Intégrale fonction des bornes

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1 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Enoncés Inégrale foncion des bornes Eercice [ 87 ] [correcion] On pourra à ou momen s aider du logiciel de calcul formel. a Résoudre sur l inervalle I = ], + [ l équaion différenielle (E : y + y = ln e eplicier (sous forme inégrale la soluion de (E sur I, noée f, elle que f( =. Quel es le résula obenu avec le logiciel de calcul formel? b Eudier les variaions de f. Vérifier que f adme un maimum en un unique poin d abscisse I. Avec le logiciel de calcul formel, donner une valeur approchée de. c Déerminer un développemen asympoique à deu ermes de f( quand +. On commencera par éablir l équivalen f( + ln d Déerminer un équivalen de f lorsque +. e Tracer le graphe de f avec le logiciel de calcul formel. Eercice [ 6 ] [correcion] Pour ], [ ], + [, on pose f( = ln a Jusifier l eisence de f( pour chaque ], [ ], + [ b Eablir que pour ou >, f( ln ln En déduire la limie de f en + c Eudier de même la limie de f en. d Jusifier que la foncion f es de classe C sur ], [ e sur ], + [ e eprimer f ( e Eablir que le prolongemen par coninuié de f en es de classe C puis de classe C sur ], + [ Eercice 3 [ 444 ] [correcion] Soi f( = a Calculer les limies de f en + e +, la limie en + de f(/ e monrer que f( end vers ln quand end vers. b Monrer que f es de classe C sur R + mais qu elle ne l es pas sur R +. c Eudier les variaions de f e racer sa courbe représenaive. Eercice 4 [ 73 ] [correcion] On inrodui sur R la foncion f : a Prolonger f par coninuié en. b Monrer que f es de classe C sur R. c Eudier les branches infinies de la foncion f Eercice 5 [ 75 ] [correcion] Soi f : R ln e a Eudier la parié de f. On éudie désormais f sur ], + [. b Prolonger f par coninuié en. c Monrer que f es de classe C sur R +. d Branches infinies, allure. Eercice 6 [ 77 ] [correcion] Soien f C (R, R e g : R R définie par g( = ch f( a Prolonger g par coninuié en. b Monrer que la foncion ainsi obenue es de classe C sur R. Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

2 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Enoncés Eercice 7 [ 78 ] [correcion] Soien f : R R une applicaion de classe C e a >. On pose I( = a+ a f( Déerminer la limie de I( quand end vers. Eercice 8 [ 3789 ] [correcion] Eude e graphe de la foncion On préciser le comporemen de la foncion quand e quand ±. Eercice 9 [ 3788 ] [correcion] a Monrer que la foncion es définie e dérivable sur R. b Déerminer la limie de f en. f : e Eercice [ 67 ] [correcion] Pour ou [, + [, on pose F ( = 3 a Monrer que la foncion F es bien définie, coninue sur [, + [ e de classe C sur ], + [. Eprimer sa dérivée F ( b Eudier la dérivabilié de F en. Préciser la angene au graphe de F en. c Eudier la limie de F en +. d Jusifier que F réalise une bijecion de [, + [ sur un inervalle à préciser. e Jusifier que F es dérivable sur ], + [ e soluion de l équaion différenielle f Eudier la dérivabilié de F en. yy = y 3 Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

