Intégrale 4 ème math B.H.Hammouda Fethi

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1 Intégrle 4 ème mth BHHmmoud Fethi Intégrle d une onction continue et positive : Déinition : Le pln est muni d un repère orthogonl Soit une onction continue et positive sur un intervlle, et F une primitive sur, L ire en unité d ire de l prtie du pln limitée pr l coure de, l e des scisse et les droite d équtions et est le réel F F le réel F F est ppelé intégrle de à et noté d Eercice : Le pln est muni d un repère orthonormé On considère l onction : ) Représenter ) Clculer l ire de l prtie du pln limité pr l e des scisses, l coure et Remrque : les droites d éqution et Si F et G sont deu primitives de sur I lors pour tous et de F F G G Déinition : Soit une onction continue sur un intervlle I, et deu réels de I et F une primitive de sur I

2 On ppelle intégrle de entre et le réel, noté d, déinit pr d = F = F F on lit : Voculire et nottion : Le réel d est ppelé intégrle de sur, Eercice : d = u du = Clculer sin d et F pris entre et ou encore de à,ou encore ente et t dt on dit que est une vrile muette d Propriétés lgériques de l intégrle : Soit une onction continue sur un intervlle I, et deu réels de I Alors : * d ; d = c * d d d d c ( reltion de chsles) Soit et g deu onctions continues sur, ( g ) d d g d Intégrles et inéglités : pour tout réels et, Soit une onction continue sursi, est positive sur,, lors d Corollire : Soit une onction continue sursi, est positive sur et, ne s nnule qu en un nomre ini de,, lors réels de d Corollire (complisons) : Soit,g et h trois onctions continues sur,, lors Si h g Corollire : Soit une onction continue sur Eercice : Activité pge 6 Clculs d intégrles : Clcul u moyen d une primitive : Eercice4 : h d d g d h Clculer les intégrle suivnts : lors, d d d, Clcul u moyen d une intégrtion pr prtie : d sin d cos,, d

3 Soit et g deu onctions dérivles sur, et tel que leurs dérivées et g sont continue sur, Alors t g ' t dt t g t ' t g t dt Eercice5 : sin d, cos d, Vleur moyenne et inéglité de l moyenne : Déinition :, Soit une onction continue on ppelle vleur moyenne de sur, le réel, noté déinit pr d Eemple : Donner l vleur moyenne de l onction sin sur, Remrque : équivut d d lors l ire de l prtie du pln limitée pr l coure de, l e des scisse et les droite d équtions et égle à l ire du réctngle de coté et (inéglité de l moyenne ) Soit une onction continue Soit, m et M deu réels Si pour tout de,, Corollire : Soit une onction continue, Il eiste c, Eercice6 : Montrer que : d m M, lors m M Fonctions déinies pr une intégrle :, tel que c Soit une onction continue sur un intervlle I et un réel de I Alors l onction F déinie sur I Pr F t dt est l primitive de qui s nnule en

4 Conséquences : Soit une onction continue sur un intervlle I et un réel de I Alors l onction F déinie sur I Pr F tdt est dérivle sur I et F ', pour tout de I Eercice7 : Activité pge Soit une onction continue sur un intervlle I, U une onction dérivle sur un intervlle J telle que U J I et un réel de I lors l onction F déinie sur J pr F tdt F ' U U ' pour tout de J Est dérivle sur J et Soit une onction continue sur un intervlle I centrer en et soit un réel de I Si est impire lors d Si est pire lors d d Soit une onction continue sur IR, périodique de période T T T Pour tout réel, Eercice8 : 5 t Clculer dt 6 t Clcul d ire : d d t t dt Soit une onction continue et, s coure s coure représenttive dns un repère orthogonl L ire de l prtie D du pln limitée pr et les droites d éqution et est AD d u Si pour tout, lors AD d u Si pour tout, lors AD d u Soit et g deu onctions continues sur, telle que g U de coure respectives et g dns un repère orthogonl L ire de l prtie D du pln limitée pr, g et les droites d éqution et est AD g d u Clcul de volume de solide de révolution : L espce est muni d un repère orthonormé O, i, j, k Soit une onction continue et positive sur, Le volume V du solide de révolution engendré pr l rottion de l rc, l e Oi, est le réel AB M y tels que y et utour de V d

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