Évaluation d'une solution de référence autonome pour la navigation pédestre dans les bâtiments

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1 Istitut Natioal des Scieces Appliquées de Strasourg Mémoire de souteace de Diplôme d Igéieur INSA Spécialité TOPOGRAPHIE Évaluatio d'ue solutio de référece autoome pour la avigatio pédestre das les âtimets Préseté e Septemre 014 par Camille MARCHAND Réalisé au sei du laoratoire : IFSTTAR - La. GEOLOC Route de Bouaye Bougueais Cedex Directeur de PFE : Correcteur : Mme RENAUDIN M FERHAT Chargée de recherche Maître de coféreces IFSTTAR La. GEOLOC INSA de Strasourg

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3 Page Remerciemets Avat toute chose, je ties à remercier les persoes qui ot cotriué de loi ou de près à la réussite de ce stage. Je remercie doc Valérie Reaudi pour le sujet de stage qui m'a permis de predre du recul quat aux approches classiques de la topographie et de me cofroter au mode de la recherche. So dyamisme motivat et so amitio cotagieuse e matière de recherche ot été des moteurs tout au log de ces six mois. De plus, j'ai eu la chace de participer à la rédactio d'u article. Je lui e suis, à ce titre, très recoaissate. La solutio implémetée au cours de ce stage 'aurait pas pu être aussi performate sas les coseils avisés de Christophe Comettes e matière de code sous Matla. So aide tout au log de mo stage m'a été très précieuse. Je ties égalemet à remercier les autres memres de GEOLOC, à savoir Fraçois Peyret, resposale du laoratoire, David Bétaille et Miguel Ortiz aisi que toutes les persoes recotrées à l'ifsttar. Mes remerciemets s'adresset égalemet à l'esemle de mes professeurs pedat mes 5 as de scolarité à l'insa de Strasourg. Ma famille, pedat mes ciq as d'études, m'a toujours souteue et je les e remercie. E particulier, mo petit frère, Germai, s'est attelé à la logue tâche de la relecture de ce rapport, je e peux que lui dire merci. Ces remerciemets e s arrêtet pas là car ce stage à l'ifsttar 'aurait pas été aussi plaisat sas les autres étudiats recotrés sur Nates. Grâce à eux, j'ai pu découvrir avec ethousiasme tous les recois de Nates et de sa régio. Mes remerciemets s'adresset doc aux autres stagiaires de l'ifsttar preat la avette, e particulier Mathilde, Karim, Léo, Carolie, Malo et Eric, aux post-doc et thésards recotrés, e particulier William et Ygjie, et à Floret stagiaire chez Bio-Littoral. Le projet de fi d'études est la coclusio de ciq aées d'études passées à l'insa, das la ville de Strasourg. Toutes les persoes recotrées ot cotriué, chacue à leur maière, à la réussite de ces aées. Je ties à les remercier pour leur amitié, leurs coseils, leur écoute, leur ethousiasme, les discussios plus ou mois philosophiques autour d'ue ière et tous les autres omreux os momets passés esemle. Je remercie doc chaleureusemet mes camarades de promo e particulier Jacques, Lucie, Queti, Christelle, Rémi et les «Stef» aisi que tous mes autres camarades 'ayat, malheureusemet, pas choisi la spécialité topographie à savoir Carolie, Nicolas, Sophie, Noémie, Alexadre, Sylvai et Juliette.

4 Page 3 Tale des matières Itroductio État de l'art et pricipes de ase Différets repères Repère «iertiel» Repère «avigatio» Repère «ody» Système de référece Navigatio pédestre e itérieur «Pedestria Dead Reckoig System» Navigatio à l estime avec ue cetrale iertielle sur le pied Commet calculer le cap de marche plus précisémet? Compesatio avec u filtre de Kalma Ue étape de prédictio Ue étape de mise à jour Étude de la variace d'alla Théorie Commet otiet-o les valeurs des ruits? U chagemet de repère exprimé avec u quaterio Mesures iertielles et oservatios GNSS exploitées Solutio de référece : DGPS Caractéristiques de la cetrale iertielle Doées costructeurs Bila des erreurs pour ue cetrale iertielle Modélisatio des oservatios de la cetrale iertielle Modélisatio de l accélératio Modélisatio du iais d'accélératio Modélisatio des mesures du gyromètre et lie avec le quaterio Modélisatio du iais du gyromètre et lie avec le iais sur le quaterio du gyromètre Modélisatio du champ magétique Positio et vitesse du pied du piéto Modélisatio de la vitesse du pied du piéto Modélisatio de la positio du piéto Iitialisatio - Prédictio Iitialisatio du filtre de Kalma Iitialisatio du vecteur d'état Iitialisatio des variaces et des ruits de mesure Phase de prédictio Lois d'évolutio du quaterio et des iais Lois d'évolutio de la vitesse et de la positio du piéto Matrice de trasitio etre deux états Loi d évolutio de la variace du système... 9

5 Page 4 4. Correctio du vecteur d'état Détectio de QSA et QSF Applicatio des mises à jour liées aux variatios du champ magétique aux variatios de l'accélératio Détectio de ZUPT Détectio de pas à l aide de l accéléromètre Applicatio de ZUPT Iovatio liée à la vitesse du pied Iovatio liée à la positio du piéto Mise à jour e ZUPT Acquérir des doées e vue d ue solutio de référece Rappel des ojectifs Descriptio gloale des tests Équipemet pour l'acquisitio Parcours effectués Étude de précisio Approche théorique Idicateurs de précisio effective Aalyse des résultats Aalyse des traces Étude statistique Impact des différetes mises-à-jour Présece des QSF pedat les phases d'oscillatio du pied Recommadatios sur le protocole d acquisitio Effets des phases statiques imposées Vitesse de marche Coclusio sur les recommadatios Coclusio Biliographie Aexes A.1 Variace d'alla A.1.1 Défiitio de la variace d'alla A.1. Variace d'alla et lie avec la desité spectrale de puissace A. Algère des quaterios et propriétés liées A..1 Défiitio de l'espace des quaterios A.. Rotatio et quaterio A..3 Agles d'euler et quaterio A.3 Détermiatio du défaut d aligemet de l accéléromètre et du iais d accélératio iitial par la méthode des moidres carrés... 69

6 Page 5 Itroductio L istitut fraçais des scieces et techologies des trasports (IFSTTAR) est u étalissemet pulic à caractère scietifique et techologique. C est u service du miistère de l écologie, du développemet durale et de l éergie aisi que du miistère de l eseigemet supérieur et de la recherche. Cet istitut a pour ut d améliorer la moilité des persoes et des ies par la recherche, le développemet et l iovatio des poits de vue techique, écoomique, social, saitaire, éergétique, eviroemetal et humai. L IFSTTAR est composé de plusieurs sites répartis das toute la Frace, où travaillet 108 agets. Le site de Nates regroupe le départemet Matériaux et structures, le départemet Géotechique, eviroemet, risques aturels et scieces de la terre, le départemet Améagemet, moilité et eviroemet aisi que le départemet Composats et systèmes. Ce Projet de Fi d Études a été réalisé au sei du départemet Composats et systèmes, das le laoratoire GEOLOC. Après l avèemet du système de localisatio de type GNSS (Gloal Navigatio Satellites System) qui offre des solutios satisfaisates pour la géolocalisatio e zoe dégagée, il est deveu primordial de pouvoir se géolocaliser das les zoes o couvertes par les sigaux GPS, e zoe masquée et même e itérieur [1]. Il existe déjà des solutios permettat de géolocaliser des véhicules ou tout autre moye de trasport das ce type de lieu. La moilité des Hommes a évolué et coaître la positio d'u piéto est deveue ue source d'itérêt pour tous. Plusieurs recherches et développemets das le domaie de la avigatio pédestre e itérieur ot déjà été réalisés et apportet des réposes plus ou mois satisfaisates au prolème. Certaies de ces solutios sot dépedates d'ue ifrastructure déjà mise e place. La précisio sur la positio déped alors de la couverture du réseau. O peut par exemple citer des solutios utilisat u réseau WIFI pour calculer la positio du piéto []. Das ce cas, il se peut qu il y ait ue zoe das laquelle les odes WIFI sot de mauvaise qualité ce qui etraie des imprécisios e termes de calcul de positio. L'iter-coectivité des doées reçues et émises etraie alors des questios sur la protectio des doées de l'utilisateur. La géolocalisatio pédestre e itérieur peut poser des prolèmes d'éthique. Il est doc itéressat de disposer d'ue solutio autoome. De omreuses recherches ot été effectuées das ce ut : détermier la positio d'u piéto e itérieur de maière idépedate. Les solutios répodat à cette prolématique e sot pas tout à fait satisfaisates e termes de précisio, souvet de l'ordre de plusieurs mètres. Cette précisio 'est pas suffisate pour l'usage qui e est fait. Das ue approche classique de la topographie, détermier ue positio précisémet peut s'effectuer par u suivi tachéométrique. Or cette méthode est impossile à mettre e place pour le suivi d'u piéto se déplaçat das u eviroemet clos. Ce projet de fi d'études propose doc ue solutio s'adaptat à la prolématique du déplacemet de l'homme. L'ojectif de ce projet est d étalir ue solutio de référece autoome pour la avigatio pédestre e itérieur, c'est-à-dire d oteir ue trajectoire de référece pour u piéto se déplaçat à l itérieur d u âtimet. Cette solutio doit être idépedate de tout autre système aisi qu assurer ue précisio sur la positio, calculée e temps réel, de 1m à sigma. Ce projet de fi d'études s iscrit das le cadre du développemet d ue solutio performate pour la localisatio e itérieur, adaptée à u smartphoe. La solutio de

7 Page 6 référece étalie lors de ce PFE permettra de tester les développemets lors d expérieces futures. Das le domaie de la avigatio pédestre, il est possile d utiliser les pricipes de la iomécaique de la marche pour détermier la positio d u piéto. Il existe différets modèles qui permettet d estimer la logueur d u pas. Le cap de marche est calculé à partir des oservatios d'ue cetrale iertielle. Les positios successives du piéto sot alors calculées par ue successio de poits lacés. Das ce cas, o parle de Pedestria Dead Reckoig (PDR). La grade présece de capteurs de type MEMS das de omreux ojets de la vie courate, tels que les smartphoes, est à l'origie de leur utilisatio das le domaie de la géolocalisatio pédestre e itérieur. Ces capteurs sot issus de la techologie de la microéléctroique et sot costitués d'élémets mécaiques, d'actioeurs et de capteurs. De plus, leurs performaces se sot grademet améliorées au cours des derières aées. Ces capteurs laisset etrevoir de ouvelles possiilités de recherche et de développemet e ce qui cocere la géolocalisatio e itérieur. Leurs oservatios peuvet maiteat être exploitées tout e gardat à l'esprit cette idée de qualité das la détermiatio de la positio. Les relatios utilisées e aéroautique, c'est-à-dire les relatios de Newto liat l accélératio à la vitesse et à la positio sot alors appliquées. O parle de «strapdow iertial avigatio». La vitesse et la positio sot calculées à partir des mesures de l accéléromètre, celles du gyromètre et celles du magétomètre. De plus, le pricipe gééral de la avigatio à l estime est aussi utilisé. Par cette méthode, la positio d u ojet à u istat doé est détermiée à partir de l istat précédet et grâce aux oservatios de l accélératio et/ou de la vitesse à l istat préset. Cepedat, la précisio des mesures issues de ces capteurs est ie iférieure à celle des cetrales iertielles de haute qualité. La dérive temporelle des MEMS actuellemet sur le marché est assez élevée et impose ue correctio régulière des icoues à l aide des oservatios. La solutio implémetée au cours de ce projet met e pratique plusieurs mises à jour qui permettet de limiter la propagatio des erreurs sur la positio du piéto. Les deux pricipaux ojectifs de ce travail sot 1. d'implémeter ue solutio autoome utilisat uiquemet les oservatios d'u capteur iertiel situé sur le pied d'u piéto et. de défiir u protocole d'acquisitio afi que la solutio oteue puisse être cosidérée comme ue solutio de référece. La première partie de ce rapport présete différetes solutios déjà existates das la littérature actuelle et pose les différets cocepts permettat de compredre le foctioemet de la solutio proposée par la suite. Les outils utilisés au cours de ce projet sot esuite détaillés das ue secode partie. Afi de répodre aux deux ojectifs défiis précédemmet, la solutio proposée est expliquée e deux étapes pricipales. Différets tests aisi qu'ue étude de la précisio ot fialemet été réalisés das le ut de défiir le protocole d'acquisitio qu'il faudra suivre pour atteidre les meilleures performaces avec la solutio proposée.

8 Page 7 1. État de l'art et pricipes de ase Cette partie fait état des autres recherches effectuées das le domaie de la avigatio pédestre et résume les différets cocepts écessaires à la compréhesio des travaux effectués au cours de ce PFE Différets repères Avat tout calcul ou toute étude, il est écessaire de préseter les différets repères qui sot mis e jeu das ce rapport Repère «iertiel» U repère iertiel est u repère das lequel les lois de Newto sot applicales. Ce référetiel est u référetiel orthoormé et so origie est aritraire. Les cetrales iertielles fourisset des oservatios par rapport à u repère iertiel Repère «avigatio» Le référetiel «avigatio» est u repère cartésie das lequel sot projetées les positios issues directemet du DGPS et les positios calculées à partir des oservatios du capteur iertiel. Ce repère est u pla taget localemet à la Terre. Il permet doc de comparer les positios issues de la solutio de référece et celles calculées à partir des oservatios du capteur Repère «ody» Les oservatios issues du capteur iertiel sot exprimées das u référetiel propre au capteur, appelé «ody». U exemple d'u tel référetiel est représeté sur la Figure 1. Figure 1 : Axes de mesure de la cetrale iertielle ADIS (Source [1]) Aisi, pour la cetrale iertielle ADIS 16488, les axes de l'accéléromètre sot cofodus avec ceux du gyromètre et du magétomètre. Ce repère déped uiquemet de l'orietatio du capteur par rapport au repère «avigatio». Das otre cas, le capteur est fixé sur le pied d'u piéto. La cetrale iertielle est cosidérée comme fixe par rapport à ce derier. L'orietatio du référetiel «ody» das le repère «avigatio» est doc lié aux mouvemets du pied. A chaque istat de mesure, le repère «ody» exprimé das le référetiel «avigatio» est différet. Das otre étude, seules les coordoées plaimétriques sot étudiées. E avigatio pédestre e itérieur, les chagemets d'altitude correspodet à des chagemets d'étage. Ces

