"FICHES" DE REVISION DU COURS DE PHYSIQUE QUANTIQUE

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1 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque "FCHES" DE REVSON DU COURS DE PHYSQUE QUANTQUE D.Marchad

2 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque D.Marchad

3 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 3 CH - Noos Géérales -/ Descrpo de l éa d u sysème : A u sa doé fxé, l éa d u sysème es déf par la doée d u e ψ apparea à l espace des éas E. Remarque : E éa u espace vecorel, ce posula mplque u prcpe de superposo : oue combaso léare de veceurs d éa es u veceur d éa. -/ Descrpo des gradeurs physques : b g Toue gradeur physque mesurable A es décre par u opéraeur opéraeur es ue observable.  agssa das E ; ce 3-/ Mesure des gradeurs physques : a) résulas possbles La mesure d ue gradeur physque A e peu doer comme résula qu ue des valeurs propres de l observable  correspodae. Remarque : ue mesure de A doera oujours ue valeur réelle pusque hermque.  es par défo b) prcpe de décomposo specrale b-) cas d u specre dscre o dégééré : Lorsqu o mesure la gradeur physque A sur u sysème das l éa ψ ormé, la probablé Pa d ober comme résula la valeur propre b g o dégéérée a de l observable  correspodae es : Pa u bg= u es le veceur propre ormé de  assocé à la valeur propre a. b-) cas où a es dégéérée : (de degré de dégéérescece g ) bg= = Pa g o b g ψ où u ψ où u = g es u sysème orhoormé de veceurs forma ue base das le sous-espace propre E assocé à la valeur propre a. b-3) cas d u specre cou o dégééré : La probablé dp α b g = bg d ober u résula comprs ere α α α e + d vau : dp α v ψ dα où v α es le veceur propre correspoda à la valeur α propre α de l observable  assocée à A. D.Marchad

4 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 4 4-/ Réduco du paque d odes : S la mesure de la gradeur physque A sur le sysème das l éa ψ doe le résula a, l éa P ψ du sysème mmédaeme après la mesure es la projeco ormée de ψ sur le ψ P ψ s ous espace propre assocé à a. 5-/ Evoluo das le emps : L évoluo das le emps du veceur d éa ψbg es rége par l équao de Schrödger : d () Ĥ() () d ψ = ψ où Ĥ() es l observable assocée à l éerge oale du sysème. 6-/ Règles de quafcao : Pour ue parcule sas sp soumse à u poeel scalare : * à la poso r x, y, z b g de la parcule es assocée l observable R ( X,Y,Z ) pp d x, py, pz P ( P X,P Y,PZ) * à l mpulso de la parcule es assocée l observable elles que : R,R P,P j = j = R,P j = δj L observable  qu décr ue gradeur physque A défe classqueme, s obe e remplaça das l expresso coveableme symérsée de A, r e p par les observables R e P respecveme. 7-/ Prcpe de superposo e prévsos physques : a) Soe ψ e ψ deux éas ormés e orhogoaux : R S T ψ ψ = ψ ψ = ψ ψ = ψ e ψ so par exemple deux éas propres d ue même observable B assocés à deux valeurs propres dfférees b e b. Cosdéros u éa ormé ψ, superposo léare de ψ e ψ : ψ = λψ + λ ψ λ + λ e = j; alors la probablé de rouver b lors d ue mesure de B es λ, celle de rouver b es λ. b) S deux observables A e B (correspoda à deux gradeurs physques A e B) commue A,B  ψ = alors ue base commue m = α ψ ψ r, so : B ψ = β ψ D.Marchad

5 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 5 Pour prédre les résulas de mesure de A e B, o développe l éa mψ r us à S ψ du sysème sur la base des éas propres comm A e B : ψ = a ψ. α avec la probablé a, le sysème mmédaeme après la mesure es d mesurebag l éa ψ, éa propre de B. La mesure de B doera doc β avec la probablé a récproqueme. la prédco des résulas de mesures es alors dépedae de l ordre des mesures. c) S A,B l fau alors décomposer l éa ψ du sysème sur la base des veceurs propres de A ou B selo que l o mesure d abord A ou B. Â ψ = α ψ e ψ = a ψ = b Φ B Φ = β Φ S mesurebag α avec la probablé a, le sysèm e mmédaeme après la mesure es das l éa ψ. Comme ψ es pas u veceur propre d e B, l fau décomposer ψ sur la base mφ r, so : ψ = c Φ. La mesure de B doera doc β avec la probablé c e le sysème, mmédaeme après la mesure sera das l éa Φ. S o mesure de ouveau A, l faudra de ouveau décomposer Φ sur la base mψ r. La prédco des résulas de mesures es doc dépedae cee fos de l ordre des mesures. d) E.C.O.C. O appelle «Esemble Comple d Observables qu Commue» u esemble mmal d observables qu commue deux à deux e el que la doée d u jeux de leurs valeurs propres suff à déermer sas ambguïé u veceur propre uque de leur base commue de veceurs propres. as e D.Marchad

