Application aux matériaux énergétiques nanostructurés

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1 UNIVESITE AIX MASEILLE I UNIVESITE DE POVENCE Polyteh Maseille Laboatoie IUSTI UM CNS 6595 Éole Dotoale : Physiqe, modélisation et sienes o l ingénie (353 Dotoat : Méaniqe et Énegétiqe Ewin FANQUET Modélisation eléienne d éolements mltihasiqes en ésene d ondes de hos, de détonations et d intefaes matéielles Aliation a matéia énegétiqes nanosttés Diete de thèse : P ihad SAUEL Sotene bliqement le 5 Otobe 6 ~ Comosition d Jy ~ P Clavin Abgall M Paaleandis Sael Matin G Badin B Vieille Pofesse à l Univesité de Povene Pofesse à l Univesité de Bodea I Pofesse à l Univesité Catholiqe de Lovain Pofesse à l Univesité de Povene Pofesse à l Univesité de Povene Chehe a CEG (DGA Ingénie a CNES d Evy Pésident aote aote Eaminate Eaminate Invité Invité

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3 EMECIEMENTS Ce mémoie est le fit d n long tavail qi a fini a se laisse ls o moins eilli aès de nombeses étaes, afois ingates et diffiiles afois éanoissantes et libéaties Tot a long de e hemin, initiatiqe a etains ôtés, ne myiade de esonnes a oé n ôle, ls o moins ial, de mille et ne façons L éeve maintenant teminée, il est tems de ende n instant o les emeie En emie lie, aimeais adesse mes ls sinèes emeiements à ihad SAUEL qi m a enadé endant ls de tois ans Il a investi totes ses ométenes dans e oet, et ai beao ais de nos éhanges, de nos disssions et de ses nombeses emaqes en tot gene Il fût tès stimlant de tavaille sos sa dietion, et e tiens à le emeie o les effots de atiene qe ai li demande et o l ootnité q il m a offete Ensite, e vodais eime ma gatitde à M Pal CLAVIN, qi a bien vol ête le ésident d y de ette thèse malgé ses mltiles engagements, et o ses emaqes qi ont emis d enihi la qalité de e mansit Je sis assi tès eonnaissant à MM émi ABGALL et Miltiadis PAPALEXANDIS d avoi aeté d ête aotes de ette thèse et o l attention q ils ont otée a mémoie Je emeie également M oge MATIN qi m a, d ne at, emis d effete ma thèse a sein d laboatoie IUSTI, et qi, d ate at, à aete de faie atie d y malgé son emloi d tems hagé Ma gatitde va assi à M Géad BAUDIN, ommanditaie de e tavail o la DGA, dont les emaqes et les demandes fent toos tès intéessantes et enihissantes Enfin, e emeie haleesement M Bno VIEILLE qi a s ende de son tems o faie atie d y Dans n seond tems, e sohaiteais eime ma gatitde enves les membes emanents de l éqie SMASH Mei don à Ei DANIEL et Segey GAVILYUK o les disssions qe nos avons avoi et o vos emaqes Mei assi à Jaqes MASSONI, tant o son aide s le lan infomatiqe et ses éfleions qe o son état d esit (sans oblie son hmo si déliat, si tende et si gentil qi se devait d ête ité J aimeais assi emeie atilièement Olivie LeMetaye qi m a aidé de nombeses fois, et qi fût ne soe inéisable de enseignements, et ave qi ai is laisi à tavaille à diste (notamment de gby Maintenant, aimeais emeie e q on oblie to sovent et o qi ai ne ensée ; à savoi, tot le esonnel de l IUSTI, qi nos vient en aide dans totes nos démahes «non sientifiqes» et gâe à qi nos ovons tavaille dans d eellentes onditions Enfin, de manièe généale, e emeie tos les membes d laboatoie ave qi ai is laisi à diste et qi donnent sa onvivialité a laboatoie Ii, e sohaite emeie mes ollèges dotoants qi ont atagé, et qi o etains atagent enoe, es intenses moments qi font la thèse, et ave qi ai assé énomément de tems, tant in sit q en dehos d labo (la difféene étant afois mine Mei don à Blondin o son hmo et sa bonne hme inomaables, et o sa isine ; à Stef o ses enoagements et ae q elle m a donné ls q elle ne ense et etainement ls qe e n ai d li ende ; à iii

4 Chistian, le ose o qi ai toos e ne etite admiation (fate avoée à moitié adonnée malgé o à ase de son teméament volaniqe en sommeil ; à Magali o nos sovenis, o e q elle m a ais ( hésite à ite le Métal et ontine de m aende ; à Cyil (et à Toi, devant qi e me sis sovent obligé à moins d ade (et oi, e sis moi assi inflençable ; à Jaqeline, ma «old flatmate», o ette vie ommne et o son hmo si bitish ; à Nio et Tess, tant o le bonne hme emanente qe o totes les ates hoses ; à Malia, o nos disssions hilosohiqes et théologiqes Mei assi à Anne, Claie et Aélie ; a novea vens (qe e n aelleai as les enes : Nio le nomaliste, et Fabien le desendant ahé des gens de Nmeno Mei assi a qelqes etéies de l aïido : Nio et Cathy, atis loin mais as obliés ; Hevé et Ade, si gentils, si difféents et otant si semblables Enfin, il est gand tems de faie ne lae à e qi omtent le ls o moi Ils sont la aison et la foe qi m ont ossé et emis d alle sq ii, ae q ils me onnaissent le mie et ae q ave e e me sens bien Mei don à toi esonnellement, maman, d avoi e onfiane en moi et o tot e qe t m aotes Mei à Manfed et Ingid ae qe finalement l homme qe e sis doit beao à l enfant qe ai été (et qe e sis enoe sovent, est vai Mei assi à Anita et à tonton Gy, o e seond foye qe ai tové hez e ; à Ghis, Yohan, Sandine, Stefan, Vinent, Clément (ls le o la denièe?, Stéhanie, Stéhane, Emma et Jos Une gande famille, o de mltiles aventes, qi a toos été d n sotien sans faille et ne soe inoyablement égénéatie ; et où ai toos faie bonne itane (e ne les en aime qe ls o ela! Qe tos sahent q ils sont hes à mon oe Mei à e de la emièe hee : «Gonio» ae q il est n modèle o moi en de nombeses domaines et o de nombeses aisons, ae qe son avis et son sotien omtent (et ae qe est omme ça!, et bien sû Émilie, qi m aote toos n ate egad s les hoses et les gens ; à Gawel, ae q il me fait ie ( est etainement mon ls gos défat, ae qe est li, et o nos vales ommnes ; a «Bea» David, ave qi ai atagé beao d eéienes aallèles, et à sa famille ; à Vyeül, et Nadine, ae q il est gentil et igolo en fait (même si il est assi insotable ; à JC et Malia (et la ene Loise, ae q ils ontinent de m aime malgé mes défats ; à Landy, toos séial toos dôle, ave qi on ontinea esèe de faie des balades en béane ; à Gom, le Gom Et à e de la deième hee : JeanJean et Kaine, ae q il me fait ie et q il est omme il est (t saas e qe e ve die et ae qe sa femme est tant omme li ; à Cyil et Teesa, assi atistes et tods l n qe l ate mais si dôles, et ave qi e asse tant de bons moments ; à David et Ade, li involontaie omiqe de sitation a nate et elle à l esit si iselé et ihe d idées et oints de ve insttifs, qi ne manqent amais de m aeilli qand e asse dans le oin ; à Nio et Sohie, ae qe e li dois énomément et q il fût le meille éqiie q on isse avoi et ae q elle n hésite amais à me emette à ma lae et à me ente dedans ; à Thiey et Caoline, et Maina, à la fois tès gentils et d n hmo tès vif et iqant, qe ai laisi à omte ami mes amis iv

5 Table des matièes Table des matièes TABLE DES MATIÈES V INTODUCTION GÉNÉALE EMAQUES SU LES POBLÈMES À INTEFACES 3 A l éhelle ganlaie 3 A l éhelle maosoiqe 3 MODÈLES ENVISAGEABLES 4 Modèle à lsies vitesses, essions et teméates 4 Modèle à ne vitesse, ne ession et lsies teméates 5 3 APPOCHE DÉVELOPPÉE 6 CHAPITE I ELATIONS DES ONDES DE CHOC POU LES MÉLANGES MULTIPHASIQUES À FOTE ELAXATION MÉCANIQUE 3 I INTODUCTION 5 I MODÈLES D ÉCOULEMENT POU LES MILIEUX MULTIPHASIQUES À PHASES COMPESSIBLES 5 I Modèle généal 5 I Modèle édit 7 I3 DÉTEMINATION DES ELATIONS DE ANKINE-HUGONIOT MULTIPHASIQUES 3 I3 Call de oagation d ondes de ho dihasiqes ave le modèle hos d éqilibe 3 I3 Phénomène de disesion de l onde de ho dihasiqe 6 I33 elations de ho mltihasiqe 7 I34 Validations eéimentales 3 I35 Validations slémentaies 43 I4 CONCLUSION 44 CHAPITE II MODÉLISATION DES DÉTONATIONS DIPHASIQUES : STUCTUE INTENE ET ANALOGUE DES CONDITIONS CHAPMAN-JOUGUET 45 II INTODUCTION 47 II APPELS DES MODÈLES DE CALCUL DE STUCTUE INTENE DES DÉTONATIONS MONOPHASIQUES : MODÈLES ZND ET WK 48 II Cas monohasiqe D lan : modèle ZND 48 II Cas monohasiqe D en atohe ylindiqe, sivant l ae de symétie : modèle de Wood & Kiwood (modèle WK 5 II3 EXTENSION AU CAS DIPHASIQUE 56 II3 Établissement et femete d modèle d éolement 56 II3 Aliation à l etension dihasiqe d modèle WK 63 II33 Analyse de l analoge des onditions CJ o les détonations dihasiqes 68 II4 EXEMPLES ET VALIDATIONS 7 II4 Limite monohasiqe ZND 7 II4 Mélange de de gaz afaits ave et sans éhange de hale 7 II43 Mélange de de flides égis a des éqations d état difféentes, ave éhange de hale et ésene d effets de obe 74 II5 CONCLUSION 77 CHAPITE III EXTENSION DU MODÈLE D ÉCOULEMENT À UN NOMBE ABITAIE DE PHASES 79 III INTODUCTION 8 III EXTENSION À N PHASES DU MODÈLE D ÉCOULEMENT ET INTODUCTION DES TANSFETS DE CHALEU ET DE MASSE 8 III Modèle à N hases hos d éqilibe des vitesses et des essions, en ésene de tansfets de hale 8 III Analyse asymtotiqe 8 III3 Modélisation des temes de tansfet de masse 8 v

6 Table des matièes III4 Modèle à N hases à ne vitesse et ne ession, ave éhanges de hale et tansfets de masse85 III3 APPLICATION AU CALCUL DE STUCTUE INTENE D ONDES DE DÉTONATION MULTIPHASIQUE À FONT COUBÉ 86 III3 elations de ho mltihasiqes 86 III3 Fomlation en vaiables imitives 87 III33 Analoge des onditions CJ 87 III34 Eemle 88 CHAPITE IV MODÉLISATION DES EFFETS CAPILLAIES À LA NANO-ÉCHELLE 9 IV INTODUCTION 93 IV MODÈLE D ÉCOULEMENT AVEC CAPILLAITÉ INTENE 93 IV Éqation d évoltion de la fation volmiqe 94 IV Éqations de qantité de movement et d énegie de mélange 95 IV3 Modèle de mélange à aillaité intene 96 IV3 ELATIONS DE CHOC DU MODÈLE MULTIPHASIQUE À CAPILLAITÉ INTENE 97 IV3 elations o les vaiables onsevatives 97 IV3 Femete des elations de sat o les ondes de ho 98 IV33 Eemle de oagation d ondes de ho dans n mélange mltihasiqe 99 IV4 APPLICATION AU CALCUL DE STUCTUE INTENE D ONDES DE DÉTONATION MULTIPHASIQUE À FONT COUBÉ IV4 elations de ho mltihasiqes IV4 Fomlation en vaiables imitives IV43 Analoge des onditions CJ s la sfae soniqe IV44 Eemle 3 CHAPITE V MÉTHODE NUMÉIQUE DE ELAXATION-POJECTION POU LES ÉQUATIONS D EULE 7 V INTODUCTION 9 V APPELS SU LES MÉTHODES LAGANGE-POJECTION BASÉES SU LES MOYENNES CLASSIQUES V Étae lagangienne V Poetion s le maillage eléien V3 Eemles V3 MÉTHODE DE ELAXATION-POJECTION POU CALCULE LA PESSION DANS LES CELLULES 4 V3 Système de elaation 6 V3 Soltion d système de elaation V33 Comaaison de la méthode de elaation et de la méthode de Godnov 3 V34 ésmé de la méthode elaation-poetion 5 V35 Eemle 6 V4 MÉTHODE DE ELAXATION SIMPLIFIÉE : L ÉQUATION D ÉTAT NUMÉIQUE 7 V4 Pésentation 7 V4 L éqation d état nméiqe o des oblèmes à intefaes 9 V5 CONCLUSION 3 CHAPITE VI MÉTHODE NUMÉIQUE DE ELAXATION-POJECTION POU LES ÉQUATIONS MULTIPHASIQUES 33 VI INTODUCTION 35 VI MODÈLE MULTIPHASIQUE ÉDUIT ET SOLVEUS DE IEMANN 35 VI Solve de iemann eat 36 VI Solve de iemann aohé 4 VI3 MÉTHODES NUMÉIQUES POU LE MODÈLE MULTIPHASIQUE 43 VI3 Méthode de Godnov lassiqe 43 VI3 Méthode lagangienne basée s les éqations d énegie intene 45 VI33 Méthode lagangienne ave éhanges de hale atifiiels 47 VI34 Méthode eléienne 55 VI4 CONCLUSION 6 CHAPITE VII EXTENSIONS DE LA MÉTHODE NUMÉIQUE AUX ÉCOULEMENTS MULTI- DIMENSIONNELS ÉACTIFS, EN PÉSENCE D EFFETS CAPILLAIES ÉVENTUELS 63 VII INTODUCTION 65 VII EXTENSION MULTIDIMENSIONNELLE DU SCHÉMA NUMÉIQUE 65 vi

7 Table des matièes VII Poblèmes ésentant des syméties 66 VII Aliation : inteation d ne onde de ho ave ne blle de gaz difféent d milie ambiant 67 VII3 Aliation : imat d n oetile s ne ve 69 VII3 INTÉGATION DES TEMES SOUCES ÉACTIFS 7 VII3 Aliation : détonations mltihasiqes en D lan 73 VII3 Aliation : détonations mltihasiqes mltidimensionnelles 78 VII4 PISE EN COMPTE DES EFFETS CAPILLAIES 86 VII4 Poblème de iemann assoié 86 VII4 ésoltion nméiqe 87 VII43 Aliation : éolements inetes 88 VII44 Aliation : ondes de détonation mltihasiqe 98 CONCLUSION GÉNÉALE 7 BIBLIOGAPHIE 9 ANNEXE A CONSTUCTION DE LA LOI D ÉTAT DE MÉLANGE DU MODÈLE ÉDUIT POU DES MATÉIAUX ÉGIS PA UNE ÉQUATION D ÉTAT MIE-GÜNEISEN 3 AI APPELS SU L ÉQUATION D ÉTAT MIE-GÜNEISEN 3 AII CALCUL DE L ÉQUATION D ÉTAT DE MÉLANGE 4 ANNEXE B VALIDATIONS EXPÉIMENTALES DE LA FEMETUE DES ELATIONS DE ANKINE-HUGONIOT MULTIPHASIQUES POU UNE LOI D ÉTAT MIE-GÜNEISEN 5 BI MÉLANGE ÉPOXY-SPINEL 5 BII MÉLANGE ÉPOXY-PÉICLASE 6 BIII MÉLANGE PAAFFINE-ENSTATITE 6 BIV MÉLANGE UANIUM-MOLYBDÈNE 7 BV MÉLANGE PAAFFIN (338 WT - TUNGSTEN (66 WT 8 BVI MÉLANGE PAAFFIN (6 WT - TUNGSTEN (84 WT 8 BVII MÉLANGE ÉPOXY-ENSTATITE 9 BVIII MÉLANGE PAAFFINE-PÉICLASE BIX MÉLANGE PAAFFINE-MABE BX MÉLANGE PAAFFINE-FELDSPATH BXI MÉLANGE EAU-CALCITE BXII MÉLANGE TIFLUOIDE DE CHLOINE - ALUMINIUM ANNEXE C ALGOITHME DE CALCUL DE LA STUCTUE INTENE D ONDES DE DÉTONATION DIPHASIQUE 5 CI MODÈLE ZND 5 CI aels 5 CI Algoithme de ésoltion 6 CII MODÈLE WK 8 CII aels 8 CII Algoithme de ésoltion 9 CIII MODÈLE DIPHASIQUE 3 CIII aels 3 CIII Algoithme de ésoltion 33 ANNEXE D EXTENSION DU MODÈLE D ÉCOULEMENT MULTIPHASIQUE ÉACTIF À N PHASES 35 DI MODÈLE GÉNÉAL À N PHASES, HOS D ÉQUILIBE EN VITESSES ET EN PESSIONS, AVEC ÉCHANGES DE CHALEU 35 DI Lois de onsevation 35 DI Seonde loi de la themodynamiqe 36 DII ANALYSE ASYMPTOTIQUE 37 DIII TAITEMENT PATIQUE DES ÉCHANGES DE CHALEU 39 DIII Call des sfaes de ontat et des oeffiients d éhange 4 DIII Éhanges de hale ente N hases 4 ANNEXE E INTODUCTION DES EFFETS CAPILLAIES 43 EI DÉFINITION DE LA PESSION DE MÉLANGE 43 vii

8 Table des matièes EII FEMETUE DU MODÈLE D ÉCOULEMENT À CAPILLAITÉ INTENE POU N PHASES 44 EII Lois d état 44 EII Eessions d oeffiient de tension de sfae et de l énegie aillaie 44 EIII VITESSE DU SON EN PÉSENCE D EFFETS CAPILLAIES 46 ANNEXE F EXTENSION À L ODE DE LA MÉTHODE DE L ÉQUATION D ÉTAT NUMÉIQUE POU DES POBLÈMES À INTEFACES 47 FI ÉTAPE LAGANGIENNE D ODE 47 FII ÉTAPE DE POJECTION D ODE 47 viii

9 Intoion Généale Intoion Généale Les onets modenes de oion de matéia hatement énegétiqes visent à aoîte les efomanes themiqes et olsives en égime de ombstion et de détonation Cet obetif de gain d effiaité ne doit eendant as se faie a détiment de le sûeté On hehe don à agmente simltanément les efomanes et le insensibilité a solliitations themiqes et méaniqes On et ésme ela dans le shéma i-dessos : Fige : Classement de qelqes elosifs en fontion d aot efomane/insensibilité L obetif est de déveloe des matéia qi se ositionnent ls à doite et ls hat dans e tablea Po la lat des matéia énegétiqes lassiqes, les efomanes sont limitées a les aatéistiqes de le stte molélaie Ils sont en effet onstités de la taosition de goes oydants et de goes ées dans ne même moléle Le énegie «tile» est ontene dans les liaisons himiqes, dont la obstesse détemine assi l insensibilité d matéia De nombeses ehehes ont été faites o ée des moléles ls efomantes, mais elles se sont hetées à des limitations fotes (soit de synthèse, soit de sensibilité to imotante De novelles omositions tendent désomais à séae l oydant et le ée, à tilise des ombstibles métalliqes à fote hale de éation et à disose d énegies otentielles slémentaies a aot a seles énegies des liaisons himiqes Dans e ontete, les matéia nanosttés ont fait le aaition Il s agit de l assoiation de atiles oydantes et éies de etite taille intimement mélangées, dont la omosition emet d aste les efomanes d matéia final Des gains (o n liqide hatement énegétiqes sevent à oage ne onde de détonation et à allme les atiles métalliqes La faible taille des atiles et le noyage de l ensemble dans n liant emet de édie sa oosité globale Cei a o effet de dimine la obabilité d amoçage de la détonation a fomation de oints hads site à ne solliitation themiqe o méaniqe (Massoni (999 ; le liant sevant assi à ende le matéia ls malléable Dans es omositions, ne atie imotante de l énegie ovient de la déomosition des atiles métalliqes En disosant de atiles nanométiqes, la libéation d énegie attende est tès aide a aot a tems de éation global de la détonation, et ondit à ne qalité de ombstion otimale (en édisant la ootion de matéia non onsommé a aot a atiles de ls gande taille La inétiqe des éations est en effet fotement déendante de la ganlométie Enfin, des obsevations - -

10 Intoion Généale eéimentales éentes tendent à monte qe e tye de matéia disose d ne énegie slémentaie, a aot a énegies des liaisons himiqes Cette énegie oviendait de le imotante sfae séifiqe Nos envisageons ls loin ne modélisation de et eès d énegie a l intoion d effets aillaies Les matéia énegétiqes atels sont don fotement hétéogènes : n eemle tyiqe est n mélange de nitométhane liqide et de atiles d alminim nanométiqes (de diamètes omis ente nm et µm Dant la déomosition des éatifs, le aatèe hétéogène s aoît a l aaition de odits de ombstion gaze et ondensés L émegene oissante de es matéia a e o onséqene de modifie les aohes tilisées en détoniqe Pisqe les oblèmes enontés faisaient inteveni des onets aéodynamiqes et themodynamiqes omlees, et ls selement himiqes, elle s est ovete de ls en ls à la ommnaté des hysiiens Dans ette esetive, le ésent mémoie ote s la modélisation de tels milie Celle-i solève en effet des oblèmes imotants, tant d oint de ve théoiqe, qe de la modélisation ainsi qe de l aoimation nméiqe : La emièe diffilté est liée a aatèe mltihasiqe de es milie en ésene de disontinités : La dynamiqe des ondes de ho est enoe de nos os mal omise La qestion essentielle ote s la éatition d énegie véhilée a l onde de ho dans les difféentes hases, est-à-die s la détemination de l état themodynamiqe final d n mélange mltihasiqe qi a été ao a ne onde de ho L ate tye de disontinités ésentes onene les intefaes maosoiqes ente n milie ganlaie et ne enveloe qelonqe A os de la ombstion o de la détonation, il fada en effet taite des oblèmes à intefaes ente le matéia énegétiqe et son onfinement O, e tye d intefaes n obéit as a onditions d intefae lassiqement enontées en hydodynamiqe La seonde diffilté se site s le lan de la modélisation de la déomosition himiqe de es milie, est-à-die s l établissement d n modèle mltihasiqe éatif Les difféents temes de tansfets imliqés (hale, masse omliqent l établissement d n système d éqations en aod ave le seond inie de la themodynamiqe, qi gaantisse les inies de onsevations, et qi se ésente sos ne fomlation failement etensible à n gand nombe de matéia et emettant ne imlémentation simle Une fois le modèle éondant à totes es ontaintes disonible, il este alos à étdie le omotement des ondes de détonation mltihasiqe, et notamment à détemine qelles sont les onditions o q elles soient atonomes? C est-à-die qelle est la généalisation des onditions de Chaman-Joget? En ote, il fat assi tadie la ésene d ne énegie slémentaie, qe nos aéhendeons ii omme ne énegie aillaie Cette modélisation a des onséqenes imotantes s la ession d milie, s les modles de omessibilité d mélange et des hases, et a voie de onséqene s le omotement themodynamiqe d mélange, en atilie dans les onditions de détonation Enfin, le denie oblème (mais non le moinde vient de l aoimation nméiqe des éqations d modèle mltihasiqe Il s agit de ésode des systèmes hyeboliqes non onsevatifs dans des onditions d éolement éellement etêmes (essions de l ode d million de bas, aot de densités a intefaes de l ode de, vitesses d imat de lsies ilomètes a seonde Il fat de ls qe le shéma nméiqe eodise fidèlement les infomations d modèle, en atilie la dynamiqe des ondes de ho - -

11 Intoion Généale emaqes s les oblèmes à intefaes A l éhelle ganlaie Dans le tye de oblématiqe qi nos intéesse, la ésene d intefaes dans le milie se site avant tot à l éhelle ganlaie La desition de la stte fine des matéia énegétiqes nanosttés ne et s aye s n modèle molélaie, les atiles onsidéées n étant as sffisamment etites, et néessite don l élaboation d n modèle de mélange mltihasiqe à lsies teméates De ls, la déomosition himiqe des hases ondensées fonit des odits gaze à hate teméate, isq ils ont eç ne atie a moins de l énegie de éation De tels mélanges évolent bien évidemment en déséqilibe themiqe Potant, les modèles habitellement tilisés sont basés s l égalité des essions ente hases, ainsi qe s l égalité des teméates Cette denièe hyothèse n étant as éaliste (Kaila et al (, n ate modèle d éolement doit ête envisagé C est en aison de es onsidéations themodynamiqes qe la modélisation des éolements éatifs en ésene de disontinités s oiente ves ne fomlation mltihasiqe (Btle et al (98, Bae & Nnziato (986, Kani (994, Abgall (996, Kaila et al (997, Sael & Abgall (999a, Sael & LeMetaye ( et Chinnayya et al (4 A l éhelle maosoiqe Le seond oblème, enoe d atalité aod hi, éside dans le taitement nméiqe des oblèmes à intefaes ente flides omessibles ; oblème déliat, qi a fait l obet d effots onsidéables dant la denièe déennie Ces intefaes aaaissent dès qe l on s intéesse à la dynamiqe mltidimensionnelle des détonations et a effets olsifs des matéia énegétiqes, e qi evient à étdie l inteation d ne onde de détonation ave ne disontinité de ontat Généalement, il s agit d n matéia inete, omme l ai o le métal fomant l enveloe de onfinement De gands tyes de méthodes sont déveloés à l hee atelle : elles à diffsion nlle, o qasi-nlle, et elles atoisant la diffsion nméiqe de l intefae (n état de l at s le set et ête tové dans Benson (99, Sael & Abgall (999b, Sael & LeMetaye ( et Péigad (3 Les emièes omennent les méthodes lagangiennes, ALE (Abitay Lagangian-Eleian, eléiennes et de Font Taing ; les seondes sont basées s les méthodes mltihasiqes Dans les méthodes lagangiennes, les intefaes se délaent à la vitesse loale de l éolement et sont don tès bien déites Cet avantage est totefois ontebalané a etains inonvénients dastiqes : la défomation d maillage intedit les distosions imotantes, e qi est otant le as dès qe l on onsidèe des inteations ente des ondes de ho o de détonation et des intefaes Les méthodes ALE ombinent ne desition lagangienne de l éolement a nivea des zones intefaiales et eléienne loin de elles-i Bien q elles sotent de ls lages défomations qe les méthodes lagangiennes, elles ossèdent les mêmes limitations Les méthodes eléiennes sont ls sovent des méthodes de tye Lagange Poetion L intefae n est ls sivie mais eonstite, soit à ati de la onnaissane des fations volmiqes des difféents flides (méthode VOF, o Volme Of Flid soit a loalisation des fonts (méthode Level-Set La méthode VOF odit des ésltats tès satisfaisants o les éolements inomessibles, mais est non onsevative, e qi est tès estitif dans les éolements omessibles La méthode Level-Set loalise les intefaes mais doit ête omlétée a etains «ingédients» o la détemination des vaiables themodynamiqes de l éolement Elle est en ote non onsevative et sa gestion devient diffiile en ésene d n gand nombe d intefaes Totefois, dans Fediw (999b, ette méthode a été tilisée ave sès en onsidéant les intefaes - 3 -

12 Intoion Généale omme des onditions a limites mobiles (de tye iston Elles sont alos taitées a moyen de ellles fantômes (d où la dénomination de Ghost Flid Method Enfin, les méthodes de Font-Taing tilisent des gilles fies et ombinent des solves eléiens loin de l intefae ave des shémas séifiqes ato de elle-i Bien qe d eellente éision, le etension à lsies dimensions d esae est tès déliate d oint de ve infomatiqe et soffe assi d ne ete de onsevation La deième gande atégoie de méthodes ates a taitement d intefaes atoise le diffsion nméiqe, e qi ée alos des zones de mélanges atifiiels Ces méthodes ont été initiées a Kani (994, Abgall (996, Shye (998, Sael & Abgall (999a et 999b, Sael & LeMetaye (, Massoni et al (, Abgall & Sael (3, Chinnayya et al (4 et LeMetaye et al (5 A f et à mese de le analyse et de le oméhension, elles se sont évélées «mltihasiqes» Des systèmes d éqations basés s les éqations d Ele sont étends en tilisant de novelles vaiables Cetaines méthodes tilisent ne desition à ne vitesse de l éolement, tandis qe les ates sosent n éolement à de vitesses et emloient n oesss de elaation ves l éqilibe méaniqe Elles ésentent totes de de gands avantages : o les mêmes éqations sont ésoles dans tot le domaine ave n sel shéma nméiqe, o an taitement séifiqe des intefaes n est néessaie, o la te o la oalesene d intefaes est atomatiqe, o les inies de onsevation o le mélange sont gaantis (a moins deis les aohes oosées en 999, o la onnaissane des gandes themodynamiqes de haqe hase et d mélange est assée (e qi est ial o le taitement de mélanges éatifs, o les méthodes oosées à ati de 999 sont ates a taitement d intefaes ente flides s et ente mélanges, o elles sont aables de faie aaaîte de novelles intefaes, est-à-die de gée des intefaes qi n étaient as ésentes initialement L inonvénient mae de es aohes est d ode mathématiqe Ces modèles d éolement onstitent des systèmes hyeboliqes non onsevatifs En d ates temes, les oéates difféentiels d esae qi inteviennent dans es systèmes ne event as ête éits sos la fome d ne divegene de fl Cei imliqe des diffiltés onsidéables o le aoimation nméiqe, omme nos le veons ls loin En déit de es diffiltés, note hoi s est tot de même oienté ves es modèles et méthodes a e sont atellement les sels aables de déie la hysiqe de mélanges éatifs Pa ailles, ette eésentation s imose de ls en ls, tant en Fane qe dans le este d monde (a LANL, a SANDIA, a LLNL et à la NASA a USA, a Nlea Fedeal Cente en ssie, o la onsttion d ne novelle généation d otils de simlation d éolements hétéogènes, éatifs, de lasmas Modèles envisageables Pami les méthodes atoisant la diffsion de l intefae, de modèles sont atilièement bien adatés à la ésente étde Modèle à lsies vitesses, essions et teméates Le emie est n modèle hos d éqilibe des essions et des vitesses, oosé a Bae & Nnziato (986 o l étde des détonations dans les milie ganlaies is étend a Sael & Abgall (999a a taitement de oblèmes à intefaes Il ontient, o haqe hase, ne éqation de bilan de masse, de qantité de movement et d énegie, ainsi q ne éqation - 4 -

13 Intoion Généale d évoltion de la fation volmiqe Le système d éqations oesondant se ésente sos la fome sivante : I µ ( ' t ( t ( ( I λ ( ' t E ( ( E I I λ I ( ' µ I ( ' t où, et E sont les fations volmiqes, les densités et les énegies totales a nité de masse de haqe hase ; ave E e où e est l énegie intene a nité de masse de la hase et sa vitesse La ession themodynamiqe dans haqe hase est égie a l éqation d état de haqe matéia (, e Enfin, I et I eésentent les essions et vitesses moyennes d intefae, λ et µ les oeffiients de elaation des vitesses et des essions Ce modèle est stitement hyeboliqe, mais non onsevatif, et ontient en ote des temes de elaation des vitesses et des essions Sa ésoltion a été effetée éemment a Abgall & Sael (3 gâe à ne novelle méthode, batisée Méthode des Éqations Disètes (DEM ; étende ensite a taitement d éolements éatifs dans Chinnayya et al (4 et LeMetaye et al (5 Malheesement, e modèle devient elativement oûte losq n gand nombe de matéia est à onsidée Pa ailles, dans les sitations qi nos intéessent, le mélange évole en éqilibe de vitesse et de ession a les inteations ente les flides sont fotes et ondisent à la elaation des vitesses et des essions des difféentes hases tès aidement Il est alos ossible d obteni n modèle moins généal, sans estition énalisante o nos aliations, à ati d ne analyse asymtotiqe de e modèle, omme l ont monté Kaila et al ( Pa ailles, il semble ls faile o la site d intodie les éhanges de masse et de hale, ainsi qe les effets aillaies liés à la nano-stte d matéia, dans le ade d n modèle à ne sele vitesse et ne sele ession Modèle à ne vitesse, ne ession et lsies teméates Le modèle édit oesondant, en éqilibe de vitesse et de ession, omend ne éqation de movement et d énegie o le mélange, ne éqation de masse o haqe flide (qi event assi ête ombinées o donne ne éqation de masse o le mélange et ne éqation d évoltion de la fation volmiqe Il se ésente sos la fome sivante : K(,, t ( t ( t E ( E t Ii, le teme K(,, est lié à la omessibilité d mélange Il tadit les effets de omession/eansion, et s éit dans le as de de hases : - 5 -

14 Intoion Généale (,, K Les notations sont les mêmes qe éédemment Il aaaît maintenant la vitesse d son themodynamiqe de la hase (définie a, où s désigne l entoie a nité s de masse de la hase ainsi qe la densité et l énegie totale de mélange définies a et E E Il n y a ls désomais q ne sele vitesse et ne sele ession o le mélange Bien qe le modèle este hyeboliqe, il est li assi non onsevatif (omme le monte la emièe éqation Cela signifie don qe ses elations des ondes de ho ne sont as disonibles et ne event ête déteminées de manièe lassiqe De ls, il aaaît ne seonde diffilté maee, liée à l aoimation nméiqe des éqations d modèle Classiqement, la ésoltion des systèmes hyeboliqes est éalisée a le shéma de Godnov (o l ne de ses vaiantes d ode élevé ; eendant, la ésene d ne vaiable non onsevative ne emet as d effete le bilan o la moyenne habitellement tilisés ave es shémas 3 Aohe déveloée En emie lie, il s agit de détemine les elations de ho d modèle édit à ne vitesse et ne ession L étde de la oagation d ondes de ho dans des mélanges, ave le modèle généal hos d éqilibe, monte q n ofil do et églie est obsevé o les hos faibles Celi-i éslte d n hénomène de disesion de l onde de ho Les hases ayant des vitesses d son difféentes, les ondes aostiqes se oageant dans le flide ayant la ls gande vitesse d son event déasse l onde de ho (e qi est imossible dans le as monohasiqe Les hénomènes de elaation de vitesses et de essions qi sivent es etbations aostiqes vont don modifie les états des flides en aval de l onde de ho, et etbe ette denièe On monte alos qe dans le as de ofils do, qand l onde de ho est disesée, et dans la limite de fots oeffiients de elaation méaniqe, ie o le modèle édit, il est ossible d intége analytiqement les éqations d énegie de haqe hase On obtient ainsi ne novelle elation venant feme les elations de anine-hgoniot d mélange, qi se ésentent sos la fome : * Y Y * * ( * σ m²(v * * ( v σ m * * e e (v v * * * e e (v v Ce système a été validé s n gand nombe de as tests eéimenta (des eemles sont visibles s la Fige - 6 -

