Fondamentaux d Algèbre et de Trigonométrie

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1 I.U.T. de La ROCHELLE Aée Uverstare 0-0 Départeet Réseaux et Télécoucatos Module M Fodaetaux d Algèbre et de Trgooétre Mathéatques ère Aée Lauret Deay

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3 TABLE DES MATIERES CHAPITRE : Trgooétre I - Rappels de Trgooétre ) Tragle rectagle ) Cercle trgooétrque et valeurs rearquables 3) Prcpales relatos trgooétrques 4) Réducto de a cos t + b s t II - Foctos trgooétrques récproques 3 ) Focto Arcs 3 ) Focto Arccos 4 3) Focto Arcta 5 CHAPITRE : Nobres Coplexes 7 I - Déftos 7 ) Fore algébrque 7 ) Proprétés et Opératos 7 II - Fores polares et expoetelles d u obre coplexe 8 ) Représetato géoétrque - fore polare 8 ) Relato etre fore algébrque et polare 8 3) Proprétés de la fore polare 9 4) Fore expoetelle 9 5) Races èes d u coplexe 0 III - Utlsato des obres coplexes ) Utlsato e Géoétre ) Utlsato e Trgooétre et e Aalyse 3) Utlsato e Electrcté IV - Iverso coplexe 3 CHAPITRE 3 : Polyôes 5 I - Itroducto 5 ) Déftos 5 ) Proprétés 5 II - Dvso des polyôes 6 ) Dvso suvat les pussaces décrossates (ou dvso eucldee) 6 ) Dvso à l ordre suvat les pussaces crossates 7 III - Factorsato rréductble des polyôes 8 ) Factorsato das 8 ) Equato du secod degré das 8 3) Factorsato das 9 IV - PGCD de deux polyôes 9 Quelques bos réflexes sur les polyôes CHAPITRE 4 : Fractos ratoelles 3 I - Gééraltés 3 ) Fore rréductble 3 ) Parte etère et parte fractoare 3 II - Décoposto e éléets sples 4 ) Eléets sples de ère espèce 4 ) Décoposto das (x) 5 3) Eléets sples de d espèce 5 4) Décoposto das (x) 6 III - Calcul des coeffcets 6 Fche Pratque 8

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5 Chaptre Trgooétre CHAPITRE Trgooétre I - Rappels de Trgooétre C ) Tragle rectagle BC AB 0 θ < / : s( θ ) = cos( θ ) = ta( θ ) = AC AC BC AB A θ B ) Cercle trgooétrque et valeurs rearquables Le sus, le cosus et la tagete d u agle réel se lset grâce au cercle trgooétrque. cos(α) et s(α) s²( α) + cos²( α) = ta ( α ) s( α) = pour α + k, k (eter relatf) cos( α) α 0 /6 /4 /3 / cos( α) 3 0 s( α) ta( α) ± 0 s s(α) α cos(α) ta(α) cos 3) Prcpales relatos trgooétrques ( x) = x s ( x) = s( x) ( x) cos cos( ) ta = ta( x) ( + x) = x cos( x) = cos( x) s ( + x) = s( x) ( x) cos cos( ) s = s( x) cos + x = s( x) cos x = s( x) s + x = cos( x) s x = cos( x) x + x x 0 x x x 0 + x x 0

6 Module M Algèbre et Trgooétre A coatre par cœur : ( a+ b) = a b a b ( ) cos cos( )cos( ) s( )s( ) ( a b) = a b + a b ( ) cos cos( )cos( ) s( )s( ) ( a) = a a ( ) cos cos ²( ) s ²( ) = cos²( a) = s²( a) s a+ b = s( a)cos( b) + cos( a)s( b) s a b = s( a)cos( b) cos( a)s( b) s a = s( a)cos( a) + cos( a) cos ²( a) = cos( a) s ²( a) = ta ta( a) + ta( b) ta( a)ta( b) ( a+ b) = ta ( a) ta( a) = ta²( a) + ta (x) = cos ²( x) et + ta (x) = s²( x) das le cas où x + k ( k eter relatf ) Autres relatos portates: = ½ ( + + ) s( a)s( b) = ½ ( cos( a b) cos( a+ b) ) cos( a)cos( b) cos( a b) cos( a b) = ½ ( + ) s( a)cos( b) = ½ ( s( a+ b) + s( a b) ) cos( a)s( b) s( a b) s( a b) p q p q p+ q p q + = ( ) ( ) s( p) + s( q ) = s ( ) cos( ) p q p q p+ q p q = ( ) ( ) s( p) s( q ) = cos( ) s ( ) + cos( p) cos( q ) cos cos + cos( p) cos( q ) s s s x + k et t ta x t² =, alors : cos(x) = + t², s(x)= t + t², ta(x) = t t² 4) Réducto de a cosω t + b sω t Cosdéros l expresso acosωt+ bsωt que l o souhate réécrre sous ue autre fore. a b O pose a = et b =. O a alors a² + b² a² + b² a + b = s Le pot M( a, b ) appartet au cercle trgooétrque car OM = Il exste doc ue esure d agle uque ϕ das ], ] a = cos( ϕ) et b' = s( ϕ) telle que Ο a' ϕ cos O peut écrre alors e posat A= a² + b² : a b acos( ωt) + bs( ωt) = a² + b² cosωt+ sωt a² + b² a² + b² ( ω ω ) ( ϕ ω ϕ ω ) ( ω ϕ ) = a² + b² a cos t+ b s t = A cos cos t+ s s t = Acos t Rearque : Cette trasforato est utlsée e partculer e athéatques du sgal (Cf M5) O appelle alors apltude le obre 0 A > et phase l agle ϕ ], ] b' Μ