6 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 6 CH - Eerge e mpulso -/ Cas des sysèmes coservafs : L équao d évoluo du veceur d éa ψ d d ψ = b g es rége par l équao de Schrödger : ψ () Ĥ() ψ () qu s écr e représeao { r} : ( r, ) = H ( ) ψ ( r, ) Lorsque le Hamloe Ĥ (observable éerge oale) d u sysème physque e déped pas explceme du emps o d que le sysème es coservaf. Das ce cas, oues les propréés physques du sysème qu se rouve das u éa propre de Ĥ e vare pas au cours du emps : les éas propres de H so appelés pour cee raso «éas saoares». - Résoluo de l équao de Schrödger das le cas d u sysème coservaf a) S Ĥ e déped pas explceme du emps, le emps e les varables spaales so séparables : ψ ψ E r, = re b g b g b g coassa ψb g : bg o développe ψ base) : ψbg = C, τbg ϕ, τ où C, τbg = ϕ, τ ψbg, τ bg o obe alors ψbg, b) Pour rouver ψ développeme précéde l éa propre, τ bg sur la base des éas propres ϕ, τ de H. (ceux-c forme ue, e mulpla chaque coeffce C du ϕ de H : ψ = C e ϕ b g,τ b g, E éa la valeur propre de assocée à E par e E b g b g, τb g, τ, τ Das le cas où ψbg E b g es lu même éa propre de Ĥ, alors : ψbg = e ψbg E b g ψ : ce so des éas b g e ψbg e dffére alors que par u faceur de phase global e saoares. 3-/ Forme parculère de Ĥ : S Ĥ se décompose e la somme de deux Hamloes H ( q) +H ( q ) alors : H,H = e les varables q e q so séparables. Les focos propres e les valeurs propres de Ĥ so alors elles que : ψ q, q = ψ q ψ q e E = E + E. b g b g b g 4-/ E représeao mr r l opéraeur mpulso P ag comme l opéraeur. Ĥ D.Marchad

7 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 7 L égalé de Heseberg poso-mpulso (de : «relao d cerude») s écr pour ue dmeso : x p x où x e p x so les écars quadraques moyes : x = x x e px = px px D.Marchad

8 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 8 CH - Equao de Schrödger -/ Posula : L évoluo das le emps du veceur d éa ψ où Ĥ() d d ψ es l observable assocée à l éerge oale du sysème. b g es rége par l équao de Schrödger : () = Ĥ () ψ () () b g Exemple d ue parcule de masse m soumse au poeel Vr, P H = + V( R, ) m Sacha qu e représeao r l opéraeur poso mr l opéraeur mpulso P ag comme l opéraeur R ag comme la mulplcao scalare par r, l équao () s écr : r r Vr r ψb, g = m ψb, g+ b, g b g ψ, -/ Desé e coura de probablé (parcule sas sp) b g b g e que ρ r, = ψ r, es ue desé de probablé. La probablé dpbr, g de rouver à l sa la parcule das le volume fésmal d 3 r sué au po r vau : 3 dpbr, g = ρbr, gd r l es possble de rouver u veceur Jr b, g, coura de probablé, codusa à ue équao de coservao locale de la probablé, sous la forme : ρ br, g +. Jr b, g = avec : b, g F Jr = ψ ψ ψ ψ = Re ψ ψ m m K J 3-/ Evoluo de la valeur moyee d ue observable : S ψ b g es ormé, la valeur moyee de l observable  à l sa es : A RST HG UVW () = ψ () A ψ () d A e so évoluo es doée par : A A,H = () + d D.Marchad

9 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 9 4-/ Propréés des soluos de l équao de Schrödger : - Elles apparee à l esemble L des focos de carré sommable e so de classe C. - ψ e ψ so coues au vosage d ue dscoué de premère espèce du poeel (ou : coué de la dérvée logarhmque de ψ, souve plus praque). D.Marchad

10 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque CH V - Oscllaeur harmoque -/ Défo e mporace : * O désge sous le om d oscllaeur harmoque le sysème cosué par u po maérel de masse m, élasqueme lé à u cere, c es-à-dre soums à ue force de rappel proporoelle à sa dsace au cere. * Chaque fos que l o éude le comporeme d u sysème physque au vosage d ue poso d équlbre sable, o abou à des équaos qu, à la lme des pees oscllaos, so celles d u oscllaeur harmoque. Le champ élecromagéque es formelleme équvale à u esemble d oscllaeurs harmoques dépedas. -/ Prcpe du formalsme opéraoel de l oscllaeur harmoque (e mécaque quaque) P * Le hamloe a pour expresso : H= + X m m ω so e varables rédues (sas dmeso) : H P X H= = avec X,P + = ω m ω P mω = = X Or : X- P X + P = X + P = a a = N (avec : a, a = ) H=N+ e doc H= N+ ω. O es rameé à chercher le specre de l opéraeur N * Le specre de l opéraeur N es cosué des eers. F * Le specre de Ĥ es doc : E = + HG K Jω (o dégééré), éa propre correspoda a = + + * Passage d u éa à u aure : où a e aso respecveme les a = opéraeurs créao e ahlao. D.Marchad

11 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque * La foco d ode ψ assocée à l éa saoare d éerge E es le produ d u polyôme b g d Herme de degré par ue gaussee. La paré de ψ es 3-/ Oscllaeur à deux dmesos Das le cas d u mouveme à deux dmesos lorsque la force de rappel es la même selo deux drecos orhogoales, l expresso du hamloe es : P X H = + mω X H=H m + H avec alors E x, = d x+ y+ ω x, yeers y P Y H = + mω Y m b g b g b g e ψ x y = ψ x ψ y x,, y x y D.Marchad