15 Intoion Généale Sho Veloity (m/s Mateial Veloity (m/s Sho Veloity (m/s Mateial Veloity (m/s Sho Veloity (m/s Mateial Veloity (m/s Sho Veloity (m/s Mateial Veloity (m/s Fige : Comaaison des hgoniots eéimentales (symboles et de elles obtenes ave les elations de anine-hgoniot d modèle édit (tait lein, o difféents mélanges a Éoy/Sinel, b Éoy/Péilase, Paaffine/Enstatite, d Uanim/Molybdène Une telle elation de femete avait déà été oosée a Tnin (, en absene totefois de stifiations et de liens ave n modèle d éolement qelonqe Cet ate, membe d n laboatoie sse séialisé dans l étde des ondes de ho dans les matéia ondensés (le Fedeal Nlea Cente, à Saov, disosait d n tès gand nombe de ésltats eéimenta Il a éalisé la validation de es elations (f Fige 3 s tos les ésltats disonibles, o des hos faibles mais assi o des hos fots allant sq à des essions de 5 millions de bas Fige 3 : Cobes d hgoniot o des mélanges dihasiqes de hases ondensées étdiés a Tnin ( - 7 -

16 Intoion Généale Les elations de ho d modèle mltihasiqe étant onnes, on s intéesse à la modélisation des matéia énegétiqes Celle-i doit teni omte de le aatèe hétéogène, omme le monte la Fige 4, qi oe n ôle imotant dans la modélisation des temes éatifs (éhanges de hale et tansfets de masse mm Fige 4 : Eemles de miostte d n elosif Les éations himiqes initiées a l onde de détonation se déolent don en ésene de lsies hases, en déséqilibe de teméates Jsq à ésent, les onditions d atonomie et la stte des ondes de détonation n étaient onnes qe dans le as de milie monohasiqes en éqilibe themiqe ; dans le ade de la théoie de Chaman-Joget, o eli ls généal de la théoie ZND (Zeldovih-Nemann-Doeing Les ondes de détonation mltihasiqe estaient inaessibles o de aisons : il fallait disose d n modèle d éolement etinent, ainsi qe des elations des ondes de ho oesondantes Cette denièe diffilté ayant été ésole dans le Chaite éédent, on et désomais oose n modèle o déie la stte des ondes de détonation mltihasiqe et les onditions d obtention d ne détonation atonome Dans le Chaite II, on ommene a n bef ael de la théoie ZND, is d modèle de Wood & Kiwood o les ondes de détonation à font obé On établit ensite n modèle de détonation mltihasiqe ave éhanges de hale, dans le as à de hases, is l analoge des onditions de Chaman-Joget o les détonations mltihasiqes Pisqe l élaboation d n modèle o les elosifs hétéogènes dans le as à de hases a été onlante, on va en éalise l etension à n nombe abitaie de flides En effet, les milie onsidéés ontiennent la lat d tems 4 o 5 onstitants, taités omme des hases difféentes dans la ésente aohe A ati d modèle généal o n nombe abitaie de flides, hos d éqilibe des essions et des vitesses, ave éhanges de hale, on effete sa éion asymtotiqe dans la limite de fots oeffiients de elaation méaniqe On abotit ainsi à n modèle édit à N hases, à ne vitesse et ne ession, ave éhanges de hale On y intodit alos les tansfets de masse, en s ayant s ne analyse de la oion d entoie de haqe hase Cette aohe est déveloée dans le Chaite III Le Chaite IV omend d imotantes etensions d modèle théoiqe On s intéesse en effet à la modélisation des effets aillaies à la sfae des atiles d mélange nanostté éatif Deis qelqes années, des étdes sses, améiaines et fançaises (motivées a la DGA et le CEA-DAM se sont intéessées à détemine etaines oiétés des nanomatéia énegétiqes ; dont on monte n eemle s la Fige 5-8 -

17 Intoion Généale Fige 5 : Eemles d elosifs nanosttés La hoto de gahe monte de la entite ontenant des atiles de ehloate d ammonim, et elle de doite ne themite ontenant des aigilles d alminim (d ne longe de l ode de 5 nm Le bt inial, omme nos l avons mentionné en éamble, est d amélioe la séité des matéia énegétiqes, tot en aoissant le efomane Les matéia nanosttés ont monté des omotements méaniqes, életiqes et énegétiqes inhabitels Ils ésentent, a eemle, des oiétés themiqes et olsives difféentes de elles des matéia miosttés Ainsi, Pivina et al (4 ont mis en évidene qe le DX avait n ta de ombstion ls imotant losq il était nanostté Les nanomatéia énegétiqes, de stte fine, semblent don moins sensibles et ls efomants La ise en omte de es effets dans n modèle d éolement adaté a matéia énegétiqes est a onséqent néessaie L obsevation de la stte d n elosif est shématisée s la Fige 6 Fige 6 : eésentation shématiqe d n matéia énegétiqe miostté (gahe et nanostté (doite On va sose qe l aot d énegie slémentaie des nanomatéia ovient de l énegie stoée s la sfae des atiles, sos fome d énegie sefiielle o aillaie L aot d ne novelle énegie dans le modèle a totefois des onséqenes imotantes : la ession d mélange, les vitesses d son et les gandes themodynamiqes des hases sont modifiées L intoion des effets aillaies ondit à n modèle omlètement novea, dont la femete néessite de novelles elations de hos L inflene des éhanges de hale et des tansfets de masse est elle assi difféente, de même qe la themodynamiqe et les onditions d obtention d ne détonation atonome (analoge des onditions de Chaman-Joget o les ondes de détonation mltihasiqe dans les milie nano-sttés Totes es étaes sont don edémontées, en sivant ne méthodologie identiqe à elle tilisée dans les aties éédentes - 9 -

18 Intoion Généale L intégation nméiqe d modèle d éolement qi vient d ête établi néessite ensite d imotantes amélioations des shémas disonibles Les systèmes hyeboliqes, onsevatifs o non, sont sovent ésols a des méthodes de Godnov, o des vaiantes de elles-i Ceendant, déà o les éqations d Ele, es méthodes odisent des ees (osillations de ession et de vitesse losqe l éolement obéit à ne loi d état omlee o si elle est disontine Ce oblème vient d all de la ession dans les ellles de ontôle, basé s l tilisation de l éqation d état ave des vaiables moyennes dans la ellle alos qe elle-i n est définie qe o des gandes themodynamiqes loales Une novelle méthode, de elaation-poetion, est don déveloée dans le Chaite V o oige es ees et détemine oetement la ession dans les ellles de all On monte ensite omment déive ette méthode en ne méthode aohée, ls aide a oint de ve all A final, le shéma nméiqe déveloé est obste, aide et élimine les ees obsevées ave la méthode de Godnov, omme on et le voi s la Fige Pesse (MPa (m Pesse (MPa Fige 7 : Comaaison de la soltion obtene ave ne méthode de Godnov (à gahe et ave la novelle méthode (à doite s n oblème d advetion d ne disontinité de ontat dans n éolement nifome en ession et en vitesse égi a ne éqation d état omlee La novelle méthode sime les osillations de ession a nivea de la disontinité de ontat (m On s intéesse ensite à l etension de la méthode a modèle mltihasiqe en éqilibe de vitesses et de essions On ommene don a déveloe n solve de iemann eat, is aohé, tilisable dans ne méthode nméiqe Potant, le solve de iemann n est q ne atie d shéma et ne sffit as à asse sa etinene La ésene d ne vaiable non onsevative, la fation volmiqe, intedit en effet l tilisation d ne moyenne qi n a an sens hysiqe Cette vaiable intodit don n degé de libeté slémentaie los d all de la ession dans les ellles, et modifie ainsi la éatition des énegies intenes (o des entoies ente hases los d assage d ne onde de ho Une oéde séifiqe, basée s l intoion d éhanges de hale atifiiels dans la ohe de ho, est don déveloée afin d imose ne bonne éatition des énegies intenes L ensemble de es etensions, et les tests oesondants, fait l obet d Chaite VI La site est onstitée d ne at de l etension à lsies dimensions d esaes d shéma nméiqe éédent, et d ate at de l intégation des effets hysiqes slémentaies (éhanges de hale, tansfets de masse et effets aillaies intodits dans le modèle et qi se ésentent sos la fome de temes soes dans le système d éqations mltihasiqe Le Chaite VII ontient de nombe eemles d aliations et des validations, o des éolements de onfigation et de nate tès diveses A l aide de l otil de simlation étend, on monte alos qe o n onten énegétiqe onstant, la vitesse de détonation d n elosif dont ne atie de l énegie est sos fome aillaie est séiee à elle d n elosif ontenant la même énegie sos fome himiqe De ls, l analoge des onditions de Chaman-Joget - -

19 Intoion Généale o les détonations mltihasiqes monte ne modifiation de le stte intene qi ondit notamment à n élagissement de la zone de éation, et à ne amélioation des effets olsifs a le maintien de nivea de essions ls élevés s ne dée ls imotante - -

20 Intoion Généale - -

21 Chaite I elations des ondes de ho o les mélanges mltihasiqes à fote elaation méaniqe - 3 -

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23 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes I Intoion Les elations de sat a taves des ondes de ho sont onnes deis ls d ne entaine d années o les éolements monohasiqes Les tava sessifs de anine (en 869 et de Hgoniot (en 887 on en effet emis de monte qe l onde de ho était n hénomène iévesible et d eliite les onditions de sat qi s aliqaient de at et d ate de la disontinité q elle fomait De nombeses étdes se sont ensite intéessées a omotement sos ho des mélanges, notamment o les matéia ondensés, omme le montent les tava de Mash (98 o de Nesteeno ( et Bshman et al (4 a eemle Malheesement, les elations de sat a taves des ondes de ho o les éolements mltihasiqes estent inonnes à l hee atelle, et le détemination ose de séieses diffiltés Celles-i sont de de odes inia : Les modèles d éolement onenés ne event as ête éits sos fome onsevative En d ates temes, il n est as ossible d éie tos les temes de déivées satiales ésents dans les éqations sos fome de la divegene d n fl Ces modèles ontiennent assi des temes de elaation qi viennent omliqe l intégation ente l amont et l aval d ho Totefois, de éentes étdes sont avenes à alie e oblème dans le as des éolements mltihasiqes à fote elaation méaniqe Ce-i oesondent à des sitations tès vaiées : mélanges de hases ondensées, alliages solides, matéia énegétiqes hétéogènes De tels milie ont fait l obet de nombeses ehehes, notamment en e qi onene la oagation d ondes de ho : Stewat and Wendoff (984, Bae and Nnziato (986, Kaila et al (997,, Massoni et al (999, Sael and Abgall (999a, Sael and LeMetaye (, Gavily and Sael (, Abgall and Sael (3, esnyansy and Bone (4 et Il a été monté a Kaila et al ( q ils évolaient ave ne sele vitesse et ne sele ession, gâe à ne estimation des tems aatéistiqes de elaation des vitesses, des essions et des teméates dans les milie ganlaies : les emies sont tès ots, isqe la elaation méaniqe se fait a moyen d ondes aostiqes (liées à la vitesse d son, sovent tès gande dans es milie, tandis qe le denie est beao ls long, isqe la elaation des teméates est liée à la diffsion themiqe qi se fait à des vitesses bien ls lentes Dans e ade, Sael et al (6a ont établi la elation oosée a Tnin ( o les onditions de sat a taves des ondes de ho dans les milie mltihasiqes en éqilibe de vitesses et de essions Il semble qe de telles elations, bien qe non eloitées, avaient été ésenties deis longtems (Demin and Kahin (96 On oose de eveni ii s e ésltat imotant o les tava qi vont sive Dans n emie tems, on aelle les modèles d éolements disonibles et les diffiltés inhéentes On monte ensite omment les tilise o la détemination des elations de anine-hgoniot mltihasiqes I Modèles d éolement o les milie mltihasiqes à hases omessibles I Modèle généal Il s agit d n modèle hos d éqilibe des vitesses et des essions, basé s le modèle de Bae and Nnziato (986 Il déit le omotement de mélanges en déséqilibe méaniqe et - 5 -

24 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes themodynamiqe Son atitde à déie la oagation d ondes de ho dans les milie hétéogènes a été démontée dans Sael and Abgall (999a, et sa ésoltion a ensite été amélioée a Abgall and Sael (3 Dans le as de de hases, il s éit : I µ ( t (I ( ( t (I ( ( I λ( t (I3 ( E ( ( E I I λ I( µ I( t (I4 ( ( t (I5 ( ( I λ( t (I6 ( E ( ( E I I λ I( µ I( t (I7 Les notations tilisées sont habitelles : est la fation volmiqe, la densité, la vitesse matéielle, la ession, E l énegie totale et e l énegie intene ( E e On elt de la ésente étde les tansitions de hase, ainsi qe la ise en omte de la ession integanlaie (Bdzil et al (999, o se limite à n modèle minimm et évite des effets hysiqes slémentaies non néessaies La ontainte de satation imose a ailles : La femete d modèle néessite enfin d eliite la fome des gandes intefaiales Celles-i sont obtenes gâe à la méthode d homogénéisation, déveloée a Abgall and Sael (3, dite DEM, o Disete Eqations Method (méthode des éqations disètes, et ses vaiantes amélioées (Sael et al (3 et Chinnayya et al (4 : Z Z I sgn Z Z Z Z (I8 Z Z ZZ I sgn ( Z Z Z Z (I9 où Z eésente l imédane aostiqe de haqe hase Ces vaiables oesondent à la vitesse et à la ession qi s aliqent losqe des gadients de fation volmiqe sont ésents dans l éolement Elles oent don n ôle atilièement imotant a intefaes matéielles, isq elles gaantiont le eset des onditions d intefae : égalité des vitesses nomales et des essions Les moyennes des vitesses et des essions d intefae qi s aliqent a sein d volme de ontôle dihasiqe sont données a : I Z Z Z Z I Z Z Z Z (I Enfin, les oeffiients de elaation des vitesses et des essions λ et µ s éivent : - 6 -

25 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes A I µ (I (Z Z λ µz Z (I où A I eésente l aie intefaiale séifiqe ente les de hases dans le volme de ontôle Le système d éqations (I-(I7 est don omlètement femé Totefois la ésene des temes non onsevatifs et des temes de elaation ose de séieses diffiltés o la détemination des elations de sat a taves des ondes de ho Pa ailles, les aliations qi nos intéessent onenent inialement des éolements mltihasiqes à fote elaation méaniqe Qelqes emaqes s imosent don : Les définitions des vaiables intefaiales ne sont as d ne imotane aitale ii, et on oait tot assi bien emlae les elations (I8 à (I a elles oosées a Bae and Nnziato (986 : µ >, λ (I3 I I I I > Le modèle hos d éqilibe est to généal et imliqe des affinements intiles, isq il ontient ne éqation de qantité de movement o haqe hase En ote, o e modèle, la détemination des elations de ho este n oblème Pa onséqent, voyons maintenant omment obteni n modèle édit, à ne sele vitesse et ne sele ession, à ati d modèle (I I7 généal I Modèle édit Nos hehons le modèle limite oesondant à n éolement en éqilibe méaniqe, mais qi este eendant hos d éqilibe themiqe et himiqe Ia Analyse asymtotiqe Le modèle édit est obten gâe à ne analyse asymtotiqe, sivant la méthode de Chaman- Ensog et de manièe similaie à la méthode déveloée a Kaila et al ( Ainsi, haqe vaiable de l éolement est sosée sive n déveloement asymtotiqe de la fome : o f f ζf (I4 o où f eésente l état d éqilibe, f ne etbation de etite amlitde ato de et état d éqilibe et ζ ne vaiation infinitésimale ( ζ Pisq on sose qe les etbations sont faibles, le modèle obten ne sea valide qe o les ondes linéaies, e qi elt don les ondes de ho Si les etbations sont sosées etites, les effets de elaation méaniqe sont e sosés tès gands Cela oesond à la limite où le mélange évole ave ne sele vitesse et ne sele ession : losq ne etbation se oage dans le mélange, le eto à l éqilibe méaniqe est tès aide On a ainsi : µ µ ζ et λ λζ (I5 Dans e as, les déivées atilaies deviennent : o o o d f f f f f f f f f ζ ζ t t t En négligeant les temes d ode séie à on a don : o o d f f f (I6 t Ainsi, en se sevant des elations (I4 à (I6, on et ééie le système (I I7 sos la fome sivante : d ( I µ ζ ( µ ( (I7-7 -

26 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes ( ( ( µ ζ µ I d (I8 ( ( ( I d λ ζ λ (I9 ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] ( ( ( µ λ ζ µ ζ λ I I I I I I I I e d (I ( ( ( µ ζ µ I d (I ( ( ( I d λ ζ λ (I ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] ( ( ( µ λ ζ µ ζ λ I I I I I I I I e d (I3 On obtient alos n ensemble d éqations à l ode et à l ode ζ Po les temes à l ode ζ, les éqations (I7 et (I9 imliqent : ( ( et λ µ C est-à-die : (I4 où et eésentent la ession et la vitesse à l ode d mélange, ie sa ession et sa vitesse à l éqilibe méaniqe On et alos emaqe, omme nos l avons éédemment annoné, qe les définitions des difféentes gandes intefaiales (I8 à (I se simlifient aisément : ' I I (I5 I I (I6 Pa onséqent, le système (I7 I3 devient : ( d µ (I7 ( d µ (I8 ( d λ (I9 ( de µ (I3

27 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes ( d µ (I3 d λ( (I3 de µ ( (I33 On onstate ainsi qe dans ette aohe, le teme lié a tavail des foes de fottements a disa des éqations d énegie de haqe hase (I3 et (I33, mais qe le teme lié a tavail des foes de ession este qant à li ésent Intéessons nos immédiatement à la femete d système (I7 I33 Elle néessite l eession des difféenes des fltations de ession et de vitesse en fontion des vaiables à l éqilibe Les éqations d énegie (I3 et (I33 event assi s éie sos la fome d éqations de ession : d µ ( (I34 d µ ( (I35 En effetant la difféene des éqations (I35 et (I34 on obtient alos dietement : ( µ (I36 Il n est as tile de hehe la fome de la difféene des fltations de vitesse a elles n inteviennent qe dans les éqations de qantité de movement de haqe hase et le modèle ehehé évole ave ne sele vitesse Ainsi, en ombinant les éqations de qantité de movement et d énegie de haqe hase, on obtient ne éqation de qantité de movement et ne éqation d énegie o le mélange Et finalement, le modèle édit s éit, en omettant les eosants o ne as alodi : t (I37 (I38 t (I39 t ( (I4 t E ( E (I4 t Le système (I37-(I4 et assi s eime sos ne ate fome tile : de d (I4-9 -

28 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes de d (I43 (I44 t ( (I45 t E ( E (I46 t ave et E e e Enfin, aotons qe l analyse asymtotiqe emet assi d obteni l éqation d évoltion de la ession de mélange : d (I47 ave la vitesse d son d mélange qi obéit à la elation : (I48 Ib Poiétés i Hyeboliité On et monte aisément qe le système (I37-(I4 est stitement hyeboliqe, et q il admet tois vitesses d ondes aatéistiqes :, - et ii Vitesse d son d mélange Le modèle à l éqilibe méaniqe, déit a le système (I37-(I4 o (I4-(I46, fait inteveni la vitesse d son de mélange définie a la elation (I48 Celle-i oesond à la vitesse d son de Wood (93, dont le omotement est non monotone a aot à la fation volmiqe On ésente, s la Fige I- l évoltion de la vitesse d son de mélange 3 3 o n mélange ea-ai, tel qe ai g/ m et ai 374 m / s, et ea g/ m et ea 568 m /s 6 4 Mite seed of sond (m/s Ai volme fation Fige I- : Évoltion de la vitesse d son de mélange d n mélange ea-ai, en fontion de la fation volmiqe d ai - -

29 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes Un tel omotement a été maintes fois véifié eéimentalement Il a d imotantes onséqenes o l analyse hysiqe et o tos les asets nméiqes En effet, on et onstate qe la vitesse d son de mélange est toos inféiee à la ls gande des vitesses d son des de hases et q en ote, s ne gande atie d domaine, elle est même inféiee à la ls faible des vitesses d son Cela signifie don qe, tès sovent, la oagation des ondes aostiqes est ls lente dans le mélange q a sein de haqe hase e D n oint de ve nméiqe, ette emaqe est d intéêt isqe sovent les algoithmes sont liés à n itèe de stabilité temoel qi alle n as de tems itiqe, basé s les vitesses d son d modèle Ave le modèle hos d éqilibe des vitesses et des essions, le as de tems sea don allé ave la ls gande vitesse d son, même si le matéia onsidéé est minoitaie Ave le modèle à l éqilibe méaniqe, la ontainte de stabilité est moins estitive isq elle est govenée a la vitesse d son de mélange qi et ête tès inféiee a vitesses d son des matéia s I Femete themodynamiqe La femete d système (I37-(I4 eqiet la onsttion d ne éqation d état de mélange, basée s les éqations d états des flides s Po les matéia ondensés, on tilise généalement l éqation d état Stiffened Gas o l éqation d état Mie-Güneisen ls omlee Nos ésenteons ii le déveloement de la méthode dans le emie as ; le seond étant analoge, il est envoyé dans l Annee A i aels s l éqation d état Stiffened Gas Po n matéia ondensé, la sele infomation disonible failement et sans ambigïté est basée s la mese de sa obe d hgoniot Celle-i elie la vitesse σ de oagation d ne onde de ho à la vitesse matéielle dans le matéia Po n matéia qi ne sbit ni hangement de hase ni tansfomation de son odonnanement intene, on a ne elation linéaie : σ δ (I49 La vitesse d son à l éqilibe et la ente δ sont déteminées eéimentalement Des eemles d eéienes sont disonibles dans l ovage de Mash (98 o dans la base de données sse de Bshman et al (4 L éqation d état Stiffened Gas s eime alos o ne hase : ( γ e γ (I5 Le omotement themodynamiqe d matéia est ainsi égi a les de aamètes γ et Le emie eésente le oeffiient olytoiqe, et le seond ovient d n otentiel molélaie attatif et tadit les effets de aide Ils sont obtens à ati de la obe d hgoniot (I49, et de la onnaissane de et δ (voi o eemles Halow and Amsden (97 ainsi qe LeMetaye et al (4 ii Call de l éqation d état de mélange L éqation d état d mélange est alos déteminée à ati de l énegie intene d mélange : e E e e (I5 En tilisant la fome (I5 de l éqation d état, on obtient : γ γ e γ γ Le modèle édit étant basé s l éqilibe méaniqe, on a ne sele ession dans le mélange Celle-i s éit : - -

30 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes γ γ e (, e, γ γ γ γ Finalement, la elation (I5 vient feme le système (I37-(I4 (I5 Id emaqes imotantes i Inteétation d teme non onsevatif en divegene de vitesse dans l éqation s la fation volmiqe Il aaaît dans l éqation (I4 s la fation volmiqe n teme non onsevatif, lié à la divegene de vitesse dans l éolement, fontion des modles de omessibilité des difféents matéia Imaginons a eemle qe nos avons < : a taves des ondes de omession, la divegene de vitesse est négative et a onséqent la fation volmiqe de la hase va agmente; a ontaie, a taves des ondes de détente, la divegene de vitesse est ositive et la fation volmiqe de la hase dimine En ote, a taves d ne disontinité de ontat, la divegene de vitesse est nlle, et on n a don ane vaiation de la fation volmiqe qi est simlement advetée On voit ainsi qe e teme tadit les effets de omession/eansion a taves des ondes aostiqes, et govene les vaiations de volme séifiqe des difféentes hases ii Obtention d modèle édit Le système d éqations (I4-(I46 et ête obten d ne manièe tot à fait difféente, mais intéessante o la oméhension On onsidèe o ela qe le mélange est déit d ne at a la onsevation des gandes de mélange (masse, qantité de movement et énegie totale : (I53 t ( (I54 t E ( E (I55 t On a ensite ne éqation tadisant la onsevation de la masse des esèes : (I56 t On a ii besoin d ne sele éqation a l éqation de onsevation de l esèe est edondante ave l éqation de onsevation de la masse (I53 Enfin, le système (I53-(I56 est femé a ne éqation d évoltion de la fation volmiqe de haqe esèe q il nos fat détemine On at o ela de la définition de la vitesse d son de mélange (I48, qi est onne eéimentalement deis tès longtems Celle-i tadit la vitesse de oagation dans le mélange des ondes aostiqes, est-à-die isentoiqes Pa définition, on a : et et s s (I57 s o enoe, d d et d d et d d (I58 - -

31 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes On éit alos l éqation de onsevation de la masse totale de mélange (I53 sos la fome sivante : d (I59 Pis, l éqation de onsevation de la masse de l esèe (I56 sos la fome : d d (I6 En tilisant les elations (I58, on a alos : d d (I6 Pis, en inetant la elation (I59 on abotit finalement à l éqation s la fation volmiqe : d K (I6 Il est alos aisé de monte qe l on a assi : K Le système (I53-(I56 est femé a l éqation (I6, et on onstate q il est bien éqivalent a système (I4-(I46 Le modèle édit déveloé est don valide niqement o des ondes aostiqes : il ne et as ête tilisé o des ondes non linéaies Cela signifie don q il n est as valide o les ondes de ho, et qe a onséqent il n est as ossible d obteni les elations de ho assoiées I3 Détemination des elations de anine-hgoniot mltihasiqes Nos avons v d ne at qe la détemination des elations de sat a taves des ondes de ho était tès diffiile ave le modèle hos d éqilibe, et d ate at qe le modèle édit obten a éion asymtotiqe d modèle hos d éqilibe dans la limite des fots oeffiients de elaation méaniqe n était valide qe o les ondes linéaies Nos allons don voi maintenant omment ésode e oblème, et détemine les elations de anine-hgoniot o les éolements mltihasiqes en sivant la méthode de Sael et al (6a Nos onsidéons o ela ne onde de ho dihasiqe, himiqement inete, et les éhanges de hale sont sosés négligeables dans la ohe de ho (Kaila et al ( I3 Call de oagation d ondes de ho dihasiqes ave le modèle hos d éqilibe Afin de mie aéhende la stte intene de l onde de ho, on tilise le modèle hos d éqilibe o ésode des oblèmes de oagation d ondes de ho dans n milie dihasiqe On onsidèe o ela n mélange Éoy-Péilase, dont les aamètes d état sont donnés dans la Table I-, imaté a n iston à lsies vitesses difféentes : 5 m/s, 5 m/s, 5 m/s, 35 m/s et 45 m/s On ésot alos le système (I I7 en tilisant ne méthode nméiqe adéqate (Abgall and Sael (3 o Chinnayya et al (4 et les elations (I8 à (I o les temes de elaation - 3 -

32 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes L aie intefaiale séifiqe A I ente les de hases est ise à ne vale abitaie, et son inflene s le omotement hydodynamiqe d mélange est analysée n e ls loin La zone de elaation et l état elaé devant ête éisément déits, les simlations doivent tilise n maillage adéqat Tyiqement, la zone de elaation s étale s mailles, et on tilise don des maillages omotant ls de ellles On ésente s la Fige I- les ofils instationnaies obtens, o les vitesses et les essions a sein de haqe hase, aès imat d mélange a n iston en aoi gahe On tilise ne 3 aie intefaiale assez faible : A I m / m, afin de bien voi l évoltion des vaiables dans la zone de elaation Le maillage omote ellles, et les soltions oesondant a difféentes vitesses d imat sont montés à des tems difféents afin d ête totes visibles Phase veloities (m/s (m 4e e e 8e 6e 4e e Phase esses (Pa (m Fige I- : Pofils de vitesses et de essions dans haqe hase, obtens ave le modèle hos d éqilibe, o difféents tests d imat s n mélange Éoy-Péilase, ave ne aie intefaiale faible (A I m /m 3 On voit laiement la zone de elaation et l état elaé, qi est en éqilibe de vitesses et de essions Ainsi, on note qe même losqe l aie intefaiale est faible, est-à-die losqe les effets de elaation méaniqe sont faibles, l état hoqé final est en éqilibe méaniqe ; e qi stifie enoe l tilisation ltéiee d modèle édit On effete maintenant le même test, mais en onsidéant ne aie intefaiale séifiqe 3 beao ls gande : A I 4 m / m On tilise alos n maillage de ellles afin d avoi ne entaine de oints dans la zone de elaation Les ofils des vitesses et des essions dans haqe hase sont ésentés s la Fige I Phase veloities (m/s (m 4e e e 8e 6e 4e e Phase esses (Pa (m Fige I-3 : Pofils de vitesses et de essions dans haqe hase, obtens ave le modèle hos d éqilibe, o difféents tests d imat s n mélange Éoy-Péilase, ave ne aie intefaiale gande (A I 4 m /m 3-4 -

33 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes On emaqe alos qe la longe de la zone de elaation déoît fotement Ceendant, la vitesse de l onde de ho et les gandes ost-ho sont inhangées a aot a as éédent Avant de ontine note analyse, véifions qe les ésltats obtens dans les de eemles éédents oesondent bien a omotement hydodynamiqe éel d mélange On omae o ela les ofils nméiqes ave des ofils eéimenta s la Fige I Mateial veloity (m/s Pesse (GPa Sho veloity (m/s Mateial veloity (m/s Density (g/m Mateial veloity (m/s Fige I-4 : Comaaison des ofils nméiqes obtens ave le modèle hos d éqilibe a vales eéimentales oesondantes On onstate n tès bon aod evenons don maintenant a alls effetés o de vales difféentes de l aie intefaiale, ésentés s la Fige I- et la Fige I-3 Plsies emaqes imotantes event ête faites : L onde de ho dihasiqe, ie sa vitesse et l état elaé deièe elle-i, est indéendante de l aie intefaiale ente les de hases Po de faibles vitesses d imat, de l ode de 5 m/s, on onstate qe l onde de ho a n ofil do et éais : elle ne s aaente ls à ne disontinité Potant le all de sa vitesse monte q elle évole à 4 m/s, e qi oesond à n état sesoniqe dans l éoy et à n état sbsoniqe dans le éilase Cette onde est alos qalifiée de «omlètement disesée», et nos veons dans la setion sivante l oigine de e hénomène Po ne onde de ho omlètement disesée, les éats de vitesses et de essions ente les de hases sont tès faibles L onde s aaente don à ne session d états à l éqilibe méaniqe - 5 -

34 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes Losqe l aie intefaiale agmente, le hénomène de disesion de l onde de ho dihasiqe aaaît assi o des vitesses d imat ls imotantes Ainsi, on onstate finalement qe, o ne onde de ho omlètement disesée, le ofil est do et les hases sont toos en qasi-éqilibe méaniqe Voyons maintenant l oigine de e hénomène de disesion I3 Phénomène de disesion de l onde de ho dihasiqe Plaçons nos dans le as éédent o leqel l onde de ho dihasiqe est omlètement disesée et est sesoniqe dans l ne des hases Dans e as, on a ne onde de ho dans l éoy selement eésentons maintenant le mélange sos la fome d n milie statifié, omme ésenté s la Fige I-5 Cette vision n est en ien estitive isq elle est tot à fait eésentative de l éolement à l éhelle de haqe gain Fige I-5 : eésentation shématiqe d oesss de disesion Chaqe matéia est aatéisé a n état W qi déit sa ession, sa vitesse, sa densité et son énegie intene Plaçons nos en égime instationnaie : Initialement, le ho dans l éoy se oage dans n état W non etbé qi oesond à l état initial L Le assage de l onde de ho génèe n état W à ne ession et ne vitesse séiees à elles de l état initial Pisqe le éilase n a as été ao a ne onde de ho, il est toos à l état non etbé Les de états dans haqe flide sont don hos d éqilibe ente e 3 Les vitesses et les essions étant désomais difféentes dans haqe hase, il s ensit n hénomène de elaation méaniqe ente es de états qi les amène dans des novea états W et W 4 L état d flide étant maintenant etbé, des ondes aostiqes vont oage ette etbation dans tot le matéia Et isqe la vitesse d son d éilase est séiee à la vitesse de l onde de ho dans l éoy, es ondes aostiqes vont ovoi emnte le «anal» fomé a le flide et déasse l onde de ho ; e qi est totalement imossible dans le as monohasiqe 5 Les ondes aostiqes ayant déassé le ho vont don modifie le flide et le ote dans n état W, qi n est ls alos en éqilibe ave l état non etbé W dans le - 6 -

35 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes flide Il s ensit a onséqent n novea hénomène de elaation méaniqe ente les de flides, qi ondit le flide ves n état W 6 L état sité devant l onde de ho venant d ête etbé, l intensité et la vitesse d ho sont modifiées Il aaaît don n novel état deièe eli-i qi va de novea ente en inteation ave le flide et ainsi de site Il s ensit don n oesss «ilaie» qi tend à étale l onde de ho dihasiqe, et à éqilibe les vitesses et les essions dans haqe hase De ls, e même hénomène sea assi ésent si le flide est ao a ne onde de ho, a les vitesses d son des matéia s sont difféentes On voit ainsi qe le hénomène de disesion eliqe l étalement de l onde de ho, et les faibles éats de vitesses et de essions ente haqe hase Ce denie oint sea tile o la ohaine setion I33 elations de ho mltihasiqe Le bt de e aagahe est de détemine les elations de sat ente l état hoqé «*» et l état initial o ne vitesse d ho σ, o o tote ate gande de l éolement deièe l onde de ho, sans alle la stte intene de l onde de ho L onde de ho dihasiqe est ne onde totalement disesée, a moins o les hos faibles, et en tot oint de l éolement les vitesses et les essions sont qasiment égales Le modèle d éolement qi va ête tilisé est don basé s le modèle à l éqilibe méaniqe établi éédemment Ce modèle ontient eendant ne atie onsevative, et ne atie onsevative La atie onsevative et s éie sos la fome : U F(U t ave U le vete des vaiables onsevatives et F (U le vete fl assoié Po n système de lois de onsevation, les elations de anine-hgoniot sont données a la elation : F (U σu te On obtient alos le sat des vaiables onsevatives a taves des ondes de ho : Y (I63 Y ( σ m²(v ( v σ m (I64 (I65 e e (v v (I66 ave Y la fation massiqe de la hase La desition omlète de l état deièe l onde de ho est déteminée a la donnée de 7 vaiables :, Y,,, σ, et e Les elations (I63 à (I66 fonissent 4 elations de sat o les vaiables onsevatives, l éqation d état de mélange (I5 o (A7 donne elation slémentaie, et on se donne des vaiables (la vitesse d ho a eemle A total, nos ne disosons finalement qe de 6 elations : ne elation slémentaie est don néessaie Eaminons les difféentes ossibilités qi s offent à nos : - 7 -

36 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes I33a Femete isentoiqe Le emie hoi onsiste à sose qe l entoie de haqe hase se onseve a taves de l onde de ho : s s (I67 Cette ossibilité est éatée immédiatement a : Elle viole la loi de onsevation de l énegie totale (I66 ; Elle n est as vaie dans la limite monohasiqe ; Elle ondit à des ésltats eonés Eaminons d ates ossibilités I33b Sat d entoie onstant o ne des hases Sosons maintenant q on tilise les elations (I63 à (I66 femées a la elation (I67 o ne des de hases Obsevons les ésltats obtens ave ne telle hyothèse On onsidèe o ela n mélange Éoy-Sinel, déit dans la Table I- et dont les aamètes d état sont donnés dans la Table I-, et on omae l évoltion des vaiables hoqées édites a la femete isentoiqe o l ne des hases ave les données eéimentales i Sat d entoie nl dans l éoy Les ofils théoiqes édits en tilisant la femete eéimentales s la Fige I-6 s eoy te sont omaés a données Sho Veloity (m/s Mateial Veloity (m/s Pesse (GPa Seifi Volme (m3/g Fige I-6 : Comaaison des ofils obtens ave les elations de anine- Hgoniot femées a la elation s te (tait lein et des données eéimentales (symboles o n mélange Éoy-Sinel On onstate d imotants éats ave les vales eéimentales ii Sat d entoie nl dans le sinel Les ofils théoiqes édits en tilisant la femete eéimentales s la Fige I-7 s sinel te sont omaés a données - 8 -