3 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 3 Correcions Eercice : [énoncé] a (E es une équaion différenielle linéaire d ordre définie sur I. La soluion générale homogène es y( = λ Par la méhode de la variaion de consane, une soluion pariculière es La soluion générale es alors y( = y( = La foncion f recherchée es donnée par f( = ln ( λ + ln ln La résoluion avec Maple dsolve(*d(y(+y(=/ln(, y(=, y(; fai référence à une foncion Ei qui lui es personnelle. b La foncion f adme pour dérivée avec Par inégraion par paries Puisque f ( = ln g( = ln ln ln = g( g( = ln (ln g ( = (ln < la foncion g es sricemen décroissane, g( > e lim + g = donc la foncion g s annule une unique fois en un I. Le signe de g puis de f son alors immédias e on peu affirmer que f adme un unique maimum en. On obien une valeur approchée de en écrivan fsolve(diff(/*in(/ln(, =.., =, ; e l on obien = 6, à 6 près. c Par inégraion par paries f( = ln = ln ln + (ln Monrons que Soi ε >. Puisque /ln + e alors ( (ln = o quand + ln, il eise el que, (ln ε ln ε ln ε De plus, par non inégrabilié d une foncion posiive donc, pour assez grand ln + + ln (ln = Ce ε ln e alors ε (ln ln On en dédui f( ln ln ln Une nouvelle inégraion par paries donne Comme ci-dessus, on monre (ln = (ln (ln + (ln 3 = o ( (ln 3 (ln quand + Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

4 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 4 e on en dédui f( = ln + ( (ln + o (ln quand + d Quand +, on peu écrire = + u avec u + e alors Or donc u u ln = ds ln( + s ln( + s = s ln( + s + s s ln( + s ds u ln( + s = ln u + s ln( + s ds s ln( + s Grâce à un prolongemen par coninuié, il y a convergence quand u + de l inégrale du second membre e donc on peu affirmer f( = ln = u e On obien le graphe de f par la commande plo(/*in(/ln(, =.., =.5..; Le graphe de f Remarque : Les quesions c e d pouvaien aussi êre résolues en faisan référence à des résulas de comparaison d inégrales parielles de foncions posiives non inégrables (résulas hors-programme. Eercice : [énoncé] a Pour chaque considérée, la foncion inégrée es définie e coninue sur le segmen d erémiés e. b Pour > e pour ou [, ], e ln > donne par inégraion en bon ordre Puisque on obien f( ln ln ln = [ln ln ] = ln f( + ln c Pour <, on a cee fois-ci e ln <. En adapan ce qui précède, on obien cee fois-ci ln f( ln d où l on conclu f( ln d On inrodui H primiive de /ln sur ], [ ou ], + [. On peu alors écrire f( = H( H( d où l on ire que f es de classe C sur ], [ e sur ], + [ avec f ( = ln e La dérivée de f converge en donc par le héorème du prolongemen C, on peu affirmer que le prolongemen par coninuié de f en, encore noé f, es de classe C sur ], + [. La dérivée de f es évidemen de classe C sur ], [ e sur ], + [. Au voisinage de, la dérivée de f es l inverse de ln. En posan = + h, on a f ( = + h ln( + h = n= ( n h n n + Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

5 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 5 pour h <. Ainsi f ( es au voisinage de une foncion de classe C ne s annulan pas e donc f ( es une foncion de classe C au voisinage de. Eercice 3 : [énoncé] a La foncion f es définie sur ], [ ], + [ car pour chaque dans ce domaine, la foncion /ln es définie e coninue sur le segmen d erémiés e car n y apparien pas. Pour ], [, on a pour ou [, ], ln ln ln puis par encadremen d inégrales ln f( ln e donc f(. + L encadremen es idenique pour > ce qui perme d affirmer f( + e f(/ On peu aussi écrire f( = ln e par encadremen du du numéraeur par e, on obien f( encadré par I( e I( avec I( = ln = [ln ln ] = ln d où f( ln. b On inrodui H primiive de /ln e on démonre que f es de classe C sur ], [ ], + [ avec f ( = ln. Cee dérivée éan de classe C, on conclu que f es C sur ], [ ], + [. On prolonge f par coninuié en en posan f( = ln e puisque f (, la foncion f es de classe C sur ], + [ avec es C au voisinage de es C au voisinage de e par passage à l inverse f ( es C au voisinage de. Finalemen f es C sur ], + [. Le calcul de f ( perme de jusifier que f n a pas de limie finie en e donc f ne peu êre prolongée en une foncion de classe C au voisinage de. c f es croissane, convee, branche parabolique vericale en +, angene horizonale en l origine. f ( =. Par développemen en série enière h ln(+h h donc ln Eercice 4 : [énoncé] a Quand +, on a par croissance de la foncion eponenielle donc Par héorème d encadremen [, ], e e e e ln f( e ln f( ln De même, quand, f( ln. On prolonge f par coninuié en en posan f( = ln b Soi F une primiive de e / sur R +. F es de classe C e f( = F ( F ( donc f es aussi de classe C e f ( = e e Il en es de même sur R e puisque f ( foncion coninue f es C sur R e f ( =. c Quand +, f( e ln assure une branche parabolique vericale. Quand, e ln f( e ln, on peu affirmer que la donne f( + ce qui donne l ae (O asympoe, courbe au dessus. Eercice 5 : [énoncé] a Par le changemen de variable u =, on obien que f es paire. b Pour ou >, on a En inégran, on obien e on en dédui [, ], ch ch ch ch. ln f( ch. ln f( ln Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

