INTEGRATION. f(x) I F(x) I ) PRIMITIVE. e x R e x + c

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Jean-Claude Laberge
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1 INTEGRATION I ) PRIMITIVE Définition : Soient f et F deu fonctions définies sur I. F est une primitive de f sur I si F est dérivle sur I et pour tout de I F () = f () Propriété : Si f continue sur I lors f dmet une primitive sur I. Propriété 2 : Si f dmet une primitive sur I lors : - elle en dmet une infinité, toutes égles à une constnte prés. - pour tout couple ( 0 ; y 0 ) vec 0 I et y 0 R, il eiste une unique primitive F 0 de f sur I telle que F 0 ( 0 ) = y 0 Démonstrtion : PRIMITIVES USUELLES c désigne un réel quelconque f() I F() k (une constnte) R k+c n où n N* R n + n+ + c n où n Z - -{-} ]0;+ [ ou ] ; 0[ n + n+ + c ]0;+ [ ou ] ; 0[ ln() + c e R e + c ]0;+ [ 2 + c sin() R - cos() + c cos() R sin () + c Propriété 3 : Soient f et g deu fonctions dmettnt F et G comme primitives sur I lors une primitive de.f +.g où et sont des réels est F + G. Démonstrtion :

cos(u) sin(u) + c + c u 0 sur I u>0 sur I u>0 sur I Fire : e 39 p 202 et c, 52 p 203 + e II ) INTEGRALE ) Intégrle et ire ( e 2 ) Le pln est muni d un repère orthogonl O; i, j tel que OI= i et OJ= j

2 Propriété 4 : Si u dérivle sur I lors : fonction primitive condition de vlidité u.u n où n N* u n + n+ + c u.u n où n Z - -{-} u ' u u' u u n + n+ ln(u) + c 2 u + c u e u e u + c u. sin(u) - cos(u) + c u. cos(u) sin(u) + c + c u 0 sur I u>0 sur I u>0 sur I Fire : e 39 p 202 et c, 52 p e II ) INTEGRALE ) Intégrle et ire ( e 2 ) Le pln est muni d un repère orthogonl O; i, j tel que OI= i et OJ= j et OIKJ rectngle. Définition : On ppelle unité d ire, l ire du rectngle OIKJ. Définition 2 : Fire e : 27 p 200 Définition 3 : Soit une fonction continue et positive sur [;] et C l coure représenttive de f dns le repère O; i, j. On ppelle intégrle de f sur [;] le réel noté f d représentnt l ire, en unité d ire, du domine D délimité pr C, l e des scisses, et les droites d équtions = et =. Soit une fonction continue et négtive sur [;] et C l coure représenttive de f dns le repère. O; i, j On ppelle intégrle de f sur [;] le réel noté f d représentnt l opposé de l ire, en unité d ire, du domine D délimité pr C, l e des scisses, et les droites d équtions = et =.

2) Intégrle et primitive ( fire ct 4 p 85 ) Dns cette ctivité on vu que pour une fonction f continue, positive et croissnte sur [;], l fonction A : f d définie sur [;] est l primitive de f sur [;]

3 2) Intégrle et primitive ( fire ct 4 p 85 ) Dns cette ctivité on vu que pour une fonction f continue, positive et croissnte sur [;], l fonction A : f d définie sur [;] est l primitive de f sur [;] qui s nnule en. On l dmet dns les utres cs. Soit une fonction f continue sur [;], l fonction A : est l primitive de f sur [;] qui s nnule en. f d définie sur [;] E : > 0 ln() = Fire e : 60 p 203 t d t 2 t 2 d t= Si f est continue sur [;] lors f d = F() - F() où F est une primitive quelconque de f sur [;]. Soit F une primitive quelconque de f lors F() = A() + k donc F() - F() = A() + k - A() - k = A() = f d 2 eemple : (2 2 +3)d = [ ] = ( ) ( ) = 55 6 Fire e : p p 204 3) Propriétés des intégrles Dns tout ce chpitre f et g sont continues sur I et, et c sont des éléments de I et et deu réels. Définition : Soit une fonction continue sur [;], on ppelle vleur moyenne de f sur [;] le réel = f d Remrque : représente l huteur rectngle de lrgeur qui l même ire que l'ire du domine sous l coure représenttive de f entre et Eemple :

f d = - f d c f d + c f d = f d ( reltion de Chsles) f g d = f d + g d ( linérité) 3 Fire e : Clculer 2 4 d + e 90 p 207 3 (positivité) Si et f continue et positive sur [;] lors f d 0 f 0 donc F est

4 f d = - f d c f d + c f d = f d ( reltion de Chsles) f g d = f d + g d ( linérité) 3 Fire e : Clculer 2 4 d + e 90 p (positivité) Si et f continue et positive sur [;] lors f d 0 f 0 donc F est croissnte donc implique que F() F()... Remrque : Si f continue et positive et lors f d 0 Si f continue et négtive et Si f continue et négtive et lors f d 0 lors f d 0 Fire e : 88 p 206 (conservtion de l ordre) Si, f et g continues sur [;] et f g sur [;], lors f d g d Fire e : 92 p 207 f g f - g 0 f g d 0 f d - g d 0... Si, f et g continues sur [;] et f g sur [;], lors l ire, en unités d ire, du domine délimité pr les deu coures représenttives de f et g et les droites d équtions = et = est g f d Fire e ( sur les ires ): p 205 Fire : 05 p 20 (suites et integrles) devoir mison : 2 p p 26

EXERCICE : Déterminer l ensemle de continuité I et une primitive sur I des fonctions définies pr : f 4 f 2 2 4 + 5 3-8 2 +3 + 7 f 3 5 6 f 4-3 2 + 5-4 + 3 f 5 7 2 3 f 6 sin ( 5 + ) f 7 9 2 9 f 8 ( + )

5 EXERCICE : Déterminer l ensemle de continuité I et une primitive sur I des fonctions définies pr : f 4 f f f f f 6 sin ( 5 + ) f f 8 ( + ) ( ) f f 0 cos() sin 3 () f sin cos 3 f f 3 ln 7 3 f 4 tn() f 5-5 e 2 +7 e -3 f 6 e 5e 2 f 7 ln EXERCICE 2 : Dns le pln muni d'un repère orthonormé ( 0 ; i ; j ), on donne P l prole d'éqution y = 2. On ppelle A l'ire de l prtie du pln délimitée pr P, l'e des scisses et les droites d'équtions = 0 et = ) En coupnt [0;] en 5 intervlles de même longueur, 6 montrer que 25 A 25. 2) En coupnt [0;] en n intervlles de même longueur, ) Montrer que s n A S n où s n = n 3 ( (n ) 2 ) et S n = n 3 ( n 2 ) ) Démontrer pr récurrence que n 2 = n(n+)(2n+) 6 c) En clculnt les limites de s n et S n, déterminer A..

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