C 17, avenue du Hoggar Parc d Activité de Courtabœuf, BP Les Ulis Cedex A, France

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1 LA MÉCANIQUE QUANTIQUE PROBLÈMES RÉSOLUS TOME 1 Victor Mikhilovich GALITSKY Boris Mikhilovich KARNAKOV Vldimir Il'yich KOGAN C 17, venue du Hoggr Prc d Activité de Courtbœuf, BP Les Ulis Cedex A, Frnce

2 Grenoble Sciences Grenoble Sciences poursuit un triple objectif : réliser des ouvrges correspondnt à un projet clirement défini, sns contrinte de mode ou de progrmme, grntir les qulités scientifique et pédgogique des ouvrges retenus, proposer des ouvrges à un prix ccessible u public le plus lrge possible. Chque projet est sélectionné u niveu de Grenoble Sciences vec le concours de referees nonymes. Puis les uteurs trvillent pendnt une nnée (en moyenne) vec les membres d un comité de lecture interctif, dont les noms pprissent u début de l ouvrge. Celui-ci est ensuite publié chez l éditeur le plus dpté. (Contct : Tél. : (33) E-mil : Grenoble.Sciences@ujf-grenoble.fr) Deux collections existent chez EDP Sciences : l Collection Grenoble Sciences, connue pour son originlité de projets et s qulité Grenoble Sciences - Rencontres Scientifiques, collection présentnt des thèmes de recherche d ctulité, trités pr des scientifiques de premier pln issus de disciplines différentes. Directeur scientifique de Grenoble Sciences Jen BORNAREL, Professeur à l'université Joseph Fourier, Grenoble 1 Trduction et Comité de lecture pour L mécnique quntique Cet ouvrge est le fruit de l coopértion étblie entre les éditions MIR et Grenoble Sciences. L version frnçise été méliorée et remniée pr Lurent DEROME et Konstntin PROTASSOV, Mîtres de conférences à l Université Joseph Fourier (UJF), vec les suggestions et relectures d Elie BELORIZKY et Jen-Jcques BENAYOUN, Professeurs à l UJF. Grenoble Sciences reçoit le soutien du Ministère de l'éduction ntionle, du Ministère de l Recherche, de l Région Rhône-Alpes, du Conseil générl de l Isère et de l Ville de Grenoble. Illustrtion de couverture : Alice GIRAUD ISBN EDP Sciences,

3 EXTRAITS

4 I ; Op rteurs en m cnique quntique El ments de th orie des repr senttions. Trnsformtions unitires Ecrire les fonctions propres du ryon vecteur r et de l'impulsion p norm es de f on d qute en repr senttion r et p Chercher en repr senttion p l fonction d'onde de l' tt de l prticule tudi dns Aprtir de l fonction d'onde (x y z), clculer l probbilit de pr sence de l prticule telle que z et p y v rient z1 <z<z et p1 <p y <p Chercher l forme explicite des op rteurs r exion b R et trnsltion b T en repr senttion p Montrer que lorsque l'on psse de l repr senttion r lrepr senttion p, l prit de l fonction d'onde pr rpport son rgument nechnge ps Un op rteur lin ire quelconque est, en g n rl, un op rteur int grl. Etblir l reltion entre L(x x ) et L(p p ) qui sont les noyux d'un m me op rteur b L en repr senttion respectivement x et p Chercher l forme des op rteurs d r ;1 et d r ; en repr senttion p. V rier l' glit dr ; = d r ;1 d r ;1 : Soit deux op rteurs hermitiens b A et b B. Indiquer l reltion lint les fonctions propres de l'op rteur b A en repr senttion B et les fonctions propres de l'op rteur bb en repr senttion A. Pour illustrer ce r sultt, tudier les op rteurs bx et bp Notons i i l'ensemble complet des fonctions d'onde suppos es norm es. Exprimer en fonction des l ments mtriciels f ik = Z b i f kd d'un op rteur rbitrire b f : ) le r sultt de l'ction de l'op rteur b f sur l fonction i b) le r sultt de l'ction de l'op rteur b f sur l fonction d'onde d'un tt rbitrire en repr senttion. Comprer les r sultts obtenus.