12 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque CH V - Momes céques - «orbal» oé L s l possède u équvale classque «sp» oé S s l s ag d u mome rsèque sas équvale classque -/ Défo e prcpales propréés : O appelle mome céque J ou esemble de ros observables J,J,J vérfa les x y z J,J x y = J z relaos de commuao : J,J y z = Jx (qu o peu résumer par J J= J ) J,J z x = Jy So J = J x + J y + J l opéraeur carré scalare du mome céque z J. Ce opéraeur es hermque (pusque J,J,J x y z le so). Ĵ commue avec les composaes de J : Ĵ,J = J e J admee u sysème de veceurs propres commus, j, mr, les équaos aux z Ĵ, j, m = j( j+ ), j, m valeurs propres éa les suvaes : Ĵ z, j, m = m, j, m (l dce es écessare car das le cas gééral, J e J z e cosue pas u ECOC) Les seules valeurs possbles pour j so les ombres eers (momes orbaux) ou 3 dem-eers posfs ou ul b,,,,, g (sps). Pour ue valeur fxée de j, les seules valeurs possbles pour m so les b j + g ombres b j, j+,, j, jg; m es doc eer s j es eer, dem-eer s j es dem-eer. Remarques : ) Au leu d ulser les composaes Je J du mome céque J, l es plus commode d rodure les combasos léares ( ) ( ) Ĵ ±, j, m = j j+ m m±, j, m± x y J = J ± J. O a alors ± x y ) E représeao mrles r focos propres de Y lm bθ, ϕg. J e Jz -/ Composo (ou addo) des momes céques : m ± z J,J J,J = = e : so les harmoques sphérques D.Marchad

13 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 3 -/ Défo : J=J+ J es déf comme le mome céque somme des momes céques parels J e J z -/ Ulé : O coaî ue base de l espace des éas cosuée des veceurs propres commus à J,J z,j,j z. Cepeda J e J e so pas gééraleme des cosaes du mouveme H,J, H,J alors que J e Jz le so ( H,J = H,J z = ). O cherche doc à cosrure ue ouvelle base formée de veceurs propres commus à J e J z à parr de la base précédee. L érê de cee ouvelle base se compred aséme. Pour déermer les éas saoares du sysème, c es-à-dre les éas propres de Ĥ, l es plus smple de dagoalser la marce représea Ĥ das cee ouvelle base. E effe,comme H,J = H,J =, cee marce se décompose e aua de blocs qu l y a de sous- espaces propres assocés aux dvers esembles de valeurs propres de J e J z. Sa srucure (dagoale par blocs) es beaucoup plus smple que celle de la marce représea Ĥ das la base des veceurs propres commus à J,J z,j,j z pusque J J e commue e gééral avec Ĥ z z 3-/ Les deux bases sadards possbles : a) Celle cosuée des veceurs propres commus à J,J z,j,j z : oée : m j, j, m, mr m j, m j, mr mm, mr à j e j fxés Ĵ m, m = j( j+ ) m, m Ĵ m, m = j ( j + ) m, m elle que : e Ĵ z m, m = m m, m Ĵ z m, m = m m, m b) Celle cosuée des veceurs propres commus à J,J,J,J z : oée : m j, j, jm, r m jm, r à j j e fxés Ĵ jm, = j( j+ ) jm, Ĵ jm, = j( j+ ) jm, elle que : e Ĵ z jm, = m jm, Ĵ jm, = j( j + ) jm, Avec : j j j j+ j e j m j par sau d ue ué ( b j + g valeurs) 4-/ Passage d ue base à l aure : Par «jeco» de la relao de fermeure de l aure base + j + j jm, = jm, = m, m m, m jm, m= j m= j j+ j coeffces de Clebsch-Gorda m, m = m, m = j, m j, m m, m + j j= j j m= j coeffces de Clebsch-Gorda e récproqueme : D.Marchad

14 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 4 5-/ Hamloe d u élecro (de charge e e de masse m e) das u champ magéque cosa B e u poeel scalare V : operaeur eerge poeelle ( ) () P e H= ev + B. L+S me me µ B -e e M = gl L= L gl =, µ B = me me E ( ) = M. B= ( M+ M). po mageque B où µ B e e M = ge S= S ge, µ B = me me gl e g e so les faceurs de Ladé e µ B F q le magéo de Bohr HG m K J E ev pobelecrqueg = d où bg D.Marchad

15 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 5 CH V - Mouveme d u élecro b g das u poeel ceral Vr - Aomes hydrogéoïdes -/ Sysème à deux corps - mouveme relaf : So u sysème physque compora deux parcules de masses m e m de coordoées r e r e do l eraco muuelle es décre par u poeel Vbr rg e dépeda par coséque que de la poso relave des deux parcules. O peu das ce cas dsguer le mouveme d esemble du sysème (mouveme du cere de masse) e le mouveme relaf des deux parcules (mouveme d ue parcule fcve de masse µ, de rédue, elle que µ = m + m ). b g b -/ Cas d u poeel ceral scalare V = V r où r = r r Aomes hydrogéoïdes : g a) défo : Les éas saoares d u aome de rag Z, osé Z g fos, se déduse mmédaeme de ceux d u aome d hydrogèe, d où le om d aomes hydrogéoïdes doé à ces os cosués d u oyau de charge Ze e d u élecro de charge e, eragssa par u poeel coulombe e r. b) Specres éergéques : - cou 4 µ Ze - dscre (éas lés). Les éerges so doées par E = b4πε g b g La quaé a = 4 πε µ Ze Ze bg e bg E = 8πε a Das le cas parculer de l aome d hydrogèe : Z =, µ m e (masse du oyau >> m e) R 3, 6 E E = ev = S a = a 5, A rayo de Bohr T b c Nh ; b N, - g; b g e bspg b g a les dmesos d ue logueur : L éa quaque d u élecro es caracérsé par quare ombres quaques : ll l m l m l s c) Nomelaure d u éa élecroque : l j g b D.Marchad

