adrien.trillon AT vallourec.fr

Transcription

1 RECONSTRUCTION TOMOGRAPHIQUE PAR COURANTS DE FOUCAULT AVEC MODELE DIRECT ELEMENTS FINIS ET REGULARISATION ADDITIVE EDDY CURRENT TOMOGRAPHY WITH FINITE ELEMENT FORWARD MODEL AND ADDITIVE REGULARIZATION A. Trillo 13* F. Sirois 1 J. Idir Y. Goussard 1 N. Paul 3 t A. Girard 3 1 Ecol Polytchiqu d Motral succ. Ctr vill Motral (QC) HS S Caada IRCCyN 1 ru d la Noë 4431 Nats Frac 3 EDF R&D 6 quai Watir 7841 Chatou Frac adri.trillo AT vallourc.fr Résumé La tomographi par courats d Foucault put êtr utilisé pour évalur la form t l volum d défauts das ds composats métalliqus d ctral ucléair. L'objctif st d stimr la distributio d'u gradur rpréstativ du défaut ici la coductivité rlativ. C problèm st difficil à résoudr car mal-posé t o-liéair. Afi d l résoudr u modèl umériqu st écssair. U modélisatio par élémts fiis st ici préféré à u approch itégral plus classiqu car ls élémts fiis prmttt d modélisr tout géométri. À l'aid du modèl obtu ds méthods d'ivrsio sot proposés afi d rcostruir l défaut das l composat. U approch bayési st adopté itroduisat ds iformatios a priori afi d cotourr l caractèr mal-posé du problèm. Cs iformatios cocrt la form gééral du défaut aisi qu ls valurs d coductivité rlativ. La méthod proposé prmt d résoudr c problèm mal-posé avc u tmps raisoabl. Abstract Eddy currt tomography may b rsortd to valuat shap ad volum of dfcts i mtal compots of uclar powr plat. Th goal is to valuat th distributio of a rprstativ paramtr of th dfct: th rlativ coductivity. This kid of problm is difficult to solv du to its ill-posdss ad its oliarity. To solv this problm a forward modl is cssary. A fiit lmt modllig is prfrrd to mor classical itgral approachs. Idd fiit lmts lt discrtiz vry kid of problm gomtry. With this modl ivrs mthods ar proposd i ordr to imag th dfct i th plat. A Baysia approach is adoptd with a priori iformatio to circumvt th ill-posdss of th problm. This iformatio dals with th dfct s shap ad th valus of th rlativ coductivity. Th obtaid mthod lts solv this ill-posd problm with a rasoabl tim. INTRODUCTION La tomographi par courats d Foucault (CF) st u méthod d cotrôl o dstructif applicabl à ds composats métalliqus. Ls doés sot acquiss msurat la variatio d'impédac d'u bobi déplacé au-dssus d la surfac métalliqu cotrôlé. L objctif st d cartographir la coductivité rlativ ds élémts d l objt métalliqu * Adri Trillo st désormais chz Vallourc 6 rout d Lval B.P Auloy- Aymris Frac 1

2 discrétisé afi d rcostruir ls défauts débouchats das c cas prést. C problèm ivrs st difficil à résoudr : d'u part l modèl dirct st o-liéair ; d'autr part l problèm ivrs st très mal-posé car l'istc l'uicité ou la stabilité d'u solutio au problèm sot pas simultaémt assurés. La mis équatio du problèm dirct s'appui très souvt sur la formulatio itégral. Cll-ci écssit l calcul d foctios d Gr problèm délicat d'u poit d vu aalytiqu t umériqu. E fft ls foctios d Gr écssitt u décompositio ods plas t sot cous qu pour ds cas caoiqus (air libr plaqu tub tc.). Ls adaptr à ds géométris arbitrairs st difficil surtout 3D. Ls méthods par élémts fiis (EF) puvt êtr adaptés plus facilmt à tout typ d géométri. Ls EF sot basés sur la résolutio d la formulatio faibl discrétisé ds équatios d Mawll. Das otr cas o utilis cs méthods par EF pour modélisr otr problèm. Pour résoudr l problèm ivrs o s'ispir ds méthods classiqus tomographi d diffractio tlls qu modifid gradit mthod (MGM) [1] t cotrast sourc ivrsio (CSI) []. MODELE DIRECT Ls doés dot o dispos pour résoudr c problèm d tomographi sot ds msurs d variatio d'impédac d'u bobi déplacé au-dssus d u plaqu qu l'o chrch à tstr. U schéma plicatif st présté à la Figur 1. Figur 1 : acquisitio ds doés Notr objctif st d dévloppr u modèl dirct simpl liat la variatio d'impédac pour chaqu positio du captur Z t l cotrast das la plaqu. O défiit Z 1 L aisi R N comm état l vctur cotrast cotat la coductivité rlativ das ls N élémts qui discrétist la plaqu i.. : avc i i la coductivité du i -èm élémt. i / La coaissac du champ élctriqu das l domai d calcul st écssair afi d pouvoir calculr la variatio d'impédac. L champ élctriqu st régi par l'équatio d'hlmholtz : Eq. 1 : E z j z E z j J z J z J c si sio z bobi

