Analyse Statistique des Données de Lifetest

Transcription

1 Aalyse Statstque des Doées de Lfetest Evas Gouo Laboratore de Statstque Applquée de l Uversté de Bretage-Sud

2 Pla Gééraltés Les modèles paramétrques Essas accélérés : modèle d accélérato Exemple Step-Stress

3 Gééraltés X : durée / varable aléatore postve caractérstques de cette v.a. décrre Observatos de X ( X, X,, X ) -échatllo Lo Lo de probablté focto de x réalsato de X dépedat d u paramètre Modèle Statstque (Espace d Observatos, Lo, Espace de paramètre)

4 Statstque Fabrquer des foctos des observatos g ( X,X,, X ) No paramétrque Focto fablté R(x) P( X > x ) ( X > x) Focto fablté emprque Focto Fablté Pour u échatllo de 0 durées comprses etre 5 et 50 utés de temps. temps

5 Paramétrque X ~ f (X θ) desté de la lo de probablté + x P ( X > x) f ( x θ ) dx MF E(X) + x 0 f ( x) dx Iférece sur θ Estmato poctuelle ester des valeurs Costrure des tervalles de cofaces

6 Chox d u modèle 0 x x+dx C Probablté de défallace stataée P( X x+dx X > x ) (x) dx Das le cycle de ve, cette probablté de défallace vare. (x) taux de défallace (t) Jeuesse (t) Maturté (t) Usure t t t

7 Exemples de modèle Modèle Paramètre Desté MF Fablté aux de défallace Expoetelle exp { x} exp{ x} / Webull (α, ) α x exp α α Γ(+/) exp x α x α α Gamma (α, ) α α x exp x Γ( α) { } α / Γ(x ; α, ) Desté Log-ormale (µ, σ ) exp πσx log x µ σ σ exp µ + log x µ φ σ Fablté

8 Méthodes graphques Cas Webull l l R ( X ( x) > x) exp l x x α lα 40 C 80 C 30 C ll R (x) l x l x l x y.33x y.4454x y.3357x

9 Iférece Approche classque Estmato poctuelle du paramètre Maxmum de vrasemblace Lo jote de l observato vue comme ue focto du paramètre Méthode des momets Egaler les momets emprques aux momets théorques. Exemple cas expoetel : ˆ x MF

10 Durée de lo expoetelle ype I L essa s arrête au bout d u temps C fxé. Sas replacemet Avec remplacemet Estmateur du Maxmum de vrasemblace x + ( ) C C Lo du ombre de paes Bomale (, p) avec p - e -C Posso de paramètre C Itervalle de Coface de veau α N α 3 3 ˆ, + Nα 3 3 ˆ χ-α /() χ-α /( +, C C )

11 Durée de lo expoetelle ype II L essa s arrête au bout d u ombre de paes fxé Sas replacemet Avec remplacemet Estmateur du Maxmum de vrasemblace ( x ( ) ( ) x( ) + ) x Lo du ombre de paes Posso de paramètre C Posso de paramètre C Itervalle de Coface de veau α χ α / () χα / x, ( ) ( ) + ( ) x( ) χ α / () χα / (), x( ) x( )

12 Iférece L approche Bayésee Idée a pror sur le paramètre formalsée par u lo de probablté : lo a pror π (θ) Lo des observatos : f (x θ) héorème de Bayes Lo a posteror : π ( θ x) f ( xθ ) π ( θ ) f ( x) Estmateurs de Bayes Espérace de la lo a posteror Mode de la lo a posteror

13 Iférece Exemple : Cas d ue lo expoetelle Lo des observatos : f ( x, K, x ) exp x Lo a pror : π ( ) α Γ( α) α exp { } Lo a posteror : π ( x, K, x ) a b a exp Γ( a) { b} a + α x b +

14 Iférece Estmateur de Bayes ~ + α x + ( q) ˆ + qe( ) avec q Emv

15 Essas Accélérés Codtos Stadard X Stress Y ξ paramètres caractérsat le stress Modèle d accélérato Y ϕ ξ (X) Problème : trouver ϕ ξ focto postve décrossate

16 Essas Accélérés 3 Stratéges Polyôme Paramètre Modèle de Cox ϕ ξ (X) a 0 + a X + a X + a 3 X 3 + Les a dépedet des paramètres de stress Le paramètre θ du modèle de durée est ue focto du stress. La dépedace porte sur le taux de défallace (t ξ) exp (a.ξ) 0 (t) AF(ξ) exp (a.ξ)

17 Exemples : Expoetelle Webull Log-ormal 0 0 exp K E a.b. Y AF(). X ) ( ) ( α x x 0 0 exp ) α( α K E a avec ) ( 0 φ ν ν µ + K ) ( 0 φ avec costat σ costat Essas Accélérés

18 Step-Stress Stress température τ 0 C AF( ξ ) 0,,. Modèle d Arrheus Ea exp K 0,,. ξ K 0 a l 0 b E a l a + b ξ,,.

19 Estmato :,., ˆ + +,, ) )( ( ) ( ) ( C x x τ τ τ + + l l l l ξ ξ b a b a { } 0 ˆ exp ˆ ˆ ˆ l ˆ ξ a a E E Step-Stress

20 Step-Stress est à 0 veaux Applcato sur doées smulées 45 peces E a 0.37 ev E-6 h - emp c Estmato E a (ev) 0 (h - ) Valeurs etrées EMV Bayes

21 Step-Stress Représetato du taux de défallace 0,003 0,005 0,00 MLE heortcal Bayes (t) 0,005 0,00 0, temps

22 Cocluso Nouveaux développemets Step-Stress Optmalté Pareto est E a Fablts : logcel de calcul