5 98 Probl mes de m cnique quntique r (r) =(r ; r ), p (r) =(~);3= exp(ip r=~), r (r) =(~) ;3= exp(;ip r =~) p (p) =(p ; p ): p h 1.4. (p) = =~C exp ; i(p;p)x ~ ; (p;p) ~ i L probbilit cherch e vut w = Z z Z p z 1 p 1 Z 1 ;1 jf (x p y z)j dx dp y dz o F (x p y z)= p~ Z 1 e ; ipy y ~ (x y z)dy l fonction (x y z) tnt suppos e norm e l'unit Multiplions les deux membres de l reltion b R (x) = (;x) guche pr p (x) et int grons. Compte tenu delreltion p(x) = ;p(;x), onobtient Z 1 br(p) ;1 c'est- -dire b R(p) =(;p). Z 1 b p (x) R (x)dx = ;1 ;p(;x) (;x)dx =(;p) Il est fcile de trouver l forme de l'op rteur trnsltion b T (x) = (x + ) en repr senttion p :onlerepr sente sous l forme b T = exp ; d dx =exp(ibp=~) (voir le probl me 1.1 b). Etntdonn qu'en repr senttion p, bp = p, onb T = exp(ip=~) De l condition (r) =R (;r), o R = 1 est l prit d' tt, on obtient Z Z (p) = (r) (r)dv = R (r) (;r)dv p p = R Z ;p(;r) (;r)dv = R(;p) (1) (dns l trnsformtion (1) on tenu compte de l propri t p(r) = ;p(;r)) Pr d nition (voir probl me 1.15), on : ~ (x) b L (x) = Z L(x x ) (x )dx : (1) Substituons dns (1) (x )= p~ Z 1 (p ip x ) exp ~ dp

6 8 Probl mes de m cnique quntique.47. D terminer les coecients de trnsmission et de r exion des prticules pour un potentiel de l forme U (x) =(x) (g. 11). Etudier les cs limites E!1et E!. Discuter les propri t s nlytiques des mplitudes (ssimil es des fonctions de l vrible complexe E) der exion A(E) et de trnsmission B(E) des prticules. U (x) Figure 11 x Montrer que les points E = et E = 1 sont des points de brnchement de ces fonctions. En fisnt dns le pln de l vrible complexe E une coupure prtir du point E =suivntledemi-xe r el E>, chercher les singulrit s des fonctions A(E) et B(E) sur le premier feuillet, dit physique, insi que sur les utres feuillets de leur surfce de Riemnn (le feuillet physique est x pr l condition que l prtie imginire de l' nergie E sur le demi-xe r el E> tend vers z ro en restnt toujours positive). Montrer que ces singulrit s correspondent ux p les et tblir le lien entre l position des p les et les niveux du spectre discret..48. Chercher le coecient detrnsmission des prticules trvers une brri re (U > ) de potentiel rectngulire (g. 1) U (x) U (x) = U x< et x> <x< U Figure 1 x Discuter les cs prticuliers suivnts : ) E!1(de fit E U ) b) brri re de fible trnsprence (U ;E)m =~ 1 c) E! (de fit E m U =~ et E U ) d) m U =~ 1 et m E=~ 1. Pour ce dernier cs, comprer u r sultt du probl me pr c dent. U (x).49. M me question que dns le probl me pr c dent, mis pour un puits de potentiel..5. Chercher les nergies pour lesquelles les prticules ne se r chissent pssurl brri re de potentiel de l forme (g. 13) U (x) =[(x)+(x ; )]: x Figure 13