9 Page 8 chagemets rusques de iveau sot détectés à l'aide d'autres capteurs tels que des aromètres. Les variatios d'altitude miimes, de l'ordre du cm, 'itéresset pas l'utilisateur qui cherche à se géolocaliser das u eviroemet et o pas à coaître ses coordoées précisémet. Das la suite de ce mémoire, ue gradeur écrite avec u exposat sigifie que sa valeur est exprimée das le repère «ody». De la même maière, ue gradeur écrite avec u exposat idique que sa valeur est exprimée das le repère «avigatio». 1.. Système de référece E extérieur, le GPS est la solutio autoome de référece mais o e compte, à ce jour, aucu équivalet lorsque l'utilisateur se déplace e itérieur. Cepedat, certaies solutios o autoomes offret de oes performaces pour la géolocalisatio idoor. Les solutios offrat les meilleurs résultats das le domaie de la géolocalisatio pédestre sot les solutios optiques [3]. Ces systèmes sot doc souvet utilisés comme solutio de référece. Ils servet à qualifier la précisio de la solutio étudiée. Ces systèmes, dits de «motio capture», permettet de détermier la positio du piéto aisi que les agles d attitude. La dépedace de ces systèmes vis à vis d'ue ifrastructure particulière est le pricipal icovéiet. Ils e peuvet doc pas être facilemet déplacés das u ouvel edroit et e sot doc pas adaptales et utilisales par tous. Il est égalemet possile d utiliser u jeu de doées de référece qui permet d aalyser et de vérifier les performaces d ue solutio. La méthode de simulatio de ces sigaux de référece est décrite das [4]. Ces doées permettet, par la suite, de tester les solutios implémetées. Cepedat, ces sigaux sot assez éloigés de la réalité et e peuvet pas représeter tous les mouvemets et gestes aléatoires d u humai qui marche. Les résultats doés par cette approche de qualificatio d'ue solutio sot doc assez limités. L'asece de réelle solutio autoome de référece pour la avigatio pédestre est à l'origie de ce projet de fi d'études Navigatio pédestre e itérieur De omreux travaux ot déjà été meés das le domaie de la avigatio pédestre e itérieur. Les scietifiques ot logtemps délaissé la avigatio à l'estime du fait de la mauvaise qualité des capteurs as coûts, ces capteurs état perturés par ue dérive importate «Pedestria Dead Reckoig System» Ce pricipe de géolocalisatio exploite les caractéristiques iomécaiques de la marche e plus des oservatios d u capteur iertiel pour calculer la positio d u piéto [5] et [6]. La positio du piéto est calculée par poit lacé depuis ue positio iitiale coue. Le cap de marche est détermié par doule itégratio des mesures du gyromètre tadis que la distace parcourue est calculée à l aide d u modèle de logueur de pas. Ce modèle déped de la fréquece de marche du piéto, de sa taille et d u jeu de trois variales. Les istats de pas doivet au préalale être détectés. Cette approche est particulièremet itéressate pour des capteurs portés das la mai. Les derières recherches das ce domaie [5] permettet de détecter ces istats tout e ayat le capteur iertiel das la mai. Cette étape est redue difficile car la fréquece de marche et les fréqueces extraites des mouvemets du ras pedat la marche e sot pas

10 Page 9 idetiques. La cadece de pas est alors estimée e supposat que la partie haute fréquece du sigal peut être comparée avec la fréquece de pas. Ue erreur plaimétrique de,5 à 5% par rapport à la logueur totale parcourue est oservée. Ces performaces sot à comparer avec celles oteues avec les meilleurs solutios, i.e. lorsque le capteur iertiel est positioé sur le pied ou sur le torse. O est alors das les mêmes ordres de gradeur Navigatio à l estime avec ue cetrale iertielle sur le pied Le fodemet d ue solutio de avigatio calculée selo u mécaisme de type «strapdow» est d utiliser directemet les oservatios issues du capteur iertiel pour détermier la vitesse et la positio du piéto e exploitat les équatios de Newto das le référetiel iertiel, [7], [8], [9] et [10]. L esemle est implémeté das u filtre de Kalma, les icoues état la positio du piéto, la vitesse du piéto, le iais d'accélératio, le iais du gyromètre, et les agles d attitude. La Figure explicite le pricipe de foctioemet d'ue telle solutio de géolocalisatio. Gyro Attitude Vitesse Acc Rotatio Coriolis& Gravité Positio Figure : Schéma loc pour la avigatio à l'estime Das u premier temps les oservatios issues du gyromètre sot itégrées afi de détermier les agles attitudes. Ces oservatios permettet égalemet de calculer la matrice de trasformatio etre le repère «ody» et le repère «avigatio». Le cap de marche est alors détermié à partir des agles d'attitude. Das u secod temps, les oservatios issues de l'accéléromètre peuvet être exprimées das le repère «avigatio» à l'aide de cette matrice de chagemet de repère. La vitesse et la positio sot oteues après, respectivemet, par itégratio simple et par doule itégratio des doées d'accélératio. L importate dérive des capteurs iertiels as-coûts impose des mises à jour régulières, le plus souvet grâce à des mesures exteres de type GPS. Ici la iomécaique du cycle de marche est exploitée. La première mise à jour est effectuée sur la vitesse : Zero velocity UpdaTe. La vitesse est supposée ulle lorsque le pied est e phase d appui au sol. La secode mise à jour s effectue e corrigeat les agles avec les mesures de champ magétique. Il est doc écessaire de détecter ces phases d appui au sol du pied. Il existe différets pricipes de détectio de ces istats. Ces modes de détectio sot évalués das [11]. Les résultats e positio de ce gere de solutio ot ue marge d erreur de 5% par rapport à la distace parcourue. Les résultats sur le calcul du cap de marche sot plus proats lorsqu il est estimé puis corrigé e utilisat les oservatios du champ magétique et celles d accélératio.

11 Page Commet calculer le cap de marche plus précisémet? Récemmet, ue ouvelle solutio afi de calculer le cap de marche avec u capteur iertiel a été défiie [1]. Cette solutio est asée sur deux pricipes iovats. Das u premier temps, la meilleure solutio mathématique pour paramétrer le système a été choisie. Le prolème est paramétré etièremet das l espace des quaterios. L'utilisatio des quaterios pour la défiitio d'ue solutio de avigatio pédestre 'est pas ouvelle, [8] et [9]. Das ces deux articles, les agles d attitude sot exprimés à l aide d u quaterio das le vecteur d état. L'erreur sur le iais du gyromètre; figurat égalemet parmi les icous, 'est pas exprimée sous la forme d'u quaterio cotrairemet à ce qui est fait das [1]. La première iovatio das le calcul du cap de marche réside doc das le fait d'itroduire u iais sur le quaterio du gyromètre das les icoues à la place d'u iais sur les vitesses agulaires. Das u secod temps, l'esemle des doées fouries par u capteur iertiel est exploité afi d'améliorer l'estimatio du cap de marche. Deux ouvelles mises à jour sot appliquées. Elles sot effectuées e oservat les variatios du champ magétique («Magetic Agular Rate Update» : MARU) et celles des mesures d accélératio («Agular Gradiet Update» : AGU). Ces mises à jour permettet de cotraidre le système et doc de corriger, à des momets opportus, les icoues du prolème. Des tests ot été meés avec u capteur as-coûts de type MEMS teus das la mai par u piéto. Ces tests offret de os résultats puisque la dérive agulaire est de seulemet 7 après u kilomètre de marche. Ce projet de fi d'études comie la ouvelle maière de calculer le cap de marche tout e ayat le capteur iertiel sur le pied. E vue des oes performaces de ces deux méthodes séparémet, de très os résultats peuvet être evisagés si elles sot associées das ue même solutio. U filtre de Kalma a été mis e place afi de pouvoir predre e compte les deux derières iovatios décrites précédemmet Compesatio avec u filtre de Kalma L esemle de la solutio est implémeté avec u filtre de Kalma. Cette partie théorique permet de ie compredre l'articulatio des différetes équatios qui sot étalies tout au log de ce rapport. L'ojectif d'u filtre de Kalma est d'estimer les icoues d'u système dyamique dot l état est décrit par des équatios de mouvemet et des équatios d'oservatio. Les icoues sot détermiées e deux étapes, [13] et [14]. Elles sot d aord prédites par u modèle d évolutio du système puis mises à jour à l'aide d'u esemle d'oservatios. Le filtre de Kalma fourit ue estimatio optimale des icoues à partir de mesures ruitées et de modèles qui approximet la réalité. Cotrairemet à ue compesatio par les moidres carrés, le filtre de Kalma a pour avatage de predre e compte la modélisatio dyamique du système. C'est à dire qu'u modèle foctioel lie les icoues aux oservatios. Le filtre de Kalma suppose que le ruit du modèle aisi que le ruit de mesure sot de type ruit lac gaussie cetré, c'est-àdire qu ils suivet chacu ue loi ormale de variace doée et de moyee ulle. Cette coditio peut aussi se traduire par le fait que deux oservatios successives du sigal e sot pas corrélées. Ces deux ruits e doivet pas être corrélés. E coséquece, toutes les icoues des capteurs sot modélisées avec différets iais et ruits. Ces modélisatios

12 Page 11 jouet u rôle importat das la covergece du filtre et doivet être les plus exactes possile. Le plus gééralemet, les iais des icoues fot partie itégrate des icoues et ils sot égalemet estimés et corrigés par le filtre. Les icoues formet le vecteur d état du système. Ce type de filtre est applicale uiquemet das le cas où le vecteur d état à u istat t k déped du vecteur d état à l istat précédet. Cette corrélatio etre deux istats successifs se traduit par l'équatio (1) : X = f X + W, (1) où k k, k 1 k 1 k 1 Xk est le vecteur d état du système à l istat t k. f k, k 1 est la matrice de trasitio etre les époques t k et tk 1. Elle est cosidérée comme ivariale das le temps. Cette matrice découle de la Jacoiee calculée par u développemet de Taylor à l ordre 1, sur l itervalle de trasitio t, des foctios qui décrivet la dyamique du système. W k 1 est le ruit du modèle à l istat tk 1. Il est de moyee ulle et de variace Q k 1. Les oservatios dispoiles sot reliées aux icoues, à l istat t k, via la matrice de mesure H k : zk = Hk Xk + N k () avec zk est le vecteur des oservatios à l istat t k, Nk est le ruit de mesure à l istat t k. Comme dit précédemmet, W k 1 et N k sot des ruits lacs gaussies. Chacu suit doc ue loi ormale de moyee ulle et de variace doée et ils sot supposés o corrélés. U filtre de Kalma se décompose e deux étapes Ue étape de prédictio Le vecteur d état à l istat t k est prédit à l aide du vecteur d état à l istat précédet. La matrice d évolutio du système est utilisée lors de cette étape de prédictio. Les variales estimées, représetées par u «^», sot à distiguer des variales prédites ou mises à jour, représetées respectivemet par u sige ou u sige +. Aisi, le vecteur d état est prédit de la maière suivate : ˆ ˆ + X = f X (3) k k, k 1 k 1 La matrice de covariace des icoues est détermiée par propagatio de variaces et ajout des ruits qui représetet les icertitudes du modèle, ce qui doe l équatio (4). ˆ ˆ + T P = f P f + Q (4) k k, k 1 k 1 k 1 k Pˆk est l estimatio de la matrice de covariace des icoues à l istat t k Ue étape de mise à jour Les oservatios réalisées à l istat tk sot utilisées pour mettre à jour le vecteur d état et la matrice de covariace des icoues. Pour cela, la différece etre les oservatios à l istat t k et les mesures prédites au même istat est calculée. C est la séquece d iovatio, otée io k à l istat t k. ˆ ˆ io = z z = z H X (5) k k k k k k

13 Page 1 Elle permet de predre e compte de ouvelles cotraites liées aux oservatios à l istat t k. Afi de corriger au plus juste les estimatios des icoues, le gai de Kalma est détermié. Il a pour ut de podérer les correctios à apporter sur les icoues. La matrice des poids à appliquer à la correctio est calculée de la maière suivate : T 1 K = P H ( H P H + R ) (6) K k est le gai de Kalma à l istat t k. k k k k k k k Fialemet, les icoues et la matrice de covariace sot corrigées de la maière suivate : ˆ + ˆ X = X + K io (7) k k k k + P = ( I K H ) P (8) k k k k La mise à jour sur les icoues et sur la matrice de variace-covariace est effectuée à chaque fois que cela est possile, i.e. dès que la cofiguratio des oservatios permet de détermier ue séquece d iovatio. Il est importat de oter qu ue mauvaise modélisatio du système etraie ue mauvaise ou ue o-covergece du filtre. Les résultats sot doc faussés. La variace d Alla doe de oes idicatios sur le ruit de mesure et permet doc de modéliser le système au plus près de la réalité Étude de la variace d'alla Le calcul de variace d'alla a été utilisé au cours de ce projet afi d idetifier et de quatifier les différets ruits de mesure des capteurs. Il apparaît doc primordial d'expliciter so pricipe et la maière dot elle a été utilisée Théorie La variace d Alla est usuellemet utilisée pour caractériser le ruit de mesure d u capteur, [15] et [16]. Das ce cas, le ruit de mesure est supposé modélisale par des erreurs caractéristiques. La cotriutio de chacue des erreurs au ruit de mesure total du capteur est détermiée grâce à la variace d Alla. La variace d Alla correspod à l écart-type moye etre deux séries d oservatios séparées de oservatios. Cela ous iforme doc sur la variace d'u jeu d'oservatios par rapport à sa fréquece d'acquisitio. Plus de détails théoriques sur la défiitio du calcul de variace d'alla sot fouris das l'aexe A.1. La Figure 3 représete la coure issue du calcul de variace d'alla pour u sigal perturé par différets ruits caractéristiques.

14 Page 13 Figure 3 : Variace d Alla e foctio du temps pour différets ruits (Source : [16]) U sigal mesuré est perturé par différets ruits défiis par des processus aléatoires particuliers. L'étude de la variace d'alla permet doc d'idetifier les différets ruits qui affectet le sigal aisi que de quatifier leur valeur. Si la pete de la coure issue de la variace d'alla est égale à -1/ pour de failes fréqueces, alors le sigal est composé d'u ruit de type marche aléatoire («Agle Radom Walk»). Le calcul de variace d'alla pour u sigal présetat u ruit corrélé («Correlated Noise») doera ue coure modélisale par ue siusoïdale. Après avoir idetifié les différets ruits affectat le sigal, il est possile de lire les valeurs de ces ruits à partir de la coure de la variace d'alla Commet otiet-o les valeurs des ruits? Les oservatios issues d'u capteur iertiel sot le plus souvet composées d'u ruit lac («Quatizatio Noise»), d'ue marche aléatoire («Radom walk») et d'u ruit corrélé («Correlated Noise») [17]. Ici, ous préseteros uiquemet la maière de lire la valeur de ces ruits. Le Taleau 1 repred les expressios extraites du calcul de variace d Alla pour les ruits de mesure cités précédemmet. Type de ruit Bruit lac («Radom Walk») Marche aléatoire («Rate Radom Walk») Variace d'alla ( σ ( τ ) ) N τ Equatio e échelle log. Pete Valeur du coefficiet 1 log( σ ) = log( N) log( τ ) -1/ N = σ (1) K τ K 1 3 log( σ ) = log( ) + log( τ ) 1/ K = σ (3) 3 Bruit corrélé («Correlated Noise») ( qctc ), τ T τ qc τ, τ Tc 3 c 1 log( τ ) = log( τ ) + log( q T ) 1 qc log( τ ) = log( τ ) + log( ) 3 c c ± 1/ q T = σ (1) q c c c = σ (3) Taleau 1 : Caractéristiques de différets types de ruits

15 Page 14 Les valeurs des ruits pour u sigal correspodet aux valeurs des coefficiets décrits das le Taleau 1. Elles peuvet doc être lues directemet sur la coure issue du calcul de variace d Alla, [18] et [19]. Aisi, pour détermier la valeur du ruit lac d'u capteur, il faut lire la valeur de la variace d'alla pour τ = 1. De la même maière, le valeur de la marche aléatoire d'u sigal est lue pour τ = 3. La valeur du ruit corrélé correspod à la valeur maximale de la partie de la coure assimilale à ue siusoïdale. Les ruits des sigaux du capteur iertiel peuvet doc être défiis grâce à l'étude de la variace d'alla. Le derier pricipe de ase essetiel à la compréhesio de ce rapport correspod à l'iovatio pricipale défiissat la solutio, i.e. l'utilisatio des quaterios pour paramétrer les rotatios etre les différets repères U chagemet de repère exprimé avec u quaterio Les oservatios fouries par le capteur iertiel sot exprimées das le repère «ody» alors que les résultats fiaux sot étudiés das le repère «avigatio». Avat tout calcul, il est doc écessaire de défiir la trasformatio permettat de passer d'u repère à l'autre. Si l'o se place das des espaces de dimesio 3, u chagemet de repère est défii comme ue successio de plusieurs rotatios, chacue au tour d u axe d u trièdre droit. Les agles d'euler sot utilisés pour paramétrer ces rotatios. La Figure 4 red compte du chagemet de repère etre le référetiel «ody» et le référetiel «avigatio». Les agles d'euler y sot représetés e vert. Figure 4 : Chagemet de repère à l'aide des agles d'euler et à l'aide d'u quaterio (Source persoelle) Cepedat, e foctio de l ordre das lequel les rotatios sot réalisées, différets résultats peuvet être oteus. Or, d après le théorème d Euler, das u espace tridimesioel, ue trasformatio etre deux repères peut être défiie par ue rotatio uique, otée α, autour d u vecteur fixe, appelé axe Eulérie, oté E. L'agle de rotatio α et l'axe eulérie permettet de défiir u quaterio. Le chagemet de repère à l aide d u quaterio est représeté e rouge sur la Figure 4.

