CHAPITRE 1 : ESPACE VECTORIEL

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1 S ; Modul M ; Mtièr : Mthémtiqus II Chpitr : sp vtoril CHAPITR : SPAC VCTORIL I- Loi d ompositio itr t Loi d ompositio xtr... I- Loi d ompositio itr L.C.I.... I-- Défiitio... I-- Propriétés... I- Loi d ompositio xtr... 4 II- Strutur d sp vtoril rél... 5 II- Défiitio... 5 II- Propriétés... 6 III- Sous sps vtorils... 6 III- Défiitio t propriétés... 6 III-- Défiitio... 6 III-- Propriétés :... 6 III- Itrstio d sous sps vtorils... 7 III- Somm d sous sps vtorils... 7 IV- Comiiso liéir - systèm géértur... 9 IV- Comiiso liéir... 9 IV- Systèm géértur... 9 V- Systèm lir - systèm lié... VI- Ordr t rg d u systèm d vturs... VII- Bs d u sp vtoril... VIII- sp vtoril d dimsio fii... Profssur Slm DASSR Sssio Autom-hivr 9 /

2 S ; Modul M ; Mtièr : Mthémtiqus II Chpitr : sp vtoril I- Loi d ompositio itr t Loi d ompositio xtr I- Loi d ompositio itr L.C.I. I-- Défiitio Défiitio : Soit u sml. O ppll loi d ompositio itr d tout pplitio défii d vrs qui tout élémt d ssoi u élémt d pplé omposé d pr. O ot. xmpls : Ds { o défiit l pplitio pr : + st ps u L.C.I. : O put rpréstr l loi "" pr l tlu suivt : Ds { o défiit l pplitio pr : st u L.C.I. d : t O put rpréstr l loi "" pr l tlu suivt : x y xty Ds IR l dditio t l multiplitio sot ds L.C.I. 4 Soit u sml. Ds P l itrstio t l réuio sot ds L.C.I. Profssur Slm DASSR Sssio Autom-hivr 9 /

3 S ; Modul M ; Mtièr : Mthémtiqus II Chpitr : sp vtoril Profssur Slm DASSR Sssio Autom-hivr 9 / I-- Propriétés Assoitivité Commuttivité Distriutivité i Défiitios L L.C.I. st dit ssoitiv si : L L.C.I. st dit ommuttiv si : L L.C.I. st dit distriutiv pr rpport à si : : Si L L.C.I. ommuttiv ll st distriutiv pr rpport à si : ou : ii xmpls Ds { l L.C.I. défii pr : o st ommuttiv : o st ps ssoitiv : Ds IR : o L dditio t l multiplitio sot ds L.C.I. ssoitivs t ommuttivs. o L multiplitio st distriutiv pr rpport à l dditio. Soit u sml. Ds P : o l itrstio t l réuio sot ds L.C.I. ssoitivs t ommuttivs. o Chu ds dux lois st distriutiv pr rpport à l utr lémts rmrquls i lémt utr o U élémt d st dit élémt utr pour l loi ssi : : o L élémt utr lorsqu il xist st uiqu. fft supposos t dux élémts utrs pour l L.C.I. lors : utr élémt utr élémt D où :

4 S ; Modul M ; Mtièr : Mthémtiqus II Chpitr : sp vtoril xmpls : st l élémt utr pour l'dditio ds IR + + st l élémt utr pour l multiplitio ds IR φ st l élémt utr pour l réuio ds P φ A A φ A st l élémt utr pour l'itrstio ds P A A A ii lémt symétrisl O osidèr u sml mui d u L.C.I. qui dmt u élémt utr. O ppll symétriqu d'u élémt d lorsqu'il xist u élémt ' d tl qu : ' '. Lorsqu t élémt ' st uiqu l 'élémt st dit symétrisl. Si l L.C.I. st ssoitiv lors l symétriqu d lorsqu il xist st uiqu. ' st l symétriqu d ssi st l symétriqu d '. L symétriqu du omposé d pr st égl u omposé du symétriqu d pr lui d : T ' ' T'. xmpls : L symétriqu d'u élémt pour + ds IR st l'opposé d. L symétriqu d'u élémt o ul pour ds IR st / l'ivrs d. L symétriqu d'u fotio ijtiv f pour o st f réiproqu d f. I- Loi d ompositio xtr Défiitio : Soit u sml. U loi d ompositio xtr L.C.. st u pplitio d. : IR IR vrs. O ot α x α. x xmpl : Ds IR l multiplitio xtr défii d IR IR vrs X x x IR α IR : α. X α. x x αx α st u L.C.. x IR IR pr : Profssur Slm DASSR Sssio Autom-hivr 9 4/