7 Chaptre Trgooétre Exeple : rédure cos3t 3 s 3t et e dédure les solutos de l équato cos3t 3 s 3t = II - Foctos trgooétrques récproques ) Focto Arcs La focto x s x est cotue sur r, pare, - pérodque et borée : s(x) De plus elle est strcteet crossate, doc bjectve, de [ /, /] focto récproque de [,] das [,]. Elle adet doc ue das [ /, /], otée Arcs : [ ] y s /, / [,] Arcs / Arcs(x) / 0 / x / s(x) La courbe de Arcs(x) se dédut de celle de s(x) par syétre par rapport à la preère bssectrce. a = sα α, α = Arcs a a [,] / 0 Exeples : Arcs 0 = Arcs = 6 6 Arcs = 6 / La focto x Arcs x est cotue, strcteet crossate de [,] das, et pare : Arcs ( x) = Arcs x x [,] (la récproque d ue focto pare est toujours pare, cf M) 3

8 Module M Algèbre et Trgooétre ) Focto Arccos La focto x cos x est cotue sur r, pare, - pérodque et borée : cos(x) De plus elle est strcteet crossate, doc bjectve, de [ 0, ] das [,]. Elle adet doc ue focto récproque de [,] das [ ] Arccos(x) y 0,, otée Arccos : cos [0, ] [,] Arccos / / 0 / cos(x) x La courbe de Arccos(x) se dédut de celle de cos(x) par syétre par rapport à la preère bssectrce a = cosα α = Arccos a α [ 0, ] a [,] / Exeples : Arcos 0 = Arcos = 6 6 Arcos = 6 0 La focto x Arccos x est cotue, strcteet décrossate de [,] das [ ] 0, et vérfe : Arccos ( x) = Arccos x x [,] ( la courbe est syétrque par rapport au pot (0, /) ) E effet : Relato fodaetale : E effet : x [,] Arcs x+ Arccos x= 4

9 Chaptre Trgooétre 3) Focto Arcta La focto x ta x est défe et cotue sur r prvé des réels /+ k, k Elle est pare et - pérodque. De plus, elle est cotue strcteet crossate /, / das r. doc bjectve, de ] [ Elle adet doc ue focto récproque de /, /, otée Arcta : r das ] [ ] /, /[ ta Arcta La courbe de Arcta(x) se dédut de celle de ta(x) par syétre par rapport à la preère bssectrce. y ta(x) / / 0 / Arcta(x) / x a = taα α = Arcta a α ] /, /[ a r / 5 5 Exeples : Arcta 0 = Arcta = 4 La focto / x Arc ta x est cotue, strcteet crossate de r das,, et pare. 5

10 Module M Algèbre et Trgooétre 6

11 Chaptre Nobres Coplexes CHAPITRE Nobres Coplexes I - Déftos ) Fore algébrque O ote c l eseble des obres coplexes. Tout coplexe c s écrt de aère uque sous sa «fore algébrque» = a+ b avec ab r, et u obre «agare» vérfat =. Le réel a est dt parte réelle de = a+ b : Le réel b est dt parte agare de = a+ b : a = Re( ) b= I( ) où = a+ b Tous les réels sot des obres coplexes car a r vérfe a= a+ 0 : r c Les obres coplexes partculers de la fore = b sot appelés agares purs, d eseble r. ) Proprétés et Opératos Egalté : Deux obres coplexes = a+ b et = a + b sot égaux s et seuleet s ls ot êe partes réelles et agares : = a = a et b= b L addto et la ultplcato s écrvet : ( a+ b) + ( a + b ) = ( a+ a ) + ( b+ b ) ( a + b ) ( a + b ) = ( aa bb ) + ( ab + ba ) Eléet eutre de l addto 0 = : + 0= 0 + = 0= 0 = 0 Eléet utare de la ultplcato = + 0 : = = Coutatvté : + = + et = Assocatvté : ( + ) + = + ( + ) et ( ) = ( ) Dstrbutvté : ( + ) = + et ( + ) = + Coplexe opposé : l opposé de = a+ b est le coplexe = a b : + ( ) = 0 cec peret de défr la soustracto : = + ( ) ( ) = O peut doc effectuer les calculs das c exacteet coe das r e replaçat par Coplexe cojugué : O appelle cojugué du coplexe = a+ b le coplexe = a b O a alors les proprétés : + = + = = = a + b + = a =b = r = r Coplexe verse : l verse de = a+ b est a b = = a + b a + b = 7