16 Page 15 U quaterio est u vecteur composé de quatre composates [0]. Il est possile de passer des agles d'euler au quaterio associé et vice versa. Les différetes propriétés sur l'espace des quaterios sot présetées das l'aexe A.. Les formules permettat de trasformer les agles d'euler e quaterio y sot égalemet défiies. Das la suite, tous les calculs sot effectués à l aide des quaterios pour s affrachir des amigüités provoquées par l utilisatio des agles d Euler e ce qui cocere les trasformatios etre repères. Le vecteur d état du filtre de Kalma est pas composé des agles d Euler, ou des agles d'attitude, et des iais sur ces agles comme souvet mais des quatre composates du quaterio et d u iais sur ce quaterio. Après avoir défii succictemet les différets pricipes de ase écessaires à la compréhesio de la solutio implémetée das la suite du mémoire, la partie suivate est cosacrée à la présetatio des capteurs utilisés das otre étude et à la modélisatio des différetes icoues du prolème.

17 Page 16

18 Page 17. Mesures iertielles et oservatios GNSS exploitées Cette étude met e jeu deux capteurs différets : ue cetrale iertielle et u GPS ; l u jouat le rôle de la solutio à qualifier et l autre de la référece..1. Solutio de référece : DGPS Le ut de cette étude est d'évaluer la précisio allouale à otre solutio de avigatio pédestre e itérieur afi de défiir ue solutio de référece. Das ce ut, il est écessaire de pouvoir comparer les résultats oteus avec otre solutio à ue référece. U GPS différetiel (DGPS) sert de solutio de référece. Il s'agit d u récepteur GNSS i-fréquece Septetrio AsteRx1 porté par le piéto. Le poit de ase se situe sur le toit d'u des âtimets de l'ifsttar. La logueur de la lige de ase est de 1km au maximum. Les positios GPS sot calculées e post-traitemet avec le logiciel GrafNav de NovAtel. Ces positios sot exprimées das le repère «avigatio». La précisio sur les positios issues des oservatios du DGPS est posée égale à cm... Caractéristiques de la cetrale iertielle..1. Doées costructeurs Das le cadre de ce projet, le capteur utilisé est ue cetrale iertielle s ADIS Cette cetrale iertielle est muie d u accéléromètre, d u gyromètre et d u magétomètre chacu triaxial, aisi que d u capteur de pressio. Elle a 10 degrés de lierté. L'accéléromètre permet de mesurer l'accélératio liéaire du moile das u repère 3D. Le gyromètre mesure des vitesses agulaires selo 3 axes par rapport au repère iertiel. Ces vitesses sot exprimées das le repère «ody». Le magétomètre mesure l'itesité et la directio du champ magétique. Les doées issues du capteur de pressio ot pas été utilisées lors de ce projet mais pourraiet servir à idetifier des chagemets d altitude. Les caractéristiques de mesure de l ADIS 16488, fouries par le costructeur, sot résumées das le Taleau. Accéléromètre Gyromètre Magétomètre Plage de mesure ± 18 g ± 450 /s ±,5 Gauss Précisio de mesure 1,1.10^-8 g 3,05*10^-7 /s 0,1 mgauss Desité spectrale de ruit 0, 067 mg/ Hz 0, 0066 / s/ Hz 0, 054 mgauss / Hz Stailité de iais 16 mg ±0, /sec - Erreur d aligemet ±0,035 ±0,05 ±0,5 Taleau : Caractéristiques pricipales de la cetrale iertielle ADIS (Source [1]) Cette cetrale iertielle est u capteur. Les performaces d'u tel capteur sot doc loi de celles des cetrales iertielles de haute qualité, utilisées, etre autres, das l'aéroautique.... Bila des erreurs pour ue cetrale iertielle Comme tout capteur, les oservatios d'ue cetrale iertielle sot etachées d'erreurs. Deux types d erreurs sot à distiguer pour les cetrales iertielles : les erreurs détermiistes, qui peuvet être prédites et quatifiées ; et les erreurs aléatoires qui, répétées das des

19 Page 18 coditios idetiques, doet des résultats différets. Les erreurs etachat les mesures du gyromètre sot du même type que celle etachat les mesures d accélératio. Le iais et le facteur d échelle sot des erreurs détermiistes. Ces erreurs peuvet être réduites, voire élimiées grâce à des phases de caliratio, précédet les oservatios. Le iais du capteur correspod à la valeur mesurée lorsque le capteur est au repos. Il est composé d'ue partie qui e varie pas et d'ue autre qui diffère selo le jeu d'oservatios. Cette derière partie est appelée le iais d'allumage. Elle est difficile à estimer. Le facteur d'échelle correspod au rapport sigal e etrée sur sigal e sortie. Le facteur d'échelle d'u capteur parfait vaut 1. Il est aussi importat de predre e compte le défaut d aligemet du capteur par rapport à la directio de marche. Cette erreur détermiiste est corrigée e estimat ce défaut pedat les premiers istats d oservatios. Le ruit de mesure est ue erreur aléatoire. Il est composé de deux composates : ue liée aux asses fréqueces et l'autre, aux hautes fréqueces. E avigatio pédestre, la composate liée aux asses fréqueces est la plus importate..3. Modélisatio des oservatios de la cetrale iertielle La modélisatio des oservatios des capteurs iertiels est explicitée das le paragraphe suivat Modélisatio de l accélératio L'accéléromètre e mesure pas directemet l'accélératio istataée du moile mais ue force de répose à la force de gravitatio. D après le pricipe fodametal de la dyamique, das u repère galilée, la somme des forces appliquées à u solide est équivalete au produit de sa masse par so accélératio, d où : F = ma (9) Lorsque l accéléromètre est composé d u ressort, o peut écrire P + T = ma (10) Avec P = mg le poids de l ojet, m état la masse de l ojet. T = kx : la tesio du ressort, k état la costate de raideur du ressort. (10) équivaut à (11). k m x = a g (11) k L accéléromètre mesure doc la répose aux forces qui lui sot appliquées, c'est-à-dire * m x, k et m état des costates coues. k O pose : y Acc = x. Le modèle de mesure de l accélératio, exprimé das le repère m «ody», est de la forme : y = a g + + η, (1) avec g l itesité de la force de pesateur, Acc Acc Acc a l accélératio propre à l ojet, exprimée das le «ody», Acc le iais d accéléromètre, exprimé das le «ody»,

20 Page 19 η Acc le ruit lac gaussie de l'accélératio, exprimé das le «ody»..3.. Modélisatio du iais d'accélératio Le iais d'accélératio est modélisé avec u processus de Gauss Markov du premier ordre. Ce choix résulte de l aalyse de variace d Alla effectué sur ue logue période d acquisitio statique des mesures. La dyamique du iais d'accélératio est défiie de la maière suivate : ɺ = β + η, (13) Acc Acc Acc avec β le temps de corrélatio associé au processus de Gauss Markov du iais d'accélératio, η le ruit du iais d accélératio das le repère «ody». Acc.3.3. Modélisatio des mesures du gyromètre et lie avec le quaterio Les oservatios réalisées par le gyromètre permettet de détermier les agles d'euler et par la suite la matrice de passage etre le repère «ody» et le repère «avigatio». Le modèle de mesure du gyromètre, exprimé das le repère «ody», est de la forme : y = ω + + η, (14) ω ω ω avec ω la valeur vraie de la mesure du gyromètre, exprimée das le «ody», le iais du gyromètre, exprimé das le «ody», ω η ω u ruit lac gaussie sur le gyromètre L'esemle du travail état réalisé das l'espace des quaterios, les oservatios du gyromètre sot utilisées afi de calculer le quaterio correspodat. Pour chacue des mesures du gyromètre, le quaterio associé est de la forme : q = q + + η, (15) avec qω la valeur vraie du quaterio, q ω le iais du quaterio du gyromètre, ηq ω u ruit lac gaussie sur le quaterio. ω ω.3.4. Modélisatio du iais du gyromètre et lie avec le iais sur le quaterio du gyromètre Le iais du gyromètre est modélisé avec u processus stochastique de marche aléatoire, comme le motre l'équatio (16). ɺ η, (16) avec ω qω = ω ω η u ruit lac gaussie sur le iais du gyromètre, exprimé das le référetiel «ody». Par suite le iais sur le quaterio du gyromètre est égalemet modélisé par u tel processus. Il s'écrit alors de la maière suivate : avec ω q ω q ω qω ɺ = η, (17) η u ruit lac gaussie sur le iais du quaterio du gyromètre, exprimé das le «ody».

21 Page 0 avec.3.5. Modélisatio du champ magétique Le modèle de mesure du champ magétique s'écrit suivat l'équatio (18). y = Am + + η, (18) m m m y m la valeur mesurée du champ magétique exprimée das le repère «ody», m la valeur vraie du champ magétique exprimée das le repère «ody», A ue matrice preat e compte le facteur d'échelle et le défaut d'aligemet, le iais du champ magétique exprimé das le repère «ody», m η u ruit lac sur la mesure du champ magétique. m Cotrairemet aux capteurs iertiels, le ruit de mesure du magétomètre peut être caliré au déut de chaque acquisitio de doées car il 'est pas composé d'ue dérive []. Il iclut uiquemet des ruits détermiistes dot la valeur peut être détermiée par caliratio. Après caliratio (18) deviet : ym = m + η (19).4. Positio et vitesse du pied du piéto Le capteur se situat sur le pied, la vitesse calculée à partir des oservatios de la cetrale iertielle sera doc celle du pied. La positio du pied est calculée à partir des vitesses du pied du piéto Modélisatio de la vitesse du pied du piéto La modélisatio de la vitesse est e lie avec celle de l accélératio, équatio (1). La valeur vraie de la vitesse exprimée das le repère «avigatio», y v, s'écrit alors de la maière suivate : y = vˆ + δ v + η, (0) avec v ˆ la vitesse estimée à partir de l état précédet, δ v l erreur sur la vitesse, η u ruit lac gaussie sur la vitesse du piéto. v v Ce ruit est directemet lié au ruit des oservatios de l accélératio car la vitesse du pied du piéto est détermiée par itégratio de l'accélératio..4.. Modélisatio de la positio du piéto Les oservatios réalisées par le capteur permettet de détermier la positio du piéto. De la même maière que pour la vitesse du pied du piéto, la valeur vraie de la positio du piéto, y P, est modélisée de la maière suivate : ˆ y = P + δ P + η, (1) avec P ˆ la positio du piéto estimée à partir de l état précédet, δ P l erreur sur la positio du piéto, η u ruit lac gaussie sur le positio du piéto. P P Ce ruit est lié au ruit des oservatios de l'accélératio car la positio du piéto est calculée par itégrale doule de l'accélératio. m v P

22 Page 1 3. Iitialisatio - Prédictio La cetrale iertielle mesure des accélératios et des vitesses agulaires. A partir de ces oservatios la vitesse et la positio du piéto peuvet être calculées. Cepedat, la forte dérive des capteurs as coûts e permet pas d'exploiter directemet ces mesures. Il est écessaire de les corriger dès que les coditios de mesure le permettet. Pour cela, u filtre de Kalma est implémeté de telle sorte que le vecteur d'état, composé des icoues du prolème, puisse être corrigé aux momets opportus Iitialisatio du filtre de Kalma Le vecteur d état du filtre de Kalma, oté X, est composé des 17 icoues du prolème, qui sot : - les quatre composates du quaterio des agles d attitude oteu à partir des agles d Euler, otées q i - le iais de chacue des composates du quaterio du gyromètre, soit 4 iais otés - les iais d accélératio selo les 3 axes de mesures exprimés das le repère «avigatio», oté Acc i - les composates de la positio du pied du piéto exprimées das le repère «avigatio», otées P i - les composates de la vitesse du pied du piéto exprimées das le repère «avigatio», otées v i. Le vecteur d'état s'écrit sous forme de vecteur de la maière suivate : T X = q1 q q3 q4 q 1 q 1 q 3 q 4 Acc X Acc Y Acc Z PX PY PZ vx vy v Z Iitialisatio du vecteur d'état Comme expliqué das le paragraphe 1.4, le vecteur d'état doit das u premier temps être iitialisé. Cette iitialisatio permet esuite d'effectuer ue première estimatio des icoues. Il est écessaire d'y attacher u soi tout particulier car la covergece du filtre déped e grade partie de cette iitialisatio Iitialisatio du quaterio des agles d'attitude La valeur iitiale du quaterio des agles d attitude est calculée à partir des agles d'euler iitiaux. Ces agles correspodet au défaut d'aligemet iitial. Ils sot calculés à partir des valeurs moyees de l'accélératio et du champ magétique mesurées pedat la phase statique, effectuée avat chaque déut d'oservatio Iitialisatio du iais du quaterio Il est difficile d évaluer quatitativemet le iais iitial sur le quaterio du gyromètre. Pour se rapprocher au plus de la réalité, sa valeur est calculée à partir d oservatios e phase statique. Pedat de telles périodes, le gyromètre e doit mesurer aucue vitesse agulaire. Das le cas cotraire, les valeurs mesurées correspodet à u iais de mesure du gyromètre. Des oservatios ot été effectuées e phase statique pedat 6 heures, à ue fréquece de 100 Hz. Les quaterios calculés à partir de ces oservatios doivet être égaux à [ ]. Les valeurs résiduelles correspodet au iais sur le quaterio du gyromètre. q i ()

23 Page Iitialisatio du iais d'accélératio Cotrairemet au iais du quaterio du gyromètre, le iais d accélératio est étali à la suite d ue phase de caliratio. E positio verticale, l accéléromètre e doit mesurer que la répose à la force de pesateur sur l axe qui est placé verticalemet. Plusieurs jeux d oservatios ot été effectués e plaçat successivemet chacu des trois axes verticalemet. La Figure 5 représete le ac de caliratio utilisé pour l accéléromètre. La cetrale iertielle y est fixée de maière à ce qu'u des trois axes soit vertical. L horizotalité de l esemle est garatit grâce à ue ivelle sphérique. Figure 5 : Bac de caliratio pour l'accéléromètre (Source persoelle) Les oservatios ot été effectuées pedat 1 miute sur chacu des 3 axes, et à chaque fois das les deux ses (vers le haut et le as), avec ue fréquece d acquisitio de 100 Hz. Les 6 jeux de mesures ous permettet de détermier le iais d accélératio. Ce vecteur est calculé par la méthode des moidres carrés comme décrit das l'aexe A Iitialisatio de la vitesse et de la positio du piéto La positio et la vitesse du piéto sot iitialisées à l aide des positios issues de la solutio de référece, c'est-à-dire u GPS différetiel. Les oservatios commecet avec ue phase statique de l'utilisateur. La vitesse iitiale est doc défiie comme état ulle. Das d'autres coditios, ue vitesse istataée pourrait être détermiée à partir des positios issues du DGPS, aux istat t iit et t. iit T X iit T X iit viit = (3) T Iitialisatio des variaces et des ruits de mesure Seules les variaces de la positio du piéto et de sa vitesse 'ot pas été défiies à l'aide de l'étude de la variace d'alla. Cette derière a été réalisée afi d aalyser la cotriutio de chacue des erreurs au ruit de mesure du capteur. Elle ous a aussi permis de détermier les variaces iitiales des icoues du prolème. Les oservatios ot été effectuées sur ue durée de 6 heures avec ue cetrale iertielle ADIS16488 e phase statique, la cetrale reposat sur u ac e éto fixe et immoile. La fréquece d acquisitio est de 10,4 Hz. Ue ore Wifi placée à proximité de la cetrale a été écessaire afi de trasférer les doées au cours de la phase d acquisitio, la carte mémoire de la cetrale e permettat pas de stocker l esemle des oservatios. Du fait

24 Page 3 de la présece d ue source émettrice d odes magétiques, les doées issues du magétomètre ot pas été exploitées. L'étude de la variace d Alla a doc permis d'iitialiser la variace du quaterio des agles d'attitude, la variace du iais du quaterio du gyromètre et la variace du iais d'accélératio Variace d'alla pour le gyromètre U quaterio a été calculé à partir de chacue des mesures effectuées par le gyromètre selo l'équatio suivate : Roll Pitch Headig Roll Pitch Headig cos( ) cos( )cos( ) + si( )si( )si( ) Roll Pitch Headig Roll Pitch Headig si( )cos( ) cos( ) cos( )si( )si( ) q = Roll Pitch Headig Roll Pitch Headig (4) cos( )si( )cos( ) + si( ) cos( )si( ) Roll Pitch Headig Roll Pitch Headig cos( )cos( )si( ) si( )si( )cos( ) Le «roll» (roulis), le «pitch» (tagage) et le «headig» (cap) état les agles d'euler associés aux mesures du gyromètre. L'étude de la variace d'alla a directemet été effectuée sur les valeurs des quaterios. La Figure 6 représete les coures issues du calcul de variace d'alla pour les quatre terme des quaterios calculés avec (4). Figure 6 : Coures issues de l'étude de la variace d'alla pour les 4 termes des quaterios (Source persoelle) D'après ces coures, il est possile d'extraire la valeur iitiale de la variace du quaterio des agles d'attitude et celle du iais du quaterio du gyromètre. La valeur de la variace iitiale du quaterio des agles d'attitude correspod à la valeur du ruit lac du quaterio des agles d'attitude. La valeur de la variace iitiale du iais du quaterio du gyromètre correspod à la valeur de la marche aléatoire du quaterio des agles d'attitude. Ces valeurs sot résumées das le Taleau 3.