5 S ; Modul M ; Mtièr : Mthémtiqus II Chpitr : sp vtoril II- Strutur d sp vtoril rél II- Défiitio Défiitio : O dit qu u sml mui d u L.C.I. " +" t d u L.C.. "." st u sp vtoril rél t ot pr +. ssi : " +" st ssoitiv t ommuttiv. " +" dmt u élémt utr. Tout élémt d st symétrisl pour " +" : x x / x + x L L.C.. "." vérifi : x y α β IR - α. β. x αβ. x -.x x - α. x + y α. x + α. y - α + β. x α. x + β. x st dit l sml ds vturs t IR l sml ds slirs. Nottio : Qud il 'y ps d ofusio o o otr l sp vtoril rél +. simplmt pr. o o omttr l sig ".": o rmplr l'éritur α. x pr α x. o Pour x y ds o otr " x + y " pr " x y". xmpls : IR +. st u.v.r. où ls lois " +" t "." sot défiis ds x x L x y y L y IR α IR o x L x + y L y x + y L x α. x L x αx L αx : + y IR pr : IF IR +. st u.v.r. où ls lois " +" t "." sot défiis ds IF IR pr : f g F IR α IR o : f + g x f x + g x α. f x αf x x IR x IR Profssur Slm DASSR Sssio Autom-hivr 9 5/

6 S ; Modul M ; Mtièr : Mthémtiqus II Chpitr : sp vtoril II- Propriétés Si +. u sp vtoril rél lors α β IR x y o : α. IR. x α. x α ou x 4 α. x α. x 5 α β. x α. x β. x 6 α. x y α. x α. y III- Sous sps vtorils III- Défiitio t propriétés III-- Défiitio Défiitio : U sous sml F d u sp vtoril st dit sous sp vtoril s..v. d ssi : F φ F st stl pour " +" : x y F x + y F F st stl pour ".": α x IR F α. x F ssi : xmpls : F φ x y F α β IR α. x + β. y F P IR +.l sml ds polyôms d dgré st u s..v. d F IR IR {. t {. III-- Propriétés : IR + sot ds s..v. d IR +.. Si st u sp vtoril lors : Tout sous sp vtoril d st u sp vtoril. L itrstio d sous sps vtorils d st u sp vtoril. { +. st u sous sp vtoril d. 4 pprtit à tous ls sous sps vtorils d. Profssur Slm DASSR Sssio Autom-hivr 9 6/

7 S ; Modul M ; Mtièr : Mthémtiqus II Chpitr : sp vtoril III- Itrstio d sous sps vtorils Théorèm : L'itrstio d dux sous sps vtorils d'u sp vtoril rél st u sous sp vtoril d. Rmrqu : L réuio d dux sous sps vtorils 'st géérl ps u sous sp vtoril. Théorèm : L'itrstio d plusiurs sous sps vtorils d'u sp vtoril rél st u sous sp vtoril d. III- Somm d sous sps vtorils Défiitio : Soit u sp vtoril t soit t dux sous sps vtorils d. Théorèm : Théorèm : L somm ds sous sps vtorils t oté pr + st égl à : + { x / x x / x x + x L somm dirt ds sous sps vtorils t oté pr st égl à : { x /! x x / x x + x Si lors ls sous sps vtorils t sot dits sous sps supplémtirs d. Si t sot dux sous sps vtorils d u sp vtoril lors + t sot ussi ds sous sps vtorils d. Si t sot dux sous sps vtorils d u sp vtoril lors ls propositios suivts sot équivlts : + t { + t x + x x x Profssur Slm DASSR Sssio Autom-hivr 9 7/

8 S ; Modul M ; Mtièr : Mthémtiqus II Chpitr : sp vtoril xmpl : FIR : v o { f / f x f x x IR sml ds fotios pirs o { f / f x f x x IR sml ds fotios impirs Pour motrr qu il suffit d vérifir qu + fft : + : f x f x + f x Soit f. O pos f x f x f x t {. O : f x f x + f x f x f x f x f x f x t f x f x + f x f f Do : f f f / f f + f D où : + : { Si f lors : f f x x f f x x x IR x IR f f Do : f O f x x IR D où : { Profssur Slm DASSR Sssio Autom-hivr 9 8/

9 S ; Modul M ; Mtièr : Mthémtiqus II Chpitr : sp vtoril IV- Comiiso liéir - systèm géértur IV- Comiiso liéir Défiitio : Ds u sp vtoril o ppll u omiiso liéir d vturs u L u tout vtur u d qui put s érir sous l form : u + + αu αi i i u α L u v α L α IR Théorèm : L sml ds omiisos liéirs d vturs d u sp vtoril st u sous sp vtoril d. IV- Systèm géértur Défiitio : Ds u sp vtoril o dit qu u systèm d vturs { systèm géértur d ou qu ls vturs u L u st u u L u sot ds vturs géérturs d si tout vtur u d put s érir omm u omiiso liéir ds vturs u L u : u α L α IR u α u + L + α u α u / L systèm { u u O dit ussi qu l systèm { u u systèm { u u O ot < u u > Vt { u i L s ppll ussi prti ou fmill géértri d. L gdr ou qu st gdré pr l L u Rmrqu : L sous sp vtoril ds omiisos liéirs ds vturs u L u st gdré pr ls vturs u L u : < > α iui αi IR ui u L u i xmpl : { < > IR u u v u t u : x IR α β IR / x α. + β. α β il suffit d prdr pr xmpl α x t β { i i Profssur Slm DASSR Sssio Autom-hivr 9 9/