12 Module M Algèbre et Trgooétre Expl : + = 3 II - Fores polares et expoetelles d u obre coplexe ) Représetato géoétrque - fore polare O cosdère le pla P u du repère orthooral (Ox,Oy) y O assoce au coplexe = a+ b le pot M de coordoées (a,b) O dt que M est l age de, OM est l age vectorelle de est l affxe du pot M ou du vecteur OM b ρ M le odule ρ de, oté, est la dstace OM = OM : θ = OM = a + b et o a la relato : = O a x Le odule coïcde avec la valeur absolue pour les réels, et possède les êes proprétés : + + l arguet θ de, oté Arg(), est la esure de l agle eox, OMj apparteat à l tervalle, : Rearque : L arguet Arg() est déf que s 0 Arg() = ( Ox, OM) avec < θ Le coplexe de odule ρ et d arguet θ sera égaleet oté = ρ, θ ( fore polare de ) O parlera de pla coplexe pour la représetato de c : est représeté par le pot (,0) et r par la drote (O,x ) (les réels ot pour arguet 0 pour les postfs, pour les égatfs ) est représeté par le pot (0,) et r est par la drote (O,y) (les agares purs ot pour arguet / ou /) = +,6 r r ) Relato etre fore algébrque et polare Sot u coplexe o ul = a+ b =, coverso polare algébrque R S T a b = ρcosθ = ρsθ ρ θ : = ρ cosθ + sθ Expl : [ 6, /3] b = = g ρ = a + b coverso cos θ = a ρ utlsato du cercle trgooétrque et du sge de algébrque polare s θ = b ρ cos θ et s θ pour déterer la valeur de θ ], ] 8

13 Chaptre Nobres Coplexes Expl : coverso e polare de = 3 et = s cos 3) Proprétés de la fore polare Sot = a+ b = ρ, θ et = a + b = ρ, θ M Le cojugué = a b a pour fore polare = ρ, θ Le produt λ (avec λ r ) a pour fore polare λ λ ρ, θ θ ±, = [ ± ] Avec ] ] b g L verse / a pour fore polare / = / ρ, θ ( / = / et Arg / = Arg ) 3 = a pour fore algébrque = cos + s = + = = = = = cos( ) s( ), = + = Expl : [, / 3] θ bg θ θ ~ M M b g b g b g ) Le produt a pour fore polare = ρρ, θ + θ ( =, Arg = Arg + Arg = 5, / 6 = 5 cos + s = = ( + 3 ) + = + = 0 + Expl : = [, / 3 ] = + 3 [ ] Le rapport a pour fore polare L NM O QP = ρ ρ, θ θ ( = F I HG K J = b g b g ), Arg Arg Arg 4) Fore expoetelle O déft par coveto l expoetelle coplexe par : e = cosθ + sθ θ r θ Rearque : le coplexe e θ est doc de odule et décrt tout le cercle trgooétrque C(O,) lorsque θ décrt l tervalle, (so age est le pot de coordoées (cos θ,s θ ) ) 0 θ e θ 9

14 Module M Algèbre et Trgooétre Cec ous peret d écrre tout obre coplexe de la faço suvate : b g où ρ e θ = ρθ, = ρ cosθ+ sθ = ρe θ est appelé la fore expoetelle de Les proprétés précédetes sur la ultplcato et la dvso des coplexes s écrvet alors : e 0 = e = e / = e = / θ ψ ( θ+ ψ) e e = e θ ψ ( θ ψ) e / e = e O dédut égaleet de la preère proprété la Forule de Movre : θ θ d ou ecore cos + s = cos + s e = e b g θ θ θ θ L expoetelle coplexe possède doc des proprétés aalogues à celles de l expoetelle réelle O pourra doc apuler la focto expoetelle de la êe faço avec des obres réels, agares purs, ou êe coplexes quelcoques. Les relatos e θ θ = cosθ + s θ et e = cosθ s θ perettet d établr les forules d Euler : e cosθ = θ + e θ e e θ r et sθ = θ r θ θ Expl : Calculer le odule et l arguet de = + e θ e θ + e θ 5) Races èes d u coplexe O appelle races èes de l uté les coplexes solutos de l équato ( ) E posat = ρ e θ, et doc = ρ e θ Les races èes de l uté sot doc les coplexes de odule, défs par : k k k ( ) k, o obtet : = R S T = R S T ρ = ρ = θ = 0+ k θ = k / = e = e = (toutes les races de l uté sot les pussaces de l ue d etre-elles) Les ages A k des k sot les soets d u polygoe réguler = e avec k 0,,,, k k l q k La soe des k est ulle : k = = k = 0 k = 0 = 0 car = 0