3 Das cs équatios E z st l champ élctriqu E z l Laplaci d E z la pulsatio du courat élctriqu das la bobi J la dsité d courat circulat das la bobi t la prméabilité magétiqu. U méthod umériqu classiqu pour obtir u discrétisatio d l'équatio (1) st la méthod ds élémts fiis. Pour plus d clarté o dévlopp pas ls calculs t o rport l lctur désiru d'avoir plus d détails à la lctur d [3]. O obtit l'équatio algébriqu suivat applé équatio d couplag : Eq. : M f L vctur corrspod au dgrés d librté du champ élctriqu das l problèm discrétisé. La matric M st u matric costat t st u matric qui dépd d la coductivité rlativ. Efi l vctur f st l vctur citatio. Afi d'obtir la variatio d'impédac coaissat l champ élctriqu o utilis l'équatio d'obsrvatio [4] discrétisé d la mêm maièr qu l équatio d couplag à l aid ds élémts fiis : 1 t Eq. 3 : Z j I où I st l'itsité du courat das la bobi t c l champ icidt c'st-à-dir l champ l vctur élctriqu das l domai d calcul lorsqu'il 'y a pas d défaut. O appll cotrast lorsqu'il 'y pas d défaut. O appll la matric lorsqu. A l'aid ds équatios () t (3) il st possibl d ffctur l'ivrsio. INVERSION L pricip d la tomographi CF st d rtrouvr la form du défaut das la plaqu à l'aid ds doés i.. stimr coaissat Z. Das otr cas o adapt ls méthods d typ MGM/CSI [5]. Cs méthods tirt profit d la biliéarité ds équatios d'obsrvatio t d couplag par rapport à t. Ells sot basés sur la miimisatio d l'rrur podéré d cs équatios : 1 t J1 Z j I J M f ; J1 J Eq. 4 : J L paramètr d réglag prmt d podérr l'importac d l'équatio d couplag par rapport à l'équatio d'obsrvatio. Afi d rdr l problèm bi-posé o itroduit u trm d régularisatio ; à l'équatio (4). C trm prmt d'itroduir ds iformatios a priori sur l défaut qu l'o chrch à stimr cosidérat qu'il st costat par morcau. L trm d régularisatio adopté st l suivat : 3

4 ; D; ; u où la matric D st l'opératur ds différcs fiis tr élémts voisis. Ct opératur prmt d calculr ls variatios spatials d la coductivité rlativ das l spac. L critèr fialmt miimisé st : Eq. 5 : J ; J J ; 1 Ls cofficits t prmttt d réglr l poids du trm d régularisatio das l critèr (5). Ls méthods d typ MGM/CSI miimist l critèr à l'aid d'u miimisatio altré par rapport à puis par rapport à afi d tirr profit du caractèr biliéair ds équatios. O motr au Tablau 1 l'algorithm d miimisatio proposé. Calcul d Iitialisatio : 1 t Répétr Pour 1 à L fair 1 arg mi J ; Fi pour arg mi 1 1 Jusqu à covrgc Rtourr J ; Tablau 1 : algorithm proposé L vctur st l vctur ds coductivités rlativs. D'u poit d vu physiqu put prdr qu ds valurs compriss tr t 1. O cotrait doc 1 miimisat l critèr par rapport à à l'aid d'u algorithm d miimisatio sous cotraits d bors [6]. La miimisatio par rapport à st ffctué avc u classiqu algorithm d gradits cojugués liéairs. Ls miimisatios par rapport à t à puvt êtr acts ou troqués. Après d ombru ssais o choisit d ls troqur car il apparaît qu'u miimisatio act à chaqu itératio st iutil. N RESULTATS O prést ici ls prformacs d la méthod proposé à l aid d u mpl simulé. Afi d'évitr d s placr das u cas artificillmt favorabl simulat ls doés CF à partir d otr propr modèl o utilis ds doés simulés à partir du logicil commrcial d modélisatio soit COMSOL Multiphysics qui utilis u maillag t u modèl dirct différts du ôtr ( pottil vctur plutôt qu champ élctriqu). L réglag ds paramètrs st ffctué par ssais t rrurs o trouv l réglag suivat