7 13 Probl mes de m cnique quntique Les coecients de r exion R = jaj et de trnsmission D = k jbj =k : R(E) = p E ; p E ; U pe + p E ; U! D(E) = 4p E(E ; U ) ( p E + p E ; U ) : (3) et on, comme ttendu, l reltion R(E) +D(E) =1. Cs limites : R(E) U =16E! pour E!1 D(E) 4 p (E ; U )=U! pour E! U :.47. On suppose ici que les prticules incidentes viennent delguche (x <). L solution de l' qution de Schr dinger d crivnt lr exion de ces prticules est de l forme k(x) = 8 < : e ikx + A(k)e ;ikx x< (k = p me=~ > ) B(k)e ikx x>: Les conditions de rccordement de l fonction d'onde (1) u point x =(voir les reltions () du probl me.1) donnent (1) 1+A = B ik(b ; 1+A) =mb=~ A(k) = m ik~ ; m B(k) = ik~ ik~ ; m : () Les coecients de r exion R(E) =jaj et de trnsmission D(E) =jbj poss dent l propri t R + D =1,deplus R(E) m =E~! pour E!1 D(E) E~ =m! pour E! : Comme dns les reltions (), k = p me=~,les fonctions A(E) et B(E) sont des fonctions nlytiques de l vrible complexe E qui poss dent lespoints singuliers suivnts : ) les points E =et E = 1 sont des points de brnchement b) un p le u point E est d ni pr l condition i p me = m=~. Comme les fonctions A(E) et B(E) poss dent despoints de brnchement, elles constituent desfonctions multiformes (dns le probl me concern, deux feuillets). Pour l d nition univoque des fonctions A(E) et B(E) dns le pln de l vrible complexe E, fisons dns ce pln une coupure suivnt ledemi-xe r el E > (g. ) et d nissons le feuillet physique pr l condition suivnt lquelle pour les points du pln E, djoints directement ubord sup rieur de l coupure (les points de type 1sur l gure), l phse du nombre E est nulle (le feuillet physique est l'un des feuillets de l surfce de Riemnn des fonctions multiformes). Ainsi pour des vleurs

8 VI ; Mouvement dns un chmp mgn tique Chercher les niveux d' nergie et les fonctions d'onde norm es des tts sttionnires d'une prticule chrg e sns spin se trouvnt dns des chmps mgn tique et lectrique homog nes et de direction perpendiculire l'un pr rpport l'utre Chercher les niveux d' nergie et les fonctions d'onde norm es des tts sttionnires d'un oscillteur sph rique chrg (prticule chrg e dns un chmp centrl U (r) =kr =), plc dns un chmp mgn tique homog ne. Dns le cs d'un chmp mgn tique fible, chercher l susceptibilit mgn tique de l'oscillteur dns l' tt fondmentl M me question que dns le probl me pr c dent, mis pour un rotteur chrg pln (prticule chrg e eectunt unmouvementdns un pln une distnce donn e d'un point), plc dns un chmp mgn tique homog ne perpendiculire u pln de rottion Montrer que le spectre d' nergie du mouvement trnsversl d'une prticule chrg e sns spin et plc e dns le chmp mgn tique d'un sol no de (le sol no de est de longueur innie et de section circulire, de sorte que le chmp mgn tique est nul l'ext rieur du sol no de et homog ne et dirig suivnt son xe l'int rieur) est continu. Montrer que le chmp mgn tique ne peut lier l prticule, c'est- -dire qu'il n'existe ps d' tts sttionnires dns lesquels l prticule se loclise dns un domine limit de l'espce suivnt une direction trnsversle. Allimite o le ryon du sol no de R = 1, unchmp mgn tique homog ne s' tblit dns tout l'espce u sein duquel le spectre du mouvement trnsversl de l prticule est discret et il existe des tts sttionnires loclis s (voir, pr exemple, le probl me 6.6). Expliquer comment prtir d'un spectre continu pour R 6= 1, onpsse un spectre discret pour R = Montrer qu'un chmp mgn tique B(r), non nul dns un domine limit de l'espce, ne peut ps lier une prticule chrg e sns spin, c'est- -dire qu'il n'existe ps d' tts sttionnires de l prticule dns lesquels elle se loclise dns un domine limit de l'espce On sit que, dns les cs uni et bidimensionnel, et pour tout chmp ttrctif, il existe toujours des tts du spectre discret dns lesquels une prticule se loclise dns un domine limit de l'espce. Dns le cs tridimensionnel ces tts peuvent ne ps exister si le puits de potentiel est de profondeur susmment fible. Montrer qu'en pr sence d'un chmp mgn tique homog ne, une prticule chrg e cquiert toujours, dns un potentiel ttrctif quelconque U (r) stisfisnt ux conditions U (r), U (r)! pour r!1, des tts sttionnires dns lesquels elle se loclise dns un domine limit de l'espce (et non seulement suivnt ldirection trnsversle), ce qui signie, qu'en pr sence d'un chmp mgn tique, tout puits peut lier une prticule.