16 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 6 avec : l = éa s (Sharp) ; l = éa p (Pfud) ; l = éa d (Dffuse) ; l = 3 éa f (Fudameal) j = l± Remarque : Das l approxmao des focos d ode mooélecroques, l éerge d u élecro d u aome polyélecroque déped des ombres quaques e l (à cause des coeffces d écra de Slaer qu dépede de mas auss de l ). Chaque élecro «vo» ue charge effecve Zb, lg e du oyau, car elle es écraée par les aures élecros. D.Marchad

17 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 7 CH V - Sysèmes de parcules deques Prcpe de Paul -/ Parcules deques : Deux parcules so deques s oues leurs propréés rsèques so les mêmes (exemple deux élecros, deux proos ec...) e qu o peu, par coséque, échager leur rôle das u sysème sas que la physque de ce sysème e so chagée. Les prévsos des résulas de mesure physques dove êre dépedaes de la uméroao de ces parcules. Symére des éas : Le veceur d éa de deux parcules deques es so symérque so asymérque par permuao des deux parcules (cee permuao peu êre cosdérée de faço équvalee comme celle de la uméroao des parcules, ou celle de leurs ombres quaques, c es-à-dre de leur rôle das le sysème). -/ Prcpe de Paul : - Cas de deux parcules : Toues les parcules de la aure apparee à l ue ou l aure des deux classes suvaes : - les bosos, pour lesquels le veceur d éa de deux parcules deques es oujours symérque par l opérao d échage P - les fermos, pour lesquels le veceur d éa de deux parcules deques es oujours asymérque par l opérao d échage P. ( P échage oues les varables : d espace e de sp) De plus : - Toues les parcules de sp eer ou ul so des bosos (phoos, parcules α ec...). - Toues les parcules de sp dem-eer so des fermos (élecros, proos, euros, 3 He, ec...) - Cas de N parcules (Prcpe de Paul gééralsé) : - Le veceur d éa représeaf d u sysème de N bosos deques es oaleme symérque par rappor aux permuaos de ces parcules. - Le veceur d éa représeaf d u sysème de N fermos deques es asymérque par rappor aux permuaos de deux quelcoques de ces parcules. 3-/ Prcpe d excluso : D.Marchad

18 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 8 Pour u sysème de fermos, l e peu y avor plus d ue parcule das u éa quaque. Cocluso : - Ce prcpe perme de compredre, e gros, comme se cosue les couches élecroques des aomes (cec e sera rgoureux que s l hamloe d u aome complexe se «sépara» effecveme, ce qu es pas le cas à cause des eracos élecroques). - Ce prcpe perme de compredre e Physque Sasque, la dfférece de comporeme des bosos e des fermos, à basse empéraure e parculer. - ec... - D.Marchad

19 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 9 CH V - Problèmes saoares -/ Théore des perurbaos saoares - Défo : L éude quaque des sysèmes physques coservafs (c es-à-dre do l hamloe e déped pas explceme du emps) es basée sur l équao aux valeurs propres de l opéraeur hamloe. La héore des perurbaos saoares es ue méhode d approxmao qu perme das ceras cas, d ober aalyqueme des soluos approchées de cee équao aux valeurs propres. -/ Méhode e résulas de la héore : La héore es applcable lorsque l hamloe Ĥ du sysème éudé peu êre ms sous la forme H= H + W W<<H ( ) hamloe o perurbe perurbao -/ Perurbao d u veau o dégééré E bg : -Correco au premer ordre à l éerge : La correco au premer ordre à ue éerge o-dégéérée Ebg es smpleme égale à la valeur moyee du erme de perurbao W das l éa propre o-perurbé ϕ. ( ) E = E + ϕ ϕ Ŵ () E -Correco au premer ordre au veceur propre : ϕp Ŵ ϕ ψ = ϕ + ϕ ( ) ( ) p p E Ep correco au er ordre -Correco au secod ordre à l éerge : E ( ) = ϕ Ŵ ϕ E p ( ) ( ) E p p d où, à l ordre : E ϕ ( ) p Ŵ ϕ = E + ϕ Ŵ ϕ + ( ) ( ) p E E p () E -/ Perurbao d u veau dégééré E bg : ( E ) D.Marchad

20 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque La correco au premer au premer ordre de l éerge es obeue e dagoalsa la perurbao das le sous-espace de dégéérescece assocé à Ebg. Les veceurs propres correspode à l approxmao d ordre. -/ Méhode des varaos : -/ Prcpe : l s ag d ue méhode d approxmao applcable aux sysèmes coservafs basée sur le héorème de Rz : «La valeur moyee de l hamloe Ĥes saoare au vosage de ses valeurs propres dscrèes». O chos (e prcpe de faço arbrare, e fa, e ulsa des crères physques) ue famlle de es ψ α b g dépeda d u cera ombre de paramères (symbolsés parα ). O calcule la valeur moyee Ĥ ( α ) de l Hamloe Ĥ das ces éas e o mmse Ĥ ( α ) par rappor aux paramèresα. La valeur mmale as obeue cosue ue approxmao (par excès) du veau fodameal E du sysème. Les es ψbαg so appelés es d essa e la méhode elle-même «méhode des varaos». - Famlle d essa forma u sous-espace vecorel : O pred pour es d essa l esemble des es apparea à u sous-espace vecorel F de l esemble des éase. Das ce cas, la méhode des varaos reve à la soluo de l équao aux valeurs propres de l hamloe Ĥ à l éreur de F e o plus das E ou eer. Exemple : méhode LCAO (méhode des combasos léares d orbales aomques, ulsée e physque moléculare) O cherche les focos d ode des élecros das ue molécule comme des combasos léares des focos propres assocées aux dvers aomes cosua la molécule, raés comme s ls éae solés. Les paramères varaoels so alors les coeffces de ces combasos léares : ψ = C ϕ D.Marchad

21 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque CH X : METHODES D'APPROXMATON POUR LES PROBLEMES DEPENDANT DU TEMPS -/ Hypohèses e poso du problème So u sysème physque d'hamloe Ĥ, de valeurs propres E e d'éas propres Φ. Ĥ e déped pas explceme du emps, de sore que ses éas propres so saoares. à = ue perurbao W () es applquée au sysème physque. So hamloe deve alors où : λ es u paramère réel sas dme so << e V ( ) ue observable pouva dépedre explceme du emps e ulle pour <. aleme, le sysème es das l'éa saoare Φ de valeur propree. A parr de l'sa = où la perurbao es applquée, le sysème évolue (pusqu'e gééral, Φ 'es plus éa propre de l'hamloe perurbé). O se propose de calculer la probablé Pf bg de rouver à l'sa le sysème das u aure éa propre Φ f de Ĥ. E d'aures ermes, l s'ag d'éuder les rasos qu peuve êre dues par la perurbao W () ere les éas saoares du sysème o perurbé. -/ Prcpe du calcul : ( ) = + ( ) avec : ( ) = λ ( ) H H W W V Sur, le sysème évolue coforméme à l'équao de Schrödger : d Ψ () = H + λ V() Ψ() () d Avec Ψ = = Φ b g (codo ale à = ). bg bg m r bg bg d bg bg La probablé cherchée es doc égale à : Pf = Φ f Ψ E représeao Φ Ψ = C Φ avec C = Φ Ψ e : Φ () () ; V Φ = V Φ H Φ = Eδ E projea l équao () sur Φ o obe : Soluo de () : b g b g d d C E C b g = b g + λ C V erme de couplage b g D.Marchad

22 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque bg bg E bg O cherche des soluos de la forme C = b e 3 où les coeffces b so des focos leeme varables avec le emps (méhode classque de de «la varao de la cosae»). E E E pora (3) das () e e rodusa la pulsao de Bohr ω = o obe : Equaos de perurbao : bg λ : d d b e ω V = λ b g b g bbg b4 g O développe b e pussaces de bbg bbg bg bbg = + bg + bbg λ λ bg + so, e repora das (4) e e égala les coeffces de λ r das les deux membres : d'où : Cbg = bbg e bg bg bg E bbg bg z ω ' = e Vb' g d' pus : Ψ = Cbg Φ à l'ordre e λ clu. bg d bg= Φ Ψbg = bg = bg Φ bbg bg = e par sue : 3-/ Probablé de raso P f : P C b f f f f S Φ avec : bfb g bbg f bg bbg = + λ f bg+ f f b g z = = b g z = b g P bbg f f f λ ω ' ω ' f e λvf ' d' e Wf ' d' P f bg= z ω ' f e W ' d' 4-/ Cas parculer mpora : perurbao susoïdale ou cosae coupla deux éas saoares dscres Φ e Φ : bg bg Supposos que Wbgso elle que W = λ V, avec : W = λv e Vbg = V s ω b5g ou Vbg = V cosω b6g où V es ue observable dépedae du emps e ω ue pulsao cosae. S o fa ω = das (6) e s >> (praqueme ) (résoace parfae) ω la probablé de raso Φ Φ f par ué de emps pour ue perurbao cosae W es doée par : f f b g b g D.Marchad

23 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 3 p f d f f δω d f dpf π π = = Wf δ E E = W d Deux éas dscres Φ e Φ f e peuve êre couplés par ue perurbao résoae cosae que s ls o la même éerge E = E e s = Φ Φ. d f Wf f W S ω e s >> (praqueme ) (résoace parfae) ω la probablé de raso Φ Φ f par ué de emps pour ue : perurbao susoïdale de pulsao cosae ω es doée par : p dp f fbg= ω = Wf δ ω ( Ef E ) = Wf δ ( ω ω f ) d π π Deux éas dscres Φ e Φ f d éerges respecves E e E f e peuve êre couplés de faço résoae par ue perurbao susoïdale de pulsao cosae ω que s : E = E + ω e s W f. 5-/ Couplage avec les éas du specre cou : E f f appare maea à ue pare coue du specre de H (les éas fals so repérés par des dces cous : par exemple les ros composaes du veceur d ode pour ue ode plae ). Φ Ψ f b g représee ue desé de probablé. Les prévsos physques relaves à ue mesure doée fo alors erver ue sommao de cee desé de probablé sur u cera groupe d éas fals. La probablé par ué de emps pour qu ue perurbao résoae cosae duse des rasos ere u éa al dscre d éerge E e u éa fal d u couum, d éerge E f repéré par la valeur β f d u paramère cou, es doée par la règle d or de Ferm : où d p Φ βf, Ef = π β f, Ef = E W Φ ρ β f, Ef = E, E = E es la desé d éas fals. ρβ f f ( ) ( ) Das le cas d ue perurbao résoae susoïdale de pulsao cosae ω, o a de la même faço : π ( Φ, ), β f f = β f f = + ω Φ ρ( β f, f = + ω) p E E E W E E D.Marchad

24 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 4 CH X - Problèmes o saoares Rappel sur les sysèmes à «deux éas» ) Valeurs propres e éas propres d u opéraeur Pour ces sysèmes l espace de Hlber des éas quaques es à deux dmesos. l es sous-edu par ue base orhoormée{ ψ, ψ }. Tou éa quaque du sysème cosdéré s écr ψ = α ψ + β ψ ; α + β = Tou opéraeur léare es ue marce e oue observable es de la forme φ a ce A= a, b, c φ R ce b Ses valeurs propres so ( ( ) ) λ = 4 a+ b± a b + c ± e les veceurs propres correspoda s écrve φ ψ+ = cosθ ψ + sθe ψ π c avec a θ = θ,, φ [, ] φ ψ sθ ψ cosθe ψ a b π = +. Sysème à veaux avec perurbao dépedae du emps So u sysème aomque avec seuleme deux veaux saoares e d éerges ω e ω ( ω < ω). Au emps = le sysème se rouve das so éa fodameal e ue perurbaow e dépeda pas du emps es «brachée». O se propose de calculer la probablé de rouver le sysème das so éa excé au emps. So Ĥ le Hamloe du sysème o perurbé avec H () = ω e H = ω défssa ses deux éas saoares. L équao de Schrödger régssa l évoluo de l éa du sysème sous l effe de la perurbao s écr : d () ( H W ) () ( ) d ψ = + ψ O cherche ue soluo e ermes d éas saoares : ω ω ψ = c e + c e 3 () ( ) ( ) ( ) D.Marchad

25 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 5 l do êre possble de cosrure la soluo exace pusque {,} forme ue base complèe orhoormée suva laquelle ψ () es développé avec des coeffces dépeda du emps. Rese à déermer ces coeffces compe eu des codos ales c =, c = 4 ( ) ( ) ( ) O jece (3) das () e o projee l équao obeue sur chacu des veceurs de la base. O obe le sysème d équaos dfféreelles suva : () () c ω e = ω W c e + ω W e ( 5) ω () ω () c e = W c e + ω W e Posos µ W ν = W νµ, éa hermque, W, W e W = W. W ( Aeo à la oao qu peu parare habuelle ) : Posos ω = ω ω ( ) 6 W W W W W (5) s écr alors ω c() = Wc( ) + We c( ) ( 7) ω c() = We c() + Wc() Effecuos le chageme de varables ω c ( ) = Ae ( 8) ( ω ω ) c () = Be (7) deve u sysème léare homogèe à coeffces cosas ( W ω) A+ WB= WA+ ( W ω+ ω ) B= Qu adme ue soluo o rvale s so déerma es ul W ω W W = ω, = + γ ± σ 9 W W ω ω γ = W W + ω σ = γ + W 4 ( ) Avec ( ) = ( ) O obe alors E doc d après (8) e () : B W = ω A,,, W ( ) D.Marchad

26 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 6 ( ) ω ω c = Ae + Ae c () = e ( ω W ) Ae + ( ω W ) A e Les codos ales permee de déermer D où, après u calcul élémeare : W γ c () = exp + γ cos s σ + σ σ W W c() = exp + γ ω sσ σ La probablé de rouver le sysème das l éa excé au emps es doc : ω ω ω W A e A W 4 W () = s = s σ ( γ ) + 4 W c σ σ ( ) Les ermes dagoaux de la perurbao se «cache» das l expresso deγ! La probablé de rouver de ouveau au emps le sysème das so éa fodameal es : γ 4 W () = cos + s = s c σ σ σ σ + 4 W ( γ ) π Le sysème osclle ere les deux veaux avec la pérode emporelleτ =. σ. Perurbao pérodque d u sysème à veaux d d ψ ψ sur la base{, } L équao de Schrödger s écr maea () = ( H + W cos ω ) ψ () De la même faço, o développe () ω ω ψ () = c( ) e + c( ) e c ( ) = Les codos ales so : ψ ( ) = ou : e o projee ψ () c ( ) = sur les veceurs de la base. O obe le sysème d équaos dfféreelles suva, vérfé par les coeffces c e c : ω () ω cos () ω c e ω W c e W c () e = + ω () cos ω () ω c e = ω W c e + W c() e D.Marchad

27 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 7 ( ) ω = ω ω pulsao de Bohr de la raso Posos δω = ω ω désaccord à la résoace ou deug O suppose que δω << ω. Le sysème précéde s écr : ( ) c() ω ω δω ω+ ω W( e e ) c() W( e e ) c() = ( ) c() W( e δω ω+ ω e )( e ω e ω ) c() W( e ω = e ω ) c () E moyee, sur u ervalle de emps π, les corbuos des haues fréqueces agulares ω so ulles. + τ π Cela reve à remplacer c e c parcµ () = d' cµ ( ' ) avec τ, µ, π = =. ω Cec cosue ce que l o appelle : «l approxmao résoae». Das le cadre de cee approxmao, le sysème précéde s écr : C δω () = We C () C δω () = We C So e dfférea : C () δωc () + Ω C() = 4 WW W où Ω = = C () + δωc () + C() 4 Ω = Posos ( δω ) R τ Ω = Ω + (pulsao de Rab gééralsée). O obe par égrao du sysème précéde : δω ΩR ΩR C () = e cos + As δω ΩR C () = e Bs Où les cosaes d égrao A e B so calculables à parr de () : δω W A= e B= ΩR ΩR La probablé de rouver le sysème das l éa excé à la dae es doc : D.Marchad

28 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 8 P () Ω C s = = Ω + ( δω) E celle de le rouver à ouveau das l éa fodameal es : P () ( δω ) ( δω ) Ω Ω ΩR = cos + s Ω + R L excao es u processus ypque de résoace. Aux emps = ( =,,3, ) sysème es de ouveau das so éa fodameal. 3. Méhode de perurbao de Drac R π Ω So u sysème aomque aya des éas saoares o dégéérés R ψ, le. O suppose qu l se rouve das so éa fodameal au emps = e qu ue perurbao (dépeda ou o du emps) es brachée, dusa des rasos vers les aures éas ψ. O se propose de calculer la probablé de rouver le sysème, après bracheme de la perurbao au emps, das u éa ψ l. La perurbao es supposée pee. ( ) Les éas o perurbés sasfo l équao de Schrödger d ω ψ = H ψ avec ψ = e, E = ω e l = δl d Après bracheme de la perurbaow o a l équao d évoluo d ( H W ) ( ) d ψ = + ψ Avec u éa ψ qu peu êre développé sur la base des éas propres de Ĥ () ψ avec () ( 3) ψ = a a = Chaque a () es la probablé de rouver le sysème das l éa ψ somme (3) das l équao dfféreelle (). O rouve : ( a () ()) ( ωa ψ = ω + W) a () ψ So e projea sur l e e fasa usage de la relao l = δ l l () au emps. O rodu la ( ω ωl) a () l = e l W a () ( 4) Jusqu c re a éé églgé das cee équao. l es à oer le fa que le aux de raso de chaque éa l déped de ous les éas du sysème combés avec l sous l aco de la D.Marchad

29 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 9 perurbao. C es aurelleme ue coséquece de a () =. S u coeffce a l ( ) es chagé, les aures coeffces so lés e chage de faço que la somme rese cosae. S la perurbao es pee o peu e premère approxmao sérer das le membre de droe de (4) la valeur ale a = δ 5 ( ) ( ) Alors, le jeu des équaos (4) deve pourl : ( ω ωl ) a () l = e l W E par égrao de cee derère équao o obe : () ' l al = d l W e ω ω ( ) ' ( 6 ) Nore approxmao es valde s lw ( ω ω ) Perurbao pérodque Résoace So ue perurbao () ω ω W we w e ( ) ( ω ω ) l l << << lw = + (de du champ oura). O se propose de dscuer la résoace d absorpo e l effe d ue largeur fe e fréquece du champ d rradao sur les rasos. jecos () das (6). Au premer ordre des perurbaos, o obe après égrao : ( ωl ω ω) ( ωl ω+ ω) e e a() l = lw + lw ( ) ( ωl ω ω) ( ωl ω + ω) L éerge d excao Eex = ( ωl ω ) deva êre posve, le premer erme es résoa s ω = E ex alors que le secod erme es jamas résoa. Par coséque, s la codo de Bohrω = ω ω es sasfae, le sysème peu absorber de l éerge du champ aleraf applqué. l ( ) 3 l () a = l w s ( ω ω ω) l 4 l ( ω ω ω) Cee formule do êre corrgée pour er compe de la largeur fe e fréquece du champ d rradao. So ρ ( ω)dω so esé ere ω e ω+ dω. O a alors : Ou e posa ( ω ) l ω ω l () = ωρ( ω) a d l w = x : s ( ω ω ω) l 4 l ( ω ω ω) D.Marchad

30 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 3 s x Le faceur x x w s x al() = dx ρ ωl ω + l x a u maxmum proocé e x = e décroî rapdeme de par e d aure, s be s x que x < π appore la corbuo prcpale à l égrale dx = π x Pour cee valeur de x o a x π <, or o do avor lw << e pusque ce éléme de marce do usuelleme êre pe comparé à l éerge d excao, o rouve que l argume de ρ do êre remplacé smpleme parωl ω. U argume smlare es obeu pour l éléme de marce qu peu êre raé comme ue cosae, dépedae de x. S be que : w al l () π ρ( ω ω ) ( La probablé de rouver le sysème das u éa l quelcoque croî proporoelleme au emps. O déf la probablé de raso par : P = a l l dépedamme du emps : () () ( 4) w P () = π l ρ( ω ω ) ( 5 ) l Ce résula more ue grade smlaré avec la «règle d or de Ferm». Rappel cocera le développeme e perurbao Les 3 représeaos : So ψ S ( ) u veceur d éa e représeao de Schrödger,.e. so évoluo das le emps es rége par l équao de Schrödger. La représeao de Schrödger emploe ue rasformao uare ACTVE : ψ ( ) ( ) ( ) S = U, ψs = U (, ) ψ S ( ) oùu (, ) es l opéraeur d évoluo. Le veceur es rasformé mas ous les opéraeurs so cosas das le emps (à mos qu ls e dépede EXPLCTEMENT du emps). Les veceurs de base so chagés. Les opéraeurs so défs par leur aco sur les veceurs de base. La représeao de Heseberg ulse ue rasformao uare équvalee mas PASSVE. Le veceur d éa es cosa : ψ = ψ ( ) = U(, ) ψ ( ) = U (, ) ψ ( ) H S S S 3 ) D.Marchad

31 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 3 Les veceurs de base so modfés e par coséque, les opéraeurs auss. L opéraeur AH ( ) (das la ouvelle base) s exprme e foco de AS ( ) (das l acee base) par la relao : A () = U(, ) A ( ) U (, ) = U (, ) A ( ) U(, ) H S S Passage d ue représeao à l aure : La représeao de Heseberg es obeue par ue rasformao uare, pour ou sa, à parr de la représeao de Schrödger : ψ ( ) ( ) H = U, ψs = U (, ) ψs ( ) = ψs ( ) Les élémes de marce de ou opéraeur  so dépedas de la représeao. ψ A Φ = ψ U, U, A U, U, Φ () () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ψ U (, ) A ( ) U(, ) ψ A ( ) Φ S S S S S S = H S Φ H = H H H Les prédcos de la mécaque quaque so dépedaes de la représeao. La représeao d eraco (de : ermédare) Supposos que le Hamloe d u sysème quelcoque so H ( ) l opéraeur (uare) d évoluo correspoda, so (, ) S H S = (e représeao de Schrödger) e ( ) U e. Nous avos : d U H U U U U d (, ) = ( ) (, ) avec (, ) = e (, ) (, ) S = Î ( ) Supposos maea que le sysème so perurbé de elle faço que so Hamloe devee H ( ) ( ) S H S WS ( ) () = +. Pour u el sysème, le veceur d éa e représeao d eraco, ψ es déf à parr du veceur d éa e représeao de Schrödger par : ψ ( ) = U (, ) ψ ( ) S Comme évolue ψ ()? d d d ψ U d ψs U ψs U S d d d d = U, H ψ + U, H ψ () = (, ) ( ) = (, ) ( ) + (, ) ψ () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S S S S (où ous avos ulsé ( ) = d U ( ), = U (, ) H ( )) d Nous pouvos maea écrre : d ψ () () () () = U H S U U ψ S + U HS UU ψ S () d () H () ψ H () ψ () D.Marchad

32 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 3 = H () ψ () + H () + W () ψ = W H () c es-à-dre : d () W () () d ψ = ψ qu o peu ecore écrre sous la forme d ue équao égrale : d ψ () = W () ψ () d ( ) d ψ ' = W ( ' ) ψ ( ) d ' ' () ( ) ( ) ( ) () () ψ () ψ ψ W ' ψ ' d' = + équao égrale qu peu êre résolue par éraos. Le e ψ () peu alors êre développé e sére de pussaces de la forme : ψ ' ' ' ' ' " = + d W + d W d W " ( ) + () ( ) ( ) ( ) ψ ( ) La représeao d eraco assge ue dépedace e emps aux veceurs e aux opéraeurs. Quad do-o ulser la représeao d eraco? La représeao d eraco es souve ulsée lorsque () es dépeda du emps e WS ue pee correco par rappor à H. Supposos que le problème gouveré par H a déjà éé résolu, so exaceme, so de faço approchée. Supposos que W = pour. Alors ψ ( ) ψ ( ) H avec W () = () So { } S S H S =. E églgea les ermes d ordre supéreur, à, ous avos : H S e W e ψ = ψ + ψ () ( ) W ( ' ) ( ) d ' ue base propre orhoormée de Ĥ e so m l éa du sysème à ( ) =,.e. ψ = m. Nous avos : H m = E m. m S () S D.Marchad

33 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 33 La probablé P( E, ) de rouver le sysème das l éa propre de Ĥ à l sa,.e. la probablé de rouver la valeur propre E, es ψ () (les prédcos e mécaque quaque so dépedaes de la représeao). ( E Em) ' ψ () ( ') ' = m + W m d e WS ( ' ) m d ' = avec m=. Nous avos doc : ( ) ( E Em) ' ωm' ( ) ( ) P E, = e WS ' m d' = e WS ' m d' E E où ωm = m es la pulsao de Bohr de la raso m. C es le résula au premer ordre, de la héore des perurbaos dépeda du emps. P E, es la probablé de raso m pour ue durée de l eraco. ( ) S es la durée de la perurbao «brachée» à l orge = alors : ωm' ωm' ( ) S = S ( ) e W ' m d' e W ' m d ' E, au faceur près, la probablé au premer ordre es le module au carré de la rasformée de Fourer de l éléme de marce de la perurbao, rasformée de Fourer prse pour la pulsao E E de Bohr ωm = m de la raso cosdérée. S W es dépeda du emps,.e., u erme pe e cosa es ajoué au emps = à S () l Hamloe, alors : ( E Em) Em E e e e = S = S (, ) P E W m W m ( E E ) ( E E ) ( E E ) ( ω ) m m m S ωm s 4s W S m E E W m = = m m θ ϕ θ ϕ où ous avos ulsé le fa que e e = s Au secod ordre : ' ψ = ψ + d' W ' ψ + d' W ' d" W " ψ ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Supposos comme précédemme que W ( ) = pour. Alors ψ ( ) = ψ ( ) = S S m D.Marchad

34 "Fches" de révso du cours de Physque Quaque 34 ( ) () ( ) ' ψ = m + d ' W ' m + d ' d" W ' W " m ( ) = j ( ) ( ) E jeca la relao de fermeure j j de la base{ } de éas propres de l Hamloe o perurbé ere W ' e W ", o obe : S H ( ) ( ) ( ) ψ () = m + d' W ( ' ) m + = ( ) ' d ' d " W ' j j W " m j So e repassa e représeao de Schrödger : HS HS (E se rappela que W () = e WS () e ) ( ) ( ) U, U, ( ) ( ) ( ) () ( E Em) ' ( ) ( ') ψ = d' e WS m + ' E E ' E E " ( j) ( j m) d ' d" e W ' j j W " m e j S ( ) ( ) S Au secod ordre ervee des éas propres j ermédares ere les éas suscepbles d êre couplés avec ces éas. e m D.Marchad