Endomorphismes particuliers dans un espace vectoriel euclidien

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1 PSI Lycée Rabelas Edomorphsmes parculers Edomorphsmes parculers das u espace vecorel euclde Das ou le chapre, E désge u espace vecorel euclde (doc sur R) de dmeso > 0, do le produ scalare es oé I Ado d u edomorphsme Isomorphsme caoque ere E e so dual TH : ) Pour oue forme léare f sur E, l exse u uque veceur a de E el que : x E, f ( x) = a x ) L applcao qu à ou veceur a de E assoce la forme léare : x a a x es u somorphsme de E sur so dual, appelé somorphsme caoque f a Edomorphsme ado Prop : Défo de l ado d u edomorphsme So u u edomorphsme de E Il exse u uque edomorphsme de E, oé u, el que : ( x, y) E, x u( y) = u ( x) y u s appelle l edomorphsme ado de u Rq : Par symére, o a auss : ( x, y) E, u( x) y = x u ( y) Ex : S u = k d, alors u = u Prop 3 : Caracérsao marcelle das ue base orhoormée So ue base orhoormée de E e M la marce de u das Alors la marce de u das es M Csq : rg ( u ) = rg( u) e de( u ) = de( u) Prop 4 : Propréés de calcul u ( = ) L E), ( u ) u ) L applcao ϕ : u a u es u somorphsme voluf de L (E) (e : ϕo ϕ = d L(E ) ) 3) S u e v so deux edomorphsmes de E, alors : ( ) uo v = v o u 4) u GL( E) u GL( E), e das ce cas : ( u ) = ( u ) Ces propréés découle des propréés de la rasposo Prop 5 : Noyau e mage ker( u ) = Im u e Im( u ) = ( ker u) ( )

2 PSI Lycée Rabelas Edomorphsmes parculers II Edomorphsmes orhogoaux Défo e caracérsaos Déf 6 : So u u edomorphsme de E O d que u es u edomorphsme orhogoal lorsque u coserve le produ scalare, e : ( x, y) E, u( x) u( y) = x y (o d auss somére vecorelle) Prop 7 : Caracérsao par l ado So u u edomorphsme de E u es orhogoal s e seuleme s u es becf e u = u Csq : ) S u es u edomorphsme orhogoal, alors : de u = ± (récproque fausse!) ) u es orhogoal s e seuleme s u es orhogoal Prop 8 : L esemble des auomorphsmes orhogoaux de E es u sous- groupe de (GL(E), o) appelé groupe orhogoal e oé O(E) Prop 9 : Caracérsaos praques So u u edomorphsme de E Les propréés suvaes so équvalees : ) u es u edomorphsme orhogoal ) u coserve la orme, e : x E, u( x) = x 3) L mage par u d ue base orhoormée doée de E es ue base orhoormée 4) L mage par u de oue base orhoormée de E es ue base orhoormée Aeo : Ue proeco orhogoale aure que l deé es pas u edomorphsme orhogoal (elle rédu les ormes) Prop 0 : Sous-espaces sables So u das O (E) e so F u sous-espace vecorel de E sable par u Alors u ( F) = F e F es sable par u Rq : Les edomorphsmes dus par u sur F e orhogoaux F so évdemme des edomorphsmes Prop : Specre d u edomorphsme orhogoal So u das O (E) ) Les seules valeurs propres possbles pour u so e - : sp ( u) {, } ) ker( u d) e ker( u + d) so orhogoaux 3) u es dagoalsable s e seuleme s u es ue symére orhogoale Prop : Syméres orhogoales Ue symére orhogoale es u edomorphsme orhogoal e les seules syméres apparea au groupe orhogoal so les syméres orhogoales