15 Chaptre Nobres Coplexes Expl : Races cubques de l uté 0 =, O a : 3 3 = j = e = +, 3 j = j = e 3 3 = 4 = j = e + j+ j = 0 j j² O appelle égaleet «races èes» d u coplexe a quelcoque les solutos de l équato S les fores expoetelles de a et sot : Alors o a : = a R S T R S T = ρ e θ et a = re ρ = r ρ r = θ = α + k θ = α / + k / α, d où k = re k l α + k q 0,,,, = a Expl : Races quatrèes de 8 k = 0,,,3 k k /4 k = 4 9e = 3e 0 = 3e = = 3e 3e = = e 3e = 3e = 3e = 3e III - Utlsato des obres coplexes ) Utlsato e Géoétre B A,B,C état des pots d affxes respectves A, B, C B C A A AB = ρθ, = ρ et ( AB, AC) = θ AC A θ C Rotato de cetre A et d agle θ : Hoothéte de cetre A et de rapport λ : r( A, θ ) M M θ = e ( ) + A A car A A h( A, λ) θ = e M M = λ( ) + A A car A A = λ ) Utlsato e Trgooétre et e Aalyse Les forules de Movre et d Euler peuvet servr pour trasforer des expressos trgooétrques. Expl : Calculer cos3θ e focto de cosθ et de sθ : ( ) cos 3θ Re = e θ = Re cosθ + sθ = Re cos θ + 3 cos θ sθ + 3 cosθ s θ + s θ = Re cos θ + 3cos θsθ 3cosθs θ s θ = cos θ 3cosθs θ

16 Module M Algèbre et Trgooétre Expl : Calculer l tégrale /4 4 s θ d 0 θ e léarsat 4 s θ : 4 θ θ 4 e e θ = = = θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ( e e ) ( e e e e e e e e ) s θ θ θ 4θ 4θ 4θ θ θ e 4e + 6 4e + e 6 e + e 4 e + e 3 cos 4θ cos θ = = + = /4 4 3θ s 4θ s θ O a doc : s θ dθ = = = /4 0 3) Utlsato e Electrcté Pour u dpôle doé e rége susoïdal, s l testé qu le traverse est de la fore t ( ) = I sωt, alors la teso à ses bores est de la fore ut ( ) = U s( ωt+ ϕ) t O pose t () = I e ω M et ut () = U e ω ϕ M ( t + ) ut () U M ϕ L pédace coplexe du crcut est Z = = e = R+ X t () IM u(t) O a doc le rapport des apltudes U M IM = Z et le déphasage ϕ = Arg( Z) d - pour ue résstace : u = R - pour ue self : u= L d - pour ue capacté : = C u dt dt doc Z = R doc Z = Lω doc Z = /(Cω) E effet : M (t) (t) M D après la Lo de Krschhoff : - das u otage e sére, les pédaces coplexes Z s ajoutet. - das u otage e parallèle, les adttaces Y = / Z s ajoutet. Expl : U courat susoïdal d apltude I M = 5 A et de pulsato ω = 000 rad/s traverse le crcut suvat. O a doc l testé t ( ) = 0.005s(000 t) Calculer la teso u(t) à ses bores. R =000 Ω C = 0,5 μf L = 0,5 H

17 Chaptre Nobres Coplexes IV - Iverso coplexe * * c c L applcato f : f( ) = / f est ue bjecto de qu a tout 0 assoce so verse * c sur lu-êe, et de plus L écrture expoetelle est la plus adaptée au calcul de f() : s f est appelée verso coplexe. = f ( o dt alors que f est volutve sur = ρ e θ alors f ( ) = = e ρ La trasforato géoétrque assocée à l verso coplexe a des proprétés rearquables : - L age d ue drote e passat pas par l orge O est u cercle passat par O et récproqueet. - L age d ue drote passat par O est d ue drote passat par O. - L age d u cercle e passat pas par O est u cercle e passat pas par O. Expl : age de la drote vertcale D d équato x = a θ * c ). y D M() C O θ Ω θ θ /a a x M (/) 3