25 Page 4 1 er terme ème terme 3 ème terme 4 ème terme Quaterio des agles d'attitude, , , , Quaterio du iais du gyromètre 1, ,5.10-6,5.10-6, Taleau 3: Variaces iitiales issues de l'étude de la variace d'alla Variace d'alla pour l'accélératio L'étude de la variace d'alla effectuée sur les oservatios d'accélératio effectuées comme décrit précédemmet permet de défiir directemet les variaces iitiales des composates du iais d'accélératio. Figure 7 : Coures issues de la variace d'alla pour le iais d'accélératio (Source persoelle) La valeur de la variace iitiale du iais d'accélératio correspod à la valeur du ruit lac du iais d'accélératio. Ces valeurs sot résumées das le Taleau 4. 1 ère composate ème composate 3 ème composate Biais d'accélératio [m/s²]² 0,0038 0,0035 0,009 Taleau 4 : Variace iitiale pour le iais d'accélératio Iitialisatio de la variace de la vitesse et de la positio du piéto La positio du piéto est iitialisée à l'aide de la solutio de référece. La précisio sur cette positio est posée comme état égale à cm. Par suite, la précisio sur la vitesse iitiale du piéto est posée égale à,8 cm/s. Ces valeurs représetet l imprécisio iitiale attedue sur ces icoues. Cepedat, les imprécisios iitiales associées à la vitesse et à la positio du piéto ot été augmetées pour favoriser la covergece du filtre de Kalma Matrice iitiale des variaces-covariaces des icoues L'ue des pricipales hypothèses du filtre de Kalma est que les icoues sot idépedates etre elles. La matrice des variaces-covariace est doc diagoale. Elle s'écrit de la maière suivate :

26 Page 5 Var( q) Var( ) q P = Var( Acc ) Var( P ) Var( v ) Cette matrice de variaces-covariaces défiit la cofiace accordée aux icoues. (5) Matrice iitiale du ruit du système La matrice iitiale du ruit du système est composée des ruits de mesure du système sur sa diagoale. Ces ruits de mesure sot au omre de quatre : u ruit sur le quaterio des agles d'attitudes, u ruit sur le iais du quaterio du gyromètre, u ruit sur le iais d'accélératio et u ruit sur l'accélératio. Les trois premiers ruits cités précédemmet sot défiis comme égaux à leur variace. Le ruit sur l'accélératio est issu de l'étude de la variace d'alla. Il correspod à la valeur du ruit lac de l'accélératio. 1 ère composate ème composate 3 ème composate Bruit d'accélératio [m/s²]² 0,077 0,071 0,060 Taleau 5 : Bruit d'accélératio Cette matrice défiit la cofiace accordée aux oservatios. 3.. Phase de prédictio Ue fois que le vecteur d'état, aisi que les variaces et les ruits du système sot iitialisés, c'est à dire que toutes ces gradeurs sot coues à u istat t, il est écessaire de prédire ces gradeurs à l'istat suivat : t + t. Pour cela, des lois d'évolutio doivet être étalies pour chacue des icoues composat le vecteur d'état. Ces lois d'évolutio reliet les icoues etre deux états successifs Lois d'évolutio du quaterio et des iais Les lois d'évolutio présetées das ce paragraphe sot atérieures à ce projet de fi d'études Loi d'évolutio des iais D'après la défiitio des mesures d'accélératio et de celle des mesures du gyromètre écrites das le paragraphe.3, le iais d'accélératio est modélisé à l'aide d'u processus de Gauss Markov et le iais du quaterio du gyromètre est défii avec u processus stochastique de type marche aléatoire. Par défiitio, les lois d'évolutio de ces iais s'écrivet sous la forme suivate : q ( t + dt) = q ( t) + η ω ω qω, (6) Acc ( t + dt) = β Acc ( t) + η Acc avec η q le ruit lac du iais du quaterio du gyromètre, ω η le ruit lac du iais d'accélératio, exprimé das le repère «ody», Acc β le temps de corrélatio lié à la marche aléatoire du iais d'accélératio.

27 Page Loi d'évolutio du quaterio des agles d'attitude Le quaterio des agles d'attitude est estimé à chaque istat de mesure à l'aide de la formule (7). Il déped directemet des mesures du gyromètre. q ( t + dt) = q ( t) q ( t) ω ω cos( dt), (7) q ( t + dt) = q ( t) ( t) + q ηq ω ω ωdt si( dt) dt ω avec ω la vitesse agulaire mesurée à l'istat t, exprimée das le «ody», ηq ω le ruit lac du quaterio des agles d'attitude Lois d'évolutio de la vitesse et de la positio du piéto La positio et la vitesse du piéto sot calculées das le repère «avigatio», à l'aide des équatios de Newto qui reliet l accélératio à la vitesse et à la positio : v a = (8) t P v = (9) t L accélératio, sur l itervalle de temps fixé par la fréquece d échatilloage du filtre, est cosidérée costate, c'est à dire : t R, i t, t + t, a( i) = a( t), (30) avec [ [ t : l'itervalle de temps etre deux mesures successives. L'accélératio prédite das le repère «avigatio» à u istat t se calcule de la maière suivate : aˆ ( t) = qˆ ( ) ˆ ˆ t a q ( t) ˆ ( ) ( ) ˆ = q ( ) ˆ t Acc t Acc t y + g + ηacc q ( t) (31) ˆ ( ) ˆ ( )[ ( ) ˆ a t = q t y t ( t) + η ] qˆ ( t) + g Acc Acc Acc E itégrat les équatios (8) et (9) sur u itervalle [ t, t t] + o otiet, respectivemet, à partir de (8) et de (9), ue équatio descriptive de l évolutio de la vitesse du pied (3) et de celle de la positio du piéto (33), chacue e foctio du temps. t+ t [, ], ( ) 0 u t t + t v u = adu = v + a t (3) t+ t t 1 u [ t, t + t], P( u) = v( u) du = x0 + v0 t + a t (33) t

28 Page 7 Appliqué à otre cas d étude, (34) est doc l équatio d évolutio de la vitesse du pied du piéto etre deux istats successifs et (35) l équatio d évolutio de la positio du piéto, toutes deux exprimées e foctio des oservatios et costates du prolème. + vˆ ( t + t) = vˆ ( t) + aˆ ( t) t + = vˆ ( t) + ( qˆ (t)[ y ( ) ˆ t ( t) + η ] qˆ (t) + g ) t Acc Acc Acc ˆ ˆ P ( t + t) = P ( t) + vˆ ( t) t + aˆ ( t) t ˆ ( ) ˆ ( ) ( ˆ (t)[ ( ) ˆ = P t + v t t + q ( ) ] ˆ y Acc t Acc t + ηacc q (t) + g ) t (34) (35) Aisi, la vitesse et la positio du piéto à u istat t + t sot prédites à partir de l oservatio de l accélératio réalisée à l'istat t, de la valeur estimée du iais d accélératio à l'istat t et des valeurs corrigées de la vitesse et de la positio à l istat précédet Matrice de trasitio etre deux états La matrice de trasitio etre deux états est étalie e détermiat, pour chacue des icoues de otre vecteur d'état, l'écart etre la valeur prédite et la valeur vraie à l istat suivat, c'est-à-dire t + t. Cette matrice permet d'exprimer l écart etre la valeur d'ue icoue à u istat t + t et sa valeur à l'istat précédet. Seules les équatios sur l'erreur sur la positio du piéto et celle sur l'erreur sur sa vitesse ot été étalies au cours de ce PFE Erreurs sur les iais Comme cela a été posé das le paragraphe précédet, les iais sot liés à leur ruit respectif de la maière suivate : δɺ q = η i q i (36) δɺ Acc = η Acc Erreur sur le quaterio des agles d'attitude L'équatio d'erreur du quaterio des agles d'attitude se déduit de la formule de dérivatio d'u quaterio. Elle déped de la mesure du gyromètre à l'istat t et par suite du quaterio associé. Cette équatio est défiie précisémet das [1] Erreur sur la positio du piéto et sur sa vitesse L'équatio d'erreur sur la positio s'écrit de la maière suivate : ( ) ( ) ˆ δ P t + t = P t + t P ( t + t) 1 ˆ 1 = P + v + a P + vˆ + aˆ 1 = δ P ( t) + v ( t) t vˆ ( t) t + t² δa ( t) 1 δ P ( t + t) = δ P ( t) + tδ v ( t) + t² δa ( t) L'erreur sur la vitesse à l'istat suivat est détermiée suivat l'équatio (38): ( t) t ( t) ( t) t ( ( t) t ( t) ( t) t ) (37)

29 Page 8 δ v ( t + t) = v ( t + t) vˆ ( t + t) = v ( t) + a ( t) t ( vˆ ( t) + aˆ ( t) t) δ v ( t + t) = δ v ( t) + tδ a ( t) (38) La variatio de l'accélératio à u istat t est calculée suivat l équatio (39). δa ( t) = a ( t) a ˆ ( t) (39) ˆ + a et a ˆ sot exprimées de la même maière que pour l équatio (31) ce qui ous doe : δa ( t) = q ( t)( y ( )) ( ) ( ˆ t q t + g q ( t)( y ˆ ( t) ) ˆ + η q ( t) + g ) (40) Acc Acc Acc Acc Acc O pose : q ˆ = q + δq et de la même maière q ˆ = q + δq (41) ( ˆ )( )( ˆ ) ˆ ( ˆ δ a = q + δ q y q + δ q q y + η ) qˆ = ( qˆ + δ q )( y ˆ δ )( qˆ + δq ) qˆ ( y ˆ + η ) qˆ ( ˆ )( ˆ = q + δ q y )( qˆ + δ q ) ( qˆ Acc Acc Acc Acc Acc Acc Acc Acc Acc Acc Acc Acc Acc + δq ) δ ( qˆ + δq ) qˆ ( y ˆ + η ) qˆ Acc Acc Acc Acc ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ( ˆ ) ( ˆ = q y q + q y δ q + δ q y ) qˆ + Acc Acc Acc Acc Acc Acc ˆ δq ( y ) δq [ qˆ δ qˆ + qˆ δ δq + Acc Acc Acc Acc ˆ ] ˆ ( ˆ δq ) ˆ ˆ ˆ δ Acc q + δq δ Acc δq q y Acc Acc q + q ηacc q U développemet de Taylor est effectué à l ordre 1. Les termes d ordre e sot doc pas pris e compte car cosidérés comme égligeales par rapport aux autres termes. Aisi (40) deviet : ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ( ˆ ) ( ˆ δa = q y q + q y δq + δq y ) qˆ Acc Acc Acc Acc Acc Acc qˆ δ qˆ qˆ ( y ˆ ) qˆ + qˆ η qˆ Acc Acc Acc Acc [ ( ˆ ) ( ˆ δa = q y δ q + δq y ) qˆ ] qˆ δ qˆ + qˆ η qˆ Acc Acc Acc Acc Acc Acc (4) (43) Matrice de trasitio etre deux istats Fialemet, la matrice de trasitio etre deux époques est de la forme : C(q ˆ ) (q ˆ ω M ) I I 0 0 f t, t+ t =, t² t² A 0 qˆ qˆ I ti t A 0 q ˆ ( ) q ˆ t t ( t) 0 I (44) avec C et M des foctios défiies das [1], A est ue foctio défiie telle que Aδ q ( t) = q ( y ˆ ) δ q + δq ( y ˆ ) ˆ q. Acc Acc Acc Acc Le vecteur d état à l istat t + t peut alors être prédit selo l équatio (3).

30 Page Loi d évolutio de la variace du système La loi d évolutio de la variace correspod à l équatio (4). La matrice de variacescovariaces à u istat t + t déped de la matrice de trasitio etre deux époques, équatio (44), de la matrice de variaces-covariaces de l état précédet et de la matrice de variacescovariaces des ruits du modèle, exprimée à l istat préset. Cette derière matrice, otée Q, déped des ruits de mesure du système et de leur évolutio. Elle est défiie de la maière suivate : T Q( t) = G( t) Ω t G ( t), (45) avec G : la matrice représetat les lois d évolutio des ruits sur les icoues, Ω : la matrice des ruits de mesure du modèle, iitialisée das D après les lois d évolutio des icoues écrites précédemmet, les ruits des icoues sot de la forme : ηq ( t) = q ( t) η ω qω η ( t) = η q ω qω η ( t) = βη Acc Acc (46) 1 ( ) ˆ ( ) ˆ ηp t = q t ηacc q ( t ) t ² η ( ) ˆ ( ) ˆ v t = q t η Acc q ( t) t La matrice de variaces-covariaces des ruits de mesure représete la cofiace allouée au modèle d'évolutio du système. Les icoues format le vecteur d'état sot maiteat prédites. Elles sot esuite corrigées lorsque cela est possile. L étape de correctio de otre filtre de Kalma est décrite das la partie suivate.

31 Page 30

32 Page Correctio du vecteur d'état U filtre de Kalma permet de corriger le vecteur d'état à partir d'oservatios. Ces correctios sot appliquées dès que possile, c'est-à-dire, dès que l'o se trouve das ue situatio d'oservatio particulière : champ magétique ou accélératio quasi-statique sur ue période T. Il est doc écessaire d'attacher u soi tout particulier à la détectio de ces périodes. Ue fois que ces périodes sot correctemet détectées, différetes mises à jour sot effectuées e foctio des cas : «Quasi Static Field» (QSF) «Magetic Agular Rate Updates» (MARU) «Quasi Static Acceleratio» (QSA) «Agular Gradiet Update» (AGU). QSF et MARU coceret les variatios du champ magétique tadis que QSA et AGU coceret les variatios de l'accélératio. Par souci de simplificatio, das la suite de ce rapport, «QSA» se réfère aux deux mises à jour sur l'accélératio et «QSF» aux mises à jour preat e compte le champ magétique. De plus, la localisatio du capteur sur le pied permet d'utiliser les caractéristiques de la marche humaie e appliquat ue mise à jour appelée «Zero velocity UPdaTe» (ZUPT) Détectio de QSA et QSF L'asece de variatio d'accélératio et le fait que le champ magétique soit quasi statique sot détectés e étudiat les derières variatios de l'accélératio pour l'u et celles du champ magétique pour l'autre. Le test se fait sur la variace de l'accélératio sur ue feêtre glissate de logueur fixe qui doit être iférieure à u seuil pour être cosidérée comme ue période quasi-statique d'accélératio. De la même maière, la variace du champ magétique sur ue feêtre glissate est comparée à u seuil pour détecter les phases de champ magétique quasi-statique. Le seuil pour le champ magétique déped uiquemet de la qualité du capteur alors que le seuil de détectio pour l'accélératio est différet selo les persoes. E effet la maière de marcher de chacu diffère et même e appui au sol, certaies persoes verrot leur pied ouger alors que d autres pas. Le seuil pour le champ magétique, oté T QSF, est étali à partir d'oservatios e phase statique. Il est défii de la maière suivate : avec l : la logueur de la feêtre glissate, T : la logueur de la période statique cosidérée. T 1 var( ( ),.., ( )) QSF = ym t l ym t T (47) T 4.. Applicatio des mises à jour liées aux variatios du champ magétique Ue phase de QSF correspod doc aux deux mises à jour liées au champ magétique.

