1 Douala Mathematical Society : Lycée Bilingue Nylon Brazzaville - Séquence 2 Terminale C

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Irène Corbeil
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1 Douala Mathematical Society : wwwdoualamathset MINESEC EVALUATION HARMONISEE ANNEE SCOLAIRE Délégatio régioale du littoral Epreuve : Mathématiques Séquece Délégatio départemetale du Wouri Classe : Termiale C Durée : 4h Bassi pédagogique Lycée Biligue Nylo Brazzaville Coe : 6 Eercice N : Das cet eercice, o itéresse au triplets d etiers aturels o uls(, y, z ) tels que + y = z Ces triplets seros ommés triplets pythagoricies» e réérece au triagles rectagle dot il mesure les côtés, et oté e abrégé «TP» aisi (,4, ) est u TP car ² +4² = =² Partie A : gééralités Démotrer que, si (, y, z ) est u TP, et p u etier aturel o ul, alors le triplet ( p, py, pz ) est lui aussi u TP Démotrer que si (, y, z ) est u TP, alors les etiers aturels, y et z e peuvet as être tous les trois impaires Pour cette questio, o admet que tout etier aturel o ul peut s écrire de aço uique sous la orme du produit d ue puissace de par u etier impaire De aço précise = k oùα est u etier aturel (évetuellemet ul) et k u etier aturel impaire L écriture = k ommé décompositio de Voici par eemple les décompositios des etiers 9 et 0 : 0 9 = 9,0 = a) Doer la décompositio de l etier 9 b) Soiet et z deu etiers aturels o uls, dot les décompositios sot a β = k et z = m Ecrire la décompositio des etiers aturels et z c) E eamiat l eposat de das la décompositio de et das celle de z, motrer qu il eiste pas de couple d etiers aturels o uls (, z ) tels que = z O admet que la questio A permet d établir que les trois etiers aturels, y et z sot deu à deu disticts Comme de plus les etiers aturels, y jouet u rôle symétrique, das la suite, pour toute TP(, y, z ), les trois etiers aturels, y et z serot ragés das l ordre suivate : < y < z Douala Mathematical Society : wwwdoualamathset Lycée Biligue Nylo Brazzaville - Séquece Termiale C

2 Partie B : recherche de triplets pythagoricies coteat l etier 0 Décomposer e produit de acteurs premiers l etier 0 puis, e utilisat le TP doé das le préambule, détermier u TP de la orme(, y,0) a motrer que pour tout etier aturel, ( + ) + ( + ) = ( + + ) b d détermier u TP de la orme( 0,, y ) a e remarquat que 40 = 69 96, détermier u couple d etiers aturels o uls (, y ) tels que : z = 40, avec < 40 b e déduire u TP de la orme (,0, z ) Eercice N : O cosidère la suite umérique ( u ) déiie sur N paru o, u =, u ( u ) où a est u réel doé tel que0 < a < + = a, et, pour tout etier O suppose da cette questio que a = a) Calculeru et u b) Das u repère ortho ormal (uité graphique cm), tracer, sur l itervalle [ 0; ], la droite ( d ) d équatio a = y = et la courbe (T) représetative de la octio : ( ) c) Utiliser( d ) et ( T ) pour costruire sur l ae des abscisses les poits A, A et A l abscisse respectivesu, u et u O suppose das cette questio que a es a = t réel quelcoque de l itervalle] 0; [ a) Motrer par récurrece que, pour tout etier réel,0 < u < b) Motrer que la suite ( u ) est croissate c) Que peut-o e déduire? O suppose à ouveau das cette questio que a = O cosidère la suite déiie sur N parv = u a) Eprimer, pour tout etier, v + e octio de v b) E déduire l epressio de v e octio de c) Détermier la limite de la suite( v ), puis celle de( u ) Douala Mathematical Society : wwwdoualamathset Lycée Biligue Nylo Brazzaville - Séquece Termiale C