18 Module M Algèbre et Trgooétre 4

19 Chaptre 3 Polyôes CHAPITRE 3 Polyôes Nous allos étuder auss be des polyôes à coeffcets réels (sur r) que coplexes (sur c), et ous oteros pour splfer par le sybole IK dfféreet l eseble r ou c. I - Itroducto ) Déftos O appelle polyôe de degré sur IK, toute expresso de la fore Px ( ) = a + ax+ + ax 0 où a 0, a,, a sot des éléets de IK tels que a 0, appelés coeffcets du polyôe P(x) Expl : 3 Px ( ) = (5+ ) x x+ 4 est u polyôe de degré sur O appelle polyôe ul le polyôe P( x) = 0 dot tous les coeffcets sot uls. C est le seul polyôe qu e possède pas de degré ( o dt parfos par coveto que so degré vaut ) k Les polyôes partculers de la fore ak x ( a k 0 ) sot appelés oôes de degré k Le degré = d ( P) d u polyôe P(x) est le plus grad des eters k de ses oôes a x Rearque : les polyôes costats Px ( ) = a 0 sot doc de degré ul car uque oôe a = a x sauf le polyôe ul P( x) = 0 qu a pas de degré (car l a aucu oôe) e k k 0 0 ( a k 0 ) Deux polyôes Px ( ) = a0 + ax + + ax et Qx ( ) = b0 + bx + + b x sot égaux s et seuleet s ls ot êe degré et êes coeffcets : d P = d Q et a = b k O ote r[ x] l'eseble des polyôes réels et c [ x] l'eseble des polyôes coplexes k k 0 j ) Proprétés Rappelos sas les déotrer quelques résultats sur les degrés vus e secodare Prop : S P, Q et P + Q sot o uls, o a : d ( P+ Q) Max( d P, d Q ) avec égalté s d P d Q Px = x Qx = x + x x Rx = x + x 4 Expl: ( ) 3, ( ) 5, ( ) 3 6 ( P+ Q)( x) = d ( P+ Q) = Max(d P,d Q) = ( P+ R)( x) = d( P+ R) = Max(d P,d R) = Prop : S P et Q sot o uls, o a : d ( P Q) = d P+ d Q 3 Expl: Px ( ) = x 3 x, Qx ( ) = x 4 ( P Q)( x) = d ( P Q) = d P+ d Q= 5

20 Module M Algèbre et Trgooétre II - Dvso des polyôes O dt que le polyôe A(x) de degré est dvsble par le polyôe B(x) de degré p s l exste u polyôe Q(x) de degré p tel que : Ax ( ) = BxQx ( ) ( ) ( Rq : o dot avor p ) O dt alors que Q est le quotet exact de A par B. ) Dvso suvat les pussaces décrossates (ou dvso eucldee) Théorèe : Soet A(x) u polyôe quelcoque et B(x) u polyôe o ul b g vérfat : Il exste u couple uque de polyôes Qx ( ), Rx ( ) Ax ( ) = BxQx ( ) ( ) + Rx ( ) avec d R < d B (e cosdérat que d 0 = ) A est le dvdede, B le dvseur, Q le quotet et R le reste de la dvso eucldee de A par B Exeple : Dvso eucldee de 4 A( x) = x 7x + 6x+ par B( x) = x + x : Prop : a IK race de P(x) P(x) est dvsble par (x a) E effet 6

21 Chaptre 3 Polyôes Prop : Tout polyôe o ul P(x) de degré adet au axu races dstctes das IK E effet E pratque, o pourra utlser cette proprété pour otrer qu u polyôe est ul de la aère suvate : Corollare : S P(x) est de d et possède au os + races dstctes, alors c est le polyôe ul E effet ) Dvso à l ordre suvat les pussaces crossates Théorèe : Soet A(x) u polyôe quelcoque et B(x) u polyôe o ul b g vérfat : Pour tout eter, l exste u couple uque de polyôes Q ( x), R ( x) Ax ( ) = BxQ ( ) ( x) + x R( x) + avec d Q (e cosdérat que d 0 = ) Q (x) et R (x) sot le quotet et le reste de la dvso à l ordre suvat les pussaces crossates Exeple : Dvso crossate à l ordre de 3 Ax ( ) = 6x + x+ 3 par B( x) = x + x+ : 7

22 Module M Algèbre et Trgooétre III - Factorsato rréductble des polyôes ) Factorsato das c O adettra sas déostrato le théorèe fodaetal suvat, appelé Théorèe de d Alebert : Théorèe : Tout polyôe de degré de c[ x ] possède races das c, dstctes ou cofodues O e dédut que tout polyôe de degré se décopose das c[ x ] e produt de facteurs de degré. E regroupat les facteurs detques, o obtet le théorèe de factorsato das c[ x ] suvat : α α α p p Théorèe : Tout polyôe o ul Px ( ) = ax + + a 0 se factorse das c[ x ] e : Px ( ) = a( x x) ( x x) ( x x) où x, x x p c et α + α + + α p = La factorsato précédete s appelle décoposto e produts de facteurs preers de c[x] : α α est l ordre de ultplcté de la race x : P(x) est dvsble par ( x x ) as pas par ( x x ) α + ( k) ( ) Proprété : a race de ultplcté de P(x) k < P ( a) = 0 et P ( a) 0 Expl : 6 Px ( ) = x 3x et a = ) Equato du secod degré das c Sot l équato du secod degré à coeffcets coplexes : a + b + c = 0 abc,, c D après le Th. De d Alebert, le polyôe P( ) a b c = + + se factorse das c e ( )( ) L équato possède doc toujours deux solutos coplexes b b = δ et = + δ a a où δ est u coplexe soluto de δ = b 4ac, que l o calcule gééraleet sous fore expoetelle. Expl : 3 + =