33 Page Applicatio de QSF Pedat cette phase, le champ magétique est par défiitio costat das le référetiel «ody», il doit doc aussi l être das le référetiel «avigatio». Le champ magétique estimé das le repère «avigatio» est comparé à ue valeur de référece qui correspod à la valeur du champ magétique das le repère «avigatio» à l istat t. L'écart etre ces deux valeurs permet de corriger le quaterio d attitude. Cette première mise à jour est appelée QSF. Elle s'écrit de la maière suivate : δ z ˆ ˆ m = mref q ym q (48) avec δ z m QSF l'erreur e QSF, mref QSF le champ magétique de référece exprimé das le repère «avigatio». Ce champ est propre à chaque istat d'oservatio Applicatio de MARU La secode mise à jour à l aide du champ magétique, appelée MARU, est esuite appliquée. Le champ magétique est estimé à l'istat t + t das le repère «avigatio» grâce à la loi d évolutio du champ magétique et aux oservatios. Cette relatio correspod à l'équatio (49). mˆ ( t + t) = qˆ ( t) y ( t) q ˆ ( t) (49) m ω Cette valeur permet de détermier ue vitesse agulaire magétique qui est comparée à celle issue des oservatios du gyromètre. L'écart etre ces deux valeurs ous doe des iformatios sur la trasformatio à appliquer pour passer du repère «ody» au repère «avigatio» et permet d apporter des correctios au quaterio des agles d attitude et au iais du quaterio du gyromètre. L'erreur e MARU, otée δ z, s'écrit alors de la maière suivate : m ω m MARU δ z = y ( t + t) m ˆ ( t + t) (50) mmaru m m aux variatios de l'accélératio De la même maière que précédemmet, les phases de QSA permettet de mettre à jour certaies icoues Applicatio de QSA De la même maière que pour QSF, l'erreur e QSA correspod à l'écart etre u champ d'accélératio de référece et la valeur de l accélératio, estimée das le repère «avigatio». Cette valeur est estimée à l aide des oservatios. L'erreur e QSA, otée δ z, s'écrit alors de la maière suivate : Acc QSA δ z = a qˆ ( y ˆ ) q ˆ (51) AccQSA Ref Acc Acc Cette mise à jour, appelée QSA, permet de corriger le iais d accélératio, et le quaterio des agles d'attitude Applicatio de AGU De la même maière que pour la mise à jour e MARU, AGU compare la valeur de l'accélératio exprimée à l'istat t + t à ue valeur de référece. L'accélératio est estimée das le repère «ody» à l'aide de sa loi d'évolutio suivat l'équatio (5). aˆ ( t + t) = qˆ ( t) aˆ ( t) q ˆ ( t) (5) ω ω

34 Page 33 L'erreur e AGU, otée δ z Acc AGU, s'écrit suivat l'équatio (53). ( ( ) ˆ δ z = y t + t ) a ˆ (t+ t) (53) AccAGU Acc Acc La valeur de cette erreur permet doc corriger le quaterio d attitude, le iais du quaterio du gyromètre et le iais d accélératio. Cette mise à jour est appelée AGU Détectio de ZUPT Afi d ajouter ue autre correctio à otre vecteur d état, les caractéristiques de la marche sot exploitées. La Figure 8 décrit les différetes étapes du cycle de marche sur ue foulée, pour chacu des pieds. Figure 8 : Cycle de marche (Source [13]) Le cycle de marche se décompose e deux grades phases : ue phase oscillate et ue phase d appui. La phase oscillate, pour le pied droit, est représetée par le uméro 1 sur la Figure 8. À ce momet le pied est plus e cotact avec le sol. Tout le poids du corps repose sur le pied gauche, qui est alors e phase d appui. La phase d appui pour u pied peut se décomposer e trois périodes. La première période suit directemet la phase d oscillatio. Le talo touche le sol e premier. Cette période, pour le pied droit, correspod au uméro sur la Figure 8. A ce momet, le pied droit est pas ecore totalemet immoile. Le uméro 3 correspod à la période d appui du pied droit. Il est alors etièremet e cotact avec le sol. À cet istat, le pied gauche est e phase d oscillatio. La derière période est représetée par le uméro 4. Seuls les orteils du pied droit sot ecore e cotact avec le sol. Cette période précède ue ouvelle phase d oscillatio du pied droit et ue phase d appui du pied gauche. Les pieds suivet ces différetes étapes chacu leur tour. La période qui ous itéresse est celle pedat laquelle le pied est e appui sur le sol (uméro 3). E phase d appui, le pied est quasi-statique. Grâce aux mesures d accélératio, il est possile de détecter ces phases quasi-statiques Détectio de pas à l aide de l accéléromètre Les périodes quasi-statiques du pied sot détermiées à l aide des mesures de l accéléromètre. Deux tests sot effectués afi de détecter ces périodes.

35 Page Étude de la orme de la mesure l accélératio E période quasi-statique, u accéléromètre «parfait» mesure uiquemet la répose à la force de pesateur das le repère «ody», c'est-à-dire g. Il est impossile de détermier la valeur de la force de pesateur das chacu des repères «ody». La orme euclidiee de la force de pesateur est doc étudiée car elle e déped pas du référetiel. Ce premier test correspod à calculer l écart etre la orme de la force de pesateur et la orme de l accélératio mesurée. Cet écart est à comparer à u seuil. Ce seuil a été fixé à 70 mg après plusieurs tests Étude de l écart-type de la orme de la mesure l accélératio Ce secod test pred e compte l écart-type de la orme de la mesure d accélératio. Cet écart-type est calculé sur ue feêtre glissate dot la taille est fixée. Il est esuite comparé à u seuil. La logueur de la feêtre glissate sur laquelle est calculé l écart-type, est de 10 oservatios soit 0,1s. Cette gradeur est à mettre e relatio avec la durée de la phase d appui d u pied, qui est de 0,4s pour chaque pas. Cotrairemet à la taille de la feêtre glissate, le seuil est spécifique au piéto. Il déped directemet des coditios d acquisitio des oservatios et par coséquet des caractéristiques de marche du piéto. La maière de marcher aisi que la vitesse de marche du piéto apparaisset comme les deux pricipales caractéristiques iflueçat la défiitio de ce seuil. Cepedat, ils restet difficiles à estimer. Ce seuil varie, das otre étude, de 0,01 à 0,09 m/s² suivat les persoes Istat de pas Le pied est cosidéré e période quasi-statique si les deux tests décrits précédemmet sot validés. Pour chaque pas, plusieurs istats correspodat à des périodes quasi-statiques sot détectés. Il est possile de détecter u istat de déut de pas et u istat de fi de pas. L istat de pas est défii comme état l istat moye sur cet itervalle. La Figure 9 représete la détectio de périodes quasi-statiques pour le pied et les istats de pas correspodats, pour deux pas. Les phases d oscillatios sot ie distictes des phases d appuis. Le fait de réaliser ue oe ou mauvaise détectio de ces périodes quasi-statiques du pied réside doc das l évaluatio des différets paramètres éocés précédemmet. Il est difficile d évaluer la pertiece de la détectio des phases statiques car ous avos pas de système de référece permettat de le vérifier. Il est préférale d être assez sévère sur la détectio de ces phases afi d éviter les fausses alertes, qui peuvet avoir de graves coséqueces sur la covergece du filtre.

36 Page 35 Figure 9 : Détectio de phases quasi-statiques et istats de pas (Source persoelle) 4.4. Applicatio de ZUPT E présece d'ue période quasi-statique du pied, il est possile d appliquer ue correctio appelée «Zero velocity UPdaTe». E se asat sur les caractéristiques de la marche humaie éocées précédemmet, de fortes hypothèses peuvet être émises Iovatio liée à la vitesse du pied Au cours de ce cycle, la vitesse du pied varie etre 0 m/s et 5 m/s au maximum, respectivemet d ue phase d'appui à ue phase d oscillatio. Pedat ue période quasi-statique du pied, la vitesse calculée doit être ulle car le pied est immoile. Si ce est pas le cas, alors la vitesse prédite à l'istat t correspod à ue erreur. Cette erreur peut être corrigée puisque la valeur vraie de la vitesse du pied est coue à cet istat. La valeur de l iovatio sur la vitesse peut alors être détermiée à u istat t, elle correspod à la valeur de l opposé de la vitesse estimée à cet istat, équatio (54). δ v ( t) = v ( t) vˆ ( t) = 0 v ˆ ( t) (54) Iovatio liée à la positio du piéto Si etre deux istats la vitesse du pied est ulle, alors la différece etre les deux positios successives correspodates doit être ulle. Sa positio à u istat t + t est égale à sa positio à l istat précédet. ˆ ( ) ˆ P + t = P ( t + t) (55) La valeur de la correctio qu il faudra apporter à la positio est détermiée avec l équatio (56). ˆ ˆ ˆ ˆ 1 P + ( t) P ( t + t) = P + ( t) ( P + ( t) + vˆ + ( t) t + a ˆ ( t) t²) (56) + Or e phase statique, vˆ ( t) = 0. De plus, a ˆ est exprimée de la même maière que das l équatio (31). (56) deviet alors : ˆ + ˆ 1 ( ) ( ) [ ˆ ( )( ˆ P t P t + t = q ( )) ˆ t y Acc Acc t q ( t) + g ] t² (57)

37 Page 36 Or e période quasi-statique du pied, l accélératio das le référetiel «ody» est ulle : a = 0, d où la mesure d accélératio est de la forme : y = a + g = g (58) Acc Acc Acc (57) s écrit alors : ˆ + ˆ 1 ( ) ( ) [ ˆ ( )( ( ) ˆ P t P t + t = q ( ))* ˆ t Acc t g Acc t q ( t) + g ] t² (59) 1 [ ˆ ( ) ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) = q t δ Acc t q t q t g q t + g ] t ² E utilisat les relatios (41) qui liet le quaterio estimé à sa valeur vraie et à so erreur, l erreur e positio s écrit : ˆ + ˆ 1 P ( t) P ( t + t) = [ qˆ ( ) ˆ t δ Acc q ( t) ( q ( t) δq ( t)) g ( q ( t) δq ( t)) + g ] t² 1 [ ˆ ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) = q t δ Acc q t q t g q t + q t g δ q ( t ) (60) + δq ( t) g q ( t) δq ( t) g δ q ( t) + g ] t² De la même maière que précédemmet, les termes d ordre sot égligeales et fialemet o peut détermier l erreur sur la positio de la maière suivate : ˆ + ˆ 1 P ( t) P ( t + t) = [ qˆ ( ) ˆ t δ Accq ( t) + q( t) g δq( t) + δq( t) g q( t)] t² 1 [ ˆ ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = q t δ Acc t q t + q t g q t q t δ q t + δq t q t q t g q ( t )] t ² ˆ + ˆ 1 P ( t) P ( t + t) = [ qˆ ( t) δ ( ) ˆ Acc t q ( t) + g q( t) δ q( t) + δq( t) q( t) g ] t² (61) Mise à jour e ZUPT Les deux iovatios décrites précédemmet permettet de corriger le vecteur d'état. La matrice de mesure à l istat t + t correspod au Jacoie des équatios d erreurs sur les icoues. Ht+ t s écrit alors : I Ht+ t = 1, (6) B 0 qˆ ( ) ² ˆ t t q ( t) 0 0 avec B ue foctio défiie telle que Bδ q ( t) = g q ( t) δq ( t) + δq ( t) q ( t) g. La séquece d'iovatios est aisi défiie, le gai de Kalma peut être calculé. La mise à jour e ZUPT s'effectue de la maière suivate : ˆ ( ) ˆ X + t + t = X ( t + t) + K(t + t) io (t + t), (63) avec io (t + t) la matrice d iovatio à l istat t + t qui s écrit sous la forme de (64). vˆ ( t + t) io( t + t) = ˆ ( ) ˆ + P t + t P ( t) (64)

38 Page 37 Les différetes mises à jour permettet de corriger les icoues et par coséquet de cotraidre le système et d'éviter la propagatio d'erreur sur les icoues. La solutio décrite das les deux parties précédetes doit maiteat être mise e pratique afi de la tester. Les performaces de la solutio sot esuite évaluées.

39 Page 38

40 Page Acquérir des doées e vue d ue solutio de référece Das le cadre de ce projet, plusieurs acquisitios de doées ot été meées afi d'évaluer la précisio de la solutio décrite das les parties précédetes. L'esemle des tests, des idicateurs de précisio et des résultats sot résumés das la partie suivate Rappel des ojectifs L ojectif pricipal des tests est de pouvoir répodre à la questio : «la solutio iertielle implémetée das le cadre de ce projet peut-elle être cosidérée comme ue solutio de référece pour d'autre système de avigatio pédestre?» Cet ojectif est evisageale car la solutio décrite das cette étude apparait suffisammet mature et prometteuse. E effet, cette solutio est ue compilatio des derières avacées das le domaie de la avigatio pédestre. Les différetes iovatios doet des résultats plus qu'itéressats lorsqu'elles sot exploitées séparémet. Ue solutio les regroupat devrait doc doer des résultats plus qu'acceptales e termes de précisio de positioemet. Das u premier temps, différets tests expérimetaux ot été réalisés afi d'évaluer la précisio allouale à otre solutio iertielle. Das le ut de défiir ue solutio de référece, ces tests ot été meés sur plusieurs piétos et das différets eviroemets. Das u secod temps, les performaces doivet être aalysées et étudiées. Elles sot estimées suivat le critère de précisio utilisé actuellemet das le domaie de la avigatio pédestre et égalemet à l'aide de ouveaux critères tels que l'étude des erreurs plaimétriques. La précisio pour otre solutio visée est de l ordre du mètre à deux sigma près. Ces différets tests ot aussi permis d'idetifier l'origie des erreurs e aalysat les performaces d'ue telle solutio sur plusieurs jeux de doées. Cette aalyse doit aussi être mise e lie avec les coditios d acquisitio. Cette étude permettra de défiir u protocole d acquisitio pour garatir les meilleurs résultats et aisi pouvoir cosidérer, ou o, la solutio implémetée comme ue solutio de référece pour la avigatio pédestre. 5.. Descriptio gloale des tests Ue solutio de référece doit pouvoir être utilisée par différetes persoes, c est pourquoi il est itéressat d évaluer l adaptailité de la solutio à la maière de marcher. Chaque persoe marchat de maière différete, les acquisitios ot été effectuées par quatre persoes de morphologie différete. Cepedat le matériel utilisé aisi que les parcours effectués par chacu sot les mêmes. Ils sot décrits das les deux parties suivates Équipemet pour l'acquisitio La Figure 10 présete u piéto équipé avec la solutio de référece (a) et la solutio iertielle (c). L'atee GPS est fixée sur ue casquette portée par l'utilisateur. Le récepteur se situe das le sac à dos du piéto. La logueur de la ase est au maximum de 1 km. La solutio iertielle est composée du capteur ADIS16488, rigidemet attaché à la chaussure de l'utilisateur de telle sorte qu'il e puisse pas ouger lors des acquisitios. Suivat la dispositio du capteur sur le pied, les vitesses de rotatios agulaires sot plus ou mois réparties selo les trois axes de mesure. La plage de mesure du gyromètre est de +/- 450 /s. Afi d'éviter la saturatio du gyromètre, le capteur est placé de iais sur le pied et le piéto e

41 Page 40 doit pas marcher rapidemet. La carte d'acquisitio de la cetrale iertielle est maiteue à la ceiture du piéto ou peut être teue à la mai. (a) () (c) Figure 10 : Équipemet pour l'acquisitio (a) : Atee GPS fixée sur la tête - () : Piéto équipé - (c) : Cetrale iertielle fixée sur le pied (Source persoelle) 5... Parcours effectués Deux types de parcours ot été réalisés : - u parcours e extérieur : le ut est d oserver des erreurs plaimétriques sur toute la durée de marche afi de pouvoir estimer la précisio de la solutio. Les piétos ot effectué u aller retour pour ue logueur totale de marche de 500m. L'aller est effectué sas arrêt tadis que le retour est poctué de plusieurs phases statiques imposées variat de 15s à mi. Pedat ces phases statiques, le piéto doit garder so pied au sol, le plus immoile possile. - u parcours alterat des passages e itérieur et e extérieur : l ojectif est de tester la solutio e itérieur. Des phases e extérieur sot écessaires pour comparer les positios calculées à partir de la solutio iertielle à celles issues de la solutio de référece. Après ue dizaie de mètres dehors, le piéto marche das u âtimet pedat 100m avat de ressortir. La logueur de cette deuxième période à l'extérieur est de 130m. Le piéto etre ue derière fois das le âtimet pour ue logueur de marche de 75m. L'acquisitio se termie à l'extérieur. Avat chaque etrée das le âtimet / après chaque sortie du âtimet, le piéto doit effectuer ue phase statique afi de coaître la précisio de la solutio avat/après chaque chagemet d'eviroemet. Le parcours est égalemet poctué de différetes phases statiques imposées. A oter que chaque acquisitio de doées commece avec ue phase de caliratio du magétomètre. Cette caliratio a pour ut de modéliser le champ magétique émis par le oitier du capteur pour e mesurer esuite que le champ magétique extérieur. Cette modélisatio est réalisée das u espace propre d u poit de vue électromagétique, où seul le champ magétique de la Terre est mesuré. Cette coditio ous permet de calirer le magétomètre avat de commecer à marcher []. De plus, ue phase statique est effectuée à chaque déut d'acquisitio afi d'iitialiser le vecteur d'état. Ue phase statique est égalemet réalisée à la fi de chacue des acquisitios.