3 PSI Lycée Rabelas Edomorphsmes parculers Marces orhogoales Déf 3 : So Ω das M (R) O d que Ω es ue marce orhogoale s l edomorphsme u de R caoqueme assocé à Ω es u auomorphsme orhogoal O oe O (R) l esemble de ces marces Prop 4 : O (R) es u sous-groupe de GL (R), appelé groupe orhogoal Ce sous-groupe es somorphe à O(R ) Prop 5 : Caracérsaos des marces orhogoales So Ω das M (R) Les propréés suvaes so équvalees ) Ω O (R) ) Ω es versble e : Ω = Ω (c es-à-dre : ΩΩ = I ou ecore : Ω Ω = I ) 3) Les veceurs coloes de Ω forme ue base orhoormée de M, (R) pour le produ scalare usuel Rq : ) S Ω es ue «pee» marce do les coeffces so explcés, o vo facleme avec la rosème caracérsao s la marce es orhogoale 0 Ex : Ω = 0 0 es ue marce orhogoale 0 ) S Ω es ue marce orhogoale, ou edomorphsme d u espace euclde E de dmeso représeé das ue base orhoormée de E par Ω es orhogoal 3) S Ω es ue marce orhogoale, alors Ω es orhogoale 3 4) S Ω O (R), alors : de Ω = ± La récproque es fausse : 0 3 Chageme de base orhoormée Oreao Prop 6 : So ue base orhoormée de E e ' ue base quelcoque ' es orhoormée s e seuleme s la marce de passage de à ' es ue marce orhogoale Csq : Soe e ' deux bases orhoormées de E e P la marce de passage de à ' : P es doc orhogoale S u edomorphsme u adme pour marce A das la base e A' das la base ', alors la formule de chageme de base s écr : A' = PAP Déerma das ue base orhoormée drece O suppose E oreé par le chox d ue base orhoormée drece 0 Rappel : es drece s e seuleme s : de 0 ( ) > 0 Prop 7 : Soe e ' deux bases orhoormées dreces de E Alors : de ( ') = e doc les applcaos de e de ' so égales 3

4 PSI Lycée Rabelas Edomorphsmes parculers Déf 8 : O oe souve : [ v,, v ] de ( v,, v ) = De( v,, v ) base orhoormée drece quelcoque, appelé produ mxe de la famlle ( ) l es dépeda de la base orhoormée drece chose = le déerma das ue v,,v : Applcao : produ vecorel O suppose que E es u espace vecorel euclde oreé de dmeso 3 Soe u r, v r deux r r r r veceurs de E L applcao ϕ : E R, wa [ u, v, w] es ue applcao léare Il exse doc u uque veceur a r r r r r el que : w E,ϕ ( w) = a w Ce veceur es, par défo, le produ vecorel de u r e v r r r r v r r r : w E, [ u, v, w] = u v w Rappels sur le produ vecorel ) L applcao ( u, v) a u v es bléare e asymérque ) u v es orhogoal à u e à v ) u v = 0 r u e v so coléares v) S u e v e so pas coléares, u v es l uque veceur w orhogoal au pla u v = u v s u, v u, v, w so ue base egedré par u e v, el que ( ) e ( ) drece, es ue base orhoormée drece u v es la surface du parallélogramme cosru sur les veceurs v) S u e v so uares e orhogoaux, ( u v, u v) v) v) [ u v, w], es le volume du paralléléppède cosru sur les 3 veceurs v) Formule de calcul das ue base orhoormée drece 4 Isoméres dreces Déf 9 : ) So Ω das O (R) Ω es ue marce orhogoale drece (resp drece) s de Ω = + (resp s de Ω = ) ) So f das O(E) f es ue somére drece (resp drece) s de f = + (resp de f = )Les soméres dreces so auss appelés des roaos Exemple : Ue symére orhogoale par rappor à u hyperpla, appelée auss réflexo, es I ue somére vecorelle drece, car sa marce das ue base adapée es : 0, 0, Prop 0 : U edomorphsme f de E es ue roao s e seuleme s l rasforme ue base orhoormée drece de E e ue base orhoormée drece Prop : ) L esemble des marces orhogoales dreces es u sous-groupe de O (R) appelé groupe spécal orhogoal, oé SO (R) ) L esemble des soméres vecorelles dreces es u sous-groupe O(E) appelé groupe spécal orhogoal, oé SO(E) 4