23 Chaptre 3 Polyôes 3) Factorsato das r Proprété : Sot Px ( ) = ax + + a 0 u polyôe à coeffcets réels (a 0,, a r ) S 0 c est ue race coplexe de ultplcté de P(x), alors so cojugué 0 est égaleet ue race coplexe de êe ultplcté de P(x). Expl : 6 Px ( ) = x 3x et a = O dédut de ce qu précède le théorèe de décoposto e produts de facteurs preers de r[x] : Théorèe : Tout polyôe o ul à cœffcets réels se factorse das r[ x ] e produt de facteurs de degré ou de degré rréductbles (à dscrats égatfs) Expl : Px x x 6 ( ) = 3 Rq : Les polyôes rréductbles das r[ x ] sot doc tous de degré ou (so ls se factorset) IV - PGCD de deux polyôes O appelle pgcd des deux polyôes o uls A(x) et B(x) le polyôe D(x) oralsé de degré axu qu dvse à la fos A(x) et B(x). O ote D = pgcd( A, B) = A B D après la décoposto e produts de facteurs preer des polyôes A(x) et B(x), l est clar qu u dvseur cou à A(x) et B(x) est costtué de facteurs preers cous au deux polyôes. Leur pgcd A B est doc le polyôe costtué de tous les facteurs preers cous à A(x) et B(x) Expl : Ax ( ) x x 8x 4x 0x 7x = = Bx ( ) = x + 4x x + 8x 3x+ 0 = pgcd( AB, )( x ) = Théorèe : Tout dvseur C cou à A et B dvse auss leur pgcd D = A B E effet 9

24 Module M Algèbre et Trgooétre Das le cas ou pgcd(a,b) =, o dt que les polyôes A(x) et B(x) sot preers etre eux Théorèe : Soet A et B deux polyôes o uls Alors pgcd(a,b) = pgcd(b,r) où R est le reste de la dvso eucldee de A par B. E effet O e dédut l algorthe d Euclde qu peret e effectuat des dvsos eucldees successves jusqu à obter u reste ul de calculer u pgcd sas avor à factorser les deux polyôes : Expl : pgcd de 5 3 Ax ( ) = x 5x 0x 48 et Bx x x x x 4 3 ( ) =

25 Chaptre 3 Polyôes Quelques bos réflexes sur les polyôes O cosdère u polyôe de degré. O peut l écrre : Px ( )= ax + a x + + ax+ a avec a 0 0 p p q q q Px ( ) = a( x x) ( x x) ( x + bx+ c) ( x + bx+ c) trôes à dscrats égatfs δ = b 4c< 0 s P est à coeffcets réels ( ) = ( ) ( ) p p Px a x x s P est à coeeffcets réels ou coplexes ( ) a est race de ultplcté de P Pa ( ) = = P ( a) et P ( ) ( a ) 0 + ( x a) P et ( x a) P dvse e dvse pas Coet otrer que A B ( A dvse B ) : ) E utlsat la défto : Q polyôe tq B= AQ ) Le reste de la dvso eucldee de B par A est ul. 3) Das la décoposto e facteurs preers de A et de B, tous les facteurs de A sot auss das B avec au os la êe ultplcté. 4) Toutes les races coplexes de A sot races de B avec au os la êe ultplcté. Coet otrer que P est le polyôe ul : ) E utlsat la défto : P(x) = 0 pour tout x ) E utlsat le degré: d P < 0 3) P est u polyôe de degré adettat au os + races. 4) Il exste u polyôe Q tel que Q P avec d P < d Q