42 Page Étude de précisio Deux approches ot été étudiées das le cadre de ce projet : - ue étude théorique visat à défiir la précisio que l o peut espérer atteidre à partir des doées iitiales et - ue étude effective utilisat les doées expérimetales. Des idicateurs de précisio sot utilisés Approche théorique Avat de procéder aux oservatios, il est possile de détermier, par trasmissio d'erreurs moyees quadratiques, la précisio théorique sur les icoues. Das otre cas, les oservatios e sot pas corrélées. Précisio et exactitude sot doc cofodues. Par la suite, ous ous itéresseros uiquemet à la précisio sur l'accélératio du pied du piéto das le repère «avigatio», à celle sur la vitesse du piéto das le repère «avigatio» et efi à celle sur la positio du piéto das le repère «avigatio». Les résultats issus de l'aalyse de la variace d'alla ot été utilisés das cette étude Précisio théorique sur l'accélératio du piéto La mesure de l accélératio est défiie suivat l équatio (1), d où : a = y Acc Acc + g η Acc (65) La valeur de la force pesateur et le ruit d accélératio sot des costates supposées coues et dot les erreurs moyees quadratiques sot cosidérées ulles. E appliquat la formule de trasmissio d erreurs moyees quadratiques à (65) et, e supposat que le iais de l accélératio et la mesure de l accélératio sot idépedats, o otiet : avec mq = mq + mq (66) a yacc Acc mq X u vecteur défiit avec les erreurs moyees quadratiques sur les composates du vecteur X. Les valeurs de ces erreurs moyees quadratiques sot équivaletes aux variaces issues de l aalyse de la variace d Alla. Pour rappel, o a : 3 mq = 0, mg² et mq = 0,9.10 mg² ce qui ous doe mq = 0,3 mg y a Acc Acc L'accélératio du pied du piéto das le repère «avigatio» peut se défiir suivat l'équatio (67) aˆ ( t) = q ( t) aˆ ( t) q ( t) (67) Par trasmissio d erreurs moyees quadratiques appliquée à (67), l'erreur moyee quadratique de l'accélératio das le repère «avigatio» est doée par l'équatio suivate : aˆ ( t) aˆ ( t) mq = ( mq )² + ( mq )² a t (t) (68) q aˆ q (t) aˆ ( t) avec X mq u vecteur composé des erreurs moyees quadratiques des composates du vecteur X. (68) s'écrit alors sous la forme de l'équatio (69). mq 1 = ( ( ) ( ) ˆ t t ( t) )² ( ( t) ( ))² a ω + t ˆ t q a q q a mq q mq q (69),

43 Page 4 avec aˆ ( t), q ( t) et q ( t) les valeurs les plus proales, respectivemet, de l'accélératio das le «ody», du quaterio et du cojugué du quaterio, exprimés à l'istat t. Ces gradeurs ot été calculées avec u filtre de Kalma implémeté sas ZUPT. q ( t) le quaterio associé aux oservatios du gyromètre à l'istat t, ω mq u vecteur défiit avec l'erreur moyee quadratique des composates du q quaterio des agles d'attitude. Par souci de simplificatio, cette gradeur est défiie comme costate das le temps. Ce vecteur est iitialisé avec les valeurs issues de l'aalyse de la variace d'alla Précisio théorique sur la vitesse du piéto La vitesse est défiie suivat l équatio (3). La précisio théorique sur la vitesse est oteue de la maière suivate : mq = mq + t mq + mq t, (70) avec ; v i i 1 vi a v a i+ i mq u vecteur composé de l'erreur moyee quadratique de chacue des composates v i+ 1 de la vitesse du piéto. Or vi et ai sot deux vecteurs idépedats l u de l autre, puisque la vitesse à l istat i déped uiquemet de celle à l istat précédet et de l accélératio à l istat précédet. (70) s écrit doc : mq = mq + t * mq (71) v i+ 1 vi ai (71) peut s'écrire à chaque istat i compris etre 1 et, avec le omre d'oservatios. E sommat terme à terme, à l'istat i, o peut écrire : i 1 v t i vk ak k = 1 i [1,], mq = mq + mq (7) La vitesse iitiale est calculée à partir des positios issues du GPS comme défiit das (3). Sa précisio déped doc de la précisio sur les positios GPS. O pose : 1 mqdgps = cm d'où mq = mq = ² =,8 cm. s (73) v1 DGPS Précisio théorique sur la positio du piéto E suivat le même raisoemet que pour détermier l erreur moyee quadratique de la vitesse, celle de la positio se détermie par trasmissio d erreur moyee quadratique appliquée à la formule (33), ce qui ous doe : t mq = mq + t * mq + ( * mq ) (74) pi+ 1 pi vi ai O cosidère que la positio à u istat i est idépedate de l accélératio et de la vitesse à ce même istat. Les covariaces sur ces différetes variales sot doc ulles. Tout comme pour la vitesse, il est écessaire d iitialiser la positio. La première positio est détermiée à l aide du GPS. La précisio allouée à cette iitialisatio est défiie avec (73). La précisio sur la positio du piéto se calcule alors de la maière suivate : i 1 t mq = [ ( ) ( ) ] p mq + tmq + mq (75) i Pk vk ak k = 1

44 Page 43 D après les équatios (7) et (75), la précisio sur la vitesse du piéto et celle sur la positio du piéto vot décroitre très rapidemet. Les précisios théoriques sot souvet assez pessimistes e comparaiso avec la réalité du terrai Idicateurs de précisio effective Différets idicateurs permettet d évaluer la précisio de la solutio décrite ci-dessus. Ces idicateurs sot défiis e comparat les résultats oteus avec la solutio iertielle à ceux oteus avec la solutio de référece Erreur plaimétrique Il est difficile de comparer les vitesses issues de la solutio iertielle à celles issues de la solutio de référece. L iertiel ous doe la vitesse du pied du piéto tadis que la solutio DGPS ous doe directemet la vitesse de marche du piéto. La précisio des expérimetatios a doc été jugée e terme d écart apparet etre les positios détermiées à l aide de la solutio GPS et celles calculées à l aide des oservatios iertielles. L erreur plaimétrique etre la trace issue des doées GPS et celle issue des doées iertielles est détermiée pour chaque istat de pas. Comme expliqué das le paragraphe 4.3, ces istats sot détectés à l aide des oservatios des mesures d accélératio. Les doées issues du GPS e permettet pas de détermier des istats de pas car l atee GPS est située sur la tête du piéto. De plus les deux systèmes ot pas la même fréquece d acquisitio, 100Hz pour le capteur iertiel cotre 5Hz pour le GPS. Cepedat, ils sot sychroisés temporellemet. La positio GPS correspodat à chaque istat de pas est calculée à l aide des istats de pas issus de l iertiel. Pour chaque pas, la positio GPS se trouvat temporellemet juste avat l istat de pas, otée P 1, et celle se trouvat temporellemet juste après, otée P, sot extraites. Si ces poits GPS e se trouvet pas das l itervalle délimité par l istat de déut et l istat de fi de pas alors, ils e sot pas pris e compte. Figure 11 motre u exemple des deux cas cités précédemmet. Figure 11 : Détectio de l'istat de pas GPS et calcul de la positio GPS correspodate (Source persoelle) Si les deux poits sot compris das l itervalle alors o effectue ue moyee podérée pour coaitre la positio GPS correspodat à cet istat de pas. La podératio s'effectue e foctio des temps suivat (76). T1 P1 + T P PGPS,Istat de pas =, (76) T + T 1

45 Page 44 avec P X u vecteur défii avec les coordoées plaimétriques du poit X. L'erreur plaimétrique peut esuite être détermiée comme ue distace euclidiee etre la positio GPS et la positio iertielle, pour chaque istat de pas Écart sur la distace totale parcourue E avigatio pédestre, il est d usage de défiir la précisio d ue solutio e mettat e relatio l'erreur plaimétrique avec la distace parcourue. Cette valeur a doc été calculée afi de pouvoir comparer os résultats à ceux de la littérature actuelle. Elle s exprime e termes de pourcetage d erreur Écart-type et distriutio gaussiee L'écart-type sur les erreurs plaimétriques, oté est calculé de la maière suivate : avec i i= 1 σ Pi = ( v M )² i Pi σ Pi, pour chaque jeu d'acquisitio Pi v l'erreur plaimétrique calculé à chaque pas, M Pi la moyee des erreurs plaimétriques du jeu de doées Pi, le omre d'oservatios du jeu de doées Pi. La distriutio des erreurs plaimétriques a aussi été étudiée das le ut de vérifier si les ojectifs sot atteits e terme de précisio, à savoir oteir ue précisio plaimétrique de 1 mètre à sigma Aalyse des résultats Les résultats sot évalués avec les idicateurs de précisio cités précédemmet. Les quatre piétos sot ommés H1, H, F1 et F das la suite de ce rapport, afi de les distiguer. H correspod à u homme et F à ue femme Aalyse des traces Les différetes traces sot aalysées de maière qualitative et quatitative pour chaque série d'acquisitios Acquisitios e extérieur La Figure 1 motre les trajectoires oteues pour chaque piéto, avec e leu la trajectoire de référece calculée avec le GPS et e vert la trajectoire calculée uiquemet avec la solutio iertielle. (77)

46 Page 45 H1 F1 H F Figure 1 : Trajectoires issues des doées iertielles et du GPS pour les 4 piétos - Parcours e extérieur de 500m - (Source persoelle) Das chacu des quatre cas, la trajectoire issue uiquemet de la solutio iertielle recouvre correctemet la trajectoire de référece. D'u poit de vue qualitatif, les résultats sot cohérets. De maière plus quatitative, la Figure 13 représete les erreurs plaimétriques, calculées comme décrit das la sectio , pour les quatre jeux de doées e extérieur. H1 F1 H F Figure 13 : Erreurs plaimétriques pour les parcours e extérieur - (Source persoelle)

47 Page 46 Les erreurs plaimétriques augmetet avec le temps pour atteidre u maximum de 13m pour le jeu d'acquisitio de F. Les résultats oteus e sot pas tous de la même qualité. Les résultats de F1 et H sot les meilleurs. Ils prouvet que la solutio implémetée peut doer d'excellets résultats sous certaies coditios. L'iitialisatio des variales, e particulier celle du ruit du système, joue u grad rôle das la qualité des résultats. Taleau 6 résume les performaces pour les différets jeux de doées e extérieur. H1 F1 H F Précisio théorique [m] 6,5 6,9 8,3 7,7 Vitesse de marche [m/s] 1, 1,1 0,7 0,8 Moyee des écarts [m] 5,1 1,9,1 5,0 Ecart-type [m] 1,6 0,8 1,3,0 Erreur par rapport à la distace parcourue [%] 0,9 0,1 0,6,1 Taleau 6 : Caractéristiques des 4 jeux e extérieur Les précisios théoriques calculées idiquet la précisio que l'o peut espérer oteir pour chacu des jeux de doées. Cepedat, ces précisios dépedet essetiellemet du omre d'acquisitios qui a été réalisé. La vitesse de marche du piéto iflue doc sur leur valeur. C'est pourquoi les précisios théoriques sot mois oes pour H et F que pour H1 et F1. E moyee sur les quatre jeux d'acquisitios, l'écart-type est de 1,4 m et l'erreur sur la distace parcourue est de 0.9%. Il est importat de oter que les résultats présetés ci-dessus sot ie meilleurs que ceux présets das la littérature actuelle, i.e. ue erreur de 5% sur la distace parcourue [8]. Ils laisset etrevoir de oes performaces pour des acquisitios e itérieur Acquisitios e itérieur La Figure 14 représete les trajectoires oteues pour chaque jeu de doées e itérieur, avec e leu la solutio de référece et e vert la solutio iertielle. Le fod de carte permet de mieux estimer la qualité des résultats oteus mais 'a pas vocatio à servir de référece.

48 Page 47 H1 F1 F Figure 14 : Trajectoires issues des doées iertielles et du GPS pour différets jeux d'acquisitios - Parcours e itérieur 375m (Source persoelle) Les résultats du parcours de F1 e sot pas complets car ous avos recotré des prolèmes de saturatio du gyromètre lors du deuxième passage à l'itérieur du âtimet. Le poit rouge idique la fi des acquisitios exploitales. Il est aussi à oter que ce parcours 'a pas été effectué par H d'où l'asece de résultat pour ce piéto. La trace issue de la solutio iertielle est représetée e vert. Les positios issues des oservatios GPS sot représetées e leu. Gloalemet, la trajectoire issue de la solutio iertielle suit les axes des couloirs e itérieur du âtimet et la trace GPS e extérieur. Pour F, o costate que le cap de marche calculé à la fi du deuxième tour à l'itérieur est faussé. Cette mauvaise estimatio du cap iflue directemet sur la précisio des positios calculées à la suite de cette erreur. Les variatios du champ magétique sot plus importates à l'itérieur qu'e extérieur, les mises à jour e QSF sot doc mois omreuses. E sachat que les mises à jour e QSF permettet de corriger le quaterio des agles d'attitude, ue variatio importate du champ magétique à u istat peut etraier ue mauvaise estimatio du cap. La Figure 15 représete les erreurs plaimétriques, sous forme de graphique, pour les trois jeux de doées e itérieur.