3 Eercice N : Pour chaque questio ue seule des quatre réposes préposée est eacte Le cadidat idiquera sur la copie le uméro de la questio et la répose choisie Chaque répose eacte rapporte 0, poit Aucue justiicatio est demadée Aucu poit est elevé e l absece de répose ou e cas de répose ausse L espace est rapporté au repère orthoormé( O, i, j, k ) O désige par p le pla d équatio + y z + 4 = 0 et, par A et B les poits de coordoées respectives ( ;; 4 ) et ( ;4;) Soit D la droite ayat pour représetatio paramétrique : Le pla p et la droite D sot sécats Le pla p et la droite D o aucu poit commu La droite D est icluse das le pla p Aucue des poits airmatios précédete est vraie O ote p ' le pla d équatio + 4y z + 4 = 0 Les plas p et p ' sot parallèles et disticts Les plas p et p ' sot coodus = + t y = 7 t t R z = 6 + t Les plas p et p ' sot sécats suivat ue droite de vecteur directeur i + j + k Les plas p et p ' sot sécats suivat ue droite de vecteur directeur i + j + k L esemble des poits M de l espace qui sot équidistats des poits A et B est : Ue droite passate par le poit C de coordoée ;; Ue sphère de rayo Le pla d équatio 4 + y + z = 0 Le pla d équatio 4 + y + z = 0 4 L esemble des poits M de l espace tels que MA MB = est : Douala Mathematical Society : wwwdoualamathset Lycée Biligue Nylo Brazzaville - Séquece Termiale C

4 7 Ue sphère dot le cetre a pour coordoées ;;, 7 Ue sphère dot le cetre a pour coordoées ; ;, Le pla d équatio 4 + y + z = 0, Le pla d équatio 4 + y + z + = 0, A et B sot deu poits de l espace L esemble des poits M de l espace tel que MA MB = est : La droite passat par A et perpediculaire à ( AB )? la sphère ce cetre le milieu de ( AB) et rayo IA, u cercle de rayo AB, aucue propositio est juste 6 Soit das le repère orthoormé ( O, i, j, k ) C (,9,) et D(,,) La distace du poit ( ) L aire du triagle ABC est : D au pla ( ) ABC est :, les poits A (,,) ; (,4, ) 4 Douala Mathematical Society : wwwdoualamathset Lycée Biligue Nylo Brazzaville - Séquece Termiale C B ; + + = L esemble des poits M de l espace vériiat ( MA MB MC MA) est la sphère de cetre le barycetre G du système {(,; (,);(,))} A B C ; et rayogb L esemble des poits M de l espace tels que MA MB BC est le pla ( ABC ) Eercice N 4 : a) Soit u etier aturel impair plus grad que Motrer que l équatio + + = 0 admet toujours au mois ue solutio dasr b) Déduire que l équatio ( E ) : + + = 0 admet qu ue uique solutio oréelle Détermier par la méthode de la dichotomie ue valeur approchée de o à 0 - près Das tout cette questio, [ ; ] a b est ue itervalle de R, a < b; est ue octio cotiue sur] a; b[ O suppose qu il eiste deu rées m et M tel que pour tout ] [ ( ) a; b, m ' M

5 a) O suppose g ( ) = ( ) m Motrer que ] a; b[, g '( ) 0 que pour tout ] a; b[, m( a) ( ) ( a) b) O pose h( ) = M ( ) ( a) motrer que ] a b[ h( ) déduire que pour tout ] a; b[, ( ) ( a) M ( a) et e déduire ;, 0 et e c) Déduire de ce qui précède que s il eiste k > 0 tel que pour tout ] ; [, '( ) alors, y ] a; b[, ( ) ( y) k ( y) a b k O cosidère la octio umérique déiie par ( ) = a) Détermier l esemble de déiitio D de, puis calculer les limites de au bores de D b) Détermier les équatios de toutes les asymptotes à la courbe ( C ) représetative de la octio c) Calculer '( ) octio pour tout D et établir le tableau de variatios de la d) Costruire ( C ) das u repère orthoormé O predra cm comme uité sur les aes e) O cosidère la octio g ( ) = ( ) i Motrer que g est cotiue sur l itervalle [ ; ] ii Motrer qu il eiste u α [ 0;] tel que g ( α ) = 0 iii E déduire que l équatio ( ) = admet ue uique solutio das R ) Discuter suivat la valeur de m, le ombre de solutios de l équatio ( ) = m Douala Mathematical Society : wwwdoualamathset Lycée Biligue Nylo Brazzaville - Séquece Termiale C

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