10 S ; Modul M ; Mtièr : Mthémtiqus II Chpitr : sp vtoril V- Systèm lir - systèm lié Défiitio : O dit qu vturs u L u d u sp vtoril sot liéirmt idépdts ou qu l systèm { u L u st u systèm lir si : α u L + α α L α + u O dit qu vturs u L u d u sp vtoril sot liéirmt dépdts ou qu l systèm { u L u st u systèm lié s ils sot ps liéirmt idépdts : α L α L / α u + L + α u xmpls : Ls vturs u u t u d IR sot liéirmt idépdts. Ls vturs u u t u d IR sot liéirmt dépdts. Théorèm : U systèm d vturs st lié ssi u ds vturs du systèm st omiiso liéir ds utrs vturs du systèm. Si u ds vturs d u systèm st omiiso liéir ds utrs vturs du systèm lors tout vtur d systèm st omiiso liéir ds utrs vturs du systèm. Propriétés : L vtur pprtit à uu systèm lir d. u / u l systèm { u st lir. Tout systèm d vturs xtrit d u systèm lir st lir. 4 Tout systèm d vturs ott u systèm lié st lié. VI- Ordr t rg d u systèm d vturs Défiitio : L ordr d u systèm st l omr d vturs du systèm. L rg d u systèm st égl u plus grd omr d vturs liéirmt idépdts qu l o put xtrir d systèm. Profssur Slm DASSR Sssio Autom-hivr 9 /

11 S ; Modul M ; Mtièr : Mthémtiqus II Chpitr : sp vtoril xmpls : S { L ordr d S st égl à. L rg d S st égl à r : o Ls vturs t sot liéirmt dépdts. + qui impliqu qu rg S <. o Ls vturs t sot liéirmt idépdts qui impliqu qu rg S. Propriétés : U systèm d vturs st lir ssi so rg st égl à so ordr. Ds u systèm lié d rg r ls vturs lirs xtrits omr r sot dits vturs priipux ls utrs sot dits o priipux t sot omiiso liéir ds prmirs. L rg d u systèm d vturs st égl à l dimsio d l sp gdré pr s vturs. VII- Bs d u sp vtoril Défiitio : U s d u sp vtoril st tout systèm lir d vturs géérturs d. xmpls : Théorèm : { st u s d IR { st ps u s d IR. { st u s d 4 géérl { L L L L L U systèm d vturs { IR : o l'ppll l s oiqu d L st l s oiqu d IR. IR. u L u st u s d ssi tout vtur d s érit d mièr uiqu omm omiiso liéir ds vturs u L u : u! α L α IR u α u + L + α u α u / i i i VIII- sp vtoril d dimsio fii Défiitio : U sp vtoril rél st dit d dimsio fii s il dmt u s ostitué d u omr fii d vturs. C omr s ppll l dimsio d l sp. O ot dim. Profssur Slm DASSR Sssio Autom-hivr 9 /

12 S ; Modul M ; Mtièr : Mthémtiqus II Chpitr : sp vtoril xmpl : IR st u sp vtoril rél d dimsio. Propriétés : Si st u sp vtoril rél d dimsio lors : Touts ls ss d ot l mêm ordr égl à. L ordr d tout systèm géértur d st supériur à. L ordr d tout systèm lir d st ifériur à. 4 Si l ordr d u systèm lir ou géértur d st égl à lors systèm st u s d. 5 Si F st u sous sp vtoril d lors F st u sp vtoril rél d dimsio fii m v m. Si d plus m lors F. 6 Si t sot dux sous sps vtorils d lors : dim + dim + dim dim dim dim + dim Théorèm : Soit u sp vtoril rél d dimsio fii. Si t sot dux sous sps vtorils supplémtirs d lors dim dim + dim. Si B { u L u p t B { v L v q sot dux ss rsptivs d t lors B u L u v st u s d. Théorèm : { p L v q Soit u sp vtoril rél d dimsio fii. Soit t dux sous sps B u B v. vtorils d d ss rsptivs { L u p t { L v q Si B { u L u v. p L v q st u s d lors Profssur Slm DASSR Sssio Autom-hivr 9 /

I- Trigonométrie : 7π 4. π 4. 3π 4. π 2. 5π 6. 2π 3. π 3. 4π 3. 5π 4. 3π 2. 5π 3. 11π 6 3-1

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