9 3 Probl mes de m cnique quntique En posnt dns(1) = = const, on obtient l'hmiltonien d'un rotteur pln dns un chmp mgn tique (I = ): bh = ; ~ I d d' + ie~b c d d' + e B I 8 c : Il est vident que les fonctions propres de l'op rteur b lz propres de l'hmiltonien elles sont donc de l forme = ;i@=@' sont fonctions m = p 1 e im' m = 1 ::: E m = ~ m I ; e~bm c + e B I 8 c () L'expression () montre que le chmp peut tre omis cr c'est une grndeur constnte ind pendnte de l' tt du rotteur. D'pr s (), le chmp mgn tique l ve ldouble d g n rescence des niveux d' nergie excit s du rotteur libre. L'interpr ttion de l'expression () de E m est vidente : dns l' tt d crit pr l fonction d'onde m le rotteur poss de un moment mgn tique M dont lcomposnte selon z est jej~m c insi l' nergie d'interction vec le chmp mgn tique vut ;M B = ; e~bm c : Vu queles vleurs propres E t de l'hmiltonien du mouvement trnsversl de l prticule, Ht b ; = 1 bpt ; e c A t,sontpositives (voir 1.3), qu'en dehors du sol no de, l prticule est libre et que pour E t > il n'y ps de solution d croissnte de l' qution de Schr dinger d'une prticule libre lorsque!1,lesol no de ne peut lier l prticule. On est en mesure de montrer directement, prtir de l forme de l' qution de Schr dinger, que le spectre de l'op rteur Ht b (E t > ) est continu. Pour cel, utilisons le choix suivnt depotentiel vecteur A A t = 1 f()n ^ r, o levecteur n est dirig suivnt l'xe du sol no de et o l fonction f() et B = rot A =( B()) sont d nispr f() = ( B <R R B >R B B() = <R >R: L'hmiltonien Ht b prend l forme bh t = ; e f () : 4c Les fonctions propres de cet op rteur peuvent tre choisies sous l forme Etm = p 1 im' () e p :

10 VI ; Mouvement dns un chmp mgn tique. Solutions 33 Dns ce cs, l' qution de Schr dinger prend l forme clssique d'une qution de Schr dinger unidimensionnelle (() =): ~ (m ; 1=4) ; ~ + vec une nergie potentielle eective ( U e = 1 ~m ; e~mf() c + e f () = E t 8c ; ef() ) ; ~ c 4 dont l'llure est donn e sur l g. 5 (l forme de l courbe d pend des vleurs des prm tres m, B, etc. le dessin correspond u cs m 6= et une vleur susmment grnde de B,desorte que B R ~c=jej). Sur l bse de consid rtions g n rles (entre l nture du spectre d' nergie et l forme du potentiel), on constte que, pour le potentiel U e du probl me et E t > quelconque, il n'y qu'une solution (et une seulement) de l' qution de Schr dinger (l seconde diverge pour! ). Cette solution ne d cro t videmment pslorsque!1,desorte qu'elle d crit une prticule qui n'est ps loclis e dns un domine limit de l'espce. L gure permet glement de sisir l diff rence qulittive entre les cs o R 6= 1 et R = 1. U e R Figure 5 R!1 Pour R 6= 1, ilydes niveux d' nergie qusi discrets (les niveux les plus bs sont mrqu s sur l gure). Pour R!1,llrgeur de ces niveux tend vers z ro, et ils se trnsforment enniveux hbituels du spectre discret d'une prticule chrg e dns un chmp mgn tique homog ne L solution du probl me s'obtient prtir de l solution du probl me pr c dent Pour r soudre ce probl me, utilisons l m thode vritionnelle. Avec le choix de juge du potentiel vecteur A = 1 B ^ r, l'hmiltonien de l prticule prend l forme (on utilise le syst me de coordonn es cylindriques vec l'xe z est dirig le long du chmp mgn tique) o bh = b H () t + bp z + U (r) (1) bh () t = + ~ b l z ; e~b b lz c + e B 8c :