5 PSI Lycée Rabelas Edomorphsmes parculers III Edomorphsmes symérques Défo Déf : U edomorphsme f es d symérque ou auoado lorsque : dre : ( x, y) E, x f ( y) = f ( x) y f = f, c es-à- Prop 3 : Caracérsao marcelle f es u edomorphsme symérque s e seuleme s sa marce das ue base orhoormée fxée es symérque Rq : La marce de f das oue base orhoormée es alors symérque Prop 4 : L esemble S(E) des edomorphsmes symérques de E es u espace vecorel somorphe à S (R) (espace vecorel des marces symérques das M (R) ) E parculer : ( + ) dm S ( E) = Prop 5 : Sous-espaces sables So f u edomorphsme symérque e V u sous-espace vecorel de E sable par f Alors V es sable par f Rq : Les edomorphsmes dus sur V e sur V so évdemme symérques Prop 6 : Caracérsao des proecos orhogoales So p u edomorphsme de E p es u proeceur orhogoal s e seuleme s : p o p = p e p = p (Les proeceurs orhogoaux so les proeceurs auoados) Prop 7 : Caracérsao des syméres orhogoales So s u edomorphsme de E Les propréés suvaes so équvalees : ) s es ue symére orhogoale ) s es ue symére e u edomorphsme orhogoal 3) s es ue symére e u edomorphsme symérque 4) s = s = s Réduco d u edomorphsme symérque Prop 8 : Propréé des sous-espaces propres So f u edomorphsme symérque S λ e µ so deux valeurs propres dsces de f, alors les sous-espaces propres E λ ( f ) e ( f ) so orhogoaux Prop 9 : Propréé des valeurs propres Ue marce symérque à coeffces réels a oues ses valeurs propres réelles TH 30 : Théorème specral So f u edomorphsme symérque Il exse ue base orhoormée de E formée de veceurs propres de f Csq : ) Tou edomorphsme symérque es dagoalsable das ue base orhoormée E µ 5

6 PSI Lycée Rabelas Edomorphsmes parculers ) Les sous-espaces propres d u edomorphsme symérque forme ue décomposo e somme drece orhogoale de E 3) Toue marce symérque réelle es dagoalsable das M (R) Plus précséme, s A S (R), l exse ue marce orhogoale P e ue marce dagoale D à coeffces réels elles que : A = PD P Rq : Das M (C), ue marce symérque es pas forcéme dagoalsable : A = 3 Réduco d ue forme bléare symérque So ϕ ue forme bléare symérque sur E O fxe ue base orhoormée ( e,, ) O oe A la marce de (R) M de erme gééral a ( e, e ), ϕ = = : A es la marce de ϕ das A es ue marce symérque O peu défr l edomorphsme f représeé par la marce A das la base, de sore que : {,, }, f ( e ) = a e f es l edomorphsme symérque assocé à la forme =, bléare symérque ϕ das O a alors les égalés suvaes : a ( e, e ) = e f ( e ) = ϕ, Soe x e y deux veceurs de E de coordoées ( x,x ) e ( y,, y ) = = = ( x, y) a x y = XAY = YAX = x f ( y) f ( x y ϕ, = ) S q es la forme quadraque assocée à ϕ, o a alors : q( x) = = = a, x x = XAX = x f ( x) e das la base O a : A éa ue marce symérque das M (R), elle es dagoalsable das ue base orhoormée ' base ', alors o a : S ( x ', x ') e ( y ',, y ') désge les coordoées de x e y das cee ϕ ( x, y) = λ x ' y ', où les λ so les valeurs propres (éveuelleme cofodues) de A De même : = q( x) = λ ' O d alors que l o a rédu ϕ (ou q) das ue base orhoormée Rq : S q es doée sous la forme so : a b, =, x q( x) = b x x, alors les coeffces dagoaux de A, = e les aures coeffces so els que : a, = a, = b, 6