49 Page 48 H1 F1 F Figure 15 : Erreurs plaimétriques pour les parcours e itérieur (Source persoelle) Les résultats oteus pour les acquisitios alterat des passages e itérieur et e extérieur sot de l'ordre de gradeur de ceux oteus pour les acquisitios e itérieur. L'évolutio des erreurs plaimétriques e diffère pas selo l'eviroemet. Par exemple, pour F, l'erreur plaimétrique a augmeté de 3,5m après 4 miutes de marche (le premier tour à l'itérieur commece après 1 miute d'acquisitio et se termie au out de 4 miutes) et de 6,5 m après 7 miutes d'acquisitio (le passage e extérieur commece après 4 miutes de marche). Pour H1, les erreurs plaimétriques calculées e fi de parcours, à savoir après le secod tour das le âtimet sot de l'ordre de gradeur de celles calculées après le premier tour das le âtimet. Le jeu d'acquisitio de H1 offre les meilleurs résultats avec ue erreur plaimétrique de 1m après 375m de marche. Comme pour les parcours e extérieur, les résultats oteus pour le jeu F sot mois os que pour les autres jeux de doées. Les résultats motret doc que le fait de marcher à l'itérieur d'u âtimet e dégrade pas les performaces de la solutio iertielle. Elle peut doc égalemet foctioer à l'itérieur sous certaies coditios. Les différetes périodes statiques imposées au piéto sot proalemet à l'origie de ces oes performaces. Les différetes caractéristiques des jeux d'acquisitio e itérieur 'ot pas été calculées car elles e sot pas représetatives de la précisio de chacu des jeux de doées. Les erreurs plaimétriques e peuvet être détermiées que lorsque le GPS est dispoile ce qui 'est pas souvet le cas pour cette série d'acquisitios.

50 Page Étude statistique L'étude statistique a été effectuée uiquemet sur les deux jeux de doées offrat les meilleures performaces, à savoir ceux de F1 et H e extérieur. O suppose que les erreurs plaimétriques calculées précédemmet suivet ue loi ormale. La Figure 16 représete les proailités cumulées des erreurs plaimétriques e foctio des erreurs plaimétriques. F1 ( σ = F1 0,8 m et M = F1 1,8m ) H ( σ H = 1,3 m et M, H = m ) Figure 16 : Coures statistiques pour F1 et H (Source persoelle) Pour F1, 16% des doées ot ue précisio iférieure à 1m et 95% des doées offret ue précisio iférieure à 3,4m. L ojectif de 1m à sigma près est pas atteit car la valeur moyee est de 1,8m pour u écart type de 0,8m. Néamois, la précisio de positioemet suit ue distriutio cetrée sur 1,8m avec u percetile de 95.4% ( sigma), car 95% des mesures ot ue imprécisio iférieure à 3,4m. De la même maière, 18% des doées de H ot ue précisio iférieure à 1m et la précisio de 95% des doées pour H est iférieure à 4,4m. L ojectif de 1m à sigma est pas atteit car la valeur moyee est de, m pour u écart type de 1,3m. La précisio de positioemet suit ue distriutio cetrée sur, avec u percetile de 95,4 car 95% des mesures ot ue imprécisio iférieure à 4,4m Impact des différetes mises-à-jour Les précisios théoriques calculées das le Taleau 6 e sot pas du même ordre de gradeur que les précisios effectives. Ce résultat est assez logique car le calcul des précisios théoriques e pred pas e compte le fait que les icoues et leur variace associée sot régulièremet corrigées grâce aux différetes mises à jour. Ceci permet de redre compte de l'importace des différetes mises à jour. De plus, ces précisios théoriques dépedet essetiellemet de la vitesse de marche du piéto. Le Taleau 7 présete la quatité de mises à jour pour chaque jeu de doées et ce pour chaque type de correctio.

51 Page 50 Seuils Extérieur Itérieur H1 F1 H F Seuil de détectio des QSA [m.s-] 0,01 0,0 0,01 0,09 Seuil de détectio des QSF [mgauss] 0,56 0,30 0,33 0,30 Seuil de détectio des ZUPT [m.s-] 0,39 0,0 0,03 0,4 Nomre de périodes statiques imposées Durée des périodes statiques [%] Pourcetage de QSA Pourcetage de QSF Pourcetage de ZUPT Nomre de périodes statiques imposées Durée des périodes statiques [%] Pourcetage de QSA Pourcetage de QSF Pourcetage de ZUPT Taleau 7 : Nomre et types de mises à jour pour chaque jeu de doées Les pourcetages de chacue des mises à jour sot calculés e foctio du omre total de mises à jour. La quatité de mises à jour pour u jeu de doées déped directemet des périodes statiques car eaucoup de mises à jour se produiset pedat ces périodes. Leur durée apparaît doc das le taleau ci-dessus. Pour les acquisitios e extérieur, la quatité de mises à jour de chaque type varie e foctio du piéto. Ceci s'explique par le fait que les seuils de détectio utilisés pour les différetes mises à jour e sot pas les mêmes. Ces seuils dépedet de la maière de marcher de chacu. Ils variet doc d'u jeu de doées à l'autre. Pour chaque piéto, l'acquisitio e itérieur a été effectuée directemet à la suite de l'acquisitio e extérieur. De plus, les seuils de détectio des mises à jour sot les mêmes pour les jeux de doées e extérieur et ceux e itérieur. Il est doc possile de comparer le omre de mises à jour etre ue acquisitio e itérieur et ue acquisitio e extérieur pour u même piéto. Le omre de mises à jour liées au champ magétique est iférieur lorsque le piéto marche à l'itérieur. Ce résultat s'explique par le fait qu'il y ait plus de perturatios magétiques à l'itérieur d'u âtimet qu'e extérieur, les variatios du champ magétique sot doc plus rapides. Le omre de mises à jour liées à l'accélératio et le omre de ZUPT sot du même ordre de gradeur que les acquisitios se fasset e itérieur ou e extérieur Présece des QSF pedat les phases d'oscillatio du pied L'ue des pricipales iovatios de cette solutio de avigatio pédestre est la maière de réaliser les mises à jour avec le champ magétique. Cotrairemet à ce qui se fait actuellemet, les mises à jour QSF et MARU peuvet être appliquées lors des phases d'oscillatio du pied. Ceci est illustré par la Figure 17 sur laquelle est représeté le profil de vitesse pour deux pas. La orme de la vitesse du pied varie de 0m/s pedat les phases d'appui à 3,5m/s pedat les phases d'oscillatio.

52 Page 51 Figure 17 : Présece de QSF pedat les phases d'oscillatio du pied - (Source persoelle) Les différetes mises à jour s'appliquet pricipalemet pedat les phases d'appui du pied. Cepedat, certaies mises à jour issues de l oservatio du champ magétique se produiset égalemet pedat les phases d'oscillatio du pied. Ces mises à jour sot mois omreuses pedat les phases d'oscillatio que pedat les phases d'appui mais sot suffisates pour cotraidre le système. La propagatio d'erreur sur le calcul de l'orietatio est aisi orée Recommadatios sur le protocole d acquisitio Das le ut de défiir u protocole d'acquisitio permettat d'oteir les meilleures performaces possiles avec la solutio implémetée, plusieurs recommadatios peuvet être étalies à la suite des tests qui ot été meés Effets des phases statiques imposées D'après la Figure 13 et la Figure 15, les phases statiques imposées au piéto 'ot pas de réelle ifluece sur la précisio plaimétrique du jeu d'acquisitio. Cepedat, ces phases statiques permettet la covergece des autres icoues, comme le iais d'accélératio. Ce phéomèe est illustré par la Figure 18. Les phases statiques sot délimitées par des triagles. Les variatios du iais d'accélératio sot moidres après la deuxième phase statique qu'avat celle-ci.

53 Page 5 Figure 18 : Covergece du iais d'accélératio grâce aux phases statiques (Source persoelle) Les différetes phases sot doc écessaires à la covergece du iais d'accélératio vers sa valeur la plus proale. Leur durée e semle pas avoir de réelle ifluece. Il est préférale d'effectuer plusieurs phases statiques courtes régulièremet qu'ue seule logue au déut. L'importace de ces phases statiques se remarque égalemet e étudiat la variace des icoues. La Figure 19 représete l'évolutio de l'écart type du iais d'accélératio pedat ue période de marche et pedat ue phase statique imposée. Les istats de ZUPT sot égalemet représetés afi de se redre compte des istats pedat lesquels le pied est immoile. Figure 19 : Écart-type du iais d'accélératio (Source persoelle) Aisi, l'écart-type du iais d'accélératio dimiue pedat les istats de ZUPT. Ceci s'explique car ces istats correspodet aux istats où la plupart des mises à jour se produiset. Les icoues sot corrigées très fortemet au déut de chaque itervalle de pas puis de faço moidre sur le reste de l'itervalle. O costate aussi que l'écart-type e dimiue pas soudaiemet pour chaque période quasi-statique comme o peut le voir pour t=6s. Plusieurs périodes quasi-statiques successives sot écessaires pour oteir u écart-type sur le iais d'accélératio de 0, cm/s². Les chagemets rusques d'état sot doc à proscrire.

54 Page 53 De plus, pedat la phase statique imposée, l'écart type du iais d'accélératio atteit sa valeur la plus faile et reste stale jusqu'à la reprise de la marche. Ceci cofirme l'importace des phases statiques imposées tout au log du parcours de marche. Leur durée peut être ajustée e foctio de la vitesse de covergece des icoues vers leur valeur limite. Les variatios des écart-type des autres icoues sot similaires aux variatios de l'écart-type du iais d'accélératio quelque soit le jeu de doées. Les coclusios émises das ce paragraphe s'appliquet doc égalemet aux autres icoues. Les phases statiques ot de réelles iflueces sur la dyamique du système et permettet de cotraidre l'évolutio des erreurs Vitesse de marche Les différetes acquisitios ot été effectuées pour des vitesses de marche différetes. Cepedat, o e remarque pas de différeces otoires sur les performaces etre u jeu de doées acquis avec ue vitesse plus rapide qu'u autre. E effet, les meilleurs résultats sot oteus avec F1 et H ayat des vitesses de marche respectives de 1,1 m/s et 0,7 m/s. E comparaiso, la vitesse de marche de H1 et celle de F sot, respectivemet, de 1, m/s et 0,8 m/s. Comme vu das le paragraphe précédet, les périodes quasi-statiques ifluecet directemet la covergece du filtre. Or la durée de ces périodes déped de la vitesse de marche. Plus le piéto marche vite, mois les phases d'appui du pied sot logues. Pour u piéto marchat à 1,1 m/s, les périodes quasi-statiques du pied duret e moyee 0,6s cotre 0,54s pour u piéto marchat à 0,8m/s. Aisi, il est préférale de marcher à ue vitesse modérée Coclusio sur les recommadatios Cette étude a permis d'étalir certaies recommadatios quat au protocole d'acquisitio à mettre e place pour oteir les meilleures performaces pour cette solutio de avigatio pédestre. Les phases statiques imposées sot écessaire à la covergece de certaies icoues du vecteur d'état. Elles ifluet directemet sur les performaces du filtre de Kalma. Il est préférale d'effectuer plusieurs phases statiques d'ue dizaie de secode espacées régulièremet tout au log du parcours plutôt que des phases statique logues mois fréquetes. Ue phase statique imposée d'ue durée de 15 secodes est suffisate pour permettre aux icoues et aux variaces sur les icoues de coverger vers leur valeur limite. L'étude des variatios de l'écart-type du iais d'accélératio a mis e lumière les difficultés du filtre à s'adapter aux chagemets rusques d'état, lorsque le pied passe d'ue phase d'oscillatio à ue phase d'appui. Il est doc importat de faire attetio à sa maière de marcher, c'est à dire de ie poser le pied au sol et de e pas effectuer de mouvemets rusques avec le pied. Pour les acquisitios e itérieur, il est possile que l'estimatio du cap de marche soit mois oe que pour les acquisitios e extérieur. Ceci s'explique par le fait que les variatios du champ magétiques sot plus importates à l'itérieur à cause de la présece de omreuses sources émettrices de champ magétique. Plus gééralemet, les variatios du champ magétique état plus importates, mois de mises à jour e QSF sot effectuées. Le vecteur d'état est doc mois souvet corrigé ce qui iflue sur les performaces de la solutio. E extérieur, il est égalemet possile d'être e présece de sources émettrices de champ magétique particulier. Il est doc importat d'éviter ces sources émettrices qui peuvet, par exemple, être des voitures, e mouvemet ou à l'arrêt, ou tout autre élémet métallique.

55 Page 54 Fialemet, l'étape de caliratio du magétomètre effectuée avat chaque acquisitio doit être réalisée avec le plus de miutie possile. Cette caliratio iflue directemet sur les mises à jour e QSF car elle permet de défiir le champ magétique propre au oitier de la cetrale iertielle et par suite de détermier précisémet le champ magétique terrestre. Les mises à jour e QSF fot partie des iovatios pricipales de cette solutio. Ue erreur sur ces mises à jour iflue directemet sur la précisio de la solutio. La solutio implémetée offre des résultats performats si l'o suit les recommadatios citées ci-dessus. Cepedat, otre solutio e peut pas ecore être cosidérée comme ue solutio de référece puisque les résultats diffèret selo les jeux d'acquisitio. D'autres tests à plus grade échelle sot écessaires pour certifier de la précisio de la solutio.

56 Page 55 Coclusio Grâce aux derières avacées techologiques das la qualité des oservatios des MEMS et aux derières iovatios das le domaie de la avigatio pédestre, il est désormais evisageale de défiir ue solutio de avigatio pédestre autoome, performate, foctioat seulemet avec des doées iertielles. D'u poit de vue pratique, cette solutio utilise uiquemet les oservatios d'ue cetrale iertielle fixée rigidemet sur le pied d'u piéto afi de calculer les positios successives de ce piéto. Ue solutio de référece a égalemet été mise e œuvre afi d'évaluer les résultats oteus. Ue atee GPS fixée sur la tête du piéto joue le rôle de cette référece. D'u poit de vue plus théorique, la solutio proposée est implémetée à l'aide d'u filtre de Kalma. Ce filtre se décompose e deux étapes pricipales au cours desquelles les icoues sot estimées à l'aide de leur loi d'évolutio respective puis corrigées grâce à plusieurs mises à jour. Ces mises à jour s'effectuet aux momets opportus e étudiat les variatios du champ magétique, les variatios de l'accélératio et les caractéristiques propres au cycle de marche de l'homme. Ces différetes mises à jour permettet de réduire l'évolutio des erreurs sur les icoues et d'assurer de os résultats sur les positios calculées. Différets tests ot été meés au cours de ce projet afi de détermier la précisio allouale à otre solutio de avigatio iertielle. Ces tests ot, das u premier temps, été effectués e extérieur afi d'estimer des écarts plaimétriques sur l'esemle des doées. Das u secod temps, des acquisitios ot été meées à l'itérieur afi de tester la solutio das u eviroemet soumis à plus de variatios magétiques. Les performaces oteues à la suite de ces tests sot meilleures que celles figurat das la littérature actuelle. U écarttype moye de 1,4m après 500m de marche ce qui correspod à ue erreur moyee de 0,9% par rapport à la logueur parcourue sot oteus pour les quatre jeux d'acquisitio e extérieur. Ceci laisse présager de oes performaces pour des acquisitios e itérieur ce qui est le cas. Cepedat, l ojectif d oteir ue précisio plaimétrique de 1m à sigma est pas ecore atteit. Ces différets tests ot égalemet permis de mettre e lumière plusieurs recommadatios quat aux coditios d'acquisitio optimales permettat d'oteir les meilleurs performaces avec cette solutio. Par exemple, plusieurs phases statiques imposées au piéto sot écessaires pour oserver les ruits de mesure du capteur. Au cours de ces phases statiques, ue covergece de l estimatio des icoues est oservée. Les résultats oteus avec la solutio décrite das ce rapport sot très prometteurs au vu des performaces oteues. Il est à oter qu'u article pour la ciquième coférece iteratioale "Idoor Positioig ad Idoor Navigatio" (IPIN 014) a été écrit au cours de ce PFE. Malgré les recommadatios émises pour l'acquisitio de doées, la solutio implémetée e peut pas ecore être cosidérée comme ue solutio de référece autoome pour la avigatio pédestre das les âtimets. Il est maiteat écessaire d'effectuer des tests à plus grade échelle, c'est à dire sur u pael de persoes plus large, sur des parcours plus logs et plus variés, etc. De plus, de omreuses variales doivet être fixées par l'utilisateur lors de l'implémetatio de la solutio (seuils de détectio des mises à jour, iitialisatio de certaies variales, etc.) alors qu'elles ifluet directemet sur les performaces du filtre de Kalma. Des méthodes permettat de les détermier automatiquemet peuvet être étalies. Par

57 Page 56 exemple, le seuil de détectio des mises à jour e ZUPT est directemet lié à la vitesse de marche du piéto et à sa maière de se déplacer. E gardat l'ojectif d'oteir ue solutio de référece, il pourrait aussi être itéressat d'itégrer des mesures GNSS (pseudo-distaces, Doppler, etc.) lorsqu'elles sot dispoiles afi de gager e précisio sur les positios calculées. Les perspectives ouvertes à la suite de ce PFE sot doc multiples. Fialemet, o peut cosidérer que la défiitio d'ue solutio de référece autoome pour la avigatio pédestre e itérieur 'est plus qu'à ue portée de pas...