26 Module M Algèbre et Trgooétre

27 Chaptre 4 Fractos ratoelles CHAPITRE 4 Fractos ratoelles Ue fracto ratoelle est u rapport de deux polyôes. L objet de ce chaptre est d appredre à splfer so expresso, pour par exeple calculer sa prtve ou sa trasforée verse de Laplace. I - Gééraltés Soet P(x) et Q(x) 0 deux polyôes à coeffcets réels ou coplexes. Px ( ) Le rapport F( x) = est appelé fracto ratoelle assocée au couple (P,Q) de polyôes. Qx ( ) ) Fore rréductble Px ( ) Sot F( x) = ue fracto ratoelle. O a Qx ( ) R S T Px ( ) = DxP ( ) 0( x) Qx ( ) = DxQ ( ) ( x) 0 avec D = pgcd( P, Q ) P, Q preers etre eux 0 0 Px ( ) P0 ( x) O a alors F( x) = = fore rréductble de F(x) (o e peut pas la splfer plus) Qx ( ) Q( x) 0 O appelle éros de F(x) les races de P ( x ) et pôles de F(x) les races de Q ( x ). 0 0 Expl : P( x) 5 x 3 x x 4x Q( x) 4 x 3 6x 0x 6x F( x) = = O trouve par l algorthe d Euclde pgcd(p,q) : Dx x x ( ) = Les dv. eucldees de P par D et Q par D doet : Px = x + x+ x x + x Q( x) = ( x + 4x+ )( x + x+ ) 3 ( ) ( 4 )( 4 4 ) La fore rréductble de F(x) est doc F( x ) = qu se factorse e F(x) possède doc : ) Parte etère et parte fractoare Notos E(x) et R(x) le quotet et le reste de la dvso eucldee de P ( x ) par Q ( x ) 0 0 P0 ( x) R( x) O a alors P0( x) = Q0( x) E( x) + R( x), d où F( x) = = E( x) + où avec d R< d Q0 Q ( x) Q ( x) 0 0 E(x) s appelle la parte etère de F(x) et Rx ( )/ Q0 ( x ) la parte fractoare de F(x) 3

28 Module M Algèbre et Trgooétre x x + x + 4x x 4x + 4x 3 Expl : ( ) avec F x = = x x + x= x + 6x + 0x + 6x+ x + x+ ( x + x+ ) ( x 6) + 5x+ 6 = = II - Décoposto e éléets sples Le but de cette décoposto est de trasforer l expresso ue fracto ratoelle P(x) / Q(x) e soe de pettes fractos ratoelles partculères, dtes éléets sples. 5x+ 6 5( x+ ) Par exeple : = = x + x+ ( x+ ) x+ ( x+ ) 3 75x x + 4 O va otrer que se décopose e + + ( x ) ( x+ 3)( x² + ) x ( x ) x+ 3 x² + ) Eléets sples de ère espèce éléets sples de ère espèce Sot F( x) = P( x)/ Q( x) ue fracto ratoelle rréductble fractoare ( d P< d Q). de espèce Prop : S a est u pôle de ultplcté de F( x) = P( x)/ Q( x), cad Qx ( ) = ( x a) Q ( x), alors : a a a a P( x) F( x) = où P polyôe tq d P < d Q x a ( x a) ( x a) ( x a) Q ( x) ak Les pettes fractos ratoelles s appellet éléets sple de ère espèce. ( ) k x a a a a a s appelle la parte polare de F relatve au pôle a. x a ( x a) ( x a) ( x a) Expl : 3 75x + 5 a a P( x) = + + ( x ) ( x+ 3)( x² + ) x ( x ) ( x+ 3)( x² + ) avec d P < 3 calcul de a : Rearque : o e peut pas calculer a par cette techque 4

29 Chaptre 4 Fractos ratoelles Prop : s a est u pôle de ultplcté de F( x) = P( x)/ Q( x) : a ( ) = x a F( x) x= a O calcule drecteet a e splfat ( x a) F( x), pus e fasat x = a das l expresso obteue. P ( x) O peut re-décoposer Q ( x) par rapport à u autre pôle b de ultplcté p, et as de sute. Expl : 3 75x + 5 a 5 b P( x) = ( x ) ( x+ 3)( x² + ) x ( x ) x+ 3 x² + avec d P < calcul de b : ) Décoposto das c(x) Sot F( x) = P( x)/ Q( x) ue fracto ratoelle rréductble à coeffcets réels ou coplexes. Le déoateur Q(x) se factorse das c[x] e produt de facteurs du preer degré : ( ) = α( ) ( ) p Q x x x p pôle coplexe de F( x) de ultplcté E décoposat successveet F(x) par rapport à chacu de ses pôles, o obtet le résultat suvat : Théorèe : F(x) se décopose e éléets sples de ère espèce das c(x) sous la fore : p a a a les ak ( p, k ) F( x) = E( x) parte etère = x ( x ) ( x ) état des coeffcets coplexes parte polare relatve à Expl : 3 x ( x + ) = 3) Eléets sples de d espèce Sot F( x) = P( x)/ Q( x) ue fracto ratoelle rréductble fractoare ( d P< d Q) à coeffcets réels Prop : S + + est u facteur rréductble das r ( δ = b 4c< 0) de Q(x), alors : ( x bx c) bx+ c bx+ c b x+ c b x+ c P( x) F( x) = x bx c ( x bx c) ( x bx c) ( x bx c) Q ( x) avec Qx ( ) = ( x + bx+ c) Q ( x) et P polyôe tq d P < d Q bx k + ck Les pettes fractos ratoelles ( x + bx + c) k s appellet éléets sple de d espèce. 5