37 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes Sho Veloity (m/s Mateial Veloity (m/s Pesse (GPa Seifi Volme (m3/g Fige I-7 : Comaaison des ofils obtens ave les elations de anine- Hgoniot femées a la elation s te (tait lein et des données eéimentales (symboles o n mélange Éoy-Sinel Contaiement à l hyothèse éédente, les éditions sont en bon aod ave les données eéimentales Cei s eliqe a le fait qe le sinel est la hase la moins omessible, et don ses vaiations d entoie sont faibles los d assage d ne onde de ho Ceendant, ette elation n est as symétiqe et aaît diffiile à étende à n nombe abitaie de hases De ls, elle viole la limite monohasiqe iii Sat de aot d entoie séifiqe nl Cette femete est la ls éente, et a été oosée a esnyansy and Bone (4 Elle sose qe la onentation d entoie se onseve : s /s te a taves des ondes de ho On omae les ofils théoiqes édits ave les données eéimentales s la Fige I Sho Veloity (m/s Mateial Veloity (m/s Pesse (GPa Seifi Volme (m3/g Fige I-8 : Comaaison des ofils obtens ave les elations de anine- Hgoniot femées a la elation s /s te (tait lein et des données eéimentales (symboles o n mélange Éoy-Sinel Bien qe la elation oosée soit maintenant symétiqe, on onstate q elle ondit a mêmes éats qe la femete s eoy te I33 Femete isotheme Cette hyothèse est la ls féqemment tilisée et sose qe l état hoqé est en éqilibe des teméates ente hases Bien qe stifiable o etains mélanges gaze, Kaila et al ( ont monté qe ette hyothèse n est as valide o des mélanges de hases ondensées o des mélanges solide-gaz Les ofils théoiqes édits a la femete isotheme des elations de anine-hgoniot sont néanmoins omaés ave les données eéimentales s la Fige I-9-9 -

38 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes Sho Veloity (m/s Mateial Veloity (m/s Pesse (GPa Seifi Volme (m3/g Fige I-9 : Comaaison des ofils obtens ave les elations de anine- Hgoniot femées a ne loi isotheme (tait lein et des données eéimentales (symboles o n mélange Éoy-Sinel La femete isotheme ondit à d imotants éats a aot a vales eéimentales Cette hyothèse est don à ele Un tel onstat était déà admis en éamble de ette setion isqe les éhanges de hale ont été sosés négligeables dans la ohe de ho I33d Femete a ne elation de tye Hgoniot o haqe flide Cette elation a été oosée a Tnin ( is stifiée a Sael et al (6a Elle s aie s ne intégation des éqations d énegie intene de haqe hase (I4 et (I4, qi event assi s éie sos la fome sivante : de dv (I68 d d Ces éqations ne sont vaies qe o des ondes élémentaies, mais nos avons v qe o les hos faibles l onde de ho dihasiqe était omlètement disesée et s aaentait à ne site d états en éqilibe méaniqe Pa onséqent, on et intége dans e as la elation (I68 ente l aval et l amont de l onde de ho : de ( dv ( d ( d d (I69 d L éqation (I69 et assi s éie sos la fome sivante : de ( dv ( d ˆ d d (I7 d En définissant ne ession moyenne dans haqe hase : dv ( dv ( ( d ( d d d ˆ (I7 dv ( v v d d On et alos eime la ession moyenne dans la hase omme sit : dv ( dv ( ( d dv ( d ˆ (I7 v v Si le aot des volmes séifiqes est sosé onstant dans la ohe de ho, la elation (I7 devient : - 3 -

39 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes dv ( ( d dv d dv v dv v v dv v v ˆ ˆ (I73 v Eaminons alos le omotement des volmes séifiqes de haqe hase à l intéie de la ohe de ho On onsidèe o ela les alls de oagation d ondes de ho dans n mélange Éoy-Péilase ésentés a aagahe I3 et s la Fige I- et la Fige I-3 La Fige I- ésente l évoltion d volme séifiqe d ne hase en fontion d volme séifiqe de l ate hase dans la ohe de ho o difféentes intensités de ho 8 7 Seifi volme of hase (m3/g Seifi volme of hase (m3/g Fige I- : Évoltion des volmes séifiqes de haqe hase à l intéie de la ohe de ho o n mélange Éoy-Péilase imaté à difféentes vitesses On onstate q on a bien n aot onstant à l intéie de la ohe de ho, qi déend natellement de l intensité de l onde de ho On l aoime alos de la manièe sivante : dv v v dv v (I74 v emaqons qe l aoimation (I74 est valide a définition o les hos faibles En l inetant dans la définition (I73 de la ession moyenne dans la hase, on obtient : v v v v ˆ ˆ ˆ ˆ (I75 v v v v La ession moyenne définie en intégant les éqations d énegie est don la même o haqe flide, et la elation (I7 devient : ( e e ˆ ( v v (I76 Il ne este ls q à eliite la ession moyenne intevenant dans la elation (I76 Celle-i est en effet d ne imotane aitale isqe haqe estimation oesond à n hemin themodynamiqe difféent, et don, omme nos venons de le voi ave les eemles éédents, à des états hoqés difféents En sommant les éqations d énegie intene de haqe hase (I76, on monte qe la onsevation de l énegie totale d mélange imliqe néessaiement : - 3 -

40 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes ˆ (I77 En inetant la elation (I77 dans les elations (I76 on obtient finalement : ( e e ( v v (I78 Plsies emaqes d imotane s imosent ii : La elation (I78 s aaente à l Hgoniot de haqe hase Cela signifie qe losq ne onde de ho se oage dans le mélange, l évoltion themodynamiqe de eli-i est telle qe haqe hase sit sa oe Hgoniot On obtient ne fomlation symétiqe, valable o n nombe abitaie de hases La limite monohasiqe est assée Les lois de onsevation d mélange et le seond inie de la themodynamiqe sont esetés La fation volmiqe este bonée L hgoniot de mélange oesondante est tangente à l isentoe de mélange L ensemble de es emaqes fait de la elation (I78 n tès bon andidat o la femete des elations de anine-hgoniot mltihasiqes Nos allons maintenant eamine les validations eéimentales I34 Validations eéimentales I34a Choi d n as test signifiatif La validation eéimentale de la elation (I78 néessite de détemine n as test eemt de totes inetitdes, e qi n est as ne tahe faile Plsies onditions imotantes sont en effet eqises : Le mélange étdié doit ête afaitement onn, est-à-die qe l on doit avoi aès à totes les onditions initiales des matéia qi le omosent Malheesement beao de mélanges se ésentent sos la fome d alliages dont seles la densité de mélange et les fations massiqes des onstitants sont onnes Les densités des onstitants n étant as égales à la densité d matéia éqivalent sos fome e, es mélanges sont à ele Une ate ossibilité seait de onsidée des milie ganlaies ls o moins omats Ceendant, ils font inteveni des effets hysiqes slémentaies (ontats integanlaies, oagation de tes et fissation, tansfomations lastiqes qi omliqent la mise en évidene laie et simle de la femete (I78 De ls, les onditions initiales sont sovent mal onnes, a ils sont généalement éontaints, et o les hos fots, des hénomènes de dissoiation des moléles de gaz iégé dans les oes viennent enoe omliqe l étde Finalement, le denie tye de mélanges envisageable onene e omosés d n liant ote de atiles noyées, dont la fation volmiqe est onne C est e tye de mélanges qe nos onsidéeons dans la site La emièe diffilté assée, il fat enoe s asse qe les éqations d état des matéia omosant le mélange sont onnes Il fat o ela disose de la obe d hgoniot des matéia s, e qi n est as toos le as Ensite, il est néessaie de véifie qe la obe d hgoniot (I49 de haqe matéia est la ls linéaie ossible En effet, tote modifiation de sa ente tadit des hénomènes de tansition de hase o de modifiation de l odonnanement intene qi hangent le omotement hydodynamiqe d matéia et don omliqent la validation d ne elation élémentaie - 3 -

41 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes Finalement, les oiétés méaniqes et themodynamiqes des onstitants d mélange doivent ête assez difféentes afin qe l hgoniot de mélange se difféenie bien des hgoniots des matéia s L étde sos ho des mélanges de matéia a fait l obet de nombeses ehehes eéimentales, omme le montent l ovage de Mash (98 o la banqe de données sse de Bshman et al (4 Pami les 7 mélanges déits dans ette éféene, selement satisfont l ensemble des onditions éédentes ; e qi oesond totefois à ls d ne entaine d eéienes Ils sont éetoiés dans la Table I- Mite (g /m m Z / Z Calite-Wate Chloine tifloide - Alminim 6 69 Eoy-Enstatite Eoy-Peilase Eoy-Sinel Feldsa-Paaffin Mable-Paaffin Paaffin(6 wt-tngsten(84 wt Paaffin(338 wt-tngsten(66 wt Paaffin-Enstatite Paaffin-Peilase Uanim-Molybdene Table I- : Liste des mélanges déits a Bshman et al (4 satisfaisant les onditions néessaies à la validation de la femete (I78 Les aamètes d états des difféents flides déits dans la Table I- ont été allés à ati de le obe d hgoniot et sont donnés dans la Table I- (Pa γ (g /m 3 (m /s δ Z (g /(m s Eoy Peilase Sinel Paaffin Paaffin Tngsten Enstatite Uanim Molybdene Mable Chloide tifloide Alminim

42 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes Liqid wate Calite Feldsa Table I- : Paamètes d états des matéia s omosant les mélanges donnés dans la Table I- Les hgoniots de es matéia sont don elativement linéaies, à l eetion totefois de la aaffine Po des essions inféiees à 5 GPa, on tilisea les données de la Paaffin, et o les tès hates essions, elles de la Paaffin Les difféents mélanges déits dans la Table I- ont des omotements sos ho tès difféents isqe les aots d imédane aostiqe vaient de à 35, les aots de densité de à 5 et les densités de mélange vont de 9 g/m 3 à 7 g/m 3 I34b Validation des elations de ho Nos allons monte ii des validations de la femete des elations de anine-hgoniot mltihasiqes a la elation (I78, s l ensemble des mélanges déits dans la Table I- Eéimentalement, on et détemine o tote vitesse d imat donnée, la vitesse d ho, la ession et la densité sos ho d mélange Dans le as où haqe matéia est égi a ne éqation d état Stiffened Gas, dont les aamètes sont évidemment onns, on et monte qe la fation volmiqe est donnée a la elation sivante : γ e (, γ (I79 γ γ γ γ Les ofils théoiqes édits a la elation (I78 sont finalement omaés a ésltats eéimenta donnés dans Bshman et al (4 Chaqe matéia étant sosé égi a l éqation d état Stiffened Gas, on omae assi les ofils de fation volmiqe Le as où haqe matéia obéit à ne éqation d état Mie-Güneisen est ésenté dans l Annee B i Mélange Éoy-Sinel Sho Veloity (m/s Mateial Veloity (m/s Pesse (GPa Seifi Volme (m3/g

43 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes 6 Phase Volme Fation 8 Pesse (GPa Mateial Veloity (m/s Mateial Veloity (m/s Fige I- : Comaaison des ésltats eéimenta (symboles et des ofils théoiqes édits a la femete (I78 (tait lein o n mélange Éoy- Sinel On onstate n tès bon aod, y omis s le all de la fation volmiqe ii Mélange Éoy-Péilase Sho Veloity (m/s Mateial Veloity (m/s Pesse (GPa Seifi Volme (m3/g Phase Volme Fation Mateial Veloity (m/s Pesse (GPa Mateial Veloity (m/s Fige I- : Comaaison des ésltats eéimenta (symboles et des ofils théoiqes édits a la femete (I78 (tait lein o n mélange Éoy- Péilase L aod ave les données eéimentales est tès bon

44 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes iii Mélange Paaffine-Enstatite On tilise o e test les aamètes de la Paaffin, isqe la ession ne déasse as les 5 GPa Sho Veloity (m/s Mateial Veloity (m/s Pesse (GPa Seifi Volme (m3/g Phase Volme Fation Mateial Veloity (m/s Pesse (GPa Mateial Veloity (m/s Fige I-3 : Comaaison des ésltats eéimenta (symboles et des ofils théoiqes édits a la femete (I78 (tait lein o n mélange Paaffine-Enstatite L aod est eellent o l ensemble des vaiables iv Mélange Uanim-Molybdène Sho Veloity (m/s Mateial Veloity (m/s Pesse (GPa 35e-5 4e-5 45e-5 5e-5 55e-5 6e-5 Seifi Volme (m3/g

45 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes 8 Phase Volme Fation 5 Pesse (GPa Mateial Veloity (m/s Mateial Veloity (m/s Fige I-4 : Comaaison des ésltats eéimenta (symboles et des ofils théoiqes édits a la femete (I78 (tait lein o n mélange Uanim-Molybdène On onstate n tès bon aod s les vaiables mesées, et n bon aod qantitatif s la vaiable allée qi est tès disesée v Mélange Paaffin (338 wt - Tngsten (66 wt On tilise o e test, et le sivant, les aamètes de la Paaffin, isqe la ession deièe le ho déasse les GPa Sho veloity (m/s Mateial veloity (m/s Pesse (GPa Seifi volme (m3/g 8 Phase volme fation Pesse (GPa Mateial veloity (m/s Mateial veloity (m/s Fige I-5 : Comaaison des ésltats eéimenta (symboles et des ofils théoiqes édits a la femete (I78 (tait lein o n mélange Paaffin(338 wt-tngsten(66 wt

46 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes L aod est bon o les vales eéimentales, et oet s la gande allée vi Mélange Paaffin (6 wt - Tngsten (84 wt Sho veloity (m/s Mateial veloity (m/s Pesse (GPa 5 3 Seifi volme (m3/g Phase volme fation Mateial veloity (m/s Pesse (GPa Mateial veloity (m/s Fige I-6 : Comaaison des ésltats eéimenta (symboles et des ofils théoiqes édits a la femete (I78 (tait lein o n mélange Paaffin(6 wt-tngsten (84 wt L aod ave les données eéimentales este bon, mais la vaiable allée n est as tès bien déteminée Cet éat est dû à ne tansition de hase de la aaffine, visible s la Fige I Sho veloity (m/s Mateial veloity (m/s Fige I-7 : Cobe d hgoniot eéimentale de la aaffine, et hangement de ente o des vitesses matéielles séiees à 6 m/s

47 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes Po les hates essions, la ente hange, e qi est aatéistiqe d ne tansition de hase vii Mélange Éoy-Enstatite Sho veloity (m/s Mateial veloity (m/s Pesse (GPa Seifi volme (m3/g Phase volme fation Mateial veloity (m/s Pesse (GPa Mateial veloity (m/s Fige I-8 : Comaaison des ésltats eéimenta (symboles et des ofils théoiqes édits a la femete (I78 (tait lein o n mélange Éoy- Enstatite Un tès bon aod est obten s les vaiables eéimentales, et n bon aod s la vaiable allée qi est ii assi tès disesée viii Mélange Paaffine-Péilase Sho veloity (m/s 7 Pesse (GPa Mateial veloity (m/s Seifi volme (m3/g

48 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes 46 Phase volme fation Pesse (GPa 3 3 Mateial veloity (m/s 3 Mateial veloity (m/s Fige I-9 : Comaaison des ésltats eéimenta (symboles et des ofils théoiqes édits a la femete (I78 (tait lein o n mélange Paaffine-Péilase L aod s les gandes eéimentales este tès bon, et la vaiable allée est bien déteminée i Mélange Paaffine-Mabe Sho veloity (m/s Mateial veloity (m/s Pesse (GPa Seifi volme (m3/g 6 Phase volme fation 3 Pesse (GPa Mateial veloity (m/s Mateial veloity (m/s Fige I- : Comaaison des ésltats eéimenta (symboles et des ofils théoiqes édits a la femete (I78 (tait lein o n mélange Paaffine-Mabe - 4 -

49 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes L aod ave les vaiables eéimentales este eellent, et la vaiable allée est oetement estimée omte ten de son imotante disesion ; mais assi d fait qe les onditions initiales d mélange ne sont as omlètement maîtisées isqe la fation massiqe d mabe est omise ente 7 et 79 Mélange Paaffine-Feldsath 65 Sho veloity (m/s 3 Pesse (GPa Mateial veloity (m/s Seifi volme (m3/g 4 Phase volme fation 3 Pesse (GPa Mateial veloity (m/s Mateial veloity (m/s Fige I- : Comaaison des ésltats eéimenta (symboles et des ofils théoiqes édits a la femete (I78 (tait lein o n mélange Paaffine-Feldsath L aod est tès bon ave les vaiables eéimentales, et aetable o la vaiable allée - 4 -

50 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes i Mélange Ea-Calite 9 Sho veloity (m/s Pesse (GPa 3 Mateial veloity (m/s Seifi volme (m3/g 3 Phase volme fation 7 Pesse (GPa Mateial veloity (m/s 3 Mateial veloity (m/s Fige I- : Comaaison des ésltats eéimenta (symboles et des ofils théoiqes édits a la femete (I78 (tait lein o n mélange Ea- Calite L aod s les gandes eéimentales este tès bon, et la vaiable allée est bien déteminée ii Mélange Tifloide de hloine - Alminim Sho veloity (m/s Mateial veloity (m/s Pesse (GPa Seifi volme (m3/g - 4 -

51 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes Phase volme fation Mateial veloity (m/s Pesse (GPa Mateial veloity (m/s Fige I-3 : Comaaison des ésltats eéimenta (symboles et des ofils théoiqes édits a la femete (I78 (tait lein o n mélange Tifloide de hloine Alminim L aod est tès bon s les vaiables mesées, et qalitatif s la vaiable allée I34 Conlsion La femete des elations de anine-hgoniot mltihasiqes ave la elation (I78 donne d eellents ésltats En ote, bien q initialement déveloée dans le as des hos faibles, elle a ondit à d eellentes éditions o les hos fots dans des mélanges a onditions initiales et a oiétés tès difféentes I35 Validations slémentaies En se basant s la femete (I78, Tnin ( a assi effeté n gand nombe de validations eéimentales, o des aots de densité de à 3 et des essions atteignant les 5 GPa On monte n ésmé de l ensemble des validations effetées s la Fige I-4 Fige I-4 : Comaaison des hgoniots édites a la femete (I78 (tait lein et eéimentales (symboles, d aès Tnin (

52 Chaite I : elations des ondes de ho mltihasiqes I4 Conlsion La diffilté maee de détemination des elations de anine-hgoniot o les mélanges mltihasiqes a don été levée o les éolements évolant en éqilibe de vitesses et de essions Dans l aoimation des hos faibles, et en aison d n hénomène de disesion de l onde de ho dihasiqe, ne novelle elation emet d eliite les elations de sat a taves d ne onde de ho o n mélange mltihasiqe Initialement oosée a Tnin ( et stifiée a Sael et al (6a elle ésente les oiétés sivantes : Elle ondit à d eellents ésltats, validés s n gand nombe d eéienes, tant o les hos faibles qe o les hos fots ; Elle gaantit le eset des inies de onsevation o le mélange et le seond inie de la themodynamiqe ; Elle s éit sos ne fomlation symétiqe, valable o n nombe abitaie de flides ; Elle emet de etove la limite monohasiqe ; Elle gaantit qe la fation volmiqe este bonée ; Le lien ente es elations de sat et le modèle d éolement de Kaila et al ( est maintenant établi Cei emet ainsi d envisage l étde d éolements mltidimensionnels instationnaies S la base de es elations, il est don maintenant ossible de défini n oblème de iemann mltihasiqe eat Celi-i et alos sevi à onstie n solve de iemann eat o aohé, tilisable dans ne méthode nméiqe Ce oint fait l obet d Chaite VI Les elations de ho mltihasiqes étant admises, nos ovons assi envisage maintenant d intodie des effets hysiqes slémentaies dans le modèle édit déit a le système (I4-(I46 Nos allons ainsi voi dans le ohain Chaite omment y intodie des éhanges de hale et des tansfets de masse ; e qi nos sevia ensite à étdie le omotement des ondes de détonation mltihasiqe

53 Chaite II Modélisation des détonations dihasiqes : stte intene et analoge des onditions Chaman-Joget

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55 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes II Intoion L étde des sbstanes elosives, et de manièe ls généale des omositions où inteviennent des éations himiqes eothemiqes, emonte à ne entaine d années Ce sont en effet Bethelot et Vieille (en 88 qi ont démonté eéimentalement l eistene de de égimes stables de oagation de es fonts de tansfomations himiqes : Le égime de déflagation, aatéisé a ne faible vitesse de oagation d font (de l ode de qelqes mètes a seonde Le égime de détonation, aatéisé a des vitesses de oagation élevées (de l ode de lsies millies de mètes a seonde La emièe théoie o déie le égime de détonation a été élaboée a Chaman (en 899 et Joget (en 95 et 97 Ses éditions des vitesses de détonation dans les gaz et les difféentes omaaisons a eéienes disonibles à l éoqe ont alos fait son sès Potant, l amélioation tehnologiqe des systèmes de mese a fini a mette en évidene des diffiltés dans ette théoie, ato des années 93 Une théoie ls omlète a alos été établie indéendamment a Zeldovih, von Nemann et Döing ente 94 et 943 Ces modèles se basent s les éqations d Ele ; est-à-die q ils onsidèent n éolement monohasiqe, dans leqel inteviennent des éations himiqes Les onditions o obteni ne détonation atonome (dites onditions de Chaman-Joget o onditions CJ et la stte intene des ondes de détonations monohasiqes sont don onnes deis envion ans, et 6 ans esetivement Pa onte, es mêmes onditions et la stte des ondes de détonations mltihasiqes estent enoe inonnes Les milie mltihasiqes ésentent en effet d imotantes diffiltés La emièe ovient d aatèe non isotheme d mélange Le all de stte intene de telles ondes de détonation a o l instant été éalisé niqement dans le as d éolement dilé de atiles inomessibles Les emièes étdes eéimentales s le set, initiées ves la fin d XIX ème sièle (en aison de oblèmes de séité dans les mines, s intéessaient inialement a oiétés de mélanges ai/atiles de habon (Hatman & Geenwald (945 et Hatman (948 a eemle is à des mélanges ai/atiles métalliqes (Jaobson et al (964 Les emièes étdes théoiqes s les détonations dans des mélanges gaze en ésene de atiles solides ont ensite été déveloées ato des années 97 ; notamment a Nigmatlin (967, Stass (968, Gladilin (974, Boissov et al (975 et Khasainov et al (979 Totefois, les elosifs hétéogènes sont des milie mltihasiqes ls omlees où les hyothèses de mélange dilé et de atiles inomessibles ne sont ls valides Il aaaît alos n seond oblème aital En effet, si l on sose qe le milie est n mélange de hases omessibles, il fat alos onnaîte : o Ses elations de sat a hos o Le modèle d éolement ente le ho inete et la sfae soniqe o La définition de la sfae soniqe Ces milie étant à ioi en déséqilibe de vitesses et de teméates, il eiste de vitesses matéielles et de vitesses d son dans l éolement : omment est défini le lan soniqe dans es onditions? o Les onditions de assage a oint soniqe, dès los q il est onn, analoges des onditions CJ d modèle éemment, lsies modèles d éolement mltihasiqe ont été oosés o les détonations hétéogènes : Le modèle de Bae & Nnziato (986 Chaqe hase est omessible, et l éolement évole en déséqilibe des vitesses, des essions et des teméates Dans ette aohe,

56 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes la ésene de de vitesses matéielles et de de vitesses d son omliqe l analyse, et an des oints éédents n est malheesement disonible Le modèle de Kaila et al ( Chaqe hase est omessible, et l éolement évole ave ne sele vitesse et ne sele ession mais lsies teméates Cette aohe ésot la diffilté liée à la définition de la sfae soniqe isqe le mélange évole ave ne sele vitesse matéielle et ne sele vitesse d son, assoiée à l éqilibe méaniqe En ote, les elations de ho de e modèle, ves a Chaite I, et démontées a Sael et al (6a sont désomais disonibles La détemination de la stte intene des ondes de détonation mltihasiqe ave e modèle est don envisageable La emièe tâhe onsiste avant tot à intodie les temes de tansfet de hale et de masse dans n modèle d éolement à ne vitesse et ne ession mais lsies teméates Cette modélisation est déliate, a il fat éalise ne onsttion symétiqe et ohéente a aot a onsidéations themodynamiqes On oose ensite d établi les éqations de l éolement ente le ho et le oint soniqe, et de détemine l analoge des onditions CJ Dans n emie tems, on aelle le as des détonations monohasiqes (modèle ZND is le as des détonations monohasiqes à font obe (modèle WK Ces aels, évidents et natels o le lete familie de la théoie des détonations, emettent de stte la ésentation et la méthode de all qi seont ensite tilisées o le modèle dihasiqe Celi-i est tot d abod établi en ésene de tansfets de hale et de masse, sos ne fomlation symétiqe novelle En se laçant dans le eèe de l onde de détonation, o n éolement stationnaie, on détemine alos les onditions de assage a oint soniqe o avoi ne détonation atonome Finalement, on ésente ne séie de as tests signifiatifs II aels des modèles de all de stte intene des détonations monohasiqes : modèles ZND et WK II Cas monohasiqe D lan : modèle ZND Le modèle est basé s les éqations d Ele, il néglige les hénomènes dissiatifs (onion de la hale, visosité ates qe e liés a éations himiqes Les hyothèses iniales sont : L éolement est monodimensionnel et établi L onde de détonation est lane Les éations himiqes démaent aès assage d n font de ho inete et ont lie s ne zone de éation, de longe finie, deièe eli-i L éolement dans ette zone est adiabatiqe (absene d éhange de hale ave l etéie L éolement est en éqilibe themiqe, mais en déséqilibe himiqe Les éqations de l éolement, valables en tot oint (y omis a ho et dans la zone de éation sont don : t ² t E ( E t Y Y & Y t (II

57 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes Les notations sont lassiqes, à l eetion de Y qi eésente la fation massiqe des odits généés a la éation himiqe et Y& le ta d aaition On onsidèe ii n shéma éationnel «élémentaie» : éatifs odits L éolement ne ontient ainsi qe de esèes (les éatifs et les odits, définis a le fation massiqe Y et Y Celles-i évolent sos la ontainte Y Y Le système est finalement femé a la donnée d ne loi d état : (,e, où l énegie intene e est dédite de l énegie totale E a : f f E e(, Ye Ye (II f L énegie totale est ainsi omosée de l énegie intene, des énegies de fomation e des difféentes esèes (dont la ontibtion évole a os de la éation, ie losqe les fations massiqes hangent et de l énegie inétiqe Afin de déie omlètement la stte intene de l onde de détonation, il fat don : Donne les elations de assage a taves de l onde de ho (inete ; Donne les éqations de l éolement ente le font de ho et la sfae soniqe, est-àdie ente le débt et la fin de la zone de éation ; Établi les onditions de assage s la sfae soniqe Déveloons maintenant es 3 étaes IIa elations des ondes de ho o le modèle ZND Le ho étant sosé inete, le ta d aaition des esèes himiqes est absent des éqations d système (II Les éqations se amènent don à ne fome lassiqe : t ² (II3 t E ( E t Y Y t Le système (II3 étant sos fome onsevative, les elations des ondes de ho sont onnes : [ ( D ] [ ( D ] [ E ( D ] (II4 Y [ ] D est la vitesse d ho (assi aelée vitesse de l onde de détonation, et [ ] d ne vaiable f a taves de l onde de ho f eésente le sat IIb Fomlation en vaiables imitives Po la site, il est ls tile d éie le système (II en vaiables imitives (,,, Y : t t (II5-49 -

58 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes e t Y e int Y Y& f f f e e,, Y e(, Y e Y e e(, Y e int t Ave int int ( On a a onséqent : e e e de d d dy int int int int ϕ ; ϕ Y,Y ϕ ϕ,yϕ,,y Ce qi emet d éie l éqation d énegie sos la fome : e e int int Y& ϕ ϕ,y ϕ ϕ Y,,Yϕ ' t e int e int,y ϕ,yϕ Eliitons les de temes qi inteviennent ii en fate de la divegene de vitesse et a seond membe : e int L identité de Gibbs s éit : de int Tds dv dy ϕ Po n éolement à ϕ Yϕ ϕ' ϕ, entoie et fations massiqes onstantes, on a : e int e int de d d d,y int,y ϕ ϕ ϕ ϕ,,y ϕ' de int e int,y ϕ La vitesse d son figée est alos définie a : s,y e ϕ int,y ϕ La ontainte de satation Y Y indiqe assi qe Y & Y& En ote, on a : e Y int ϕ e Y,,Yϕ' e int f f f Ainsi, il vient : Y& e Y& ( e e Y& ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ,,yϕ ' f ϕ La éation éatifs odits envisagée est telle qe l on a Y > q est la hale de éation, toos ositive (éation eothemiqe ϕ dv ; est-à-die : & f f et ( e e q e int Y& ϕ ϕ Y ϕ,,y qy& ϕ' Le seond teme se ésente don sos la fome : La loi e int e int,y ϕ,yϕ d état tilisée étant sosée onvee o des aisons de stabilité themodynamiqe où - 5 -

59 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes évidente (sans qoi on obtient des hos non omessifs, des vitesses d son e int imaginaies, on a toos > ; et le teme omlet est toos ositif,y ϕ Pa onséqent, ela signifie qe l évoltion de ession de a éations himiqes est toos ositive Finalement, le système d éqations en vaiables imitives s éit (en tilisant les déivées lagangiennes : d d (II6 d dy Y& qy& e int,yϕ II Conditions de Chaman-Joget a oint soniqe Les éqations d système (II6 sont invaiantes a tanslation galiléenne Dans le eèe d ho, elles s éivent don : d d (II7 d qy& e int,yϕ dy Y& L oéate lagangien est maintenant défini a : d, ave t D En onsidéant l éolement stationnaie, le système (II7 devient : (II8 qy& e int,yϕ Y Y& En ombinant l éqation de qantité de movement et l éqation de ession, on obtient : qy& e int,y ϕ ; ( - 5 -

60 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes Ce qi emet de mette le système (II8 sos fome d n système d éqations difféentielles odinaies (EDO : qy& e int,y ϕ ( (II9 Y Y& Le système difféentiel (II9 fait don inteveni des temes soes dans les membes de doite, isqe tos es temes s eiment en fontion d ta d aaition des odits de détonation (a taves de la divegene de vitesse, qi évole elle assi a moyen d n teme soe C est l ensemble des éqations (II9 q il fat ésode ente le font de ho inete et la sfae soniqe o détemine la stte intene de l onde de détonation On monte alos qe losqe la ondition de soniité est atteinte, on doit néessaiement avoi Y& o qe la divegene de vitesse este finie, est-à-die q on doit avoi ne ombstion teminée On etove bien les onditions de Chaman-Joget, à savoi qe l éolement est soniqe en fin de zone de éation II Cas monohasiqe D en atohe ylindiqe, sivant l ae de symétie : modèle de Wood & Kiwood (modèle WK Nos onsidéons maintenant n modèle D, en oodonnées ylindiqes, qi tient omte de la ésene d ne faible omosante adiale de vitesse dans l éolement (q on aellea ensite a abs de langage «divegene de l éolement» Celle-i est en effet toos ésente o les détonations en atohe ylindiqe de diamète fini, et éslte des inteations de l onde de détonation ave le matéia qi la onfine (enveloe métalliqe de evêtement o ai ambiant Ces inteations indisent la ésene de détentes latéales dans le matéia énegétiqe qi obent ensite le font de l onde de détonation Cette novelle aohe fût initialement élaboée o alie à etains défats d modèle ZND, inialement liés à l hyothèse de lanéité de l onde de détonation On ne onsidèe totefois qe de faibles éats a aot à l hyothèse de l onde lane, est-à-die q on este dans le as d ne divegene faible En atiqe, est le as losqe le diamète de la atohe est tès séie a diamète itiqe d etintion de la détonation et à la longe de la zone de éation Le oint de déat onsiste à éie le système d éqations oesondant à n éolement D éatif en géométie ylindiqe Totefois l éolement n est as ésol dans son ensemble, mais niqement ès de l ae de symétie ; e qi sffit amlement à omende le omotement de la détonation losqe la divegene est non nlle En oodonnées ylindiqes (,, le modèle d éolement s éit don : w w t ² w w t w w w² w² t (II - 5 -

61 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes E ( E ( E w ( E w t Y Y wy wy & Y t Les notations sont identiqes à elles tilisées dans la atie éédente Les noveatés oviennent de la omosante adiale de la vitesse w, et de la définition de l énegie totale : f f E e(, Ye Ye ( w (II Si on se lae s l ae de symétie : la vitesse adiale est nlle : w (, le aot de la vitesse adiale s le ayon est donné a la ègle de De w w l Hosital : Comte ten de es simlifiations, le système (II se ésente sos la fome sivante : w t t E t ² ( E w w ( E (II Y Y w Y & Y t Comme dans le as d modèle ZND, le all de la stte intene de l onde de détonation néessite 3 ingédients : Les elations de assage a taves de l onde de ho ; Les éqations de l éolement sos ne fome atiqe o la ésoltion ente le font de ho et la sfae soniqe ; Les onditions de assage s la sfae soniqe o obteni ne détonation atonome Ii, il aaaît ne inonne slémentaie, à savoi la divegene de l éolement s l ae de w symétie q il fada détemine Eaminons es difféents oints IIa elations des ondes de ho o le modèle WK L onde de ho se oage sivant la nomale à son font, qi est onfonde ave l ae de symétie en L éolement étant initialement a eos, la oetion des elations de sat s l ae de symétie ondit a elations sivantes : [ ( D ] [ ( D ] w (II3 [ ]

62 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes [ E ( D ] [ Y ] La toisième elation de (II3 onfime qe w aès le assage de l onde de ho (isq elle était initialement nlle Pa la site, ette vitesse este nlle o des aisons de symétie IIb Eession de la divegene de l éolement Les détonations onsidéées ayant n font obé, la divegene de l éolement est non nlle et doit ête déteminée Considéons o ela n éolement faiblement divegent, est-à-die n font de détonation se oageant à la vitesse D et ossédant n ayon de obe, omme shématisé s la Fige II- Fige II- : eésentation shématiqe d diagamme de vitesses d n éolement à font obé o n oint ohe de l ae (d aès Fiett & Davis (979 Dans es onditions, les vitesses nomales et tangentielles de l éolement a font de ho s eiment : n n ( osθi sin θ θ θ ( sin θi osθ (II4 La vitesse de l éolement s eime alos : n θ ( n osθ θ sin θ i ( θ osθ n sin θ (II5 La omosante adiale de la vitesse w s éit ainsi : w θ osθ sinθ (II6 n Sahant qe θ D sin θ et qe sin θ, (II6 devient : w ( D os θ n (II7 Sahant qe la vitesse eendilaie a font d ho n est eliée à la vitesse initiale eendilaie a font d ho D osθ a les elations de anine-hgoniot, on et en faie n déveloement en séie de Taylo ato d oint sité s l ae :

63 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes ( ( ( ( ( D os D D os D hg n hg n n n θ θ Où, isqe l éolement est faiblement divegent : ( 4 sin os 4 θ θ En inetant es eessions dans (II7, il vient : ( ( ( D D D w hg n 8 n (II8 Si on se limite a teme d ode de (II8, la divegene de l éolement est donnée a : ( n D w (II9 II Fomlation en vaiables imitives Aès qelqes tansfomations, similaies à elles d aagahe IIb, le système (II devient : w d d (II,Y int w e qy d ϕ & Y dy & IId Conditions de Woo-Kiwood a oint soniqe Le système (II estant invaiant a tanslation galiléenne, il s éit, dans le eèe lié a ho : w d d (II,Y int w e qy d ϕ & Y dy & Si on onsidèe l onde stationnaie attahé a eèe, le système (II s éit : w (II

