ANNALES. OFFICIELLES 2013 concours. ecricome. prepa. ÉPREUVE ÉCRITE ÉPREUVE spécifique. option technologique. z Mathématiques.

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1 ANNALES OFFICIELLES 3 cocours ÉPREUVE ÉCRITE ÉPREUVE spécifique optio techologique z

2 cocours Esprit de l épreuve Vérifier ches les cadidats l eistece des bases écessaires pour des études supérieures de maagemet. Apprécier l aptitude à lire et compredre u éocé, choisir u outil adapté et l appliquer (théorème) Apprécier le bo ses des cadidats et la rigueur du raisoemet. Sujets Trois eercices idépedats portat sur les trois domaies du programme. évaluatio Eercices de valeur sesiblemet égales. épreuve Aucu documet et istrumet de calcul est autorisé, Les cadidats sot ivités à soiger la présetatio de leur copie, à mettre e évidece les pricipau résultats, à respecter les otatios de l éocé, et à doer des démostratios complètes (mais brèves) de leurs affirmatios. ÉPREUVE ÉCRITE / ÉPREUVE spécifique / optio techologique /

3 cocours SUJET 3 ÉPREUVE ÉCRITE / ÉPREUVE spécifique / optio techologique /

4 cocours 4 ÉPREUVE ÉCRITE / ÉPREUVE spécifique / optio techologique /

5 cocours 5 ÉPREUVE ÉCRITE / ÉPREUVE spécifique / optio techologique /

6 cocours 6 ÉPREUVE ÉCRITE / ÉPREUVE spécifique / optio techologique /

7 cocours 7 ÉPREUVE ÉCRITE / ÉPREUVE spécifique / optio techologique /

8 cocours 8 ÉPREUVE ÉCRITE / ÉPREUVE spécifique / optio techologique /

9 cocours corrigé EXERCICE : ) Limites lim f lim lim g l, g lim l lim lim g l lim ) Dérivée La foctio g est dérivable sur, g', comme somme de termes strictemet égatifs, comme somme de foctios dérivables sur, 3) g cotiue puisque dérivable sur, g strictemet décroissate sur, l'équatio g a ue seule solutio das, g,, qui cotiet Cette solutio est otée 4) g 3 e ge e f g De plus 5) La foctio f est dérivable sur,, f ' La foctio f est doc strictemet décroissate sur,, (somme de foctios dérivables sur, ) 9 ÉPREUVE ÉCRITE / ÉPREUVE spécifique / optio techologique /

10 cocours 6) P :" u e" Iitialisatio : u, doc P Hérédité : pour u, P vraie vraie 3 O obtiet u edoc P vraie O a alors u e f e f u f car f est décroissate sur, Coclusio :,u e 7),, f ' Alors,, f ' Si e alors e O a doc,, f ', ) (puisque la foctio iverse est décroissate sur La foctio f est dérivable sur, e pour tous réels a et b de, e, f b f a b a, e, f ' Preos a, e et b u, e pour tout etier aturel, f u f u u Q :" u e " Il viet que 8) Iitialisatio : u Comme e, o a e e et e docq vraie Hérédité : o suppose que pour u, u e Alors u u e soit u e docq Coclusio :, 9) u e vraie puisque doc lim u ; la suiteu coverge vers ÉPREUVE ÉCRITE / ÉPREUVE spécifique / optio techologique /

11 cocours EXERCICE : I. Calcul deu 9 ) PQ I est bie ue matrice diagoale La matrice D QAP est ue matrice diagoale ) PQ I doc P est iversible et P Q 3) u u u *, X AX u u u u E multipliat à gauche chaque membre de l égalitéy QX PY PQX soit PY X O a alors Y QX QAX QAPY DY * 4) Motros par récurrece que, Y D Y par la matrice P o tire l égalité Iitialisatio : D Y D Y I Y Y doc la propositio est vraie pour Hérédité : pour u, o suppose que Y D Y AlorsY DY DD Y D Y, la propriété est bie héréditaire * Coclusio :, Y D Y 5) u X u, Y * , Y D Y ) O a vu que X PYdoc X O a doc u ÉPREUVE ÉCRITE / ÉPREUVE spécifique / optio techologique /

