I - Caractérisation des matrices symétriques définies positives

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1 SESSION Cocours commu Cetrale MATHÉMATIQUES FILIERE MP IA - I - Caractérisatio des matrices symétriques défiies positives IA Soiet N et A S (R O sait que toutes les valeurs propres de A sot réelles Supposos que A soit positive Soit λ R ue valeur propre de A puis X M, (R \{} u vecteur propre associé Puisque X, o a t XX X > puis λ Par suite, les valeurs propres de A sot positives t X(λX t t XX XAX t (I XX Réciproquemet, supposos que toutes les valeurs propres de A soiet positives D après le théorème spectral, A est orthogoalemet semblable à ue matrice diagoale Doc, P O (R, D diag(λ i i D (R/ A PDP PD t P Soit X M, (C E posat X (x i i puis X t PX (x i i, et la matrice A est positive t XAX t X(PD t PX t ( t PXD( t PX t X DX λ i (x i (II i A S (R, (A S + (R Sp(A R + IA Supposos que A soit défiie positive Avec les otatios de la questio précédete, puisque X, o a t XAX > et l iégalité (I s écrit λ Par suite, les valeurs propres de A sot strictemet positives t XAX t XX > Réciproquemet, supposos que les valeurs propres de A soiet strictemet positives L iégalité (II de la questio précédete persiste De plus, t XAX λ i (x i i,, λ i (x i i,, x i (car i,, λ i i et la matrice A est défiie positive X t PX X (car t P GL (R, A S (R, (A S ++ (R Sp(A R+ IB - IB Puisque A ( A est défiie positive, o a det(a ( det(a > car det(a est le produit des valeurs propres de A ( A (i B Soit i, La matrice A s écrit sous la forme A i où D i M i (R, B i M i, i (R et C i M i,i (R http ://wwwmaths-fracefr c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés C i D i

2 ( X Soit X M i, (R O complète X e X M, (R O a A t X AX ( t (i B X ( i C i D i ( X ( A ( t X (i X C i X t XA (i X Par suite, t XA (i X t X AX et de plus, t XA (i X t X AX X X Doc la matrice A (i est défiie positive D après la questio précédete, les valeurs propres de A (i sot des réels strictemet positifs puis le détermiat de A (i qui est le produit des valeurs propres de A (i, est u réel strictemet positif A S ++ (R, i,, A(i S ++ (R et det(a i > IB Soiet a R puis A (a ai M (R L uique valeur propre de A est a et doc Soit A ( a b b c A S ++ (R a > det(a ( >, (a,b,c R 3, telle que a > et ac b > Pour tout X ( x y M, (R, t XAX ax +byxy+cy a (x+ ba y + ac b y a De plus, t XAX a (x+ ba y ac b y + b y y x y X Doc A est défiie a a positive IB3 a D après le théorème spectral, A est orthogoalemet semblable à ue matrice diagoale Notos (λ i i + R + la famille des valeurs propres de A puis (e i i + ue base orthoormée de M +, (R formée de vecteurs propres de A associée Puisque det(a det(a (+ >, aucue valeur propre de A est ulle Puisque A est pas défiie positive, il existe au mois ue valeur propre strictemet égative mais A e peut avoir ue uique valeur propre égative car alors det(a < ce qui est pas Doc A admet au mois deux valeurs propres λ i et λ j, i j, strictemet égative (avec évetuellemet λ i λ j Les vecteurs e i et e j sot deux vecteurs liéairemet idépedats associés à des valeurs propres strictemet égatives b La questio IIB motre que l o e peut avoir Doc, puis + 3 Soiet e et e deux vecteurs propres de A liéairemet idépedats et associés à des valeurs propres strictemet égatives λ et µ Si la derière composate de e est ulle, o peut predre X e car t XAX λ t e e λ e < (car e De même, si la derière composate de e est ulle, X e coviet Supposos maiteat que la derière composate de e et la derière composate de e soiet o ulles Notos a (resp b la derière composate de e (resp e Soit X b e a e La derière composate de X est ulle et d autre part, puisque la famille (e,e est orthoormée, t XAX λb +µa < Das tous les cas, il existe X M +, (R dot la derière composate est ulle et tel que t XAX < ( X c Posos X où X M, (R D après la questio IB, > t XAX t X A ( X et doc A ( est pas défiie positive puis, par hypothèse de récurrece, i, tel que det(a (i Ceci est ue cotradictio et doc la matrice A est défiie positive O a aisi motré par récurrece que N, A S (R, (A est défiie positive i,, det(a (i > IC - L équivalece est vraie si Soiet puis A diag(,, S (R Puisque A admet ue valeur propre strictemet égative, A est pas positive Mais i,, det(a (i L équivalece «A est positive i,, det(a (i» est fausse quad http ://wwwmaths-fracefr c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés

3 ID - Procédure e Maple with(liearalgebra : defpositif :proc(a, local i ; i : ; while i< ad Determiat(Submatrix(A,[i],[i]> do i :i+ od ; evalb(i+ ed ; II - Étude d ue suite de polyômes IIA -, est biliéaire par biliéarité du produit et liéarité de l itégrale, symétrique, positive par positivité de l itégrale De plus, pour P R[X], P,P P (t dt t [,], P (t (foctio cotiue, positive, d itégrale ulle P (polyôme ayat ue ifiité de racies E résumé,, est ue forme biliéaire symétrique défiie positive sur R[X] ou ecore, est u produit scalaire sur R[X] IIB - Soit N P est u polyôme de degré et doc P ( est u polyôme de degré Quad x ted vers, P (x (x ou ecore P (x (x +o((x Puisque P est fois dérivable e, par uicité des coefficiets d u développemet limité, o e déduit que P( ( ou ecore N, P ( ( IIC - Soiet N puis Q R [X] Ue itégratio par parties fourit Q,L ( Q(tP ( (t dt [ ] Q(tP ( (t Q (tp ( (t dt Maiteat, et sot racies de P d ordre et doc racies d ordre ( de P ( O e déduit que Q,L Q (tp ( (t dt Plus gééralemet, soit, Supposos que Q,L ( fourit ( [ ] Q,L ( Q ( (tp ( (t Q(+(tP ( (t dt Q((tP ( (t dt Ue itégratio par parties ( + car et sot racies de P d ordre et doc racies d ordre ( (+ + de P ( O a motré par récurrece que,, Q,L ( ( Q((tP (t dt car deg(q < N, Q R [X], Q,L Q (+ (tp ( (+ (t dt Q((tP ( (t dt E particulier, Q,L http ://wwwmaths-fracefr 3 c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés

4 IID - IID I Soit N Des itégratios par parties successives fourisset I t (t dt [t (t + + ( ( (+(+ ( ( (+(+( ] + t (t + dt ( ce qui reste vrai quad (+! t (t + dt + t ( t dt ( ( (+(+(( + N, I ( (+! t (t + dt IID La formule de la questio IIC reste valable pour Q L P est uitaire de degré Doc dom(p ( (! puis dom(l (! Par suite, L,L ( L ( (tp (t dt ( dom(l I (car deg(l ( (! ( (+! + N, L,L IIE - Pour N, posos K L + L ((X(X ( N, deg(k deg(l + N, dom(k (! + > Puisque N, deg(k, N N, (K N est ue base de R N [X] Esuite, chaque K, N, est de orme Efi, pour tout N, K est orthogoal à K, K,, K d après la questio IC et e particulier, les K, N, sot deux à deux orthogoaux E résumé, N N, (K N est ue base orthoormée de R N [X] Motros alors l uicité de la suite (K N Soit (P N ue suite de polyômes vérifiat les mêmes propriétés que la suite (K N (P N est ue famille orthoormée telle que N, Vect(P Vect(X P,X > et pour N P,X dom(p P, dom(p X dom(p P,P (car P est orthogoal à Vect(P R [X] P dom(p > Aisi, la famille (P N est écessairemet l orthoormalisée de Schmidt de la base caoique (X N ce qui motre l uicité de la suite (P N O a aussi motré que la famille (K N est l orthoormalisée de la base caoique(x N http ://wwwmaths-fracefr 4 c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés

5 IIF - K L P K 3(X(X 3(X et K K, K 3(X et K 5(6X 6X+ III - Matrices de Hilbert 5 (X4 X 3 +X 5(6X 6X+ IIIA - Etude de quelques propriétés de H IIIA H 3 4 et doc H GL (R De plus, 3 3 H H 3 GL 3 (R De plus H / 3 ( ( 5 ( 6 + ( H 3 t (com(h H ( et H Doc IIIA Soit N + det(c,c,,c,c + det(c C +,C C +,,C C +,C + Puis, pour j,, ( C j C + i+j i++ ( ( j+ (i+j (i+ i + i + ( j+ (i+j (i+ i + Par liéarité du détermiat par rapport à chacue de ses premières coloes puis par rapport à chacue de ses liges, o obtiet + ( (+ (+ (+ det(c,,c,c + (+! det(c,,c,c +, où C + ( i + O retrache alors la derière lige à toutes les autres La derière coloe s écrit alors E développat suivat cette derière coloe, o obtiet ( + (+! det i+j i+ ( ( (+! (+( det i+j 4 (!(+! ( (+! det j+ (i+j (i+ http ://wwwmaths-fracefr 5 c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés

6 N 4, + (!( +! IIIA3 Soit Puisque, (! 4 (!(+! (! 4 (!(+! c4 c et, c4 c IIIA4 E particulier, N, et doc H GL (R Esuite, det(h det(h c c 4!!! (! (!(! 3!!! N, det(h N (! (! ( ( + N IIIA5 Soit N Avec les otatios de la partie I, pour,, H ( H et doc,, det(h ( > D après la partie I, H est ue matrice symétrique réelle défiie positive et doc ses valeurs propres sot des réels strictemet positifs N, Sp(H ],+ [ IIIB - Approximatio au ses des moidres carrés IIIB Soit f C ([,],R Soit N Puisque dim(r [X] < +, le théorème de la projectio orthogoale permet d affirmer l existece et l uicité de Π : Π est la projectio orthogoale de f sur R [X] IIIB Soit N Π R + [X] et doc f Π f Π + par défiitio de Π + Aisi, la suite ( f Π N est décroissate D après le théorème de Weierstrass, il existe ue suite de polyômes (P N covergeat uiformémet vers f sur [,] O sait de plus que l o peut imposer N, deg(p (polyômes de Berstei Pour N, o a alors f Π f P (f(t P (t dt et puisque f P ted vers quad ted vers +, o a ecore f P dt f P, lim f Π + IIIB3 Soit N Soit (, Le coefficiet lig i, coloe j, de la matrice du produit scalaire, das la base caoique de R [X] est X i,x j t i t j dt t i+j dt H est doc la matrice du produit scalaire, das la base caoique de R [X] i+j IIIB4 Soit N La famille (K p p est ue base orthoormale de R [X] pour le produit scalaire, O sait alors que Π f,k p K p p http ://wwwmaths-fracefr 6 c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés

7 Soit P la matrice de passage de la base caoique (X de R [X] à la base (K p p Les coefficiets de Π sot les coordoées de Π das la base (X et doc les composates du vecteur coloe P ( f,k p p Esuite, e otat p,, les coefficiets de la matrice P (de sorte que les p i,p sot les coordoées de K p das la base caoique, pour p, f,k p p i,p f,x i, i puis ( f,k p p t P ( f,x i i et fialemet les coefficiets de Π sot les composates du vecteur coloe P t P ( f,x i i La matrice du produit scalaire, das la base caoique est H + et sa matrice das la base (K p p est I + Les formules de chagemet de bases fourisset I t PH + P ou ecore H + ( t P P puis H + Pt P Par suite, les coefficiets de Π sot les composates du vecteur coloe H+( f,x i,, Π(i ( i! i h (,+ i+,j+ f,xi IIIB5 f, f,x f,x +t dt π 4 t l dt +t t + +t dt π 4 D après la questio IIIA, H et doc - Π ( 9 π ( 4 36l +3 π 3 π 4 4 8l, - Π ( ( 36π 4 +9l 8 π 8+36π+96l, 4 - Π ( 3 π ( 4 8l +8 π 8 75π 4 9l π IVA - Somme des coefficiets de H ( 8 75π ( 9l X +(8+36π+96lX+ 3 π 4 8l Partie IV - Propriétés des coefficiets de H IVA H ( puis H ( et doc s s et s O peut cojecturer que N, s IVA a O ote U le vecteur coloe dot toutes les composates sot égales à et o ote (S le système de l éocé Soit X (x i i Puisque H est iversible, (S admet doc u et u seul -uplet solutio b Soit N p a ( p p (S H X U U H U h (, p+,j j h (, s http ://wwwmaths-fracefr 7 c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés

8 N, s a ( p p IVA3 S,Q α i a ( j X i,x j i α i a ( j i+j+ IVA4 E particulier, puisque (K p p est ue base orthoormée de R [X], j i α i Q( s p p a ( p S ( S,S (K p ( N, s p p (K p ( ( S,K p IVA5 Soit p, D après la questio IID, K p ( p+l p ( p+ IVA6 Soit N s p (K p ( (p+ (+( p N, s IVB - Les coefficiets de H IVB Soit p N Aisi, ( p p (+ p sot des etiers p, p ( p p p ( p est le double d u etier et est doc u etier pair p Soiet N puis p, ( ( +p IVB P X (X (+p! p! ( ( p X +uis p p P ( p!( p! (+p! ( p!(p! ( (+p! ( p X p! p puis, puisque P ( ( d après la questio IIB, L P( p p ( ( p (p! p! p p ( +p p ( p ( p N p ( ( +p ( p X p ( ( +p ( p X p http ://wwwmaths-fracefr 8 c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés

9 N, K + L où L ( ( +p ( p X p ( ( ( ( +p +p Pour p,, ( p est u etier relatif pair Pour p, ( p ( est impair IVB3 a D après la questio IIIB4, H P t P où P Mat (,X,,X (K,K,,K Soit i, h (, i,i p j ( (avec la covetio usuelle si > E particulier,h (,, (j eth (, ( ( j, p ( ( j j +i (j i i j ( ( ( ( j j + (j ( j ( N, h (,, et h, (, ( b De maière géérale, pour tout (,, h (, p i, p j, ( i++ j+ ( ( +i ( ( i i ( ( ( ( +i +j ( i+j ( i i j j E particulier, les coefficiets de H sot des etiers ( j ( +j j c Soit (, h (, Max( ( ( ( +i ( i+j ( i i j ( +j ( ( +i Puisque Max(, o a Puisque i et j, est u etier pair de même que ( ( i ( ( i ( ( +j +i +j d après la questio IVB Par suite, chaque j j i i j j est u etier divisible par 4 et il e est de même de h (, (,, h (, 4Z j http ://wwwmaths-fracefr 9 c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés