ELECTRICITE. Electrostatique Electrocinétique Electromagnétisme

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1 République Algéienne Démocatique et populaie Ministèe de l'enseignement Supéieu et de la Recheche Scientifique Univesité des sciences et de la technologie d'oan Mohammed Boudiaf USTO-MB ELECTRICITE Electostatique Electocinétique Electomagnétisme D. Afifa YEDJOUR D. H. AOUABDI-SETTAOUTI Univesité des sciences et technologie d Oan Mohamed Boudiaf USTO-MB. Algéie /2017 -

2 Ce polycopié a été édigé pou pemette aux étudiants de 1ee année LMD du domaine science et technologie d avoi un ouvage de éféence egoupant l ensemble des connaissances indispensables pou ce module. Le polycopié compend tois gands volets : Electostatique : est axé su les phénomènes (champ et potentiel électostatique) céés pa des chages électiques statiques. Electocinétique : est le domaine de la physique où les manifestations des mouvements de chages mobiles sont étudiées en temes de couants et de tensions Electomagnétisme ; étudie l effet des inteactions ente paticules chagées électiquement, qu'elles soient au epos ou en mouvement Nous enfonçons le module pa un appel mathématique oganisé au début du semeste afin de pemette aux étudiants de mieux suive le pogamme poposé. 1

3 Rappels Mathématiques 1 Eléments de longueu, de suface, de volume 1.1 Coodonnées catésiennes Un vecteu quelconque V de l espace est epéé pa ses coodonnées (catésiennes, cylindiques, sphéiques..), dans l espace catésien ce vecteu V s écit comme : V = V x u x + V y u y + V z u z avec (u x, u y, u z ) sont les vecteus unitaies : u = V V, V est la nome du vecteu V où V = V x 2 + V y 2 + V z 2 Dans ce qui suit, on n admet qu'un point matéiel M se déplace dans un epèe catésien d oigine O. Le point M de l espace est epéé pa ses coodonnées catésiennes x, y et z : OM = x u x + y u y + z u z Figue 1. Calcul en coodonnées catésiennes dl, ds et dv: dv = d 3 τ Nous considéons le déplacement infinitésimal du point M(x.y.z) au point M (x + dx. y +dy. z + dz), le vecteu de déplacement s écit comme : MM = dx u x + dy u y + dz u z MM est un élément du vecteu de déplacement dom Elément de longueu Le vecteu de déplacement s écit : MM = dx u x + dy u y + dz u z 2

4 Selon l axe Ox, l élément de longueu dl engendé pa le déplacement de M ves M est : dl = dxi Dans le plan (xoy) : dl { dx dy } dx Dans l espace (x,y,z) : dl { dy } dz dl s expime en m Elément de suface Dans le plan (xoy), l élément de suface engendé pa le déplacement de M ves M décit l aie de cette suface : ds 1 = dxdy. Dans le plan (yoz) l élément de suface : ds 2 = dydz. Dans le plan (zox) l élément de suface : ds 3 = dzdx. ds s expime en m Elément de volume. Dans l espace (O,x,y,z), l élément de volume engendé pa le déplacement de M ves M décit le volume infinit esimal dv =S base. H hauteu : dv s expime en m 3. dv = dxdydz. 1.2 Coodonnées cylindiques Un point M de l espace est epéé pa ses coodonnées cylindiques, θ et z dans la base associée au epèe cylindique (u, u θ, u z ).OM = u + z u z le vecteu déplacement infinitésimal du point M(,θ,z) au point M'(+d, θ+dθ, z+dz s écit comme : MM = d u + dθ u θ + dz u z. MM est un élément du vecteu de déplacement noté dom. Avec 0, θ est ente [0,2π] Element de longueu Le vecteu de déplacement est : 3

5 dom = d u + dθ u θ + dz u z Si on fait vaie d une valeu de d, l element de longueu dl s ecit : dl = d, ou dl = dθ quand on fait vaie θ d un angle dθ ou bien dl = dz losque le déplacement infinitésimal est suivant l axe oz Elément de suface Dans ce epèe cylindique, élément de suface ds engendé pa le déplacement de M en gadant l une des coodonnées fixe : ds z = d. dθ si on fixe le côté z. ds = dθ. dz si on fixe le ayon. ds θ = d. dz si l angle θ est constant Elément de volume infinitésimal Nous considéons le volume infinitésimal dv engendé pa le déplacement du point M est un cube de hauteu dz. dv = d. dθ. dz Figue 2. Calcul en coodonnées cylindiques dl, ds et dv 4

6 Exemple : 1/ Calcule l aie d un cecle de cente O et de ayon R en coodonnées catésiennes. 1 e méthode : Tout d abod nous choisissons le plan (xoy) pou détemine l élément de suface ds. L équation d un cecle de cente (0,0) et de ayon R est : x 2 + y 2 = R 2 ds = dx. dy Nous commençons d intége S pa exemple, su y qui vaie suivant x. R 2 x 2 + S = dx dy = R 2 x 2 2 R 2 x 2 dx En faisant un changement de vaiable x = R cosθ et dx = R sinθ dθ En faisant la tansfomation tigonométique : sin θ 2 = 1 (1 cos 2θ) 2 Nous touvons : S = π R 2 2 eme méthode : Dans le plan (, θ ), on peut monte que cet élément de suface ds comme un petit caé tangent au cecle de dimensions longitudinales d suivant u et dθ suivant l axe tansvesal en coodonnées polaies, finalement u θ R 0 S = d Exemple : 2π 0 d θ = [ 2 ] R [θ]0 2π = π R Calcule le volume d un cylinde V de ayon R et de hauteu H. Nous penons un élément de volume un petit cube de coodonnées d, dθ, dz, dans le plan l élément de longueu est : dv = d. dθ. dz L intégale tiple de V : V = d. d θ. dz R 0 Sépaation des vaiables : V = d 2π 0 H d θ. dz, V = [ 2 R [θ]0 2π [z] H ] 0 5

7 V = πr 2 H est le volume d un cylinde. 1.3 Coodonnées sphéiques Dans ce système, la positon du point M est donnée pa, θ et φ dans la base associée au epèe sphéiques (u.u θ u φ ). OM = u. le déplacement MM est le déplacement infinitésimal du point M(,θ,z) ves M'(+d, θ +dθ, φ+dφ). Le déplacement peut alos s'écie : MM = d u + dθ u θ + sin θ dφ u φ MM est un élément du vecteu de déplacement noté dom. Avec 0,π θ 0 et 2π φ élément de longueu le vecteu de déplacement est déteminé pa l expession suivante: dm = d u + dθ u θ + sin θ dφ u φ L élément de longueu est dl = d ou dl = dθ ou bien dl = sin θ dφ Elément de suface Elément de suface ds engendé pa le déplacement de M en gadant l une des coodonnées fixe est : Si on fixe : Si on fixe θ : Si on fixe φ : ds = dθ. sin θ dφ ds = 2 sin θ dθdφ ds = sin θ dφ d ds = ddθ Elément de volume infinitésimal On considèe le volume infinitésimal dv engendé pa le déplacement du point M pécédemment décit, ce volume est donné pa : dv = d. dθ. sin θ dφ 6

8 Figue 3. Calcul en coodonnées sphéiques dl, ds et dv Exemple : Calcule le volume d une sphèe V de ayon R. Intégale tiple de volume. V = d. dθ. sin θ dφ Sépaation des vaiables : R 0 π 0 V = 2 d sin θ d R V = [ 3 3 ] 0 [ cos θ] 0 π [φ] 0 2π V = R π V = 4 3 π R3 2π θ. dφ 0 7

9 8 2 Les opéateus 2.1 Gadient Etant donné un champ scalaie dont la valeu au point M(x,y,z) est U(x,y,z). On appelle gadient du champ U(x,y,z), le vecteu : U k z U j y U i x U U gad La gandeu vectoielle epésente l opéateu nabla défini pa: k z j y i x En coodonnées cylindiques: k z U U U U U gadu 1 En coodonnées sphéiques: u U U U U U U gad sin Divegence Etant donné un champ de vecteus: k z y x Z j z y x Y i z y x X A ),, ( ),, ( ),, ( On appelle divegence du vecteu A, le scalaie: z Z y Y x X A div A. En coodonnées cylindiques: z A A A A div z 1 ) ( 1 En coodonnées sphéiques: A A A A div sin 1 ) sin ( sin 1 ) ( 1 2 2

10 9 2.3 Laplacien Laplacien d un vecteu Etant donné un champ de vecteus: k z y x Z j z y x Y i z y x X A ),, ( ),, ( ),, ( On appelle laplacien du vecteu A, le vecteu: Zk j Y Xi A Ou Δ epésente un nouvel opéateu, le laplacien défini pa : z y x Laplacien d un scalaie La divegence du gadient d une fonction scalaie U est égale à son laplacien: U U gadu div ).( ) ( Une fonction U à laplacien nul est dite fonction hamonique : sa valeu moyenne su la suface d une sphèe est égale à sa valeu au cente de la sphèe. Laplacien d un scalaie dans les systèmes cylindique et sphéique En coodonnées cylindiques: ) ( 1 z U U U U En coodonnées sphéiques: sin 1 ) (sin sin 1 ) ( 1 U U U U 2.4. Rotationnel Etant donné un champ de vecteus: k z y x Z j z y x Y i z y x X A ),, ( ),, ( ),, ( On appelle otationnel du vecteu A, le vecteu:

11 10 k y X x Y j x Z z X i z Y y Z A A ot ) ( ) ( ) ( La condition nécessaie et suffisante pou qu un champ de vecteus A déive d un potentiel scalaie U est que son otationnel soit nul: 0 ) ( ) ( U gadu ot A ot Dans ce cas le champ est dit iotationnel et il ne peut y avoi de lignes de champ femés. Rotationnel dans les systèmes cylindique et sphéique En coodonnées cylindiques: k A A u A z A u z A A A z z ) ) ( ( 1 ) ( ) 1 ( En coodonnées sphéiques: u A A u A A u z A A A ) ( 1 ) ( sin 1 1 ) sin ( sin 1 Exemple : Un point M(x,y,z) étant epéé pa le ayon vecteu OM de module : z y x Calcule: 1) gad et gad 1 2) div et Rot

12 1) Calcul du gadient de () : On a : xi y j zk et 2 x 2 y 2 z 2 Les composantes du gadient sont : x x, y y et z z et gad x i y i z k u Le vecteu u epésente le vecteu unitaie de la diection du vecteu. Calcul du gadient de (1/) : Ses composantes sont : 1 1 x 1 2 x x 3 et, de même : 1 y 3 y 1 z et 3 z 1 x y z d où gad ( ) ( i j k) ) Divegence du vecteu : div x y z x y z 3 C est bien un scalaie. La divegence définit un champ de vecteus divegent à pati de l oigine O. Rotationnel du vecteu : Rot 0 11

13 3 Déivées et intégales multiples 3.1 Déivées Soit f une fonction scalaie de plusieus vaiables, y, z, t, on dit que f est déivable en x0 si f(x) f(x 0) quand x x x x 0 0 ou f(x 0 +h) f(x 0 ) h losque h 0 admet espectivement une limite finie. Soit f = f(x, y, z, t) La déivée totale pa appot au temps est : df dt = f dx x dt + f dy y dt + f dz z dt + df dt Pou un temps constant la déivée devient : df = f f f dx + dy + x y z dz Coodonnées catésiennes. On se appelle qu en coodonnées catésiennes, le vecteu de position s écit : OM = x u x + y u y + z u z la difféentielle à cette position donne à un tems fixe dom = OM OM OM dx + dy + x y z dz o le vecteu déplacement infinitésimal s écit : dom = dx u x + dy u y + dz u z df = gad f. dom d où gadf = f u x x + f u y y + f u z z gad est le gadient scalaie en coodonnées catésiennes En coodonnées cylindiques La difféentielle en coodonnées cylindiques d une fonction scalaie f = f(, θ, z) s expime : df = f f f d + dθ + dz (1) θ z 12

14 Le gadient en coodonnées cylindiques est définie telle que : df = gad f. dom (2) Une compaaison dom = d u + dθ u θ + dz u z et les deux equations (1) et (2) monte que l expession du gadient en coodonnées cylindiques s ecit : En coodonnées sphéiques gad f = f u + 1 f θ u θ + f z u z La difféentielle en coodonnées sphéiques d une fonction scalaie f = f(, θ, φ) s expime : df = f f f d + dθ + dφ et df = gad f. dom θ φ On se appelle qu en coodonnées sphéiques, le vecteu déplacement infinit esimal s écit: dom = d u + dθ u θ + sin θ dφ u φ, en compaant ces deux elations nous tions l expession du gadient en coodonnées sphéiques. gad = f u + 1 f θ u θ + 1 f sinθ φ u φ 3.2 Intégales multiples Losque fest une fonction continue et positive su l intevalle [a, b], alos f admet une pimitive notée F. on a f(x)dx = F(b) F(a) s intepète comme l aie compise ente la coube f(x)et les doites x= a et x=b. En subdivisant [a, b],en n sous intevalles[x i, x i+1 ]de même longueu x = b a n b a, on définit l intégale de f su [a, b] pa : f(x)dx = lim f(b i ) (x i+1 x i ) n a b n i=1 b i [x i, x i+1 ] dx est une longueu infiniment petite su l'axe des abscisses,, pou x vaiant de a à b. 13

15 Figue 4. suface hachuée est l aie compise f(x)et les doites x= a et x=b Ciculation d'un champ de vecteu Pa définition, la ciculation d'un champ de vecteu le long d un chemin délimité pa deux points A et B est déteminée pa : dc = E. dc. Ce chemin est découpé en une infinité de vecteus infinitésimaux dc C La ciculation de A ves B est donné pa B B dc = E. dc C A A Figue 5. Ciculation d un vecteu long d un chemin délimité pa deux points A et B On dit que le champ vecteu E déive du potentiel scalaie f si en tout point M du domaine la elation E = gad f(m) est véifiée : C A B = B A E. dc = gad f(m).dc = df = f(a) f(b) Alos, la ciculation du vecteu E est indépendante du chemin choisi, puisqu elle ne dépend que du point initial et du point final. Si nous choisissons un contou femé, nous utilisons le symbole C = E. dc. Dans ce cas paticulie, on a E. dc = Intégal double Le flux du champ de vecteu E à taves une suface dont le vecteu unitaie nomal à la suface n s écit ds = ds n. 14

16 Figue 6. Le flux coespond à la quantité intégée du champ de vecteu tavesant la suface S = E. ds Le flux coespond à la quantité intégée du champ de vecteu tavesant la suface S. La seule composante du champ E qui va inteveni dans le flux est la composante paallèle à n, puisque la composante pependiculaie à la suface ne peut pas la tavese ( nous le veons en détail dans le pochain chapite). Exemple : Calcule le flux du champ électostatique cée pa une chage q ponctuelle à taves une sphèe de ayon R. Lechamp électostatique est adial et s écit : E = k q 2 u avec k = 1 4πε 0. où est la distance à la chage. Monte que le flux dépend que de la chage. S = dθ. sin θ dφ Dans une sphèe, le vecteu unitaie nomal à la suface est adiale suivant. ds = ds u On a : = E. ds = k q u k q. ds u 2 = dθ. sin θ dφ 2 = kq sin θ dθ 2 0 π [φ] 0 2π = 2π kq 2 [ cos θ ] 0 π = 4π kq 2en emplaçant k = 1 4πε 0 On touve = q ε 0 est indépendant de R. 15

17 3.2.2 Intégal tiple Théoème de Geen-Ostogadsky La divegence d un vecteu est le flux extéieu d un champ de vecteu pa unité de volume. Ce théoème est beaucoup utilisé, il pemet de passe d une intégale volumique à une intégale sufacique. On choisit comme suface S un cube infinitésimale de côté x, y et z. Le flux du vecteu E à taves une suface femée est = E. ds z E X (xy, z) V E X (x + x, y, z) y x Figue 7. Un cube infinitésimale de côté x, y et z. x = E X (x + x, y, z) y z E X (xy, z) y z Ceci implique que : x = ( E x (x+ x,y,z) E x (xy,z) ) x y z x Cette elation tend ves la déivée patielle de pa appot à x losque x est tès petite. On peut écie x ~ E x x V losque x 0 Même chose pa les autes composantes suivant les axes oy et oz. y ~ E y y z ~ E z z V losque y 0 V losque z 0 En sommant les contibutions des 3 faces. = x + y + z = ( E x x + E y y + E z z ) V = div E V 16

18 d où finalement en intégant: div E dv = E. ds Théoème de Geen-Ostogadsky, cette équation taduit le Physiquement, dans le cas d une chage isolée, on a une souce de champ électostatique, cela taduit que div E 0. Le champ magnétique à flux consevatif, une ligne de champ se efeme toujous su ellemême: div B = 0. Théoème de Stokes La ciculation d une gandeu vectoielle F su un pacous femé est égale au flux de ot F à taves une suface quelconque s appuyant su. Ce théoème est couamment utilisé, il pemet de passe d une intégale simple à une intégale sufacique. Soit une foce vectoielle F dans un espace donné. On veut calcule la ciculation du vecteu F autou d un contou femé. C = F. dl. Nous choisissons comme contou C le contou d un ectangle infinitésimal de côté ( x, y) Figue 8. D un ectangle infinitésimal de côté ( x, y) Selon l axe ox, la contibution est : F x (x, y, z) x - F x (x, y + y, z) x F x(x,y,z) x F x (x,y+ y,z) x y De même pou le côté selon l axe oy : y F x y S z F y (x, y, z) y - F y (x + x, y, z) y F y(x,y,z) y F y (x+ x,y,z) x y x F y x S z d où finalement en intégant : F. dl = ( F y F x ) S x y z = (ot F ). ds F. dl = (ot F ). ds est le théoème de stokes. 17

19 Chapite I Electostatique 4 Chages et champs électostatiques. Nous allons défini les chages électiques pa les effets qu elles poduisent et pa ses popiétés localisées dans l espace. Nous allons monte que ces effets liés à l existence de chages statiques sont décits pa les équations mathématiques (équations de Maxwell) : E = ρ ; E = 0. ε Chage électique : a) Une tige de vee fottée avec la soie epousse une aute tige de vee fottée avec la soie. Figue 9. les deux cops de epoussent mutuellement b) Une tige d ébonite fottée avec les cheveux epousse une aute tige d ébonite paeillement taitée. Figue 10. Les deux cops de epoussent mutuellement c) Une tige de vee fottée avec la soie attie une tige d ébonite fottée avec les cheveux. Figue 11. Phénomène d attaction 18

20 Ces obsevations ont été intepétées de la façon suivante : Les fottements avec la soie ou les cheveux font appaaite des paticules à la suface des matéiaux ; celles-ci pemettent aux matéiaux d inteagi alos qu ils étaient initialement neutes. De plus les paticules qui appaaissent dans les deux cas sont de natue difféente puisqu une attaction appaait ente le vee et l ébonite. Les paticules sont appelées chages électiques. Les deux sotes sont distinguées pa les signes+ et -. Ainsi deux chages + et se epoussent. Une chage + et une chage s attient. Elles ont un caactèe consevatif : Dans un système isolé, la chage totale potée pa l ensemble des éléments du système est constante. 4.2 Loi de Coulomb C est en 1785 que coulomb monte expéimentalement que la foce execée su une chage ponctuelle q 2 pa une chage ponctuelle q 1 a les popiétés suivantes : Elle est invesement popotionnelle au caé de la distance sépaant q 1 et q 2 (F 1 2). Elle est popotionnelle aux chages q 1 et q 2 (F q 1, q 2 ). F = k q 1q 2 2 u (1) Figue 12. Loi de coulomb En 1936 Plimpton et Lawton ont monté que F est en 1 avec une incetitude su 2 l exposant de 2 de ± Cette epise en 1971 pa Williams, Falle et Hill aboutit à une incetitude su l exposant de 2de ± La loi de coulomb est analogue à la loi de gavitation, la seule difféence est la loi gavitationnelle est toujous attactive alos que la loi de coulomb peut ête attactive soit épulsive suivant les signes de q 1 etq 2, (q 1. q 2 > 0 foce épulsive, q 1. q 2 < 0 foce attactive). Dans le système MKSA l expession de : - La foce céée pa q 1 s exeçant su q 2 s écia : F 12 = 1. 4πε 0 q 1.q u 12. u 12 est un vecteu unitaie poté pa la doite passant pa q 1 et q 2, dont le sens est de q 1 ves q 2 : u 12 = u 12 u

21 Exemple : q 1 q 2 > 0 Figue 13. Repésentation vectoielle de la foce électostaique - La foce céée pa q 2 s exeçant su q 1 s écia F 21 = 1 q. 2.q 1 u 4πε u 21 est un vecteu unitaie poté pa la doite passant pa q 2 et q 1, dont le sens est de q 2 ves q 1 : u 21 = u 21 u 21. En emaquant que le poduit q 2. q 1 est commutatif, 12 2 = 21 2 et que u 12 = u 21 nous déduisons F 12 = F 21. Ceci quel que soit le signe espectif de q 1 et q 2. Cette elation est d une gande impotance, pace qu elle met en évidence la compatibilité de la loi de coulomb et d un pincipe physique fondamental : le pincipe de l action et de la éaction (3 eme loi de Newton) voi physique 1(mécanique du point). 4.3 Pincipe de supeposition Nous considéons à pésent tois chages ponctuelles de même signe q 1, q 2 et q 3 distantes : - de 12 pou (q 1, q 2 ) - de 13 pou (q 1, q 3 ) - de 23 pou (q 2, q 3 ) La foce s exeçant su q 3 due à q 2 et q 1 sea la ésultante des foces F 13 et F 23. Elle aua pou : Figue 14. Pincipe de supeposition une expession ésultante des foces : F 3 = F 13 + F 23 F 3 = 1 4πε 0 ( q 1. q u 13 + q 2. q u 23) 20

22 Si nous considéons maintenant un système de N chages ponctuelle (q 1, q 2, q 3 q j q N ). La foce agissant su la chage q j due aux autes chages, est la somme vectoielles des foces céées pa chacune des foces pise isolément, agissant su la chage q j. Son expession sea alos F j = 1 4πε 0 q i.q j ij 2 i j u ij F 3 = En fonction du vecteu ij, cette foce s écia comme : 1 4πε 0 ( q 1.q u 13 + q 2.q u 23 ) Avec k = 1 4πε 0 Dans le système MKSA : - F s expime en (N) - s expime en (m) - q s expime en (C) - k est égale à Nm 2 /C 2 F j = k q i. q j ij 3 (2) i j ij Exemple 1 : Figue 15. Exemple Soient deux chages ponctuelles q > 0 identiques, placées en A (-a, 0) et B (a, 0) su un axe ox. Repésente su un schéma le vecteu foce agissant su les deux chages. Détemine l'intensité foces épulsives F 12 = 1. q 1.q 2 4πε u 12. u 12 = i ; q 1 = q 2 = q ; 12 = 2a F 12 = k q2 F 21 = u 21 = i ; i. 4a 1. q 2.q 1 4πε 0 12 F 21 = k q2 4a i. F 21 = F 12 2 u

23 Exemple 2 : ode de Gandeu Nous compaons la foce électique et la foce gavitationnelle existant ente l electon(q 1, m 1 ) et le poton (q 2, m 2 ) fomant l atome d hydogène (sachant que le ayon de Bho 12 = m ). Foce électique : F e = 1. q 1.q 2 4πε 0 2 = (9.109 )( ) 2 12 Foce gavitationnelle : ( ) 2 = N. F G = G. m 1.m 2 2 = ( )( )( ) = N. 12 ( ) 2 Soit F e F G La foce gavitationnelle est négligeable devant la foce coulombienne ( F G F e ). En conséquence nous pouvons eteni seulement de la loi de coulomb pou les électons et le noyau de l atome. 4.4 Champs électostatiques. Une chage ponctuelle q 2 au point (2) va cée à la distance 21 su une chage ponctuelle q 1 au point (1), une foce F 1 ou ( F 21 ). q 1 q 2 > 0 F 1 ou ( F 21 ) = 1. q 2.q 1 4πε 0 2 u Divisons chacun des deux membes de cette expession pa q 1 nous obtenons : 1 q. 2 4πε 0 21 F 1 q 1 = 1. 4πε 0 q 2 2 u u 21 est un champ vectoiel dont la valeu est pise au point (1) où se touve la chage q 1, il dépend aussi de la chage q 2 qui lui est donné naissance. E (1) = 1 q. 2 4πε 0 21 de deux façons : 2 u 21 est le champ électostatique noté E (1). Ce denie peut s intepéte 1. C est une foce pa unité de chage telle que : E (1) = F 21 q 1 (3) C est la petubation de l espace céée pa la pésence de la chage q 2, telle que si on place une chage test à la distance 21 de q 2 on obtient une foce : F 1 = q 1 E (1) 22

24 Figue 16. Champ céé pa la chage q 2 Pou touve le champ électostatique au point j céé pa N chages ponctuelles il suffit de déduie son expession de celle de foce électostatiquef j céée pa les (N-1) chages su q j. alos : E j = F j = k q j q i i j 2 ij E j = k q i 3 i j ij ij (4) E j va dépende de la configuation du système de chages et de la position de la chage q j. 4.5 Repésentation du vecteu champ électostatique Le champ E peut ête défini en tout point Mquelconque de l'espace (sauf su la chage q). On place une chage q A au point A, le champ céé pa cette chage au point s ecia: E A = K q A AM u AM 2 - Son module dépend des coodonnées du point M auquel on le définit puisqu'il est invesement popotionnel au caé de la distance pa appot à la chage. - La diection du champ est adiale, elle passe toujous pa la chage. - Son sens est tel que : E A s'éloigne de la chage q A, si q A est positive (E est colinéaie àu AM ). E A se diige ves la chage q A, si q A est négative (E A est opposé à u AM) Figue 17. Notation vectoielle du champ E L expéience pouve que l addition d une toisième chage q 3 au système, ne modifie pas la foce d inteaction de q 1 et q 2 et que q 2 a non seulement une inteaction avec q 1 mais aussi avec q 3 et q 1 avec q 3 toujous selon la même loi. 23

25 F 2 = k ( q 2.q 1 2 u 21 + q 2.q u 23 ). Donc pou obteni la foce que subie une chage q 2 dans un système de chages, il faut compose vectoiellement tous les champs au point(2). F 2 = q 2 E ésultant Exemple : Calcule dans l exemple 1 le champ électostatique céé pa q 1 au point (2). E (2) = 1 q. 1 4πε u 12 ; F 2 (ou F 12 ) = q 2 E (2), u 12 = i Figue 18. Exemple E (2) = k q 1 a 2 i. 4.6 Popiétés des champs de foces: Tavail de la foce électique et énegie potentielle U Nous envisageons un déplacement élémentaies d > 0 de la chage q 2, nous penons dans ce cas q 2 négative(q 2 = - q 2 ).Le tavail élémentaie dw nécessaie au déplacement du point d application de F 2 est donnée pa le poduit scalaie : dw = F 2. d cos(f 2. d ). Le tavail total qui coespond au déplacement de q 2 de la position (2) ( = 12 ) à l infini ( ) est obtenu en faisant la somme de tous les tavaux élémentaies. W 2 = F 2. d = - q 2 E 1. d = k q 2 q 1 cos(f 2 2, d ) avec cos(f 2, d ) = 1 Soit W 2 = k q 2 q 1 [ 1 ] 2 W 2 = k q 2 q 1 (5) le signe indique que le tavail de F 2 est ésistant ou encoe qu il faut founi de l extéieu de l énegie au système pou éalise ce déplacement. On dit que le système a de l énegie potentielle ou encoe que q 2 a l énegie potentielle U() = W 2. 24

26 4.6.2 Champ consevatif Losqu il n y a pas de dissipation d énegie, le tavail de F 1 2 est expimé en vaiation d énegie potentielle Uou U est une fonction de coodonnées (x,y,z). U(x, y, z)est une fonction de point, elle depend que de la position, sa vaiation su un chemin femé est nulle. du = U = 0. Nous avons vu en physique1(mécanique du point ) que le tavail de la foce d inteaction masse-tee losque l oigine du epèe est pise à l infini est : z=0 W = F. dl = mgdz = mgz = U = du = U( ) U(z) z<0 z U( ) = 0 Soit mg = U ou encoe : z F = gad U (6) Ce ésultat est féquemment utilisé pou les foces d un champ consevatif déivant d un potentiel scalaie. 5 Potentiel électostatique Le tavail électique d un système de deux chages pouvait ête expimé à l aide du champ électique E. dw = F. dl = q 2 E 1. dl = du est une difféentielle totale exacte. La difféence du potentiel élémentaie est définie pa la quantité : dv = E 1. dl Le calcul de la vaiation du potentiel ente deux points A et B consiste à ésoude l intégale de à l infini : V = = E 1. dl (7) Su un chemin quelconque joignant Aet B (champ consevatif), l opéation nous donne le calcul de la ciculation du vecteu E. Exemple. Donne l expession de la ciculation du vecteue 1 céé pa la chage q 1 le long d un chemin de à l infini. V( ) V() = E 1. d = k q 1 Avec V( ) = 0 V() = est le potentiel céé pa q 1en. q 1 1 4πε 0 2 = k [ q 1 ] q = - k 1 Le tavail de la foce électique los du déplacement de q 1 ente A et B pend la fome plus simple W = q 2 (V(A) V(B)) que l on éduit à : W = qv Le potentiel électostatique céé pa une chage ponctuelle q à la distance de q est le tavail founi pou déplace une chage unité de l infini à la distance de q. V() = k q V() est un champ scalaie. 25

27 Remaque : la valeu du potentiel électostatique à la distance de la chage electique dépend de la éféence choisie, ici la éféence est le potentiel nul à l infini. 5.1 Pincipe de supeposition : N chages ponctuelles vont cée au point (1) le champ électique : Et un potentiel électostatique : E (1) = k q i 3 i 1 i1 V(1) = k q i i1 i 1 i1 (8) 5.2 Ligne de champ et équipotentielles Les lignes de champ (ou de foce) sont des coubes tangentes en chaque point au vecteu champ : les tubes de foces sont des ensembles de lignes de champ qui passent pa tous les points d une coube. (9) Figue 18. Lignes de champ électostatique Les lignes et les sufaces équipotentielles sont le lieu géométique des points d égal potentiel. L un des popiétés des lignes de champ est que les lignes de champ sont othogonales aux équipotentielles, nous pouvons faie la démonstation en calculant le tavail élémentaie dw su un chemin dl pis su une équipotentielle : dw = F. dl = qe. dl = qdv (10) pa définition du potentiel électique : o dv=0 su l équipotentielle. E est donc pependiculaie à l équipotentielle. 5.3 Distibution de chage continue Nous considéons cette fois une chage électique Qdans un volume V. nous pouvons défini une densité volumique de chage ρ(x, y, z ), telle que : Q = ρ(x, y, z ) dx, dy, dz (11) V A condition d avoi dans l élément de volume dv = dx, dy, dz, autou du point M(x, y, z ) un gand nombe de chages élémentaies bien que dv V. 26

28 Figue 19. élément du champ électostatique de Pou calcule le champ électique E (x, y, z) au point P, céé pa la chage q, nous pocédons de la façon suivante : Nous commençons pa calcule le champ électique de (x, y, z) au point P céé pa la chage dq = ρ(x, y, z )dv contenu dans dv : de (x, y, z) = k ρ(x, y, z ) dx, dy, dz u Avec =MP et u est vecteu unitaie. Nous déduisons ensuite d apès le pincipe de supeposition E (x, y, z) = k ρ(x, y, z ) dx, dy, dz u V 2 2 Qui s écit encoe en emplaçant u = E (x, y, z) = k ρ(x, y, z ) dx, dy, dz V 3 Une composante E x (x, y, z) s écit : E x (x, y, z) = k V (x x ) ρ(x, y, z )dx, dy, dz (12) [(x x ) 2 + (x x ) 2 + (z z ) 2 ] 3/2 Connaissant le champ éléctiquee nous pouvons déduie le potentiel électostatique (voi chapite 1 appel Mathématique). dv = E. dl Nous endons la coube Ϲ femée en faisant tende A ves B. V(A) V(B) = 0. ciculation est nulle. 0 = E. dl C Alos la 27

29 En utilisant le théoème de STOKES Figue 20. Ciculation de E selon un contou femé F. dl = (ot ). ds (voi chapite appels mathématique). Et l expession devient 0 = (ot ). ds Il faut donc ot = 0 O un tel ésultat implique E = gad V Le champ électique n est aute que le gadient d une fonction scalaie (potentiel électique). Nous déduisons facilement le potentiel dv(x, y, z) = k ρ(x, y, z )dx, dy, dz = MP [(x x ) 2 + (x x ) 2 + (z z ) 2 ] 1/2 ρ(x, y, z )est la densité volumique de chage En appliquant le pincipe de supeposition pou calcule V(x, y, z) soit : D une manièe généale V(x, y, z) = k ρ(x, y, z )dx, dy, dz V(x, y, z) = k dq (13) 28

30 Avec - dq = ρ dv pou une distibution volumique. - dq = σ dspou une distibution sufacique - dq = λ dlpou une distibution linéique. Application Calcule en un point M le champ et le potentiel électostatiques céés pa un fil ectiligne infiniment long, unifomément chagé de densité linéique λ. Figue 21. Application fil infini Pa application de la loi de coulomb : E (M) = k V λ dl 2 Nous obtenons E y (M) = λ 2πε 0 Cette équation monte que le champ céé en point M pa un fil ectiligne infiniment long chagé est : E y (M) 1/ si λ > 0 λ < 0 E y est adial de M ves l exteieu E y est adial de M ves l inteieu Pou calcule le potentiel électostatique dans le cas d un fil infini, nous somme oblige de défini le potentiel à pati d une oigine pise abitaie. Pou cela, nous calculons d abod 29

31 la vaiation du potentiel électostatique ente deux points M 1 et M 2 distants du fil espectivement de 1 et 2. dv = E. dl V( 2 ) V( 1 ) = 2 E. d = Nous déduisons ensuite le potentiel électostatique : V() = λ 2πε 0 = λ λ Log 2πε 2 + Log 0 2πε 1 0 λ 2πε 0 Log + cste. En tenant le même aisonnement déjà vue dans le chapite (appels mathématiques) afin de démonte que le champ vectoiel A n est aute que le gadient d une fonction scalaie f(x, y, z). De la même manièe, nous écivons E = gad V Cette expession implique : E x = V ; E x y = V ; E y z = V z Tout poblème en électostatique peut se ésoude en utilisant cette elation. d 6 Dipôle électique. Un exemple de dipole est la molécule d eau. La molécule d eau contient deux chages (H 3 O +, OH ). Figue 22. Molécule d eau Note but dans cette section est de calcule le potentiel céé en un point M pa un dipôle électique. 30

32 6.1 Définition Nous supposons un système de deux chages ( q, +q) placées en N et P espectivement distant de a telle que a = NP Et a PM ou NM Figue 23 Moment dipolaie On définit le moment dipolaie le vecteu ppa : p s expime en Cm. 6.2 Potentiel céé pa un dipôle électique. p = qnp (14) Nous utilisons les coodonnées polaies afin de calcule le potentiel céé pa le dipôle électiquep. nous penons comme oigine O milieu de NP, et la doite NP comme oigine des angles. Dans le cas d un dipôle : OM = a. Pa définition V = q ( 1 1 ) 4πε 0 PM NM PM a cos θ PM (1 a cos θ) 2 2 Figue 24. dipôle électique NM + a cos θ 2 NM (1 + a cos θ) 2 31

33 Séie de Taylo : (1 + X) α = 1 + αx + α(α 1) 2! Dans ce cas a 1 Nous obtenons : V = Nous intoduisons p le moment dipolaie, nous écivons : + α(α 1)(α 2)...si X 1 3! q a cos θ ( 4πε 0 2 ) (15) q V = ( p. u 4πε 0 2 ) Où u est un vecteu unitaie poté pa OM Le potentiel électique du dipôle dépend de(, θ)et c est une fonction décoissante en 1/ 2. Exemple : - Donne les expessions du champ électique céé pa ce dipôle. - Quelle est l équipotentielle V = cste. - Nous appelons la elation ente le champ électique et le potentiel En coodonnées polaies E = gad V Nous obtenons L équipotentielle V = cste gad = u + 1 θ θ u θ E = E θ = 2p cos θ ( 4πε 0 3 ) (16) sin θ p 4πε 0 ( 3 ) Nous donne V = p cos θ ( 4πε ) = cste = k cos θ (17) Figue 25. Lignes de champ céé pa un dipôle électique et équipotentiel 32

34 Chapite II 7 Définition : Flux du champ électique le flux de E à taves une suface S, noté S (E ) est la quantité scalaie définie comme : S (E ) = E. ds (18) S ds =n ds, est un vecteu poté pa la nomale n en un point de suface S considéée. Losque S est une suface femée, ds est toujous potée pa la nomale extéieue. Figue 26. le poduit ente scalaiee. ds définie l élément de flux à taves ds. 8 Flux du champ électique céé pa une chage ponctuelle. Nous calculons le flux du champ électique céé pa une chage ponctuelle q à taves une suface femée. Deux cas peuvent se pésente - q est à l extéieu de la suface femée. - q est à l intéieu de suface la femée 8.1 cas où q est à l extéieu de la suface femée. Nous considéons une suface femée paticulièe obtenue pa l intesection de deux sphèes concentiques de ayon 1 et 2 centées su q et d un cône d angle au sommet α :αest tès petit. 33

35 Figue 27. l intesection de deux sphèes concentiques de ayon 1 et 2 centées su q La suface femée est composée de : S = S 1 + S 2 + S latéale Le flux du champ électique à taves cette suface se décompose ainsi : SF (E ) = S1 (E ) + S2 (E ) + S latéale (E ) Le champ électique céé pa la chage q est adial : E = K q 3 Donc il est pependiculaie en chaque point à ds latéale. Puisque E ds latéale En effet S latéale (E ) = 0. Nous calculons le flux S1 (E ) + S2 (E ) 1 (E ) = E. ds 1 = E. ds 1 cos π = E S 1 ; Eet S 1 sont paallèle et de sens contaie De la même façon nous touvons 2 (E ) = E. ds 2 = E. ds 2 cos 0 = E S 2 ; Eet S 2 sont paallèle et de même sens Quand α est tes petit S 1 S 2 = S Alos S1 (E ) + S2 (E ) = 0 Le flux dee à taves S 1 est exactement compensé pa Le flux dee à taves S 2. Donc SF (E ) = 0. Le flux sotant à taves toute la suface femée est nul. 8.2 cas où q à l intéieu de la suface femée Nous choisissons dans ce cas une suface femée sphéique, comme pécédemment S 1 et S 2 seont des potions de sphèe comme indique la figue 34

36 Figue 28. S 1 et S 2 seont des potions de sphèe Les deux cônes au sommet q + ont un angle α tès petit. Le flux du champ électique à taves cette suface hachuée su la figue est : S latéale (E ) = 0Meme chose qu en A. SF (E ) = S1 (E ) + S2 (E ) + S latéale (E ) S1 (E ) + S2 (E ) = 2 kcaeet S sont paallèle et de même sens en chaque point la suface. Dans ce cas, Le flux à taves la suface femée est non nul. 8.3 valeu de SF (E ) quand q est à l intéieu de la suface femée Pou cela nous emaquons d abod que est adial : E = K q, son module est constant à 3 la distance est adial, de plus Eet S sont paallèle et de même sens.alos, S (E ) = E. ds = E. ds cos 0 SF (E ) = K q R 2 ds = ( q 4πε 0 1 R 2) 4πR2 = q ε 0 = S (E ) En ésumé SF (E ) = 0 si q est exteieu à SF q si q est exteieu à SF ε 0 9 Théoème de Gauss Le théoème de Gauss se déduit des ésultats pécédente, il s annonce ainsi : Le flux du chages électique céé pa une chage électique Q, à taves une suface femée est égal : à Q ε 0 quand Q est à l intéieu de la suface femée. à 0 quand Q est à l extéieu de la suface femée Ceci se ésume pa la fomule : 35

37 SF (E ) = Q int ε 0 (19) Remaques : 1/ le ésultat obtenu est indépendant de la fome et de la taille suface femée 2/ le flux du champ électique ne dépend que de la chage électique totale intéieu à cette suface femée. 3/si cette chage électique est distibuée dans un volume V fini, de telle sote qu on puisse défini une densité volumique de chageρ(x, y, z). Alos le théoème de Gauss s écit SF (E ) = Q int = 1 ρ dv ε 0 ε 0 V D apes le théoème de Geen-Ostogadsky div E dv = E. ds Donc div E dv = 1 ε 0 V ρ dv Pou un element de volume tes petit div E = ρ (20) ε 0 1 e équation de Maxwell 10 Application du théoème de Gauss : Calcule le champ électique céé pa un fil ectiligne infiniment long unifomément chagé de densité linéique λ> 0 Figue 29. suface de Gauss est un cylinde de longueu H de ayon 36

38 Nous tenons compte de la symétie du système, nous choisissons comme suface de Gauss un cylinde de longueu H de ayon. Le flux de E à taves cette suface femée : SF (E ) = S1 (E ) + S2 (E ) + S latéale (E ) Les deux pemièes intégales sont nulles puisque E ds S1 et E ds S2. La toisième intégale S (E ) = E. ds = E. ds E est constant à la distance O d apès le théoème de Gauss S (E ) = E ds = ES = E2πH E2πH = Q int ε 0 = H λ dl 0 ε 0 = λ H ε 0 Donc : E = λ 2πε 0 (21) Résultat déjà touvé pa application de loi de Coulomb. Dans le système intenational (SI) MKSA les unités fondamentales sont le mete, lekilogamme, la seconde et l Ampèe. Dans ce système : - la chage électiqueq s expime en Coulomb. - ρen coulomb pa m 3. - σen coulomb pa m 2. - λen coulomb pa m. - La foce F en Newton. - Le tavail W en joule - Le potentiel Ven joule pa coulomb ou en volt. - Le champ électique E en volt pa mète. 37

39 Chapite III Notions de cistallogaphie Conducteus en équilibe. Dans la natue la gande majoité des cops existe à l état cistallisé. Un solide cistallisé est composé d un agégat de cistaux collés les uns des autes. Un cistal est constitué de motifs. Le motif peut ête soit : Un atome Une molécule Un ion Nous supposons que le motif soit un atome, sa stuctue électonique est fomé d un atome de chage électonique positive autou du quel gavitent des électons qui potent de chages négatives. Les obites qui sont poches du noyau foment des couches intenes et celles qui sont les plus éloignées foment les couches extenes. Ces couches qui vont fome les liaisons ente les difféents atomes qui constituent le cistal. Les électons des couches extenes peuvent ête : Soit fotement liés : isolant Faiblement liés : électons pesque libe. 11 Conducteu et isolant à l équilibe électostatique Champ électique dans les isolants Plaçons un isolant dans un champ extéieu unifome E ext. Ce champ va agi su les électons mais comme ceux-ci sont bien lié à leus atomes il ne va ien se passe sauf une dedomation du nuage électonique existant autou du noyau à cause de la foce électostatique. Figue 30. Le champ électique est pesque le même à l intéieu et à l extéieu de l isolant. 38

40 11.2 Champ électique dans le conducteu Losque nous plaçons un métal tel que le cuive dans un champ extéieu unifome E ext Il va y avoi un déplacement des chages négatives jusqu à la suface du conducteu, qu elles ne pouont pas fanchi. Nous auons un empilement des chages positives d un côté et de chages négatives de l aute côté. Cette nouvelle épatition des chages va engende un nouveau champ E N de sens opposé E ext. Plus l empilement de chages augmente plus E N augmente. L état stationnaie ou état d équilibe est attient quand le champ électique à l intéieu du conducteu est nul : E int = E ext + E N = 0 (22) à ce moment les chages électique ne sont plus soumis à aucune foce. Pa conséquent la suface du conducteu est ecouvete de chages. Figue 31. Empilement des chages positives d un côté et de chages négatives de l aute côté. Nous avons monté que le champ électique à l intéieu d un conducteu en équilibe électostatique est nul E int = 0 En effet E = gad V Alos le potentiel Vest constant. Ce ésultat a pou conséquent que tout le conducteu et en paticulie sa suface est une équipotentielle. Les chages électiques sont accumulées en suface avec une densité supeficielle de chage σ. Nous appliquons le théoème de Gauss pou calcule le champ électiquee s au voisinage immédiat du conducteu. Nous choisissons la suface de Gauss un cylinde tès plat dont les généatices sont pependiculaies à la suface du conducteu. 39

41 Figue 33. E s = σ ε 0 est appoximativement à la suface extéieue du conducteu SF (E ) = S1 (E ) + S2 (E ) + S latéale (E ) Les deux pemièes intégales sont nulles puisque E ds S1 et E ds S2. La toisième intégale S latéale (E )= E s. ds = E s. ds = Q int ε 0 E s est constant à la distance S latéale (E ) = E s ds = Q int ε 0 E s S = σds ε 0 Nous penons σ comme une constante, nous obtenons finalement E s = σ ε 0 (23) Nous emaquons que l existence d une discontinuité du champ électique qui passe de zéo à σ l intéieu du conducteu ves la valeu est appoximativement à la suface extéieue du ε 0 conducteu. Cette discontinuité povient de l accumulation des chages en suface. 12 Influence subie pa un conducteu isolé Soit Cun conducteu isolé et non chagé. Il n'y a aucune chage nulle pat, donc V = 0 patout et E = 0. Aucune ligne de champ n'existe.on appoche de Cun aute conducteu Achagé positivement. Les chages de Afont égne un champ électique qui agit su les chages mobiles de C. Dans C, les chages négatives se déplacent appaaissent su la patie de C poche de A et des chages positives su la patie la plus éloignée de Ajusqu'à ce que l'on aive à une situation d'équilibe. 40

42 Figue 34. Les chages négatives se déplacent appaaissent su la patie de C poche de A et des chages positives su la patie la plus éloignée de A 13 Influence subie pa un conducteu maintenu à un potentiel constant Figue 35. Los que conducteu C est maintenu à un potentiel V = 0, il appaait que des chages négatives su C, Influence électostatique su un conducteu maintenu à V = 0 Nous patons toujous d'un conducteu seul face à un plan de masse, mais cette fois, il est elié pa un fil conducteu à ce plan de masse. Il n'y a aucune chage nulle pat, donc V = 0 patout,e = 0. Aucune ligne de champ n'existe. Quand nous appochons de Cle conducteu Achagé positivement, nous avons un effet tès voisin du pécédent, mais cette fois, comme Vest maintenu à 0 su C, aucune ligne de champ ne peut plus soti de Cca aucun endoit n'est à un potentiel plus faible. Donc aucun point de la suface de Cne peut pote de chages positives. il appaaît que des chages négatives su C, alos qu il y a déplacement des chages positives ves la tee (c.à.d déplacement des électons de la Tee ves C). O toutes les lignes de champ qui aivent su C viennent de A, tandis que celles qui patent de A ne viennent pas toutes su C. 41

43 14 L'influence totale L influence totale se poduit losque le conducteu B entoue le conducteu A. nous auons le phénomène suivant : si le conducteu B est isolé et initialement neute. Puisque la chage totale doit este nulle, il appaaît su la face extene la chage +Q. Fig 36. Pa conte si le conducteu B est isolé et pote initialement une chage Q, pa influence totale sa chage va augmente et va s ajoute à la chage initiale, il appaaît donc su sa face extene la chage Q + Q. Finalement, le conducteu B est elié au sol, aucune chage su sa face extene (déplacement des électons de la tee ves le conducteu B). B devient isolé. 15 Pession électostatique. Soit un conducteu C de chage sufacique σ. Le champ électostatique est nul à l'intéieu de C tandis que le champ électique au voisinage de la suface du conducteu C est E = σ n ε 0 Le champ moyen dans l épaisseu de la couche e est : E = σ 2ε 0 Nous montons que la foce élémentaie ainsi execée su une potion de suface ds du conducteu a pou expessiondf = PdS. O df = EdQ. Et donc à la foce df = σ σds 2ε 0 Nous touvons que P = σ2 2ε 0 (24) La pession P est toujous positive quel que soit le signe de la chage. 42

44 16 Capacité d un conducteu et d un condensateu 16.1 Conducteu La chage Q d'un conducteu isolé Qest popotionnelle à son potentiel V Q = C i V (25) Le coefficient de popotionnalité C i est appelé capacité du conducteu isolé. La capacitéc i du conducteu isolé ne dépend que de sa géométie. C i s'expime en faads. 1faads coespond à une chage de 1Coulomb quand le potentiel est de 1Volt. μf = 10 6 F nf = 10 9 F Exemple : pf = F Quelle est la chage d'une sphèe isolée de ayon 5cm. Si on pend comme suface de Gauss une sphèe concentique à la pemièe et de ayon le champ Een tout point est adial et de module constant. Donc, le flux de E est égal à E4π 2. Ce flux est donc égal à la chage Q ε 0. E4π 2 = Q ε 0 Donc, E = Q ε 0 4π 2 soit le même que si la chage Q était ponctuelle. Le potentiel donc lui aussi le même que pou une chage ponctuelle : V = Q ε 0 4π A la suface, = R on a donc V = Q ε 0 4πR Où : Q = 4πε 0 R V en compaant avec Q = C V Nous touvons C = Q V = 4πε 0R C = 4πε 0 R = = F = 5.55 pf. 43

45 16.2 Condensateu. Un condensateu est constitué de deux conducteus en influence totale. Nous supposons que le conducteu 2 entoue complètement le conducteu1. Le conducteu 1 s appelle l amatue intene et le conducteu 2 l amatue extene Capacité d un conducteu Figue 32 Pa influence total, il appaait des chages su la suface extene du conducteu 2 Soit Q 1 la chage totale du conducteu 1. Q 2 la chage totale du conducteu 2. Avec Q 2 = Q in ex 2 + Q 2 Nous emaquons déjà que Q in 2 = Q 1, D apès le théoème de Gauss et puisquee = 0 à l intéieu d un conducteu, on a in Q 1 = Q 2 Les elations ente les chages et les potentiels s écit : Q 1 = C 11 V 1 + C 12 V 2 (26) Q 2 = C 21 V 1 + C 22 V 2 (27) Nous sommes dans un cas d influence totale alos : C ii = j i C ji Qui devient C 11 = C 21 = C 12 ca C 21 = C 12 (28) 44

46 C 22 est le coefficient de l amatue extene en influence avec une amatue dont le potentiel tend ves l infini si V 2 0. Q 1 = C 11 V 1 + C 12 V 2 Q 1 = C 11 (V 1 V 2 ) (29) Q 1 depend de la ddp ente les amatues. Maintenant, pou touve Q 2, il suffit de cheche Q 2 ex en fonction de Q 2 ex. Q 2 ex est la chage potée pa la suface extéieu du conducteu 2. Q 2 ex = Q 2 Q 2 in =Q 2 + Q 1 Nous touvons Q 2 = C 11 (V 1 V 2 ) + (C 22 C 11 )V 2. Pa définition C 11 est la capacité du condensateu Q 1 C 11 = (V 1 V 2 ). (30) Exemple de condensateu 1/un condensateu plan un condensateu plan est fomé de deux plaques paallèles de suface S distant de e. e S, le champ qui ègne ente les amatue est unifome : E = V 1 V 2. e Figue 33. La capacité du condensateu plan Es expime aussi en fonction de la densité de chage sufacique: σ = Q, tel que S E = σ. ε 0 Le théoème de Gauss nous pemet de connaite le champ, céé pa un plan infini potant une chage de densité sufaciqueσ. E 1 = E 2 = σ 2ε 0. 45

47 D apès le pincipe de supeposition, le champ céé pa deux plans infinis potant espectivement de densité +σ, σ Nous evenons au calcul de la capacité du condensateu plan C = Q (V 1 V 2 ). En expiment la chage Qen fonction de la d.d.p. Q = σs En emplaçons l expession de Eε 0 = σ dans Q d où C = ε 0S e C ε 0 (30) 2/Condensateu sphéique Un condensateu sphéique se pésente comme deux sphèes conductices concentiques de ayon R 1 et R 2 espectivement R 1 < R 2 jouant le ole d amatue intene et extene. C est le cas d une influence totale. Si Qest la chage de l amatue intene, et (V 1 V 2 )la d.d.p, nous déduisons l expession de la capacité C = Q (V 1 V 2 ). d apès la définition Figue 34. Capacité d un condensateu sphéique R 2 V 1 V 2 = E d R 1 Avec E = 1 Q 4πε 0 2 D où V 1 V 2 = 1 4πε 0 [ 1 R 1 1 R 2 ] Nous obtenons C = 4πε 0 R 1 R 2 R 2 R 1 (31) 46

48 Remaque : R 2 C = 4πε 0 R 1 c est la capacité d une sphèe isolé. Si R 2 = R 1 + e telle que e R 1 alosc = ε 0S Capacité d un condensateu cylindique. e c est l capacité d un condensateu plan. Figue 40. Capacité d un condensateu cylindique d un condensateu cylindique est fomé de deux conducteus cylindique coaxiaux de ayon espectifs R 1 et R 2 (R 1 < R 2 ) de hauteu h. en supposant que le champ qui égne ente les amatues est le meme que celui poduit pa un cylinde infiniment long potant une chage Q. Alos E = 1 λ 2πε 0 avec λest une chage linéique telle que Q = λh. Nous déduisons la capacité C = 2πε 0h log R 2 R 1 (32) Dans cas, si la distance ente les amatues est tès petite R 2 = R 1 + e avec e R 1 alos : C = ε 0S Nous etouvons l expession de la capacité d un condensateu plan. e 47

49 Goupements de condensateus Un condensateu est caactéisé pa sa capacité et la d.d.p qu il peut suppote. Objectif du goupement de condensateus : - avoi un condensateu capable de suppote les d.d.p élevées, - ou avoi un condensateu de capacité tès gande. - Goupement en séie. Pou un goupement en séie de n condensateus, la capacité du condensateu équivalent sea : Figue 41. Capacité Cdu conducteu équivalent au montage des condensateus en séie Nous appliquons une d.d.p. V A V B ente les bones Aet. B L'amatue du condensateuc 1, eliée à la bone A, eçoit une cetaine quantité d'électicité Q, positive. Les autes amatues potent les chages Qou Q, qui sont épaties comme il est indiqué. En effet, les deux amatues d'un condensateu potent des quantités d'électicité opposées. Déteminons la capacité Cdu conducteu équivalent au montage des condensateus en séie. Si l'on applique la même d.d.p. V A V B au condensateu équivalent, les mêmes quantités d'électicité Qet Q sont eçues pa ses amatues. Sa capacité Cest donc telle que : Q = C. (V A V B ). Considéant le montage en séie (figue 1) des condensateus de capacités C 1, C 2 et C 3, on peut écie pou chacun d'eux : on peut écie pou chacun d'eux : Q = C 1 (V A V P ); Q = C 2 (V P V M ): Q = C 3 (V M V B ) Et pa suit : Q C 1 (V A V P ) +: Q C 2 (V p V M ) + Q C 3 (V M V B )= Q C On obtient 1 C = 1 C C C 3 48

50 C 1, C 2, C 3.. C n, sont montés en séie, le condensateu équivalent a la capacité Ctelle que - Goupement en paallèle n 1 C = 1 C i i=1 (33) Figue 42. Capacité Cdu conducteu équivalent au montage des condensateus en paallèle On a epésenté (figue 1) le montage en paallèle de 3 condensateus de capacité C 1, C 2 et C 3 La même d.d.p. est appliquée à tous les condensateus. Les amatues eliées au point pennent les quantités d'électicité Q 1, Q 2, et Q 3, positives si. V A > V B. Les amatues eliées au point Bpennent les quantités d'électicité Q 1, Q 2 et Q 3. Si la même d.d.p.. V A V B est appliquée au condensateu équivalent, à ce montage, son amatue chagée positivement eçoit la quantité d'électicité Q 1 +Q 2 + Q 3. La capacité C de ce condensateu est donc telle que : Q 1 +Q 2 + Q 3 = C(V A V B ) On peut écie pou chaque condensateu du montage en paallèle : Q 1 = C 1 (V A V B ) Q 2 = C 2 (V A V B ) Q 3 = C 3 (V A V B ) donc : Q 1 +Q 2 + Q 3 = C 1 (V A V B ) + C 2 (V A V B ) + C 3 (V A V B ) = C(V A V B ) Il vient apès simplification : C = C 1 +C 2 + C 3 D'une manièe généale, la capacité C du condensateu équivalent à n condensateus montés en paallèle, de capacité C 1, C 2, C 3 C n est : C = n C i i=1 49 (34)

51 Chapite IV Électocinétique 17 Intoduction : L électocinétique : est le domaine de la physique où les manifestations des mouvements de chages mobiles sont étudiées en temes de couants et de tensions. Il s agit ainsi d étudie la ciculation des couants électiques dans des cicuits électiques assez simples composés de souces, ésistance, bobine, condensateu, etc. Pa conte électostatique étude des phénomènes liés aux chages électiques immobiles. 18 Conducteu électique. Losqu on elie deux conducteus en équilibe A et B pa un fil conducteu, les chages se mettent en mouvement sous l influence du champ électostatique qui ègne dans le fil. Ce mouvement se pousuit jusqu à l établissement d un nouvel état d équilibe. Cette ciculation de chages coespond au passage d un couant électique dans le fil de connexion Couant électique Un couant électique est la gandeu algébique coespondant à la ciculation de chages électique mobiles dans un conducteu. Les difféents types de chages sont : Dans les métaux : électons libes q = e (chage élémentaie e = C). Chaque atome du métal libèe un ou plusieus électons qui se popagent libement dans le métal. Dans les semi-conducteus : électons libes (chage q = e) et tous (chage q = +e). Dans les liquides : cations (ions +), anions (ions ). Dans les gaz : poté à tès haute tempéatue, il peut y avoi ionisation d une patie d un gaz dans cetaines conditions comme une déchage électique, on pale de plasma. L Intensité électique i(t) à taves une section (S) de conducteu est le débit de chages d q(t) qui tavese la section(s) de conducteu pendant un intevalle de temps dt, soit : i(t) = d q(t)dt (35) L intensité i(t) est une gandeu algébique, et s expime en ampèe (A = C/s) dans le S.I. Elle se mesue au moyen d un ampèemète (banché en séie avec le cicuit). Symbole: A Pa convention, le sens positif du couant est celui des chages positives : d q > 0. 50

52 Figue 35. Cicuit électique en unité de temps i = q t 18.2 Densité de couant Soit un matéiau conducteu dans lequel tous les chages sont de même type q se déplacent avec une vitesse v assimilée à la vitesse de goupe (patie électomagnétisme). Figue 36. le flux du vecteu j à taves la suface S On appelle vecteu densité volumique de couant, noté j expimé en /m 2, ρ est la densité volumique des chages : j = ρv (35) ρ = nq (36) Où n coespond à la densité des chages mobiles. L intensité du couant électique appaaît comme le flux du vecteu j à taves la sufaces. la suface S est quelconque. I = j. ds (37) 19 LOI d OHM Les tavaux patiques montent que le appot ente la tension u(t) aux bones de la ésistance R métallique (conducteu) et le couant qui le tavese i(t), est constant ( la tempéatue de la salle est maintenue constante). La constante R est, pa définition, la ésistance électique du conducteu, elle est expimée en ohms Ω. R = u(t) (38) i(t) 51

53 C est la Loi d Ohm à l échelle macoscopique. Figue 37. Résistance électique du conducteu À l échelle micoscopique. En tout point M d un conducteu de conductivité σ, il existe un champ E entaîne l appaition d une densité de couant J : J = σe ; E = J σ Cette expession est généale, elle constitue la fome locale de la loi d Ohm. La constanteσ, dépend de la natue du matéiau. On utilise σpou caactéise le matéiau où sa ésistivité. ϼ = 1 = E σ I ; E = ϼ I S S Pou un conducteu de longueu L, de section constante S, on définit la ésistance Rpa : R = ϼ J. S Si V A V B désignent les potentiels ente deux points Aet Bdistant de Ldans le conducteu, la nome du champ électique est égale aussi à L 0 V A V B = E dl. : E = V A V B L Ainsi, La loi d'ohm taduit l effet du déplacement des chages au champ électique E auquel coespond une difféence de potentiel en fonction du matéiau caactéisé pa sa ésistance. Dans le Cu : densité volumique d atomes: n = m 3. on admet que chaque atome founit 1 é au couant : n e = m 3. q = e = C v =? Exemple : pou I = 10A et S = 10 mm ². on calcule I : I = J. S = eqvs On touve v m/s. 20 Loi de Joule. Nous avons monté dans le paagaphe pécèdent (2) que le tavail de la foce électique los du déplacement d une chage q ente deux points A et B pend la fome suivante : W = q (V(A) V(B)). Si un élément de chage dq passe d un point A à un point B à taves une ésistancer, le tavail des foces électiques est : dw = dq (V(A) V(B)). Nous emplaçons dq = idt et V(A) V(B) = u est lad.d.p. D où dw = Ri 2 dt Ce tavail est l énegie dissipée sous fome de chaleu : c est l effet Joule A l état stationnaie. Elle coespond à une puissance P = dw dt = Ri2 (39) 52

54 Soit P = u2 R (40) P = u i (41) Une puissance s'expime généalement en watts, ou en joules pa seconde. 21 Les Cicuits électiques. Un cicuit électique est constitué d un ensemble de conducteus et de composants électiques ou électoniques pacouus pa un couant électique. Un cicuit électonique simple est constitué d un généateu qui founit l énegie électique, un écepteu qui eçoit l énegie du généateu et inteupteu qui pemet de commande le passage du couant dans le cicuit Figue 38 Cicuit électonique simple Cicuit électonique simple On distingue deux types de cicuit. - Un cicuit électique passif est un cicuit composé de (ésistance, bobine, condensateu.). un cicuit passsif consomme de l énegie. - Un cicuit électique actif compote de (diode, cicuit intégé..). un cicuit actif founi de l énegie au cicuit dans lequel il est connecté. Goupement de ésistances. Association en séie de ésistance Figue 39 Association en séie de ésistance 53

55 Chaque ésistance est tavesée pa la même intensité et la tension aux bones de la ésistance équivalente est égale à la somme des tensions patielles k Où u = Ri Association en paallèle de ésistance N u = u k (42) Figue 40 Association en paallèle de ésistance Les ésistances sont soumises à la même tension. Le couant total qui tavese l'ensemble des ésistances est égal à la somme des couants individuels 21.1 Lois de Kichhoff n i = i k (43) k Un cicuit compotant des généateus de tension, des écepteus et de fil de connexion. Nous définissons : - un nœud est un point du cicuit elié à deux dipôles ou plus. - Une banche de éseau est la patie de cicuit compise ente deux noeuds. - Une maille est un pacous femé de banches passant au plus une seule fois pa un noeud donné Loi des nœuds En tout nœud d'un cicuit, la somme des couants qui aivent est égale à la somme des couants qui sotent. Il s'agit d'une conséquence de la consevation de la chage électique. i entant = i sotant (44) 54

56 I 1 + I 2 +I 4 = I 3 + I 5 Figue 41. Loi des Noeuds 21.3 Loi des mailles Le long de toute maille d'un cicuit électique, à tout instant, la somme algébique des tensions est nulle. (V A V B ) + (V B V C ) + (V C V? ) + (V? V A ) = 0 (45) Les deux lois de Kichhoff pemettent l'analyse les éseaux électiques. Figue 42. Loi des mailles 6- Application de la Loi d Ohm aux éseaux Nous considéons maintenant un cicuit femé compotant un généateu de tension et N ésistances en séie. Selon la loi des mailles nous pouvons écie : N V + R k i = 0 (46) k 55

57 Figue 50. Cicuit électique femée Pa définition la ésistance équivalente est telle que : V = R i, donc : R = R k Nous supposons N ésistances en paallèle, elles sont soumises à la même tension, chacune est pacouue pa un couant N k Figue 43. Association en séie et en paallèle i 1 = V R 1 La loi des nœuds nous donne. N I = V R k k Exemple : Figue 44. Calcul du couant pincipal I 56

58 Calcule le couant pincipali. On donne : E = 10 V, E1 = 5V, E2 = 3V, E3 = 6V, R1 = 1k, R2 = 2,2kR3 = 3,3k. Solution : La loi des nœuds I = I 1 + I 2 + I 3 La tension est la même (goupement paallèle) : Dans la 1 e banche E = + R 1 I 1 = E 2 + R 2 I 2 = E 3 + R 3 I 3 I 1 = (E E 1 )/ R 1 = (10V 5V) / 1k = 5mA Dans la 2 eme banche I2 = (E + E2)/ R2 = (10V + 3V) / 2,2k = 5,91mA La 3 eme banche I3 = (E + E3)/ R3 = (10V + 6V) / 3,3k = 4,85mA Nous obtenons I = 5mA + 5,91mA + 4,85mA = 15,76mA. 57

59 Chapite V Electomagnétisme 22 Intoduction Tout mouvement de chages poduit une petubation dans son envionnement l existance d un champ magnétique. Tout mouvement de chages dans un champ magnétique subit une foce magnétique. Cette foce appaait est popotionnelle au poduit des intensités des deux couants et de leus sens elatif. Paeillement à la foce électostatique, elle est invesement popotionnelle au caé de la distance qui les sépae. 23 Définition d un champ magnétique. Nous avons vu comment une tige de plastique chagée poduisait un champ vectoiel E en tout point de l espace qui l entoue. De la même façon, un aimant poduit un champ vectoiel c est le champ magnétiqueb. Un aimant est une piee noie qui a la popiété d attie des objets en fe. Il est constitué de deux types de pôles difféents. Pa exemple, l extémité d une aiguille aimantée qui pointe ves le Nod est appelée pôle nod et l aute extémité pôle sud. Figue 45. Aiguille aimantée Le champ magnétique est un phénomène couant. Pa exemple si vous fixez une note su la pote du éfigéateu avec un petit aimant vous allez constate que l aimant agit su la pote à cause de son champ magnétique. Ces aimants sont plus familie n ont pas besoin d un couant électique pou poduie un champ magnétique, on les appelle les aimants pemanentent. Un type d aimant assez épandu est constitué d une bobine de fil enoulée autou d un noyau de fe et pacouu pa un couant. Dans ce cas la gandeu du champ magnétique est déteminée pa l intensité du couant. Exemple les électoaimants sont utilisés dans l industie. 58

60 23.1 Champ magnétique céé pa une chage en mouvement Le champ magnétique céé en un point M pa une paticule de chage q située en un point P et animée d une vitesse v dans un éféentiel galiléen est définit comme : μ 0 est la peméabilité du vide μ 0 = 4π10 7 Hm 1 (SI) B = μ 0 qv PM 4π PM 3 (48) Figue 46. Champ céé pa une chage mobile De même que pou le champ électostatique, le pincipe de supeposition s applique au champ magnétique. Si on considèe deux paticules q 1 et q 2 alos le champ magnétique céé en un point M quelconque de l espace sea la somme vectoielle des champs céés pa chaque paticule est : N B = μ 0 4π q iv i P i M P i M 3 (49) i=1 Si le nombe de paticules est tès gand dans un volume V donné et qu on s intéesse à des échelles spatiales bien plus gandes que la distance ente ces paticules on utilisea une desciption continue comme nous l avons fait en électostatique. 24 Foce Magnétique. Losqu une paticule chagée se déplace dans un champ magnétique on peut détemine expéimentalement si une foce povenant du champ agit su cette paticule. Dans ce chapite, nous étudieons la elation ente cette foce et le champ magnétique Foce de Loentz. Tout commença avec l expéience d Oested en Il plaça un fil conducteu au-dessus d une boussole et y fit passe un couant. En pésence d un couant l aiguille de la boussole est déviée, pouvant une elation ente le couant électique et le champ magnétique. Pa ailleus, il obseva que si on invesa le sens du couant, la déviation changea de sens. Cette foce qui dévie l aiguille est non adiale. 59

61 Figue 47. Relation ente le couant et le champ magnétique En ésumé on obtient l équation vectoielle suivante : On peut écie la gandeu de F m F m = q v B (50) Comme suit : F m = q v Bsinα Où α est l angle ente les diections de la vitesse v et du champ magnétique B. Cette équation indique que la foce F m su une paticule dans un champ magnétique est popotionnelle à la chage q et à a vitesse v de la paticule. Si q = 0 ou si la paticule est immobile donc : F m = 0. l équation indique aussi que v B (α = 0 ou α = π) alos F m = 0. Et que la foce est maximal losque v B Repésentation vectoiel de la foce de Loentz. On a déjà vu dans le chapite cinématique que le poduit vectoiel A B est un vecteu au plan fomé pa ces deux vecteus. Pa ailleus le poduit vectoiel v B donnea un vecteu qui sea au plan (v, B ). La ègle de la main doite monte que le pouce de la main doite pointe dans la diection v B quand les autes deux doigts fome la suface ente v et B en patant de v. Figue 48. le poduit vectoiel v B donnea un vecteu qui sea au plan (v, B ). 60

62 Si q > 0, la diection de F m aua le même signe que v B.pa conséquent la diection def m sea la même que celle du pouce. Pa conte, si q < 0 la diection de F m sea opposée à celle du pouce. En ésumé. On définit qu une paticule de chage q se déplaçant à la vitesse v dans un éféentiel où ègne un champ magnétiqueb, est soumise à la foce F m = q v B Avec F est la foce de Loentz s expime en N q est subit la foce (C). v : vitesse de la paticule (m/s) B est le champ magnétique s expime en Tesla (T). L unité compatible avec le système intenational pou mesue l intensité des champs magnétiques est le tesla (T). Quelques odes de gandeus Le champ magnétique de la tee B 10 4 T Un aimant pemanent B de 10m à 1 T Un électoaimant B de 0.1 à 0.2 T Une bobine supaconductice B de 5 à 50 T 24.3 Les lignes de champ magnétique On peut epésente les champs magnétiques pa des lignes de champ, comme l on a fait pou les champs électiques. Les èglent s appliquent en tout point, la diection de la tangente à une ligne de champ magnétique donne la diection de B Figue 49. Une ligne de champ commence au pôle nod (ouge) d un aimant et se temine en son pôle sud (noi). 61