64 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes qy& e int,y ϕ w Y Y& La ombinaison de l éqation de movement et de l éqation de ession ondit à : w qy& e int,y ( ϕ, Ce qi emet, ette fois enoe, de mette le système (II sos fome d n système d EDO : w qy& e int,y ϕ ( w (II3 Y Y& La stte de l onde de détonation dans la zone de éation sea don donnée a la soltion d système difféentiel (II3 On emaqe enfin qe la soltion ne et ête stable hysiqement w losqe q à la ondition qe : qy& e int Cette ondition,y ϕ oesond éisément a onditions de Wood & Kiwood (954 o les détonations à font obé II3 Etension a as dihasiqe II3 Établissement et femete d modèle d éolement Avant tote hose, il fat établi n modèle d éolement adaté à l étde des détonations dihasiqes Les aliations envisagées mettant en e des hénomènes de elaation des vitesses et des essions tès aides, le modèle édit, en éqilibe de vitesse et de ession, semble afaitement adaté Ce tye d aohe o la modélisation des détonations dans les milie ganlaies avait d ailles été envisagé a Kaila et al ( Ceendant, le modèle déveloé ésentait n défat ontaignant a sa fomlation n était as symétiqe Dans e as, il fat onnaîte eliitement les hases en ésene et le modèle est to intitif ; en ote, il n eiste an gide o l etension à n nombe abitaie de matéia Nos oosons ii d établi n modèle d éolement en éqilibe des vitesses et des essions et en déséqilibe themiqe et himiqe, qi soit afaitement symétiqe Po ela, nos oédons a étaes : La emièe onsiste à intodie les tansfets de hale dans le modèle généal hos d éqilibe total ; égi a les éqations (I à (I7 ésentées a Chaite I

65 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes On effete alos ne analyse asymtotiqe de e modèle, dans la limite de fots oeffiients de elaation méaniqe On obtient ainsi n modèle édit à ne vitesse et ne ession ave des temes d éhanges de hale Finalement, on intodit les temes de tansfet de masse dans e modèle Il aaaît alos ne «densité d intefae», qi doit ête eliitée On tilise o ela la elation de onsevation de l énegie d mélange, et la seonde loi de la themodynamiqe ; omme nos allons le voi i-dessos II3a Intoion des éhanges de hale On sose ii qe dans l éolement, les difféentes hases event éhange de la hale ente elles Totefois, es éhanges se faisant ente hases, ils ne modifient as l énegie totale d mélange qi este onstante Cela signifie qe les éqations (I et (I7 sont inhangées, eetées les éqations d énegie totales de haqe hase o lesqelles intevient maintenant n teme Q d éhange de hale Comme nos venons de le die, e teme doit gaanti la onsevation de l énegie totale d mélange ; a ailles, il doit assi ête en aod ave le seond inie de la themodynamiqe En s ayant s l aohe de Kaila et al ( et en sivant la oéde déveloée en absene d éhanges de hale a aagahe Ia on et alos monte qe l analyse asymtotiqe ondit à ne novelle eession d modèle édit, en ésene d éhanges de hale, qi se ésente sos la fome sivante : t ( t ( t ( t ( E t ( T H T K ( ( ( ( E (II4 ave K Comme éédemment, et désignent la fation volmiqe, la densité et la vitesse d son de la hase, et E est l énegie totale d mélange, définie a E e Enfin, H est le oeffiient global d éhange de hale ente les de hases, qi fait inteveni à la fois n oeffiient d éhange de hale ente les de hases et la sfae d éhange totale On etove le teme de divegene de vitesse dans l éqation s la fation volmiqe, qi tadit les effets de omession/eansion des volmes de haqe hase los d assage d ne onde de omession o d eansion En e qi onene les éhanges de hale, de emaqes imotantes s imosent :

66 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes Dans le modèle édit, les éhanges de hale ne sont ésents q a taves d n teme soe intevenant dans l éqation d évoltion de la fation volmiqe Ainsi, ils n inteviennent as dans l éqation s l énegie totale d mélange, omme nos l avions mentionné ls hat Le teme d éhange de hale dans l éqation s la fation volmiqe est novea Il tadit la vaiation de la fation volmiqe liée a éhanges de hale Losqe les hases éhangent de la hale, elles elaent ves ne teméate d éqilibe : les teméates évolent don en sens invese (ne hase se éhaffe, l ate se efoidit Logiqement, es modifiations de teméate a sein de haqe matéia vont s aomagne de vaiations de densité (ne hase se dilate, l ate se ontate Ceendant, les vaiations de volme de haqe hase ne event se faie indéendamment de l ate hase isqe les onditions d intefae assent l éqilibe méaniqe d mélange Ce hénomène est eésenté s la Fige II- Fige II- : eésentation shématiqe des vaiations de fation volmiqe assoiées à l éhange de hale La hase, ls hade, hehe à se dilate tandis qe la hase, ls foide, tend à se ontate Ces omotements éent des déséqilibes de ession qi indisent ne ontainte s l intefae, le eto à l éqilibe méaniqe se fait a moyen d ondes aostiqes et se odit simltanément à l éhange de hale Cei eliqe oqoi le teme assoié fait inteveni les oiétés méaniqes des matéia : les modles de omessibilité et les oeffiients de Güneisen e II3b Modélisation des tansfets de masse Le tansfet de masse va li assi modifie les éqations d système (II4 La oion/disaition de hane des hases intevient natellement dans les éqations de masse de haqe hase : ( ( m Y & t ( ( m Y & (II5 t où m est le ta de tansfet de masse de la hase Pisqe l on a Y, les éqations (II5 s éivent assi :

67 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes dy Y& dy & Y (II6 Cei a alos o onséqene de modifie l éqation d évoltion de la fation volmiqe : ( H(T T Y & (II7 t I Los de la modélisation des tansfets de masse, il aaaît n novea teme dans l éqation s & Y la fation volmiqe : Il est lié a tansfet de masse Eaminons son oigine i-dessos, I en analysant tot d abod la Fige II-3 Fige II-3 : eésentation shématiqe des vaiations de fation volmiqe assoiées a tansfet de masse Imaginons ne éation d tye Initialement, les de hases sont à l éqilibe méaniqe, mais en déséqilibe himiqe Il s oèe don n tansfet de masse a nivea de l intefae : ne atie de la hase est tansfomée en, en définissant n novea volme Ceendant, la hase ésente dans e novea volme est hos d éqilibe des essions Elle va don tende ves n éqilibe, qi omme éédemment n est atteint q en hamonisant les ontaintes dans le mélange Site a tansfet de masse, il s oèe ainsi ne étae de elaation méaniqe, a moyen d ondes aostiqes La «densité d intefae» I qi intevient a dénominate d novea teme de oion doit don teni omte de l aaition de volme lié a tansfet de masse et des effets de elaation méaniqe La modélisation (II7 va alos néessite de éise la fome de la densité d intefae II3 Modélisation de la densité d intefae dans l éqation s la fation volmiqe Cette diffilté a déà été éetoiée dans Chinnayya et al (4, dans le ade d modèle mltihasiqe hos d éqilibe des vitesses et des essions, ave tansfets de hale et de masse Ils avaient alos oosé de ende la densité de la hase la moins omessible o modélise la densité d intefae L analyse qi sit oose d amélioe ette modélisation en se basant s la seonde loi de la themodynamiqe L inégalité d entoie d système se ésente sos la fome : s ( s (II8 t

68 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes Où s désigne l entoie d mélange : s Y s En vet de l éqation de onsevation de la masse d mélange, la elation (II8 et s éie : ds ds ds Y Y ( s s Y& (II9 ds La elation (II9 fait inteveni les évoltions des entoies de haqe hase d s et Nos allons eliite le eession en nos ayant s : La onsevation de l énegie de mélange ; La ondition d égalité des essions ente haqe hase i Consevation de l énegie de mélange La ombinaison des éqations de bilan d énegie de mélange et de qantité de movement d mélange d système (II4 ondit à ne fome ls atiqe, faisant inteveni l énegie intene de mélange : de d v (II3 Ave e Y e et v Y v qi désignent don l énegie intene et le volme séifiqe de mélange, et qi ne fois inetés dans l éqation (II3 donnent : de d v de d v Y Y ( h h Y& d s d e d v L tilisation de l identité de Gibbs o haqe hase s éit : T, et emet don d éie l éqation de onsevation de l énegie (II3 sos la fome : ds ds Y T YT ( h h Y& (II3 ii Condition d égalité des essions ente hases Le mélange évolant en éqilibe des essions, on a : (,s (, s (II3 En difféeniant la elation (II3 le long d ne taetoie flide, on a : d ds d ds s s s Sahant qe et qe s s s éit alos : d ds d ds T T s T, la ondition d égalité des essions (II3 (II33 iii Éqations d évoltion des entoies de haqe hase Les éqations (II3 et (II33 foment n système femé de de éqations à de inonnes ds ( ds et : ds ds T YT & ( h h Y Y - 6 -

69 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes ds T d ds T d (II34 Le système (II34 se ésot failement : Y h (h d d Y ds T & Y h (h d d Y ds T & (II35 Les éqations de masse de haqe hase (II5 emettent alos d éie le système (II35 sos la fome : Y h (h Y ( Y ( d ( Y ds T & & Y h (h Y Y ( ( d ( Y ds T & & Et l tilisation de l éqation de la fation volmiqe (II7 ondit à : ( ( T Y T h h Y T T H(T ds Y I & & (II36 ( ( T Y T h h Y T T H(T ds Y I & & On note finalement qe la oion d entoie a sein de haqe hase (II36 ovient de tois temes : Le emie est elatif a éhanges de hale Le seond, omme nos le veons a la site, est assoié à la oion d entoie de la éation himiqe Le toisième est assoié a hénomène de elaation des essions aomagnant le tansfet de masse, déit ls hat (f Fige II-3 Nos avons v en effet qe losqe le tansfet de masse a lie, il aaaît n état hos d éqilibe Le système va alos etone à l éqilibe méaniqe aès ne étae de elaation des essions dans les difféentes hases O, ette elaation s oèe a moyen d ondes aostiqes de faibles amlitdes, don isentoiqes On sose a onséqent qe e denie teme n a as d inflene s l entoie d système, est-à-die q il est assoié à ne oion d entoie nlle On voit ainsi qe ette hyothèse nos ondit à la fome eliite de la densité d intefae :

70 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes I (II37 iv Inégalité d entoie On est maintenant en mese d tilise l inégalité d entoie d système (II9, en se sevant des eessions de l évoltion des entoies des hases (II36 et de la elation (II37 : ( ( Y s s Y h h T T T T T H(T & & (II38 On définit alos sessivement : Un oeffiient de Güneisen moyen : (II39 Une «teméate d intefae» : I T T T (II4 3 Une «enthalie libe à l intefae» : I s T h g (II4 La ondition (II38 devient ainsi : ( Y g g T T T T H(T I & (II4 L inégalité d entoie (II4 fait finalement inteveni temes : Le emie, assoié a éhanges de hale, indit de manièe évidente ne oion d entoie ositive o nlle Le deième, assoié a tansfet de masse Ce teme assea assi ne oion d entoie ositive o nlle si le ta de tansfet de masse de la éation est ootionnel à la difféene des enthalies libes à l intefae : ( g g Y ν &, où ν est n aamète ositif de elaation des otentiels himiqes C est e aamète qi ontient la inétiqe oe a tansfet de masse envisagé II3d Fomlation symétiqe d modèle dihasiqe en ésene d éhanges de hale et de tansfet de masse Il se ésente sos la fome sivante : ( Y T H(T t & ( Y ( t ( & ( Y ( t ( & (II43

71 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes ( t ( ( E ( t E ( Ave ( g g Y ν & Le système est tel q il asse : Une elaation d mélange ves l éqilibe themodynamiqe Le eset des inies de onsevation d mélange Une oion d entoie onfome a seond inie de la themodynamiqe Un taitement symétiqe des difféents onstitants d système Le modèle ainsi défini et alos ête tilisé o détemine la stte intene d ne onde de détonation dihasiqe II3 Aliation à l etension dihasiqe d modèle WK Le modèle de déat est don basé s le système (II43 qi vient d ête établi En éivant e système en oodonnées ylindiqes (,, o la détemination d n modèle dihasiqe de tye WK, on obtient : ( Y T H(T w t & Y w ( ( t ( & Y w ( ( t ( & (II44 w ² t w E ( E ( t E Le all de la stte intene des ondes de détonation dihasiqe va se base s la même méthodologie qe elle emloyée éédemment dans le as monohasiqe (aties II et II Elle est don omosée de 3 étaes : L établissement des elations des ondes de ho, en absene d éhanges de hale et de tansfet de masse L éite des éqations de l éolement dans la zone de éation La détemination des onditions de assage a oint soniqe o avoi atonomie de la détonation II3a elations des ondes de ho mltihasiqes Le système (II44 est hyeboliqe mais ne se ésente as sos fome onsevative en aison de l éqation s la fation volmiqe Cela signifie qe ses elations de ho ne sont as

72 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes eliitement onnes Ce oblème a été ésol dans Sael et al (6a, ainsi qe dans le Chaite I Les elations de anine-hgoniot mltihasiqes sont obtenes en emlaçant l éqation s la fation volmiqe a les éqations d énegies intenes de haqe hase En sosant qe le aot des volmes séifiqes est onstant dans la ohe de ho, elles-i event ête dietement intégées Finalement, on obtient les elations sivantes : ( ( D D ( ( D D Y Y (II45 w w v (v e e II3b Eession de la divegene de l éolement Dans le modèle dihasiqe (II44, l éqation d movement est inhangée a aot a as monohasiqe (II L eession de la divegene de l éolement w est don identiqe à elle obtene en (II9 : ( n D w (II46 II3 Fomlation en vaiables imitives Le all de la stte de la zone de éation, ainsi qe la détemination ltéiee des onditions de assage a oint soniqe, néessitent de efomle le système (II44 en vaiables imitives Aès qelqes tansfomations, on et le mette sos la fome sivante : ( Y T H(T w d & Y dy & w d (II47 d w de Dans le système (II47, l éqation d énegie d mélange et là enoe s éie : d v de

73 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes Cette denièe fome va sevi à la détemination de l éqation d évoltion de la ession de mélange i Éqation d évoltion de la ession de mélange On déveloe l éqation d énegie : ( Y h h d v d e Y d v d e Y & Chaqe hase obéissant à ne loi d état d tye (, e e, on a : Y h (h d e d e Y d e d e Y & Les définitions des vitesses d son e e ² et des oeffiients de Güneisen e ondisent alos à éie l éqation d énegie sos la fome : Y h (h d d d ( & (II48 En inetant les éqations de masse de haqe hase, is l éqation s la fation volmiqe, la elation (II48 ondit finalement à l éqation d évoltion de la ession de mélange : ( Y (h (h T H(T w d & (II49 Où intevient la vitesse d son d mélange définie a : ii Modèle dihasiqe en vaiables imitives Le système d éqations, eimé en vaiables imitives, tadisant la dynamiqe de l éolement dihasiqe sivant l ae de la atohe ylindiqe, dans la zone de éation, s éit finalement : ( Y T H(T w d & Y dy &

74 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes w d (II5 d ( Y (h (h T H(T w d & II3d Analoge des onditions CJ o les détonations dihasiqes Les elations (II5 sont invaiantes a tanslation galiléenne On et don les éie dans le eèe lié à l onde de ho, et si on onsidèe l onde stationnaie qi li est attahée, le système devient : ( Y T H(T w & Y Y & w (II5 ( Y (h (h T H(T w & En ombinant l éqation de movement et l éqation de ession, on et eime la divegene de vitesse sos la fome sivante :

75 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes ( ( Y (h (h T H(T w & Cette denièe elation et alos nos sevi à eime le système (II5 sos fome d EDO : ( ( Y (h (h T H(T w & ( Y T H(T w & Y Y & (II5 w La ésoltion d système difféentiel (II5 ondit finalement à la stte de l onde de détonation dihasiqe en ésene de tansfet de hale et de masse Il est immédiat de onstate qe e système ne divege as, losqe, niqement si : ( Y (h (h T H(T w &

76 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes La elation obtene tadit les onditions de assage a oint soniqe o obteni ne détonation atonome : il s agit don de l analoge des onditions CJ o les détonations dihasiqes en ésene d éhange de hale Qelqes emaqes slémentaies s imosent II33 Analyse de l analoge des onditions CJ o les détonations dihasiqes Nos venons de voi qe o ne détonation dihasiqe en ésene d éhanges de hale, l analoge des onditions CJ s éivait : ( Y (h (h T H(T w & (II53 Losqe La ondition (II53 indiqe qe s la sfae soniqe, les effets de divegene de l éolement et de déséqilibe themiqe viennent omense les aots énegétiqes ds a tansfet de masse Cela signifie qe les onditions de assage a oint soniqe qi s aliqent à l onde de détonation dihasiqe sont tès difféentes de elles onnes sqe là Il n est alos as sefl d analyse etains as limites : Le as d n éolement lan (ie sans effets de obe Le as d éhanges de hale tès aides devant le tems de éation (ie losqe l on a n éqilibe themiqe Le as où les de flides sont égis a la même éqation d état et ossèdent les mêmes oiétés (ie dans la limite monohasiqe Ces diveses sitations event a ailles se seose Nos monteons ainsi dans qelles onditions il est ossible de etove les onditions CJ, assoiées a détonations monohasiqes II33a Éolement lan On néglige ii les effets de obe de l onde de détonation ; e qi evient à annle le teme de divegene adiale w i Éolement hos d éqilibe des teméates La ondition (II53 devient :

77 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes Y (h (h T H(T & losqe Ce ésltat est en ontadition ave la ondition CJ Il affime en effet qe, o n éolement lan, la éation n est as néessaiement teminée dans le lan soniqe, et don qe l éqilibe himiqe n est as enoe atteint Ce hénomène est dû a teme d éhanges de hale Ce-i deviennent ssetibles d absobe ne at de l énegie libéée a les éations himiqes : ette «ete d énegie» agmente don le tems néessaie o onsomme tot le éatif Dans le as des détonations gazeses, ne telle édition avait été faite a von Nemann (94, o des détonations où étaient ésentes des éations endothemiqes dans n shéma de inétiqe himiqe globalement eothemiqe Les détonations oesondantes avaient alos été onsidéées omme «athologiqes» Po les aliations envisagées dans e mémoie, e onstat évoit qe les éations event ête etadées et se osivont don, même dans le as nidimensionnel lan, en dehos d lan soniqe Les éations ennent alos lae dans la zone sbsoniqe de l éolement, où elles libèent de l énegie Cet aot d énegie etadé oait avoi des onséqenes intéessantes s les effets olsifs ii Éolement en éqilibe des teméates Si on sose maintenant qe la elaation des teméates est tès aide devant le tems de éation, on et onsidée qe l éolement est en éqilibe themiqe La ondition (II53 devient alos : Y & losqe On etove la ondition CJ lassiqe II33b Détonation à font obé i Éolement hos d éqilibe des teméates C est le as le ls généal qe l on isse envisage La ondition de assage a oint soniqe oesondante est donnée a la elation (II53 La inétiqe de la éation et alos ête etbée a les éhanges de hale ente hases et a la obe d font d onde ii Éolement en éqilibe des teméates Sosons maintenant qe l éqilibe themiqe est atteint dans la zone de éation La ondition (II53 devient : ( Y (h (h w & losqe

78 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes On emaqe ii qe, même si il n y a an éhange de hale ente les hases, les difféenes de omotement themodynamiqe sffisent à modifie la ondition a oint soniqe Là enoe, ette emaqe et s avée intéessante iii Flides égis a la même loi d état, de aamètes identiqes Ce gene de sitations et ête envisagé o : Les détonations gazeses ente flides ayant les mêmes aots de hale séifiqe ; Un mélange égi a ne éqation d état isobae-isotheme La ondition (II53 s éit alos : w ( h h Y & losqe Le ésltat obten oesond a onditions lassiqes de Wood & Kiwood II4 Eemles et validations Nos envisageons maintenant de ésode le système (II44, en tilisant les elations de sat (II45 a ho et les elations (II5 dans la zone de éation, femées a la ondition (II53 Le modèle envisagé étant novea, on ommenea a des simlations d ondes de détonation monohasiqe (modèle ZND et WK Celles-i seviont ensite de gides et d éléments de éféene o la méthode dihasiqe, tilisée s difféents eemles de détonations dihasiqes La desition de la méthode d intégation nméiqe déveloée dans e bt, bien qe déliate, n a as énomément d intéêt o la ésente étde L algoithme assoié est oosé dans l Annee C Ii, nos nos foaliseons inialement s l inteétation des difféentes soltions obtenes II4 Limite monohasiqe ZND Comme nos l avons v dans le aagahe II33 le modèle dihasiqe s identifie a modèle ZND losq on onsidèe qe les de hases sont égies a les mêmes éqations d état, ave des aamètes identiqes, et en éqilibe des teméates On onsidèe alos le as où les odits et les éatifs sont tos de égis a la loi d état des 3 gaz afaits, ave γ γ 3, et ont la même densité initiale 6 g / Les énegies de fomations sont ises égales à m e f 4556 MJ/ g et e f MJ/ g La inétiqe éationnelle est égie a la elation : Y& Y, où 6 s Les ofils des vaiables de l éolement sont eésentés s la Fige II-4 et sont omaés, o les vaiables de mélange, ave la soltion eate qi est dans e as disonible (Fiett & Davis (

79 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes 95 Mah nmbe Mass fation of the os (mm (mm Pesse (GPa Miste density (g/m (mm (mm Mateial veloity (m/s Temeate of the hases (K (mm (mm Densities of the hases (g/m Volme fation of the os (mm Fige II-4 : Pofil des vaiables de l éolement ente le font de ho et le lan soniqe o ne détonation dihasiqe lane dans la limite monohasiqe Comaaison de la soltion nméiqe (tait lein et de la soltion eate (symboles (mm - 7 -

80 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes On onstate n aod afait II4 Mélange de de gaz afaits ave et sans éhange de hale Nos allons envisage maintenant le as dihasiqe le ls simle, eli d n éolement de de gaz afaits Les aamètes d état étant difféents, ils évolent en déséqilibe themiqe L inflene des éhanges de hale est alos analysée en onsidéant n as où ils sont absents, et n ate où ils sont ésents Pa aot à l eemle éédent, on modifie selement les oeffiients olytoiqes des de gaz : γ 3 et γ 4 Les aaités aloifiqes sont imosées à : Cv Jg K et Cv 4 Jg K On onsidèe alos n emie as sans éhange de hale ( H W / K L éqation d état des odits étant inhangée, ainsi qe la hale de éation, on doit obteni ne vitesse de détonation stable identiqe à elle d as idéal Dans n seond 3 as, on imose n oeffiient global d éhange de hale H W / K Les ésltats obtens sont visalisés s la Fige II-5 La olonne de gahe oesond a as où les éhanges de hale sont absents, et elle de doite à eli où ils sont ésents On omae haqe fois, o infomation, les ofils des vaiables moyennes de l éolement ave la soltion idéale monohasiqe Mah nmbe 8 75 Mah nmbe (mm (mm 8 8 Mass fation of the os 6 4 Mass fation of the os (mm (mm - 7 -

81 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes Pesse (GPa 45 4 Pesse (GPa (mm (mm Miste density (g/m Miste density (g/m (mm (mm Mateial veloity (m/s 55 5 Mateial veloity (m/s (mm (mm Temeate of the hases (K Temeate of the hases (K (mm (mm

82 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes Densities of the hases (g/m Densities of the hases (g/m (mm (mm 6 Volme fation of the os Volme fation of the os (mm Fige II-5 : Comaaison des ofils des vaiables de l éolement ente le font inete et le oint soniqe o ne détonation dihasiqe stable sans éhange de hale (olonne de gahe et ave éhange de hale (olonne de doite Les vaiables de mélange obtenes ave le modèle dihasiqe (tait lein sont omaées à la soltion idéale monohasiqe (symboles Dans les de as, les difféenes de oiétés themodynamiqes des de flides ondisent à des ofils d éolement dans la zone de éation tès difféents de e oesondant à la soltion idéale monohasiqe En ote, losqe les éhanges de hale sont ésents, on onstate qe : Les nivea de ession et de vitesse atteints sont séies a as sans éhange (tandis qe la densité est ls faible Les teméates elaent l ne ves l ate mais ne s éqilibent as (sans qoi on etoveait alos les onditions CJ lassiqes La fation massiqe atteinte a oint soniqe et la longe de la zone de éation diminent ; omotement analoge à eli des détonations non idéales Ces omotements liés a éhanges de hale aellent finalement les obsevations faites o les détonations athologiqes (Genohe et al (98 II43 Mélange de de flides égis a des éqations d état difféentes, ave éhange de hale et ésene d effets de obe Considéons finalement n eemle ls éaliste, en aotant n otentiel attatif dans l éqation d état des éatifs, modélisés sos la fome Stiffened Gas Le éatif oesond alos à ne hase ondensée Les aamètes des de flides deviennent : γ 3 γ 4 P Pa P 9 Pa (mm

83 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes Cv J/g /K Cv 4 J/g / K 6 g / m 3 6 g / m II43a Définition des énegies de fomation Désomais, il fat ende gade à la manièe d initialise les énegies de fomation des difféents matéia En effet, si l on vet étdie l inflene des effets de gaz éels, il fat qe l on etove l état CJ a oint soniqe losqe les éhanges de hale sont absents Il fat o ela onseve ne hale de éation onstante Le sat d énegie ente l état initial et l état final s éit : e int, e int, (v v Où l indie désigne les éatifs inetes, avant assage de l onde de ho, et l indie les odits de détonation finals, a oint soniqe En tilisant la fome Stiffened Gas de la loi d état, on a : (CJ γ P v CJ ( P v f γ CJ f e e (v CJ v γ γ Pisqe CJ >>, on et éie qe : ( CJ γ P v CJ ( P v γ CJ f (v v e e f CJ q γ γ Dans le as où les de flides étaient égis a la loi d état des gaz afaits, on avait : v f f CJ CJ v CJ q e e (v CJ v γ γ Dans le as où le éatif est modélisé a ne éqation d état de tye Stiffened Gas, on aa la même hale de éation a oint CJ si l on imose : v f f γ P v CJ CJ v CJ q e e (v CJ v γ γ γ Ce qi nos donne la fome des énegies de fomation : f f γ P v e e q γ Dans note as, on a alos : e f 368 MJ/g e f MJ/ g II43b ésltats et inteétation La inétiqe éationnelle n est as modifiée a aot a eemles éédents, et le 3 oeffiient global d éhange de hale est is égal à H W / K Le ayon de obe d font d onde vaie ente m et m, a as de m On visalise les ésltats s la Fige II-6, où sont omaés les ofils des vaiables de l éolement dans la zone de éation et la soltion d ne détonation monohasiqe idéale

84 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes 95 8 Mass fation of the os 9 Mah nmbe (mm (mm Miste density (g/m3 8 Pesse (GPa (mm (mm Volme fation of the os Mateial veloity (m/s (mm (mm Fige II-6 : Évoltion des vaiables de l éolement ente le font inete et le oint soniqe o ne détonation dihasiqe, o des matéia égis a des éqations d état difféentes, ave éhanges de hale dans la zone de éation Le ayon de obe de l onde vaie ente m et m, a as de m Les vaiables de mélange d modèle dihasiqe (tait lein sont omaées à la soltion eate d modèle ZND (symboles On onstate alos qe : La fation massiqe des odits obtene s la sfae soniqe déoît ave le ayon de obe L intensité de l onde de détonation déoît ave le ayon de obe La distane ente le font de ho et la sfae soniqe dimine assi losqe le ayon de obe dimine En ote, la ésene des éhanges de hale a les mêmes onséqenes qe dans l eemle éédent Intéessons-nos maintenant à n ésltat omlémentaie essentiel : la elation éléité-obe théoiqe de l onde de détonation dihasiqe Elle est eésentée s la Fige II

85 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes Vitesse de detonation stable /ayon de obe (/m Fige II-7 : elation éléité obe théoiqe d ne onde de détonation dihasiqe ave éhanges de hale La themodynamiqe de l éolement dihasiqe étant eliitement onne, ette elation et don sevi à détemine la inétiqe éationnelle d n elosif hétéogène, a omaaison à la elation eéimentale II5 Conlsion Le modèle établi, dans le as dihasiqe, o simle les ondes de détonation mltihasiqe à font obé en ésene d éhanges de hale fonit n omotement oet ; analoge à e obsevés o les détonations d elosifs non idéa (Kennedy & Jones (993 et les détonations gazeses athologiqes (von Nemann(94, Genohe et al (98 Ce modèle est tel q il : Se ésente sos ne fomlation symétiqe Gaantit les inies de onsevation d mélange esete la seonde loi de la themodynamiqe On se oose don maintenant d étende e modèle d éolement à n nombe abitaie de matéia Les matéia énegétiqes modenes font en effet inteveni n gand nombe de matéia, qe nos taiteons omme des hases distintes

86 Chaite II : Modélisation des détonations dihasiqes

87 Chaite III Etension d modèle d éolement à n nombe abitaie de hases

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89 Chaite III : Modélisation des détonations mltihasiqes III Intoion Nos venons de oose n modèle d éolement dihasiqe, à ne sele vitesse et ne sele ession, en ésene d éhanges de hale et de tansfet de masse Il a été tilisé o modélise des ondes de détonation dihasiqe et a ondit à des ésltats intéessants Les oblématiqes ayant motivées la ésente étde s intéessent totefois à des sitations où n gand nombe de matéia est ésent Il fat a onséqent disose d n modèle ate a taitement d éolements de mélanges mltihasiqes éatifs en ésene d éhanges de hale, qelqe soit le nombe N de hases d milie Cei fait l obet de e haite La oéde tilisée o l etension à n nombe abitaie de hases est semblable à elle déveloée dans le Chaite II, elle se déomose en 3 étaes : La ise en omte des éhanges de hale dans n modèle à N hases hos d éqilibe en vitesses et en essions L analyse asymtotiqe de e modèle, dans la limite de fots oeffiients de elaation méaniqe On détemine ainsi ne fome admissible des éhanges de hale, is le modèle édit o N hases, à ne vitesse et ne ession, en ésene d éhanges de hale L intoion des tansfets de masse dans le modèle édit Nos nos ayons o ela s l analyse de la oion d entoie de haqe hase, en hehant toos à obteni ne fomlation symétiqe Le modèle final obten est alos tilisé o alle la stte intene des ondes de détonation mltihasiqe III Etension à N hases d modèle d éolement et intoion des tansfets de hale et de masse III Modèle à N hases hos d éqilibe des vitesses et des essions, en ésene de tansfets de hale On oose la fomlation sivante: I µ ( * t ( ( t ( ( I t Y λ( * (III ( E ( ( E I I Yλ *( * µ * ( * Q t A e stade, les fomes eliites des vitesses et essions d'intefae ( I, I ne sont as néessaies, isqe totes les essions et totes les vitesses vont elae ves ne sele ession et ne sele vitesse d'éqilibe La fome des éhanges de hale ente hases Q n est as non ls néessaie o l instant Sosons selement qe les difféentes modélisations oesondantes gaantissent la onsevation des vaiables de mélange et sont en aod ave le seond inie de la themodynamiqe Les démonstations oesondantes sont déveloées dans l Annee D - 8 -

90 Chaite III : Modélisation des détonations mltihasiqes III Analyse asymtotiqe On sose alos qe haqe vaiable sit n déveloement asymtotiqe de la fome : o f f ζf (III o Où f eésente l état d éqilibe initial et f ne etite etbation ato de et état Si les etbations d système sont sosées faibles, les effets de elaation e sont sosés tès gands : µ µ ζ et λ λ ζ On et ainsi éie les éqations à l ode et à l ode ζ, isses d modèle (III, ésltant de l aoimation (III Les détails sont donnés dans l Annee D Finalement, le système (III devient : d Q Q (III3 t ( ( (III4 d (III5 de d dv Q (III6 d ² ( Q (III7 d Q (III8 ds Q (III9 ( T Et en ombinant les éqations d énegies totales de haqe hase : ( E ( E t (III L ensemble de es elations est femé a l éqation d état d mélange, obtene omme dans le as à de flides Po ne éqation d état d tye Stiffened Gas, on aa a eemle : γ e γ (, e, (III γ III3 Modélisation des temes de tansfet de masse L intoion des temes de tansfet de masse va natellement veni modifie les éqations de masse de haqe hase, mais assi l éqation d évoltion de la fation volmiqe Totes les ates éqations (évoltion de la ession de mélange, des énegies intenes ne sont maintenant ls valides, et devont ête edéteminées à osteioi - 8 -

91 Chaite III : Modélisation des détonations mltihasiqes Les seles éqations dont nos disosons sont alos les éqations de masse de haqe hase, de la fation volmiqe (enoe inomlète, de la qantité de movement et de l énegie de mélange : Q d Q M & ( ( m t ² (III t ( E E t où m eésente le débit-masse de la hase, et & M le teme assoié a tansfet de masse dans l éqation de la fation volmiqe La modélisation de e denie teme est la diffilté iniale de la ésente analyse Comme éédemment (voi aagahe II3, e oblème sea ésol en nos sevant de la oion d entoie de haqe hase L analyse de la oion d entoie d mélange emetta ensite de oose ne modélisation des lois inétiqes III3a Éqations d entoie de haqe hase La détemination des éqations d entoie est ossible à ati de la onsevation de l énegie de mélange, et de la ondition d égalité des essions ente hases En ombinant l éqation d énegie de mélange et de la qantité de movement, on et éie l éqation d énegie intene d mélange sos la fome : de dv En tilisant l identité de Gibbs, la onsevation de l énegie devient : ds Y T h m ds Cette denièe elation fait ainsi inteveni les N fontions qe nos hehons à détemine On tilise ensite la ondition d éqilibe des essions, qi va alos nos donne N- elations slémentaies Pisqe le mélange évole en éqilibe des essions, on et tilise la ondition d éqilibe méaniqe ente haqe hase : (,s ' ( ', s ' En la difféeniant le long d ne taetoie flide, on obtient ainsi : d ds d' ds ' T ' ' ' T' ' Cei nos ondit à n système de N éqations de la fome : ds ds' T ' ' T' h m ' (III3 ds' ds d d' T T ' ' ' ' En inetant les N- denièes elations d système (III3 dans la emièe éqation, on obtient :