6 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 6 c La foncion ch/ es coninue sur ], + [ donc y adme une primiive G e puisque f( = G( G(, on obien que f es de classe C sur ], + [ e De plus f ( = ch ch f ( donc, par le héorème du prolongemen C,f es de classe C sur R +. d Puisque f( ch. ln, f présene une branche parabolique vericale. Eercice 6 : [énoncé] a On a g( f( = Pour ε >, il eise α > vérifian f( f( α f( f( ε Par suie, si α, pour ou compris enre e, f( f( ε puis par inégraion, g( f( ε. Ainsi g( f(. On pose g( = f(. b Par opéraion, g es de classe C sur R. g ( = Procédons à une inégraion par paries, On a alors f( = f( f( + f( g ( = f ( De façon semblable à ce qui précède, on obien g ( f ( Ainsi la foncion coninue g es de classe C sur R e g ( = f ( f ( Eercice 7 : [énoncé] On a I( f( a + = ( a+ a f( Pour ε >, il eise α > vérifian a f( = a+ α f( f( ε a (f( f( Par suie, si α, pour ou compris enre e, f( f( ε puis par inégraion a (f( f( ε Ainsi Eercice 8 : [énoncé] Posons On a F ( = a+ F ( = f( lim I( = a ce qui assure que F es définie e de classe C sur R. Le changemen de variable = u assure que F es impaire. Par dérivaion de primiive F ( = + ( + ( En réduisan au même dénominaeur e en muliplian par la quanié conjuguée, F ( es du signe de 4( ( + ( + ( 4 = 3( 4 4 F es donc croissane que [, / ] puis décroissane sur [ /, + [ En, le graphe de la foncion passe par l origine avec une angene d équaion y =. Quand +, F ( e donc F end vers en = Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

7 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 7 Eercice : [énoncé] a f : es définie e coninue sur ], ] e 3 = ( ( + + f( 3 donc F ( eise. F es primiive de la foncion coninue f sur ], + [ donc F es C e F ( = f(. Comme f es C, F es finalemen C e sur ], + [ F ( = b F es coninue en e F ( c 3 3/ donc 3 +. Tangene vericale en. Eercice 9 : [énoncé] a La foncion e / es définie e coninue sur ], + [, elle y adme donc une primiive F. Pour >, on a [, ] ], + [, donc l inégrale définissan f( eise e f( = F ( F ( Puisque la foncion F es dérivable, la foncion f l es aussi e f ( = F ( F ( = e (e L éude pour < es similaire en considéran e / définie e coninue sur ], [ [, ]. b Pour >, [, ], e e e donc puis L éude es analogue en e ln f( e ln f( + ln F ( = + + donc F ( +. + d F es coninue e sricemen croissane sur [, + [ donc F réalise une bijecive de [, + [ sur [, + [. F réalise une bijecion de classe C de ], + [ sur ], + [ avec F ( donc F es C sur ], + [. (F (F = F F = 3 F donc F es soluion de l équaion différenielle considérée. e F es coninue en e F ( =. En veru de la relaion (F (F = 3 on obien F (F ( F es donc dérivable en e (F ( =. Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

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