5 L'algorithm st arrêté lorsqu la variatio rlativ tr du solutios succssivs st ifériur à u crtai suil fié d maièr mpiriqu : 1 / S A la Figur o prést l résultat d rcostructio obtu pour u défaut simulé d 5 mm d loguur t 1 mm d profodur. 1 1 Défaut simulé Figur : défaut d 1 mm d profodur Défaut rcostruit O obsrv à la Figur qu la méthod st fficac t prmt d rcostruir fidèlmt l défaut. O ffctu la rcostructio pour u autr défaut simulé d 5 mm d loguur t d mm d profodur. O prést ls résultats à la Figur 3. Défaut simulé Figur 3 : défaut d mm d profodur Défaut rcostruit O rmarqu à la Figur 3 qu l défaut st rcostruit mois fficacmt. La rcostructio smbl fficac jusqu 15 mm d profodur. O put pliqur ctt difficulté par l caractèr surfaciqu ds courats d Foucault. E profodur ls courats d Foucault ot mois d'impact sur ls doés. C'st pourquoi il dvit difficil d distigur ls défauts à partir d'u crtai profodur. 5

6 CONCLUSION L'objctif du travail présté das ct articl st d rcostruir ds défauts das composats métalliqus d ctrals ucléairs à l'aid d doés courats d Foucault. Ctt approch prést ds résultats très couragats jusqu à u profodur d 15 mm. Au-dlà ctt profodur la rcostructio smbl plus difficil. Pour améliorr ls résultats d rcostructio o put cotraidr l'équatio d couplag à êtr actmt rspcté t o autorisr u rrur sur cll-ci comm l fot ls méthods MGM/CSI. Cci amélior l fficacité ds algorithms d rcostructio préstés [7]. L'objctif fial ds travau préstés st d'appliqur c typ d'approch pour résoudr l problèm d tomographi CF 3D à ds doés rélls. Il st d abord écssair d dévloppr u modèl dirct 3D suffisammt précis pour ivrsr d maièr fiabl mais suffisammt légr pour êtr ploitabl das u tmps limité. Au problèms déjà préstés das ct articl s'ajoutt ds difficultés liés au maillag t au déplacmt d la bobi. Efi o chrch égalmt à accélérr la rcostructio afi d pouvoir adaptr c typ d'approch au cas 3D avc ds tchiqus d parallélisatio t/ou d précoditiomt. D mêm la mémoir écssair pour ffctur u rcostructio pourrait s avérr êtr u factur limitat. REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] R.E. lima ad P.M. va d Brg Modifid gradit mthod for two-dimsioal problms i tomography Joural of Computatioal ad Applid Mathmatic 4(1) [] P.M. va d Brg ad R.E. lima A cotrast sourc ivrsio mthod Ivrs Problms [3] P.P. Silvstr ad R.L. Frrari Fiit Elmt for Elctrical Egirs Cambridg Uivrsity Prss 1996 [4] J.R. Bowlr L.D. Sabbagh ad H.A. Sabbagh Eddy-currt prob impdac du to a surfac slot i a coductor. IEEE Trasactio o Magtics 6(): [5] P.M. va d Brg ad A. Abubakar Cotrast Sourc Ivrsio mthod: stat of art. Progrss i Elctromagtics Rsarch 34 : [6] C. Zhu R.H. Byrd P. Lu ad J. Nocdal Algorithm 778. L-BFGS-B: Fortra subroutis for Larg-Scal boud costraid optimizatio. ACM Trasactios o a Mathmatical Softwar. 3(4): [7] A. Trillo Rcostructio d défauts à partir d doés issus d capturs à courats d Foucault avc modèl dirct différtil Thès d doctorat Ecol Ctral d Nats / Ecol Polytchiqu d Motréal 1. 6