92 Chaite III : Modélisation des détonations mltihasiqes ds ' d d' T ' h m ' ' Ave la définition sivante d oeffiient de Güneisen moyen : En tilisant les éqations de masse de haqe hase et l éqation s la fation volmiqe, les éqations d entoie de haqe hase s éivent finalement : ' Q Q ' ' h m ds ' ' ' Y (III4 T ' m & ' ' M' m & M ' ' ' ' Comme éédemment (elation (II36, on onstate ii qe la oion d entoie a sein de haqe hase ovient de 3 effets : Des éhanges de hale, dont la oion d entoie est assoiée a teme : ' Q Q ' ' ' ' ' Des tansfets de masse, dont la oion d entoie est assoiée a teme : h m Des effets de elaation des essions, qi se odisent simltanément a tansfets de masse, dont la oion d entoie est assoiée a teme : ' m & ' ' M' m & M ' ' ' ' Ce teme tadit la elaation d système ves l état d éqilibe méaniqe Son oigine est liée à l aaition d ne hase, los d tansfet de masse, qi est hos d éqilibe méaniqe a aot a hases déà ésentes Le mélange doit don adate les essions, et les fations volmiqes, de haqe hase o eveni à n état d éqilibe Cette elaation se fait a moyen d ondes aostiqes de faibles amlitdes On sose alos qe l inflene d denie teme s la oion d entoie est nlle, isqe la elaation ente les hases se odit a moyen d ondes aostiqes, ie isentoiqes Ainsi, nos obtenons n ensemble de ontaintes tiles o la détemination des temes soes des éqations d évoltion des fations volmiqes Ces ontaintes s eiment : m & m & M M (III5 La elation (III5 étant vaie o tote hase ; elle imliqe assi N- égalités ente les difféentes hases, qi s éivent sos la fome : ' & M m ' ' m & M' ' ' (III6 ' ' Si on inete la elation (III6 dans la ondition de satation, éite sos la fome & M, on abotit finalement à n itèe (analoge de la elation (II37 de détemination d teme soe s la fation volmiqe lié a tansfet de masse : m m & M (III7-84 -

93 Chaite III : Modélisation des détonations mltihasiqes III3b Lois inétiqes des tansfets de masse L inégalité d entoie d mélange s éit : m s ds Y (III8 En tilisant les elation (III4 et (III7, l inégalité (III8 devient : m s m h T ( Q Q T ' ' ' ' ' ' (III9 Le emie teme de la elation (III9 et se simlifie omme sit : ' ' ' ' ' ' T Q Q Q T On et monte qe la fome des tansfets de hale (définis dans l Annee D est telle qe l on a T Q Cela signifie don qe les éhanges de hale sont toos assoiés à ne oion d entoie nlle o ositive Les temes estants de la elation (III9 s éivent alos : I T m g m s m h T ( ave I T T, la teméate d intefae, et I s T h g Le débit-masse de la hase s eimant ω ' ' m, où ' ω désigne la oion assoiée à la éation ente la hase et la hase, on et monte qe la ontibtion de es temes à la oion d entoie sea ositive o nlle si on définit les temes de oion a g g ( l m lm lm ν ω On voit finalement qe le eset d seond inie de la themodynamiqe est assé, si l on imose les modélisations des éhanges de hale et des tansfets de masse ves i-desss III4 Modèle à N hases à ne vitesse et ne ession, ave éhanges de hale et tansfets de masse Il se ésente finalement sos la fome sivante : m m Q Q ( t ( m ( t ( ( t (III ( E ( t E La détemination ltéiee des sfaes d éhange, intevenant dans les éhanges de hale et de masse, ainsi qe l intoion des effets aillaies, qe nos veons ls tad, néessitent de

94 Chaite III : Modélisation des détonations mltihasiqes onnaîte l évoltion d nombe de atiles a nité de volme de haqe hase Cette éqation, déite dans le haite sivant, se ésente sos la fome : N ( N (III t Le modèle (III-(III est alos femé a les elations sivantes : H T Q H (T* T, où T * (III H ' m ω, où [, N ], ' [, N ], ' (III3 ' ω ' ν '( g ' g, où g h TIs (III4 T I T, où En ote, on et ii assi détemine l éqation d évoltion de la ession d mélange : d Q h m (III5 (III6 Il est imotant de emaqe qe totes les elations qi viennent d ête établies emettent natellement de etove les elations oosées o le as dihasiqe, dans le Chaite II III3 Aliation a all de stte intene d ondes de détonation mltihasiqe à font obé La méthodologie est identiqe à elle déveloée dans le Chaite II A ati d modèle qi vient d ête établi, éit dans ne onfigation D ylindiqe ès de l ae de symétie, il s agit don de déie les 3 ingédients sivants : Les elations de hos mltihasiqes Les éqations de l éolement ente le font inete et le lan soniqe L analoge des onditions CJ o les détonations mltihasiqes III3 elations de ho mltihasiqes Le système (III à (III6 este hyeboliqe mais non onsevatif, toos à ase d teme de doite dans l éqation d évoltion de la fation volmiqe Les elations de ho qi vont ête tilisées sont elles d Chaite I Pisqe l onde de ho est himiqement inete, les elations de sat s éivent : e e (v v [ Y ] [ ( D ] D (III7 [ ( ] [ w ] [ N ]

95 Chaite III : Modélisation des détonations mltihasiqes III3 Fomlation en vaiables imitives Le modèle mltihasiqe, eimé en vaiables imitives, égissant la dynamiqe de l éolement ente le font inete et la sfae soniqe, sivant l ae de la atohe ylindiqe, se ésente sos la fome sivante : m m Q Q w d Y dy & w d (III8 d m h Q w d w N N dn III33 Analoge des onditions CJ Les elations (III8 sont invaiantes a tanslation galiléenne En les éivant dans le eèe lié à l onde de ho, elles deviennent : m m Q Q w Y Y & w (III9 m h Q w w N N N La ombinaison de l éqation d énegie et de qantité de movement emet d eliite la divegene de l éolement On et alos éie le système (III9 sos fome d EDO : ( m h Q w

96 Chaite III : Modélisation des détonations mltihasiqes w Y Y& w Q Q m N N w On emaqe finalement qe les onditions s la sfae soniqe sont : Q h w m losqe ² ² (III3 On disose ainsi de totes les elations néessaies La ésoltion d système difféentiel (III3 ondit à la stte d ne onde de détonation mltihasiqe en ésene d éhanges de hale Nos allons en voi n eemle i-dessos III34 Eemle Le modèle éédent emet de détemine la stte des ondes de détonation mltihasiqe L aohe a déà été envisagée dans le as de de hases, on va don onsidée ii ne sitation à tois hases Les aamètes des difféents flides sont : γ 3 γ 4 4 γ 3 P Pa P 9 Pa P 3 Pa Cv J/g /K Cv J/g / K Cv 3 3 J/g / K 3 6 g / m e f 4556 MJ/g 6 g / m g / m e f MJ/ g ef MJ/ g 3 Initialement, les flides sont ésents ave ne fation volmiqe : 8 3 Tos les flides sont sosés éhange de la hale ente e, les éhanges étant égis a le 3 même oeffiient global d éhange H W / K Enfin, on onsidèe qe le tansfet de masse se odit ente le flide et le flide (le flide 3 oe ainsi le ôle d ne hase inete On a alos : 6 Y& Y Y & Y& Y& 3 Cet eemle hyothétiqe oesond a as d ne détonation, ente les éatifs (flide qi donnent les odits (flide, en ésene d n ate matéia inete (flide 3, ésent initialement dans le mélange à ne fation volmiqe de %, qi infle s la dynamiqe de l éolement On effete don lsies simlations, o difféents ayons de obe de l onde allant de m à m a as de m Les ésltats sont visalisés s la Fige III-, et omaés à tite qalitatif à ne détonation idéale (modèle ZND 3 m

97 Chaite III : Modélisation des détonations mltihasiqes Mateial veloity (m/s Pesse (GPa Mah nmbe (mm (mm Mass fations Mite density (g/m3 Volme fations (mm (mm Temeate of the hases (K (mm (mm Densities of the hases (g/m (mm (mm Fige III- : Pofils des vaiables de l éolement ente le font de ho et la sfae soniqe o ne détonation mltihasiqe, dans le as de tois hases, ave éhanges de hale Les soltions nméiqes d modèle mltihasiqe o difféents ayons de obe (tait lein sont omaées à la soltion idéale monohasiqe (symboles

98 Chaite III : Modélisation des détonations mltihasiqes - 9 -

99 Chaite IV Modélisation des effets aillaies à la nano-éhelle - 9 -

100 - 9 -

101 Chaite IV : Modélisation des effets aillaies IV Intoion Les aties éédentes ont sevi à établi n modèle d éolement mltihasiqe, à ne sele vitesse et ne sele ession, en ésene d éhanges de hale et de tansfets de masse Il onvient maintenant d y intodie les effets aillaies liés à la nano-stte des matéia énegétiqes Les elosifs nano-sttés ont en effet monté des aaités de libéation d énegie séiees a mêmes omositions ave des sttes ls gossièes Cet aot d énegie slémentaie, libéé los des éations himiqes, semble dû à l énegie sfaiqe des atiles Péédemment, nos avons déveloé ne méthodologie s ayant s tois oints essentiels : L établissement d n modèle à N hases hos d éqilibe total, en ésene d éhanges de hale ; La éion de e modèle a ne analyse asymtotiqe, dans la limite de gands oeffiients de elaation méaniqe, en n modèle en éqilibe des essions et des vitesses ave des éhanges de hale; Enfin l intoion des tansfets de masse dans le modèle édit, basée s ne analyse de la oion d entoie de haqe hase La ise en omte des effets aillaies dans e modèle d éolement néessite d tilise ne ate méthode Celle-i est basée s la ondition d éqilibe méaniqe, tadisant l égalité des essions ente haqe hase, eimée ave les temes de essions aillaies En s ayant s les éqations d entoies de haqe hase, on et alos feme e oblème et détemine totes les éqations d modèle Le ésent haite s oganise omme sit : La emièe tâhe onsiste évidemment à établi le modèle d éolement à N hases omlet, à ne vitesse et ne ession ave des éhanges de hale et de masse, enant en omte les effets aillaies Le système d éqations obten étant non onsevatif, il fat détemine ses elations de ho Le modèle d éolement est enfin aliqé a all de stte intene et à la détemination de l analoge des onditions de Chaman-Joget o les ondes de détonation mltihasiqe dans les matéia nano-énegétiqes IV Modèle d éolement ave aillaité intene Le oint de déat eose s la ontainte d éqilibe méaniqe ente hases, en ésene de temes de essions aillaies, qi s éit : σ σ σ N N (IV N Dans la elation (IV, totes les hases sont sosées ésentes sos fome ganlaie, de géométie shéiqe et de ayon Les hases ontines ne osent as de oblème isq il sffit de sime le teme de ession aillaie o elles-i On sose en ote q il n y a as de ontat integanlaie, et les hases atilaies sont don assoiées à ne énegie aillaie déite a n niqe oeffiient σ, aelé absivement tension de sfae On evienda s e oint n e ls loin, et dans l Annee E On fait alos les hyothèses sivantes : Les atiles, de etite taille, ne se fagmentent as Le nombe total N de atiles a nité de volme de haqe hase obéit ainsi à ne loi de onsevation d tye :

102 Chaite IV : Modélisation des effets aillaies N N t L énegie aillaie ontene s la sfae de haqe atile est ne énegie otentielle Les effets aillaies sont don non dissiatifs, et ne odisent as d entoie slémentaie Ainsi les éqations d entoie de haqe hase sont inhangées a aot a as éédent (elation (III4 et s éivent : ds T Q h m L analoge de l identité de Gibbs o les milie aillaies s éit : de σ ds σ où e σ est l énegie aillaie d ne inlsion de sfae S, assoiée à n oeffiient de tension de sfae σ Ces difféentes hyothèses estent e limitatives Elles sffisent, ave les éqations de masse et d entoie de haqe hase, à détemine l ensemble des éqations onstittives de l éolement IV Éqation d évoltion de la fation volmiqe On eat de la ontainte d éqilibe méaniqe (IV, éite sos la fome : σ σ N (,s N ( N,s N (IV N La elation (IV fait inteveni n oeffiient assimilé à la tension de sfae de la hase, a aot à ne hase ontine otese Afin d évite n omotement anomal losqe le ayon des hases atilaies tend ves zéo (dans e as la hase onsidéée n est ls ésente, et la notion d intefae et don de tension de sfae n ont ls de sens, on sose qe les tensions de sfae sont des fontions d ayon des atiles : σ σ ( Le hoi de la fontion σ ( est eaminé dans l Annee E En ote, le ayon des atiles est fontion de la fation volmiqe et d nombe de atiles a nité de volme : 4 3 π N (IV3 3 Ce qi s éit assi : (, N 3 / 3 (IV4 4πN En difféeniant la elation (IV le long d ne taetoie flide, on obtient : d ds dσ σ dn d s d N s N N d N N ds N N s N s N N N Et, omte ten des définitions éédentes : dσ d N N σ N N N N N N dn N N N NN d N

103 Chaite IV : Modélisation des effets aillaies σ σ σ σ d 3 dn 3N d d m h (Q T T d d 3 dn 3N d d m h (Q T T d N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N (IV5 En tilisant les éqations de masse et d nombe de atiles, la elation (IV5 devient : N N N N N N N N N N N N Q m C d C Q m C d C (IV6 Où les modles de omessibilité sont définis a : σ σ d d 3 C (IV7 En tilisant la ondition de satation, on définit alos le système sivant : Q Q ( C m m ( C C C ( C d C C d N N N N N N N N N N N N (IV8 N N d d On monte alos simlement qe le système d éqations (IV8 ondit à l éqation d évoltion de la fation volmiqe : C m Q C Q m C C C ( d (IV9 Où la vitesse d son de mélange est définie a : C C (IV IV Éqations de qantité de movement et d énegie de mélange Les inies de onsevation imosent qe la qantité de movement et l énegie totale d mélange se onsevent dans l éolement Le modèle omlet doit don se ésente sos la fome sivante : C m Q C Q m C C C ( d m t ² t (IV E ( t E N t N

104 Chaite IV : Modélisation des effets aillaies Ii, l énegie totale de mélange est maintenant définie a : E σ E e ² (IV Ave l énegie aillaie totale a nité de volme qi s éit : E σ (, N N e σ ( (IV3 Et où ( e σ, l énegie aillaie de la sfae d ne atile shéiqe de ayon, est ne fontion de la tension de sfae et de la sfae, qi n est as néessaie o l instant L inonne iniale dans le modèle (IV ote s la définition de la ession qi s eee s le mélange On et monte q elle se définit omme sit : σ (IV4 Les détails d all sont donnés dans l Annee E IV3 Modèle de mélange à aillaité intene Finalement, le modèle d éolement à N hases ave aillaité intene, à ne sele vitesse et ne sele ession, en ésene d éhanges de hale et de tansfets de masse, s éit : C t C ( m t t ( C m Q C Q m C (IV5 E (( E t N ( N t Ave : σ (IV6 (, N 3 / 3 (IV7 4πN E σ E e ² (IV8 E σ (, N N e σ ( (IV9 dσ σ C (IV 3 d C C (IV

105 Chaite IV : Modélisation des effets aillaies Q H (T T, où ' * H T T * H (IV m ω, [, N ], ' [, N ], ' (IV3 ' ω ' ν '( g ' g, où g h TIs (IV4 T I T, où (IV5 Le système (IV5 est alos femé a la donnée des lois d état de haqe hase, et la onsttion d ne loi d état de mélange En ote, il fat assi eliite les fontions σ, dσ et e σ ( d On envoie à l Annee E, o l ensemble de es omléments Enfin, on donne qelqes éqations omlémentaies Les éqations d entoie : ds T Q h m (IV6 Les éqations d énegies intenes : de dv Q h m L éqation d évoltion de la ession de mélange : d Q m C C h m C (IV7 (IV8 IV3 elations de ho d modèle mltihasiqe à aillaité intene Le système (IV5 obten est hyeboliqe mais ne et toos as ête éit sos fome onsevative, en aison d seond membe où aaaît la divegene de vitesse dans l éqation s la fation volmiqe Ses elations de ho seont don déteminées selon le même inie qe dans le Chaite I L onde de ho étant himiqement inete, ses elations de sat sont obtenes en l absene des temes d éhanges de hale et de masse IV3 elations o les vaiables onsevatives A l eetion de l éqation s la fation volmiqe, le système (IV5 et s éie sos fome onsevative Les elations de sat des vaiables onsevatives sont alos onnes : * * ( ( σ ( ( σ * * * * ( σ ( σ (IV9 * * * * * ( σe ( σe

106 Chaite IV : Modélisation des effets aillaies * * N ( σ N ( σ On et assi alle le ayon de haqe atile deièe l onde de ho : * / 3 * v v (IV3 Et éie la elation de sat d énegie de mélange sos la fome : * * n * n * Y e e ( e e ( (v v Y Y σ σ (IV3 Ave N n qi désigne le nombe de atiles de la hase a nité de masse IV3 Femete des elations de sat o les ondes de ho La femete des elations de anine-hgoniot mltihasiqes néessite ne elation slémentaie : soit ne elation de sat d ne gande themodynamiqe qelonqe, soit ne elation slémentaie ente de vaiables Le modèle obten en ésene d effets aillaies est tès ohe de eli tilisé dans le Chaite I, nos allons don tilise l aohe déveloée à ette oasion Les éqations d énegies intenes de haqe hase (IV3, en absene d éhanges de hale et de tansfet de masse, s éivent o l onde stationnaie aohée a eèe d ho : de dv (IV3 d d L identité de Gibbs s les énegies aillaies s éit : de σ ds σ En la mltiliant a n et en tilisant la elation (IV3, on et assi l éie : d n e σ σ dv Y (IV33 En éivant la elation (IV33 dans le eèe de l onde de ho et en la sommant ave la elation (IV3 on obtient : n d e e Y σ σ dv d (IV34 d Si on onsidèe qe l onde de ho est totalement disesée, elle oesond à ne session d états en éqilibe méaniqe Ces états évolent don sos la ontainte (IV, et la elation (IV34 devient : n d e e Y σ dv ( (IV35 d d La elation (IV35 et alos ête intégée ente l aval et l amont de l onde de ho : * n * n dv ( (e e σ (e e ˆ d σ Y Y (IV36 d Ave :

107 Chaite IV : Modélisation des effets aillaies ˆ dv ( ( d d dv ( d d dv ( ( d d v * v (IV37 La elation (IV36 fait inteveni les N moyennes de ession ˆ, q il fat eliite En dv absene de aillaité, nos avons v (aagahe I33 qe le aot était qasiment dv N onstant à l intéie de la ohe de ho On sose qe ette aoimation este valable La elation (IV37 s éit alos : dv N( ( d d ˆ ˆ N ˆ (IV38 * v v N N Et la elation (IV36 devient : * n * n * (e e σ (e e ˆ(v v σ (IV39 Y Y En se sevant de la elation de sat d énegie de mélange (IV3, on et finalement monte qe : * ˆ (IV4 Finalement, on obtient le sat d énegie de haqe hase en inetant la elation (IV4 dans la elation (IV39 : * * n * n * σ σ * (e e σ (e e ( ( (v v σ * (IV4 Y Y La elation (IV4 vient ainsi feme les elations de anine-hgoniot mltihasiqes (IV9 Elle s aaente à l adiabatiqe dynamiqe de haqe hase, en ésene d effets aillaies On et monte en ote q à novea, o le modèle à aillaité intene, l Hgoniot de mélange est tangente à l isentoe de mélange IV33 Eemle de oagation d ondes de ho dans n mélange mltihasiqe Nos allons maintenant teste le omotement d modèle, et en atilie l inflene des effets aillaies, s n eemle de oagation d ondes de ho dans n mélange mltihasiqe Losqe les effets aillaies sont absents, la elation (IV4 emet de etove la femete (I78 étdiée et validée s n gand nombe d eéienes dans le Chaite I Ainsi, l analyse de σ la elation (IV4 va nos emette de détemine l inflene des temes s la obe d hgoniot d mélange On onsidèe o ela n mélange Éoy/Sinel, ave eoy 5954, initialement a eos et à ession atmoshéiqe Chaqe matéia est égi a l éqation d état Stiffened Gas : g m 36 g m eoy sinel γ 43 6 eoy γ sinel 9 9 P 5 3 Pa P 4 Pa, eoy, sinel

108 Chaite IV : Modélisation des effets aillaies IV33a Effets aillaies ésents dans l éoy On sose alos qe le mélange défini ls hat oesond à n mélange de atiles shéiqes d éoy dans n liant onstité de sinel On imose alos n oeffiient de tension de sfae non nl à l éoy : ayon initial des atiles d éoy est fié à IV- σ, 4 N/ m, et le µ m Les ésltats sont visalisés s la Fige Sho veloity (m/s 8 Pesse (GPa Mateial veloity (m/s Phase volme fation Mateial veloity (m/s Pesse (GPa Mateial veloity (m/s Seifi volme (m3/g Fige IV- : Inflene des effets aillaies dans l éoy s la obe d hgoniot Les ésltats nméiqes (tait lein sont omaés a eéienes (symboles en absene de aillaité intene On onstate ne nette agmentation de la vitesse d ho, ainsi q ne modifiation imotante d omotement d mélange IV33b Effets aillaies ésents dans le sinel On sose maintenant qe le mélange est onstité de atiles de sinel noyées dans de l éoy Le oeffiient de tension de sfae d sinel est alos imosé à initial des atiles est σ, 5 N/ m µ m Les ésltats sont eésentés s la Fige IV-, et le ayon - -

109 Chaite IV : Modélisation des effets aillaies Sho veloity (m/s 8 Pesse (GPa Mateial veloity (m/s Phase volme fation Mateial veloity (m/s Pesse (GPa Mateial veloity (m/s Seifi volme (m3/g Fige IV- : Inflene des effets aillaies dans le sinel s la obe d hgoniot Les ésltats nméiqes (tait lein sont omaés a eéienes (symboles en absene de aillaité intene On obseve enoe ne agmentation de la vitesse de ho, et ne modifiation d omotement d mélange Ceendant, on emaqe assi qe les ésltats obtens sont tès difféents de e obtens losq on onsidéait qe les atiles étaient faites d éoy IV4 Aliation a all de stte intene d ondes de détonation mltihasiqe à font obé Le modèle d éolement en ésene d effets aillaies qi vient d ête établi et désomais sevi a all d ondes de détonation mltihasiqe Il sffit o ela de l éie en onfigation D ylindiqe ès de l ae de symétie, is d eliite : Les elations de hos mltihasiqes Les éqations de l éolement ente le font inete et le lan soniqe L analoge des onditions CJ d modèle a oint soniqe IV4 elations de ho mltihasiqes Les elations de sat a assage d ne onde de ho d système (IV5 viennent d ête déteminées a aagahe IV3 et se ésentent sos la fome sivante : * * ( ( σ ( ( σ * * * * ( σ ( σ * * * * * ( σe ( σe (IV4 - -

110 Chaite IV : Modélisation des effets aillaies - - ( N ( N * * σ σ v (v ( ( e Y n (e e Y n (e * * * * * * σ σ σ σ IV4 Fomlation en vaiables imitives Le système (IV5 eimé en vaiables imitives, o l éolement ente le font de ho inete et la sfae soniqe, le long de l ae de symétie de la atohe s éit : C m Q C Q m C w C C d Y dy & w d (IV43 d m h C m Q C w C C d w N N dn IV43 Analoge des onditions CJ s la sfae soniqe Les éqations (IV43 étant invaiantes a tanslation galiléenne, elles s éivent dans le eèe lié a ho : C m Q C Q m C w C C Y Y & w (IV44 m h C m Q C w C C w N N N En ombinant les éqations de qantité de movement et d énegie de mélange, on et éie le système (IV44 sos fome d EDO :

111 Chaite IV : Modélisation des effets aillaies C w C C Y Y& w C ( C Q w m C C h m m Q C Q m C (IV45 N N w Les onditions d atonomie de la détonation s la sfae soniqe sont finalement données a : Q m w C C h m, losqe C (IV46 C IV44 Eemle Le bt de e aagahe est de teste le modèle d éolement en ésene d effets aillaies qi vient d ête établi a all de stte intene d ne onde de détonation mltihasiqe L obetif est inialement d analyse la modifiation omotementale de la détonation de à la ésene de aillaité intene dans les matéia On onsidèe don le as de de hases, et les aamètes de la simlation sont : γ 3 γ 4 P Pa P 9 Pa Cv J/g /K Cv J/g / K 3 6 g / m e f 368 MJ/g 6 g/ m e f MJ/ g Initialement les flides sont ésents ave les fations volmiqes : Les éhanges de hale se font ave n oeffiient d éhange : H W / K La inétiqe éationnelle onsidéée se ésente sos la fome sivante : 6 Y& Y Y & Y& Enfin, on sose qe les éatifs sont ésents sos fome ganlaie Les oeffiients de tension de sfae des de hases sont is éga à : σ, N/ m σ 3, N/ m Et les ayons initia de haqe hase sont : 6 m 6 m Ainsi, la hase, initialisée ave n ayon tès gand, oesond à ne hase ontine 3-3 -

112 Chaite IV : Modélisation des effets aillaies Les ofils des vaiables de l éolement à l intéie de la zone de éation sont finalement eésentés s la Fige IV-3 Mah Nmbe Mass Fation of hase Pesse (GPa 3 Mite Density (g/m Mateial Veloity (m/s Volme Fations Temeate of the hases (K 5 Densities of the hases (g/m

113 Chaite IV : Modélisation des effets aillaies 4e7 Nmbes Density of atiles (/m3 e6 Seifi Caillay Enegy (J/g 35e7 3e7 5e7 e6 8 e7 6 5e7 4 e7 5e Fige IV-3 : Pofils des vaiables de l éolement ente le font de ho et la sfae soniqe o ne détonation mltihasiqe, en ésene d effets aillaies et d éhanges de hale Comaaison de la soltion nméiqe (tait lein et de la soltion idéale monohase sans effets aillaies (symboles L intoion des effets aillaies dans le éatif ondit à des ofils tès difféents La vitesse de détonation stable est D 84 m / s, est-à-die tès séiee à la vitesse de détonation idéale D ZND 85 m / s On onstate en ote : Une agmentation signifiative de la longe de éation ( 7mm a lie de 5 3mm Des nivea de ession et de vitesse séies Ces onstats sont atilièement intéessants isq ils indiqent qe la ise en omte de la aillaité intene tendait à agmente les effets olsifs, en assant de hats nivea de ession et de vitesse s des dées imotantes Ce gain, s la vitesse de détonation et les vaiables de l éolement, ovient de l énegie slémentaie aotée a l énegie sfaiqe des atiles de éatif Cet eès d énegie initiale, sos fome aillaie, est de l ode de MJ/ g Po bien mette en avant l intéêt de disose de et eès d énegie sos fome aillaie, ltôt qe sos fome himiqe, eaminons le même test en sosant qe et eès initial d énegie, d envion %, est maintenant ésent sos fome himiqe On sime don les effets aillaies dans l eemle éédent, tot en modifiant l énegie de éation de la manièe sivante : e f 5636 MJ/g e f MJ/ g On visalise alos les ésltats s la Fige IV-4 Mah nmbe (mm Mass fations (mm - 5 -

114 Chaite IV : Modélisation des effets aillaies 6 3 Pesse (GPa Mite density (g/m Mateial veloity (m/s Temeate of the hases (K (mm (mm (mm Volme fations Densities of the hases (g/m (mm (mm (mm Fige IV-4 : Pofils des vaiables de l éolement ente le font de ho et la sfae soniqe o ne détonation mltihasiqe, en ésene d éhanges de hale L énegie de fomation des odits est agmentée de manièe à bénéfiie d n aot d énegie slémentaie éqivalent à eli lié a effets aillaies losq ils sont ésents Comaaison de la soltion nméiqe (tait lein et de la soltion idéale monohase sans effets aillaies (symboles On obtient maintenant ne vitesse de détonation stable D 95 m / s, don inféiee à la vitesse de détonation losqe les effets aillaies sont ésents On onstate en ote qe : L agmentation de la ession et de la vitesse est bien ls faible qe losqe l aot d énegie se faisait sos fome aillaie Il n y a ls d effet d agmentation de la zone de éation Ces onlsions montent laiement l intéêt de disose d n aot d énegie sos fome aillaie, qi amélioe sensiblement les aaités olsives d n mélange énegétiqe - 6 -

115 Chaite V Méthode nméiqe de elaation-poetion o les éqations d Ele - 7 -

116 - 8 -

117 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes V Intoion La méthode de Godnov, ses mltiles etensions et vesions aohées, est la méthode la ls oamment tilisée o ésode des systèmes hyeboliqes de lois de onsevation Ceendant, elle ondit à des ees, et afois même éhoe, losq elle est tilisée o taite des éolements égis a des éqations d état omlees o ente flides obéissant à des éqations d état difféentes (Kani (994, Abgall (996, Too (995,, Lisa and Wendoff (3 La maoité de es ees ne vient as de la soltion d oblème de iemann mais de la détemination de la ession dans les ellles de all Dans ne ellle, la oagation d ondes odit lsies états à des vitesses, des essions et des densités (o des teméates difféentes ; et qi sont donnés a la soltion d oblème de iemann A ati de es états hos d éqilibe, on détemine alos n état moyen Les méthodes habitelles sosent qe et état moyen et ête tilisé o alle la ession et la teméate dans la ellle gâe à l éqation d état d flide :, e T T, e (V ( et ( où et e sont la densité moyenne et l énegie intene moyenne dans la ellle L tilisation de la elation (V est à l oigine des diffiltés enontées L éqation d état n est en effet stitement valide qe o des gandes themodynamiqes loales, (, e et T T(, e, et as o des gandes moyennes De ls, ne telle oéde alle ne teméate niqe ; totefois, la ellle ayant ne taille finie et la onion de la hale étant absente des éqations, il n y a ane aison qe les teméates de haqe état ésent dans la ellle elaent ves ne sele teméate Ainsi, la elation (V ondit à des osillations de ession et de vitesse losqe l éqation d état est fotement non linéaie o disontine (e qi est stement le as à l intefae ente de flides Nos oosons don ii ne novelle méthode nméiqe o obteni la ession dans les ellles de all (Sael et al (6b A ati des états hos d éqilibe ésents dans les ellles, ette méthode ne moyenne ls l ensemble des gandes onsevatives mais hehe la soltion d n oblème de elaation méaniqe ente es difféents états La soltion asymtotiqe de e oblème de elaation oesond alos à n état final à l éqilibe méaniqe niqement, et don en déséqilibe themiqe, et fonit la ession et la vitesse oesondantes dans la ellle Ce haite est oganisé omme sit : On ommene a n ael des méthodes de tye Lagange-Poetion isqe la novelle méthode est déveloée dans n tel ontete On ésente ensite la méthode de elaation-poetion Il fat o ela onstie le système de elaation, insié des systèmes de elaation des essions et des vitesses tilisés o les éolements mltihasiqes (Sael and Abgall (999a, Sael and LeMetaye ( On monte alos omment obteni la soltion asymtotiqe de e système de elaation, qi se amène à n simle système algébiqe On effete assi la omaaison de la novelle méthode ave les méthodes de Godnov habitelles La méthode nméiqe de elaation étant elativement oûtese, on déveloe finalement ne vesion aohée qi emet d éie la soltion d système de elaation sos ne fome s aaentant à ne éqation d état ; d où sa dénomination d éqation d état nméiqe L éqation d état nméiqe obtene est finalement étende a oblèmes d éolements ave intefaes - 9 -

118 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes V aels s les méthodes Lagange-Poetion basées s les moyennes lassiqes La méthode de elaation-poetion ésentée ii est basée s la soltion asymtotiqe d n oblème de elaation méaniqe ente les difféents sos-volmes ésents dans ne ellle de all Ces sos-volmes aaaissent site à la oagation d ondes dans la ellle dant n as de tems Cette méthode est ls simle à ésente, et à mette en oeve, ave ne aohe de tye Lagange-Poetion Dans e as, la ellle de all est en effet divisée en 3 sos-volmes définis a les de ondes entantes (ondes aostiqes o ondes de ho Dans ne aohe eléienne, le nombe de sos-volmes dans la ellle et vaie de à 7 ; e qi omliqe la ésentation et le déveloement Un ate agment en fave des aohes Lagange- Poetion est q elles ne néessitent an taitement séifiqe o les oints soniqes aelons don les bases d ne méthode de tye Lagange-Poetion en ne dimension d esae Le système d éqations a déivées atielles à ésode s éit : U F(U (V t ave U (,, E T le vete des vaiables onsevatives, et F ( U (, ², ( E T le vete fl assoié L énegie totale est définie a E e ², et la ession est donnée, a eemle, a l éqation d état Stiffened Gas : ( γ e γ (V3 Dans l éqation (V3, γ est le oeffiient olytoiqe et n aamète onstant qi s aaente à ne ession et tadit les effets attatifs dans le milie Dans e tye d aohe, la emièe étae onsiste à hehe la soltion des éqations d Ele (V dans le eèe lagangien La seonde étae oesond alos à la oetion de ette soltion s la gille fie (eléienne V Étae lagangienne Considéons ne ellle de all ( t [ ( t, ( t] C i i/ i / Dant n as de tems, les bods de la ellle se délaent à vitesse onstante : n n t (V4 i± / i± / i± / n n où t t t est le as de tems et i± / la vitesse donnée a la soltion d oblème de iemann s le bod de maille onsidéé L intégation des éqations d Ele s n as de tems et s le volme de ontôle lagangien, qi vaie a os d tems, ondit à : n t n d t C (t i Ud n t n t S ( t i ( F( U U ds ave S i ( t le onto d volme de ontôle ( t (V5 C i En ne dimension d esae, et ave ne ondition CFL adéqate, la elation (V5 devient : n n i U i t( Flag i Flag i n / / U i (V6 n ave i i / i/ i F F U U,, et ( ( T lag - -

119 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes La elation (V6 oesond à ne aoimation d ode en esae et en tems des éqations d Ele En tilisant des fontions ontines a moea, il n est as diffiile d étende l étae lagangienne à l ode, selon ne aohe de tye MUSCL (Van Lee (979 n Le vete des vaiables U i étant maintenant onn dans les ellles lagangiennes, on le oette s le maillage eléien V Poetion s le maillage eléien Le vete des vaiables onsevatives a été déteminé dans haqe ellle lagangienne d maillage, la soltion globale et alos ête obtene a oetion s le maillage fie S la Fige V- sont eésentés les bods des mailles eléiennes et les taetoies des bods des mailles lagangiennes, à l intéie desqelles le vete des vaiables onsevatives, eésenté en vet, vient d ête déteminé via la elation (V6 La ellle fie sitée en i ontient don tois états difféents, han d e oant n segment L i d volme de la ellle t t L L L 3 U i- U i U i t i- i i Bod de maille eléienne Bod de maille lagangienne (à t t Fige V- : eésentation shématiqe des ellles lagangiennes et eléiennes Les volmes en vet oesondent a 3 états des vaiables onsevatives qi event ête ésents dans ne ellle fie U n La soltion dans la ellle eléienne fie i,e est alos obtene a ne simle oetion géométiqe des vaiables onsevatives : n n n n U i,e [ LU i L U i L 3Ui ] (V7 i Les longes des segments de haqe sos-volme sont données a la elation : L ma(, i / t L 3 min(, i / t L i L L 3 On intodit alos des longes nomalisées (o des aots des sos-volmes s le volme total de la maille : - -

