces points décrivent une courbe. Le sstème (*) est ppelé sstème d'équtions prmétriques de cette courbe. est le prmètre du sstème. C'est le cs notmment en phsique lorsqu'on décrit un mouvement en eprimnt l'bscisse et l'ordonnée du f (t) mobile en fonction du temps : t [, b] (intervlle de temps durnt lequel on étudie le mouvement) g(t) On obtient l'éqution crtésienne de l courbe en éliminnt le prmètre entre les deu équtions (on eprime dns une éqution et on remplce dns l'utre). Eemple Déterminer l trjectoire et le point de chute d'un corps lâché d'un vion se déplçnt horizontlement à l vitesse v à l'ltitude. On néglige l résistnce de l'ir. Choisissons le repère tel que l position initile du corps soit le point (, ) Décrivons le déplcement horizontl du corps et son déplcement verticl. Comme on néglige l résistnce de l'ir, le déplcement horizontl ser un mouvement uniforme de vitesse constnte v = v t Le déplcement verticl d'un corps tombnt sous l'effet de l pesnteur s'eprime pr d = gt Pr conséquent, l distnce du corps à l terre ser donnée pr : = - gt vt Les équtions : gt sont les équtions prmétriques de l trjectoire. Pour éliminer le prmètre, nous eprimons celui-ci dns l première éqution : t = En remplçnt t pr cette vleur dns l seconde éqution, nous obtenons : = - Cette dernière éqution est celle d'une prbole de sommet S(, ) et dont l'e de smétrie coïncide vec l'e des ordonnées. Pour déterminer le point de chute, il suffit de clculer l'bscisse du point d'ordonnée nulle c.-à-d. X = v v g v g Considérons le cs d'un vion volnt à une ltitude de m à l vitesse constnte de km/h. En eprimnt l vitesse en m/s, nous obtenons l'éqution de l trjectoire : = (55.56) dont le grphique est repris ci-contre. L coordonnée du point de chute vut lors : (79. ; ) // CNDP Erpent - Equtions prmétriques d'une courbe. Coordonnées polires. X -
2 . Eemple : l courbe de Lissjous sin t Soit l courbe d'éqution : où t est eprimé en rdins et t [, ] cos t En éliminnt le prmètre entre ces équtions, nous obtenons l reltion : = (- ) Cherchons quelques points de l courbe : t Remrquons que les points obtenus pour t = et t = sont identiques et de même pour toute vleur t et t + Et nous obtenons le grphique suivnt. L courbe de Lissjous est une courbe fermée complee. Le cercle, l'ellipse, sont des courbes fermées simples.. Eemple : L ccloïde Considérons un point P sur l circonférence d'un disque C. En fisnt rouler ce disque sur une droite horizontle, le point P se déplce. Quel est le lieu de P? Représenter cette trjectoire. P P(,) r R C S Q Choi du repère : Soit P, l position initile du point P : l'origine du repère. OX est l droite sur lquelle roule le disque. OY perpendiculire à OX On constte que l'on v voir une fonction périodique de période : nous considèrerons donc [, ] Nous observons : l'rc de cercle QP = P Q or = P Q - SQ = Arc QP - RC = r - r cos ( - /) (propriété du tringle RCP) = r - r sin = r ( - sin ) De même = SP = SR + RP = r + rsin ( - /) (dns le tringle RCP) = r r cos = r ( cos ) r( sin) Les équtions prmétriques de l ccloïde sont donc : r( cos ) 5( sin) Si on choisit r = 5 lors 5( cos ) X - CNDP Erpent - Equtions prmétriques d'une courbe. Coordonnées polires. //
3 // CNDP Erpent - Equtions prmétriques d'une courbe. Coordonnées polires. X Eercices Déterminer les équtions prmétriques des courbes suivntes :. L droite comprennt les points (, ) et (, ) solution : ) k( ) k(. l droite comprennt le point (, ) et de coefficient ngulire m solution : km k. le cercle de centre C(c,c ) et de ron r solution : rsin c r cos c. l prbole P = p solution : pcot pcot 5. L'ellipse E b solution : bsin cos 6. L'hperbole H b solution : b tn sec
4 . Coordonnées polires. Définition Les coordonnées crtésiennes d'un point sont celles que nous connissons le mieu. Elles permettent de déterminer un point dns un sstème d'es (prfois le repère est orthonormé). Les coordonnées polires constituent une utre mnière de repérer un point. P ' On choisit une origine (ppelée pôle) et un e polire. Si un point P pour coordonnées polires (, ) = OP et est l'ngle formé pr OP et l'e polire. O Remrques. Contrirement u coordonnées crtésiennes, les coordonnées polires ne sont ps uniques : P(, ) = P(, ') vec l reltion entre et ' : ' = + k. > cr est une distnce. L'éqution polire d'une courbe est une éqution qui lie et : f(, ) = ou = g(). Liens entre coordonnées polires et coordonnées crtésiennes. ) Comment eprimer les coordonnées crtésiennes en fonction des coordonnées polires? O P(,) Soit P(, ) en coordonnées polires. Choisissons OX = l'e polire et O O et O Nous vons directement : cos sin b) Comment eprimer les coordonnées polires en fonction des coordonnées crtésiennes? Pr Pthgore : = + = ( cr > cr c'est une distnce) Et pr l trigonométrie : tn = w = rctn ou = rctn + selon l position de P c) Eemples. P (, ) P (, ) en coordonnées crtésiennes = = et = rctn = P(, ) en coordonnées polires. P (-, ) P (-, ) en coordonnées crtésiennes = = et rctn - = - Or - ème qudrnt = - + = P(, ) en coordonnées polires. X - CNDP Erpent - Equtions prmétriques d'une courbe. Coordonnées polires. //
5 P (-, - ) en coordonnées crtésiennes = = et rctn = Or ème qudrnt = + = P(, ) en coordonnées polires. P (-,- ). Smétries de courbes en coordonnées polires. Soit une courbe décrite en coordonnées polires pr = f() Considérons les différentes smétries : )pr rpport à l'e polire P(,) b) pr rpport à l droite le pôle et à l'e polire. c) pr rpport u pôle. P(,) P(,-) P(,) P(,-) f(- ) = f() f( - ) = f() P(,+) f( + ) = f(). Applictions. I Déterminer les équtions en coordonnées polires des courbes suivntes : ) le cercle de centre (, ) et ce ron r solution : = r et [, ] b) d (, ) sol.: R + et = (constnte) si P "u-dessus" de l'e polire et = + si P "en-dessous" de l'e polire II. Trcer les courbes suivntes (décrites pr leurs équtions polires) = ( + cos ) L crdioïde = sin = cos = cos cos Trifolium de Descrtes = sin Rosce = cos Spirle hperbolique = Spirle prbolique = Spirle logrithmique = sin = ( + cos ) = cos = = tn // CNDP Erpent - Equtions prmétriques d'une courbe. Coordonnées polires. X - 5
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