11 VII ; Evolution des tts en fonction du temps Chercher l fonction d'onde de spin et les vleurs moyennes des composntes du spin d'une prticule non chrg e de spin s = 1= et de moment mgn tique plc e dns un chmp mgn tique homog ne G n rliser le r sultt obtenu dns le probl me pr c dent ucsd'un chmp mgn tique homog ne non sttionnire de direction constnte, c'est- -dire de l forme B(t) =B(t)n Montrer que pour une prticule chrg e ynt unspinetunmoment mgn tique de spin non nuls dns un chmp mgn tique homog ne vrible en fonction du temps B(t) (et un chmp lectrique rbitrire) il n'y ps de corr ltion entre les vribles de spin et d'espce Une prticule de spin s =1= et de moment mgn tique est plc e dns un chmp mgn tique homog ne B(t) de l forme B x = B 1 cos! t B y = B 1 sin! t B z = B o B, B 1,! sont desconstntes. A t =,lprticule se trouve dns l' tt ynt une une projection du spin sur l'xe z gle s z =1=. Chercher les probbilit s d'voir les di rentes vleurs de l projection du spin sur l'xe z l'instnt t. Discuter, en prticulier, le cs o jb 1 =B j1 noter dns ce cs l'eet de r sonnce de l probbilit de renversement du spin pour l pulstion! Pour une prticule de spin s =1= et de moment mgn tique plc e dns un chmp mgn tique homog ne sttionnire, chercher les op rteurs vecteur du spin bs(t) en repr senttion d'heisenberg. On peut r soudre ce probl me de deux mni res : ) en utilisntltrnsformtion unitire lintles op rteurs des grndeurs physiques en repr senttions d'heisenberg et de Schr dinger b) en r solvnt les qutions de mouvement pour les op rteurs d'heisenberg. D terminer les vleurs moyennes des composntes du spin en fonction du temps (comprer u probl me 7.41) M me question que dns le probl me pr c dent, mis pour une prticule dns un chmp mgn tique homog ne non sttionnire dont ldirection est constnte R soudre le probl me 7.44 en utilisnt lerepr senttion interction (voir, pr exemple, probl me 7.37). On choisit pour l'hmiltonien non perturb bh = ;B 1 b z :

12 Chpitre 8 Clcul des perturbtions. Perturbtions soudines et dibtiques 8.1. Les fonctions propres et les vleurs propres de l'hmiltonien non perturb sont de l forme (voir.1) () n = r (n +1)x sin E n () = ~ (n +1) n = 1 ::: m Un clcul simple donne ( ) ) E n (1) 1 = V nn = V + 1+(;1) n (n +1) b) E (1) n = V nn = V ( (n +1)b ; b + sin (n +1) L condition de vlidit du clcul des perturbtions V nm je () n ; E () m j donne ) : jv j ~ (n +1): (1) m L reltion (1) montre que quelle que soit l'mplitude des perturbtions jv j,pour n susmment grnd, le clcul des perturbtions permet de d terminer le d plcement des niveux d' nergie. 8.. Dns l'expression de E (1) n, E (1) n Z = V (x) (n +1)x sin dx = 1 Z V (x) 1 ; cos (n +1)x dx le second terme sous le signe int grl contennt cos (n+1)x oscille rpidementpour n 1, desorte que, pour n!1,l'int grle concern e tend vers : Z V (x)cos (n +1)x dx = ; (n (n +1)x sin dx! :

13 314 Probl mes de m cnique quntique o P l et P jmj l sont respectivement les polyn mes de Legendre et les fonctions de Legendre ssoci es. Quelques premi res hrmoniques sph riques sont : Y = 1 p 4 Y 1 = r Y 1 = i r Y 1 1 = i Fonctions de Bessel 3 4 cos Y = r 3 8 sin ei' 15 8 cos sin ei' Y = ; r r 5 16 (1 ; 3cos ) 15 3 sin e i' : L fonction de Bessel est l solution r guli re en z =de l' qution de Bessel Elle est donn e pr l s rie z w + zw +(z ; )w =: J (z) = 1X k= (;1) k (z=) k+ ;(k + + 1);(k +1) : L deuxi me solution ind pendnte (singuli re en z =)del' qution de Bessel est donn e pr l fonction de Neumnn N (z) d nie comme Pour = n, N (z) = J (z)cos ; J ; (z) : sin N n (z) = lim!n N (z): On utilise glement les fonctions d'hnkel H (1) (z) et H () (z) d nies comme H (1 ) (z) J (z) in (z): Pour l'rgument z imginire, on introduit les fonctions de Bessel modi es et les fonctions de McDonld : I (z) i ; J (iz) K (z) i+1 H (1) (iz): Pour z!, ces fonctions ontlecomportement 1 z J (z) ;( +1) N (z) ; ;() pour > N (z) z ln z n (n ; 1)! K n (z) pour n =1 ::: K (z) ln z z