120 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes L β,, 3 i La elation (V7 devient ainsi : U β U (V8 n i,e 3 n n n ave U n n U i, U n n U i, U 3 U i Po asse a as de tems sivant, il ne este ls q à détemine la ession dans haqe n ellle L énegie intene est donnée a la elation ( ( E n ( i,e n ( n e i,e i,e i,e, et la ession est finalement allée ave l éqation d état (V3 La diffsion nméiqe de l étae de oetion (V7 o (V8 et ête failement édite en tilisant ne eonsttion linéaie a moea (Van Lee (977, ltôt q ne eonsttion onstante a moea omme elle ésentée s la Fige V- L tilisation d ne méthode Lagange-Poetion omote lsies avantages : Le oblème de iemann à ésode est ls simle q ave ne méthode eléienne Le all (V6 de la soltion dans la ellle lagangienne eose en effet s le fl lagangien qi ne néessite qe la onnaissane de la ession et de la vitesse s haqe bod de ellles Les faisea de détente et la ésene de oints soniqes dans l éolement ne eqièent an taitement atilie Ce onstat aa d imotantes onséqenes o l etension a éolements mltihasiqes Il eiste eendant qelqes inonvénients, le ls gênant étant lié à l tilisation de maillages non sttés Nos nos esteindons don ii à des aliations ésoles s des maillages atésiens V3 Eemles V3a Tbe à ho monohase Les méthodes Lagange-Poetion sont moins oantes qe les méthodes eléiennes Il est don intéessant d obseve le omotement s n eemle simle mais signifiatif On onsidèe o ela n tbe à ho de m de long, séaé en de hambes a ne intefae sitée en 5 m Chaqe hambe est emlie d ai, qi obéit à la loi des gaz afaits ( γ 4 et Pa Dans la hambe de gahe on a initialement ne ession 5 Pa et ne densité g/m 3, et dans la hambe de doite ne ession 5 Pa et ne densité g/m 3 L ensemble d domaine est a eos La soltion est eésentée s la Fige V- a tems t ms, o n maillage omotant ellles de all On se set d ne méthode Lagange-Poetion ave n ode dans l étae lagangienne et ne eonsttion linéaie a moea dans l étae de oetion, en tilisant le limite Sebee o haqe étae Le solve tilisé est n solve à ho-ho (Too (997 On omae les ofils de densité, de vitesse et de ession allés (symboles ave la soltion eate oesondante (tait lein - -

121 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes Density (g/m3 Veloity (m/s X(m X(m Pesse (Ba Fige V- : Poblème de tbe à ho Comaaison de la méthode Lagange- Poetion ave limite Sebee (symboles et de la soltion eate (tait lein Maillage de ellles On obseve finalement des ésltats d ne éision omaable à e obtens ave ne méthode eléienne d ode La ession dans haqe ellle est allée ave l éqation d état (V3, en tilisant les vaiables moyennes déteminées gâe à la elation (V8 V3b Advetion d ne disontinité de ontat ave ne éqation d état omlee Losq elle taite de l éolement d n flide égi a ne éqation d état omlee, ette oéde basée s l tilisation étende de l éqation d état ave des vaiables moyennées ondit à des osillations de ession et de vitesse a intefaes Ce onstat n est en ote as limité a méthodes Lagange-Poetion, ni dû a solve de iemann Ce oblème aaaît en effet ave tos les shémas nméiqes qi, o alle la ession, tilisent l éqation d état ave des vaiables moyennes Considéons a eemle n flide égi a l éqation d état Mie-Güneisen, et ls éisément a l éqation d état Cohan-Chan (Cohan and Chan (979 éite sos ne fomlation Mie- Güneisen, qi se ésente sos la fome sivante :, e e e ( ( ( ( ave e (,, A E X(m E, ef (E ef ef (E, ef E A E et, ( A A ef ef Le flide tilisé est d nitométhane liqide, dont les aamètes d état sont : 9, 3 34 g / m, A Pa, A Pa, E et E 444 ef - 3 -

122 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes On taite alos n oblème d advetion d ne disontinité de ontat dans n éolement nifome en vitesse et en ession La vitesse est de m/s et la ession de Pa, e qi oesond à la ession de détonation selle d nitométhane A déat, la disontinité est 3 3 sitée en 5 m et séae de états de densité 34 g / m à gahe et 5 g / m à doite On tilise n shéma de Godnov, ave ne aohe eléienne, et n solve de iemann eat détaillé dans Sael et al (994 et amélioé dans Petitas et al (6 Les ésltats à l instant t 4 µs sont ésentés s la Fige V-3 et oesondent à n maillage de 5 ellles Density (g/m3 3 Veloity (m/s (m (m Pesse (Ba Fige V-3 : Advetion d ne disontinité de ontat ave l éqation d état Cohan-Chan Comaaison de la soltion nméiqe donnée a le shéma de Godnov (symboles et de la soltion eate (tait lein Des osillations non hysiqes aaaissent à l intefae et se oagent dans tot l éolement Ce oblème est la motivation iniale de la onsttion d ne novelle méthode nméiqe de tye elaation-poetion qi emlae la oéde habitelle basée s la méthode de moyenne (V8 et l tilisation de l éqation d état (V3 (m V3 Méthode de elaation-poetion o alle la ession dans les ellles La méthode de tye elaation-poetion ésentée ii est déveloée afin de allie a omotements anoma obsevés ave les méthodes de Godnov o des éolements égis a des éqations d état omlees Cette méthode néessite de taite haqe onde d oblème omme ne disontinité Les solves de iemann itéatifs ho-ho (Too (997 o les solves de iemann aohés non itéatifs (Haten et al (983 sont don des andidats ossibles Une telle aoimation n a - 4 -

123 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes as de onséqenes gênantes o le taitement des faisea de détente, omme l a monté l eemle ésenté s la Fige V- On monte s la Fige V-4 ne ve shématiqe des ondes entant dans ne ellle de all lagangienne t t * i-/ S i-/ S i/ * i/ t i-/ i/ Bod de maille eléienne Bod de maille lagangienne (à t t Fige V-4 : eésentation shématiqe des ondes entant dans ne ellle de all lagangienne De ondes selement event ente dans ne ellle lagangienne : Si / est ne onde qi fait fae à doite, soit ne onde de ho soit ne onde d eansion, S i / est ne onde qi fait fae à gahe, soit ne onde de ho soit ne onde d eansion Le volme de la ellle lagangienne à l instant t n est donné a la elation : n n i i t ( i / i/ Ce volme et enoe ête divisé en tois sos-volmes, qi ontiennent tos le flide dans des états themodynamiqes difféents : n L t( S i/ i/ L 3 t( i / S i : L i L L 3 Et, omme éédemment, on et défini le aot des sos-volmes s le volme total a : L β,, 3 n i L état moyen dans la ellle lagangienne est alos allé omme sit : n i 3 U β U (V9 ave n U U,i /, U U i et U 3 U L,i / ; où les indies L et oesondent a états gahe et doit de la soltion d oblème de iemann s le bod de maille onsidéé Po les lois de onsevation, on et monte failement qe la elation (V9 est éqivalente à la elation (V6 Celle-i est sovent éféée à la elation (V9 a elle emet d tilise des as de tems ls gands Ceendant, ave les de elations, on ommet ne ee s le all de la ession dans la ellle Cette ee est liée, omme nos l avons v, a fait qe l éqation d état n est valide qe o des gandes themodynamiqes loales ; o on l tilise ii ave des gandes moyennées Po oige e oblème, on emlae l tilisation de l éqation d état a la ésoltion d n système de elaation ente les difféents états hos d éqilibe ésents dans haqe sos-volme - 5 -

124 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes de la ellle La ession d éqilibe dans la ellle lagangienne est alos déteminée a la soltion asymtotiqe de e système de elaation Pésentons maintenant ls en détail e système de elaation V3 Système de elaation Une fois qe les ondes de gahe et de doite sont entées dans la ellle lagangienne, elles définissent tois sos-volmes qi ontiennent han le flide dans n état difféent Totes les vaiations hysiqes des gandes themodynamiqes dans la ellle ont alos été taitées a moment de l entée des ondes et de la détemination des états deièe elles-i, omme le monte la Fige V-4 On et don isole la ellle oante de ses voisines o alle la ession à l intéie de elle-i On hehe alos l état d éqilibe final obten aès les inteations des états hos d éqilibe ésents dans haqe sos-volme Considéons o ela ne ellle qi ne ontienne qe de sos-volmes o ls de simliité ; e qi est le as a eemle si l onde de gahe S est n ho o ne détente et l onde de doite S i / ne onde d amlitde nlle Une telle sitation est eésentée s la Fige V-5 i/ eiodi bonday onditions U U eiodi bonday onditions i / τ i / U ( τ U ( τ ( τ U τ > Fige V-5 : eésentation shématiqe des états hos d éqilibe ésents dans ne ellle aès entée d ne onde de ho o de détente, qi fait fae à doite, s la fontièe gahe A débt d oesss de elaation (τ, la ellle ontient de états hos d éqilibe séaés a ne disontinité oesondant à la osition de l onde entante Le emie état est déit a la soltion d oblème de iemann s le bod de maille gahe et le seond a l état initial dans la ellle Pisq on a isolé la ellle des ellles voisines, les fontièes gahe et doite oesondent à des onditions limites éiodiqes A ati de et état initial, les sos-volmes vont s étende o se ontate (τ > en fontion de les difféenes de essions et de vitesses Ces évoltions ondisent à la elaation des états dans haqe sos-volme ves n état à l éqilibe méaniqe (τ La diffilté ii onsiste à établi les éqations égissant le système de elaation qi ondit haqe état hos d éqilibe dans les sos-volmes ves l éqilibe méaniqe - 6 -

125 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes Dans haqe sos-volme, le flide est égi a les éqations d Ele Po déie l état oesondant à n sos-volme, on intodit ne fontion aatéistiqe X : si est dans le sos - volme X (, τ sinon Cette fontion obéit à l éqation d évoltion sivante : X X σ (V τ où σ eésente la vitesse loale de l intefae ente les de sos-volmes Les éqations d Ele (V sont valides o n imote qel état themodynamiqe d flide Ii, le système est en ls omlété a ne identité tiviale :, qi simlifie l éqation τ (V d évoltion de la fontion aatéistiqe Le système (V devient ainsi : U F(U (V t Ave U (,,, E T et F ( U (,, ², ( E T L état moyen dans haqe sos-volme est alos obten en : Séletionnant l état oesondant : on mltilie o ela les éqations (V a la fontion aatéistiqe ; Pis en intègant ensite le système obten s le volme de ontôle Cette méthode a été déveloée o les éolements mltihasiqes, méthode DEM, a Abgall and Sael (3, Sael et al (3, Chinnayya et al (4 et LeMetaye et al (5 Dans le as ésent, on obtient don : i / i / X U X F X d ( F σu d (V τ i/ i/ La divegene de fl disaaît alos de la elation (V isq on a des onditions limites éiodiqes, e qi ondit à : i / i / X U X d ( F σu d (V3 τ i / i / Le teme de doite de l éqation (V3 eésente le fl lagangien : F F σu,,, lag ( T A l intefae ente de états, le fl lagangien est onstant en aison des onditions d intefae (ession et vitesses nomales sont ontines Il est don ossible d intége l éqation (V3 Po l état, on a ainsi : i τ / X Ud i/ [ X ] F lag, [ ] F lag, X (V4 Les de temes a seond membe de l éqation (V4 sont ds à la ésene de de intefaes dans la ellle (f Fige V-5 Le gadient de la fontion aatéistiqe est non nl niqement s es intefaes, et de sitations sont alos ossibles : L état est à gahe et l état à doite, e qi oesond à la sitation ( ; L état est à gahe et l état à doite, e qi oesond à la sitation ( Po haqe toogahie d éolement envisageable, ( o (, on ésot le oblème de iemann assoié qi emet de détemine le fl lagangien Ce fl étant onstant a - 7 -

126 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes X intefaes, est-à-die losqe le gadient de la fation aatéistiqe est non nl, le odit F σu est failement intégé et ondit a de temes de doite de l éqation (V4 Il aaaît alos : F lag,, le fl lagangien soltion d oblème de iemann ente l état à gahe et l état à doite [ X ] le sat de la fontion aatéistiqe X ente l état à gahe et l état à doite Ave les notations tilisées, on dédit aisément qe [ X ] et qe [ X ] Dans e as, l éqation (V4 devient : Ud Flag, Flag, τ L où L et eésentent les fontièes gahe et doite d sos-volme Si on définit l état moyen dans le sos-volme a : U L (V5 Ud, alos l éqation (V5 devient : ( L U Flag, Flag, (V6 τ En divisant l éqation (V6 a le volme total de la ellle i / i / on obtient : βu ( Flag, Flag, (V7 τ L ave β la gande nomalisée qi eésente le aot d sos-volme s le volme total de la ellle Le système (V7 oesond finalement à n système de elaation La onnaissane des aamètes de elaation néessite alos de alle le fl lagangien Celi-i ne déend qe de la ession et de la vitesse Une eession eliite de es gandes est donnée a le solve aostiqe (Godnov et al (979, o des ondes d amlitde faible : Z Z Z Z ( Z Z Z Z Z Z ( Z Z Z Z L (V8 ave Z ( l imédane aostiqe d flide dans le sos-volme et sa vitesse d son En tilisant les elations (V8, on et éie le système (V7 sos la fome sivante : β µ ( τ β (V9 τ β λ( τ βe λ I ( µ I ( τ - 8 -

127 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes ave les gandes intefaiales Z Z I et Z Z Z Z I, et les oeffiients de Z Z elaation µ et λ ( Z Z µz Z qi ontôlent les vitesses aqelles se font l éqilibe des essions et des vitesses Un système analoge a système (V9 et ête déteminé o l état Il aaaît laiement qe le système (V9 gaantit les inies de onsevation, ainsi qe la onsevation d volme total β Pisqe le système (V9 elae ves ne niqe ession et ne niqe vitesse d éqilibes, il et sevi a all de la ession et de la vitesse dans la ellle ; a lie d tilise l éqation d état ave des gandes moyennes Il fat o ela détemine la soltion d oblème de elaation losqe l éqilibe méaniqe est atteint dans la ellle, ie losq on a τ Avant de ésente l tilisation atiqe d système (V9 o le all de la ession dans la ellle, il fat l étende a as où la ellle ontient tois sos-volmes Po ela, on et d abod monte qe le système (V9 s éit assi : β δ ( I τ Z β τ β δz( I τ βe I δ ( ( IZ I I τ Z où δ Ce qi nos emet alos d éie le système de elaation losqe la ellle de all ontient tois sos-volmes difféents : β δ ( I τ Z β τ β δz ( I τ β E δ τ IZ I I ( ( Z I (V 3 Z Z Z3 3 Z Z Z3 ave I et I Z Z Z 3 Z Z Z3 Ii assi, il est lai qe le système de elaation (V gaantit les inies de onsevation et la ondition de satation Véifions o fini la fome de l entoie d inégalité assoiée a système (V On éit o ela l éqation d énegie totale sos la fome : - 9 -

128 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes βe β β I I (V τ τ τ En ombinant l éqation (V ave les éqations de masse et de qantité de movement, on obtient alos : e v ( I I (V τ τ τ ave v L identité de Gibbs o le flide onten dans le sos-volme s éit : s v T ( I ( I (V3 τ τ τ En ombinant l éqation (V3 ave les éqations de fation volmiqe (le aot des sosvolmes s le volme total, de masse et de movement, on obtient finalement l éqation d évoltion de l entoie dans le sos-volme : s ( ( δ I β T Z I (V4 τ Z On onstate ainsi qe la oion d entoie dans haqe sos-volme est ositive o nlle, et don la oion d entoie totale d système sea elle assi ositive o nlle Cela signifie qe le système de elaation (V est themodynamiqement bien osé et et a onséqent sevi a all de la ession et de la vitesse dans la ellle losqe l état d éqilibe est atteint dans elle-i Nos allons maintenant voi dans la ohaine setion omment détemine la soltion d système de elaation (V V3 Soltion d système de elaation Nos ne heheons as ii à intége l ensemble des éqations difféentielles odinaies (EDO d système (V a ela seait to oûte et stot ae qe est l état asymtotiqe (losqe τ qi nos intéesse ; on hehe en effet la ession et la vitesse à l état d éqilibe final Dans la site, nos adoteons désomais la notation o les vaiables isses de la soltion d oblème de iemann dans la ellle lagangienne, et l eosant * o les vaiables oesondant à l état elaé final en éqilibe méaniqe V3a Pinies de détemination de l état elaé L intégation des éqations d énegie intene (V ente l état initial et l état final s éit : de ( τ d ( τ dv ( τ dτ ( ( τ I ( τ dτ I ( τ dτ dτ dτ dτ O ls simlement : e e ˆ I ( v v q ave : q ( ( û I (, dv ˆ I I dτ, v v dτ (V5 (V6 - -

129 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes d û I τ I d dτ Dans les éqations (V6, ˆ I et û eésentent les moyennes de la ession et de la vitesse I d intefae de l état endant le oesss de elaation, et eésente la vitesse de l état elaé Ces difféentes gandes doivent ête déteminées Sosons dans n emie tems qe l eession des gandes intefaiales moyennes est onne afin de se onente s la détemination de la soltion d système de elaation La emièe étae est basée s la onsevation de la masse totale dans la ellle : β β (V7 Ensite, la onsevation de la masse ontene dans haqe sos-volme imose : β β Ce qi et assi s éie : β β Y Y Y (V8 (V9 La onsevation de la qantité de movement totale imose qant à elle : β β (V3 Et isqe l état elaé est en éqilibe méaniqe, nos avons elation (V3 sos la fome sivante : β ; e qi emet d éie la Y (V3 β On obtient ainsi l eession de la vitesse de l état elaé Il fat maintenant détemine la ession dans l état elaé Nos tilisons o ela l éqation d état e e( v,, en se sevant niqement des vaiables themodynamiqes loales et as des gandes moyennes dans la ellle Dans ne ellle donnée, isqe les vaiables intefaiales moyennes sont sosées onnes, on a désomais 4 inonnes : la ession de l état elaé et les volmes séifiqes de haqe sos-volme dans l état elaé v Les éqations d énegie (V6 nos fonissent 3 elations : e ( v, e ˆ I( v v q (V3 La ontainte de satation (o onsevation d volme total nos donne ne denièe elation : β β v m v (V33 ( où m est la masse de haqe sos-volme, qi est onstante (f elation (V8 dant le oesss de elaation Les éqations (V3 et (V33 foment finalement n système non linéaie, de 4 éqations à 4 inonnes, femé Ce système et ête ésol a ne méthode itéative, tye Newton-ahson, qi ne déend qe de la ession elaée L état final elaé qe nos hehions est don omlétement déteminé evenons maintenant à l eession des gandes intefaiales moyennes qi fement le système de elaation (V6 - -

130 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes V3b Estimation des gandes intefaiales moyennes Il fat détemine l eession des moyennes ˆ I et û de la ession et de la vitesse d intefae I de l état endant le oesss de elaation On s aie o ela s le fait qe les définitions doivent ête en aod ave la onsevation de l énegie totale et ave le seond inie de la themodynamiqe i Consevation de l énegie totale En egoant l énegie intene et l énegie inétiqe, les éqations (V6 s éivent : E E ˆ I ( v v ( û I En les sommant s tos les sos-volmes, on a alos : Y E Y E Y ˆ v v Y û (V34 I ( I ( L énegie totale dans la ellle est définie a : don : E E Y E Y E E Y E, et sa onsevation imose On onstate immédiatement qe la onsevation de l énegie totale imose ne ontainte s l éqation (V34 : Y [ ˆ I( v v ûi( ] (V35 La ontainte de satation et la onsevation de la masse totale emettent alos de détemine ne ondition sffisante o véifie la elation (V35 : il sffit qe les gandes intefaiales moyennes ˆ I et û ne déendent as d sos-volme I Il s agit d ne imotante simlifiation mais qi aote tès e de estitions s la fome à ende o es vaiables Nos allons don onsidée ne seonde ontainte ii Inégalité d entoie L tilisation de la seonde loi de la themodynamiqe est simlifiée si on sose qe les évoltions dans haqe sos-volme sont infinitésimales Ainsi, l éqation (V6 et s éie : e ( û ˆ v (V36 I I où est ne vaiation infinitésimale, et ˆ I et û I les gandes intefaiales moyennes qi ne déendent as d sos-volme L identité de Gibbs nos emet d éie la vaiation d entoie sos la fome : T s ( ˆ I v ( û I (V37 On doit alos eamine le signe de la elation (V37 Po ela, on eime la vaiation d volme séifiqe de l état o la tansfomation oesondant à la elation (V36 : e e ˆ I v ( û I v v e aelons alos qe l on a /( v et v et e le oeffiient de Güneisen d flide dans le sos-volme Dans e as, la elation (V37 devient : v v /, où est la vitesse d son - -

131 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes T s v v ( û ( ˆ I ˆ I v I Et, en tilisant la définition d oeffiient olytoiqe : ( û ( ˆ ² γ, il vient: γ Z I I T s (V38 γ Ẑ Z ( I En onsidéant de etites vaiations a aot à l état initial, l intégation de la elation (V38 ente l état initial et l état elaé * ondit à : ( ( û ( ( ( ˆ ( γ Z I I T ( s s (V39 γ Ẑ Z I On onstate finalement q ne ondition sffisante o qe l évoltion d entoie ( s s dans le sos-volme soit ositive est : ˆ I et û I (V4 Ce hoi n est as niqe mais il gaantit la onsevation de l énegie totale et le eset d seond inie Nos etiendons don es estimations simles o la site V33 Comaaison de la méthode de elaation et de la méthode de Godnov La méthode de elaation qi vient d ête établie doit foni des ésltats tès ohes de e de la méthode de Godnov En fait, on et monte qe les de méthodes sont igoesement identiqes losqe l éolement obéit à ne éqation d état des gaz afaits o Stiffened Gas Ceendant, on monte assi qe des difféenes imotantes aaaissent losq on tilise des éqations d état ls omlees La novelle méthode fonit alos des ésltats ohéents tandis qe la méthode de Godnov odit ne soltion ave des osillations de ession et de vitesse qi event ondie à l éhe d all Ces difféents onstats sont démontés dans la site, s la base d agments théoiqes et de eves nméiqes V33a Éqation d état de tye Stiffened Gas On onsidèe don l éqation d état Stiffened Gas (V3 Ave la méthode de elaation, on et somme les éqations d énegie intene (V6 s tos les sos-volmes, en tenant omte de la ontainte (V35 et des estimations (V4 : Y e Y e ( Y L état elaé étant à l éqilibe méaniqe, on a ne sele vitesse et ne sele ession L tilisation de l éqation d état (V3 ondit alos à : β E γ β γ, γ - 3 -

132 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes L éolement étant monohasiqe, on a ii γ γ et,, et la ession elaée s éit alos : ( γ E γ (V4 egadons maintenant qelle est l eession de la ession ave la méthode de Godnov On alle o ela l énegie intene moyenne dans la ellle : n ( ( E n [( i ] n ( n e i i i Qe l on inete ensite dans l éqation d état (V3 : n [( ] * n i * ( γ ( E γ ( γ E γ (V4 i n ( i Finalement, on onstate qe les elations (V4 et (V4 sont bien éqivalentes losqe l éolement obéit à ne éqation d état Stiffened Gas V33b Éqation d état ls omlee Considéons a eemle l éqation d état Mie-Güneisen, sos ne fomlation Stiffened Gas : ( γ e γ ( (V43 Ave la méthode de elaation, on monte alos qe la ession elaée s éit : ( γ E γ β, ( (V44 Ave la méthode de Godnov, on a a onte : ( γ E γ ( (V45 On emaqe don qe les de méthodes ondisent à des ésltats difféents Il fat a onséqent disimine ne des de elations (V44 o (V45 afin de savoi qelle méthode donne le all oet de la ession dans la ellle L évalation diete de la elation (V44 n est as faile a il fat onnaîte les vaiations des fontions β et a os d oesss de elaation Totefois, il eiste n as où le all est tès simle : eli d ne disontinité de ontat évolant dans n éolement nifome en vitesse et en ession Dans e as, la ession elaée est en effet égale à la ession initiale La elation (V44 s éit alos : ( γ e Y γ β, ( L éolement étant nifome en vitesse, on a : est-à-die : β ( γ e γ β, ( β ( γ e β γ, ( γ β ( ( (,, Les essions et les vitesses dans haqe sos-volme sont totes égales isqe l éolement est nifome en vitesse et en ession Pa onséqent, il n eiste an méanisme hysiqe aable de modifie les volmes séifiqes de haqe sos-volme, et on a don Cei imliqe finalement qe la ession elaée s éit : β (V46-4 -

133 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes La méthode de elaation alle don oetement la ession dans la ellle L évalation d all de la ession ave la elation (V45 dans le as éédent d n éolement nifome en vitesse et en ession ondit à : ( γ e γ ( β est-à-die : β γ ( ( γ ( ( β β, (V47, Finalement, on onstate qe la ession dans la ellle sea bien allée ave la elation (V47 à la sele ondition qe l on ait : β, ( ( (V48 Totefois, la elation (V48 n est vaie qe si la fontion ( densité, o si les densités est linéaie en fontion de la dans haqe sos-volme sont totes égales Malheesement, dans la lat des as, ane de es onditions n est vaie Cela signifie a onséqent qe la méthode de Godnov ne alle as oetement la ession dans la ellle, et qe est don elle qi est en défat V34 ésmé de la méthode elaation-poetion La méthode elaation-poetion qi a été déveloée est éqivalente à la méthode de Godnov o les éqations Stiffened Gas, et ondit à des ésltats oets ave des éqations d état ls omlees, omme nos venons de le voi La oéde de elaation atoise le all de la ession, assi bien dans les mailles lagangiennes qe dans les mailles eléiennes, à ati des états hos d éqilibe ésents dans la maille oesondante Losqe l on tilise ne aohe lagangienne, la vitesse elaée est allée via la elation (V3 et la ession elaée est obtene à ati de la soltion d système (V3-V33 Losqe l on tilise ne aohe eléienne, il n est as néessaie de alle la ession dans les ellles lagangiennes Le vete des vaiables onsevatives dans les mailles lagangiennes, allé à ati de la elation (V9, est oeté s ne gille fie (gille eléienne, omme déit s la Fige V- Une ellle eléienne et onteni de à 3 états difféents, qi vont alos elae ves n niqe état à l éqilibe méaniqe La ession dans la ellle eléienne est finalement obtene en ésolvant le système de elaation (V, est-à-die en atiqe à ati d système (V3-V33 A la fin d as de tems, les vaiables onsevatives et imitives sont ainsi onnes dans haqe maille eléienne On et ésme le inie de la méthode omme sit : Initialement, le vete des vaiables onsevatives U (,, E T est onn dans totes les mailles eléiennes, qi se onfondent o l instant ave les mailles lagangiennes S haqe bod de maille lagangienne, on alle la soltion d oblème de iemann assoié ave n solve itéatif ho-ho o n solve HLLC aohé (Too, 997 en se basant s l estimation des vitesses d ondes de Davis (988 La soltion d oblème de iemann fonit alos les vitesses d ondes, et les états d flide deièe elles-i, qi définissent ainsi tois sos-volmes difféents dans haqe ellle lagangienne Le vete des vaiables onsevatives dans la ellle lagangienne est ensite déteminé ave la elation (V9 Dans ne aohe eléienne, le all de la ession n est as néessaie, et la soltion est don oetée s la gille fie - 5 -

134 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes Le délaement des bods de ellles lagangiennes et ondie à ne seosition de lsies ellles lagangiennes s ne même ellle eléienne On définit alos de à 3 sos-volmes difféents, hos d éqilibe ente e, dans haqe ellle eléienne On alle ensite le vete des vaiables onsevatives dans la ellle eléienne ave la elation (V8 La ession est alos déteminée en ésolvant le oblème de elaation ente les difféents états ésents, est-à-die en hehant la soltion d système (V3-V33 Ainsi, les vaiables onsevatives et les vaiables imitives sont finalement onnes dans les ellles eléiennes Le assage a as de tems sivant eqiet alos ne oéde séiale Afin qe la tansfomation des vaiables imitives en vaiables onsevatives soit évesible et onsevative, le oeffiient olytoiqe doit ête adaté omme sit : e γ (V49 nm e ave la ession elaée donnée a la soltion d système (V3-V33 et f la moyenne de la gande f dans la ellle Il fat en effet qe la ession elaée soit égale à la ession donnée en tilisant l éqation d état : ( γ e γ (, e qi néessite d adate le oeffiient olytoiqe Ce denie est don adveté dant l étae lagangienne, e qi signifie q il obéit à l éqation sivante : d γ nm (V5 ave la ondition initiale évidente γ nm γ Les oetions (V49 et (V5 sont atilièement imotantes o le all de la ohaine étae temoelle, et sont néessaies ae q à haqe as de tems le détail de la miostte dans la ellle est ed V35 Eemle On onsidèe de novea l eemle ésenté en Fige V-3 : l advetion d ne disontinité de ontat d n flide obéissant à l éqation d état Cohan-Chan, éite ii dans n fomalisme Stiffened Gas ave γ et ( ( e ( ( γ Les ésltats sont ésentés s la Fige V-6 a même instant et ave le même maillage Density (g/m3 3 Veloity (m/s (m (m - 6 -

135 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes Pesse (Ba Fige V-6 : Advetion d ne disontinité de ontat ave l éqation d état Cohan-Chan Comaaison de la soltion nméiqe donnée a la méthode de elaation (symboles et de la soltion eate (tait lein Le gain en éision est évident, isqe la soltion est désomais eemte de tote osillation Le inial désavantage de la méthode éslte finalement dans son oût en tems de all : la ession est en effet déteminée a ne oéde itéative de tye Newton-ahson qi ésot le système (V3-V33 Une telle oéde a n tems de all omaable à eli d n solve de iemann itéatif, qi s aote a tems de all néessaie à la ésoltion d oblème de iemann s les bods de maille lagangienne Nos allons don oose maintenant ne vesion simlifiée, ls aide, de ette méthode (m V4 Méthode de elaation simlifiée : l éqation d état nméiqe V4 Pésentation La difféene ente les méthodes de elaation et de Godnov est dans le all de la ession : ( γ E γ β, ( (V5 L tilisation de la elation (V5 eqiet n etain investissement en tems de all a la onnaissane des vaiations des fations volmiqes β et des densités dant le oesss de elaation néessite la ésoltion d système (V3-V33 Les difféenes ente la ession allée a la elation (V44 et elle allée a la elation (V45 sont tès imotantes a intefaes Totefois, les intefaes sont le lie où les fations volmiqes β ont les vaiations les ls faibles ; notamment los de l étae de oetion On oose don de modifie légèement la oéde ésentée a aagahe V34 : la ession dans la ellle à l isse de l étae de oetion n est ls allée en ésolvant le système non linéaie (V3-V33 mais à ati de l éqation d état nméiqe sivante : γ e γ β (V5 (, ( qi tilise la densité moyenne et l énegie intene moyenne e L éqation (V5 n est as difféente de la elation (V53 à l eetion des fations volmiqes β et des densités qi sont ises égales à le vale initiale, donnée a le vete des vaiables onsevatives dans les mailles lagangiennes Cette aoimation signifie q on ne onsidèe as les vaiations de volme séifiqe de haqe sos-volme des a elaations des essions Gâe à ela, la elation (V5 est beao ls aide qe la elation (V53 isq elle n est ls basée s ne oéde itéative - 7 -

136 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes Comaons finalement la éision de ette novelle méthode aohée ave elle de la méthode de Godnov, tilisant n solve de iemann eat On onsidèe o ela n tbe à ho emli de nitométhane liqide dont les oiétés ont été données dans le aagahe V3b et qi obéit à l éqation d état Cohan-Chan Initialement, la ession dans la hambe de gahe est Pa, tandis qe dans la hambe de doite elle vat 5 Pa Les densités de at et d ate de la disontinité sont : 34 g/m 3 à gahe et g/m 3 à doite, et elle est sitée en 6 m On omae les soltions obtenes ave la méthode de Godnov et la novelle méthode de elaation aohée, basée s l éqation d état nméiqe (V5, et la soltion eate Les ésltats sont eésentés s la Fige V-7 ave n maillage de 5 ellles à l instant t 5 µs Density (g/m3 Density (g/m (m (m Veloity (m/s Veloity (m/s (m (m Pesse (MPa (m Pesse (MPa Fige V-7 : Poblème de tbe à ho ave ne éqation d état Cohan-Chan La soltion obtene ave la méthode de Godnov est eésentée en symboles s la olonne de gahe, et elle obtene ave la novelle méthode de elaation aohée est eésentée en symboles s la olonne de doite La soltion eate est eésentée en tait lein à haqe fois (m - 8 -

137 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes On onstate q ave la novelle méthode, la soltion est eemte d osillations, omme le monte le zoom ato de l intefae ésenté s la Fige V-8 8 Veloity (m/s 8 Veloity (m/s (m (m Pesse (MPa Pesse (MPa (m Fige V-8 : Poblème de tbe à ho ésenté s la Fige V-7 : zoom s la ession et la vitesse ato de l intefae On voit laiement qe la novelle méthode amélioe onsidéablement la qalité des ésltats, tot en ayant n oût en tems all éqivalent à ne méthode de Godnov V4 L éqation d état nméiqe o des oblèmes à intefaes Une vaiante de la méthode éédente et assi ête déveloée o taite les oblèmes à intefaes ente flides omessibles égis a des éqations d état difféentes Considéons a eemle ne intefae ente n liqide omessible égi a l éqation d état (V3, ave des aamètes d état γ et,, et n gaz li assi égi a l éqation d état (V3, mais ave des aamètes γ et, Ces aamètes d état sont onstants dans haqe flide mais disontins à l intefae Les oeffiients olytoiqes n étant ls onstants a taves de l intefae, l éqation d état nméiqe s éit désomais sos la fome sivante : β γ, e γ (V53 β γ La elation (V53 est don maintenant elle tilisée o alle la ession dans les ellles à l isse de l étae de oetion Comme éédemment, les fations volmiqes sont figées los d oesss de elaation ; e qi evient à néglige les vaiations los de la elaation des essions L éqation d état nméiqe (V53 emet alos de alle des aamètes d état nméiqes : (m - 9 -

138 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes β γ γ nm γ nm, nm β γ γ γ o enoe : γ nm β γ, nm γ γ nm nm β, γ, βγ (V54 Les aamètes d état (V54 sont finalement advetés dant l étae lagangienne, e qi imliqe q ils obéissent a éqations d évoltion sivantes : dγ nm (V55 d, nm Cette méthode s aaente fotement à elle déveloée a Sael and Abgall (999a, mais d imotantes difféenes eistent néanmoins : Dant l étae de oetion, la edétemination des aamètes d état nméiqes ave les elations (V54 oesond à l aot d n teme soe dans les éqations (V55 Losq ne onde de ho inteagit ave ne intefae, il se et qe les fations volmiqes des sos-volmes dans la ellle soient modifiées Losq ne onde de omession est ésente dans la ellle eléienne, e qi atiqement est eéé losqe Ma ( >, la ession est alos allée ave la vesion itéative basée s la ésoltion d système non linéaie (V3-V33, et les aamètes d état sont allés dans la elation (V54 ave les fations volmiqes elaées β Po fini, on ésente n eemle illstant les aaités de ette méthode s n oblème à intefae On onsidèe don n tbe à ho d ne longe de m, séaé en de hambes en 7 m La hambe gahe est emlie d ea liqide ( γ 4 4 et 6 8, Pa à la ession de 9 Pa et de densité g/m 3 La hambe de doite est emlie d ai ( γ 4 et, Pa à la ession 5 Pa et à la densité g/m 3 L ensemble est initialement a eos La soltion à l instant t 4 µs est visalisée s la Fige V-9, o n maillage de 5 ellles On tilise ne méthode Lagange-Poetion, ave l éqation d état nméiqe, ave ne eonsttion linéaie a moea (dans l étae de oetion et n solve d ode (dans l étae lagangienne tilisant tos les de le limite Sebee L etension de la ésente méthode à l ode est détaillée dans l Annee F - 3 -