58 Page 57 Biliographie [1] Larousserie, D. (013). Naviguer das les murs. Le Mode Sciece et Techo, 1 6. [] Che, Y., & Koayashi, H. (00). Sigal stregth ased idoor geolocatio. I Commuicatios, 00. ICC 00. IEEE Iteratioal Coferece o (Vol. 1, pp ). IEEE. [3] Agerma, M., Friese, A., Khider, M., Krach, B., Krack, K., Roertso, P., & Müche, D. B. (009). A Referece Measuremet Data Set for Multisesor Pedestria Navigatio with Accurate Groud Truth. I 13th Europea Navigatio Coferece - Gloal Navigatio Satellite Systems (p. 6). Naples, Italy: IEEE. [4] Zampella, F. J., Jim, A. R., Seco, F., Prieto, J. C., & Guevara, J. I. (011). Simulatio of Foot-Mouted IMU Sigals for the Evaluatio of PDR Algorithms. I Idoor Positioig ad Idoor Navigatio (IPIN), 011 Iteratioal Coferece o (p. 7). Guimaraes, Portugal: IEEE. [5] Reaudi, V., Susi, M., & Lachapelle, G. (01). Step legth estimatio usig hadheld iertial sesors. Sesors (Basel, Switzerlad), 1(7), [6] Jimeez, A. R., Seco, F., Prieto, C., & Guevara, J. (009). A Compariso of Pedestria Dead-Reckoig Algorithms usig a Low-Cost MEMS IMU. I 6th Iteratioal o Itelliget Sigal Processig (pp. 37 4). Buapest, Hugary: IEEE. [7] Godha, S., & Lachapelle, G. (008). Foot mouted iertial system for pedestria avigatio. Measuremet Sciece ad Techology, 19(7). [8] Casta, N., & Lamy-Peral, S. (010). A improved shoe-mouted iertial avigatio system. I Idoor Positioig ad Idoor Navigatio (IPIN), 010 Iteratioal Coferece o (pp. 1 6). Zurich: IEEE. [9] Park, S. (000). Pedestria iertial avigatio with gait phase detectio assisted zero velocity updatig th Iteratioal Coferece o Autoomous Roots ad Agets, 1, [10] Jiméez, A. R., Seco, F., Prieto, J. C., & Guevara, J. (010, March). Idoor Pedestria Navigatio usig a INS/EKF framework for Yaw Drift Reductio ad a Foot-mouted IMU. I Positioig Navigatio ad Commuicatio (WPNC), 010 7th Workshop o (pp ). IEEE. [11] Skog, I., Peter, H., Memer, S., Nilsso, J., & Ratakokko, J. (010). Zero-Velocity Detectio A Algorithm Evaluatio. Biomedical Egieerig, IEEE Trasactios o, 57(11), [1] Reaudi, V., Comettes, C., & Peyret, F. (014). Quaterio Based Headig Estimatio with Hadheld MEMS i Idoor Eviromets. I Positio, Locatio ad Navigatio Symposium - PLANS 014 (pp ). Moterey, CA: IEEE.

59 Page 58 [13] Costruit, A. E. T., Doctoral, P., Iformatique, E. N., & Iformatio, C. E. T. (009). Hyridatio MEMS / UWB pour la avigatio pédestre itra-muros Valérie Jeae Thérèse Reaudi-Schouler. Ecole Polytechique Fédérale de Lausae. [14] Farrell, J. (008). Aided Navigatio: GPS with High Rate Sesors (The McGraw., p. 59). Uited States of America. [15] El-Sheimy, N., Hou, H., & Niu, X. (008). Aalysis ad Modelig of Iertial Sesors Usig Alla Variace. IEEE Trasactios o Istrumetatio ad Measuremet, 57(1), doi: /tim [16] Zhag, X., Li, Y., Mumford, P., & Rizos, C. (008). Alla variace aalysis o error characters of MEMS iertial sesors for a FPGA-ased GPS/INS system. Iteratioal Symposium o GPS/GNNS, Tokyo, Japa(pp ). US Departmet of Commerce, Natioal Istitute of Stadards ad Techology. [17] Otak, M. (009). Determiig stochastic parameters usig a uified method. Acta Electroica et Iformatica, 9(), [18] Afzal, M. H. (011). Use of Earth s Magetic Field for Pedestria Navigatio. Uiversity of Calgary. [19] Boer, J. De. (010). Capteurs MEMS : Optimisatio des méthodes de traitemet capteurs, de avigatio et d hyridatio. Uiversité de Toulouse. [0] Kuipers, J. B. (1999). Quaterios ad rotatio sequeces (Vol. 66). Priceto: Priceto uiversity press. [1] Aalog Devices. Tactical Grade Te Degrees of Freedom Iertial Sesor - ADIS16488 (011). Uited State of America. [] Reaudi, V., Afzal, M. H., & Lachapelle, G. (010). Complete triaxis magetometer caliratio i the magetic domai. Joural of sesors, 010.

60 Page 59 Aexes A.1 Variace d'alla A.1.1 Défiitio de la variace d'alla...61 A.1. Variace d'alla et lie avec la desité spectrale de puissace A. Algère des quaterios et propriétés liées A..1 Défiitio de l'espace des quaterios A.. Rotatio et quaterio A..3 Agles d'euler et quaterio A.3 Détermiatio du défaut d aligemet de l accéléromètre et du iais d accélératio iitial par la méthode des moidres carrés... 69

61 Page 60

62 Page 61 A.1 Variace d'alla La variace d'alla a été utilisée afi de détermier les différets ruits affectat les oservatios réalisées avec otre capteur iertiel. La théorie permettat de détermier les valeurs de ces ruits est présetée das cette aexe. A.1.1 Défiitio de la variace d'alla La variace d Alla, sur ue périodeτ, est défiie par : 1 σ ( τ ) = < ( yk + ( τ ) yk ( τ )) >, (1) 1 tk + τ avec yk ( τ ) = y( t) dt τ. yk ( τ ) représete la valeur moyee des mesures istataées, qui tk sot otées y( t ), réalisées etre les istats tk et t avec k + τ τ = τ 0, τ 0 état la période propre d échatilloage et le omre de mesures à predre e compte pour calculer cette moyee. N 1 < yk >= yk, N est le omre de mesures cosécutives prises e compte N k = 1 ( < N ). Fialemet, la variace d Alla peut se défiir simplemet selo l'équatio (). N σ 1 ( τ ) = ( yk ( ) yk ( )) ( N ) τ τ + () k = 1 La variace d Alla correspod à l écart type moye etre deux séries d oservatios séparées de oservatios. Cette gradeur ous iforme sur la variace des oservatios par rapport à leur fréquece d'acquisitio. A.1. Variace d'alla et lie avec la desité spectrale de puissace Les ruits de mesure des capteurs sot des processus aléatoires. Ils peuvet être défiis e exprimat leur desité spectrale de puissace. Il est doc itéressat d'étalir u lie etre la variace d'alla et la desité spectrale de puissace d'u processus aléatoire afi de pouvoir e idetifier sa ature. La desité spectrale de puissace représete la répartitio de la puissace d u sigal e foctio de sa fréquece. La relatio qui relie la variace d'alla à la desité spectrale de puissace d'u processus aléatoire y correspod à l'équatio (3). + 4 si ( π fτ ) σ ( τ ) = 4 S y ( f ) df (3) ( π fτ ) 0

63 Page 6 S y ( f ) est la desité spectrale de puissace du processus aléatoire y. La foctio d autocorrélatio de y doit être idépedate du temps. La variace d Alla est proportioelle à la puissace totale e sortie d u processus aléatoire quad o lui applique 4 u filtre avec ue foctio de trasfert de type si ( x) / x. a) Bruit lac La desité spectrale d'u ruit lac est costate. Elle s'exprime selo l'équatio (4). S ( f ) = N ², (4) y avec N le coefficiet du ruit lac. La variace d'alla d'u tel ruit s'otiet alors e sustituat (4) das (3) et elle s'écrit fialemet selo l'équatio (5). + 4 si ( π fτ ) σ ( τ ) = 4 N ² df ( π fτ ) = 4 N ² π = τπ 4 N² σ ( τ ) = τ N² si (u) τπ 0 (u) du (5) E échelle logarithmique, 1 ( log( σ ) = log( N) log( τ ) ). σ ( τ ) sera doc ue droite de pete -1/ ) Marche aléatoire Ue marche aléatoire se caractérise par ue desité spectrale de puissace équivalete à l'équatio (6). K S y ( f ) = π f, (6) avec K le coefficiet d'ue marche aléatoire. La variace d'alla d'u tel ruit s'otiet alors e sustituat (6) das (3) et elle s'écrit fialemet selo l'équatio (6).

64 Page 63 4 si ( π fτ ) + K σ ( τ ) = 4 π f ( π fτ ) 0 = K² si ( π fτ ) τ ² 4 ( π fτ ) π ² τ ² f ² 0 = K ² = K ² τ + 4 si (u) τ ² u u² si (u) 0 u K ² τ σ ( τ ) = 3 E échelle logarithmique, σ ( τ ) sera doc ue droite de pete 1/ K 1 ( log( σ ) = log( ) + log( τ ) ). 3 4 du du τ df df (7) c) Bruit corrélé La desité spectrale de puissace d'u ruit corrélé s'écrit selo l'équatio (8). ( qct c)² S y ( f ) = 1 + (π f T c)², (8) avec q c l'amplitude du ruit, T c le temps de corrélatio. La variace d'alla d'u tel ruit s'otiet alors e sustituat (8) das (3) et elle s'écrit fialemet selo l'équatio (9). + 4 ( qct )² c si ( π fτ ) σ ( τ ) = 4 df 1 ( f )² ( ) 0 + π T c π fτ ( qct c)² si τ T (9) c τ σ ( τ ) = qc ² si τ T c 3 E échelle logarithmique, σ ( τ ) sera doc ue droite de pete ± 1/ et d'équatio 1 1 q log( τ ) = log( τ ) + log( qctc ) si τ T c ou d'équatio log( τ ) = log( τ ) + log( c ) si 3 τ T c.

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66 Page 65 A. Algère des quaterios et propriétés liées Les quaterios permettet de représeter et de paramétrer ue rotatio d'ue autre maière. Ils sot utilisés, das otre prolème, afi de défiir les chagemets de repère. L espace des quaterios possède plusieurs propriétés qui sot éocées das l'aexe suivate. A..1 Défiitio de l'espace des quaterios L esemle des quaterios, oté H, peut être assimilé à ue suite de l esemle des omres complexes. C'est ue algère o-commutative de dimesio 4. U quaterio est défii comme état u complexe gééralisé, avec quatre composates (u scalaire et u vecteur à trois composates) selo l équatio (10). q = q + q i + q j+ q k, (10) q, q, q, q R, avec ( ) ( i, j, k ) trois omres imagiaires Le produit de deux quaterios doe u quaterio. Les propriétés de la multiplicatio de l'algère des quaterios sot défiies telles que : i j = 1, i j = k, i k = - j, j j = 1, j k = i, j i = - k, k k = 1, k i = j, k j=- i. L'additio et la soustractio de quaterio sot défiies comme l'additio et la soustractio des termes correspodat du quaterio. D'après les propriétés de la multiplicatio das l'espace des quaterios, le produit de deux quaterios et c s'écrit suivat l'équatio (11). c = ( c c c c ) + ( c + c + c c ) i ( c c + c + c ) j+ ( c + c c + c ) k c1 c = c3 c c1 c c3 c4 1 c c1 c4 c 3 = c3 c4 c1 c 3 c4 c3 c c1 4 Il est importat de oter que la multiplicatio das l'espace des quaterio 'est pas commutative mais associative. (11). La forme cojuguée du quaterio q s'écrit de la maière suivate selo (1) : q = q q i q j q k (1) 1 3 4

67 Page 66 La orme d'u quaterio s'écrit selo l'équatio (13). q = q q = q + q + q + q (13) Das otre cas, la dérivée d'u quaterio peut simplemet s'écrire selo l'équatio (14). 1 a qɺ a = qa (0, ωa), (14) avec qɺ a la dérivée associée au quaterio a (0, ) a q, ω est le quaterio associé à la vitesse agulaire, otée rapport au repère, exprimée das le repère a. A.. Rotatio et quaterio a a ω a, du repère a par Soit u repère «ody» cofodu avec u repère «avigatio» e appliquat ue rotatio de α radias autour de l'axe eulérie E. La quaterio qui représete le chagemet de repère etre le «ody» et le «avigatio» est défii suivat l'équatio (15). 1 cos( α / ) = si( α / ) = (15) E 3 4 avec = 1. Le quaterio a alors que trois degrés de lierté. Soiet Z et Z deux vecteurs exprimés das des repères tridimesioels différets. Sous la forme de quaterios, ils s'écrivet : 0 q = Z Z et 0 q = Z Z Aisi, la relatio liat ces deux quaterios s écrit sous la forme de l équatio (16). q = q, (16) Z avec : le quaterio exprimat la trasformatio etre les repères «ody» et «avigatio», : le cojugué du quaterio cité précédemmet. A..3 Agles d'euler et quaterio Le passage de la matrice de rotatio écrite à l aide des agles d Euler, otée R, vers le quaterio associé, oté, se fait selo (17). Z

68 Page 67 avec 1 1 [1,1] [,] + R + R + R [3,3] R[3,] R[,3] 4, (17) 1 = R[1,3] R[3,1] 4 1 R[,1] R[1,] 4 1 R la matrice représetat le passage du repère «ody» au repère «avigatio», défiie avec les agles d'euler. De même, il est possile de détermier les agles d Euler, otés ( θ, φ, ϕ ), à partir du quaterio associé, oté, suivat les équatios e (18). si( θ ) = ( + ) φ = a ta (( ),1 ( ² ² )) ϕ = a ta (( ),1 ( ² ² )) (18)

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70 Page 69 A.3 Détermiatio du défaut d aligemet de l accéléromètre et du iais d accélératio iitial par la méthode des moidres carrés Les mesures de l accéléromètre sot corrigées par la méthode des moidres carrés e supposat qu elles sot modélisées avec u défaut d aligemet et u iais d accélératio. Cette compesatio part du postulat qu u accéléromètre parfait mesure uiquemet la répose à la force de pesateur e phase statique sur so axe placé verticalemet. Pour chaque oservatio y Acc i, o peut écrire l'équatio dite équatio d'oservatio (19). y = F ' y + B ', (19) avec Acc i Acc Acc i Acc F ' Acc la matrice composée des valeurs approchées du défaut d aligemet des axes de l accéléromètre, y la valeur vraie de la mesure effectuée par l'accéléromètre selo les 3 axes de Acc mesure, B' Acc la matrice composée des valeurs approchées du iais d accélératio selo les 3 axes d'oservatio. Das otre prolème les icoues sot le défaut d'aligemet et le iais FAcc d'accélératio. Ces gradeurs formet la matrice des icoues ΔX =. Cette matrice B Acc se calcule alors avec (0). 1 ΔX = Z A T ( A A T ), (0) avec Z la matrice des oservatios, A la matrice composées des dérivées partielles e foctio des icoues pour chaque oservatio. A est défiie selo (1). avec le omre d'oservatios. Acc i Das otre cas, i [ ] y i [ ] y Acc 1 y Acc... FAcc FAcc A =, (1) y Acc 1 y Acc... B Acc B Acc y y Acc i 1,, = Acc i et 1,, = 1. F B Acc Acc (). Les résidus sur les oservatios, otés V, peuvet esuite être calculés selo l'équatio 1 V = A F ( Z B ) () Acc Acc