12 cocours II Probabilités ) a) O effectue épreuves idetiques et idépedates. succès: o obtiet pile avec la probabilité A chaque épreuve deu issues : 3 échec La variable aléatoire X compte les succès doc X B, 3 k k kx,, P X k k 3 3 b) E X ; V X 3 9 ) a) O effectue des épreuves idetiques et idépedates succès: o obtiet pile avec la probabilité A chaque épreuve deu issues : 3 échec La variable aléatoirey est le temps d attete du premier succès docy G 3 k * ky, PY k b) EY ; V X ) ( ) = v pd p F F Doc v p F p F car les deu évèemets sot idépedats v p F F F p F p F p F car les trois évèemets sot idépedats 4 Doc v Alors v v 4 4 v ) Si au premier lacer o obtiet pile, pour que l évèemet D se réalise (c est à dire pour obteir u double pile pour la première fois au rag 3) il faut obteir face au deuième lacer, il restera lacers pour obteir u double pile pour la première fois. ÉPREUVE ÉCRITE / ÉPREUVE spécifique / optio techologique /

13 cocours, p D p F D p F p D F F F F F p ( F) pf ( ) et ( F ) 3 F F pd ( ) v p D v 3 et, F 5) Si au premier lacer o obtiet face, pour que l évèemet D se réalise (c est à dire pour obteir u double pile pour la première fois au rag 3) il restera lacers pour obteir u double pile pour la première fois p D p D v, F Doc 6) F et Fformet u système complet d évéemets, la formule des probabilités doe : v p D p F D p F D p F p D p F p D F Ce qui doe :, v v v v v ), F 4 * La suite v vérifie v, v et, v v v La partie I permet d écrire : 4 v P D ) pour, E D... D uio d évéemets deu à deu icompatibles O e déduit que pour 9) pe, pe pdk doc p E p E v k k k k k k k 4 4. k k3 3 i i i i 4 4 E posati k, pe 9 i i3 i Fialemet pe Comme et, lim et lim lim pe ÉPREUVE ÉCRITE / ÉPREUVE spécifique / optio techologique /

14 cocours EXERCICE 3 : ),, e (somme de termes strictemet positifs), doc la foctio f est dérivable sur, (iverse d ue foctio dérivable e s aulat pas sur, ) e,, f'( ) h ( ),, h f' e O a,, e, doc la foctio g est dérivable sur légitime de foctios dérivables O a e e e, comme composée e e,, g'( ),, g' f( ) e A A ) A,, hdf f A f f A A A A,, f d g g A g 3) A,, posos u et v'( ) h ( ) f' O a u' et v f classe C sur avec les foctios u et v de classe C sur, puisque u est de, (foctio affie) et v est de classe C sur, ( f est de classe C sur, comme iverse d ue foctio de classe C e s aulat pas sur, ) L itégratio par parties est possible et doe : A A A A hd f f d A f A f d A f A g A g 4) 5) lim h h h o cotiue e e lim h lim e a) La foctio h est cotiue sur, car ulle et la foctio h est cotiue sur, comme quotiet de foctios cotiues sur, : la foctio h est doc cotiue sur sauf e (questio 4) b),, h et,, h, dot le déomiateur e s aule pas sur doc la foctio h est positive sur 4 ÉPREUVE ÉCRITE / ÉPREUVE spécifique / optio techologique /

15 cocours c) hd hd sous réserve de covergece,, f, puisque lim e e A Doc hd f A A L itégrale h d coverge et vaut Coclusio : la foctio h est ue desité de probabilité si, H h t dt e P Z l P Z l H l 3 3 6) 7) 7 4 Pl Z l8 Hl8 Hl Pl Z l8 4 3 P l Z l8 Z PZ l 9 3 8),, H si htdt f e e e,, H e e, puisque,, e e Nous avos doc H e 3 l 3 La médiae de la variable aléatoire Z est doc l 3 9) Sous réserve de covergece A Or A,, h d A f A g A g E Z h d h d A A,, AfA A A e e A A A e E effet lim et lim limite usuelle Comme lim e lim g A l, ous avos A A Coclusio h d gl A La variable aléatoire Z admet doc ue espérace EZ et EZ l 5 ÉPREUVE ÉCRITE / ÉPREUVE spécifique / optio techologique /

16 cocours rapport 6 ÉPREUVE ÉCRITE / ÉPREUVE spécifique / optio techologique /

17 cocours 7 ÉPREUVE ÉCRITE / ÉPREUVE spécifique / optio techologique /

18 cocours 8 ÉPREUVE ÉCRITE / ÉPREUVE spécifique / optio techologique /

19 cocours 9 ÉPREUVE ÉCRITE / ÉPREUVE spécifique / optio techologique /