30 Module M Algèbre et Trgooétre 4) Décoposto das r(x) Sot F( x) = P( x)/ Q( x) ue fracto ratoelle rréductble à coeffcets réels. Q(x) se factorse das r[x] e produt de facteurs du er degré et du d degré rréductbles das r : p q ( ) ( ) = α ( ) j + j + j = j= dscrat < 0 avec pôle réel de ( ) de ultplcté Qx x x x bx c x F x E décoposat successveet par rapport aux pôles pus aux facteurs du d degré, o peut écrre : Théorèe : F(x) se décopose e éléets sples de ère et de espèce das r(x) sous la fore p q a a b jx+ c b j x+ c j j j j F( x) = E( x) j = x x ( x x) j= x + bjx+ cj ( x + bjx+ cj) parte etère éléets sples de ère espèce éléets sples de de espèce les a ( p, k ) et les b, c ( j q, k ) état des coeffcets réels k jk jk j Expl : 3 x ( x + ) = III - Calcul des coeffcets Les théorèes de décoposto das r[x] ou c[x] affret l exstece et doet la fore de ces décopostos as e foursset pas les valeurs des coeffcets. O sat déjà calculer a = ( x a) F( x) pour les pôles a de ultplcté. Il exste de obreuses techques pour calculer les autres coeffcets... x= a Expl : Repreos la fracto F( x) 3 75x + 5 a 5 8 cx + d = = + + ( x ) ( x+ 3)( x² + ) x ( x ) x+ 3 x² + 6

31 Chaptre 4 Fractos ratoelles Expl : Décoposto de F( x) = 3 x ( x + ) 7

32 Module M Algèbre et Trgooétre Fche Pratque Sot F( x) = P( x)/ Q( x) ue fracto ratoelle. Les prcpales étapes de sa décoposto sot : Px ( ) = DxP ( ) 0( x) ) Mse sous fore rréductble : O factorse P(x) et Q(x) par leur pgcd D(x) : Qx ( ) = DxQ ( ) 0 ( x) DxP ( ) 0( x) P0( x) O a alors : F( x) = = fore rréductble DxQ ( ) ( x) Q( x) 0 0 ) Recherche de la parte etère et de la parte fractoare : O effectue la dvso eucldee de P 0 ( x ) par Q 0 ( x ) : P0( x) = Q0( x) E( x) + R( x) avec d R<d Q0 P0 ( x) Rx ( ) d où : F( x) = = E( x) + Q ( x) Q ( x) 0 parte etère 0 parte fractoare rréductble 3) Factorsato du déoateur : O décopose Q 0 ( x ) e produts de facteurs preers 0( ) = ( ) ( ) p Q x a x x p das c(x) ( pôle coplexe de ultplcté ) 0 p q j j = j= dscrat < 0 Q ( x) = a ( x x ) ( x + b x+ c ) j das r(x) ( x pôle réel de ultplcté ) 4) Ecrture de la décoposto : O écrt la décoposto e éléets sples de la parte fractoare : p Rx ( ) a a a = Q0 ( x) = x ( x ) ( x ) éléets sples de ère espèce das c(x), avec a k coplexes Rx a b x+ c b x+ c Q ( x) x x j ( ) x b x c ( ) p q ( ) a j j j j j j = = x x j= + j + j x + bjx+ cj éléets sples de ère espèce éléets sples de de de espèce das r( x), avec a, b, c réels k jk jk 5) Recherche des coeffcets : Notos Gx ( ) = Rx ( )/ Q0 ( x) la parte fractoare à décoposer - o peut exploter ue évetuelle parté (ou parté) de G(x) pour obter des relatos sur sur les coeffcets e detfat les éléets sples de G( x) et de Gx ( ) (ou Gx ( ) ) - s a est u pôle de ultplcté, o peut calculer le coeffcet de l éléet sple ( x a ) a = ( x a) G( x) x= a (o ultple par ( x a et o «fat» x = a ) ) a par : - o peut écrre la décoposto de x G( x) et detfer les ltes e +. - o peut obter des équatos suppléetares sur les coeffcets e évaluat les deux expressos de G(x) (fore fractoare et fore décoposée) pour des valeurs partculères de la varable x ( x = 0 ou...) - pour u facteur ( x + bx+ c) rréductble das r, o peut utlser ue race coplexe 0 de x + bx+ c O obtet l élt sple de èe bx + c espèce e calculat b 0 + c = ( x + bx+ c) Gx ( ) ( x + bx+ c) x= 0 et e detfat partes réelles et agares des deux ebres pour e dédure les réels b et c. - o peut procéder par detfcato e rédusat la décoposto cherchée au déoateur cou Q 0 (x) pus e detfat les pussaces de x du uérateur obteu avec celles de R(x). (o aboutt alors à u systèe d équatos léares dot les coues sot les coeffcets cherchés) 8