139 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes Density (g/m3 5 Veloity (m/s X(m X(m Pesse (Ba Fige V-9 : Poblème à intefae : tbe à ho ea/ai Comaaison de la soltion obtene ave la méthode de l éqation d état nméiqe (symboles, ave limite Sebee, et de la soltion eate (tait lein On onstate qe la méthode déit oetement le omotement de l éolement, y omis ave es fots aots de essions et de densités X(m V5 Conlsion Une novelle méthode nméiqe de tye elaation-poetion a été onstite o alle la ession dans les ellles losqe l éolement obéit à des éqations d état omlees o disontines La ession est ainsi obtene omme soltion d n oblème de elaation des difféents états hos d éqilibe ésents dans haqe ellle de all La méthode emet d obteni des soltions eemtes d osillations, qi onvegent en ote ves la soltion eate Elle a ensite été dégénéée en ne méthode aohée, la méthode de l éqation d état nméiqe, ls aide Celle-i onseve les mêmes qalités et et ensite ête étende à la ésoltion de oblèmes à intefaes ente flides omessibles Nos allons nos intéesse maintenant à l etension de ette méthode a éolements mltihasiqes en éqilibe de vitesses et de essions, qi est l obet d Chaite VI - 3 -

140 Chaite V : Méthode nméiqe o les éolements monohasiqes - 3 -

141 Chaite VI Méthode nméiqe de elaation-poetion o les éqations mltihasiqes

142 - 34 -

143 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes VI Intoion Nos allons oose ii ne novelle méthode nméiqe o le taitement d modèle mltihasiqe à ne sele vitesse et ne sele ession de Kaila et al ( De nombeses méthodes ont été déveloées es denièes années o ésode des oblèmes à intefaes ente mélanges de matéia omessibles et o les modèles hyeboliqes non onsevatifs Pami elles qi hehent à ésode les mêmes éqations ave le même shéma nméiqe dans tot l éolement, on et distinge les aohes à ne vitesse et ne ession : Kani (994, Abgall (996, Shye (998, Fediw et al (999b, Massoni et al (, Allaie et al (, Péigad and Sael (5, Mone and Gillad (5, Abgall and Peie (6, Sael et al (6b, Petitas et al (6 ; et les aohes ave lsies essions et lsies vitesses : Sael and Abgall (999a, Sael and LeMetaye (, Abgall and Sael (3, Sael et al (3, Chinnayya et al (4, LeMetaye et al (5 Dans e Chaite, nos allons don monte omment obteni n solve de iemann eat et aohé o le modèle mltihasiqe Totefois, le solve de iemann n est q ne atie de l algoithme et ne gaantit as l obtention d n shéma nméiqe etinent : on monte ainsi oqoi les méthodes de Godnov ne onvegent as et omment onstie ne novelle méthode nméiqe basée s les éqations d énegie intene de haqe hase La diffsion nméiqe d ho nit enoe à la onvegene de la novelle méthode et néessite don de oige la éatition des énegies intenes On effete ette oetion en intodisant des éhanges de hale atifiiels dans la ohe de ho Une fois obtene ne méthode nméiqe onvegente, elle est étende à ne aohe eléienne VI Modèle mltihasiqe édit et solves de iemann Nos allons onsidée ii le modèle mltihasiqe édit à ne sele vitesse et ne sele ession de Kaila et al (, qi s éit dans le as de de hases : t ( ( t ( ( (VI t ( ( t ( E ( E t ave et E e, la densité moyenne et l énegie totale moyenne Les notations tilisées sont habitelles :, et eésentent la fation volmiqe, la densité et la vitesse d son de la hase, tandis qe e est l énegie intene qi est égie a e e l éqation d état d flide onsidéé (,

144 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes Nos avons v dans le Chaite I qe le modèle édit (VI ovait ête obten de de manièes : En effetant ne analyse asymtotiqe d modèle hos d éqilibe total de Bae and Nnziato (986, à lsies essions, vitesses et teméates, dans la limite de fots oeffiients de elaation méaniqe C est la méthode q on tilisé Kaila et al ( En eimant la ondition d éqilibe méaniqe (,s (,s sos fome difféentielle ave ne ontainte isentoiqe le long des taetoies flides (Mone and Gillad (5 Ce modèle égit les mélanges dihasiqes qi évolent ave ne sele vitesse et ne sele ession, mais ave de teméates et de entoies Il est atilièement bien adaté o les oblèmes de oagation d ondes dans les mélanges de matéia ondensés, ainsi qe o les oblèmes à intefaes ente flides s o ente mélanges Nos sosons ii o ls de laté qe haqe hase obéit à l éqation d état Stiffened Gas aelée i-aès : (, e ( γ e γ (VI On et alos monte qe l éqation d état d mélange, qi feme le système (VI, s éit : γ γ e (, e,, γ γ (VI3 γ γ Il est bien évidemment ossible d tilise d ates éqations d état, mais elle-i est sffisante o l eosé atel Nos allons voi maintenant omment onstie n solve de iemann eat is aohé (solve ho-ho o le système (VI VI Solve de iemann eat VIa Poiétés d modèle mltihasiqe On et monte failement qe le système d éqations (VI est stitement hyeboliqe, et q il admet les vitesses aatéistiqes sivantes : ± et, ave la vitesse d son d éqilibe d mélange (Wood (93 définie a La stte d oblème de iemann assoié à e modèle d éolement fait don inteveni 3 ondes et 4 onfigations difféentes ossibles, si l on elt l aaition d vide Maintenant, il fat a onséqent onnaîte les elations de sat o l éolement a taves des difféentes ondes d oblème i Invaiants de iemann On tilise ii ne ate fome d système (VI où les inonnes sont maintenant la densité de mélange, la vitesse, la fation massiqe d ne des de hases Y et l entoie de haqe hase s et s Le modèle s éit alos, en ne dimension d esae : t t

145 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes Y Y (VI4 t s s t s s t Po alle les invaiants de iemann, haqe vaiable est ensite eimée sos la fome W(, t W ~ ( ς ave ς σt, σ étant ne vitesse d onde qelonqe On a ainsi : W dw ~ W dw ~ σ et t dς dς Et le système (VI4 devient : d d ( σ dς dς d d ( σ dς dς dy ( σ (VI5 dς ds ( σ dς ds ( σ dς Le système (VI5 emet finalement de détemine les invaiants de iemann d oblème, qi fonissent les elations de sat a taves des disontinités de ontat et des ondes de détente ii Conditions d intefae La détemination des onditions d intefae à ati d système (VI5 est tiviale isqe la disontinité de ontat est ne onde qi se oage à la vitesse σ : [ ] [ ] (VI6 où [ f ] f fl eésente le sat d ne gande f ente n état doit et n état gahe «L» de at et d ate de l intefae iii Ondes de détente Les ondes de détente se oagent à la vitesse taves de telles ondes sont : d ± d d d σ ±, don les invaiants de iemann a dy (VI7 ds ds Les signes et oesondent esetivement à ne onde qi fait fae à doite et à ne onde qi fait fae à gahe

146 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes On et note en ote qe la deième elation d système (VI7 est edondante ave les de denièes isqe d d imliqe ds En absene de éation on a a ailles ds Yds Yds, et don si ds et ds on a bien ds Finalement, on obtient don : d ± d dy (VI8 ds ds Po l éqation d état Stiffened Gas (VI, les tois denièes elations d système (VI8 event ête intégées de at et d ate de l onde de détente On a alos : d ± d Y (VI9 Y γ,, La emièe éqation d système (VI9 fait inteveni l imédane aostiqe d mélange, qi ne déend qe de la ession o l éqation d état Stiffened Gas (VI : Y Y γ (VI γ,, Malheesement, la définition (VI de l imédane aostiqe ne emet as d intége analytiqement la emièe elation d système (VI9 Nos tiliseons don ne méthode d intégation nméiqe, détaillée dans le ohain aagahe, o obteni les elations de sat omlètes a taves des ondes de détente iv elations de ho Eetée l éqation s la fation volmiqe, le système d éqations (VI et se mette sos fome onsevative Les elations de sat a taves des ondes de ho o les gandes onenées s éivent alos : Y e ( σ ( σ m m² ( v v Y e ( v v (VI où σ est la vitesse de l onde de ho, et les eosants et * désignent esetivement l état avant et aès assage de l onde de ho Une ate elation est maintenant eqise o feme les elations (VI Nos avons v dans le Chaite I omment Sael et al (6a stifient la oosition de Tnin (, qi imose la elation sivante o le sat d énegie intene de haqe hase a taves d ne onde de ho : e e (v v (VI

147 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes Dans n solve de iemann, il est atiqe d éie les elations (VI et (VI en fontion de la ession deièe l onde de ho Ave l éqation d état Stiffened Gas (VI, on a alos : ± m v v Y m ( ( v v Y (VI3 ( γ (, ( γ (, ( γ ( ( γ (,, Les signes et oesondent enoe à ne onde qi fait fae à doite o fae à gahe Dans le système (VI3, le débit-masse le volme séifiqe ( Y ( ne déend qe de la ession isqe v v m ( v est ne fontion de la ession niqement VIb Algoithme Nos venons d établi totes les elations de sat néessaies à la ésoltion d oblème de iemann mltihasiqe, shématisé s la Fige VI- t S L DC W L * W * S W L W Fige VI- : Stte d oblème de iemann mltihasiqe Les ondes S L et S de gahe et de doite sont soit des hos soit des détentes emaqons ii qe qelle qe soit l onde onsidéée, les elations de sat (VI6, (VI9 et (VI3 ne déendent qe de la ession Selon la vale de la ession, de as sont envisageables : Si >, on a ne onde de ho et on tilise les elations de ho (VI3 o obteni l état d mélange deièe elle-i ; Si, on a ne onde de détente et on tilise les invaiants de iemann (VI9 Qoi q il en soit, la vitesse matéielle et s éie : ± Φ(, ave ( ne onde de ho et ( est néessaie a all de la fontion Φ ( Gass-Legende : d n ( Φ o m d Φ o ne détente Dans e as, ne intégation nméiqe ω (, et on tilise o ela ne méthode d intégation de

148 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes ave : ξ ξ [ ; ] [ ; ] et où ω et ξ sont les oids des oeffiients de Gass-Legende Po les aliations visées, ne aoimation à si oints est sffisante Qelqe soit le shéma d ondes, la vitesse s obtient alos omme sit : Φ L L L ( ( Φ (VI4 A taves de la disontinité de ontat, les onditions d intefae imosent L, et en ombinant les elations (VI4 on obtient don ne sele éqation, qi est fontion de la ession ost-ho : ( Φ ( Φ ( f L L L (VI5 L éqation (VI5 étant non linéaie, elle est ésole a ne méthode de tye Newton-ahson Une fois la ession onne, on alle la vitesse matéielle à l aide d ne des elations (VI4 et les ates vaiables de l éolement sont déteminées ave les elations (VI9 o (VI3 selon l onde onenée VI Validation et eemle i Intefae ente flides esqe s On ommene a teste la validité d solve de iemann eat qe nos venons de déveloe s n as limite monohasiqe On onsidèe o ela ne intefae ente de flides esqe s : dans e as la soltion d oblème de iemann mltihasiqe doit ête éqivalente à la soltion des éqations d Ele, qi est onne et et don sevi de éféene Un tbe à ho de m de longe est séaé en de hambes à l absisse 8 m, qi ontiennent totes les de n mélange d ea et d ai Initialement, la densité de l ea dans tot le domaine est de ea gm -3, et ses aamètes d état sont γ ea 44 et et o l ai on a ai gm -3, ave γ ai 4 et, ai Pa 6 Pa 8, ea ; La hambe de gahe ontient ne tès etite qantité d ai ai 6 et la ession y est fiée à 9 Pa ; elle de doite ontient les mêmes flides, mais en ootions inveses, à la ession 5 Pa Les flides sont a eos dans haqe hambe, et ont don ne vitesse nlle Les soltions eates des éqations d Ele monohases et d système dihasiqe (VI dans la limite monohase sont omaées à l instant t µs s la Fige VI- Pesse (GPa (m Nomal Veloity (m/s (m - 4 -

149 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes Mite density (g/m (m Wate Volme Fation Fige VI- : Tbe à ho liqide-gaz Comaaison d solve eat dihasiqe (tait lein et d solve eat des éqations d Ele (symboles Les de soltions sont onfondes et donnent des ésltats identiqes La fation volmiqe de l ea n est en fait obtene q ave le modèle dihasiqe isqe ette vaiable est absente des éqations d Ele ii Poblème de tbe à ho ente de mélanges On onsidèe maintenant n eemle illstant les aaités d solve eat mltihasiqe Un tbe à ho d ne longe de m ontient de hambes séaées a ne intefae à la osition 6 m Les de hambes sont emlies ave n même mélange d éoy et de sinel, de fation volmiqe d éoy éoy 5954 Les densités initiales des de hases sont imosées à éoy 85 gm -3 et à sinel 36 gm -3 ; les aamètes d état étant γ 43 éoy et 9 9, éoy 53 Pa, γ sinel 6 et, sinel 4 Pa Ces vales oesondent à elles fonies dans les eéienes de Mash (98 La ession dans la hambe de gahe est fiée à Pa, et dans la hambe de doite elle est à 5 Pa Le domaine est initialement a eos La soltion obtene est visalisée s la Fige VI-3 à l instant t 9 µs (m Pesse (GPa absissa (m Nomal Veloity (m/s absissa (m - 4 -

150 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes 4 Mite Density (g/m3 6 Eoy Volme Fation absissa (m absissa (m 6 Eoy Density (g/m3 5 Sinel Density (g/m absissa (m absissa (m Fige VI-3 : Tbe à ho éosy-sinel Pofils des vaiables obtens ave le solve mltihasiqe eat VI Solve de iemann aohé Ce aagahe est dédié à la onsttion d n solve aohé, tye solve ho-ho L inonvénient mae d solve de iemann eat éédent est lié a invaiants de iemann qi néessitent ne intégation nméiqe Cei ose lsies diffiltés : Le all des oints soniqes est oûte Cela édit la généalité d solve, a o ne éqation d état ls omlee les vales de l imédane aostiqe (VI a oints d intégation de la méthode devont d abod ête allées à ati de la fontion non linéaie eliant la densité à la ession Cette novelle étae aoît enoe le oût en tems all Ces emaqes esteignent don les hoi ossibles des méthodes ates à taite failement les ondes de détente Nos les taiteons ii omme des hos eansifs, et nos tiliseons alos les elations (VI3 egadons oqoi ne telle aohe est aisonnable : Les elations de anine-hgoniot mltihasiqes (VI3 sont algébiqes, et de ls gaantissent les inies de onsevation Il a été monté a Sael et al (6a qe la obe d hgoniot d mélange et l isentoe de mélange étaient tangentes : o de faibles vaiations, les de obes sont don onfondes Une détente étant toos étalée, ette aoimation end son sens Le solve de iemann aohé est a onséqent n solve ho-ho (Too (997, et l algoithme est alos gandement simlifié La ession de at et d ate de l intefae obéit désomais à l éqation sivante : L f ( L L m m L (VI6-4 -

151 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes La soltion de l éqation (VI6 est allée ave ne méthode de Newton-ahson Une fois qe la ession est onne, les vaiables de l éolement sont totes déteminées ave les elations (VI3 Ce solve aohé est finalement imlémenté et tilisé ave les difféents shémas nméiqes qe nos ésentons dans la site VI3 Méthodes nméiqes o le modèle mltihasiqe VI3 Méthode de Godnov lassiqe Nos allons onsidée ii le moyen le ls simle d obteni les vaiables de l éolement dans les ellles de all Dans n soi de laté, nos ésentons la méthode de Godnov ave ne aohe lagangienne ; le shéma d ondes dans ne ellle lagangienne étant aelé s la Fige VI-4 t t * i-/ S i-/ S i/ * i/ t i-/ i/ Bod de maille eléienne Bod de maille lagangienne (à t t Fige VI-4 : eésentation d shéma d ondes dans ne ellle lagangienne La ellle lagangienne ne et onteni qe de ondes : S i/ et S i /, qi font fae à doite et fae à gahe et sont soit des hos soit des détentes Le volme de ontôle à l instant t n obéit à la elation : n n i i t ( i / i/ Il est de ls divisé en tois sos-volmes, qi ontiennent tos le mélange dans des états themodynamiqes hos d éqilibe ente e : n L t( S i/ i/ L 3 t( i / Si / L i L L 3 Et on définit les «fations volmiqes» des sos-volmes omme sit : L β,, 3 n i L état moyen dans la ellle lagangienne est alos : n i 3 U β U (VI7 ave U, U,i / U n U i et U 3 U L,i /

152 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes La soltion d oblème de iemann emet finalement de alle les fations volmiqes de β et les états ( T haqe sos-volme U,,,, E La ession est ensite allée à ati de la elation (VI3 On omae s la Fige VI-5 les ésltats obtens ave la méthode de Godnov et la soltion eate mltihasiqe, o le as test ésenté s la Fige VI-3 Pesse (GPa absissa (m Nomal Veloity (m/s absissa (m 4 Mite Density (g/m3 64 Eoy Volme Fation absissa (m absissa (m Eoy Density (g/m absissa (m Sinel Density (g/m absissa (m Fige VI-5 : Tbe à ho éoy-sinel Comaaison de la soltion nméiqe ave ne méthode de Godnov lassiqe (symboles et de la soltion mltihasiqe eate (tait lein Le maillage ontient ellles On note des éats ente la soltion nméiqe et la soltion eate, en atilie s la fation volmiqe d éoy a ho De aisons a moins eliqent e désaod :

153 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes La emièe est liée a aatèe non onsevatif de la fation volmiqe La moyenne (VI7 n a en effet an sens hysiqe o les vaiables non onsevatives La seonde est de a fait qe les fations volmiqes des sos-volmes β vaient losqe les essions dans haqe sos-volme elaent ves la ession d éqilibe d mélange donnée a la elation (VI3, tilisée ave des vaiables moyennes Une vaiation des sos-volmes dans la ellle est en effet assoiée a oesss de elaation des essions, mais elle-i n est as ise en omte a la elation (VI7 Afin de ende en omte les vaiations des fations volmiqes de haqe sos-volme dans la ellle de all, ne méthode lagangienne ls sohistiqée est maintenant déveloée VI3 Méthode lagangienne basée s les éqations d énegie intene Cette méthode séae le all des vaiables de l éolement en de étaes sessives difféentes Tot d abod, le vete des vaiables onsevatives U [ ] T,,, E et ête obten sans oblème, et sans ambigïté, a la méthode de Godnov : n n ( ( U t ( F F U (VI8 i i lag,i / lag,i/ F,,, eésente le fl lagangien où [ ] T lag i / Le vete onsevatif moyen dans la maille est li défini a : U i Ud L évoltion d volme de ontôle est enoe égie a la elation : n n t ( i i i / i/ A ati des vaiables onsevatives allées ave la elation (VI8, on et dédie la densité, la vitesse et l énegie intene e Ensite, on emlae l éqation s la fation volmiqe, non onsevative, et la ontainte de satation a de éqations d évoltion des énegies intenes de haqe hase, elles assi non onsevatives : de dv, (VI9 L intégation des éqations (VI9 dans ne ellle de all i s éit : n n n n e e ~ v v (VI ( i, i, i, i, i, ave n t ( n n v v n dv ~ i,, ne moyenne de ession o la hase dans la ellle i, i, i, t q il fat don détemine Les elations (VI8 emettent de détemine l évoltion de l énegie intene de mélange : n n i i ( ( ( i / i / i/ i/ n n e e ( v n v n i i i i (VI i / i/ On sose alos qe la elation (VI véifie les mêmes oiétés qe la elation (VI, qi égit le sat d énegie intene de haqe hase a taves d ne onde de ho ; est-à-die : Les essions moyennes sont les mêmes o haqe hase : ~ i, ~ ~ i, i ; La onsevation de l énegie totale d mélange est gaantie En sommant les éqations (VI, on monte alos qe l on a : n n n n n n n n Y e Y e Y e Y e ~ Y v Y v Y v Y v (VI ( ( ( ( i, i, i, i, i, i, i, i, i i, i, i, i, i, i, i, i, En ombinant les elations (VI et (VI, on dédit la ession moyenne ~ i : i i /

154 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes n n ( ( ( i / i/ i / i/ ~ i (VI3 i / i/ L évoltion (VI des énegies intenes de haqe hase dans la ellle de all s eime ainsi : n n n n n n n n e i, ( i, v i, e i, ( i, v i, ~ i ( v i, v i, (VI4 En inetant la fome de l éqation d état (VI dans les éqations (VI4, on obtient : n n n v i, v i, ( i (VI5 La onsevation de la masse imose a ailles : n n n v Y v (VI6 i i, i, ( i L éqation (VI6 fonit finalement ne elation non linéaie dont la soltion ondit à la n ession dans la ellle de all i Po ne éqation d état Stiffened Gas, on et monte qe la elation (VI6 s éit : n n n A Y v B A Y v B Y v B n i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, A (VI7 i n n i, n,, v i,, v i,, v i A i, ave ( ( ~ n A i, γ, γ i et B i, ( i γ, ( γ ~ i Po des éqations d état ls omlees, on tilisea ne méthode de Newton-ahson o ésode l éqation (VI6 Une fois qe la ession dans la ellle est déteminée, on alle sans oblèmes les vaiables estantes de l éolement (volme séifiqe, fation volmiqe et La méthode est finalement testée dans les mêmes onditions qe elles de la Fige VI-5 ; les ésltats obtens sont eésentés s la Fige VI-6 Pesse (GPa (m Nomal Veloity (m/s (m

155 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes Mite density (g/m Eoy Volme Fation (m (m Eoy Density (g/m Sinel Density (g/m (m Fige VI-6 : Tbe à ho éoy-sinel Comaaison de la soltion nméiqe ave ne méthode lagangienne basée s les éqations d énegie intene des hases (symboles et de la soltion mltihasiqe eate (tait lein Le maillage ontient ellles Bien qe la méthode nméiqe tienne désomais omte des vaiations de fation volmiqe des sos-volmes a os de la elaation des essions, on obseve enoe des éats ave la soltion eate et le gain n est as meille q ave la méthode de Godnov Il s ensit qe dans les de as, la aison iniale de la non onvegene des méthodes nméiqes emloyées est de à la diffsion nméiqe de l onde de ho Cette diffsion d ho imliqe en effet qe le ho nméiqe est étalé s lsies ellles de all, et q il oesond don à ne session de hos faibles dont les hemins themodynamiqes sont difféents d hemin themodynamiqe de l hgoniot de mélange d système (VI3 Il en éslte ne éatition inoete des énegies intenes o des entoies ente les hases Cette denièe emaqe est le oint de déat de l analyse et de la méthode amélioée oosée dans le ohain aagahe, basée s l intoion de tansfets de hale atifiiels dans la ohe de ho VI33 Méthode lagangienne ave éhanges de hale atifiiels VI33a Analyse de la ohe de ho nméiqe Commençons a aele qelqes emaqes lassiqes s les shémas nméiqes o les éolements monohases Considéons o ela le tbe à ho éédent où le sinel est emlaé a de l éoy Celi-i est don ésent sel dans tot le domaine, à hate ession et à basse ession de at et d ate de l intefae L onde de ho qi se déveloe évole a onséqent dans n milie monohasiqe (m

156 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes Obsevons dans e as le hemin themodynamiqe sivi a le flide dans la ohe de ho nméiqe et eli oesondant à sa obe d hgoniot théoiqe La omaaison est visalisée s la Fige VI-7 45 Pesse (GPa Eoy seifi volme(m3/g Fige VI-7 : Comaaison de la obe d hgoniot nméiqe (symboles et théoiqe (tait lein dans la ohe de ho d n éolement monohase On note qe les hemins themodynamiqes sont omlètement difféents Cei est dû a fait qe la session de hos nméiqes faibles qi se oagent dans la ellle n imose as les mêmes tansfomations themodynamiqes q n niqe ho fot (Coant and Fiedihs (976 De ls les moyennes sessives dans la ellle odisent n état qi ne oesond as à la obe d hgoniot théoiqe Totefois, e hénomène d oigine nméiqe n a ane onséqene s le all des vaiables hoqées Comme le monte la Fige VI-7 la fin de la ohe de ho nméiqe s identifie ave l état final de l hgoniot théoiqe Cette onvegene est ne onséqene des oiétés onsevatives des éqations d Ele Po les éolements mltihasiqes, le même éat ente le ofil dans la ohe de ho nméiqe et l hgoniot théoiqe est obsevé, mais il a maintenant des onséqenes néfastes s les états hoqés, omme nos venons de le voi dans les de aagahes éédents Ce onstat est visible s la Fige VI-8 où sont omaés les ofils de ho nméiqe et la obe d hgoniot théoiqe des flides et d mélange Pesse (GPa Pesse (GPa Eoy seifi volme(m3/g Sinel seifi volme(m3/g

157 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes 9 Pesse (GPa Mite seifi volme(m3/g Fige VI-8 : Comaaison de la obe d hgoniot nméiqe (symboles et théoiqe (tait lein, o haqe hase et o le mélange, dans la ohe de ho d n éolement mltihase Ce désaod est lié ii a degé de libeté slémentaie intodit a la fation volmiqe Nos venons de voi en effet, s la Fige VI-7, qe tot oint dans la ohe de ho nméiqe s éate de l hgoniot théoiqe ; et don, la fation volmiqe allée en e oint ne oa ête bonne Dans e as, l tilisation de l éqation d état d mélange (VI3 ondit assi à ne ession eonée Ces ees se mlant dans la ohe de ho nméiqe, l état final ne oesond ls à l hgoniot théoiqe omme dans le as monohasiqe Afin de oige e oblème on oait envisage ne méthode de sivi de l onde de ho, o Sho Taing (Glimm et al (998, Leveqe and Shye (995, Massoni et al (999 Une ate ossibilité onsiste à oige la éatition des énegies intenes ente hases dans la ohe de ho nméiqe, en intodisant des éhanges de hales atifiiels VI33b Intoion d éhanges de hale atifiiels En ésene d éhanges hale, le modèle mltihasiqe édit à ne vitesse et ne ession de Kaila et al ( s éit en ne dimension d esae : H( T T t t (VI8 t ( ² t E ( E t Les éhanges de hale sont modélisés ave n oeffiient d éhange de hale global H, qi end en omte les onivités themiqes de haqe flide et la sfae d éhange Les éqations d énegies intenes s éivent maintenant : de dv H ( T T Y de dv H ( T T (VI9 Y

158 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes Évidemment, ette modélisation est en aod ave l inégalité d entoie : ( ( T T T T H Y s Y s d ds Po ovoi eime les temes d éhanges de hale sos ne fome difféentielle, on ondit maintenant ne analyse asymtotiqe dans la limite des fots oeffiients de elaation themiqe : ε H H ave ε La elaation themiqe este eendant lente a aot à la elaation méaniqe (Kaila et al ( On sose alos qe haqe vaiable de l éolement admet le déveloement asymtotiqe sivant : f f f ε, où f eésente l état d éqilibe et f ne fltation ato de et état A l ode «ε -» les éqations d énegie intene imosent : T T A l ode es mêmes éqations deviennent : ( T T Y H dv de ( T T Y H dv de est-à-die, si on les eime sos fome d éqations d évoltion des teméates : ( ( T T H T T dt v, ( ( T T H T T dt v, e qi emet d éie la difféene des fltations de teméates sos la fome sivante : ( ( ( T H T T v, v, (VI3 On inete alos l eession asymtotiqe difféentielles (VI3 des éhanges de hale dans le système (VI8-(VI9 En omettant les indies o ls de laté, il vient : t t ( ² t (VI3

159 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes ( ( de dv Y T v, v, ( ( de dv Y T v, v, Le modèle limite (VI3 este natellement en aod ave le seond inie : ( ( ds (VI3 H TT T v, v, Ce modèle ne sea tilisé qe dans la ohe de ho, et l éaisse d ho étant mine, l éqilibe des teméates ne sea as atteint même si la elaation themiqe est fote Pisqe le modèle (VI3 est non onsevatif, l intégation des temes soes s eimant en fontion de la divegene de vitesse este oblématiqe De ls, note bt n est as de taite des éhanges de hale éels, mais des éhanges de hale atifiiels dans la ohe de ho La onsttion d ne méthode nméiqe aohée éaliste s aie don s des onsidéations hysiqes A l intéie de la ohe de ho, totes les vaiables de l éolement qi sont en fate de la divegene de vitesse event s eime en fontion de la vitesse d ho o de tote ate gande themodynamiqe Nos allons a onséqent eime es temes en fontion d volme séifiqe d mélange La onsevation de la masse de mélange et s éie sos la fome sivante : dv v Les éqations d énegie intene d système (VI3 s eiment ainsi : de dv dv ν( v Y de dv ν Y o enoe : de dv dµ Y dv ( v ( v v ( v de dv dµ v (VI33 Y où les fontions ν ( v et µ ( v sont liées a la elation : ν ( v vµ ( v µ ( v La fomlation (VI33 des éqations d énegie intene va failite le intégation et nos monteons n e ls loin q elle emet assi d obteni des ésltats indéendants d maillage onsidéé L intégation des éqations (VI33 dans ne ellle de all s n as de tems donne : - 5 -

160 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes n n n n n n ( v i, v i, η [ µ ( v v µ ( v v ] Q i, n n e i, e i, ~ i Y i, n n n n n n ( v i, v i, η [ µ ( v v µ ( v v ] Q i, n n e i, e i, ~ i Y i, (VI34 si < ave η sinon La fontion η gaantit ainsi qe les éhanges de hale atifiiels ne seont tilisés qe dans la ohe de ho La femete de la méthode néessite finalement la détemination de la fontion µ ( v, qi fait l obet d ohain aagahe Une fois qe ette fontion est onne, le shéma nméiqe sit alos la oéde sivante : Les vaiables onsevatives sont allées ave la elation (VI8 La ession moyenne dans la ellle est estimée a la elation (VI3 Les énegies intenes de haqe hase sont déteminées ave les elations (VI34, qi emlaent maintenant l tilisation des éqations (VI4 dans la méthode éédente La ession dans la ellle n est ls alos allée a la elation (VI7, o ne éqation d état Stiffened Gas, mais a la elation sivante : n A i, v i,b i, ( γ Q i, Yi, n,, v i n ( γ n A i, v i,b i, Q i, Y (VI35 i i, n,, v i n v B ( γ Q i, i, i, A i, Yi, n,, v i A i, ave ( ( ~ n A i, γ, γ i et Bi, ( i γ, ( γ ~ i La méthode déveloée est toos testée s le oblème de tbe à ho de la Fige VI-6, et les ésltats oesondants sont eésentés s la Fige VI-9 Pesse (GPa (m Nomal Veloity (m/s (m - 5 -

161 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes Mite density (g/m Eoy Volme Fation (m (m Eoy Density (g/m Sinel Density (g/m (m Fige VI-9 : Tbe à ho éoy-sinel Comaaison de la soltion nméiqe ave ne méthode lagangienne ontenant des éhanges de hale atifiiels dans la ohe de ho (symboles et de la soltion mltihasiqe eate (tait lein Le maillage ontient ellles On note ne nette amélioation des ésltats losq on intodit des éhanges de hale atifiiels dans la ohe de ho L aod ave la soltion eate est désomais tès bon On monte enfin s la Fige VI- qe la soltion oesondante est indéendante d maillage onsidéé (m Mite density (g/m Eoy Volme Fation (m (m

162 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes 4 Mite density (g/m3 64 Eoy Volme Fation (m (m 4 Mite density (g/m3 64 Eoy Volme Fation (m Fige VI- : Tbe à ho éoy-sinel Comaaison de la soltion nméiqe ave ne méthode lagangienne ontenant des éhanges de hale atifiiels dans la ohe de ho (symboles et de la soltion mltihasiqe eate (tait lein De hat en bas, le maillage ontient, et ellles VI33 Détemination de la fontion d éhange de hale µ(v Po n mélange dihasiqe donné (le mélange éoy-sinel a eemle déit a n état initial ( v,,, Y,, la fontion µ(v est onstite as à as gâe à ne aoimation linéaie a moea Cette méthode de onsttion est basée s la omaaison des ésltats obtens ave la méthode éédente et des elations de ho mltihasiqes (VI3 Po les hos faibles, ane oetion n est néessaie, et a onséqent, s le domaine [ v ; v ], la fontion µ(v est nlle ; où v eésente le volme séifiqe limite o leqel la méthode nméiqe sans éhanges de hale atifiiels fonit des ésltats oets en aod ave la soltion eate Losqe l intensité d ho agmente, sq à n volme séifiqe v, la fontion µ(v est aoimée a ne elation linéaie µ ( v a( v v La ente a est ii déteminée de manièe à e qe la méthode ave éhanges de hale onvege ves la soltion eate s le domaine de volme séifiqe [ v ; v ] Ensite, o n novea volme séifiqe v 3, on aoime la fontion µ(v a ne novelle elation linéaie µ ( v a ( v v µ ( v La ente a est maintenant déteminée de manièe à avoi n aod afait ente les ésltats nméiqes et la soltion eate s le novea v ; domaine de volme séifiqe [ ] v 3 (m

163 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes On éète ainsi ette oéde ne dizaine de fois s le domaine de volme séifiqe [ ; ] qi nos intéesse ; ave v le volme séifiqe maimm o le domaine de ession onsidéé Dans note eemle, le domaine de ession vaie de atm à atm La fontion µ(v linéaie a moea oesondante est ensite aohée a ne fontion 7 3 édite, qi s éit ii µ ( v e( v 583 v 59 o n domaine de volme séifiqe vaiant de 65-4 m 3 /g à 46-4 m 3 /g Ce domaine oesond à des vitesses d imat allant de à 4 m/s et des essions allant de atm à 88 atm La elation aoimée et la obe fittée à ati de elle-i sont visalisées s la Fige VI- v v 5 M(v (GPa v (m3/g Fige VI- : Vales de la fontion linéaie a moea aoimée µ(v (symboles et de la obe aohée fittée s ette denièe (tait lein La fontion fittée µ est ensite dietement tilisée dans le shéma nméiqe, dans les elations (VI34 s les évoltions des énegies intenes de haqe hase On obtient alos n eellent aod ave la soltion eate Totefois, etaines estitions sont tot de même à note : La fontion µ n est valide qe o des ondes de ho qi se oagent dans n mélange v,,, Y ; dont l état initial est (, Son eession n est valide qe o le shéma nméiqe tilisé o la alibation de la fontion µ ; e qi n est as senant a haqe méthode nméiqe ossède sa oe diffsion nméiqe Ainsi, si l ode de la méthode nméiqe est amélioé, il fat edétemine la fontion µ ave la oéde qi vient d ête établie VI34 Méthode eléienne Un shéma nméiqe eléien est déivé de la méthode lagangienne éédente en oetant la soltion obtene s ne gille eléienne Ceendant la ésene d ne vaiable non onsevative intedit l tilisation d ne méthode de oetion lassiqe, omme la oetion de Godnov a eemle Une méthode de elaation-poetion séifiqe a été o ela déveloée dans le Chaite V o les éqations d Ele Cette méthode se base stement s ne desition mltihasiqe des difféents états ésents dans ne ellle de all Elle est don étende ii a ontete des mélanges mltihasiqes VI34a Système de elaation La oagation des bods de ellle lagangienne dans les ellles eléiennes délimite n maimm de 3 sos-volmes dans haqe ellle de all, omme le monte la Fige V