7 PSI Lycée Rabelas Edomorphsmes parculers IV Isoméres vecorelles e dmeso ou 3 Dmeso E es u espace vecorel euclde de dmeso, oreé par ue base orhoormée drece r r = e, e ) ( TH 3 : Classfcao ) Le groupe des marces orhogoales d ordre es formé de deux ypes de marces : cosθ sθ cosθ sθ R θ = e Sθ = (θ réel) sθ cosθ sθ cosθ ) Le groupe spécal orhogoal es formé par les marces du ype R θ Il es commuaf : Rθ o Rθ ' = Rθ ' o Rθ = Rθ + θ ' e R θ = R θ L edomorphsme r θ aya R θ pour marce das la base es appelé roao d agle θ 3) S θ es la marce das la base de la réflexo d axe D egedré par le veceur θ θ u r (cos,s ) 4) Les seules soméres vecorelles e dmeso so les roaos e les réflexos Prop 3 : Propréés des roaos ) So a r r r r r u veceur uare Alors : a rθ ( a) = cosθ e dé ( a, rθ ( a)) = sθ r r ) Soe u e v deux veceurs uares Il exse u réel θ uque modulo π el r r que : rθ ( u ) = v θ es par défo ue mesure de l agle ( u r, v r ) r r r r r r r r r r r r 3) Pour ous veceurs o uls : u v = u v cos( u, v) ; dé ( u, v) = u v s( u, v) 4) La composée de deux réflexos es ue roao Récproqueme, oue roao es composée de deux réflexos Dmeso 3 E es u espace vecorel euclde de dmeso 3, oreé par ue base orhoormée drece r r r,, k ( ) TH 33 : S f SO(E), alors l exse ue base orhoormée drece de E e u réel θ els S θ 0 [ π ] 0 0 0, que : Ma ( f ) = = 0 cosθ sθ E parculer : r ( f ) = + cosθ 0, Rθ 0 sθ cosθ, le sous-espace propre E ( f ) = Iv( f ) es de dmeso S o oe D r cee droe vecorelle oreée par le chox d u veceur o ul u r r r e P = D, la resrco de f au pla P es la roao plae d agle θ, l oreao du pla P r éa défe par le chox d ue base ( v r, w r ) de ce pla elle que r r r ( u, v, w ) so ue base drece de E f s appelle la roao vecorelle d axe D r drgé par u r e d agle θ 7

8 PSI Lycée Rabelas Edomorphsmes parculers Cas parculers : ) Ue roao d agle ul es l deé ) Ue roao d agle π es la symére orhogoale par rappor à D r, appelée auss demour ou reoureme d axe D r Ue symére orhogoale par rappor à ue droe es doc ue somére drece Rq : ) R r r = R r r ; R r R r r = R r r D, u, θ D, u, θ D, u, θ D, u, θ ' D, u, θ + θ ' r o ) S u r es u veceur uare drgea l axe, e x r u veceur uare orhogoal à r r r r l axe, alors : r r ( x) = cosθ x + s u x R D u θ,, θ TH 34 : Classfcao Les soméres vecorelles e dmeso 3 peuve êre classées e foco de la dmeso du sous-espace vecorel des veceurs varas : DmIv( f ) 0 3 Isom drece Roao d Ideé Isom drece «A-roao» Réflexo Méhode O cosdère u edomorphsme f de E déf par sa marce A das ue base orhoormée drece de E e que l o cherche à caracérser ) O regarde s A es ue marce orhogoale S ou, f es ue somére ) O déerme alors le sous-espace vecorel des veceurs varas, ce qu, d après la classfcao, doe la aure géomérque de f 3) S f es ue roao d axe D r oreé par u r, so agle θ es caracérsé par les deux propréés : a) r ( A) = + cosθ b) S x r es u veceur o ul orhogoal à l axe, alors s θ es du sge r r r u, x, f ( x) du produ mxe [ ] 4) S A = A, f es ue symére L éude du 3) deve doc ule 5) S f es ue «a-roao», f es ue roao S o fxe u pla P quelcoque, la composée so f où s es la réflexo de pla P es auss ue roao Prop 35 : ) Toue roao vecorelle d axe D r es la composée de deux syméres orhogoales par rappor à des plas vecorels sécas suva D r ) Récproqueme, la composée de deux syméres orhogoales par rappor à des plas vecorels sécas suva D r es ue roao vecorelle d axe D r 8