164 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes Ces sos-volmes sont ii des segments dont la longe est donnée a la vitesse des bods de maille lagangienne : L ma(, i / t L 3 min(, i / t L i L L 3 Les longes nomalisées s aaent alos à des fations volmiqe de haqe segment : L β,,3 i Dans note ontete, l éolement est mltihasiqe : ela signifie don qe haqe sos-volme ontient maintenant lsies hases ave des fations volmiqes Dans la ellle eléienne, on a don 3 états mltihasiqes hos d éqilibe ente e, qi sont déits a la soltion de l éolement dans les ellles lagangiennes obtene ave la méthode éédente La détemination des gandes moyennes de l éolement dans la ellle eléienne evient don à hehe l état d éqilibe qi éslte de l inteation des sos-volmes ente e Cet état d éqilibe ne oesond q à n éqilibe méaniqe : les essions et les vitesses dans haqe sos-volme elaent ves ne ession et ne vitesse d éqilibe, mais les teméates de haqe flide dans haqe sos-volme estent hos d éqilibe Le système de elaation mltihasiqe s éit finalement : β δ ( I τ Z β τ β ave τ β τ I E δz ( I δ IZ Z Z et I ( ( I Z I (VI36 Z I (VI37 Z et désigne la fation volmiqe de la hase dans le sos-volme La soltion asymtotiqe d système (VI36 losqe τ fonit alos l état d éqilibe méaniqe elaé En ote, on et monte failement qe le système (VI36 gaantit les inies de onsevation d mélange et esete le seond inie Ii enoe, isqe sel l état asymtotiqe elaé nos intéesse, n intégation omlèe d système (VI36 s le sedo-tems τ n est as tile L intégation aohée des éqations d énegie intene s éit ainsi : e e ˆ v v q (VI38 I ( ave q ( ( û ( I Le hoi des vaiables intefaiales moyennes est lié a ontaintes sivantes : La onsevation de l énegie totale de mélange ; L inégalité d entoie

165 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes Po les éqations d Ele, on a monté qe les estimations û I et ˆ I étaient sffisantes o satisfaie les de onditions i-desss, et q elles étaient assez éises o onstie n shéma nméiqe o les éolements monohases Po les éolements mltihasiqes, es estimations sont toos des fomes admissibles des vaiables intefaiales moyennes Elles gaantissent évidemment la onsevation de l énegie d mélange et le signe de l inégalité d entoie Des aoimations ls omlees ont assi été testées, mais les ésltats obtens sont e difféents, don nos etenons la fome sivante : û I et ˆ I (VI39 VI34b Algoithme Notons ii ave n indie les gandes dans les sos-volmes oesondants a ellles lagangiennes, et ave n indie * les gandes oesondantes dans l état elaé La onsevation de la masse d mélange imliqe : β β (VI4 Et la onsevation de la masse de haqe esèe : ( β β ( ( (VI4 La onsevation de la qantité de movement d mélange imose : β β (VI4 L état elaé étant aatéisé a ne vitesse niqe, la elation (VI4 fonit dietement la vitesse elaée : β (VI43 β La détemination de la ession elaée eqiet a onte l tilisation des éqations d état de e e v, haqe hase : ( Dans ne ellle donnée, la ession et les volmes séifiqes de haqe hase dans haqe sos-volme v foment n système de 3N éqations, où N est le nombe total de hases Les elations (VI38, ave les aoimations (VI39, donnent 3N éqations : e ( ( ( v, e v v (VI44 La denièe elation est obtene à ati de la ontainte de satation : β m v ( (VI45 où m eésente la masse de la hase ontene dans le sos-volme Le système d éqations (VI44 (VI45 est n système non linéaie q on ésot ave ne méthode de Newton-ahson Patiqement, le oesss itéatif ne déend qe de la ession elaée et ette méthode n est as tès oûtese d n oint de ve d tems de all Totefois, il est malgé tot ossible de emlae ette oéde itéative a ne elation algébiqe si il n y a as de gadients de ession to fots dans l éolement Losqe Ma ( < ε, ave tyiqement ε, l éqation d état d mélange (VI3 et ainsi se mette sos la fome :

166 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes γ β e β γ (VI46 β γ VI34 Eemles i Advetion d ne disontinité Une disontinité de fation volmiqe, et don de densité de mélange, est advetée a n éolement à vitesse et à ession nifomes Initialement, la disontinité de ontat est sitée en 5 m, dans n tbe de m de long Elle séae de états oesondants à des flides 3 esqe s : de l ea liqide à gahe à la densité g m dont les aamètes 8 3 d état sont γ ea 4 4 et P, ea 6 Pa, de l ai à doite à la densité ai g m dont les aamètes d état sont γ ai 4 et P, ai Pa A gahe la fation volmiqe d ea est fiée à ea ε et à doite à ea ε, ave ε 8 Dans tot le domaine, la ession est de 5 Pa et la vitesse de m/s La soltion nméiqe est eésentée s la Fige VI- à l instant t 79 ms On tilise ne méthode d ode dans la hase lagangienne et dans la hase de oetion, détaillées dans l Annee F An éhange de hale atifiiel n est tilisé ea Pesse (ba Nomal Veloity (m/s (m (m Mite density (g/m (m Wate Volme Fation (m

167 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes 45 Mah Nmbe (m Fige VI- : Advetion d ne disontinité de fation volmiqe dans n éolement nifome en vitesse et en ession Comaaison de la méthode de elaation-poetion d ode ave des limites Sebee (symboles et de la soltion eate (tait lein Maillage de ellles L aod ave la soltion eate est eellent, et la soltion ne ésente as d osillations, eetées s le nombe de Mah Cette vaiable tadit totefois n omotement intéessant : isqe la fation volmiqe vaie dans l intefae, la vitesse d son de mélange vaie elle assi, ave n omotement non monotone, omme on le aelle s la Fige VI-3 8 Wood seed of sond (m/s Volme fation of ai Fige VI-3 : eésentation de la vitesse d son d éqilibe d mélange Il en éslte ne imotante vaiation d nombe de Mah dans la zone de diffsion atifiielle de l intefae Il eiste laiement n oint soniqe dans l intefae, même dans les onditions d éolement does onsidéées ii Ce onstat met en avant ne ate aatéistiqe imotante de la méthode, isqe an taitement séifiqe n a été néessaie o les oints soniqes ; e qi n est as le as des méthodes eléiennes lassiqes ii Intefae ente flides esqe s Nos onsidéons maintenant n eemle dans la limite monohase d modèle, afin de véifie qe la méthode nméiqe fonit des ésltats onvegents s des oblèmes à intefaes On eend o ela l eemle de la Fige VI-, dont la soltion est visalisée s la Fige VI-4 On tilise n maillage de ellles La méthode est toos d ode et ne ontient as d éhanges de hale atifiiels

168 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes Pesse (GPa (m Nomal Veloity (m/s (m Mite density (g/m Wate Volme Fation (m (m 35 Mah Nmbe (m Fige VI-4 : Tbe à ho liqide-gaz Comaaison de la méthode de elaation-poetion d ode ave les limites VanLee et Sebee (symboles et de la soltion eate (tait lein On obseve n tès bon aod ave la soltion eate La méthode gèe sans diffilté la ésene de l intefae, ainsi qe la ésene d n oint soniqe iii Poblème de tbe à ho ente de mélanges Le denie eemle onene n oblème de tbe à ho ente mélanges, dont les onditions sont elles de la Fige VI-3 Les ésltats, visalisés s la Fige VI-5, sont obtens ave ne méthode d ode en ésene d éhanges de hale atifiiels, s n maillage de ellles - 6 -

169 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes Pesse (GPa (m Nomal Veloity (m/s (m 4 Mite density (g/m3 6 Eoy Volme Fation (m Eoy Density (g/m (m Sinel Density (g/m (m (m Fige VI-5 : Tbe à ho éoy-sinel Comaaison de la méthode nméiqe d ode, ave limites VanLee et Sebee, ontenant des éhanges de hale atifiiels dans la ohe de ho (symboles et de la soltion mltihasiqe eate (tait lein Le maillage ontient ellles On onstate n aod eellent ente la méthode nméiqe et la soltion eate Une emaqe imotante s imose ii : la méthode eléienne ésentant ne diffsion nméiqe d ho difféente de elle de la méthode lagangienne tilisée s l eemle de la Fige VI-9, la fontion µ doit ête eonstite La oéde est inhangée et este identiqe à elle ésentée dans le aagahe éédent ; la fontion µ oesondante est eésentée s la Fige VI-6-6 -

170 Chaite VI : Méthode nméiqe o les éolements mltihasiqes 35 M(v (GPa v (m3/g Fige VI-6 : Vales de la fontion linéaie a moea aoimée µ(v (symboles et de la obe aohée fittée s ette denièe (tait lein o la méthode eléienne VI4 Conlsion Nos avons étend la méthode de elaation-poetion a éolements mltihasiqes hyeboliqes non onsevatifs en s ayant s les oints sivants : A ati d ne démahe similaie à elle oosée o les elations de ho mltihasiqes a Sael et al (6a, aelée a Chaite I, il est ossible de onstie n solve de iemann eat et aohé o le modèle mltihasiqe Le aatèe non onsevatif d modèle ose néanmoins d imotantes diffiltés en ésene de hos fots Afin de gaanti la bonne éatition des énegies intenes dans la ohe de ho, des éhanges de hale atifiiels sont intodits dans elle-i Une analyse asymtotiqe a alos emis de les eime sos fome difféentielle, e qi emet d eliite les elations s les énegies intenes de haqe hase Finalement, le shéma nméiqe ombine n solve de iemann aohé et des éhanges de hale atifiiels dans la ohe de ho On l étend alos en ne méthode eléienne de elaation-poetion Ainsi, on disose désomais d ne méthode nméiqe obste, aide et onvegente o les mélanges mltihasiqes Nos allons don envisage maintenant l intégation nméiqe des effets hysiqes slémentaies abodés dans les Chaites II à IV - 6 -

171 Chaite VII Etensions de la méthode nméiqe a éolements mlti-dimensionnels éatifs, en ésene d effets aillaies éventels

172 - 64 -

173 Chaite VII : Etension de la méthode nméiqe et aliations diveses VII Intoion Ce haite s intéesse inialement à la ise en omte dans le shéma nméiqe des difféents hénomènes hysiqes slémentaies déveloés dans le ade d modèle mltihasiqe à ne vitesse et ne ession (éhanges de hale, tansfets de masse et effets aillaies, ainsi q à son etension en lsies dimensions d esae L intoion sessive d effets hysiqes difféents a été faite de manièe indéendante et en favoisant des modélisations failement imlémentables Les hénomènes étant indéendants, ils event ête intodits l n aès l ate, e qi va nos emette de stte le Chaite omme sit : La emièe étae onsiste avant tot à étende la méthode nméiqe à lsies dimensions d esae Celle-i est alos tilisée s lsies simlations mltidimensionnelles d éolements himiqement inetes, sans effets aillaies, mais en ésene d intefaes matéielles Le oint sivant onene le taitement des éolements éatifs Le modélisation fait inteveni des systèmes d éqations non onsevatives, omenant des temes soes L intégation de es temes soes néessite ne oéde adatée, assant la stabilité d shéma nméiqe et de la soltion Difféents eemles d éolements éatifs monodimensionnels o mltidimensionnels sont finalement abodés, et omaés a soltions de éféene disonibles La denièe étae onene les effets aillaies Dans le Chaite IV, nos avons v qe le intoion dans le modèle d éolement modifiait omlètement son omotement hydodynamiqe et themodynamiqe, et néessitait de défini de novelles elations de femete De la même manièe, le shéma nméiqe déveloé sq ii deva ête adaté o ende en omte es effets On onsidèe alos lsies aliations sessives : o Des oblèmes à intefaes o des éolements inetes monodimensionnels, dont les soltions sont omaées a soltions eates disonibles o Des oblèmes de oagation d ondes de ho dans des milie mltihasiqes o Des éolements éatifs monodimensionnels, is mltidimensionnels VII Etension mltidimensionnelle d shéma nméiqe On donne ii les éléments néessaies à l etension à lsies dimensions d esae d shéma nméiqe déveloé dans le Chaite VI On se lae dans le as d éolements inetes Cela signifie qe dans haqe volme de ontôle, nos allons ésode le système d éqations sivant : t ( t t ( ( (VII

174 Chaite VII : Etension de la méthode nméiqe et aliations diveses E ( E t N ( N t Le système d éqations (VII est hyeboliqe mais non onsevatif en aison d seond membe dans l éqation s la fation volmiqe Nos avons v dans le Chaite VI qe sa ésoltion nméiqe ne ovait s aye s les méthodes lassiqes, mais néessitait de déveloe ne novelle méthode nméiqe Celle-i onsiste à ésode, dans haqe ellle de ontôle, n oblème de elaation ves l éqilibe méaniqe des difféents états hos d éqilibe ésents aès assages des difféentes ondes L etension de ette méthode à lsies dimensions d esae onsiste à déveloe l oéate v selon haqe dietion On tilise alos ne oéde de dietions altenées, o taite altenativement haqe dimension satiale à l aide d shéma de elaation défini éédemment n Dans haqe maille d domaine de all, le vete des vaiables U i évole ainsi s n as de tems selon le shéma sivant : n n U L U (VII i HYPEBOLIQUE [ ] i L oéate L HYPEBOLIQUE intège le système d éqations (VII selon ne méthode de dietions altenées Il et don s éie : n n L U L L L U (VII3 HYPEBOLIQUE [ ] [ ] i X Y Z i Les difféents oéates L X, L Y et L Z imliqés ii taitent les difféentes dimensions selon la oéde déveloée dans le Chaite VI, et oesondent don à l aliation sessive de de oéates : L L L (VII4 X POJECTION LAGANGE Les oéates L POJECTION, et L LAGANGE, déteminent l état elaé d n système hos d éqilibe dans les mailles eléiennes, et lagangiennes, selon la oéde de elaation déite ls hat Les états hos d éqilibe onenés sont aas site à la oagation dans la maille de difféentes ondes : Po les mailles eléiennes, es ondes oesondent a vitesses des bods de mailles lagangiennes Ces vitesses sont ainsi égales a vitesses des mailles lagangiennes oesondantes, obtenes à l isse de l étae lagangienne Po les mailles lagangiennes, es ondes oesondent a difféentes ondes (ho o détente ésentes s haqe bod de maille Celles-i sont déteminées en ésolvant n oblème de iemann mltihasiqe s haqe fontièe On tilise o ela n solve aohé (solve ho-ho, basé s les elations de anine-hgoniot mltihasiqes oosées dans le Chaite I VII Poblèmes ésentant des syméties Le système d éqations (VII n est as selement limité a géométies atésiennes On vet, a eemle, ovoi onsidée des oblèmes D shéiqes (elosion d ne hage dans l ai o dans l ea o des oblèmes mltidimensionnels ésentant etaines syméties (hage ylindiqe, blle shéiqe La ise en omte de es effets géométiqes et ête dietement obtene à ati de la soltion dans n eèe de oodonnées atésiennes Ce tye de méthode est emloyé deis longtems, atilièement o les méthodes a difféenes finies Il onsiste à déveloe l oéate dans le système de oodonnées adéqates, is de onsidée les temes géométiqes slémentaies omme des temes soes Les EDO assoiées sont alos

175 Chaite VII : Etension de la méthode nméiqe et aliations diveses intégées en tilisant ne statégie de slitting (Stang (968, qi emet de ésente le système (VII sos la fome sivante : U atésien F Hgéométiqe( U,, θ t Fomellement, on ésot don le système (VII omme déit dans les étaes (VII à (VII4 On intège ensite n système d EDO, dont les seonds membes sont fontions de la géométie d oblème VII Aliation : inteation d ne onde de ho ave ne blle de gaz difféent d milie ambiant Cet eemle onene la modélisation d instabilités de ihtmye-meshov Elles se enontent a intefaes ente de flides difféents, somis à ne aéléation imlsionnelle (onde de ho, a eemle Le aaition est liée à ne oion de votiité dans l éolement, a nivea des inhomogénéités de densité, ésltant de la non olinéaité d gadient de ession éé a le ho et d gadient de densité a nivea de l intefae On se lae dans la onfigation déite dans la Fige VII- Fige VII- : eésentation shématiqe de l inteation d ne onde de ho ave ne blle ontenant n flide difféent d flide ote VIIa Cas lod/lége : blle d hélim dans l ai Le flide, ii l hélim, est ls lége qe le flide, l ai Les aamètes d all sont : 3 3 9g/ m 67g/ m γ 4 γ 667 Initialement, le domaine est a eos et à la ession atmoshéiqe 5 35 Pa L onde de ho inidente a n nombe de Mah M 5 On onsidèe n domaine omosé de 4 ellles dans la dietion vetiale, et de ellles dans la dietion hoizontale L évoltion de la disontinité a os d tems est visalisée s la Fige VII- On omae les ofils nméiqes, à doite, ave les obsevations eéimentales (Layes (4, à gahe

176 Chaite VII : Etension de la méthode nméiqe et aliations diveses Fige VII- : Inteation d ne onde de ho ave ne blle d hélim Comaaison des ofils de densité eéimenta (olonne de gahe, d aès Layes (4, et de la nome d gadient de la densité (olonne de doite La simlation est en aod ave les eéienes Les difféentes ondes aaaissant los de l inteation sont tès bien déites, de même qe le etonement de la blle et le tansfet de matièe de l etéie ves l intéie de la blle, dans le sens de l éolement VIIb Cas lége/lod : blle de yton dans l ai On onsidèe maintenant le as où le flide, le yton, est ls lod qe le flide, l ai Les aamètes sont alos : 9 g / m g / m 3 Les ates vaiables d oblème sont inhangées a aot a as éédent La Fige VII-3 eésente l évoltion temoelle de la soltion On omae enoe les ofils nméiqes, à doite, ave les obsevations eéimentales (Layes (4, à gahe

177 Chaite VII : Etension de la méthode nméiqe et aliations diveses Fige VII-3 : Inteation d ne onde de ho ave ne blle de yton Comaaison des ofils de densité eéimenta (olonne de gahe, d aès Layes (4, et de la nome d gadient de la densité (olonne de doite On note enoe n bon aod Les vitesses d ondes d oblème sont bien allées ; le omotement de la blle de yton qi se défome en ointe s sa fae avant et les tobillons ontaotatifs qi se déveloent de at et d ate de ette défomation sont bien déits VII3 Aliation : imat d n oetile s ne ve On monte maintenant la aaité de la méthode à simle des oblèmes mltihasiqes omlees s l eemle, himiqement inete, shématisé s la Fige VII-4 Ai Cve en ive 5 mm 4 mm V Gaz éel Solide inete 5 mm 8 mm 5 mm 6 mm 5 mm Fige VII-4 : eésentation shématiqe d n oblème mltihasiqe omlee Un oetile imate à gande vitesse ne ve emlie d n gaz éel (éqation d état JWL et d n solide inete (éqation d état Cohan-Chan L enveloe de onfinement est omosée de ive (éqation d état Stiffened Gas, et entoée d ai (loi d état des gaz afaits

178 Chaite VII : Etension de la méthode nméiqe et aliations diveses Cet eemle fait inteveni 4 flides : l ai ambiant, le ive de l enveloe et d oetile, le gaz éel et n solide inete Chan est égi a ne éqation d état difféente : la loi des gaz afaits o l ai, ne EOS Stiffened Gas o le ive, ne EOS Mie-Güneisen de tye JWL o le gaz éel et ne EOS Mie-Güneisen de tye Cohan-Chan o le solide inete Il aaaît en ote de nombe oblèmes à intefaes L éolement est o l instant himiqement inete Initialement l ensemble d domaine est a eos (homis le oetile, se délaçant à la vitesse de 5 m /s et à ession atmoshéiqe Dant le all, les aots de densités vaient ente 4 et Les données initiales o haqe flide sont : Ai 3 g / m γ 4 Cive 3 9 g / m γ Pa ( ( L éqation d état Mie-Güneisen s éit : e e (, où e ( et (,, sont des fontions qi désignent l énegie intene et la ession définies a oint de éféene Gaz éel 3 59 g/ m e, ( A ef e ef A ef, ( A e A e 35 9 A 3539 Pa et A Pa 45 et Pa et ef 59 g/ m Solide inete 3 95g / m e, ( ef A E ef e ( E ( E E E, ( A A ef ef 93 A 87 Pa et A 34 Pa E 4 et E 3 ef ef A ef ef ef 3 ef 95g / m Dans les zones où ils sont minoitaies, les flides sont ésents initialement ave ne fation volmiqe de -8 On onsidèe n domaine de 55 ellles, et ne ondition CFL de 45 Les ésltats sont visalisés à lsies instants sessifs s la Fige VII-5 E ef ef ef,, - 7 -

179 Chaite VII : Etension de la méthode nméiqe et aliations diveses Fige VII-5 : Imat a n oetile métalliqe d ne ve ontenant des odits de détonations et n matéia énegétiqe inete Contos de la nome d gadient de densité de mélange à difféents instants - 7 -

180 Chaite VII : Etension de la méthode nméiqe et aliations diveses VII3 Intégation des temes soes éatifs La statégie emloyée eose s ne méthode de séaation des oéates (slitting de Stang (968 On taitea séaément les difféents hénomènes hysiqes d oblème (ave ne étae hydodynamiqe, is ne ise en omte des éhanges de hale et de masse, s n même as de tems global t Le shéma se déomose omme sit : Une étae hydodynamiqe Elle onsiste à intége le modèle mltihasiqe inete, égi a le système d éqations (VII La méthode vient d ête déite i-desss, a aagahe VII Le taitement des tansfets de hale et de masse A l isse de l étae hydodynamiqe, la soltion a évolé d vete de vaiables U dans haqe volme de ontôle i, à l instant n i n n, a vaiables U ~ i dans le même volme de ontôle à l isse d as de tems t Pisq ils ont été momentanément déolés des effets hydodynamiqes, les temes de tansfet inteviennent a seond membe d n système d EDO, q il va falloi intége : Q m m Q ( t Ψ Y Y& Ψ(Y t t E (VII5 t N t Q h m Ψ( t n Et qi admet o onditions initiales : i U ~ U (t i Dans le système (VII5, l intégation des temes soes est onditionnée a le tems aatéistiqe des tansfets mis en e En effet eli-i doit gaanti la stabilité de la soltion : il doit asse la ositivité des fations volmiqes et massiqes et, dans le as où des gaz sont ésents, mainteni ne ession ositive On et alos détemine n as de tems aatéistiqe itiqe, tel qe : it Y t Min t, t ( Y si Ψ( > Ψ où ( si Ψ(Y > Y Ψ(Y t et t Y Ψ( Ψ(Y Si le tems aatéistiqe itiqe est tès gand devant eli de l étae hydodynamiqe, l intégation d système d ODE est tiviale : n intégate d ode o sffit Dans le as ontaie, les éqations sont onsidéées omme aides Le intégation néessite alos d aste le as de tems loalement, afin de mainteni la éision de la soltion globale - 7 -

181 Chaite VII : Etension de la méthode nméiqe et aliations diveses Aès avoi déteminé le as de tems itiqe, on alle le sos as de tems t Ψ omme ne fation d as de tems limite (tyiqement la moitié Dans e as, on déit sintement les difféentes étaes de l intégate himiqe : On avane la soltion s n sos-as de tems ; Les sos as de tems étant enhaînés les ns deièe les ates, il fat assi s asse qe la somme des sos as de tems loa ne déasse as le as de tems hydodynamiqe ; 3 On intège le système (VII5 s le sos-as de tems loal ; 4 On alle le sos-as de tems sivant à ati d n novea as de tems limite, en tilisant les itèes de ositivité éédents ; 5 Si la soltion est ohe d ne ombstion totale, on aête les sos déoages en as de tems et on sot de la oéde d intégation Sinon, on osit ave le sos-as qi vient d ête allé L aliation de et oéate emet finalement d obteni la soltion globale d vete de vaiables n U i, s n as de tems t VII3 Aliation : détonations mltihasiqes en D lan Les eemles qi sivent ont été obtens ave la méthode qi vient d ête abodée, o le taitement des temes soes éatifs Il s agit don de ésltats instationnaies Losqe le égime sea établi, on omaea la zone de éation obtene (ente le i de Nemann et le oint soniqe ave les soltions d all de stte intene d ondes de détonation mltihasiqe, établies a Chaite II et a Chaite III VII3a Mélange de de flides égis a des EOS difféentes Le emie eemle onene ne détonation dihasiqe, ente n gaz afait et n matéia égi a ne EOS Stiffened Gas Les aamètes de la simlation sont : γ 3 γ 4 P Pa P 9 Pa Cv J/g/K Cv 4 J/g / K 3 6 g / m e f 368 MJ/g 6 g / m e f MJ/ g Les fations volmiqes initiales sont : 8 8 Les éhanges de hale ente haqe flide se font ave n oeffiient d éhange global ondéé a le fation volmiqe, qi évole don a os de la éation et est difféent o les de hases Cette modélisation set à efléte les évoltions des sfaes séifiqes d éhange On a alos : 3 H H ave H W / K Enfin, les lois inétiqes sont données a : 6 Y& Y Y & Y& On onsidèe n domaine D de 3 m de longe, a eos et à la ession atmoshéiqe En aoi gahe d domaine, on a ne ondition de tye iston ave ne vitesse de m/s Le all est fait s n maillage de ellles, ave ne ondition CFL de 45 La soltion à l ode est visalisée aès as de tems, s la Fige VII-6 Les ofils nméiqes (ointillés sont omaés à la soltion «eate» (tait lein, obtene a intégation ente le font de ho inete et la zone soniqe des EDO, tel qe déits dans le Chaite II

182 Chaite VII : Etension de la méthode nméiqe et aliations diveses 45 Pesse (GPa 35 Nomal Veloity (m/s (m Mite density (g/m (m Volme Fation of hase (m Density of hase (g/m (m Mah Nmbe (m Mass Fation of hase (m Density of hase (g/m (m (m

183 Chaite VII : Etension de la méthode nméiqe et aliations diveses 7 Temeate of hase (K 6 Temeate of hase (K (m D (m/s tems (mioseondes (m Fige VII-6 : Pofil des vaiables d ne détonation dihasiqe ave éhange de hale, ente n gaz afait et n matéia égi a ne EOS Stiffened Gas Comaaison de la soltion nméiqe (ointillé ave la soltion eate (tait lein, dans la zone de éation On onstate n aod afait s les gandes de mélange, et o le all de la vitesse de détonation stable On emaqe en ote des difféenes s les densités, et don s les teméates, de haqe hase Totefois, on note qe es éats se odisent niqement dans les zones où le flide onsidéé est minoitaie ; l aod estant eellent losq il est maoitaie Ainsi, la densité d éatif solide est afaitement déteminée a i de Nemann, tandis qe elle des odits onnaît qelqes éats Ato de l état CJ, le omotement invese est obsevé VII3b Détonation mltihasiqe à 3 flides On onsidèe ii ne détonation mltihasiqe Les aamètes de la simlation sont : γ 3 γ 4 4 γ 3 P Pa P 9 Pa P 3 Pa Cv J/g /K Cv J/g / K Cv 3 3 J/g / K 3 6 g / m e f 4556 MJ/g 6 g/ m g / m e f MJ/ g ef MJ/ g 3 Initialement, les flides sont ésents ave ne fation volmiqe : Les lois inétiqes sont égies a les elations : 6 Y& Y Y & Y& Y& 3 Totes les ates gandes sont inhangées a aot à l eemle éédent La soltion nméiqe (ointillés est visalisée s la Fige VII-7 et omaée à la soltion «eate» (tait lein

184 Chaite VII : Etension de la méthode nméiqe et aliations diveses 45 Pesse (GPa 35 Nomal Veloity (m/s (m Mite density (g/m (m Volme Fation of hase (m Mah Nmbe (m Volme Fation of hase (m Volme Fation of hase (m (m

185 Chaite VII : Etension de la méthode nméiqe et aliations diveses 8 Mass Fation of hase 8 Mass Fation of hase (m Mass Fation of hase (m (m Density of hase (g/m (m Density of hase 3 (g/m (m Density of hase (g/m (m

186 Chaite VII : Etension de la méthode nméiqe et aliations diveses 7 Temeate of hase (K 4 Temeate of hase (K (m 3 Temeate of hase 3 (K (m (m D (m/s tems (mioseondes Fige VII-7 : Pofil des vaiables d ne détonation mltihasiqe ave éhange de hale, ente tois matéia Comaaison de la soltion nméiqe (ointillé ave la soltion eate (tait lein, dans la zone de éation L aod est enoe afait ente la soltion nméiqe et la soltion de éféene o les vaiables de mélange et la vitesse de détonation stable Ii assi, les seles difféenes onstatées oviennent des densités, et des teméates, des flides en ootion minoitaie dans le mélange Les ates flides sont oetement déits et l aod ave la soltion de éféene est eellent VII3 Aliation : détonations mltihasiqes mltidimensionnelles On vient de monte l atitde de la méthode à eodie la zone de éation d ondes de détonation mltihasiqe ave éhanges de hale On va don onsidée maintenant des simlations de oblèmes d ondes de détonation mltihasiqe bidimensionnelles, en ésene d intefaes matéielles

187 Chaite VII : Etension de la méthode nméiqe et aliations diveses VII3a Détonation en atohe On onsidèe tot d abod le as d n elosif onfiné dans ne eneinte de ive, somise à l imat d n oetile (en ive lané à gande vitesse La sitation, analoge à elle d as inete de la Fige VII-4, est shématisée s la Fige VII-8 Fige VII-8 : eésentation shématiqe de l imat a oetile d n elosif onfiné dans ne ve métalliqe L imat indit a le oetile va ée ne onde de ho dans l enveloe de onfinement, qi va ensite ête tansmise à l elosif L onde de ho qi se déveloe est fotement bidimensionnelle, et va initie les éations himiqes dans le matéia énegétiqe Il va alos se déveloe ne onde de détonation a sein de eli-i Ce oblème fait inteveni 4 flides : l elosif et les odits de détonation, l ai ambiant et le ive de la atohe et de l imate L elosif (hase solide, les odits de détonation (hase gazese et l ai sont modélisés a la loi d état des gaz afaits Le ive (hase solide sea modélisé a ne éqation d état Stiffened Gas Les aamètes esetifs sont donnés dans le tablea i-dessos : Podits Elosif Cive Ai γ P Pa 34 8 ( Cv ( J/g/K ( g/ m ( MJ/g e f Tablea VII- : Poiétés des difféents flides intevenant dans le test de détonation en atohe Dans les zones où les flides sont minoitaies, le fation volmiqe initiale est fiée à -8 Les tansfets de hale ente haqe flide se font difféemment d all D, ave les oeffiients : H H 6 ave H W/ K

188 Chaite VII : Etension de la méthode nméiqe et aliations diveses Les éations himiqes se assent niqement ente les hases et, qi eésentent les odits de détonation et l elosif solide Les lois inétiqes tilisées sont : 6 Y Y & & & Y& & Y Y Y3 4 5 Initialement, la ession est nifome ( Pa dans tot le domaine La vitesse d imat d oetile est V m/ s L éolement onsidéé ésente ne symétie aiale (le long de l ae de la atohe, on ne simle don qe sa atie séiee Le maillage tilisé omote ellles le long de l ae et 5 le long de l ae y, et la ondition CFL est de 45 Les ésltats sont ésentés à difféents instants s la Fige VII-9-8 -

189 Chaite VII : Etension de la méthode nméiqe et aliations diveses Fige VII-9 : Imat à gande vitesse d ne atohe ontenant n elosif a n oetile métalliqe Évoltion d ofil de la densité de mélange (à gahe et d shlieen de la densité (à doite a os d tems Cet eemle illste bien les atitdes de la méthode à ésode des oblèmes à intefaes olés à des hénomènes éatifs, notamment la oagation d ondes de hos et de détonation ainsi qe le inteation ave des intefaes matéielles On note l aaition d ne éaille de solide dans le oetile Elle aaaît site à l inteation d ho éfléhi ave le milie ambiant, qi engende des détentes mltidimensionnelles fotes dans le matéia Cette éaille n étant as initialement ésente, on voit qe le modèle est aable de génée et de taite l aaition dynamiqe de novelles intefaes En ote, on notea l eellente obstesse de la méthode s e oblème déliat En effet, les aots de densité ésents dans l éolement sont initialement de, et le ham de ession vaie ente qelqes dizièmes de asal (dans la zone d éaillage à Pa a i de Nemann de l onde de détonation Les hats nivea de ession atteints stifient en ote leinement l hyothèse de omessibilité de tos les matéia VII3b Inteation d ne onde de détonation ave ne laqe métalliqe On va s intéesse ii à la oetion fontale d ne laqe métalliqe sitée à l avant d n elosif tavesé a ne onde de détonation La longe de la atohe d elosif est hoisie de manièe à e qe l onde de détonation soit établie losq elle inteagit ave la laqe Le oblème fait de novea inteveni 4 flides : les odits de détonation, l elosif, le ive et l ai ; modélisés omme dans l eemle éédent Sa desition est donnée s la Fige VII

190 Chaite VII : Etension de la méthode nméiqe et aliations diveses Fige VII- : eésentation shématiqe de l inteation d ne onde de détonation ave ne laqe métalliqe Les flides minoitaies sont initialisés ave ne fation volmiqe de -8 Les tansfets de hale sont égis a la elation : H H 6 ave H W/ K Les lois inétiqes tilisées sont identiqes à elle de l eemle éédent 5 Initialement, la ession est nifome ( Pa dans tot le domaine L initiation des éations est ovoqée a assage d ne onde de ho, généée a ne ondition limite de tye iston en aoi gahe, ave ne vitesse V m/ s Pisq il eiste ne symétie d oblème a aot à l ae longitdinal de la atohe, on ne onsidèe qe la moitié de elle-i On tilise alos n maillage omosé de ellles dans la dietion et de 5 ellles dans la dietion y La ondition CFL tilisée est de 45 i Etation d n ofil D de l onde de détonation Dans ette onfigation, les asets bidimensionnels oent n ôle imotant Ils inteviennent en atilie en aison des éfleions d ondes à l intefae elosif/ai, qi inflenent la oagation de l onde de détonation : elles éent des détentes latéales qi vont obe l onde de détonation à l aohe de ette intefae Totefois, es effets de obe s amenisent ès de l ae de symétie, o la inétiqe himiqe onsidéée L etation d n ofil D, ès de l ae de symétie, emet don de omae la soltion nméiqe obtene ave la soltion «eate» On onsidèe o ela les éléments oesondants à l odonnée y D mm Les ésltats sont eésentés s la Fige VII- : on tae la soltion nméiqe en ointillés et la soltion de éféene en tait lein 6 Pesse (GPa 45 Nomal Veloity (m/s absissa (m absissa (m - 8 -

191 Chaite VII : Etension de la méthode nméiqe et aliations diveses 9 Mite Density (g/m3 6 Mah Nmbe absissa (m Volme Fation of hase absissa (m Density of hase (g/m absissa (m Temeate of hase (K absissa (m Mass Fation of hase absissa (m Density of hase (g/m absissa (m Temeate of hase (K absissa (m absissa (m Fige VII- : Pofil D d ne onde de détonation, ès de l ae de symétie, avant inteation ave ne laqe métalliqe Comaaison de la soltion nméiqe (ointillés et de la soltion monohasiqe idéale (tait lein

192 Chaite VII : Etension de la méthode nméiqe et aliations diveses L aod ave la soltion «eate» est eellent Les vaiables de mélange sont tès bien déteminées, et la zone de éation est afaitement déite Les sels éats obsevés onenent les densités et les teméates des hases, dans les zones minoitaies L onde qi va inteagi ave la laqe de ive (visible s le ofil de densité de mélange a don totes les aatéistiqes et oesond bien à la soltion «eate» ii ésltats bidimensionnels Le domaine tilisé omend 5 mailles, et la ondition CFL est de 45 On visalise l évoltion temoelle de la soltion s la Fige VII

193 Chaite VII : Etension de la méthode nméiqe et aliations diveses Fige VII- : Inteation d ne onde de détonation ave ne laqe métalliqe Évoltion d ofil de la densité de mélange (à gahe et de la nome d gadient de la densité (à doite a os d tems, los de l envol de la laqe